考研数学高等数学强化习题-不定积分

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考研数学高等数学强化习题-不定积分

模块五不定积分Ⅰ经典习题一．原函数与不定积分1、设,0(),0x e x f x x x ⎧≥=⎨<⎩，1sin ,0()0,0x x g x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩下述命题成立的是（）（A ）()f x 在[1,1]-上存在原函数（B ）(0)g '存在（C ）()g x 在[1,1]-上存在原函数（D ）1()()xF x f t dt -=⎰，则(0)F '存在2、若()f x 的导函数是sin x ,则()f x 有一个原函数为 ( ) (A) 1sin x + (B) 1sin x -\(C) 1cos x + (D) 1cos x -3、在下列等式中,正确的结果是 ( ) (A)()()df x dx f x dx=⎰ (B) ()()f x dx f x '=⎰ (C) ()()df x f x =⎰ (D) ()()d f x dx f x =⎰4、已知()F x 是()f x 的一个原函数，则()--=⎰xx ef e dx _____.二．有理函数积分5、计算下列不定积分（1）32211++-⎰x x dx x （2）()()222311x dx x x +-+⎰ ;（3）25613x dx x x +-+⎰ （4）2100(1)-⎰x dx x （5）21(21)(1)++⎰dx x x （6）21(1)-⎰dx x x（7）()7711x dx x x -+⎰ （8）226114(1)-+-⎰x x dx x x （9）()()22121---⎰dx xx x （10）()()3222412+++++⎰x x xdx xx x（11）241x dx x -⎰ （12）()2311x dx x x +-⎰ （13）33156x dx x x ++-⎰ （14）421dxx x ++⎰三．可化为有理函数的积分1．三角有理式（6、计算下列不定积分（1）()1sin sin 1cos ++⎰xdx x x （2）3sin cos ⎰dx x x（3）3sin 2cos +⎰x dx x （4）211cos +⎰dx x（5）sin 1sin +⎰x dx x （6）22221sin cos +⎰dx a x b x（7）()()210sin cos ≠+⎰dx ab a x b x （8）()12cos sin dx x x+⎰（9）64tan cos sin ⎰x x dx x（10）41sin ⎰dx x 2．指数有理式的积分7、计算下列不定积分.（1）311++⎰x xe dx e （2）211+⎰xdx e （3）1x x dx e e --⎰ （4）()211x dx e +⎰四．根式的处理8、计算下列不定积分（1）⎰（2）（3）3（4）⎰（5）（6）⎰（7）（8）,9、计算下列不定积分（1）()0>⎰a（2）（3）（4）（5）⎰（6）五．分部积分法的使用10、计算下列不定积分（1）2ln sin sin ⎰x dx x （2）()2ln 1-⎰xdx x（3）2sin ⎰x xdx （4）22arctan 1+⎰x xdx x 》（5）()2ln 1+-⎰x x dx x （6）2arctan ⎰xxe dx e （7）()2arcsin ⎰x dx （8）2ln 1-⎰x dx x11、计算下列不定积分（1）(2lnx dx ⎰（2）2xdx（3）⎰（4）（5）()22arctan 1x xdx x +⎰（6）arcsin⎰ （7）2cos sin cos xx xe dx x+⎰ （8）22sec tan x x x dx x -⎰ 12、若()f x 的一个原函数为2ln x ，则()'=⎰xf x dx （）|(A) 2ln ln -+x x C (B) 22ln ln ++x x C(C) 22ln ln -+x x C (D) 2ln ln ++x x C13、已知sin xx是()f x 的原函数，求()3'⎰x f x dx . 14、已知曲线()y f x =过点1(0,)2-,且其上任一点(,)x y 处的切线斜率为2ln(1)x x +,求()f x .15、求积分()sin ln ⎰x dx .16、已知()f x 有二阶连续导数，证明：()()()121212124x xf x dx f x f x C '''-=---+⎰. 六．其他考查形式17、设231,0()1,012,1x f x x x x x <⎧⎪=+<≤⎨⎪>⎩求 ()f x dx ⎰.18、设22(sin )cos 2tan (01),f x x x x '=+<<则()___f x =Ⅱ参考答案一．原函数与不定积分1、【答案】：（C ）【解析】：()g x 在[1,1]-上连续，故存在原函数（A ）不正确，()f x 在点0x =处具有跳跃间断点，故在包含此点的区间内不存在原函数 2、【答案】：(B) ^【解析】：由()f x 的导函数是sin x ,即()sin f x x '=,得()()sin cos f x f x dx xdx x C '===-+⎰⎰, 其中C 为任意常数.所以()f x 的原函数12()()(cos )sin F x f x dx x C dx x C x C ==-+=-++⎰⎰,其中12,C C 为任意常数.令10C =,21C =得()1sin F x x =-.故选(B). 3、【答案】:(A)【解析】:由不定积分的概念和性质可知,()()()()df x dx f x dx f x .dx'==⎰⎰！()()()f x dx df x f x C '==+⎰⎰,C 为常数.()()d f x dx f x dx.=⎰故应选(A). 4、【答案】:()--+xF eC【解析】:因为()F x 是()f x 的一个原函数，故()()'=F x f x .令-=xu e，则()()()()()-----=-=-=-+=-+⎰⎰⎰x x x x x e f e dx f e de f u du F u C F e C . 二．有理函数积分5、（1）【答案】：()3211ln221-++++x xx C x|【解析】：()()322223212131111221111ln 221+++⎡⎤⎛⎫=++=++- ⎪⎢⎥---+⎣⎦⎝⎭-=++++⎰⎰⎰x x x x dx x dx x dx x x x x x x x Cx（2）【答案】： ()21513ln 1ln 1ln +1arctan 4422x x x x C -++---+（3）【解析】：通过变换，将积分转化为常见积分，即222538613613613x x dx dx dx x x x x x x +-=+-+-+-+⎰⎰⎰2221(613)82613(34d x x dx x x x -+=+-+-+⎰⎰） 223(1ln(613)432(1x d x x x -=-++-+⎰）2）2213ln(613)4arctan 22x x x C -=-+++ }（4）【解析】：原式=1001111()()()x x dx x +-+-⎰99100111()()x dxdx x x +=+--⎰⎰ 98991002111()()()dx dx dxx x x =++---⎰⎰⎰979899111974999()()()x x x C ------=---+ （5）【解析】：设221(21)(1)211+=+++++A Bx C x x x x ，计算得421;;555==-=A B C . ()()2222224211211211555(21)(1)2115215151211ln 21ln 1arctan 555⎛⎫-++ ⎪+=+=-+ ⎪+++++++ ⎪⎝⎭=+-+++⎰⎰⎰⎰⎰x d x d x dx dx dx x x x x x x x x x x C（6）【解析】：22221111111(1)(1)(1)(1)1(1)--=-=-+=-+------x x x x x x x x x x x x22221111111ln (1)(1)(1)1(1)11⎡⎤--==-=-+=-+⎢⎥-------⎣⎦⎰⎰x x x dx dx C x x x x x x x x x x x （7）【解析】：72ln ln 17x x C -++ （（8）【解析】：2226114421(1)1(1)-+=+----x x x x x x x222611442114ln 2ln 1(1)1(1)1⎛⎫-+=+-=+-++ ⎪----⎝⎭⎰⎰x x dx dx x x C x x x x x x （9）【解析】：()()()()()()222211211212111==+++-+-----+--A B C Dx x x xx x x x x x 其中1111;;;31242==-=-=-A B C D . 故()()()()()22222111111312422112121111111ln 2ln 1ln 1312421⎛⎫--- ⎪==+++ ⎪-+-------- ⎪⎝⎭=--+--++-⎰⎰dx dx x x x x x x x x x x x x x C x （10）【解析】：()()()322222421122+++=+++++++++x x xA B Cx Dx x x xx x x #其中1;2;0;1====-A B C D .()()()3222222412121ln 22121122⎛⎫++=+-=+-- ⎪ ⎪++++++++++⎝⎭⎰⎰⎰x x xdx dx x dx x x x x x x x x x x222112112⎛⎫+⎪⎝⎭==+++⎛⎫++⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰d xdx Cx xx，故()()322242ln2212++=+--++++⎰x x x dx x Cxx x x（11）【解析】：111ln arctan412xx Cx+-+-（12）【解析】：()221ln ln1ln136x x x x C-+-++++（13）【答案】：【解析】：（14）【答案】：2211ln41x xCx x++++-+|【解析】：()()42222222111122221111111ln41x xdx dxdxx x x x x xx x x xx xCx x⎡⎤+-⎢⎥==-⎢⎥++++-+++-+⎢⎥⎣⎦++=+-+⎰⎰⎰()2211ln86xx Cx x-++++333222111117544215656161211123422411114ln1428231231224⎛⎫+⎪+-⎛⎫=+=+-⎪⎪+-+--++⎝⎭ ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫+⎪⎢⎥⎡⎤⎛⎫⋅++⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦⎣⎦=+----⋅⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰xx xdx dx x dxx x x x x x xxdd xx x dxx x()222111ln86+-=++++⎰dxxx Cx x6、（1）【解析】：利用万能公式：22212cos ,sin ,(tan )112t t xx x t t t -===++，令2arctan x t =，则221=+dx dt t()22222222211sin 1111112ln sin 1cos 2422111111tan ln tan tan 42222⎛⎫+ ⎪+++⎛⎫⎝⎭==++=+++ ⎪+⎛⎫-⎝⎭+ ⎪++⎝⎭=+++⎰⎰⎰t x t t dx dt t dt t t t C x x t t t t t x x xC （2）【答案】：21tan ln tan 2x x C ++ 【解析】：先作恒等变形，凑微分得2241tan 1tan tan ln tan tan cos tan 2dx x I d x x x C x x x +===++⎰⎰ （3）【解析】：()231cos sin cos 2cos 2cos -=-++⎰⎰x x dx d x x x，令cos =t x ，故。

