第9讲 圆轴扭转时的变形和刚度条件

第9讲教学方案——圆轴扭转时的变形和刚度条件非圆截面杆的扭转§3-5 圆轴扭转时的变形和刚度条件扭转角是指受扭构件上两个横截面绕轴线的相对转角。

对于圆轴，由式（4-10） pGI Tdxd =φ 所以p l0plGI Tldx GI T d ===⎰⎰φφ（rad ） （4-17） 式中p GI 称为圆轴的抗扭刚度，它为剪切模量与极惯性矩乘积。

p GI 越大，则扭转角φ越小。

让dxd φϕ=，为单位长度相对扭角，则有pGI T=ϕ（rad/m ） 扭转的刚度条件：[]ϕϕ≤=Pmax GI T（rad/m ） （4-18） 或[]ϕπϕ≤⨯=180GI T P max （°/m ） （4-19） 例3-3 如图4-13的传动轴，500=n r/min ，5001=N 马力，2002=N 马力，3003=N 马力，已知[]70=τMPa ，[]1=ϕ°/m ，80=G GPa 。

求：确定AB 和BC 段直径。

解： 1）计算外力偶矩702470241==nN m A （N ·m ） 6.280970242==nN m B （N ·m ） 4.421470243==nN m C （N ·m ） 作扭矩T 图，如图4-13b 所示。

2）计算直径d AB 段：由强度条件，[]τπτ≤==31max 16d T W T t[]801070702416163631≈⨯⨯⨯=≥πτπTd （mm ） 由刚度条件[]ϕππϕ≤⨯=18032dG T 416.8411080180702432][G 180T 32d 429421=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯≥πϕπ（mm ） 取 6.841=d mmBC 段：同理，由扭转强度条件得 672≥d mm 由扭转刚度条件得 5.742≥d mm 取5.742=d mm例3-4 如图4-14所示等直圆杆，已知10m 0=KN ·m ，试绘扭矩图。

解：设两端约束扭转力偶为A m ，B m（1）由静力平衡方程0=∑x m 得000=-+-B A m m m mB A m m = （a ） 此题属于一次超静定。

（2）由变形协调方程（可解除B 端约束），用变形叠加法有0321B B B B =+-=φφφφ （b ）（3）物理方程p 0B GI a m 1⋅-=φ，p 0B GI a 2m 2⋅+=φ，pB B GI a3m 3⋅-=φ （c ） 由式（c ），（b ）得0GI a 3m GI a 2m GI a m pB p 0p 0=⋅-⋅+⋅-即0m 3m 2m B 00=-+-并考虑到（a ），结果3m m m 0B A == 假设的力偶转向正确，绘制扭矩图如图4-14c 所示。

§3-6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形计算螺旋弹簧如图4-15a 所示。

当螺旋角5<α时，可近似认为簧丝的横截面与弹簧轴线在同一平面内1．弹簧丝横截面上的应力如图4-15b 以簧丝的任意横截面取出密圈弹簧的上部分为研究对象，根据平衡方程，横截面上剪力由Q 引起的剪应力214d P A Q πτ==，而且认为1τ均匀分布于横截面上（图4-15c ）；若将簧丝的受力视为直杆的纯扭转，由T 引起的最大剪应力（图4-15d ）332816d PDd T W T t ππτ=== P Q =，扭矩PD T 21=。

，一般将这种弹簧称为密圈螺旋弹簧。

所以在簧丝横截面内侧A 点有3321max 8218dPDk D d d PD ππτττ=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+= （4-20） 其中 D2d1k += （4-21） 当101Dd<，略去剪应力1τ所引起的误差005<τ，可用近似式3max dPD8πτ=（4-22） 对某些工程实际问题，如机车车辆中的重弹簧，Dd的值并不太小，此时不仅要考虑剪力，还要考虑弹簧丝曲率的影响，进一步理论分析和修正系数k 的选取可见有关参考书。

密圈弹簧丝的强度条件是[]ττ≤max （4-23）式中：[]τ—弹簧丝材料的许用剪应力2. 弹簧的变形设弹簧在轴向压力（或拉力）作用下，轴线方向的总缩短（或伸长）量为λ，这是弹簧的整体的压缩（或拉伸）变形。

