专升本数学模拟试题及答案

合集下载

高等数学专升本考试模拟题及答案

高等数学（专升本）-学习指南一、选择题1．函数2222ln 24z xyxy 的定义域为【D 】A ．222xyB ．224x yC ．222x yD ．2224xy解：z 的定义域为：420402222222yxyxy x ，故而选D 。

2．设)(x f 在0x x 处间断，则有【D 】A ．)(x f 在0x x 处一定没有意义；B ．)0()0(0xf x f ; (即)(lim )(lim 0x f x f x x xx )；C ．)(lim 0x f x x 不存在，或)(lim 0x f xx ；D ．若)(x f 在0x x 处有定义，则0x x时，)()(0x f x f 不是无穷小3．极限2222123lim n n nnnn【B 】A ．14B ．12C ．1 D． 0解：有题意，设通项为：222212112121122n Sn nnnn nnn n n原极限等价于：22212111lim lim222nnn nnnn4．设2tan y x ，则dy【A 】A ．22tan sec x xdxB ．22sin cos x xdx C ．22sec tan x xdx D．22cos sin x xdx解：对原式关于x 求导，并用导数乘以dx 项即可，注意三角函数求导规则。

22'tan tan 2tan 2tan sec y x d x xdxx x 所以，22tan sec dy x x dx，即22tan sec dyx xdx5．函数2(2)yx 在区间[0,4]上极小值是【D 】A ．-1B ．1 C．2D ．0解：对y 关于x 求一阶导，并令其为0，得到220x ；解得x 有驻点：x=2，代入原方程验证0为其极小值点。

6．对于函数,f x y 的每一个驻点00,x y ，令00,xx A f x y ，00,xy B f x y ，00,yy Cf x y ，若20ACB，则函数【C 】A ．有极大值B ．有极小值C ．没有极值D ．不定7．多元函数,f x y 在点00,x y 处关于y 的偏导数00,y f x y 【C 】A ．000,,limx f x x y f x y xB．000,,limx f x x y y f x y xC ．00000,,limy f x y y f x y yD．0000,,limy f x x y yf x y y8．向量a 与向量b 平行，则条件：其向量积0a b 是【B 】A ．充分非必要条件B ．充分且必要条件C ．必要非充分条件 D ．既非充分又非必要条件9．向量a 、b 垂直，则条件：向量a 、b 的数量积0a b 是【B 】A ．充分非必要条件B ．充分且必要条件C ．必要非充分条件 D ．既非充分又非必要条件10．已知向量a 、b 、c 两两相互垂直，且1a ，2b ，3c ，求a b a b【C 】A ．1 B．2 C ．4 D．8解：因为向量a 与b 垂直，所以sin ,1a b ，故而有：22sin ,22114a a ba ba a -a b+b a -b b b ab a b 11．下列函数中，不是基本初等函数的是【B 】A ．1xyeB ．2ln yxC ．sin cos x yxD ．35yx解：因为2ln x y 是由u yln ，2x u复合组成的，所以它不是基本初等函数。

专升本试题及答案数学

专升本试题及答案数学在专升本的数学考试中，试题通常涵盖高等数学、线性代数、概率论与数理统计等基础数学领域。

以下是一些模拟试题及其答案，供参考：一、选择题（每题2分，共10分）1. 已知函数\( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \)，求\( f(1) \)的值。

A. 0B. 2C. 3D. 4答案：B2. 以下哪个选项不是二元一次方程组的解？A. \( \begin{cases} x + y = 3 \\ x - y = 1 \end{cases} \)B. \( \begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ 4x - 3y = 7 \end{cases} \)C. \( \begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x - 2y = 1 \end{cases} \)D. \( \begin{cases} x + y = 2 \\ x - y = 0 \end{cases} \)答案：B3. 极限\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)的值是多少？A. 0B. 1C. 2D. \( \frac{\pi}{2} \)答案：B4. 矩阵\( \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)的特征值是？A. 5, -1B. 2, 2C. 6, 2D. 1, 5答案：A5. 根据题目所给的概率分布，求随机变量X的期望值。

P(X=1) = 0.3, P(X=2) = 0.5, P(X=3) = 0.2A. 1.4B. 2.0C. 2.1D. 2.5答案：C二、填空题（每空2分，共10分）6. 若\( \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3} \)，则\( \int_{0}^{1} x^3 dx \)的值是________。

答案：\( \frac{1}{4} \)7. 已知\( \vec{a} = (3, 2) \)，\( \vec{b} = (-1, 4) \)，求向量\( \vec{a} \)和\( \vec{b} \)的点积\( \vec{a} \cdot \vec{b} \)。

专升本(高等数学一)模拟试卷95(题后含答案及解析)

专升本（高等数学一）模拟试卷95(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．设f(0)=0，且f’(0)存在，则A．f’(0)B．2f’(0)C．f(0)D．正确答案：B解析：此极限属于型，可用洛必达法则，即2．设有直线l1:，当直线l1与l2平行时，λ=A．1B．0C．D．一1正确答案：C解析：本题考查的知识点为直线间的关系．直线其方向向量分别为s1={1，2，λ}，s2={2，4，一1}．又l1∥l2，则．故选C3．设∫0xf(t)dt=xsinx，则f(x)= ( )A．sin x+xcos xB．sin x—xcos xC．xcos x—sin xD．一(sin x+xcosx)正确答案：A解析：在∫0xf(t)dt=xsin x两侧关于x求导数，有f(x)=sin x+xcos x．故选A 4．设f’(x)=sin2x，则f’(0)= ( )A．一2B．一1C．0D．2正确答案：D解析：由f(x)=sin2x可得f’(x)=cos2x.(2x)’=2cos2x，f’(0)=2cos0=2．故选D5．设z=xy+y，A．e+1B．C．2D．1正确答案：A解析：因为=elne+1=e+1．故选A6．设函数f(x)在区间[x，1]上可导，且f’(x)＞0，则( )A．f(1)＞f(0)B．f(1)＜f(0)C．f(1)=f(0)D．f(1)与f(0)的值不能比较正确答案：A解析：由f’(x)＞0说明f(x)在[0，1]上是增函数，因为1＞0，所以f(1)＞f(0)．故选A7．曲线y=x-3在点(1，1)处的切线斜率为( )A．一1B．一2C．一3D．一4正确答案：C解析：由导数的几何意义知，若y=f(x)可导，则曲线在点(x0，f(x0))处必定存在切线，且该切线的斜率为f’(x0)．由于y=x-3，y’=一3x-4，y’|x=1=一3，可知曲线y=x-3在点(1，1)处的切线斜率为一3．故选C8．方程x2+2y2一z2=0表示的二次曲面是( )A．椭球面B．锥面C．旋转抛物面D．柱面正确答案：B解析：对照二次曲面的标准方程，可知所给曲面为锥面．故选B9．设y1，y2为二阶线性常系数微分方程y”+p1y’+p2y=0的两个特解，则C1y1+C2y2 ( )A．为所给方程的解，但不是通解B．为所给方程的解，但不一定是通解C．为所给方程的通解D．不为所给方程的解正确答案：B解析：如果y1，y2这两个特解是线性无关的，即≠C，则C1y1+C2y2是其方程的通解．现在题设中没有指出是否线性无关，所以可能是通解，也可能不是通解．故选B10．设un≤avn(n=1，2，…)(a＞0)，且A．必定收敛B．必定发散C．收敛性与a有关D．上述三个结论都不正确正确答案：D解析：由正项级数的比较判定法知，若un≤vn，则当发散时，则也发散，但题设未交待un与vn 的正负性，由此可分析此题选D填空题11．正确答案：2解析：由于所给极限为型极限，由极限的四则运算法则有12．比较积分大小：∫12ln xdx__________∫12(ln x)3dx．正确答案：＞解析：因为在[1，2]上ln x＞(ln x)3，所以∫12ln xdx＞∫12(ln x)3dx．13．设，则y’=_______．正确答案：解析：14．设z=y2x，则正确答案：2xy2x-1解析：只需将x看作常数，因此y2x可看作是幂函数，故15．设y=，则其在区间[0，2]上的最大值为_______．正确答案：解析：所以y在[0，2]上单调递减．于是ymax=y|x=0=16．微分方程y”+y’+y=0的通解为________．正确答案：(其中C1,C2为任意常数)解析：征方程为r2+r+1=0，解得：17．设曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，则该切线方程为_________．正确答案：y=f(1)解析：因为曲线y=f(x)在(1，f(1))处的切线平行于x轴，所以y’(1)=0，即斜率k=0，则此处的切线方程为y-f(1)=0(x-1)=0，即y=f(1)．18．过点M0(1，一2，0)且与直线垂直的平面方程为_________．正确答案：3(x一1)一(y+2)+z=0(或3x—y+z=5)解析：因为直线的方向向量s={3，一1，1}，且平面与直线垂直，所以平面的法向量n={3，一1，1}．由点法式方程有平面方程为：3(x一1)一(y+2)+(z一0)=0，即3(x一1)一(y+2)+z=0．19．级数的收敛区间为______．(不包括端点)正确答案：(1，3)解析：即当|x一2|＜1时收敛，所以有一1＜x一2＜1，即1＜x＜3．故收敛区间为(1，3)．20．设二元函数z=ln(x+y2)，则正确答案：dx解析：由于函数z=ln(x+y2)的定义域为x+y2＞0．在z的定义域内为连续函数，因此dz存在，且解答题21．求函数，在点x=0处的导数y’|x=0．正确答案：22．正确答案：利用洛必达法则：23．设，求所给曲线的水平渐近线与铅直渐近线．正确答案：由，可知y=2为水平渐近线；由可知x=0为铅直渐近线．24．求由曲线y=2一x2，y=x(x≥0)与直线x=0所围成的平面图形绕x轴旋转一周所生成的旋转体体积．正确答案：由平面图形a≤x≤b，0≤y≤y(x)所围成的平面图形绕x轴旋转一周所生成的旋转体体积为Vx=π∫aby2(x)dx．画出平面图形的草图(如图所示)，则所求体积为0≤x≤1，0≤y≤2一x2所围成的平面图形绕x轴旋转一周所生成的旋转体体积减去0≤x≤1，0≤y≤x所围成的平面图形绕x轴旋转一周所生成的旋转体体积．V=π∫01[(2一x2)2-x2]dx=π∫01(4—5x2+x4)dx25．将f(x)=展开为x的幂级数．正确答案：所给f(x)与标准展开级数中的形式不同，由于26．计算，其中D如图所示，由y=x，y=1与y轴围成．正确答案：27．证明方程3x一1一=0在区间(0，1)内有唯一的实根．正确答案：令f(x)=则f(x)在区间[0，1]上连续．根据连续函数的介值定理，函数f(x)在区间(0，1)内至少有一个零点，即所给方程在(0，1)内至少有一个实根．又，当0≤x≤1时，f’(x)＞0．因此，f(x)在[0，1]上单调增加，由此知f(x)在区间(0，1)内至多有一个零点．综上可知，方程在区间(0，1)内有唯一的实根．28．设f(x)=x3+1一x∫0xf(t)dt+∫0xtf(t)dt，其中f(x)为连续函数，求f(x)．正确答案：将所给表达式两端关于x求导，得f’(x)=3x2一∫0xf(t)dt-xf(x)+xf(x)=3x2一∫0xf(t)dt，两端关于x再次求导，得f”(x)=6x一f(x)即f”(x)+f(x)=6x．将此方程认作为二阶常系数非齐次线性微分方程，相应的齐次微分方程的特征方程为r2+1=0．特征根为r1=i，r2=-i．齐次方程的通解为C1cos x+C2sin x．设非齐次方程的一个特解为f0(x)．由于α=0不为特征根，可设f0(x)=Ax，将f0(x)代入上述非齐次微分方程可得A=6．因此f0(x)=6x．非齐次方程的通解为f(x)=C1cosx+C2sin x+6x由初始条件f(0)=1，f’(0)=0，可得出C1=1，C2=一6．故f(x)=cosx一6sin x+6x为所求函数．。

湖北省专升本(高等数学)模拟试卷9(题后含答案及解析)