考研真题不定积分

考研真题不定积分考研真题不定积分在考研数学中，不定积分是一个重要的概念和考点。

不定积分是求函数的原函数的过程，也是求解一些常见的微积分问题的方法之一。

考研真题中的不定积分题目涉及到了很多不同的方法和技巧，对于考生来说是一个很大的挑战。

在本文中，我们将探讨考研真题中的不定积分问题，并提供一些解题思路和技巧。

在考研数学中，不定积分是求解函数的原函数的过程。

原函数是指在给定函数的导数等于该函数的函数。

不定积分可以看作是导数的逆运算。

在解不定积分题目时，我们需要找到函数的原函数，并确定积分常数。

考研数学中的不定积分题目通常涉及到一些常见的函数，如幂函数、指数函数、三角函数等。

在解题时，我们可以利用一些基本的积分公式和性质来简化计算过程。

例如，对于幂函数，我们可以利用幂函数的积分公式进行计算。

对于指数函数和三角函数，我们可以利用它们的特殊性质来求解不定积分。

除了基本的积分公式和性质，我们还可以利用一些常见的积分技巧来解决不定积分题目。

例如，我们可以利用换元法、分部积分法、三角代换等方法来简化计算过程。

这些技巧可以帮助我们将复杂的不定积分问题转化为简单的形式，从而更容易求解。

在考研真题中，不定积分题目通常涉及到一些复杂的函数和积分形式。

这就需要我们具备一定的数学知识和解题技巧。

在解题时，我们可以先观察题目给出的函数形式，然后根据函数的性质和积分技巧选择合适的方法进行求解。

同时，我们还需要注意题目给出的条件和要求，以便正确地求解不定积分。

在解不定积分题目时，我们还需要注意一些常见的错误和陷阱。

例如，忘记加上积分常数、计算错误、选择错误的积分方法等。

为了避免这些错误，我们可以在解题过程中进行反复检查和验证。

同时，我们还可以多做一些练习题目，提高自己的解题能力和技巧。

总之，考研真题中的不定积分是一个重要的考点，对考生来说是一个很大的挑战。

在解题时，我们可以利用基本的积分公式和性质，运用一些常见的积分技巧，注意题目给出的条件和要求，避免常见的错误和陷阱。

考研数学-专题10 不定积分和定积分的方法和技巧

∫ ∫ a −a
f
( x) d
x
=
⎪⎧0, ⎪⎩⎨2
a 0
f
( x) d
x,
f (x) 为奇函数时， f (x) 为偶函数时.
(2) 设 f (x) 是以T 为周期的连续函数，则对任给数 a ，总有
5）利用公式
∫ ∫ a+T
T
f (x)d x = f (x) d x.
a
0
6
∫ ∫ (1)
π
2 sinn x d x =
x
= A + Bx + C
x3 − x2 + x −1 x −1 x2 +1
则 x ≡ A(x2 + 1) + (Bx + C)(x −1)
由此解得 A = 1 , B = − 1 ,C = 1 .
2
22
∫
x3
−
x x2 +
x
dx −1
=
1 2
∫
dx x −1
−
1 2
∫
x −1
x
2
+
dx 1
= 1 ln x −1 − 1 ln(x2 + 1) + 1 arctan x + C
0
∫=
2
[(x −1) +1]
1− (x −1)2 dx
0
【例 3】
∫= 2 2x − x2 dx = π （几何意义）
0
2
∫π x
cos2 x − cos4 xdx = __________ .
0
∫ ∫ 【解】
原式 = π
π cos2 x − cos4 xdx = π

高等数学不定积分课后习题详解

《高等数学》不定积分课后习题详解(总58页)不定积分内容概要课后习题全解习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。

思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1)思路: 被积函数 52x-=，由积分表中的公式（2）可解。

解：532223x dx x C --==-+⎰★(2)dx⎰思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：1141113332223()24dx x x dx x dx x dx x x C ---=-=-=-+⎰⎰⎰⎰★(3)22x x dx +⎰（）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：2232122ln 23x xxx dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（） ★(4)3)x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：3153222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰★★(5)4223311x x dx x +++⎰思路:观察到422223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)221x dx x+⎰ 思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x=-=-+++⎰⎰⎰注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。

一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。

★(7)x dx x x x ⎰34134（-+-）2 思路:分项积分。

考研高数检测题五不定积分

练习五不定积分基础练习1、求⎰xdx 2sin .2、求⎰xdx 3sin .3、求⎰xdx tan .4、求⎰xdx 2tan .5、求⎰xdx 3tan .6、求⎰xdx sec .7、求⎰xdx 2sec .8、求⎰xdx 3sec .9、求⎰xdx arccos .101112+x sin 1sin 13、求⎰+dx x 2sin 31.16、求⎰xy21.17、求⎰++dx x x 2221.18192021、求⎰+dx x 313.25、求⎰+dx x x )4(6.26272829、求⎰+dx xx 4.33、求⎰+dx x x 241.34353637、求⎰+dx e x 2)1(.41、已知xx sin 是)(x f 的一个原函数，求⎰'dx x f x )(3.4243真题演练注：积分积不出来的函数(原函数存在但不是初等函数，无法求出原函数)：①⎰dx e x 2，②⎰dx x x sin ，③⎰dx x ln 1，④⎰+dxx 41144、(1990数二)求⎰-dx x x 2)1(ln .454647、(1995数二)设2ln )1(222-=-x x x f 且x x f ln ))((=ϕ，求⎰dx x )(ϕ.48、(1996数二)求⎰+dx xxx) 1(arctan22.49505152、(2006)求⎰dx ee x xarcsin .5354练习五不定积分(答案)基础练习1.C x x +-42sin 2.提示:倍角公式降次.2.C x x ++-3cos 31cos .提示:凑微分法.3.C x +-cos ln .提示:凑微分法.14.C x+22tan arctan 21.提示:倍角公式后再分子分母同除以余弦的平方.15.C x ++312tan2arctan 32.提示:倍角公式后分子分母同除以余弦的平方.16.y x .提示:积分变量为x ,其他字母视为常数.17.C x ++)1arctan(.提示:不能分解因式,凑成反正切的导数.18.C x x +++21ln .提示:分母可以分解因式,用有理函数的积分方法.30.C x ++66)1(ln .提示:t x =6.31.C x x xx x x ++-+++-+--11arctan 21111ln 或C x x x +---arcsin 11ln 2.提示:令t xx =+-11或被积函数分子分母同乘x -1再令t x sin =.32.C x x +-+-31123.提示:原式dx x x x ⎰-+-=321111,令t x x =-+11.33.C xx x x ++++-333213)1(.提示:令t x tan =.34.C x x x +++arctan 21)1(22.提示:令t x tan =.45.C e e e x x x x +-+---1arctan 41412.提示:令t e x =-1,再分部积分.46.C x x x ++++-)cos 1(41cos 1cos 1ln 81.提示:凑微分.或C x x ++2tan ln 412tan 812.提示:倍角公式.47.C x x ++-1ln 2.提示:先求出11)(-+=x x x ϕ.48.C x x x x x +++--2221ln 21)(arctan 21arctan 1.提示:有理函数的积分,分部积分.或C xx x x x +++--221ln )(arctan 21arctan .提示:令t x =arctan .49.C e e x x x +++--)1ln()1(.提示:令t x =ln 再分部积分.。

