18、19、勒贝格积分概念与性质

s ( D ) = ∑ bi mEi , S ( D ) = ∑ Bi mEi
x∈Ei
m
x∈Ei
m
类比定积分 的大、小和
§1引理1 ⅰ）E的 可测分划加细，大和不增，小和不减；
设E的两个分划D*比D更细，则sD ≤ sD* ≤ S D* ≤ S D
ii) 对于任意两个分划D*和D，均有sD ≤ S D*
于是|∫ f ( x)dx |≤ ∫ | f ( x) | dx ≤ M × mA → 0, 当mA → 0时
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3、L可积，则函数几乎处处有限
设f ∈ L( E )，则mE (| f ( x) |= +∞) = 0
证：
E (| f ( x) |= +∞) = ∩ E (| f ( x) |> n) = ∩ En
i
（程版108）定理2 设mE < +∞, f ( x)在E上有界
f ( x ) 在 E 上勒贝格可积 ⇔ f ( x ) 在 E 上勒贝格可测
（2）测度有限集上非负函数的勒贝格积分
设mE < +∞, f ( x) ≥ 0，x ∈ E
对任意正整数m，做m截断函数
⎧ f ( x), f ( x) < m f m ( x) = { f ( x)}m = min{ f ( x ), m} = ⎨ , m = 1, 2,... ⎩ m, f ( x) ≥ m
若积分值有限， 则称f ∈ L( E )
小结
⎧ 测度有限集上有界函数的勒贝格积分 ⎪ ⎪测度有限集上非负可测函数的勒贝格积分 ⎨ ⎪一般可测集上非负可测函数的勒贝格积分 ⎪一般可测集上一般可测函数的勒贝格积分 ⎩
二、勒贝格积分性质
⎧线性性——128页定理4（3）138页定理4（2）（3） ⎪ 积分区域有限可加性 ——128页定理4（2） ⎪ 1.与R积分相同的 ⎪ ——128定理4（1）138定理4（5） ⎨ 单调性 基本性质 ⎪可积性对四则运算封闭——(程其襄版)111页定理3 ⎪ ⎪ ? ⎩绝对可积性
∫
Em
f ( x)dx
则∫
Em
f ( x)dx存在 ⇔ f ( x)在Em上可测 ⇔ f ( x)在E上可测
lim f ( x)dx单增,非负, 从 而 m →∞ f ( x ) d x = lim ( L ) ∫
m→∞
积分列∫
Em
∫
Em
f ( x ) d x存 在
称 (L)∫
E
Em
f ( x)dx
4、证明：零集上任意函数都L可积，且积分值等于0
证 ： 设 f 为 E上 任 意 函 数 ,
1、L可积与R可积的关系
定理若f ∈ R[a, b]，则f ∈ L[a, b]，且( L) ∫
[ a ,b ]
f ( x )dx = ( R ) ∫ f ( x ) dx
a
b
证明∀[a, b]一个分割T : a = x0 , x1 ,..., xn = b, Δxi = xi − xi −1
对应着一个可测分划D :[a, b] = ∪ Ei , E1 = [a, x1 ], Ei = ( xi −1 , xi ], i = 2,3,… n
→ (3)一般可测集上非负函数的勒贝格积分
→ (4)一般可测集上一般函数的勒贝格积分
类比 推广 R积 分
（1）测度有限集上有界函数的L积分
1）几个概念：
n m
m
类比定积分中 [a,b]的 分割
Ei，Ei 互不相交、可测 a) 集合E的可测分划： 设E ⊂ R , 若E = ∪ i =1
称{E1 , E2 ,..., Em }为E的一个可测分划 或称∪ Ei为E一个可测分划
iii) 大和有下界，小和有上界，而且 sup{s ( D, f )} ≤ inf{S ( D, f )}
D D
d) 称 inf { S ( D , f )} =
D
∫ f ( x ) dx为 f ( x )在 E 上 的 L 上 积 分
E
−
称 sup{ s ( D , f )} =
D
∫ f ( x ) dx为 f ( x )在 E 上 的 L 下 积 分
f ( x)dx ≤ inf S (T , f )
T
∫
[ a ,b ]
−
f ( x)dx ≤
[ a ,b ]
