高中数学专题三 求椭圆及双曲线的离心率 的方法
离心率求解技巧
离心率求解技巧离心率是描述椭圆轨道形状的一个重要参数，它可以用来衡量椭圆离圆形的程度。
在太空科学和航天工程中，离心率的求解是一个基本的问题。
下面将介绍一些离心率求解的技巧。
一、基本概念离心率是椭圆轨道焦点与椭圆形心之间的距离与椭圆长轴的比值。
换句话说，离心率表示椭圆形状的扁平度。
当离心率为0时，椭圆退化为圆形；当离心率为1时，椭圆退化为抛物线；当离心率大于1时，椭圆退化为双曲线。
二、离心率的求解求解离心率的基本思路是通过已知的轨道参数来计算。
根据Kepler定律，可以利用动量守恒定律和能量守恒定律来推导椭圆轨道的离心率。
1. 动量守恒定律根据动量守恒定律，可以得到以下公式：m * (V * r) = h，其中m表示物体的质量，V表示物体在轨道上的速度，r表示物体距离轨道中心的距离，h表示动量守恒常数。
当物体距离轨道中心的距离最小时（即椭圆轨道的近地点），动量守恒常数h可以表示为：h = m * (Vmin * rmin)，其中Vmin表示物体在近地点的速度，rmin表示物体在近地点的距离。
2. 能量守恒定律根据能量守恒定律，可以得到以下公式：E = (1/2) * m * V^2 - G * M * m / r，其中E表示物体的总能量，G表示万有引力常数，M 表示天体的质量。
当物体距离轨道中心的距离最远时（即椭圆轨道的远地点），能量守恒常数E可以表示为：E = (1/2) * m * Vmax^2 - G * M * m / rmax，其中Vmax表示物体在远地点的速度，rmax表示物体在远地点的距离。
3. 离心率的求解根据动量守恒定律和能量守恒定律，可以得到以下公式：Vmin * rmin = Vmax * rmax，以及Vmin^2 * rmin = Vmax^2 * rmax + 2 * G * M / (1 - e)，其中e表示椭圆轨道的离心率。
将上述两个公式联立求解，可以解得椭圆轨道的离心率e。
椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题
椭圆和双曲线的离心率的求值及范围求解问题【重点知识温馨提示】1.e＝ca＝1－b2a2(0<e<1)，e＝ca＝1＋b2a2(e>1)2.确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，c的方程或不等式，进而得到关于e的方程或不等式，3.【典例解析】例1.(2015·新课标全国Ⅱ，11)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( )A. 5 B．2 C. 3 D. 2例2.【2016高考新课标3文数】已知O为坐标原点，F是椭圆C：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34例3 (2015·福建)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，32 B.⎝⎛⎦⎤0，34 C.⎣⎡⎭⎫32，1 D.⎣⎡⎭⎫34，1例4.(2014·江西)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________． 【跟踪练习】1. (2015·浙江)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (c ，0)关于直线y ＝b c x 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________．2. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c 是a 、m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项， 则椭圆的离心率是( ) A.33 B.22 C.14 D.123.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)、F 2(c,0)，若椭圆上存在点P 使a sin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1，则椭圆的离心率的取值范围为______．4.过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若FB →＝2F A →，则此双曲线的离心率为( ) A. 2B. 3 C ．2D. 55.(2015·山东)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________．6.(2015·湖北)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( )A ．对任意的a ，b ，e 1<e 2B ．当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2C ．对任意的a ，b ，e 1>e 2D ．当a >b 时，e 1>e 2；当a <b 时，e 1<e 27、（2016年山东高考）已知双曲线E ：22x a–22y b =1（a >0，b >0）．矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |，则E 的离心率是_______．