不定积分考研计算题

不定积分是考研数学中的重要内容之一，以下是几个不定积分考研计算题的例子：
1.计算不定积分∫√(x^2-1) dx
这个题目考查了不定积分的计算方法和换元法的应用。

解题的关键在于将√(x^2-1)进行换元，令x=sect，从而将其转化为可积分的形式。

2.计算不定积分∫sin(x^2) dx
这个题目考查了不定积分的计算方法和分部积分法的应用。

解题的关键在于将
sin(x^2)进行分部积分，将其转化为可积分的形式。

3.计算不定积分∫(x^2+1)/(x^3+1) dx
这个题目考查了不定积分的计算方法和有理函数的积分方法。

解题的关键在于将有理函数进行分解，将其转化为可积分的形式。

4.计算不定积分∫e^(x^2) dx
这个题目考查了不定积分的计算方法和微积分基本定理的应用。

解题的关键在于将e^(x^2)进行微积分基本定理的运算，从而求出其不定积分的值。

以上只是不定积分考研计算题的一部分，实际上，不定积分的计算方法有很多种，需要考生在平时的学习中多加练习和掌握。

高等数学100题不定积分及答案

sin
5x
+
1 2
sin
x
+
c
∫ 63、 cos 2x cos 3xdx =
1 10
sin
5x
+
1 2
sin
x
+
c
∫ 64、 tan x sec xdx = sec x + c
∫ 65、
tan2 x sec xdx =
1 2
sec
x
tan
x
−
1 2
ln
|
sec
x
+
tan
x
|
+c
∫ 66、
tan x sec2 xdx =
x)2
+
c
∫ 78、
x
−
1
arctan + x2
x
dx
=
1 2
ln(1
+
x
2
)
3
−
2 3
(arctan
x)
2
+c
∫ 79、 arcsin x dx = (arc sin x )2 + c
x(1− x)
∫ 80、
1
dx = − 1 + c
(arcsin x)2 1− x2
arcsin x
∫ 81、 ex dx = ln(1+ ex ) + c
c
∫ 98、 cos x − sin xdx = ln | sin x + cos x | +c sin x + cos x
∫ 99、 sin x + 2 cos x dx = 3sin x + 4 cos x

高等数学不定积分例题、思路和答案(超全)

第4章不定积分内容概要课后习题全解习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。

思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1)思路: 被积函数52x-=，由积分表中的公式（2）可解。

解：532223x dx x C--==-+⎰★(2)思路:解：★(3)思路:解：★(4)思路:解：★★思路:解：42232233113arctan11x xdx x dx dx x x C x x++=+=++ ++⎰⎰⎰★★(6)221xdxx+⎰思路:注意到222221111111x xx x x+-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x=-=-+++⎰⎰⎰ 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。

一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。

★(7)x dx x x x⎰34134（-+-2 思路:分项积分。

解：3411x dx --134（-+-） ★(8)思路:解：★★思路:解：★★思路:解：★(11)1x e -⎰ 解：21(1)(1)(1).11x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--⎰⎰⎰ ★★(12)3x x e dx ⎰思路:初中数学中有同底数幂的乘法：指数不变，底数相乘。

显然33x x x e e =（）。

解：333.ln(3)x x x xe e dx e dx C e ==+⎰⎰（）（） ★★(13)2cot xdx ⎰思路:应用三角恒等式“22cotcsc 1x x =-”。

解：22cot (csc 1)cot xdx x dx x x C =-=--+⎰⎰★★(14)2352x xx dx ⋅-⋅⎰思路:解：★★思路:解：★★思路:解：★(17)思路:解：★(18)22cos 2cos sin x dx x x ⋅⎰ 思路:同上题方法，应用“22cos 2cos sin x x x =-”，分项积分。

《高等数学》不定积分课后习题详解

《高等数学》不定积分课后习题详解各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢篇一：高等数学第四章不定积分习题第四章不定积分4 – 1不定积分的概念与性质一.填空题1．若在区间上F?(x)?f(x)，则F(x)叫做f(x)在该区间上的一个f(x)的所有原函数叫做f(x)在该区间上的__________。

2．F(x)是f(x)的一个原函数，则y=F(x)的图形为?(x)的一条_________. 3．因为d(arcsinx)?1?x2dx,所以arcsinx是______的一个原函数。

4．若曲线y=?(x)上点(x,y)的切线斜率与x成正比例，并且通过点A(1,6)和B(2,-9),则该曲线方程为__________ 。

二．是非判断题1．若f?x?的某个原函数为常数，则f?x??0. [ ] 2．一切初等函数在其定义区间上都有原函数. [ ] 3．3??f?x?dx???f??x?dx. [ ]?4．若f?x?在某一区间内不连续，则在这个区间内f?x?必无原函数. [ ] ?ln?ax?与y?lnx是同一函数的原函数. [ ] 三．单项选择题1．c为任意常数，且F’(x)=f(x),下式成立的有。

（A）?F’(x)dx?f(x)+c;（B）?f(x)dx=F(x)+c;（C）?F(x)dx?F’(x)+c;(D) ?f’(x)dx=F(x) +c.2. F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数，f(x)?0，则下式成立的有。

（A）F(x)=cG(x); （B）F(x)= G(x)+c;（C）F(x)+G(x)=c; (D) F(x)?G(x)=c. 3．下列各式中是f(x)?sin|x|的原函数。

(A) y??cos|x| ; (B) y=-|cosx|;(c)y=??cosx,x?0,cosx?2,x?0;(D) y=??cosx?c1,x?0,cosx?c2,x?0.c1、c2任意常数。

10分钟掌握高数上不定积分问题(考研、期末复习均可以用)