∫
−
2、 L积分的绝对连续性
设f ∈ L( E ), 则∀可测子集A,有 lim
mA→ 0 A
∫
lim ∫ f ( x) dx = 0 f ( x)dx = 0 亦有 mA →0 A
证：设有界f ∈ L( E )， 则∃M > 0, 使得 | f ( x) |≤ M , x ∈ E
k=1 n
测 ， 相 互 不 交 ， 则 (L)∫ f (x)dx = ∑ckmEk Ek可
E k=1
n
例1：D( x) ∈ L([0,1]), 且( L) ∫
[0,1]
D( x)dx = 0
若积分值有限，称f ( x)在E上 勒贝格可积，记做f ∈ L ( E )
（2） 非负可测函数的Lebesgue积分
m→∞ E E
若0 ≤ A < +∞
称f ( x)在E上勒贝格可积
L积分存在 充要条件 是f 可测
（3）一般可测集上非负函数的勒贝格积分
设f ( x) ≥ 0, x ∈ E ,
mE ≤ +∞
对点集E , 用测度有限的一列可测集来逼近,即
对∀m, 令Em = E ∩ K m
则Em的性质:
其中K m = {x d (0, x) ≤ m}
L可积 充要条件 L积分 存在
2）测度有限集上有界函数L可积的两个充要条件：
（程版108）定理1 设E ⊂ R n可测，mE < +∞, f ( x)在E上有界,则
f ( x) ∈ L( E ) ⇔ ∀ε > 0, ∃E的可测分划D， 使得S ( D, f ) − s ( D, f ) = ∑ ωi mEi < ε , 其中ωi = Bi − bi
i =1 n
因 f ∈ R[a,b],所以f 必有界，
则mi = inf f ( x) ≤ inf f ( x) = bi ;
[ xi −1 , xi ] ( xi −1 , xi ]
M i = sup f ( x) ≥ sup f ( x) = Bi ;
[ xi −1 , xi ] ( xi −1 , xi ]
E
E
用上述思想、方式引进勒贝格积分的教 材很多。如： 【1】周民强 《实变函数》 【2】郑维行 王声望 《实变函数与泛函分析概要》（上册） 【3】钱佩玲、柳藩 《实变函数论》
2、勒贝格积分的勒贝格式的建立方式
R积分——积分区间长度有限，被积函数有界
→ (1) 测度有限 集上有界函数的勒 贝格积分 → （2）测度有限集上非负函数的勒贝格积分
E = [a, b]的分割： {[ xi −1, xi ]| i = 1,2,..., n}
i =1
不是可测分划
若A : E = ∪ Ei (1) , B : E =
i =1 m1
{{a}, ( x1 , x2 ],..., ( xn −1 , b]} 是
m1 m2
b) 集合E可测分划的加密（细）：
i =1 j =1
∪E
i =1
m2
(2)
i
则D : E = ∪∪ ( Ei (1) ∩ E j (2) )为A、B的加细
类比定积分 分割的加细
c)可测集E上有界函数 f ( x ) 的小和与大和
D : E = ∪ Ei , 令bi = inf{ f ( x)}, Bi = sup{ f ( x)}
i =1 m
i)mEm < +∞: mEm ≤ mK m < +∞
ii)Em递增
iii)lim Em = E :
m →+ ∞ m →+ ∞
lim Em = ∪ Em = ∪ ( E ∩ K m ) = E ∩ ( ∪ K m ) = E
m =1 m =1 m =1
∞
∞
∞
利用已有的（2）测度有限集上非负函数的L积分的概念，考虑
则函数列的{f m ( x)}性质:
i) {f m ( x)}有界: f m ( x) ≤ m, ∀m
ii) {f m ( x)}关于m递增: f1 ( x) ≤ f 2 ( x) ≤ f3 ( x) ≤
iii) lim f m ( x) = f ( x), x ∈ E
m →∞
事实上,∀x0 ∈ E
若f ( x0 ) = +∞, 则对∀m, 有f m ( x0 ) = m → +∞ =f ( x0 )
若f ( x0 ) < +∞,
则∃M , 使得f ( x0 ) < M
从而m > M 时, f m ( x0 ) = f ( x0 )