湖北省专升本（高等数学）模拟试卷9(题后含答案及解析) 全部题型 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题 6. 证明题填空题1．设函数f(x)=，则f(－x)=________．正确答案：解析：2．设则g[f(x)]=________．正确答案：解析：3．设(x≠－1)，则f’(1)=________．正确答案：1解析：4．函数f(x)=ln(arcsinx)的连续区间是________．正确答案：(0，1]解析：f(x)=lnarcsinx的连续区间就是它的定义区间(0，1]．5．设f(x)=(x－1)｜x－1｜，则f’(1)=________．正确答案：0解析：6．由方程yx=xy所确定的隐函数y=(x)的导数=________．正确答案：解析：方程yx=xy 改写为yx－xy=0．令F=yx－xy，Fx=yxlny－yxy－1，Fy=zyx－1－xylnx，则也可以方程两边取对数后，直接对x求导．7．若f(x)是可导函数，y=f(sin2x)+f(cos2x)，则y’=________．正确答案：sin2x=[f’(sin2x)－f’(cos2x)]解析：y=f(sin2x)+f(cos2x)则y’=f’(sin2x).2sinx.cosx+f’(cos2x).2cosx(－sinx) =sin2x[f’(sin2x)－f’(cos2x)]．8．曲面2x3－yez－ln(z+1)=0在点(1，2，0)处的切平面方程为________．正确答案：6x－y－3z－4=0解析：令F(x，y，z)=2x3－yez－ln(z+1)，则曲面上任一点处的切平面的法向量为：n=｛Fx，Fy，Fz｝=｛6x2，－ez，－yez－｝于是，点(1，2，0)处的切平面的法向量为n1=｛6，－1，－3｝，故切平面的方程为：6(x－1)－(y－2)－3(x－0)=0 即6x－y－3z－4=0．9．设y=f(x)是方程y’’－2y’+4y=0的一个解，若f(x0)＞0，且f(x0)=0，则函数在x0有极________值．正确答案：大解析：由已知f’’(x0)=2f’(x0)－4f(x0)＜0．故f(x)在x0取极大值．10．满足f’(x)+xf’(－x)=x的函数f(x)是________．正确答案：ln(1+x2)+x－arctanx+C解析：已知f’(x)+xf’(－x)=x，令x取值－x，得f’(x－)－xf’(x)=－x，联立两方程，解得f’(x)=11．定积分∫－ππ(x2+sinx)dx=________．正确答案：解析：12．已知a，b，c为非零向量，目两两不平行，但a+b与c平行，b+c与a 平行，则a+b+c=________．正确答案：0解析：已知a，b，c为非零向量，且两两不平行，但(a+b)∥c，(b+c)∥a．则0=(a+b)×c=a×c+b×c=a×c+b×c+c×c=(a+b+c)×c 0=(b+c)×a=b×a+c×a=a×a+b×a+c×a=(a+b+c)×a．由此a+b+c既与c平行又与a平行，而a c，故a+b+c必为0．13．u==________．正确答案：解析：14．交换二次积分次序∫01dx∫0xf(x，y)dy=________．正确答案：∫01dy∫1yf(x，y)dx解析：首先根据已知二次积分∫01dy∫xyf(x，y)dy画出积分区域D，已知二次积分把D看做X型．我们把它看做Y型．则原式=∫01dy∫1yf(x，y)dx．15．微分方程y’’－6y’+9y=0的通解为________．正确答案：y=e3x(C1+C2x)解析：y’’－6y’+9y=0 对应的特征方程为r2－6r+9=0．得特征根为r1，2=3．故微分方程的通解为y=C1e3x+C2xe3x=e3x(C1+C2x)．解答题解答时应写出推理、演算步骤。

专升本(高等数学一)综合模拟试卷1(题后含答案及解析)

专升本（高等数学一）综合模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．极限等于( )A．eB．ebC．eabD．eab+b正确答案：C解析：由于，故选C。

知识模块：极限和连续2．在空间直角坐标系中，方程x2-4(y-1)2=0表示( )A．两个平面B．双曲柱面C．椭圆柱面D．圆柱面正确答案：A解析：由于所给曲面方程x2-4(y-1)2=0中不含z，可知所给曲面为柱面，但是由于所给方程可化为x2=4(y-1)2，进而可以化为x=2(y-1)与-z=2(y-1)，即x-2y+2=0，x+2y-2=0，为两个平面，故选A。

知识模块：空间解析几何3．级数是( )A．绝对收敛B．条件收敛C．发散D．收敛性不能判定正确答案：A解析：依前述判定级数绝对收敛与条件收敛的一般原则，常常先判定的收敛性，由于的p级数，知其为收敛级数，因此所给级数绝对收敛，故选A。

知识模块：无穷级数填空题4．若函数在x=0处连续，则a=________。

正确答案：-2解析：由于(无穷小量乘有界变量)，而f(0)=a+2，由于f(x)在x=0处连续，应有a+2=0，即a=-2。

知识模块：极限和连续5．若f’(x0)=1，f(x0)=0，则=________。

正确答案：-1解析：由于f’(x0)存在，且f(x0)=0，由导数的定义有知识模块：一元函数微分学6．设y=xe+ex+lnx+ee，则y’=________。

正确答案：y’=ee-1+ex+解析：由导数的基本公式及四则运算规则，有y’=ee-1+ex+。

知识模块：一元函数微分学7．曲线y=ex+x上点(0，1)处的切线方程为________。

正确答案：由曲线y=f(x)在其上点(x0，f(x0))的切线公式y-f(x0)=f’(x0)(x-x0)，可知y-1=2(x-0)，即所求切线方程为y=2x+1。

解析：注意点(0，1)在曲线y=ex+x上，又y’=ex+1，因此y’|x=0=2。

专升本(高等数学一)模拟试卷27(题后含答案及解析)

专升本（高等数学一）模拟试卷27(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．设函数为( )．A．0B．1C．2D．不存在正确答案：D解析：本题考查的知识点为极限与左极限、右极限的关系．由于f(x)为分段函数，点x=1为f(x)的分段点，且在x=1的两侧，f(x)的表达式不相同，因此应考虑左极限与右极限．2．设f(x)在点x0处连续，则下列命题中正确的是( )．A．f(x)在点x0必定可导B．f(x)在点x0必定不可导C．必定存在D．可能不存在正确答案：C解析：本题考查的知识点为极限、连续与可导性的关系．函数f(x)在点x0可导，则f(x)在点x0必连续．函数f(x)在点x0连续，则必定存在．函数f(x)在点x0连续，f(x)在点x0不一定可导．函数f(x)在点x0不连续，则f(x)在点x0必定不可导．这些性质考生应该熟记．由这些性质可知本例应该选C．3．等于( )．A．2B．1C．1/2D．0正确答案：D解析：本题考查的知识点为重要极限公式与无穷小性质．注意：极限过程为x→∞，因此不是重要极限形式!由于x→∞时，1/x为无穷小，而sin2x为有界变量．由无穷小与有界变量之积仍为无穷小的性质可知4．设函数y=f(x)的导函数，满足f’(-1)=0，当x＜-1时，f’(x)＜0；x＞-1时，f’(x)＞0．则下列结论肯定正确的是( )．A．x=-1是驻点，但不是极值点B．x=-1不是驻点C．x=-1为极小值点D．x=-1为极大值点正确答案：C解析：本题考查的知识点为极值的第一充分条件．由f’(-1)=0，可知x=-1为f(x)的驻点，当x＜-1时，f’(x)＜0；当x＞-1时，f’(x)＞1，由极值的第一充分条件可知x=-1为f(x)的极小值点，故应选C．5．设函数f(x)=2sinx，则f’(x)等于( )．A．2sinxB．2cosxC．-2sinxD．-2cosx．正确答案：B解析：本题考查的知识点为导数的运算．f(x)=2sinx，f’(x)=2(sinx)’=2cosx，可知应选B．6．设f(x)为连续函数，则等于( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：本题考查的知识点为定积分的性质；牛-莱公式．可知应选D．7．方程x2+y2-z=0表示的二次曲面是( )．A．椭球面B．圆锥面C．旋转抛物面D．柱面正确答案：C解析：本题考查的知识点为二次曲面的方程．将x2+y2-z=0与二次曲面标准方程对照，可知其为旋转抛面，故应选C．8．设z=ln(x2+y)，则等于( )．A．B．C．D．正确答案：A解析：本题考查的知识点为偏导数的计算．由于故知应选A．9．设区域，将二重积分在极坐标系下化为二次积分为( )．A．B．C．D．正确答案：A解析：本题考查的知识点为将二重积分化为极坐标系下的二次积分．由于在极坐标系下积分区域D可以表示为0≤θ≤π，0≤r≤a．因此故知应选A．10．设( )．A．必定收敛B．必定发散C．收敛性与a有关D．上述三个结论都不正确正确答案：D解析：填空题11．正确答案：0解析：本题考查的知识点为无穷小的性质．12．正确答案：2解析：本题考查的知识点为极限的运算．13．正确答案：解析：本题考查的知识点为函数商的求导运算．考生只需熟记导数运算的法则14．正确答案：2解析：本题考查的知识点为二阶导数的运算．f’(x)=(x2)’=2x，f”(x)=(2x)’=2．15．正确答案：解析：本题考查的知识点为定积分的换元法．16．正确答案：2x+3y解析：本题考查的知识点为偏导数的运算．由于z=x2+3xy+2y2-y，可得17．正确答案：F(sinx)+C解析：本题考查的知识点为不定积分的换元法．由于∫f(x)dx=F(x)+C，令u=sinx，则du=cosxdx，18．幂级数的收敛半径为______．正确答案：0解析：本题考查的知识点为幂级数的收敛半径．所给幂级数为不缺项情形因此收敛半径为0．19．微分方程y’+9y=0的通解为______．正确答案：y=Ce-9x解析：本题考查的知识点为求解可分离变量微分方程．分离变量两端分别积分lny=-9x+C1，y=Ce-9x．20．曲线y=x3-6x的拐点坐标为______．正确答案：(0，0)解析：本题考查的知识点为求曲线的拐点．依求曲线拐点的一般步骤，只需(1)先求出y”．(2)令y”=0得出x1，…，xk．(3)判定在点x1，x2，…，xk两侧，y”的符号是否异号．若在xk的两侧y”异号，则点(xk，f(xk)为曲线y=f(x)的拐点．y=x3-6x，y’=3x2-6，y”=6x．令y”=0，得到x=0．当x=0时，y=0．当x＜0时，y”＜0；当x＞0时，y”＞0．因此点(0，0)为曲线y=x3-6x 的拐点．本题出现较多的错误为：填x=0．这个错误产生的原因是对曲线拐点的概念不清楚．拐点的定义是：连续曲线y=f(x)上的凸与凹的分界点称之为曲线的拐点．其一般形式为(x0，f(x0))，这是应该引起注意的，也就是当判定y”在x0的两侧异号之后，再求出f(x0)，则拐点为(x0，f(x0))．注意极值点与拐点的不同之处!解答题21．设y=x2+sinx，求y’．正确答案：由导数的四则运算法则可知y’=(x+sinx)’=x’+(sinx)’=1+cosx．22．求曲线的渐近线．正确答案：由于可知y=0为所给曲线的水平渐近线．由于，可知x=2为所给曲线的铅直渐近线．解析：本题考查的知识点为求曲线的渐近线．注意渐近线的定义，只需分别研究水平渐近线与铅直渐近线：若，则直线y=c为曲线y=f(x)的水平渐近线；若，则直线x=x0为曲线y=f(x)的铅直渐近线．有些特殊情形还需研究单边极限．本题中考生出现的较多的错误是忘掉了铅直渐近线．23．计算不定积分正确答案：解：解析：本题考查的知识点为不定积分运算．只需将被积函数进行恒等变形，使之成为标准积分公式形式的函数或易于利用变量替换求积分的函数．24．设z=z(x，y)由x2+y3+2z=1确定，求正确答案：解析：本题考查的知识点为求二元隐函数的偏导数．若z=z(x，y)由方程F(x，y，z)=0确定，求z对x，y的偏导数通常有两种方法：一是利用偏导数公式，当需注意F’x，F’yF’z分别表示F(x，y，z)对x，y，z的偏导数．上面式F(z，y，z)中将z，y，z三者同等对待，各看做是独立变元．二是将F(x，y，z)=0两端关于x求偏导数，将z=z(x，y)看作为中间变量，可以解出同理将F(x，y，z)=0两端关于y求偏导数，将z=z(x，y)看作中间变量，可以解出25．计算，其中区域D满足x2+y2≤1，x≥0，y≥0．正确答案：积分区域D如图2-1所示．解法1 利用极坐标系．D 可以表示为：解法 2 利用直角坐标系．D可以表示为：解析：本题考查的知识点为计算二重积分；选择积分次序或利用极坐标计算．26．求由曲线y=3-x2与y=2x，y轴所围成的平面图形的面积及该封闭图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积．正确答案：所给曲线围成的平面图形如图1-3所示．解法1 利用定积分求平面图形的面积．由于的解为x=1，y=2，可得解法 2 利用二重积分求平面图形面积．由于的解为x=1，y=2，求旋转体体积与解法1同．解析：本题考查的知识点有两个：利用定积分求平面图形的面积；用定积分求绕坐标轴旋转所得旋转体的体积．本题也可以利用二重积分求平面图形的面积．27．求，其中区域D是由曲线y=1+x2与y=0，x=0，x=1所围成．正确答案：积分区域D如图1-4所示．D可以表示为0≤x≤1，0≤y≤1+x2．解析：本题考查的知识点为计算二重积分，选择积分次序．如果将二重积分化为先对x后对y的积分，将变得复杂，因此考生应该学会选择合适的积分次序．28．将f(x)=ln(1+x2)展开为x的幂级数．正确答案：由于因此解析：本题考查的知识点为将函数展开为幂级数．考试大纲中指出“会运用ex，sinx，cosx，ln(1+x)，的麦克劳林展开式，将一些简单的初等函数展开为x或(x-x0)的幂级数．”这表明本题应该将ln(1+x2)变形认作ln(1+x)的形式，利用间接法展开为x的幂级数．本题中考生出现的常见错误是对ln(1+x2)关于x的幂级数不注明该级数的收敛区间，这是要扣分的．。