8（2015年高考）过双曲线C ：22221x y a a-=0,0a b >>（）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ,则C 的离心率为 .9、（齐鲁名校协作体2016届高三上学期第二次调研联考）设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m ，0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是（）(A)(B)(C) (D) 10、（东营市、潍坊市2016届高三高三三模）已知1F 、2F 为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，以原点O 为圆心，半焦距长为半径的圆与椭圆相交于四个点，设位于y 轴右侧的两个交点为A 、B ，若1ABF ∆为等边三角形，则椭圆的离心率为（ ）A 1B 1-C D11、（济宁市2016届高三上学期期末）已知抛物线2y =-的焦点到双曲线()222210,0x y a b a b -=>>A.3B.3C.D.3912、（莱芜市2016届高三上学期期末）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点是(),0F c -，离心率为e ，过点F 且与双曲线的一条渐近线平行的直线与圆222x y c y +=在轴右侧交于点P ，若P 在抛物线22y cx =上，则2e =A.5B.51+ C.51-D.213，（烟台市2016届高三上学期期末）设点F 是抛物线()2:20x py p τ=>的焦点，1F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，若线段1FF 的中点P 恰为抛物线τ与双曲线C 的渐近线在第一象限内的交点，则双曲线C 的离心率e 的值为 A.322B.334C.98D.3241,4、（青岛市2016高三3月模拟）已知点12,F F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足21212,120PF F F F F P =∠=，则双曲线的离心率为_________.15、（日照市2016高三3月模拟）已知抛物线28y x =的准线与双曲线222116x y a -=相交于A,B 两点，点F 为抛物线的焦点，ABF ∆为直角三角形，则双曲线的离心率为 A.3B.2C.6D.316. (2015·重庆)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程；(2)若|PQ |＝λ|PF 1|，且34≤λ＜43，试确定椭圆离心率e 的取值范围．答案部分：例1【解析】 如图，设双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，则|AB |＝2a ，由双曲线的对称性，可设点M (x 1，y 1)在第一象限内，过M 作MN ⊥x 轴于点N (x 1，0)，∵△ABM 为等腰三角形，且∠ABM ＝120°，∴|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBN ＝60°，∴y 1＝|MN |＝|BM |sin ∠MBN ＝2a sin 60°＝3a ，x 1＝|OB |＋|BN |＝a ＋2a cos 60°＝2a .将点M (x 1，y 1)的坐标代入x 2a 2－y 2b 2＝1，可得a 2＝b 2，∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝2，选D.例2【答案】A例3如图，设左焦点为F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形．∵|AF |＋|BF |＝4， ∴|AF |＋|AF 0|＝4， ∴a ＝2.设M (0，b )，则4b 5≥45，∴1≤b ＜2.离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝4－b 24∈⎝⎛⎦⎤0，32， 故选A.例4.直线AB ：x ＝c ，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a .∴A (c ，b 2a )，B (c ，－b 2a )．∴kBF 1＝－b 2a －0c －(－c )＝－b 2a 2c ＝－b 22ac .∴直线BF 1：y －0＝－b 22ac (x ＋c )．令x ＝0，则y ＝－b 22a，∴D (0，－b 22a )，∴k AD ＝b 2a ＋b 22ac ＝3b 22ac .由于AD ⊥BF 1，∴－b 22ac ·3b 22ac ＝－1，∴3b 4＝4a 2c 2，∴3b 2＝2ac ，即3(a 2－c 2)＝2ac ， ∴3e 2＋2e －3＝0，∴e ＝－2±4－4×3×(－3)23＝－2±423.∵e >0，∴e ＝－2＋423＝223＝33.【跟踪练习】1，答案 方法一 设椭圆的另一个焦点为F 1(－c,0)，如图，连接QF 1，QF ，设QF 与直线y ＝bcx 交于点M .由题意知M 为线段QF 的中点，且OM ⊥FQ .又O 为线段F 1F 的中点， ∴F 1Q ∥OM ，∴F 1Q ⊥QF ，|F 1Q |＝2|OM |.在Rt △MOF 中，tan ∠MOF ＝|MF ||OM |＝bc ，|OF |＝c ，可解得|OM |＝c 2a ，|MF |＝bca，故|QF |＝2|MF |＝2bc a ，|QF 1|＝2|OM |＝2c 2a .由椭圆的定义得|QF |＋|QF 1|＝2bc a ＋2c 2a ＝2a ，整理得b ＝c ，∴a ＝b 2＋c 2＝2c ，故e ＝c a ＝22.