利用已有的（1）测度有限集上有界函数的L积分的概念，考虑
∫ { f ( x)} dx
证明思路： f (x) = f + (x) − f − (x) ←非负 f ←非负有界 f , mE < +∞
其理论基础，是测度有限集上有界函数L可积的两个充要条件
⎧1、有限区间上R可积，必L可积，且积分值相等 ⎪ ⎪2、积分的绝对连续性 ⎪3、L可积，则函数几乎处处有限 2.L积分独有的 ⎪ ⎪ ⎨4、零集上任意函数L可积，且积分为0 其它性质 ⎪ 5、几乎处处相等的函数可积性、积分值相同 ⎪ ⎪6、可积 ⇔ 绝对可积 ⎪ ⎪ ⎩7、比较原则
若积分值有限，则称 f ∈ L ( E )
【注2】E上非负函数f ( x)的L积分∫ f ( x)dx存在 ⇔ f ( x)在E上L可测
E
（4）一般可测集上一般函数的勒贝格积分
∀f , f = f+− f−
由定义(3)的分析知,
∫
E
f + ( x)dx与∫ f － ( x)dx均存在
E
⇔ f +与f −在E上均可测 ⇔ f 在E上可测
实变函数论
第18、19讲
第五章 积 分 理论
（一）L积分与L可积概念的建立及L积分的基本性质
一、勒贝格积分建立方式简介
1、勒贝格积分的 非勒贝格式的建立方式 2、勒贝格积分的勒贝格式的建立方式
1、非勒贝格式的建立方式
（1）非负简单函数的Lebesgue积分
设 f (x) = ck , x∈Ek ,(k=1, ,n)为 E = ∪Ek上 的 简 单 函 数
( L ) ∫ f ( x )dx =
E 0 ≤ϕ ( x ) ≤ f ( x )
sup
{( L ) ∫ ϕ ( x )dx : ϕ ( x )为 E 上 的 简 单 函 数 }
E
（3） 一般可测函数的勒贝格积分
+ − 若( L) ∫ f + ( x)dx与( L) ∫ f − ( x)dx至少一个有限，( L) ∫E f ( x)dx = ( L) ∫E f ( x)dx − ( L)∫E f ( x)dx
E
类比定积分 的Darboux上下积分
e）测度有限集上有界函数的勒贝格积分定义：
设mE < +∞, f ( x )在E上有界. 若
∫
−
E
f ( x ) dx =
−
∫
E
f ( x ) dx = A
称A为f ( x)在E上的L积分，记做（L） ∫ f ( x)dx = A
E
因这里： −∞ < A < +∞，所以称f (x)在E上L可积，记做f ∈ L(E)
定义：设f ( x)在可测集E上可测,mE ≤ +∞,
若∫ f ( x)dx与∫ f ( x)dx至少有一个有限，
+ － E E
f ∈ L(E ) ⇔ f + ∈ L ( E )且 f − ∈ L(E )
则有L积分 (L)∫ f ( x)dx＝∫ f + ( x)dx − ∫ f − ( x)dx
E E E
又Δxi = mEi
所以,相应的大和,小和S ( D, f ), s ( D, f ), S (T , f ), s (T , f )关系如下
则s(T , f ) ≤ s( D, f ) ≤
则sup s (T , f ) ≤
T
∫
[ a ,b ]
−
f ( x)dx ≤
[ a ,b ]
∫
−
f ( x)dx ≤ S ( D, f ) ≤ S (T , f )
E m
则∫ { f ( x)}m dx存在 ⇔ { f ( x)}m 在E上可测 ⇔ f ( x)在E上可测
E
{∫ { f ( x)} dx} 为关于m的单增的广义数列
E m
总有 lim ∫ { f ( x)}m dx = A存在,且0 ≤ A ≤ +∞
m →∞ E
称 lim ∫ { f ( x)}m dx = A为f ( x)在E上的勒贝格积分，记为∫ f ( x)dx＝A
n =1 n =1 ∞ ∞
∀n,
∫
E
f dx = ∫
En
f dx + ∫
E − En
f dx ≥ ∫E f dx > n.mEn
n
1 ∴ mEn < ∫ f dx n E
0 ≤ mE[ f = ∞ ] ≤ mEn
1 < ∫ f dx n E
→ 0(n → ∞ )
所以mE ( x || f ( x) |= +∞) = 0