江苏省专转本(数学)模拟试题及参考答案(一)

江苏省普通高校专转本模拟试题及参考答案高等数学试题卷一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 4 分,共 32 分.在下列每小题中选出一个正确答案，请在答题卡上将所选项的字母标号涂黑）1. 要使函数21()(2)xx f x x −−=−在区间(0,2) 内连续，则应补充定义 f (1) =（）A. 2eB. 1e −C. eD. 2e − 2. 函数2sin ()(1)xf x x x =−的第一类间断点的个数为（）A. 0B. 2C. 3D. 1 3. 设'()1f x =，则0(22)(22)limh f h f h h→−−+=（）A. 2−B. 2C. 4D. 4−4.设()F x 是函数()f x 的一个原函数，且()f x 可导，则下列等式正确的是（） A. ()()dF x f x c =+∫ B. ()()df x F x c =+∫ C.()()F x dx f x c =+∫ D.()()f x dx F x c =+∫5. 设2Dxdxdy =∫∫，其中222{(,)|,0}D x y x y R x =+≤>，则R 的值为（）A. 1B.D.6.下列级数中发散的是（）A 21sin n nn∞=∑. B. 11sin n n ∞=∑C. 1(1)nn ∞=−∑ D.211(1)sinnn n ∞=−∑ 7.若矩阵11312102A a −−= 的秩为2，则常数a 的值为（）A. 0B. 1C. 1−D. 28. 设1100001111111234D =−−，其中ij M 是D 中元素ij a 的余子式，则3132M M +=（） A. 2− B. 2 C. 0 D. 1 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 9. 1lim sinn n n→∞=____________________________.10.设函数2sin ,0()10,0xx f x x x ≠ =+ =，则'(0)f =______________________________________.11.设函数()cos 2f x x =, 则(2023)(0)f =__________________________________________. 12.若21ax e dx −∞=∫，则常数a =___________________________________.13. 若幂级数1nnn a x +∞=∑的收敛半径为2，则幂级数11(1)nn n x a +∞=−∑的收敛区间为__________________. 14.若向量组1(1,0,2,0)α=，2(1,0,0,2)α=，3(0,1,1,1)α=，4(2,1,,2)k α=线性相关，则k =_____________________________________.三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分） 15. 求极限22sin lim(cos 1)x x t tdtx x →−∫；16.求不定积分22x x e dx ∫；17.求定积分21sin 2x dx π−∫； 18.设函数(,)z z x y =由方程cos y x e xy yz xz =+++所确定的函数，求全微分dz . 19.求微分方程''4'5x y y y xe −−−=的通解； 20.求二重积分Bxydxdy ∫∫，其中D 为由曲线2(0)y x x ≥及直线2x y +=和y 轴所围成的平面闭区域；21.设矩阵A 与B 满足关系是2AB A B =+，其中301110014A= ，求矩阵B .22.求方程组12341234123436536222x x x x x x x x x x x x ++−=−++=− −+−= 的通解；四、证明题（本大题10分）23.证明：当04x π−<<时，0sin xt e tdt x <∫.五、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）24.求曲线x =及直线2y =与y 轴所围成的平面图形的面积并计算该图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积..25.设定义在(,)−∞+∞上的函数()f x 满足方程'()()f x f x x −=，且(0)0f =，求：（1）函数()f x 的解析式；（2）曲线()y f x =的单调区间和极值点.参考答案一、单项选择题1. B2. D3. D4. D5. B6. B7. A8. B9. C 二、填空题9. 1 10. 1 11. 0 12. 1ln 2213. (1,3)− 14. 4三、计算题15. 2232022250022sin sin 2sin()4lim lim 4lim (1cos )63()2x x x x x t tdt t tdt x x x x x x x →→→===−∫∫； 16. 2222222222222222222224x x x x x x x xxe e x e e e x e e e x e dx x x dx x dx x c =−=−+=−++∫∫∫；17.26206111sin (sin )(sin )22212x dx x dx x dx πππππ−=−+−−∫∫∫； 18. 因为sin sin ,,z zz x y zx y yz x x x x y x ∂∂∂−−−−=+++=∂∂∂+ 且0,y yz zz e x z e x z y x y yy y x∂∂∂−−−=++++=∂∂∂+ 所以可得sin y x y z e x zdzdx dy y x y x−−−−−−=+++. 19. 解：因为特征方程为2450r r −−=，特征值为125,1r r ==−，所以齐次微分方程''4'50y y y −−=的通解为5112x x y c e c e −=+；设''4'5x y y y xe −−−=的一个特解为*()x y x ax b e −=+，可得11*()1236x y x x e −=−+，所以原方程的通解为：511211*()1236x x x y y y c e c e x x e −−=+=+−+.20. 由22y x x y =+= 可得交点坐标(11)，，可得21116xBxydxdydx xydy ==∫∫∫∫； 21. 因为2AB A B =+，所以可得(2)A E B A −=，从而可得：1(2)B A E A −=−；又因1211(2)221111A E −−−−=−−− ，所以可得1522(2)432223B A E A −−− =−=−− − ； 22.求方程组12341234123436536222x x x x x x x x x x x x ++−=−++=− −+−= 的通解；解：111361113611136101241513601012010120101212212031240011200112100120101200112−−−−−−→−→−→− −−−−−−− →− − 一个特解为2220 ，齐次线性方程组12341234123430530220x x x x x x x x x x x x ++−=−++= −+−= 的一组基础解系为：11111η= ，所以原方程组的通解为：123412121210x x c x x=+. 四、证明题 23.证明：当04x π−<<时，0sin xt e tdt x <∫.证明：令0()sin xt f x x e tdt =−∫，则有'()1sin x f x e x =−，令：''()sin cos 0x x f x e x e x =−−=，可得4x π=−，当04x π−<<，''()0f x <，所以当04x π−<<时，'()1sin x f x e x =−为递减函数，可得'()1sin '(0)1x f x e x f =−>=，所以当04x π−<<时，0()sin xt f x x e tdt =−∫为递增函数，因此可得：0()sin (0)0xt f x x e tdt f =−>=∫，从而可证得：0sin x t e tdt x <∫；五、综合题 24.求曲线x =及直线2y =与y 轴所围成的平面图形的面积并计算该图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积..解：x x y = ⇒ =，则图形面积为：20Aydx dx = 旋转体的体积：2222200022y V x dy ydy ππππ====∫∫； 25.设定义在(,)−∞+∞上的函数()f x 满足方程'()()f x f x x −=，且(0)0f =，求：（1）函数()f x 的解析式；（2）曲线()y f x =的单调区间和极值点. 解：（1）()()()1dxdxx x x f x e xe dx c e xe dx c x ce −−−−−∫∫=+=+=−++∫∫，又因为(0)0f =，所以可得：1c =−，即：()1x f x x e −=−+−；（2）令'()10x f x e −=−+=，可得0x =； x(,0)−∞ 0 (0,)+∞ '()f x −+因此可知：(,0)−∞为函数()1x f x x e −=−+−的递减区间，(0,)+∞为函数()1x f x x e −=−+−的递增区间，点(0,0)为函数()1x f x x e −=−+−的极小值点.。

湖北省专升本(高等数学)模拟试卷13(题后含答案及解析)