方法二 设Q (x 0，y 0)，则FQ 的中点坐标⎝⎛⎭⎫x 0＋c 2，y 02，k FQ＝y0x 0－c ，依题意⎩⎨⎧y 02＝b c ·x 0＋c 2，y 0x 0－c ·bc ＝－1，解得⎩⎨⎧x 0＝c (2c 2－a 2)a 2，y 0＝2bc2a 2，又因为(x 0，y 0)在椭圆上，所以c 2(2c 2－a 2)2a 6＋4c 4a 4＝1，令e ＝c a ，则4e 6＋e 2＝1，∴离心率e ＝22. 2解析 在双曲线中m 2＋n 2＝c 2，又2n 2＝2m 2＋c 2，解得m ＝c2，又c 2＝am ，故椭圆的离心率e ＝c a ＝12.3依题意及正弦定理，得|PF 2||PF 1|＝a c (注意到P 不与F 1，F 2共线)， 即|PF 2|2a －|PF 2|＝a c ， ∴2a |PF 2|－1＝c a ，∴2a |PF 2|＝c a ＋1>2a a ＋c，即e ＋1>21＋e ，∴(e ＋1)2>2.又0<e <1，因此2－1<e <1.4解析 (1) 如图，∵FB →＝2F A →，∴A 为线段BF 的中点， ∴∠2＝∠3.又∠1＝∠2，∴∠2＝60°， ∴ba＝tan 60°＝3， ∴e 2＝1＋(ba )2＝4，∴e ＝2. 答案 C5.把x ＝2a 代入x 2a 2－y 2b 2＝1得y ＝±3b .不妨取P (2a ，－3b )．又∵双曲线右焦点F 2的坐标为(c,0)， ∴kF 2P ＝3b c －2a .由题意，得3b c －2a ＝ba.∴(2＋3)a ＝c .∴双曲线C 的离心率为e ＝ca ＝2＋ 3.6. e 1＝1＋b 2a2，e 2＝1＋(b ＋m )2(a ＋m )2.不妨令e 1<e 2，化简得b a <b ＋m a ＋m (m >0)，得bm <am ，得b <a .所以当b >a 时，有b a >b ＋m a ＋m ，即e 1>e 2；当b <a 时，有b a <b ＋ma ＋m ，即e 1<e 2.故选B.7、【答案】2 【解析】试题分析：依题意，不妨设6,4AB AD ==作出图像如下图所示则2124,2;2532,1,c c a DF DF a ===-=-==故离心率221c a == 8、【答案】23+考点：1.双曲线的几何性质；2.直线方程. 9、【答案】B【解析】双曲线的渐近线为y ＝±bax ，易求得渐近线与直线x －3y ＋m ＝0的交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－am a ＋3b ，bm a ＋3b ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－am a －3b ，－bm a －3b .设AB 的中点为D .由|P A |＝|PB |知AB 与DP 垂直，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2m （a ＋3b ）（a －3b ），－3b 2m （a ＋3b ）（a －3b ），k DP＝－3，解得a 2＝4b 2，故该双曲线的离心率是52.10B,11.B 12.D 13 D 14. 15.A16.解 (1)由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2， 因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2 ＝(2＋2)2＋(2－2)2＝23， 即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)如图，连接F 1Q ，由PF 1⊥PQ ，|PQ |＝λ|PF 1|，得 |QF 1|＝|PF 1|2＋|PQ |2 ＝1＋λ2|PF 1|.由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a ， 进而|PF 1|＋|PQ |＋|QF 1|＝4a ，高中数学 于是(1＋λ＋1＋λ2)|PF 1|＝4a ，解得|PF 1|＝4a 1＋λ＋1＋λ2， 故|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a (λ＋1＋λ2－1)1＋λ＋1＋λ2. 由勾股定理得|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4c 2，从而⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 1＋λ＋1＋λ22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a (λ＋1＋λ2－1)1＋λ＋1＋λ22＝4c 2. 两边除以4a 2，得4(1＋λ＋1＋λ2)2＋(λ＋1＋λ2－1)2(1＋λ＋1＋λ2)2＝e 2. 若记t ＝1＋λ＋1＋λ2，则上式变成e 2＝4＋(t －2)2t 2＝8⎝⎛⎭⎫1t －142＋12. 由34≤λ＜43，并注意到t ＝1＋λ＋1＋λ2关于λ的单调性，得3≤t ＜4，即14＜1t ≤13. 进而12＜e 2≤59，即22＜e ≤53.。
离心率的五种求法
7.设 分别是双曲线 的左、右焦点，若双曲线上存在点 ， 且 ，则双曲线的离心率为（ B ）
A． B． C． D．
解
8．如图， 和 分别是双曲线 （ ）的两个焦点， 和 是以 为圆心，以 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且 是等边三角形，则双曲线的离心率为（）
A B C D
离心率的五种求法
离心率的五种求法
离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，在高考中频繁出现.