如图4-16a 、b ，外力对弹簧做功λP 21W =。

簧丝横截面上，距圆心为ρ的任意点的扭转剪应力为44163221dPD d PD I T P πρπρρτρ=== （a ） 如认为簧丝是纯扭转，则其相应的单位体积变形能是8222221282d G D P G u πρτρ== （b ） 弹簧的变形能应为⎰=VudV U （c ）此处ds dA dV ⋅=，其中ρπρd 2dA ⋅=，弹簧丝总长为n D S ⋅=π，n 为弹簧有效圈数。

于是积分式（c ）得4322d82222Gd nD P 4d 2d G D P 128Dn U =⋅=⎰ρπρπρπ （d ）由λP W U 21==，则得到 4343648Gd n PR Gd n PD ==λ （4-24）式中2D R =是弹簧圈的平均半径。

若引入记号nD Gd c 348= 则式（4-24）可写成cP=λ （4-25） c 代表弹簧抵抗变形的能力，称为弹簧刚度。

可见λ与c 成反比，c 越大则λ越小。

例3-5 某柴油机的气阀弹簧，簧圈平均半径mm 5.59=R ，簧丝直径mm 14=d ，有效圈数5=n 。

GPa 80=G 。

弹簧工作时受3P max =KN ，求此弹簧的最大压缩量与最大剪应力（略去弹簧曲率的影响）解：由变形公式求最大压缩量43933343)1014(10805)105.59(105.264Gd n PR 64--⨯⨯⨯⨯⨯⨯==λ mm m 8.5410543=⨯=-考虑剪切力时33333max )1014(105.592105.28)5.594141(d PD 8)D 2d 1(--⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯+=+=ππτ MPa 292276059.1=⨯=不考虑剪力影响时MPa 276'm ax =τ，相差5.9% 。

由于1018.11Dd >= ，还应考虑曲率影响，此处从略。

§3-7 非圆截面杆的扭转问题工程上受扭转的杆件除常见的圆轴外，还有其他形状的截面，下面简要介绍矩形截面，如图4-17a 。

杆件受扭转力偶作用发生变形，变形后其横截面将不再保持平面，而发生“翘曲”（图4-17b ）。

扭转时，若各横截面翘曲是自由的，不受约束，此时相邻横截面的翘曲处处相同，杆件轴向纤维的长度无变化，因而横截面上，只有剪应力没有正应力，这种扭转称为自由扭转。

此时横截面上剪应力规律如下（图14-7c ）：1）边缘各点的剪应力τ与周边相切，沿周边方向形成剪流。

2）max τ发生在矩形长边中点处，大小为：kmax W T=τ ， 2k hb W α= （4-26）次大剪应力发生在短边中点，大小为max 1v ττ=四个角点处剪应力0=τ。

3）杆件两端相对扭转角φ kGI Tl=φ ， 2k hb I β= （4-27） 其中系数v ,,βα与bh有关，可查表（见有关参考书）。

注意到：对非圆截面扭转，平面假设不再成立。

上面计算公式是将弹性力学的分析结果写成圆轴公式形式。

当10>bh 时，截面成为狭长矩形，此时31≈=βα，若以δ表示狭长矩形的短边长度，则式（4-26）化为⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==k k max GI Tl W T φτ （4-28）其中2k h 31W δ=，3k h 31I δ=，此时长边上应力趋于均匀，如图4-17d 所示。

在工程实际结构中受扭构件某些横截面的翘曲要受到约束（如支承处，加载面处等）。

此扭转为约束扭转，其特点是轴向纤维的长度发生改变，导致横截面上除扭转剪应力外还出现正应力。

对非圆截面杆件约束扭转提示：（1）对薄壁截面（如型钢）将引起较大的正应力。

有关内容可参“开口薄壁杆件约束扭转”专题；（2）对实心截面杆件（如矩形，椭圆形）正应力一般很小可以略去，仍按自由扭转处理。

例3-6 某柴油机曲轴的曲柄截面Ⅰ—Ⅰ可以认为是矩形的，如图4-18。

在实用计算中，其扭转剪应力近似地按矩形截面杆受扭计算。

若mm 22=b ，mm 102=h ，已知曲柄所受扭矩为m N 281⋅=T ，试求这一矩形截面上的最大剪应力。

解：由截面Ⅰ—Ⅰ的尺寸求得64.422102==b h 查表，并利用插入法，求出 287.0=a于是得()MPa 8.19102210102287.02812332max =⨯⨯⨯==--ahb T τ。