湖北省专升本（高等数学）模拟试卷13(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题 6. 证明题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．函数y=arcsin的定义域为( )A．[－1，1]B．[0，1]C．(－∞，1]D．[－2，1]正确答案：B解析：要使函数有意义，须，求解得：0≤x≤1，选项B正确．2．函数f(x)=2－xcosx在[0，+∞)内是( )A．偶函数B．单调函数C．有界函数D．奇函数正确答案：C解析：因f(－x)=2xcosx≠f(x)，也不等于－f(x)，即f(x)非奇非偶，选项A、D错误；事实上，x≥0时，0＜2－x≤1，而cosx处处有界，进而2－xcosx是x ≥0区间内的有界函数，选项C正确．又f’(x)=2－x.(－1)ln2.cosx+2－x.(－sinx)=－2－x(ln2.cosx+sinx)，在x≥0的区间内，f’(x)有正、有负，进而f(x)无一致的单调性．3．当x→0时，x－arctanx是x2的( )A．高阶无穷小B．低阶无穷小C．等价无穷小D．同阶无穷小，但非等价无穷小正确答案：A解析：因所以x→0时，x－arctanx是比x2高阶无穷小，选项A正确．4．对于函数y=，下列结论正确的是( )A．x=－1是第一类间断点，x=1是第二类间断点；B．x=－1是第二类间断点，x=1是第一类间断点；C．x=－1是第一类间断点，x=1是第一类间断点；D．x=－1是第二类间断点，x=1是第二类间断点；正确答案：C解析：首先肯定，x=±1皆为函数的间断点，因此两点处函数皆无定义．又x→1时，y→0，所以x=－1是函数的第一类间断点；又x→1+时，y→－π；x →1－时，y→π；故x=1也为函数的第一类间断点．故选项C正确．5．设f(x)在x=1处可导，且f’(1)=1，则= ( )A．B．1C．2D．4正确答案：A解析：因f’(1)=1．所以6．函数y=x4－4x上切线平行于x轴的点为( )A．(0，0)B．(1，1)C．(1，－3)D．(2，8)正确答案：C解析：令y’=4x3－4=0，得x=1，于是所求的点为(1，f(1))，即(1，－3)．7．设f(u)可导，且y=f(ex)，则dy= ( )A．f’(ex)dxB．f’(ex).exdxC．f’(ex)D．f(ex)dx正确答案：B解析：因y=f(ex)，故dy=f’(ex).exdx，选项B正确．8．设f(x)=ln(x+1)在[0，1]上满足拉格朗日中值定理的条件，则定理结论中的ξ=( )A．ln2B．ln2－1C．D．正确答案：C解析：因定理结论为：f(b)－f(a)=f’(ξ)(b－a)，(a＜ξ＜b)所以，对已知的函数及区间，应有：ln2－lnl=(1－0)，进而ξ=－1；选项C正确．9．函数u=x+在[－5，1]上的最大值为( )A．B．C．D．正确答案：B解析：因y’=1－，于是得y’=0，得驻点x=，又有不可导点：x=1．进而计算点x=，x=1，x=－5处的函数值有：；f(1)=1，f(－5)=－5+，故函数在[－5，1]上的最大值为，选项B正确．10．函数f(x)=x－极值点的个数是( )A．1B．2C．3D．4正确答案：B解析：因f’(x)=，于是，f(x)有驻点x=1；有不可导点x=0．对于点x=0：当－∞＜x＜0，f’(x)＞0；0＜x＜1时f’(x)＜0，故x=0为f(x)的一个极大值点；f’’(x)＞0，故x=1为f(x)的一个极小值点．对于点x=1：当0＜x＜1时，f’(x)＜0；x＞1时综上所述，故f(x)的极值点有2个．11．设∫f(x)dx=x2e2x+C，则f(x)= ( )A．2xe2xB．2x2e2xC．2x(1+x)e2xD．正确答案：C解析：由不定积分的概念知，f(x)=(x2.e2x+C)=2x.e2x+x2.e2x.2=2x(1+x)e2x，选项C正确．12．设f(x)=e－x，则= ( )A．+CB．－lnx+CC．+CD．lnx+C正确答案：C解析：因=∫f’(lnx)d(lnx)=f(lnx)+C，又f(x)=e－x，故=e－lnx+C++C，故选项C正确．13．= ( )A．arctanxB．C．arctanb－arctanaD．0正确答案：D解析：因为定积分∫abarctanxdx是一常数，所以其导数为0，选项D正确．14．设f(x)连续，F(x)=f(t2)dt，则F’(x)= ( )A．f(x4)B．x2f(x4)C．2xf(x4)D．2xf(x2)正确答案：C解析：F’(x)=f(x4).(x2)’=2xf(x4)，故选项C正确．15．下列式子正确的是( )A．∫12lnxdx＞∫12(lnx)2dxB．∫12lnxdx=∫34lnxdxC．∫34lnxdx＞∫34(lnx)2dxD．∫12(lnx)2dx=∫34(lnx)dx正确答案：A解析：因当1＜x＜2时，0＜lnx＜1，进而，lnx＞ln2x，于是由定积分的不等性有：∫12lnxdx＞∫12ln2xdx，故选项A正确；而当3＜x＜4时，1＜lnx＜2，进而，lnx＜ln2x，于是∫34lnxdx＜∫34ln2xdx，选项C错误；而对于B选项，由于lnx为递增函数，且1＜x＜2时，0＜lnx＜1；3＜x＜4时，1＜lnx＜2，故∫12lnxdx＜∫34lnxdx，所以B错误；D选项也错误，因∫12ln2xdx＜∫12lnxdx＜∫34lnxdx．16．设，则∫01f(x)dx= ( )A．B．1－ln2C．1D．ln2正确答案：D解析：因，从而，∫01f(x)dx==ln(1+x)｜01=ln2．选项D正确．17．空间直线与平面4x+3y+3z+1=0的位置关系是( )A．互相垂直B．互相平行C．不平行也不垂直D．直线在平面上正确答案：B解析：因空间直线的方向向量s=｛3，1，－5｝；而平面4x+3y+3z+1=0的法向量n={4，3，3}，于是s.n=3×4+1×3+(－5)×3=0，从而，s⊥n；又取直线上的点(－2，2，－1)，代入平面方程验证可知，点(－2，2，－1)不在已知的平面内，故直线与平面平行，而不在平面内．选项B正确．18．方程z=x2+y2表示的二次曲面是( )A．椭球面B．柱面C．圆锥面D．抛物面正确答案：D解析：该曲面z=x2+y2可看做曲线绕z轴旋转形成的旋转抛物面．19．已知z=，n∈N+，则= ( )A．1B．nC．D．以上都不对正确答案：C解析：20．设z=exy，则dz= ( )A．exy(xdx+ydy)B．exy(xdx－ydy)C．exy(ydx+xdy)D．exy(ydx－xdy)正确答案：C解析：因z=exy，故dz=exy(ydx+xdy)，选项C正确．21．设I=，交换积分次序后，I= ( )A．B．C．D．正确答案：A解析：因积分区域d为：，如图所示．区域D又可表示为：，故积分I交换积分次序后为I=∫04dy f(x，y)dx，选项A正确．22．二次积分∫01dx∫01ex+ydy= ( )A．e－1B．2(e－1)C．(e－1)2D．e2正确答案：C解析：∫01dx∫01ex+ydz=∫01exdx∫01eydy=(e－1)2．23．积分区域D为x2+y2≤1，则xdxdy= ( )A．0B．1C．D．正确答案：A解析：积分区域D：x2+y2≤1可用极坐标表示为：从而=0，选项A正确．24．设L为抛物线y=x2上从点A(0，0)到点B(2，4)的一段弧，则∫L(x－2xy2)dx+(y－2x2y)dy= ( )A．54B．－54C．45D．－45正确答案：B解析：将路径L的方程代入曲线积分的被积表达式中计算∫L(x－2xy2)dx+(y－2x2y)dy=∫02[(x－2x5)+2(x2－2x4)x]dx =∫02(x+2x3－6x5)dx==－54．25．下利级数中，收敛的是( )A．B．C．D．正确答案：C解析：对于选项A：un=，显然，于是级数具有相同的敛散性；而是p－级数，发散，故A选项中的级数发散；对于选项B：，故级数发散；对于选项C：，即选项C中的级数是公比大于0小于1的等比级数，收敛；对于选项D：，故级数发散．仅选项C正确．26．下列级数中，绝对收敛的是( )A．B．C．D．正确答案：A解析：对于选项A：其绝对值级数为，这是p=＞1的p-级数，故收敛，即原级数绝对收敛，选项A为正确选项．对于选项B：un=，显然，un0，(n→∞)，故该级数发散；对于选项C：其绝对值级数为，因发散，故绝对值级数也发散，即原级数不绝对收敛；对于选项D：其绝对值级数为，这是p=＜1的p-级数，发散，即原级数不绝对收敛．27．幂级数的收敛区域为( )A．(0，2)B．(0，2]C．[0；2)D．[0，2]正确答案：D解析：这四个选项中，区间端点相同，故只须验证级数在区间端点是否收敛即可得答案．对于x=0，对应的数项级数为：，这是绝对收敛的级数，即幂级数在x=0处收敛；对于x=2，对应的数项级数为：，这是绝对收敛的级数，即幂级数在x=0处收敛；对于x=2，对应的数项级数为：，这是p=2＞1的p-级数，收敛，故收敛域为闭区间[0，2]，选项D正确．28．下列微分方程中，为一阶线性方程的是( )A．y’’=exB．y’+x2y=cosxC．y’=xeyD．yy’=x正确答案：B解析：选项A中的方程是二阶微分方程，不合要求；选项B中的方程，是一阶微分方程且x2y皆为一次的表达式，该方程符合要求；选项C中的方程中，含y的指数运算，不是线性运算，不合要求；选项D中，含yy’项，不是线性．29．微分方程yy’=x2满足初始条件y｜x=0的特解为( )A．B．C．D．正确答案：A解析：原方程可化为：(y2)’=x2，于是方程的通解为：，将初始条件y｜x=0=2代入通解中，得C=2，故特解为：．选项A正确．30．微分方程y’’+2y’+y=0的通解为( )A．y=Ce－xB．y=C1e－x+C2C．y=(C1+C2x)D．y=e－x(C1+C2x)正确答案：D解析：因微分方程的特征方程为：r2+2r+1=0，于是有特征根：r1．2=－1，故微分方程的通解为：y=(C1+C2x).e－x．选项D正确．填空题31．极限=________．正确答案：解析：32．设函数f(x)=在(－∞，+∞)上连续，则a=________．正确答案：-1解析：=1+2a，令1+2a=a，则a=－1，即当a=－1时，f(x)在x=0处连续，进而区间(－∞，+∞)上连续．33．若f(x)=且g(0)=g’(0)=0，则f’(0)=________．正确答案：0解析：f’(0)==0(根据无穷小量与有界变量乘积仍为无穷小量)．34．已知函数f(x)=(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)，则方程f’(x)=0有________个根．正确答案：3解析：函数f(x)在闭区间[1，2]上满足罗尔定理的条件，则至少存在一点ξ1∈(1，2)，使f’(ξ1)=0，即方程f’(x)=0在区间(1，2)上至少有一个根，同理f’(x)=0在区间(2，3)，(3，4)上分别至少各存在一根，再由于f’(x)为三次多项式，即方程f’(x)=0至多有三个根．综上所述，方程f’(x)=0有三个根分别位于区间(1，2)，(2，3)，(3，4)内．35．设函数y=y(x)由方程ln(x2+y2)=x3y+sinx确定，则=________．正确答案：1解析：方程两端y对x求导(2x+y’)=3x2y+x3y’+cosx，当x=0时，y=1，代入可得y’｜x=0=1．36．不定积分=________．正确答案：ln｜sinx+cosx｜+C解析：d(sinx+cosx)=ln｜sinx+cosx｜+C．37．设f(t)dt=x(x＞0)，f(x)连续，则f(2)=________．正确答案：解析：方程两端对x求导：f(x2+x3).(2x+3x2)=1，取x=1，则f(2)=38．曲线y=xe－x的单调增区间为________，凸区间为________．正确答案：(－∞，1)，(－∞，2)解析：因y=xe－x，所以y’=e－x－xee－x=(1－x)e－x，y’’=e－x－(1一x)e－x=(x－2)e－x 令y’＞0，得曲线的递增区间为(－∞，1)；令y’’＜0，得曲线的凸区间为(－∞，2)．39．方程表示________．正确答案：两条平行直线解析：由于圆柱面x2+y2=4的母线平行z轴且被一平行z轴的平面y=1去截，显然截痕为两条平行直线。

专升本(高等数学一)模拟试卷100(题后含答案及解析)

专升本（高等数学一）模拟试卷100(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．当x→0时，无穷小x+sinx是比xA．高阶无穷小B．低阶无穷小C．同阶但非等价无穷小D．等价无穷小正确答案：C解析：因=2，所以选C。

2．设函数f(x)在点x0的某邻域内可导，且f(x0)为f(x)的—个极小值，则等于A．一2B．0C．1D．2正确答案：B解析：因f(x)在x=x0处取得极值，且可导．于是f’(x0)=0．又3．设函数f(x)=，则f’(x)等于A．B．C．D．正确答案：C4．函数y=x-arctanx在(一∞，+∞)内A．单调增加B．单调减少C．不单调D．不连续正确答案：A解析：因y=x—arctanx，则y’=1一于是函数在(一∞，+∞)内单调增加．5．设∫f(x)dx=ex+C,则∫xf(1一x2)dx为A．B．C．D．正确答案：D解析：6．设ψ(x)=则ψ’(x)等于A．tanx2B．tanxC．sec2x2D．2xtanx2正确答案：D解析：因tantdt是复合函数，于是ψ’(x)=tanx2．2x=2xtanx2．7．下列反常积分收敛的A．B．C．D．正确答案：D解析：当p≤1时发散，p＞1时收敛，可知应选D.8．级数A．绝对收敛B．条件收敛C．发散D．无法确定敛散性正确答案：C解析：级数的通项为此级数为p级数．又因所以级数发散．9．方程x2+y2=R2表示的二次曲面是A．椭球面B．圆柱面C．圆锥面D．旋转抛物而正确答案：D解析：由方程特征知，方程x2+y2=R2表示的二次曲面是圆柱面．10．曲线A．有水平渐近线，无铅直渐近线B．无水平渐近线，有铅直渐近线C．既有水平渐近线，又有铅直渐近线D．既无水平渐近线，也无铅直渐近线正确答案：C填空题11．函数F(x)=(x＞0)的单调递减区间是________．正确答案：解析：12．设f”(x)连续，正确答案：yf”(xy)+f’(x+y)+yf”(x+y)解析：13．设D是圆域x2+y2≤a2，则I=________．正确答案：0解析：用极坐标计算．14．设f(x)=ax3一6ax2+b在区间[一1，2]的最大值为2，最小值为一29，又知a＞0．则a，b的取值为_________．正确答案：解析：f’(x)=3ax2一12ax，f’(x)=0，则x=0或x=4．而x=4不在[一1．2]中，故舍去．f”(x)=6ax一12a，f”(0)=一12a．因为a＞0，所以f”(0)＜0，所以x=0是极值点．又因f(一1)=一a一6a+b=b一7a，f(0)=b，f(2)=8a一24a+b=b—16a，因为a＞0，故当x=0时，f(x)最大，即b=2；当x=2时，f(x)最小．所以b一16a=一29，即16a=2+29=31．15．设曲线则该曲线的铅直渐近线为_______．正确答案：x=一1解析：16．当p_______时，级数收敛.正确答案：＞1解析：当p＞1时收敛，由比较判别法知p＞1时，17．求正确答案：解析：18．幂级数的收敛半径R=_______．正确答案：1解析：19．方程y”一2y’+5y=exsin2x的特解可没为y*=________．正确答案：xex(Asin2x+Bcos2x)解析：由特征方程为r2一2r+5=0，得特征根为1±2i，而非齐次项为exsin2x，因此其特解应设为y*=Axexsin2x+Bxexcos2x=xex(Asin2x+Bcos2x)．20．正确答案：解析：解答题21．确定函数f(x，y)=3axy-x3-y3(a＞0)的极值点．正确答案：在(0，0)点，△＞0，所以(0，0)不是极值点．在(a，a)点，△＜0．且一6a＜0(a＞0)．故(a，a)是极大值点．22．正确答案：23．讨论级数的敛散性．正确答案：因所以级数收敛．24．正确答案：25．证明：ex＞1+x(x＞0)．正确答案：对F(x)=ex在[0，x]上使用拉格朗日中值定理得F(x)-F(0)=F’(ξ)x，0＜ξ＜x，因F’(ξ)=eξ＞1，即故ex＞x+1(x＞0)．26．设x＞0时f(x)可导，且满足f(x)=f(t)dt，求f(x)．正确答案：因f(x)=可导，在该式两边乘x得xf(x)=x+∫1xf(t)dt，两边对x求导得f(x)+xf’(x)=1+f(x)，则f(x)=lnx+C，再由x=1时．f(1)=1．得C=1，故f(x)=lnx+1．27．求方程y”-2y’+5y=ex的通解．正确答案：y”一2y’+5y=0的特征方程为r2一2r+5=0。