椭圆的离心率 ，双曲线的离心率 ，抛物线的离心率 ．
一、直接求出 ，求解
已知标准方程或 易求时，可利用离心率公式 来求解。
例1.过双曲线C： 的左顶点A作斜率为1的直线 ，若 与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且|AB|=|BC|，则双曲线M的离心率是（ ）
A. B. C. D.
解：由已知，直线 的方程为 ，由点到直线的距离公式，得 ，
又 ,∴ ,两边平方，得 ，整理得 ，
得 或 ，又 ，∴ ，∴ ，∴ ，故选A
11.知 、 是双曲线 （ ）的两焦点，以线段 为边作正三角形 ，若边 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）
A. B. C. D.
解：如图，设 的中点为 ，
A． B． CБайду номын сангаас D．
解析：满足 的点 总在椭圆内部，所以c<b.
4.设 ，则双曲线 的离心率 的取值范围是（B）
，又 ，
在 中，由余弦定理，得 ,
即 ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，故选B
3.设 是等腰三角形， ，则以 为焦点且过点 的双曲线的离心率为（ B ）
A． B． C． D．
4.设双曲线的一个焦点为 ，虚轴的一个端点为 ,如果直线 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )
浅析椭圆与双曲线离心率的求解方法
例析椭圆、双曲线离心率的求法
例析椭圆、双曲线离心率的求法
椭圆和双曲线都是非常重要的数学曲线，从古代就有了历史。
它们的运用十分
广泛，比如天文学、力学等多种领域。
此外，椭圆和双曲线的离心率也是一个重要的概念，因此了解它们求法也是十分重要的。
首先，椭圆的离心率求法。
根据弦长定理，椭圆的离心率ε可表示为：ε＝c
／a，其中a为椭圆长轴，c为短轴，由此乘以ε即可求出离心率。
其次，双曲线的离心率求法。
根据常见的双曲线方程：x2/a2-y2/b2＝1，其中
a为椭圆长轴，b为短轴，把中间的数学符号μ代入公式：μ＝a2/b2;由此乘以
μ即可求出离心率。
另外，椭圆和双曲线的离心率也可以通过数学计算的方式进行求解，比如把它
们的方程式代入特殊函数求解，或者调用计算器进行计算，这些都有很多种方法。
为了解椭圆和双曲线的离心率，我们可以利用尺规、直角三角形等工具求解；
也可以通过计算机程序解出精确的实际结果。
有时候，采用抽象的思维能够获得更准确的结果。
但无论哪种方法，了解椭圆和双曲线的离心率都有它自身的优劣之处，希望大家可以按自己的意愿选择合适的方法。
关于高中数学离心率题型解法的有效解决技巧
关于高中数学离心率题型解法的有效解决技巧高中数学中，离心率是一个重要的概念，涉及到椭圆、双曲线等几何图形的性质和参数。
掌握离心率的相关知识和解题技巧，能够有效地解决与离心率有关的各类题型。
以下是关于高中数学离心率题型解法的有效解决技巧。
一、椭圆离心率题型解法技巧1. 椭圆的离心率定义为焦距之差与主轴长度的比值。
在解题过程中，可以利用该定义进行计算。
2. 根据椭圆的性质，离心率的取值范围为0到1之间。
当离心率等于0时，椭圆退化为一个圆；当离心率等于1时，椭圆退化为一个抛物线。
3. 在解题过程中，常常需要利用椭圆的焦点坐标和长轴、短轴长度等已知条件，结合离心率的定义进行求解。
4. 对于已知椭圆方程的离心率题型，可以根据方程中离心率的特点进行推导和变形，从而得到所求的答案。
5. 利用椭圆的离心率特点，可以解决与焦点、直径、坐标轴的关系有关的题目。
比如利用离心率的定义，可以求解椭圆上的点到焦点的距离。
1. 对于已知双曲线方程的离心率题型，可以利用离心率的定义，结合方程中的已知条件进行推导和变形。
常见的已知条件有焦点坐标、直角双曲线的方程等。
2. 双曲线的离心率大于1，可以利用该特点解决相关题目。
4. 在解题过程中，可以利用双曲线的渐近线特点和离心率的性质，解决与渐近线、离心率和焦点坐标有关的问题。
五、需要注意的问题1. 离心率的定义是椭圆、双曲线等几何图形的重要参数，在解题过程中要对其有清晰的概念。
3. 充分利用已知信息，对问题进行分析和推导，可以采取代数方法或几何方法进行求解。
4. 对于复杂或较难的题目，可以根据已知条件进行建立方程，并进行逐步推导和化简，在最后得到所求的答案。
关于高中数学离心率题型解法的有效解决技巧
关于高中数学离心率题型解法的有效解决技巧离心率是描述椭圆或者双曲线形状的一个重要参数，在高中数学中是一个常见的题型。