10分钟掌握高数上不定积分问题（考研、期末复习均可以用）好久没有更新高数的内容了，之前一直更新的是概率论和线性代数的内容，其中概率基本更完了，线性代数还没，知识点有点多，道阻且长，哭唧唧T_T！！下面是之前更新的内容，请自取10分钟掌握高等数学上册函数极限求解问题（考研、期末复习均可以用）10分钟掌握高等数学上册导数及微分问题（考研、期末复习均可以用）10分钟掌握高等数学上册函数图像绘制问题（考研、期末复习均可以用）10分钟掌握中值定理相关问题（考研、期末复习均可以用）码字不易，观看后的同学请给个赞+关注如果有考研或是期末复习方面问题的话可以随时留言或者私信【答学百科】，更多期末复习资料更多更新内容也可以点击下方链接加入社群--------------分割线---------------首先简单介绍下积分，积分是导数的一个反向求解过程，很多人在高中的时候是学过导数的，所以在大学再学的时候会觉得比较简单，但是到了积分这一节，会突然卡住，发现怎么那么难，正着做会，反着就不会了，那么下面重点讲讲不定积分的求解吧一、原函数与不定积分的基本概念1、原函数设 f(x),F(x) 为定义在区间 I 上的函数，若对一切的 x\in I ，有 F'(x)=f(x) ，则称 F(x) 为 f(x) 的原函数备注：（1）函数 f(x) 是否存在原函数与区间 I 有关（2）连续函数一定存在原函数，反之不对（3）有第一类间断的函数一定不存在原函数，但有第二类间断点的函数可能有原函数（这句话还有另一种表达方式：即某个函数的导函数不一定连续），如F(x)=x^{2}sin\frac{1}{x}(x\ne0) ,F(x)=0(x=0)f(x)=2xsin\frac{1}{x}-cos\frac{1}{x}(x\ne0) ,f(x)=0(x=0)显然 F'(x)=f(x) ，但 x=0 为 f(x) 的二类间断点，即导函数不连续（4）若 f(x) 有原函数，则一定有无数个原函数，且任意两个原函数之差为常数（5）原函数、函数及导函数对比2、不定积分设 F(x) 为 f(x) 的一个原函数，则 f(x) 的所有原函数F(x)+C 称为 f(x) 的不定积分，记为 \int f(x)dx=F(x)+C注解：（1）\int [f(x)\pm g(x)]dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx （2） \int kf(x)dx=k\int f(x)dx【例题】\int (x+\frac{1}{x})dx=\int xdx+\int\frac{1}{x}dx=\frac{1}{2}x^{2}+ln\left| x\right|+C\int 5xdx=5\intxdx=5\times\frac{1}{2}x^{2}=\frac{5}{2}x^{2}+C二、不定积分基本公式1、常数函数积分\int kdx=kx+C2、幂函数积分\int x^{n}dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C ，\int\frac{1}{x}dx=ln\left| x \right|+C3、指数函数积分\int a^{x}dx=\frac{1}{lna}a^{x}+C ，\inte^{x}dx=e^{x}+C4、三角函数积分\int sinxdx=-cosx+C ，\int cosxdx=sinx+C，\inttanxdx=-ln\left| cosx \right|+C， \int cotxdx=ln\left| sinx \right|+C ， \int secxdx=ln\left| secx+tanx\right|+C ， \int cscxdx=ln\left| cscx-cotx\right|+C ， \int sec^{2}xdx=tanx+C ， \intcsc^{2}xdx=-cotx+C ， \int secxtanxdx=secx+C ， \int cscxcotxdx=-cscx+C5、特殊函数积分\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=arcsinx+C ， \int\frac{1}{1+x^{2}}dx=arctanx+C三、不定积分的积分法不定积分的积分方法主要有五种：一类换元法、二类换元法、分步积分法、有理函数积分法、三角函数积分法，课本上一般只介绍了前三种，不够全面，下面具体来看看（一）一类换元法（凑微法）1、定义设 f(u) 的原函数为 F(u) ， \varphi(x) 为可导函数，则\int f[\varphi(x)]\varphi'(x)dx=\intf[\varphi(x)]d\varphi(x)令 \varphi(x)=u ，则原式 =\intf(u)du=F(u)+C=F[\varphi(x)]+C在微凑法里面，很多同学会懵逼：d后面那个是怎么来的，完全没有思路实际上，一类换元法的话会涉及到微分的知识，如果对微分熟悉的同学应该还是可以看懂的，下面简单讲解一下回顾下微分的内容， dy=f'(x)dx ，其中 y=f(x) ，基于这个点，看下几个例子y=x^{2},dy=2xdx\Rightarrowdx^{2}=2xdxy=sinx,dy=cosxdx\Rightarrowdsinx=cosxdx【例题】\int 2xdx=\int d(x^{2})=x^{2}+C\intcosxdx=\int d(sinx)=sinx+C上述两道题从第一步到第二部的变化现在应该可以看懂了，主要就是利用微分的形式进行变化的2、凑微法基本公式以下列举了一些凑微法中常用的公式，不过不建议大家去背下来，主要还是要靠题目去巩固【例题】\int \frac{arcsinx}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=\intarcsinxdarcsinx=\frac{1}{2}(arcsinx)^2+C（二）二类换元法1、定义设 \varphi(t) 为单调可导函数，且\varphi'(t)\ne0， f(x) 有原函数，则令 x=\varphi(t)\int f(x)dx=\int f[\varphi(t)]\varphi'(t)dt=\intg(t)dt=G(t)+C =G[\varphi^{-1}(x)]+C2、适用范围（1）二类换元法经常使用在根号下的平方相加减的积分计算中，这时候就利用三角替换进行解答主要利用两个三角函数公式的变换：sin^{2}x+cos^{2}x=1 ， tan^{2}x+1=sec^{2}x ，利用三角函数的变化，去掉根号，再进行计算，常用的替换如下：情形一：若函数中含有 \sqrt{a^{2}-x^{2}} ，变换 x=asint情形二：若函数中含有 \sqrt{a^{2}+x^{2}}，变换 x=atant情形三：若函数中含有 \sqrt{x^{2}-a^{2}}，变换 x=asect（2）无理函数化成有利函数的积分【例题1】求解\int \frac{dx}{\sqrt{x}+1}解答：令 \sqrt{x}=t,x=t^{2},dx=2tdt原式为 \int\frac{dx}{\sqrt{x}+1}=\int\frac{2tdt}{t+1}=\int \frac{2t+2-2}{t+1}dt=2-\int \frac{2}{t+1}dt=2t-2ln\left| t+1\right|+C最后将 t 换回 x 即可，即原函数为2\sqrt{x}-2ln\left| \sqrt{x}+1 \right|+C【例题2】求解 \int \frac{dx}{\sqrt{1+x^{2}}}解答：令 x=tant,dx=sec^{2}t原式为 \int\frac{sec^{2}tdt}{\sqrt{1+tan^{2}t}}=\int\frac{sec^2t}{sect}dt=\int sectdt=ln\left|tant+sect \right|+C做到这边很多人又有疑问了，tant 可以换回去 x ，那么 sect 呢，如何换成 x的表达式，这里介绍一种图像结合的方法，大家看下下面这张三角形结合直角三角形及t和x的函数关系，即可推导出其余三角函数的公式所以原式为 =ln\left|x+\sqrt{1+x^{2}} \right|+C（三）分部积分法1、定义设 u(x),v(x) 连续可导，则分部积分法公式为 \intu(x)dv(x)=u(x)v(x)-\int v(x)du(x)2、适用情况以下几种形式可以采用分部积分法进行计算：（1）被积函数为幂函数与指数函数之积，如\int x^ne^{x}dx （2）被积函数为幂函数与指数函数之积，如\int x^nlnxdx （3）被积函数为幂函数与三角函数之积（4）被积函数为幂函数与反三角函数之积（5）被积函数为指数函数与三角函数之积（6）被积函数含有 sec^nx 或 csc^nx （ n 为奇数）备注：用分部积分法时一定要注意，哪个函数设为 u(x) ，哪个函数为 v(x) ，下列简述下不同的设法最后的结果是怎么样的【例题】求解 \int xe^{x}dx解答一：u(x)=e^{x},v'(x)=x 则u'(x)=e^{x},v(x)=\frac{1}{2}x^2\intxe^{x}dx=\inte^{x}d\frac{1}{2}x^2=\frac{1}{2}x^2e^{x}-\int\frac{1}{2}x^2e^{x}dx做到这发现一个问题，原来的积分仅为一次方，而用了一次分部积分后发现变成了二次方，解答难度变得更大了，这说明在函数的假设过程中是有问题的，若利用该方法继续往下算，会发现永远算不出来解答二：u(x)=x,v'(x)=e^{x} 则 u'(x)=1,v(x)=e^{x}\intxe^{x}dx=\int xde^{x}=xe^{x}-\inte^{x}dx=xe^{x}-e^{x}+C做到这里会发现分部积分法最重要的就是要将 u,v 设正确了，只要假设正确了，一般就能做出来（四）有理函数积分1、形式设 R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)} ，其中 P(x),Q(x) 为多项式，此处仅考虑P(x)的次数比 Q(x) 次数低时的情况（若P(x)的次数比 Q(x) 次数高时，可对 P(x) 进行拆分）（1） \int \frac{dx}{(x+a)(x+b)}=\int\frac{A}{(x+a)}+\frac{B}{(x+b)}dx（2） \int \frac{dx}{(x+a)(x+b)^2}=\int\frac{A}{(x+a)}+\frac{B}{(x+b)}+\frac{C}{(x+b)^2}dx（3）\int \frac{dx}{(x+a)(x^2+bx+c)}=\int\frac{A}{(x+a)}+\frac{Bx+C}{(x^2+bx+c)}dx将有理函数设成上面带有 A,B,C 的函数，通过与原式对比，解答出 A,B,C ，再进行计算【例题】求解 \int \frac{x+1}{x^2-x-6}dx分析：\frac{x+1}{x^2-x-6}=\frac{x+1}{(x+2)(x-3)}=\frac{A}{(x+2)}+\frac{B}{(x-3)}由 A(x-3)+B(x+2)=(A+B)x+(2B-3A)=x+1A+B=1 ， 2B-3A=1\RightarrowA=\frac{1}{5} ， B=\frac{4}{5}解答：\int \frac{x+1}{x^2-x-6}dx=\int\frac{1}{5}\frac{1}{x+2}+\frac{4}{5}\frac{1}{x-3}dx\frac{1}{5}ln\left| x+2\right|+\frac{4}{5}ln\left| x-3 \right|+C（五）三角函数积分三角函数的积分一般利用几个基础的三角变换公式进行化简，化简后再进行积分求解：1、倍角公式：sin2x=2sinxcosx ， cos2x=cos^2x-sin^2x=2cos^2x-1=1-2sin^2x2、半角公式：利用背角公式进行推导，此处不进行列举3、和积化差公式：sin\alpha+sin\beta=2sin(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{ 2})cos(\frac{\alpha}{2}-\frac{\beta}{2})sin\alpha-sin\beta=2cos(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2})sin(\fr ac{\alpha}{2}-\frac{\beta}{2})cos\alpha+cos\beta=2cos(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{ 2})cos(\frac{\alpha}{2}-\frac{\beta}{2})cos\alpha-cos\beta=-2sin(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2})sin(\frac{\alpha }{2}-\frac{\beta}{2})4、万能公式法令 tan\frac{x}{2}=u ，则 sinx=\frac{2u}{1+u^2} ，cosx=\frac{1-u^2}{1+u^2} ， dx=\frac{2}{1+u^2}du利用万能公式便可将三角函数积分变换成有理函数积分进行求解，不过该解法相对比较麻烦，很少会采用该方法进行计算不定积分的解答方法基本就是这些了，方法比较多，但是不同方法有对应的积分形式，只要熟悉了积分形式，解答的时候也相对快捷--------------分割线---------------码字不易，请大家点个赞吧~另外如果有考研或者数学方面问题的话可以随时留言或者私信，有问必答哈~也可以点击头像加入社群进行交流~。