专升本(高等数学二)模拟试卷46(题后含答案及解析)

专升本（高等数学二）模拟试卷46(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．设函数f(x)在(-∞，+∞)上可导，且f(x)=e-2+，则f’(x)等于( ) A．-2e-2x+3B．C．-e-2xD．-2e-2x正确答案：D解析：因为是定值，其导数应为零．2．在下列函数中，当x→0时，函数f(x)的极限存在的是( )A．B．C．D．正确答案：C解析：A项：=20=1，∴当x→0时极限不存在；B 项：=1，∴当x→0时极限不存在；C项：，∴当x→0时极限存在；D项：，极限不存在．3．下列反常积分收敛的是( )A．B．C．D．正确答案：C解析：4．设f(x)的一个原函数为x2，则f(x)等于( )A．B．C．D．正确答案：B解析：5．如果∫df(x)=∫dg(x)，则下列各式中不一定成立的是( )A．f(x)=g(x)B．f’(x)=g’(x)C．df(x)=dg(x)D．d∫f’(x)dx=d∫g’(x)dx正确答案：A解析：当f(x)=g(x)+C时，仍有∫df(x)=∫d[g(x)+C]=∫dg(x)．6．根据f(x)的导函数f’(x)的图象(如图所示)，判断下列结论正确的是( )A．在(-∞，1)上f(x)是单调递减的B．在(-∞，2)上f(x)是单调递减的C．f(1)为极大值D．f(1)为极小值正确答案：C解析：本题的关键是图象所代表的几何意义：在x轴上方的曲线是表示f’(x)>0(千万注意不是代表f(x)>0)，而z轴下方的曲线则表示f’(x)<0．因此选项A与B都不正确．注意到在x=1处的左边即x<1时f’(x)>0，而2>x>1时f’(x)<0，根据极值的第一充分条件可知C项正确．7．A．B．C．D．正确答案：A解析：8．设函数z=f(x，v)，v=φ(x，y)，其中f，φ都有一阶连续偏导数，则等于( )A．B．C．D．正确答案：B解析：9．下列结论正确的是( )A．若A+B=Ω，则A，B互为对立事件B．若A，B为互不相容事件，则A，B互为对立事件C．若A，B为互不相容事件，则也互不相容D．若A，B为互不相容事件，则A-B=A正确答案：D解析：A，B为对立事件要满足A+B=Ω，AB=，而A，B互不相容只要满足AB=，所以对立事件一定互不相容，反之不一定成立．因此A项与B项都不正确，由事件的对偶律，可知选项C也不一定正确．对于选项D，A-B=A-AB A．10．样本4，1，2，1，2的方差是( )A．6B．1．4C．1．2D．0．8正确答案：C解析：(4+1+2+1+2)=2，s2=1／5(4-2)2+(1-2)2+(2-2)2+(1-2)2+(2-2)2]=6／5．填空题11．已知函数f(x)=在x=0点的极限存在，则a=_______．正确答案：1解析：=a，若在x=0点极限存在，则a=1．12．=_______正确答案：e解析：=e1=e．13．设函数f(x)在x=2处连续，且存在，则f(2)=_______．正确答案：1解析：∵存在，∴f(x)-1→0，即f(x)→1(x→2)．∵f(x)在x=处连续，∴f(2)=1．14．由方程xy-ex+ey=0确定的隐函数的导数y’=_______．正确答案：令F(x，y)=xy-ex+ey=0．15．设f(t)=，则f’(t)=_______．正确答案：(1+2t)e2t解析：因为所以f’(t)=e2t+te2t×2=(1+2t)e2t．16．设f(x)=x(x+1)10，则∫f(x)dx=_______．正确答案：解析：f(x)dx=∫x(x+1)10dx=f(x+1)(x+1)10dx-∫(x+1)10dx=∫(x+1)11d(x+1)-∫(x+1)10d(x+1)=17．∫abf’(3x)dx=_______．正确答案：解析：18．z=(1-x)2+(2-y)2的驻点是_______．正确答案：(1，2)解析：∵，则x=1，，则y=2，∴驻点为(1，2)．19．设f(x，y)==_______正确答案：0解析：20．设袋中有10个球，其中6个白球，4个黄球，从中任取2个球(设每个球取到的可能性相同)，则取出的2个球是1个白球、1个黄球的概率P=_______．正确答案：8／15解析：取出的2个球是1个白球，1个黄球，意味着从6个白球中取1个，从4个黄球中取1个，其取法种数为C61C41，则此事件的概率P=解答题21．求由方程exy+ylnx=cos2x所确定的隐函数y=f(x)的导数y’．正确答案：两边对x求导解析：将y看成为x的复合函数，然后将等式两边分别对x求导数，但是一定要注意：式中的y(x)是x的复合函数，必须用复合函数求导公式计算，最后再解出y’．22．计算正确答案：解析：求“”型不定式极限的最佳方法有消去因式法、等价无穷小量代换法、洛必达法则，本题适用于消去因式法或洛必达法则．23．证明：当x>1时，正确答案：当x>1时，f’(x)>0，所以f(x)单调增加，则当x>1时，f(x)>f(1)=0，解析：利用函数的单调性是证明不等式的一种常用方法．其关键是构造一个函数，使其在某区间上单调增加或单调减少．24．计算∫01正确答案：令x=tant，则dx=当x=0时，t=0；当x=1时，t=π／4．解析：本题考查的知识点是用换元法去根号计算定积分，三角代换x=asint 和x=atant是大纲要求掌握的内容．25．计算∫01正确答案：=1-ln(1+e)+ln2．解析：在无法直接积分的情况下，对被积函数进行变换，因为是我们熟悉的，设法将被积函数改写为，问题就解决了．26．设z=x3f，其中f为可微函数．证明=3z．正确答案：解析：这是抽象的求偏导数的问题，只需注意：对x求偏导时，y当作常数，对y求偏导时，x当作常数，再用一元函数的求导公式即可．27．求函数z=x2+y2-xy在条件x+2y=7下的极值．正确答案：设F(x，y，λ)=x2+y2-xy+λ(x+2y-7)，由①与②解得5x=4y，代入③得x=2，y=5／2，所以为极值．解析：本题主要考查二元函数的条件极值，通常先构造拉格朗日函数，再求解．28．某工厂要制造一个无盖的圆柱形发酵池，其容积是3π／2m3，池底的材料30元／m2，池壁的材料20元／m2，问如何设计，才能使成本最低?最低成本是多少元?正确答案：设池底半径为r，池高为h(如图所示)，则所以r=1为唯一的极小值点，即为最小值点．因此，池底半径为1m，高为3／2m时，可使成本最低，最低成本为90π元．解析：本题考查的知识点是应用导数求实际问题的极值，所谓“成本最低”，即求制造成本函数在已知条件下的最小值，因此，本题的关键是正确写出制造成本函数的表达式，再利用已知条件将其化为一元函数，并求其极值。