解决离心率题型需要掌握一些有效的解决技巧，以下是一些常用的解题方法：1. 确定椭圆或双曲线的方程类型：首先要根据题目中的给定信息确定椭圆或双曲线的方程类型，例如椭圆的方程一般形式为\dfrac{x^2}{a^2}+ \dfrac{y^2}{b^2} = 1，双曲线的方程一般形式为\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1。
2. 求取离心率：当已知椭圆或双曲线的方程时，可以利用离心率的定义求取离心率。
椭圆的离心率为e = \sqrt{1 - \dfrac{b^2}{a^2}}，双曲线的离心率为e =\sqrt{\dfrac{b^2}{a^2} + 1}。
3. 利用离心率性质解题：离心率有许多有用的性质可以用来解决题目。
椭圆的离心率e满足0 < e < 1，即离心率是大于0小于1的实数。
双曲线的离心率e满足e > 1，即离心率是大于1的实数。
4. 求取椭圆或双曲线的焦点：椭圆的焦点可以通过离心率来求取，焦点的坐标为(\pm ae, 0)。
双曲线的焦点的坐标为(\pm ae, 0)和(0, \pm b)。
5. 利用焦点和离心率的性质求取题目所需要的信息：有时候题目会给出椭圆或双曲线的焦点和离心率，需要求取其他相关信息。
可以根据离心率和焦点的坐标来求取椭圆的长轴、短轴长度，以及双曲线的极限。
6. 综合运用多种方法解题：有些题目可能需要综合运用离心率的性质、椭圆、双曲线的方程以及焦点、长轴、短轴等信息来解决。
在解决离心率题型时，需要熟练掌握椭圆和双曲线的基本概念和公式，同时运用离心率的性质来推导和求解。
多做一些题目，加深对离心率和椭圆、双曲线的理解，掌握常见的解决技巧，就能够更有效地解决高中数学离心率题型。
求椭圆离心率常用的三种方法
椭圆的离心率是椭圆的一个重要性质，它是反映椭圆的扁平程度的量.求椭圆的离心率问题比较常见.这类问题常与平面几何、三角函数、平面向量等知识相结合，侧重于考查同学们的逻辑推理和数学运算能力.那么,求椭圆的离心率有哪些方法呢？下面结合实例进行探讨.一、公式法我们知道，圆锥曲线的离心率公式为e=ca.因此要求椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率，只需求出椭圆方程中的参数a、c的值或c与a的比值即可.例1.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，则E的离心率为_______.解：因为椭圆的长轴长是短轴长的2倍，所以2a=4b，所以ba=12，可得e=ca本题较为简单，由题意可以很容易确定椭圆中参数a、b之间的关系，直接根据椭圆方程中参数a、b、c之间的关系a2=b2+c2，即可求得c与a的比值，从而求得椭圆的离心率.例2.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1()a>b>0的右焦点为F()2,0，P为椭圆的左顶点，且||PF=5，则椭圆C的离心率为（）.A.23B.12C.25D.13解：因为椭圆的右焦点为F()2,0，所以c=2，因为P为椭圆的左顶点，所以||PF=a+c=a+2=5，解得a=3，所以椭圆C的离心率为e=ca=23.故选A.我们首先根据题意可以确定c的值；然后根据P点的位置，确定a的值，即可根据椭圆离心率的公式求得问题的答案.二、几何性质法几何性质法是指利用平面几何图形的性质解题.在求椭圆的离心率时，我们可以根据题意画出几何图形，将椭圆参数方程中的a视为长半轴长、b视为短半轴长、c视为焦半径，根据椭圆、三角形、平行四边形、梯形的性质来求得椭圆的长半轴长、短半轴长、焦半径，或建立三者之间的关系式.例3.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1()a>b>0的左右焦点分别为F1，F2，点M是椭圆C上第一象限的点，若||MF1=||F1F2，直线F1M与y轴交于点A，且F2A是∠MF2F1的角平分线，则椭圆C的离心率为_______.解：由题意得||MF1=||F1F2=2c，由椭圆的定义得||MF2=2a-2c，记∠MF1F2=θ，则∠AF2F1=∠MF2A=θ，∠F1F2M=∠F1MF2=∠MAF2=2θ，则||AF2=||AF1=2a-2c，所以||AM=4c-2a，故ΔMF1F2∽ΔMF2A，则||MF2||F1F2=||AM||MF2，则2a-2c2c=4c-2a2a-2c，可得e2+e-1=0，解得e=5-12或e=-5-12（舍）.