不定积分的考研题库

不定积分的考研题库不定积分的考研题库在数学考研中，不定积分是一个重要的考点。

解不定积分的题目需要运用到一系列的技巧和方法，同时也需要对基本的积分公式和性质有一定的了解。

下面将通过一些例题来探讨不定积分的相关知识。

例题一：计算不定积分∫(x^2 + 3x - 2) dx。

解析：对于这个题目，我们可以直接按照积分的线性性质进行计算。

即将不定积分分解为每一项的不定积分之和。

所以，我们有：∫(x^2 + 3x - 2) dx = ∫x^2 dx + ∫3x dx - ∫2 dx。

根据不定积分的基本公式，我们可以得到：= (1/3)x^3 + (3/2)x^2 - 2x + C。

其中，C为任意常数。

例题二：计算不定积分∫(sin^2 x + cos^2 x) dx。

解析：对于这个题目，我们可以利用三角恒等式来化简。

根据三角恒等式sin^2 x + cos^2 x = 1，我们可以将被积函数化简为 1。

所以，我们有：∫(sin^2 x + cos^2 x) dx = ∫1 dx = x + C。

其中，C为任意常数。

例题三：计算不定积分∫(x^3 + x^2 + x + 1)/(x + 1) dx。

解析：对于这个题目，我们可以利用多项式除法来进行分解。

将被积函数进行分解，我们有：(x^3 + x^2 + x + 1)/(x + 1) = x^2 - x + 2 + (1/(x + 1))。

所以，我们有：∫(x^3 + x^2 + x + 1)/(x + 1) dx = ∫(x^2 - x + 2) dx + ∫(1/(x + 1)) dx。

根据不定积分的基本公式，我们可以得到：= (1/3)x^3 - (1/2)x^2 + 2x + ln|x + 1| + C。

其中，C为任意常数。

通过以上例题，我们可以看出不定积分的计算需要掌握一些基本的积分公式和性质。

在解题过程中，我们还可以利用一些技巧，如分解、化简等，来简化计算的过程。

定积分不定积考研题库

定积分不定积考研题库定积分是数学分析中的一个重要概念，它在物理学、工程学、经济学等多个领域都有着广泛的应用。

不定积分则是求定积分的逆过程，即求原函数的过程。

以下是一些关于定积分和不定积分的考研题目，供同学们练习和参考。

# 定积分与不定积分考研题库一、基础概念题1. 定义理解：请解释什么是定积分，并给出其数学表达式。

2. 原函数：描述不定积分与原函数之间的关系，并给出一个具体函数的不定积分。

二、计算题1. 简单函数的不定积分：- 求函数 \( f(x) = x^2 \) 在区间 \( [1, 2] \) 上的定积分。

- 求函数 \( g(x) = 3x - 2 \) 的不定积分。

2. 三角函数的积分：- 计算 \( \int \sin(x) \, dx \) 和 \( \int \cos(x) \, dx \)。

3. 指数和对数函数的积分：- 求 \( \int e^x \, dx \) 和 \( \int \ln(x) \, dx \)。

4. 有理函数的积分：- 计算 \( \int \frac{1}{x} \, dx \) 和 \( \int\frac{x}{x^2 + 1} \, dx \)。

三、应用题1. 面积问题：求由曲线 \( y = x^2 \) 与直线 \( y = 4 \) 以及\( x \) 轴所围成的图形的面积。

2. 物理问题：如果一个物体的位移函数是 \( s(t) = 2t^3 - 3t^2 \)，求在 \( t \in [0, 2] \) 内物体的平均速度。

四、综合题1. 变换技巧：使用换元积分法和分部积分法解决以下问题：- 求 \( \int x^2 e^x \, dx \) 和 \( \int e^x \sin(x) \, dx \)。

2. 参数方程的积分：如果曲线由参数方程 \( x = t^2 \) 和 \( y = t^3 \) 确定，求在 \( t \in [1, 2] \) 内曲线下的面积。

不定积分数三考研真题

不定积分数三考研真题不定积分数三考研真题在考研数学中，不定积分是一个重要的考点。

不定积分数三是考研数学中的一道经典题目，它涉及到了多个不同的积分方法和技巧。

本文将通过分析不定积分数三的解题思路，帮助考生更好地理解和掌握这道题目。

首先，让我们来看一下不定积分数三的具体表达式：∫(e^x * sin(x))dx这是一个由指数函数和三角函数组成的积分表达式。

要解决这个积分，我们需要运用一些积分的基本公式和技巧。

第一步，我们可以尝试使用分部积分法。

根据分部积分法的公式：∫(u * v)dx = u * ∫vdx - ∫(u' * ∫vdx)dx我们可以选择u = e^x，dv = sin(x)dx。

这样，我们可以得到du = e^xdx，v = -cos(x)。

将这些代入分部积分公式，我们可以得到：∫(e^x * sin(x))dx = -e^x * cos(x) - ∫(-e^x * (-cos(x)))dx化简上式，我们得到：∫(e^x * sin(x))dx = -e^x * cos(x) + ∫(e^x * cos(x))dx现在，我们得到了一个新的积分表达式∫(e^x * cos(x))dx。

这个表达式可以通过再次使用分部积分法来求解。

选择u = e^x，dv = cos(x)dx，我们可以得到：du = e^xdx，v = sin(x)将这些代入分部积分公式，我们可以得到：∫(e^x * cos(x))dx = e^x * sin(x) - ∫(e^x * sin(x))dx现在，我们得到了一个新的积分表达式∫(e^x * sin(x))dx。

观察这个表达式，我们会发现它与原始的积分表达式相同。

这意味着我们可以将它代入原始的积分表达式中，得到一个方程：∫(e^x * s in(x))dx = -e^x * cos(x) + e^x * sin(x) - ∫(e^x * sin(x))dx通过移项，我们可以得到：2∫(e^x * sin(x))dx = -e^x * cos(x) + e^x * sin(x)再次移项，我们可以得到：∫(e^x * sin(x))dx = (-e^x * cos(x) + e^x * sin(x))/2至此，我们成功地求解了不定积分数三的表达式。

考研高数强化试题及答案

考研高数强化试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^3-3x+1，则f'(x)等于：A. 3x^2-3B. x^3-3C. 3x^2-1D. 3x^2+3答案：A2. 极限lim(x→0) (sin x / x)的值为：A. 1B. 0C. -1D. 2答案：A3. 设函数f(x)=x^2-4x+c，若f(x)的图像与x轴有两个交点，则c的取值范围是：A. c>0B. c<0C. c>4D. c<4答案：D4. 已知函数f(x)=e^x，g(x)=ln x，则f(g(x))等于：A. e^(ln x)B. xC. ln xD. e^x答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^3+2x^2-5x+7，求f'(x)=______。

答案：3x^2+4x-52. 求不定积分∫(3x^2-2x+1)dx=______。

答案：x^3-x^2+x+C3. 设数列{a_n}是等差数列，且a_1=2，a_4=10，则公差d=______。

答案：24. 设函数f(x)=x^2-6x+8，求f(x)的最小值______。

答案：-2三、解答题（每题15分，共60分）1. 求极限lim(x→∞) (x^2-1) / (x^3+1)。

解：lim(x→∞) (x^2-1) / (x^3+1) = lim(x→∞) (1-1/x^2) / (x+1/x^3) = 1/x * lim(x→∞) (1-1/x^2) / (1+1/x^3) = 0。