高等数学模拟试题及答案

武汉高校网络教化入学考试专升本高等数学模拟试题一、单项选择题1、在实数范围内，下列函数中为有界函数的是( b )A.x y e =B.1sin y x =+C.ln y x =D.tan y x =2、函数23()32x f x x x -=-+的间断点是( c )A.1,2,3x x x ===B.3x =C.1,2x x ==D.无间断点3、设()f x 在0x x =处不连续，则()f x 在0x x =处( b )A. 肯定可导B. 必不行导C. 可能可导D. 无极限4、当x →0时，下列变量中为无穷大量的是（ D ）A.sin x xB.2x -C.sin xxD. 1sin xx+ 5、设函数()||f x x =，则()f x 在0x =处的导数'(0)f = ( d )A.1B.1-C.0D.不存在.6、设0a >，则2(2)d aa f a x x -=⎰( a )A.0()d af x x -⎰ B.0()d af x x ⎰ C.02()d af x x ⎰ D.02()d af x x -⎰7、曲线23x xy e--=的垂直渐近线方程是( d ) A.2x = B.3x = C.2x =或3x = D.不存在8、设()f x 为可导函数，且()()000lim22h f x h f x h→+-=，则0'()f x = ( c ) A. 1 B. 2 C. 4 D.09、微分方程''4'0y y -=的通解是( d )A. 4x y e =B. 4x y e -=C. 4x y Ce =D.412x y C C e =+10、级数1(1)34nn nn ∞=--∑的收敛性结论是（ a ）A. 发散B. 条件收敛C. 肯定收敛D. 无法判定11、函数()f x =( d )A. [1,)+∞B.(,0]-∞C. (,0][1,)-∞⋃+∞D.[0,1] 12、函数()f x 在x a =处可导，则()f x 在x a =处( d )A.极限不肯定存在B.不肯定连续C.可微D.不肯定可微13、极限1lim(1)sin nn e n →∞-=( c)A.0B.1C.不存在D. ∞ 14、下列变量中，当x →0时与ln(12)x +等价的无穷小量是（）A.sin xB.sin 2xC.2sin xD. 2sin x 15、设函数()f x 可导，则0(2)()limh f x h f x h →+-=( c )A.'()f x -B.1'()2f x C.2'()f x D.016、函数32ln 3x y x +=-的水平渐近线方程是( c )A.2y =B.1y =C.3y =-D.0y =17、定积分0sin d x x π=⎰( c )A.0B.1C.πD.218、已知x y sin =，则高阶导数(100)y 在0x =处的值为( a )A. 0B. 1C. 1-D. 100．19、设()y f x =为连续的偶函数，则定积分()d aa f x x -⎰等于( c )A. )(2x afB.⎰adxx f 0)(2 C.0 D.)()(a f a f --20、微分方程d 1sin d yx x =+满意初始条件(0)2y =的特解是( c )A. cos 1y x x =++B. cos 2y x x =++C. cos 2y x x =-+D. cos 3y x x =-+ 21、当x →∞时，下列函数中有极限的是( C )A.sin xB.1xe C.211x x +- D.arctan x22、设函数2()45f x x kx =++，若(1)()83f x f x x --=+，则常数k 等于 ( a )A.1B.1-C.2D.2-23、若0lim ()x x f x →=∞，lim ()x x g x →=∞，则下列极限成立的是( b )A. lim[()()]ox x f x g x →+=∞B.lim[()()]0x x f x g x →-=C.1lim()()x x f x g x →=∞+ D. 0lim ()()x x f x g x →=∞24、当x →∞时，若21sin x 与1k x 是等价无穷小，则k =（ b ） A.2 B.12 C.1 D. 325、函数()f x =[0,3]上满意罗尔定理的ξ是( a )A.0B.3C. 32 D.2 26、设函数()y f x =-, 则'y =( c )A. '()f xB.'()f x -C. '()f x -D.'()f x --27、定积分()d ba f x x⎰是( a )A.一个常数B.()f x 的一个原函数C.一个函数族D.一个非负常数28、已知n axy x e =+，则高阶导数()n y =( c ) A. n ax a e B. !n C. !ax n e + D. !n axn a e +29、若()()f x dx F x c=+⎰，则sin (cos )d xf x x⎰等于( b )A. (sin )F x c +B. (sin )F x c -+C. (cos )F x c +D. (cos )F x c -+ 30、微分方程'3xy y +=的通解是( b )A. 3c y x =- B. 3y c x =+ C. 3c y x =-- D. 3c y x =+31、函数21,y x =+(,0]x ∈-∞的反函数是( c )A. 1,[1,)y x =∈+∞B. 1,[0,)y x =∈+∞C. [1,)y =∈+∞D. [1,)y =∈+∞32、当0x →时，下列函数中为x 的高阶无穷小的是( a )A. 1cos x -B. 2x x + C. sin x33、若函数()f x 在点0x 处可导，则|()|f x 在点0x 处( c )A. 可导B. 不行导C. 连续但未必可导D. 不连续34、当0x x →时, α和(0)β≠都是无穷小. 当0x x →时下列可能不是无穷小的是（ d ）A. αβ+B. αβ-C. αβ⋅D. αβ35、下列函数中不具有极值点的是( c )A. y x =B. 2y x = C. 3y x = D. 23y x=36、已知()f x 在3x =处的导数值为'(3)2f =, 则0(3)(3)lim2h f h f h →--=( b )A.32B.32-C.1D.1-37、设()f x 是可导函数，则(())f x dx '⎰为( d )A.()f xB. ()f x c +C.()f x 'D.()f x c '+38、若函数()f x 和()g x 在区间(,)a b 内各点的导数相等，则这两个函数在该区间内( d )A.()()f x g x x -=B.相等C.仅相差一个常数D.均为常数二、填空题1、极限20cos d limxx t tx →⎰ =2、已知 102lim()2ax x x e -→-=，则常数 =a . 3、不定积分2d x x e x -⎰= .4、设()y f x =的一个原函数为x ，则微分d(()cos )f x x = .5、设2()d f x x x C x =+⎰，则()f x = . 6、导数12d cos d d x t t x-=⎰ .7、曲线3(1)y x =-的拐点是 .8、由曲线2y x =,24y x =与直线1y =所围成的图形的面积是 . 9、已知曲线()y f x =上任一点切线的斜率为2x 并且曲线经过点(1,2)- 则此曲线的方程为 . 10、已知22(,)f xy x y x y xy +=++，则f f x y∂∂+=∂∂ . 11、设(1)cos f x x x +=+，则(1)f = .12、已知 112lim(1)x x a e x --→∞-=，则常数 =a .13、不定积分2ln d xx x =⎰.14、设()y f x =的一个原函数为sin 2x ，则微分d y = .15、极限022arcsin d limxx t t x →⎰ = .16、导数2d sin d d x a t t x =⎰ .17、设0d xt e t e=⎰，则x = .18、在区间[0,]2π上由曲线cos y x =与直线2x π=,1y =所围成的图形的面是.19、曲线sin y x =在点23x π=处的切线方程为 .20、已知22(,)f x y x y x y -+=-，则f f x y ∂∂-=∂∂ .21、极限01lim ln(1)sinx x x →+⋅ =22、已知 21lim()1axx x e x -→∞-=+，则常数 =a .23、不定积分d x e x =⎰ .24、设()y f x =的一个原函数为tan x ，则微分d y = . 25、若()f x 在[,]a b 上连续，且()d 0baf x x =⎰, 则[()1]d baf x x +=⎰ .26、导数2d sin d d xxt t x =⎰ .27、函数224(1)24x y x x +=++的水平渐近线方程是 . 28、由曲线1y x =与直线y x=2x =所围成的图形的面积是 .29、已知(31)x f x e '-=，则()f x = .30、已知两向量(),2,3a λ→=,()2,4,b μ→=平行，则数量积a b ⋅= .31、极限20lim(1sin )xx x →-=32、已知973250(1)(1)lim 8(1)x x ax x →∞++=+，则常数=a .33、不定积分sin d x x x =⎰.34、设函数sin 2xy e =, 则微分d y = .35、设函数()f x 在实数域内连续, 则0()d ()d xf x x f t t -=⎰⎰ .36、导数2d d d x ta te t x =⎰ .37、曲线22345(3)x x y x -+=+的铅直渐近线的方程为 .38、曲线2y x =与22y x =-所围成的图形的面积是 .三、计算题1、求极限：22lim(11)x x x x x →+∞++--+. 解：22lim (11)x x x x x →+∞++--+=22lim (11)x x x x x →+∞++--+/2x=2、计算不定积分：2sin 2d 1sin xx x+⎰ 解：3、计算二重积分sin d d Dxx y x⎰⎰D 是由直线y x =与抛物线2y x =围成的区域解：4、设2ln z u v = 而x u y=32v x y =-. 求z x∂∂z y∂∂解：5、求由方程221x y xy +-=确定的隐函数的导数d d y x. 解：6、计算定积分: 20|sin | d x x π⎰. 解：7、求极限：xx x e x 20)(lim +→.解：8、计算不定积分：212d 1x xx++.解：9、计算二重积分22()Dx y d σ+⎰⎰其中D 是由y x =,y x a =+,y a=3y a =(0a >)所围成的区域解：10、设2u v z e -=, 其中3sin ,u x v x ==，求dzd t .解：11、求由方程ln y x y =+所确定的隐函数的导数d d yx .解：，12、设2,01,(),1 2.x x f x x x ⎧≤≤=⎨<≤⎩. 求0()()d x x f t t ϕ=⎰在[0, 2]上的表达式.解：13、求极限：22lim11xxx→-+.解：14、计算不定积分：dln ln lnxx x x⋅⋅⎰.解：15、计算二重积分(4)dDx yσ--⎰⎰D是圆域222x y y+≤解：16、设2x yzx y-=+，其中23y x=-，求dzd t.解：17、求由方程1yy xe =+所确定的隐函数的导数d d yx .解：18、设1sin ,0,2()0,x x f x π⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它. 求0()()d xx f t t ϕ=⎰在(),-∞+∞内的表达式.解：19、求极限：4x →解：20、计算不定积分：arctan1d1xxxx⋅+⎰解：21、计算二重积分2Dxy dσ⎰⎰D是由抛物线22y px=和直线2px=(0p>)围成的区域解：22、设yzx=而tx e=,21ty e=-求dzd t.解：四、综合题与证明题1、函数21sin , 0,()0, 0x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在点0x =处是否连续？是否可导？2、求函数32(1)y x x =-的极值.解：3、证明：当0x >时 221)1ln(1x x x x +>+++.证明：4、要造一圆柱形油罐体积为V问底半径r和高h 等于多少时才能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？解：5、设ln(1),10,()11,01x xf xx x x+-<≤⎧⎪=⎨+--<<⎪⎩探讨()f x在0x=处的连续性与可导性解：，6、求函数32(1)xyx=-的极值.解：7、证明: 当20π<<x 时 sin tan 2x x x +>.证明：8、某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如图) 截面的面积为5m 2 问底宽x 为多少时才能使截面的周长最小从而使建立时所用的材料最省？解：9、探讨21, 0,21, 01,()2, 12,, 2x x x f x x x x x ≤⎧⎪+<≤⎪=⎨+<≤⎪⎪>⎩在0x =,1x =,2x =处的连续性与可导性解：10、确定函数23(2)()y x a a x =--(其中0a >)的单调区间.解：；11、证明：当20π<<x 时331tan x x x +>. 证明：12、一房地产公司有50套公寓要出租当月租金定为1000元时公寓会全部租出去当月租金每增加50元时就会多一套公寓租不出去而租出去的公寓每月需花费100元的修理费试问房租定为多少可获最大收入？解：13、函数21, 01,()31, 1x x f x x x ⎧+≤<=⎨-≤⎩在点x 1处是否可导？为什么？解：14、确定函数x x x y 6941023+-=的单调区间.解：。

专升本数学模拟试卷10套及答案

11．如果当 x ® 0 时，无穷小量（1 - cos x ）与 a sin 2 x 为等阶无穷小量，则a = 2
ò 12．设 f ¢(x) 的一个原函数为 sin ax ，则 xf ¢¢(x)dx =
ò 13． sin x + cos x dx =
3 sin x - cos x
14．已知
a,
b, c
三、解答题:本大题共 8 小题,共 86 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。得分评卷人 17．（本小题满分 10 分）
确定常数 a 和 b 的值，使 lim [ x2 + x + 1 - (ax + b)] = 0 x®-¥ 96-4
得分评卷人 18．（本小题满分 10 分）
ò求Leabharlann xe x dx .10．已知 y = x 是微分方程 y¢ = y + j ( x ) 的解，则j ( x ) 的表达式为
ln x
xy
y
A. - y 2 x2
B. y2 x2
C. - x 2 y2
D. x2 y2
96-3
天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试
高等数学标准模拟试卷（一）
第Ⅱ卷（选择题共 110 分）
B．是 f (x)g(x) 的驻点，但不是极值点
C．是 f (x)g(x) 的极大点
D．是 f (x)g(x) 的极小点
3．已知 f ¢(e x ) = xe-x 且 f (1) = 0 则 f (x) =
A． f (x) = (ln x)2 2
B． ln x
C． f (x) = ln x2 2
D． ln x 2
x
f (t)dt +

专升本模拟试题高数及答案

专升本模拟试题高数及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3在区间[0,5]上的最大值是：A. 1B. 2C. 3D. 42. 已知某函数的导数为f'(x)=3x^2-2x，那么f(x)的原函数是：A. x^3 - x^2 + CB. x^3 - x + CC. x^3 + x^2 + CD. x^3 + x + C3. 曲线y=x^3-2x^2+x在点(1,0)处的切线斜率是：A. -1B. 0B. 1D. 24. 定积分∫[0,1] x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/4C. 1/2D. 15. 函数y=sin(x)的周期是：A. πB. 2πC. 3πD. 4π6. 函数f(x)=|x-1|在x=1处的连续性是：A. 连续B. 可导C. 不连续D. 不可导7. 若f(x)=e^x，g(x)=ln(x)，则f(g(x))=：A. e^(ln(x))B. ln(e^x)C. xD. 1/x8. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是：A. 0B. 1C. ∞D. 不存在9. 级数∑[1/n^2]（n从1到∞）是：A. 收敛B. 发散C. 条件收敛D. 无界10. 函数y=x^2在x=2处的泰勒展开式为：A. x^2 - 4x + 4B. x^2 - 4 + 4C. x^2 - 4x + 4 + O(x^3)D. x^2 - 4x + 4 + O(x^2)二、填空题（每题2分，共20分）11. 若函数f(x)=2x^3-3x^2+x-5，求f'(1)=________。

12. 定积分∫[1,2] (2x+1)dx=________。

13. 函数y=ln(x)在x=e处的导数值是________。

14. 函数y=x^2+3x+2在x=-1处的极小值是________。

15. 函数y=cos(x)的周期是________。

16. 函数y=x^3-6x^2+11x-6在x=2处的切线方程是________。

专升本(高等数学二)模拟试卷108(题后含答案及解析)

专升本（高等数学二）模拟试卷108(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．设，则等于( )A．0B．1C．无穷大D．不能确定正确答案：D解析：使用排除法，令x0=0，则当f(x)=x3，g(x)=x时，；当f(x)=x3，g(x)=x5时，=∞，则D正确。

2．设函数f(x)在x0处连续，则函数f(x)在点x0处( )A．必可导B．必不可导C．可导与否不确定D．可导与否在x0处连续无关正确答案：C解析：可导必连续，连续不一定可导。

3．设f(x)=，则f(x)的间断点为( )A．x=-2B．x=-1C．x=1D．x=0正确答案：C解析：如果函数f(x)在点x0处有下列三种情况之一，则x0就是f(x)的一个间断点。

(1)在点x0处，f(x)没有定义。

(2)在点x0处，f(x)的极限不存在。

(3)在点x0处，f(x)有定义，且存在，但≠f(x0)。

因此，本题的间断点为x=1，所以选C。

4．设f(x)具有任意阶导数，且f’(x)=2f(x),则f’’’(x)等于( )A．2f(x)B．4f(x)C．8f(x)D．12f(x)正确答案：C解析：因为f’’(x)=2f’(x)=4f(x)，所以f’’’(x)=4f’(x)=8f(x)，选C。

5．已知f(x)=arctanx2，则f’(1)等于( )A．-1B．0C．1D．2正确答案：C解析：因为f’(x)=，则f’(1)=1，选C。

6．设f(x)的一个原函数为xsinx，则f(x)的导函数是( )A．2sinx-xcosxB．2cosx-xsinxC．-2sinx+xcosxD．-2cosx+xsinx正确答案：B解析：因为f(x)=(xsinx)’=sinx+xcosx，则f’(x)=cosx+cosx-xsinx=2cosx-xsinx，选B。