解答本题，需运用相似三角形的性质建立关于||MF1、||F1F2||AM、||MF2的关系式，并根据椭圆的定义，即在平面内到两个定点的距离之和为定值的点的轨迹，确定||MF1、||F1F2||AM、||MF2与a、c之间的关系，从而使问题获解.例4.如图1，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1(-c,0)，F2(c,0)，点M()x0,y0()x0>c是C上的一点，点A是直线MF2与y轴的交点，ΔAMF1的内切圆与MF1相切于点N，若|MN|=2||F1F2，则椭圆C的离心率e=______．解：设内切圆与AM切于Q，与AF1切于P，所以||MN=||MQ=2||F1F2=22c，||F1N=||F1P，||AP=||AQ，图141由圆的对称性知||AF 1=||AF 2，所以||PF 1=||QF 2，即||NF 1=||QF 2，所以2a=||MF 2+||MF 1=()||MQ -||QF 2+()||MN +||NF 1=||MQ +||MN =42所以e =c a =242我们先结合图形明确点、圆、椭圆之间的位置关系；然后根据椭圆的定义将问题转化为线段问题，即可根据圆的对称性、圆与切线的位置关系建立线段||MF 2、||MF 1、||MQ 、||QF 2、||MN 、||NF 1之间的关系，得到关于a 、c 的关系式，进而求出椭圆的离心率.用几何性质法解题的计算量较小，有利于提升解题的效率.三、构造齐次式在求椭圆的离心率时，若不易求出a 、c 的值或比值，则可考虑根据题目中的条件与椭圆的方程，建立关于a 、b 、c 的二次齐次式，即可根据离心率公式e =ca，得到关于e 的二次方程，进而通过解方程求得离心率e 的值.例5.如图2，已知椭圆的方程为：x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0，过原点的直线交椭圆于M ，N 两点，点P 在x 轴上，其横坐标是点M 横坐标的3倍，直线NP 交椭圆于点Q .若直线QM 恰好是以MN 为直径的圆的切线，求椭圆的离心率.解：设M ()x 1,y 1，Q ()x 2,y 2，则N ()-x 1,-y 1，P ()3x 1,0，设直线MN 、QM 、NP 的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则k 1=y 1x 1，k 2=y 2-y 1x 2-x 1，k 3=0+y 13x 1-()-x 1=y 14x 1=14k 1，因为直线QM 是圆的切线，所以QM ⊥MN ，k 1k 2=-1，所以k 2k 3=-14，又Q 在直线NP 上，所以k 3=y 2+y 1x 2+x 1，因为M 、Q 在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1()a >b >0上，所以x 21a 2+y 21b 2=1，x 22a 2+y 22b2=1，将上述两式相减得x 21-x 22a 2+y 21-y 22b 2=0，整理得y 2+y 1x 2+x 1⋅y 2-y 1x 2-x 1=-b 2a 2，故k 2k 3=-b 2a 2=-14，即b 2a 2=14，可得a 2-c 2a 2=34，即a2-c 2a 2=1-e 2=14，解得e 我们先根据三条直线与圆、椭圆的位置关系建立关于a 、c 的二次齐次式a 2-c 2a 2=34；再根据离心率公式e=c a ，建立关于e 的方程，即可求得e 的值.在求得e 的值后，一定要注意检验所得的值是否在(0,1)内，以确保得到的答案是正确的.图2图3例6.如图3，已知AB 直线过椭圆x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的左焦点F ()-2,0，且与椭圆交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，若点C ，F 分别是线段AB 的三等分点，则该椭圆的离心率为_______.解：因为点C 、F 是线段AB 的三等分点，由图3可知C 为AF 的中点，右焦点为F 2，所以AF 2//OC ，所以AF 2⊥x 轴，由椭圆的方程得A 点的坐标为()c ,b 2a ，C ()0,b 22a，因为C ,B 关于F 对称，所以B 点的坐标为()-2c ,-b 22a ，将其代入椭圆的方程x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0中得：4c 2a 2+b 24a2=1,即16c 2+b 2=4a 2,得a 2=5c 2，所以离心率为e =c a 先由点C 、F 是线段AB 的三等分点可得AF 2//OC ；再根据线段的对称性可求得B 点的坐标；最后将其代入椭圆中，即可建立关于a 、b 、c 的二次齐次式，进而得到关于椭圆离心率e 的方程.无论采用哪种方法求椭圆的离心率，我们需明确解题的目的有两个：一是通过计算求得c 与a 的值；二是利用已知条件建立关于c 与a 的齐次式，进一步将其转化为关于ca的方程.（作者单位：四川省内江市威远中学校）42。