2. 设函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f'(x)。

解：f'(x) = 3x^2 - 6x。

3. 求定积分∫(0到1) (2x-x^2)dx。

解：∫(0到1) (2x-x^2)dx = [x^2 - (1/3)x^3] (0到1) = (1 - 1/3) - (0 - 0) = 2/3。

高等数学—不定积分练习题

第三章复习X.1 积分换元的几种形式1．利用三角函数代换，变根式积分为三角有理式积分求⎰-dx x x 229解令t x sec 3=，则tdt t dx tan sec 3⋅= 于是⎰-dx x x 229⎰⎰=⋅=dt tttdt t t t sec tan tan sec 3sec 9tan 322.9|9|ln 9|393|ln sin |tan sec |ln )cos (sec 221221C xx x x C xx x xC t t t dt t t +---++---+=+-+=-=⎰练习求⎰-+221)1(xxxdx2．倒代换（即令tx1=）设n m ,分别为被积函数的分子、分母关于x 的最高次数，当1>-m n 时，可以考虑使用倒代换。

求⎰>+)0(222a xa xdx解令tx 1=，则dt t dx 21-=，于是原式⎰⎰⎰++-=+-=⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=12)1(1111122222222222t a t a d a t a tdt dt t t a tC xa a x C a t a ++-=++-=2222221 练习⎰-+dx x xx 11223．指数代换（适用于被积函数)(x f 由x a 所构成的代数式）令t ax=，.ln 1tdt a dx ⋅=求⎰++xx x dx 4212解令t x=2，t dt dx ⋅=2ln 1 原式⎰⎰++=⋅⋅++=43)21(2ln 12ln 1122t dtt dt t t t CC t C t t t d x ++=++=++⋅=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+⎰312arctan 2ln 32312arctan 2ln 322321arctan 322ln 123)21()21(2ln 1122练习求⎰+++6321x x xee e dxX.2 有理函数的积分一、有理函数的积分形为mm m m nn n n b x b x b x b a x a x a x a x Q x P ++++++++=----11101110)()( ，（1）其中m 和n 都是非负整数；n a a a a ,,,,210 及m b b b b ,,,,210 都是实数，并且0,000≠≠b a 。

考研数学专题训练-不定积分综合测试题

考研数学专题训练-不定积分综合测试题（1）一、选择题1.下列函数中不是22x x e e --的原函数的是（）。

22222211.().()221.().2()2x xx x x x x x A e e B e e C e e D e e ----++-+2.下列等式正确的是（）。

.()().()().()().()()A d f x dx f x B d f x dx f x dx ddC f x dx f x dxD f x dx f x c dxdx====+⎰⎰⎰⎰3．经过点（1，0）且在任意点x 处切线斜率为23x 的曲线方程是（）。

3333..1.1.A y x B y x C y x D y x c==+=-=+()4.()(,)().f x F x 已知是内的奇函数，是它的一个原函数，则-∞+∞.()().()().()().()()A F x F x B F x F x C F x F x c D F x F x c=---==--+=+()5.()cos 2,().x f x dx e x c f x 已知则=+=⎰.cos 2.sin 2.(cos 22sin 2).(cos 22sin 2)x x xxA e xB e xC e x xD e x x c---+6．如果()()(),().x x f x dx F x c e f e dx --=+=⎰⎰则.().().().()x x xxxA F e CB F eC C F e CD e F e C----+-+++()217.(1)sin .sin d x x不定积分+=⎰.cot .cot sin 11.sin .sin sin sin A x c B x x c C x c D x c xx-+-++-++++()ln ln 8..xdx x不定积分=⎰()()()().ln ln 1.ln ln ln .ln ln 1ln .ln ln ln ln A x x C B x x x CC x x CD x x x C-+-+-+-+二、填空题21.()(tan )sec _______.x x e f x f x xdx -+=⎰已知是的一个原函数，则2.(1)sin(1), ()_______.f x dx x x c f x +=++=⎰已知则3. (ln )1, ()_________.f x x f x '=+=已知则4．1,1()2,1x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩已知 , 则()___f x dx =⎰.5.(2,1)(,)3_________.x y x 已知一曲线经过点，且在其上任一点处的切线斜率等于，曲线的方程为6.()()arctan ,()________.f x xf x dx x c f x dx =+=⎰⎰设函数满足求7.()(1sin )ln , ()________.f x x x xf x dx '+=⎰已知的一个原函数为则228.______.cos (1)xdx x =+⎰不定积分三、计算题1. 2212.1x dx x -+⎰1sin 23.sin cos xdx x x ++⎰4.25. 16.x xdx e e -+⎰7.8.9. 210.tan x xdx ⎰11.tan x x e e dx ⎰ ln tan 12.sin cos xdx x x⎰考研数学专题训练-不定积分综合测试题（1）答案与提示一选择题1. 答案：A 提示：()()222212xx x xee dx e e C ---=++⎰ 2. 答案：B 3. 答案：C提示：2233, 3y x y x dx x C '===+⎰.1,0x y ==,得1C =-.4. 答案：B提示：()()F x f x '=，()f x 为奇函数，则()()0F x F x ''-+=，即[]()()0dF x F x dx--+=，从而存在常数c ，使()()F x F x c --=，令0x =，得0c =. 5. 答案：C提示：()()cos 2(cos 22sin 2)xxf x e x ce x x '=+=-.6. 答案：B提示：()()()()x x x x x e f e dx f e d e F e C -----=-=-+⎰⎰.7. 答案：C 8. 答案：C提示：ln ln 1ln ln ln ln ln ln (ln ln 1)ln x dx xd x x x dx x x C x x ==-=-+⎰⎰⎰.二、填空题1．答案：tan tan xx e C -++提示：()()1x x f x x e e --'=+=-.2(tan )sec (tan )tan f x xdx f x d x =⎰⎰tan tan x x e C -=++.2. 答案：sin (1)cos x x x +-提示：作变量替换1t x =+，再将t 用x 替换，已知条件等价于()()1sin f x dx x x c =-+⎰.则()()1sin sin (1)cos f x x x c x x x '=-+=+-⎡⎤⎣⎦.3. 答案：xx e C ++提示：令ln t x =，则()1tf t e '=+.()(1)x x f x e dx x e C =+=++⎰.4. 答案：2212()(112x x C x f x dx C x C x ⎧++≤⎪⎪=⎨⎪++>⎪⎩⎰为任意常数)提示：21(1)2x dx x x C +=++⎰，212xdx x C =+⎰，其中C 和1C 为任意常数. 因函数()f x dx ⎰在1x =点连续，则1312C C +=+，即112C C =+.5. 答案：2352x y =- 提示：233, 32y x y xdx x C '===+⎰，将2, 1x y ==代入得5C =-. 6. 答案：221ln()21x C x ++ 提示：对()arctan xf x dx x c =+⎰求导，得21()(1)f x x x =+.则21()ln 1x f x dx dx dx x C x x=-=-+⎰⎰⎰. 7. 答案：cos ln sin (1sin )ln x x x x x x C +-++ 提示：()1sin ()(1sin )ln cos ln xf x x x x x x+'=+=+, 1()()()cos ln (1sin )(1sin )ln xf x dx xf x f x dx x x x x x x C '=-=++-++⎰⎰cos ln sin (1sin )ln x x x x x x C =+-++.8. 答案：21tan(1)2x C ++ 提示：22222211sec (1)(1)tan(1)cos (1)22x dx x d x x C x =++=+++⎰⎰. 三、计算题7158881.15x dx x c ==+⎰⎰22221122.arctan 11x x dx dx x x cx x -+-==-+++⎰⎰解：21sin 2(sin cos )3.sin cos sin cos sin cos x x x dx dx x x cx x x x ++==-+++⎰⎰解：3224.(1)3x c==+=++⎰⎰2315.3c ==216.arctan 1x xx x xe dx dx e c e e e -==+++⎰⎰解：323222127.arctan(331()dx cx ==++⎰8.c =-=-⎰9.2c == ()22210.tan sec 1sec tan tan ln cos x xdx x x dx x xdx dx xd x dx x x x x c=-=-=-=+-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰解：11.tan tan ln cos x x x x x e e dx e de e c ==-+⎰⎰解：22ln tan ln tan 112.ln tan ln tan (ln tan )sin cos cos tan 2x x dx dx xd x x c x x x x ===+⎰⎰⎰解：考研数学专题训练-不定积分综合测试题（2）一、选择题()0()()1.sin ()lim.x f x x f x x f x x∆→+∆-∆已知是的一个原函数，则.sin .cos .sin .cos A xB xC xD x --()ln 2.()().xf x xf x dx x'=⎰已知的一个原函数为，则2ln 1ln 112ln ....xxx A C B C C c D c xx xx x++++-+()3.()2(0)1,()().f x f f x f x dx ''===⎰已知且则222.21.(21).22.(21)A x B x C x x cD x c++++++4.已知()(),f x x φ''=则下列各式( )成立。