7．设y=f(x)二阶可导，且f’(1) =0，f’’(1)＞0，则必有( )A．f(1)=0B．f(1)是极小值C．f(1)是极大值D．点(1，f(1))是拐点正确答案：B解析：f(x)二阶可导，且f’(x0)=0，f’’(x0)＞0时，x=x0点为极小值点。

专升本(高等数学一)模拟试卷97(题后含答案及解析)

专升本（高等数学一）模拟试卷97(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．设函数y=ax2+c在区间(0，+∞)上单调增加，则( )A．a＜0且c=0B．a＞0且c为任意实数C．a＜0且c≠0D．a＜0且c为任意实数正确答案：B解析：由题设有y’=2ax，则在(0，+∞)上2ax＞0．所以必有a＞0且c为任意实数．故选B.2．微分方程y”+y=0的通解为( )A．C1cosx+C2sin xB．(C1+C2x)exC．(C1+C2x)e-xD．C1e-x+C2ex正确答案：A解析：由题意得微分方程的特征方程为r2+1=0，故r=±i为共轭复根，于是通解为y=C1cos x+C2sin x．3．设f(x)为连续函数，则积分A．0B．1C．nD．正确答案：A解析：故选A4．平面x+2y—z+3=0与空间直线的位置关系是( )A．互相垂直B．互相平行但直线不在平面上C．既不平行也不垂直D．直线在平面上正确答案：D解析：平面π：x+2y—z+3=0的法向量n={1，2，一1}，的方向向量s={3，一1，1}，(x0，y0，z0)=(1，一1，2)．因为3×1+(一1)×2+1×(-1)=0，所以直线与平面平行，又点(1，一1，2)满足平面方程(即直线l上的点在平面π上)，因此直线在平面上．故选D．5．设a＜x＜b，f’(x)＜0，f”(x)＜0，则在区间(a，b)内曲线弧y=f(x)的图形( )A．沿x轴正向下降且向上凹B．沿x轴正向下降且向下凹C．沿x轴正向上升且向上凹D．沿x轴正向上升且向下凹正确答案：B解析：当a＜x＜b时，f’(x)＜0，因此曲线弧y=f(x)在(a，b)内下降．由于在(a，b)内f”(x)＜0，因此曲线弧y=f(x)在(a，b)内下凹．故选B6．设f(x)=一1，g(x)=x2，则当x→0时( )A．f(x)是比g(x)高阶的无穷小B．f(x)是比g(x)低阶的无穷小C．f(x)与g(x)是同阶的无穷小，但不是等价无穷小D．f(x)与g(x)是等价无穷小正确答案：C解析：7．中心在(一1，2，一2)且与xOy平面相切的球面方程是( )A．(x+1)2+(y一2)2+(z+2)2=4B．(x+1)2+(y一2)2+(z+2)2=2C．x2+y2+z2=4D．x2+y2+z2=2正确答案：A解析：已知球心为(-1，2，一2)，则代入球面标准方程为(x+1)2+(y一2)2+(z+2)2=r2．又与xOy平面相切，则r=2．故选A8．函数z=xy在点(0，0)处( )A．有极大值B．有极小值C．不是驻点D．无极值正确答案：D解析：由z=xy得解得驻点(0．0)．又因为A=z”xx|(0,0)=0，B=z”xy|(0,0)=1，C=z”yy|(0,0)=0，B2一AC=1＞0，所以在(0，0)处无极值．故选D．9．已知曲线y=y(x)过原点，且在原点处的切线平行于直线x—y+6=0，又y=yy(x)满足微分方程(y”)2=1一(y’)2，则此曲线方程是y= ( ) A．一sin xB．sin xC．cos xD．一cos x正确答案：B解析：要选函数根据题设应满足三个条件：(1)y(0)=0，(2)在原点处斜率k=1，(3)代入(y”)2=1一(y’)2应成立．故逐个验证后应选B。

专升本(高等数学二)模拟试卷66(题后含答案及解析)

专升本（高等数学二）模拟试卷66(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．下列命题正确的是( )A．无穷小量的倒数是无穷大量B．无穷小量是以零为极限的变量C．无界变量一定是无穷大量D．无穷小量是绝对值很小很小的数正确答案：B解析：A项：无穷小量(除去零)的倒数是无穷大量．B项：无穷小量是以零为极限的变量．C项：无界变量不一定是无穷大量，但无穷大量是无界变量．D 项：无穷小量不是绝对值很小很小的数(除去零)，绝对值很小很小的“数”其极限值不一定为零．2．在下列函数中，当x→0时，函数f(x)的极限存在的是( )A．B．C．D．正确答案：B解析：3．设则f(x)在( )A．x=0处连续，x=1处间断B．x=0处间断，x=1处连续C．x=0，x=1处都连续D．x=0，x=1处都间断正确答案：B解析：故有．故选B.4．方程x3+2x2一x一2=0在[一3，2]上( )A．至少有1个实根B．无实根C．有1个实根D．有2个实根正确答案：A解析：给出的是一元三次方程，不易求解，转化为分析函数极值问题．令f(x)=x3+2x2一x一2，则f’(x)=3x2+4x一1；令f’(x)=0，得故在(一3，x)上，f’(x)＞0，f(x)增；在(x1，x2)上，f’(x)＜0，f(x)减；在(x2，2)上，f’(x)＞0，f(x)增．又f(一3)＜0，f(x1)＞0，f(x2)＜0，f(2)＞0，故可得f(x)的图像大致如下．如此看出f(x)=0在[一3，2]上有3个实根．5．曲线在点(1，1)处的切线方程为( )A．x+y+2=0B．x+y一2=0C．x—y+2=0D．y—x+2=0正确答案：B解析：因为所以切线方程为y—1=一(x—1)，即x+y一2=0．故选B.6．若∫f(x)ex2dx=ex2+C，则f’(x)= ( )A．x2B．2xC．ex2D．x正确答案：B解析：题中给出∫f(x)ex2dx=ex2+C，则求导有f(x).ex2=ex22.2x，所以f(x)=2x．7．曲线y=x一4x3+x4的凸区间是( )A．(一∞，2)B．(一∞，0)∪(2，+∞)C．(一∞，+∞)D．(0，2)正确答案：D解析：y’=1—12x2+4x3，y’’=一24x+12x2=12x(x一2)，当0＜x＜2时，y’’＜0，所以曲线的凸区间为(0，2)．故选D.8．下列反常积分收敛的是( )A．∫1+∞cosdxB．C．∫1+∞exdxD．∫1+∞lndx正确答案：B解析：对于选项A：不存在，此积分发散；对于选项B：此积分收敛；对于选项C：不存在，此积分发散；对于选项D：此积分发散．9．设函数( )A．cos(x+y)B．sin(x+y)C．一cos(x+y)D．一sin(x+y)正确答案：D解析：10．把两封信随机地投入标号为1，2，3，4的4个邮筒中，则1，2号邮筒各有一封信的概率等于( )A．B．C．D．正确答案：C解析：因两封信投向4个邮筒共有的投法(可重复排列)为n=42=16；满足1，2号邮筒各有一封信的投法为k=A22=2，故所求概率为填空题11．=_________。

专升本(高等数学一)模拟试卷83(题后含答案及解析)

专升本（高等数学一）模拟试卷83(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．= 【】A．eB．e－1C．－e－1D．－e正确答案：B解析：由于．故选B．2．设函数f(x)=sinx，则不定积分∫f?(x)dx= 【】A．sinx+CB．cosx+CC．－sinx+CD．－cosx+C正确答案：A解析：由不定积分的性质“先求导后积分，相差一个常数”可知选项A正确．3．由点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)确定向量= 【】A．B．C．D．正确答案：B解析：由A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，可知=｛x2－x1，y2－y1，z2－z1｝，则4．设z=ln(x2+y)，则= 【】A．B．C．D．正确答案：B解析：求时，将y认定为常量，则．故选B．5．已知f?(cosx)=sinx，则f(cosx)= 【】A．－cosx+CB．cosx+CC．(sinxcosx－x)+CD．(x－sinxcosx)+C正确答案：C解析：已知f?(cosx)=sinx，在此式两侧对cosx求积分，得∫f?(cosx)d(cosx)=∫sinxd(cosx)故选C．6．中心在(－1，2，－2)且与xOy平面相切的球面方程是【】A．(x+1)2+(y－2)2+(z+2)2=4B．(x+1)2+(y－2)2+(z+2)2=2C．x2+y2+z2=4D．x2+y2+z2=2正确答案：A解析：已知球心为(－1，2，－2)，则代入球面标准方程为(x+1)2+(y－2)2+(z+2)2=r2．又与xOy平面相切，则r=2．故选A．7．设函数f(x)在区间[0，1]上可导，且f?(x)＞0，则【】A．f(1)＞f(0)B．f(1)＜f(0)C．f(1)=f(0)D．f(1)与f(0)的值不能比较正确答案：A解析：由f?(x)＞0说明f(x)在[0，1]上是增函数，因为1＞0，所以f(1)＞f(0)．故选A．8．幂级数的收敛半径为【】A．1B．2C．3D．4正确答案：A解析：由于可知收敛半径R==1．故选A．9．幂级数的收敛半径R= 【】A．0B．1C．2D．+∞正确答案：B10．设幂级数在x=2处收敛，则该级数在x=－1处必定【】A．发散B．条件收敛C．绝对收敛D．敛散性不能确定正确答案：C填空题11．设f(x)==________．正确答案：解析：因为f(x)=，所以f?(x)=，而由导数定义有12．已知由方程x2+y2=e确定函数y=y(x)，则=________．正确答案：解析：此题是隐函数求导数的题，且同时检查了反函数的导数等于原函数导数的倒数．具体解法是：在x2+y2=e两侧关于x求导数，得2x+2yy?=0，y?=，也就是13．=________．正确答案：解析：14．已知，则f(x)=________．正确答案：(1+x)215．设y=arctan，则其在区间[0，2]上的最大值为________．正确答案：解析：由y=arctan知y?=＜0，所以y在[0，2]上单调递减．于是ymax =y｜x=0 =arctan1=16．若∫－∞0ekxdx=，则k=________．正确答案：3解析：17．直线l：的方向向量为________．正确答案：｛－2，1，2｝解析：直线l的方向向量为s=｛1，2，0｝×｛0，2，－1｝==｛－2，1，2｝18．设f(x)=在x=0处连续，则k=________．正确答案：1解析：由连续的三要素及f(0－0)=1=f(0+0)=f(0)，得k=1．19．定积分∫01(x+1)dx=________．正确答案：y解析：设．代入已知函数可得f(t)==(t+1)2．20．微分方程y??－6y?+9y=0的通解为________．正确答案：e3x(c1+c2x)解答题21．若=6，求a与b的值．正确答案：=6，又x→3，分母x－3→0．所以(x2+ax+b)=0得9+3a+b=0，b=－9－3a．则x2+ax+b=x2+ax－(9+3a)=(x－3)[x+(3+a)]所以所以a=0，b=－9－0=－9．22．求f(x)=的定义域、连续区间、间断点．正确答案：由题知，定义域为(－∞，+∞)．又因所以x=0为间断点，则连续区间为(－∞，0)∪(0，+∞)．23．已知曲线y=x3+bx2+cx通过点(－1，－4)，且在横坐标为x=1的点处切线斜率为2，求b，c及曲线方程．正确答案：由解方程得24．求曲线y=x2与直线y=x，y=2x所围成的图形．正确答案：由题作图，由图知25．求过两点M1(1，－1，－2)，M2(－1，1，1)作平面，使其与y轴平行的平面方程．正确答案：所求平面法向量同时垂直y轴及向量(如图)．即由点法式可得所求平面为3x+2z+1=0．26．判定级数(a＞0)的敛散性．正确答案：R=含有参数a＞0，要分情况讨论：(1)如果0＜a＜1，则=1≠0．由级数收敛的必要条件可知，原级数发散．(2)如果a＞1，令是收敛的．用比较法：(3)如果a=1，则un=所以≠0，由级数收敛的必要条件可知，原级数发散．所以27．在曲线y=x2(x≥0)上某点A处作一切线，使之与曲线以及x轴所围图形的面积为，试求：(1)切点A的坐标；(2)过切点A的切线方程；(3)由上述所围平面图形绕z轴旋转一周所成旋转体的体积．正确答案：(1)设点A为(a0，a02)．由y?=2x，得过点A切线斜率为2a0，则切线方程为y－a02=2a0(x－a0)即x=由题作图，由图知解得a0=1(x＞0)．所以点A的坐标为(1，1)．(2)过点A的切线方程为y－1=2(x－1)，即y=2x－1．(3)由图知绕x轴旋转的体积为28．求函数f(x)=lntdt的极值点与极值，并指出曲线的凸凹区间．正确答案：f?(x)=lnx，令f?(x)=lnx=0得驻点x0=1，又f??(x)=，f??(1)=1＞0故x0是f(x)的极小值点，极小值为：因f??(x)=＞0(x＞0)，曲线是上凹的．。