离心率的五种求法
离心率的五种求法离心率的五种求法一、直接求出a、c，求解e当已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用离心率公式e=c/a来解决。
例如，已知双曲线2-x^2/y^2=1（a>c）的一条准线与抛物线y^2=-6x的准线重合，则该双曲线的离心率为(3a^2c^2-13c^2)/(2a^2c)。
解法为：抛物线y=-6x的准线是x=2c^2/3，即双曲线的右准线x=c^2/(a-c)=2c^2/3-1/3.由此得到c=2，a=3，e=c/a=2/3.因此，选D。
变式练1：若椭圆经过原点，且焦点为F1(1,0)、F2(-1,0)，则其离心率为√(2/3)。
解法为：由F1(1,0)、F2(-1,0)知2c=2，∴c=1，又∵椭圆过原点，∴a-c=1，a+c=2，解得a=3/2，e=c/a=√(2/3)。
因此，选C。
变式练2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为√13/2.解法为：由题设a=2，2c=6，则c=3，e=c/a=√13/2.因此，选C。
变式练3：点P(-3,1)在椭圆4x^2/a^2+2y^2/b^2=1（a>b）的左准线上，过点P且方向为(2,-5)的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为√113/5.解法为：由题意知，入射光线为y-1=-x/2，关于y=-2的反射光线（对称关系）为y+5=-2(x+3)，解得a=3，c=√5，则e=c/a=√113/5.因此，选A。
二、构造a、c的齐次式，解出e根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。
1到l1的距离，又AB的长为2a，∴XXX的长为a。
设AB的中点为M，则MF1为椭圆的半长轴，由于F1在x轴右侧，∴F1的横坐标为c，且c>a。
设F1为（c，0），则根据椭圆的统一定义，可得c2x2y2a2c2。
其中c为椭圆的半焦距，由题意可得AD的长为a，即MF1的长为a，又MF1为椭圆的半长轴，∴a=c，代入上式得x2y2122c离心率为e=cacc1故选D。
椭圆及双曲线的离心率 专题
圆锥曲线离心率专题离心率问题有三种思路，一是求出,,a b c 三个量中的任何两个，然后利用离心率的计算公式求解；二是求出,a c 或,a b 或,c b 之间关系，然后利用离心率的计算公式求解；三是构造出关于离心率e 的方程来求解.此题中关键是灵活的应用椭圆和双曲线的定义构造出方程即可求解,一般是依据题设寻求一个关于,,a b c 的等量关系，再利用,,a b c 的关系消去b ，得到关于,a c 的等式，再转化为关于离心率e 的方程，解方程求出e 的值，最后根据椭圆或双曲线的离心率的取值范围,给出离心率的值.已知双曲线:E 22221x y a b-=()0,0a b >>，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且23AB BC =，则E 的离心率是_______.【解析】 由题意，2BC c =，又因为23AB BC =，则3AB c =，于是点3,2c c ⎛⎫⎪⎝⎭在双曲线E 上，代入方程22221x y a b -=，得2222914c c a b -=，再由2c b a =+22得E 的离心率为2ce a==. 考点1.利用题设条件求出,a c 的值【例1】已知双曲线22219x y b-=(0)b >，过其右焦点F 作圆229x y +=的两条切线，切点记作C ，D ,双曲线的右顶点为E ,0150CED ∠=，其双曲线的离心率为( ) 23 B.32323 【解析】由题意3a =，易得OD OE =，075CEO OCE ∠=∠=,所以030=∠COE ，在Rt OCF ∆中，⇒=+=0230cos 93bOF OC 33212322==⇒=⇒=a c e c b 【例2】已知抛物线24y x =的准线与双曲线22214x y a -=交于,A B 两点，点F 为抛物线的交点，若FAB ∆为正三角形，则双曲线的离心率是 ．