不定积分考研题库真题

不定积分考研题库真题不定积分考研题库真题在考研数学中，不定积分是一个重要的知识点。

它不仅在高等数学中有广泛的应用，而且在其他学科中也有着重要的地位。

因此，对于考研学生来说，掌握不定积分的方法和技巧是非常重要的。

不定积分的考研题库真题是考生备考的重要素材之一。

通过做真题，考生可以更好地了解考试的难度和出题的思路，从而有针对性地进行复习和训练。

首先，我们来看一道考研不定积分真题：1. 计算不定积分∫(x^2 + 2x + 1) / (x + 1) dx。

这道题目看似简单，但是需要考生熟练掌握分式的分解和积分的基本方法。

首先，我们可以将被积函数进行分解，得到：∫(x^2 + 2x + 1) / (x + 1) dx = ∫(x + 1) dx + ∫1 dx。

接下来，我们分别对两个积分进行计算：∫(x + 1) dx = (1/2)x^2 + x + C1，∫1 dx = x + C2。

将两个积分的结果相加，得到最终的答案：∫(x^2 + 2x + 1) / (x + 1) dx = (1/2)x^2 + x + C1 + x + C2。

简化后，得到：∫(x^2 + 2x + 1) / (x + 1) dx = (1/2)x^2 + 2x + C。

这道题目虽然简单，但是考察了考生对于分式分解和积分计算的掌握程度。

通过做这样的真题，考生可以更好地了解自己的薄弱环节，并有针对性地进行复习和训练。

除了这道题目，不定积分的考研题库真题还包括其他类型的题目，如分部积分法、换元积分法等。

这些题目涉及到不同的积分方法和技巧，考生需要根据自己的实际情况进行选择和练习。

在备考不定积分的过程中，考生还可以参考一些经典的教材和辅导资料。

这些资料中通常会有大量的例题和习题，可以帮助考生更好地理解和掌握不定积分的知识点。

此外，考生还可以参加一些专门的辅导班或者线上课程。

这些辅导班和课程通常由经验丰富的老师授课，可以帮助考生系统地学习和巩固不定积分的知识点，并提供一些实战经验和解题技巧。

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考研数学高等数学强化习题-不定积分-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN模块五不定积分Ⅰ经典习题一．原函数与不定积分1、设,0(),0x e x f x x x ⎧≥=⎨<⎩，1sin ,0()0,0x x g x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩下述命题成立的是（）（A ）()f x 在[1,1]-上存在原函数（B ）(0)g '存在（C ）()g x 在[1,1]-上存在原函数（D ）1()()xF x f t dt -=⎰，则(0)F '存在2、若()f x 的导函数是sin x ,则()f x 有一个原函数为 ( )(A) 1sin x + (B) 1sin x - (C) 1cos x + (D) 1cos x -3、在下列等式中,正确的结果是 ( )(A) ()()df x dx f x dx =⎰ (B) ()()f x dx f x '=⎰(C) ()()df x f x =⎰ (D) ()()d f x dx f x =⎰ 4、已知()F x 是()f x 的一个原函数，则()--=⎰x x e f e dx _____.二．有理函数积分5、计算下列不定积分（1）32211++-⎰x x dx x （2）()()222311x dx x x +-+⎰ （3）25613x dx x x +-+⎰ （4）2100(1)-⎰x dx x （5）21(21)(1)++⎰dx x x （6）21(1)-⎰dx x x（7）()7711x dx x x -+⎰ （8）226114(1)-+-⎰x x dx x x （9）()()22121---⎰dx xx x （10）()()3222412+++++⎰x x xdx xx x（11）241x dx x -⎰ （12）()2311x dx x x +-⎰ （13）33156x dx x x ++-⎰ （14）421dxx x ++⎰三．可化为有理函数的积分1．三角有理式6、计算下列不定积分（1）()1sin sin 1cos ++⎰xdx x x （2）3sin cos ⎰dx x x（3）3sin 2cos +⎰x dx x （4）211cos +⎰dx x （5）sin 1sin +⎰x dx x （6）22221sin cos +⎰dx a x b x（7）()()210sin cos ≠+⎰dx ab a x b x （8）()12cos sin dx x x+⎰（9）64tan cos sin ⎰x x dx x（10）41sin ⎰dx x 2．指数有理式的积分7、计算下列不定积分（1）311++⎰x xe dx e （2）211+⎰x dx e （3）1x x dx e e --⎰（4）()211x dx e +⎰ 四．根式的处理8、计算下列不定积分（1）（2）（3）3（4）⎰（5）（6）dx x⎰（7）（8）9、计算下列不定积分（1）()0>a （2）（3）（4）dx （5）（6）五．分部积分法的使用10、计算下列不定积分（1）2ln sin sin ⎰x dx x （2）()2ln 1-⎰xdx x （3）2sin ⎰x xdx （4）22arctan 1+⎰x xdx x （5）()2ln 1+-⎰x x dx x （6）2arctan ⎰xxe dx e （7）()2arcsin ⎰x dx （8）2ln 1-⎰x dx x11、计算下列不定积分（1）(2ln x dx⎰ （2）2xdx（3）⎰（4）（5）()22arctan 1x xdx x +⎰（6）⎰ （7）2cos sin cos xx xedx x +⎰ （8）22sec tan x x x dx x -⎰ 12、若()f x 的一个原函数为2ln x ，则()'=⎰xf x dx （） (A) 2ln ln -+x x C (B) 22ln ln ++x x C (C) 22ln ln -+x x C (D) 2ln ln ++x x C13、已知sin xx是()f x 的原函数，求()3'⎰x f x dx . 14、已知曲线()y f x =过点1(0,)2-,且其上任一点(,)x y 处的切线斜率为2ln(1)x x +,求()f x .15、求积分()sin ln ⎰x dx .16、已知()f x 有二阶连续导数，证明：()()()121212124x xf x dx f x f x C '''-=---+⎰. 六．其他考查形式17、设231,0()1,012,1x f x x x x x <⎧⎪=+<≤⎨⎪>⎩求 ()f x dx ⎰.18、设22(sin )cos 2tan (01),f x x x x '=+<<则()___f x =Ⅱ参考答案一．原函数与不定积分1、【答案】：（C ）【解析】：()g x 在[1,1]-上连续，故存在原函数（A ）不正确，()f x 在点0x =处具有跳跃间断点，故在包含此点的区间内不存在原函数2、【答案】：(B)【解析】：由()f x 的导函数是sin x ,即()sin f x x '=,得()()sin cos f x f x dx xdx x C '===-+⎰⎰, 其中C 为任意常数.所以()f x 的原函数12()()(cos )sin F x f x dx x C dx x C x C ==-+=-++⎰⎰,其中12,C C 为任意常数.令10C =,21C =得()1sin F x x =-.故选(B). 3、【答案】:(A)【解析】:由不定积分的概念和性质可知,()()()()df x dx f x dx f x .dx'==⎰⎰()()()f x dx df x f x C '==+⎰⎰,C 为常数.()()d f x dx f x dx.=⎰故应选(A).4、【答案】:()--+x F e C【解析】:因为()F x 是()f x 的一个原函数，故()()'=F x f x .令-=x u e ，则()()()()()-----=-=-=-+=-+⎰⎰⎰x x x x x e f e dx f e de f u du F u C F e C . 二．有理函数积分5、（1）【答案】：()3211ln221-++++x x x C x【解析】：()()322223212131111221111ln 221+++⎡⎤⎛⎫=++=++- ⎪⎢⎥---+⎣⎦⎝⎭-=++++⎰⎰⎰x x x x dx x dx x dx x x x x x x x Cx（2）【答案】： ()21513ln 1ln 1ln +1arctan 4422x x x x C -++---+（3）【解析】：通过变换，将积分转化为常见积分，即222538613613613x x dx dx dx x x x x x x +-=+-+-+-+⎰⎰⎰2221(613)82613(34d x x dx x x x -+=+-+-+⎰⎰） 223(1ln(613)432(1x d x x x -=-++-+⎰）2）2213ln(613)4arctan 22x x x C -=-+++（4）【解析】：原式=1001111()()()x x dx x +-+-⎰99100111()()x dxdx x x +=+--⎰⎰ 98991002111()()()dx dx dxx x x =++---⎰⎰⎰979899111974999()()()x x x C ------=---+ （5）【解析】：设221(21)(1)211+=+++++A Bx Cx x x x ，计算得421;;555==-=A B C .