专升本高等数学一(多元函数微分学)模拟试卷1(题后含答案及解析)

专升本高等数学一（多元函数微分学）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．= ( )A．0B．C．一D．+∞正确答案：B解析：．知识模块：多元函数积分学2．关于函数f(x，y)=下列表述错误的是( ) A．f(x，y)在点(0，0)处连续B．fx(0，0)=0C．fy(0，0)=0D．f(x，y)在点(0，0)处不可微正确答案：A解析：，随k取不同数值而有不同的结果，所以不存在，从而f(x，y)在(0，0)点不连续，因此选项A是错误的，故选A．知识模块：多元函数积分学3．设函数z=3x2y，则= ( )A．6yB．6xyC．3xD．3x2正确答案：D解析：因为z=3x2y，则=3x2．知识模块：多元函数积分学4．设二元函数z== ( )A．1B．2C．x2+y2D．正确答案：A解析：因为z==1．知识模块：多元函数积分学5．已知f(xy,x－y)=x2+y2，则= ( )A．2B．2xC．2yD．2x+2y正确答案：A解析：因f(xy，x—y)=x2+y2=(x—y)2+2xy，故f(x，y)=y2+2x，从而=2．知识模块：多元函数积分学6．设z=f(x，y)=则下列四个结论中，①f(x，y)在(0，0)处连续；②fx’(0，0)，fy’(0，0)存在；③fx’(x，y)，fy’(x，y)在(0，0)处连续；④f(x，y)在(0，0)处可微．正确结论的个数为( ) A．1B．2C．3D．4正确答案：C解析：对于结论①，=0=f(0，0)f(x，y)在(0，0)处连续，所以①成立；对于结论②，用定义法求fx’(0，0)==0．同理可得fy’(0，0)=00②成立；对于结论③，当(x，y)≠(0，0)时，用公式法求因为当(x，y)→(0，0)时，不存在，所以fx’(x，y)在(0，0)处不连续．同理，fy’(x，y)在(0，0)处也不连续，所以③不成立；对于结论④，fx’(0，0)=0，fy’(0，0)=0，△z=f(0+△x，0+△y)－f(0，0)=((△x)2+(△y)2)．sin=ρ2故f(x，y)在(0，0)处可微，所以④成立，故选C．知识模块：多元函数积分学7．设函数z=μ2lnν,而μ=，ν=3x一2y，则= ( )A．B．C．D．正确答案：A解析：知识模块：多元函数积分学8．曲面z=F(x，y，z)的一个法向量为( )A．(Fx，Fy，Fz一1)B．(Fx一1，Fy一1，Fz一1)C．(Fx，Fy，Fz)D．(一Fx，一Fy，1)正确答案：A解析：令G(x，y，z)=F(x，y，z)一z，则Gx=Fx，Gy=Fy，Gz=Fz一1，故法向量为(Fx，Fy，Fz一1)．知识模块：多元函数积分学9．曲面z=x2+y2 在点(1，2，5)处的切平面方程为( )A．2x+4y—z=5B．4x+2y—z=5C．z+2y一4z=5D．2x一4y+z=5正确答案：A解析：令F(x，y，z)=x2+y2一z，Fx(1，2，5)=2，Fy(1，2，5)=4，Fz(1，2，5)=一1切平面方程为2(x一1)+4(y一2)一(z一5)=02x+4y—z=5，也可以把点(1，2，5)代入方程验证，故选A．知识模块：多元函数积分学10．函数f(x，y)=x2+xy+y2+x—y+1的极小值点是( )A．(1，一1)B．(一1，1)C．(一1，一1)D．(1，1)正确答案：B解析：∵f(x，y)=x2+xy+y2+x—y+1，∴fx(x，y)=2x+y+1，fy(x，y)=x+2y一1，∴令得驻点(－1，1)．又A=fxx(x，y)=2，B=fxy=1，C=fyy=2，∴B2一AC=1—4=一3＜0，又A=2＞0，∴驻点(一1，1)是函数的极小值点．知识模块：多元函数积分学11．函数z=x2一xy+y2+9x一6y+20有( )A．极大值f(4，1)=63B．极大值f(0，0)=20C．极大值f(一4，1)=一1D．极小值f(一4，1)=一1正确答案：D解析：因z=x2－xy+y2+9x－6y+20，于是=一x+2y－6，令=0，得驻点(－4，1)，又因=2，故对于点(－4，1)，A=2，B=一1，C=2，B2一AC=－3＜0，且A＞0，因此z=f(x，y)在点(一4，1)处取得极小值，且极小值为f(一4，1)=一1．知识模块：多元函数积分学填空题12．已知函数f(x+y，ex－y)=4xyex－y，则函数f(x，y)=________．正确答案：(x2一ln2y)y解析：由于f(x+y，ex－y)=[(x+y)2一ln2ex－y]．ex－y，所以f(x，y)=(x2一ln2y)y．知识模块：多元函数积分学13．设z=xy，则dz=________．正确答案：yxy－1dx+xylnxdy解析：z=xy，则=yxy－1，=xylnx，所以dz=yxy－1dx＋xylnxdy．知识模块：多元函数积分学14．设f(x，y)=sin(xy2)，则df(x，y)=________．正确答案：y2cos(xy2)dx+2xycos(xy2)dy解析：df(x，y)=cos(xy2)d(xy2)=cos(xy2)(y2dx+2xydy)=y2cos(xy2)dx+2xycos(xy2)dy．知识模块：多元函数积分学15．已知z=(1+xy)y，则=________．正确答案：1+2ln2解析：由z=(1+xy)y，两边取对数得lnz=yln(1+xy)，则，所以=1+2ln2．知识模块：多元函数积分学16．设f’’(x)连续，z=f(xy)+yf(x+y)，则=________．正确答案：yf’’(xy)+f’(x+y)+yf’’(x+y)解析：f’(xy)．y+yf’(x+y)，f’f’’(xy)．x+f’(x+y)+yf’’(x+y)=yf’’(xy)+f ’(x+y)+yf’’(x+y)．知识模块：多元函数积分学17．设z==________．正确答案：解析：知识模块：多元函数积分学18．曲面x2+3z2=y在点(1，一2，2)的法线方程为________．正确答案：解析：记F(x，y，z)=x2+3z2一y，M0(1，一2，2)，则取n=(2，一1，12)，所求法线方程为．知识模块：多元函数积分学19．二元函数f(x，y)=x2(2+y2)+ylny的驻点为_______．正确答案：(0，)解析：fx’(x，y)=2x(2+y2)，fy’(x，y)=2x2y+lny+1．令解得唯一驻点(0，)．知识模块：多元函数积分学20．设f(x，y)在点(x0，y0)处可微，则f(x，y)在点(x0，y0)处取得极值的必要条件是_______．正确答案：fx’(x0，y0)=fy’(x0，y0)=0解析：f(x，y)在点(x0，y0)处可微，则偏导数fx’(x0，y0)，fy’(x0，y0)存在，f(x，y)在点(x0，y0)处取得极值，则有fx’(x0，y0)=fy’(x0，y0)=0；反之不成立．知识模块：多元函数积分学解答题21．求函数z=arcsin的定义域．正确答案：对于≤1，即x2+y2≤4；在中，应有x2+y2≥1，函数的定义域是以上两者的公共部分，即｛(x，y)｜1≤x2+y2≤4｝．涉及知识点：多元函数积分学22．设函数z=x2siny+yex，求．正确答案：=2xsiny+yex，=2siny＋yex，=2xcosy＋ex．涉及知识点：多元函数积分学23．已知z=ylnxy，求．正确答案：涉及知识点：多元函数积分学24．设2sin(x+2y一3z)=x+2y一3z，确定了函数z=f(x，y)，求．正确答案：在2sin(x+2y一3z)=x+2y一3z两边对x求导，则有2cos(x＋2y —3z)．，整理得．同理，由2cos(x＋2y一3z)，得=1．也可使用公式法求解：记F(x，y，z)=2sin(x+2y一3z)一x一2y+3z，则Fx=2cos(x+2y一3z)．(一3)＋3，Fy=2cos(x+2y一3z)．2—2，Fx=2cos(x+2y一3z)一1，故=1．涉及知识点：多元函数积分学25．设μ=f(x，y，z)有连续偏导数，y=y(x)和z=z(x)分别由方程exy一y=0和ez一xz=0所确定，求．正确答案：．方程exy一y=0两边关于x求导，有exy，方程ez一xz=0两边关于x求导，有ez，由上式可得．涉及知识点：多元函数积分学26．设z=μ2ν一μν2，而μ=xcosy，ν=xsiny，求．正确答案：由于所以=(2μν一ν2)cosy+(μ2一2μν)siny=(2x2cosysiny—x2sin2y)cosy+(x2cos2y一2x2cosysiny)siny=2x2sinycos2y—x2sin2ycosy+x2sinycos2y一2x2sin2ycosy=3x2sinycosy(cosy—siny)．=(2μν一ν2)(一xsiny)+(μ2一2μν)xcosy=(2x2cosysiny—x2sin2y)(一xsiny)+(x2cos2y一2x2cosysiny)xcosy=一2x3sinycosy(siny+cosy)+x3(siny+cosy)(sin2y—sinycosy＋cos2y)=x3(siny+cosy)(1—3sinycosy)．涉及知识点：多元函数积分学27．设f(x—y，x+y)=x2一y2，证明=x+y．正确答案：f(x—y，x+y)=x2一y2=(x+y)(x—y)，故f(x，y)=xy．=x+y．涉及知识点：多元函数积分学28．设函数z(x，y)由方程=0所确定，证明：=z —xy．正确答案：涉及知识点：多元函数积分学29．求曲面ez一z+xy=3过点(2，1，0)的切平面及法线．正确答案：设F(x，y，z)=ez一z+xy一3则Fx=y，Fy=x，Fz=ez一1，所以切平面的法向量为n=(1，2，0)．所求切平面为x一2+2(y一1)=0，即x+2y一4=0，法线为．涉及知识点：多元函数积分学30．求椭球面x2+2y2+3z2=21上某点M处的切平面π的方程，且π过已知直线L：．正确答案：令F(x，y，z)=x2+2y2+3z2一21，则Fx’=2x，Fy’=4y，Fz’=6z．椭球面的点M(x0，y0，z0)处的切平面π的方程为2x0(x—x0)+4y0(y—y0)+6z0(z—z0)=0，即x0x+2y0y+3z0z=21．因为平面π过直线L上任意两点，比如点应满足π的方程，代入有6x0+6y0+z0=21，z0=2．又因为x02+2y02+3z02=21，解上面方程有：x0=3，y0=0，z0=2及x0=1，y0=2，z0=2．故所求切平面的方程为x+2z=7和x+4y+6z=21．涉及知识点：多元函数积分学31．求旋转抛物面z=x2+y2一1在点(2，1，4)处的切平面及法线方程．正确答案：F(x，y，z)=x2+y2一z一1，n｜(2，1，4)=(2x，2y，一1)｜(2，1，4)=(4，2，一1)．切平面方程为4(x一2)+2(y一1)一(z一4)=0，即4x+2y一z—6=0．法线方程为．涉及知识点：多元函数积分学32．确定函数f(x，y)=3axy—x3一y3(a＞0)的极值点．正确答案：=0，联立有解得x=y=a或x=y=0，在(0，0)点，△＞0，所以(0，0)不是极值点．在(a，a)点，△＜0，且=－6a ＜0(a＞0)，故(a，a)是极大值点．涉及知识点：多元函数积分学33．某工厂建一排污无盖的长方体，其体积为V，底面每平方米造价为a 元，侧面每平方米造价为b元，为使其造价最低，其长、宽、高各应为多少?正确答案：设长方体的长、宽分别为x，y，则高为，又设造价为z，由题意可得z=axy+2b(x+y)(x＞0，y＞0)，由于实际问题可知造价一定存在最小值，故x=y=就是使造价最小的取值，此时高为．所以，排污无盖的长方体的长、宽、高分别为时，工程造价最低．涉及知识点：多元函数积分学。