第9讲 圆轴扭转时的变形和刚度条件

第9讲教学方案——圆轴扭转时的变形和刚度条件非圆截面杆的扭转

§3-5 圆轴扭转时的变形和刚度条件

扭转角是指受扭构件上两个横截面绕轴线的相对转角。对于圆轴，由式（4-10） p

GI Tdx

d =φ 所以

p l

0p

l

GI Tl

dx GI T d =

==⎰

⎰φφ（rad ） （4-17） 式中p GI 称为圆轴的抗扭刚度，它为剪切模量与极惯性矩乘积。p GI 越大，则扭转角φ越小。

让dx

d φ

ϕ=

，为单位长度相对扭角，则有p

GI T

=

ϕ（rad/m ） 扭转的刚度条件：

[]ϕϕ≤=

P

max GI T

（rad/m ） （4-18） 或

[]ϕπ

ϕ≤⨯=

180GI T P max （°/m ） （4-19） 例3-3 如图4-13的传动轴，500=n r/min ，5001=N 马力，2002=N 马力，300

3=N 马力，已知[]70=τMPa ，[]1=ϕ°/m ，80=G GPa 。求：确定AB 和BC 段直径。

解： 1）计算外力偶矩

70247024

1

==n

N m A （N ·m ） 6.28097024

2

==n

N m B （N ·m ） 4.42147024

3

==n

N m C （N ·m ） 作扭矩T 图，如图4-13b 所示。 2）计算直径d AB 段：由强度条件，

[]τπτ≤==

3

1max 16d T W T t

[]

8010

707024

16163

6

3

1≈⨯⨯⨯=≥πτπT

d （mm ） 由刚度条件

[]ϕππϕ≤⨯=

18032

d

G T 4

1

6.841

1080180

702432][G 180T 32d 42

94

21=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯≥πϕπ（mm ） 取 6.841=d mm

BC 段：同理，由扭转强度条件得 672≥d mm 由扭转刚度条件得 5.742≥d mm 取5.742=d mm

例3-4 如图4-14所示等直圆杆，已知

10m 0=KN ·m ，试绘扭矩图。

解：设两端约束扭转力偶为A m ，B m

（1）由静力平衡方程0=∑x m 得

000=-+-B A m m m m

B A m m = （a ） 此题属于一次超静定。

（2）由变形协调方程（可解除B 端约束），用变形叠加法有

03

2

1

B B B B =+-=φφφφ （b ）

（3）物理方程

p 0B GI a m 1

⋅-=

φ，p 0B GI a 2m 2⋅+=φ，p

B B GI a

3m 3⋅-=φ （c ） 由式（c ），（b ）得

0GI a 3m GI a 2m GI a m p

B p 0p 0=⋅-⋅+⋅-

即

0m 3m 2m B 00=-+-

并考虑到（a ），结果

3

m m m 0

B A =

= 假设的力偶转向正确，绘制扭矩图如图4-14c 所示。

§3-6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形计算

螺旋弹簧如图4-15a 所示。当螺旋角

5<α时，可近似认为簧丝的横截面与弹簧轴线在同一平面内1．弹簧丝横截面上的应力

如图4-15b 以簧丝的任意横截面取出密圈弹簧的上部分为研究对象，根据平衡方程，横截面

上剪力由Q 引起的剪应力214d P A Q πτ==

，而且认为1

τ均匀分布于横截面上（图4-15c ）；若将簧丝的受力视为直杆的纯扭转，由T 引起的最大剪应力（图4-15d ）332816d PD

d T W T t ππτ=== P Q =，扭矩PD T 2

1

=。，一般将这种弹簧称为密圈螺旋弹簧。

所以在簧丝横截面内侧A 点有

3

321max 8218d

PD

k D d d PD ππτττ=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=

+= （4-20） 其中 D

2d

1k += （4-21） 当10

1

D

d

<，略去剪应力1τ所引起的误差005<τ，可用近似式

3

max d

PD

8πτ=

（4-22） 对某些工程实际问题，如机车车辆中的重弹簧，D

d

的值并不太小，此时不仅要考虑剪力，还

要考虑弹簧丝曲率的影响，进一步理论分析和修正系数k 的选取可见有关参考书。 密圈弹簧丝的强度条件是

[]ττ≤max （4-23）

式中：[]τ—弹簧丝材料的许用剪应力

2. 弹簧的变形

设弹簧在轴向压力（或拉力）作用下，轴线方向的总缩短（或伸长）量为λ，这是弹簧的整体的压缩（或拉伸）变形。如图4-16a 、b ，外力对弹簧做功λP 2

1

W =。簧丝横截面上，距圆心为ρ的任意点的扭转剪应力为