()()2222224211211211555(21)(1)2115215151211ln 21ln 1arctan 555⎛⎫-++ ⎪+=+=-+ ⎪+++++++ ⎪⎝⎭=+-+++⎰⎰⎰⎰⎰x d x d x dx dx dx x x x x x x x x x x C（6）【解析】：22221111111(1)(1)(1)(1)1(1)--=-=-+=-+------x x x x x x x x x x x x22221111111ln (1)(1)(1)1(1)11⎡⎤--==-=-+=-+⎢⎥-------⎣⎦⎰⎰x x x dx dx C x x x x x x x x x x x （7）【解析】：72ln ln 17x x C -++（8）【解析】：2226114421(1)1(1)-+=+----x x x x x x x222611442114ln 2ln 1(1)1(1)1⎛⎫-+=+-=+-++ ⎪----⎝⎭⎰⎰x x dx dx x x C x x x x x x （9）【解析】：()()()()()()222211211212111==+++-+-----+--A B C Dx x x xx x x x x x 其中1111;;;31242==-=-=-A B C D .故()()()()()22222111111312422112121111111ln 2ln 1ln 1312421⎛⎫--- ⎪==+++ ⎪-+-------- ⎪⎝⎭=--+--++-⎰⎰dx dx x x x x x x x x x x x x x C x （10）【解析】：()()()322222421122+++=+++++++++x x xA B Cx Dx x x xx x x 其中1;2;0;1====-A B C D .()()()3222222412121ln 22121122⎛⎫++=+-=+-- ⎪ ⎪++++++++++⎝⎭⎰⎰⎰x x xdx dx x dx x x x x x x x x xx 2221121122⎛⎫+ ⎪⎝⎭==+++⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰d x dx C x x x ，故()()322242ln 2212++=+-++++⎰x x xdx x C x x x x （11）【解析】：111lnarctan 412x x C x +-+-（12）【解析】：()221ln ln 1ln 136x x x x C -+-++++（13）【答案】：【解析】：（14）【答案】：2211ln 41x x C x x ++++-+ 【解析】：()()42222222111122221111111ln 41x x dx dx dx x x x x x x x x x x x x C x x ⎡⎤+-⎢⎥==-⎢⎥++++-+++-+⎢⎥⎣⎦++=+-+⎰⎰⎰6、（1）【解析】：利用万能公式：22212cos ,sin ,(tan )112t t xx x t t t -===++，令2arctan x t =，则221=+dx dt t()2211ln 86x x C x x -++++333222111117544215656161211123422411114ln 14282321231224⎛⎫+ ⎪+-⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪+-+--++⎝⎭ ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎡⎤⎛⎫⋅++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦⎣⎦=+----⋅⋅ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰x x x dx dx x dx x x x x x x x x dd x x x dx x x ()222111ln 86+-=++++⎰dx x x C x x()22222222211sin 1111112ln sin 1cos 2422111111tan ln tan tan 42222⎛⎫+ ⎪+++⎛⎫⎝⎭==++=+++ ⎪+⎛⎫-⎝⎭+ ⎪++⎝⎭=+++⎰⎰⎰t x t t dx dt t dt t t t C x x t t t t t x x x C （2）【答案】：21tan ln tan 2x x C ++【解析】：先作恒等变形，凑微分得2241tan 1tan tan ln tan tan cos tan 2dx x I d x x x C x x x +===++⎰⎰ （3）【解析】：()231cos sin cos 2cos 2cos -=-++⎰⎰x x dx d x x x，令cos =t x ，故322222sin 1143322cos 22221123ln 2cos 2cos 3ln cos 222---+⎛⎫=-===-+ ⎪+++++⎝⎭=-+++=-+++⎰⎰⎰⎰⎰x t t t dx dt dt dt t dt x t t t t t t t C x x x C（4）【解析】：()222211tan 1cos 2tan cos 1sec ===++++⎰⎰⎰d x dx dx C x x x x （5）【解析】：()()2222sin 1sin sin sin tan tan sec sec 11sin cos cos sec tan -==-=--+=-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰x x x x dx dx dx xdx x xdx x dx x x x x x x C （6）【解析】：()22222222222tan 1sec 11arctan tan sin cos tan tan ⎛⎫===+ ⎪+++⎝⎭⎰⎰⎰d a x x a dx dx x C a x b x a x b a a x b abb（7）【解析】：()()()()22222tan 1sec 111tan sin cos tan tan cos sin cos +===-⋅+++++=-++⎰⎰⎰d a x b xdx dx C a a a x ba xb x a x b a x b xC a x ab x（8）【解析】：()()()231cos 2cos 1ln 61cos -+++x x C x （()()()111ln 2cos ln 1cos ln 1cos 326+-++-+x x x C ）（9）【解析】：()22654331sin tan cos cos sin sin sin sin -==⎰⎰⎰x x x xdx dx d x xx x 令sin =t x 则原式为()226243321tan cos 21112ln sin 22-⎛⎫==-+=--+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰t x xdx dt t dt t t C x t t t t即662442tan cos tan cos 11sin 2ln sin sin sin 22sin ==--+⎰⎰x x x x dx dx x x C x x x（10）【解析】：()22222224431sin cos csc 1cot csc csc cot sin sin 1cot cot 3+==+=+=--+⎰⎰⎰⎰⎰x x dx dx x x dx xdx x xdx x x x x C 7、（1）【解析】：方法一：()()333221*********ln ln 22=+++⎛⎫===+-⎪+++⎝⎭=+-+=+-+⎰⎰⎰⎰xx x t e xx x x x x x e e t dx de dt t dt e t t t e e t t t C e e e C方法二：令1=+x t e ，则()11,ln 1,1=-=-=-x e t x t dx t . 则原式为()332111133111-++-+=⋅=+--⎰⎰⎰x x t e t t dx dt dt e t t t （2）【解析】：()()()()222222*********ln ln 1ln 122=-⎛⎫===+⎪++++⎝⎭=-++=-++⎰⎰⎰⎰xxt e x x x x e t dx dx dt dt e t t e e t t t t C x e C（3）【解析】：11ln 21x xe C e -++（4）【解析】：()1ln 11x xx e C e+-+++ 四．根式的处理8、（1）【解析】：)4ln 1C +（2）【解析】：=⎰令4=t ()324414,11-==--t x dx dt t t .()()324242244144111211111ln2arctan 2arctan 1-⎛⎫=--⋅⋅=-=- ⎪--+⎝⎭-+=-+=--⎰⎰⎰t t t dt dt dt t t t t t tt C Ct（3）【解析】：令12=t 1211,12==x t dx t dt.()6411141283513315139412421121224244424451335133--=⋅=--=--+=--+⎰⎰t t t dt t t t dt t t t t C x x x C（4）【答案】：)1C+【解析】：令21,2t t x dx tdt +===于是 t t t te dt te e dt ==-⎰⎰⎰())11.t t e C C =-+=+（5）【答案】：C -+【解析】：⎰1x t=21dt t ⎫-=-⎪⎭ln1t C C=-=--++=-+（6）33arccos Cx+（7）()3223113x Cx++（8）C9、（1）【答案】：1(ln arcsin)2++xCa【解析】：令tax sin=，则原式1cos sin1cos sin2sin cos2sin cost t t tdt dtt t t t-+=+++⎰⎰111ln sin cos(ln arcsin)222=+++=++xt t t C Ca（2）=令12secθ-=x，则2sec tanθθθ=dx d，原式为()2sec tan sec2sec12tan2sec12cosθθθθθθθθθθ====+++⎰⎰⎰d d d利用万能公式：22212cos,sin,(tan)112t t xx x tt t-===++222cos3θθ==+++⎰⎰ddt Ct再将变量还原即可。

考研数学高等数学强化习题-不定积分