【解析】根据已知条件画出图形（如右图），FAB ∆Rt AKF ∆中，30,2,AFK KF ∠=︒=2323tan 30,1,33AK KF A ⎛⎫∴=︒=∴- ⎪ ⎪⎝⎭22233114a ⎛⎫⎪⎝⎭∴-=，解得234a =，又24b =，19,4=故双曲线离心率19357223c e a ==÷=．考点2.根据题设条件直接列出,,a b c 的等量关系【例3】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与圆22(3)9x y -+=相变于A.B两点，若||2AB =，则该双曲线的离心率为（ ） A.8 B. 22 C 3 D.4考点3.借助直角三角形的边角关系【例4】【2012全国新课标，理4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P为直线32ax =上一点，12F PF ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23 ()C 34 ()D 45【解析】12F PF ∆是底角为30的等腰三角形，22132()22PF F F a c c ⇒==-=， 则34c e a ==【例5】设1F ，2F 分别是椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于P ，Q 两点，若160F PQ ∠=︒，1PF PQ =，则椭圆的离心率为（ ）A.13B.23C.233D.33【解析】由条件1PF PQ =，则PQ ⊥x 轴，而0160F PQ ∠=，∴1F PQ ∆为等边三角形，而周长为4a ，∴ 等边三角形的边长为43a ，焦点在直角三角形12PF F ∆中，14||3aPF =，22||3a PF =，12||2F F c =， ∴22242()()(2)33a a c -=，即223a c =，∴22213c e a ==， 考点4. 借助与其它曲线的关系求离心率【例6】点A 是抛物线21:2(0)C y px p =>与双曲线22222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线的交点（异于原点），若点A 到抛物线1C 的准线的距离为p ，则双曲线2C 的离心率等于（ ）A ．2B ．2C ．5D ．4【解析】 点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ，∴⎪⎭⎫⎝⎛p p A ,2适合x a b y =，∴422=a b ，∴5=e【例7】如图，已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点恰好是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F ，且这两条曲线交点的连线过点F ，则该椭圆的离心率为________．【解析】如图，设F ′为椭圆的左焦点，椭圆与抛物线在x 轴上方的交点为A ，连接AF ′，所以|FF ′|＝2c ＝p ，因为|AF |＝p ，所以|AF ′|＝2p .因为|AF ′|＋|AF |＝2a ，所以2a ＝2p ＋p ，所以e ＝c a＝2－1.考点5. 利用椭圆或双曲线的定义求离心率【例8】椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其左焦点，若AF ^BF ,设6π=∠ABF ，则该椭圆的离心率为 （ ）A ．22 B ．13- C ．33 D ．231- 【解析】取椭圆右焦点M ，连接BM AM ,，由椭圆对称性以及AF ^BF 知四边形AFBM 为矩形，由6π=∠ABF 得c AF =，c AM 3=，由椭圆定义知a AM AF 2=+，32c c a +=，13-=∴e .【例9】设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若216,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30，则C 的离心率为___.【例10】 F 1，F 2是双曲线2222:1(,0)x y C a b b a b-=>>的左、右焦点，过左焦点F 1的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，若22||:||:||3:4:5AB BF AF =，则双曲线的离心率是（ ）A 3B 15C ．2D 13【解析】画出图形，在2ABF ∆中，根据题意可设223,4,5(0)AB t BF t AF t t ===>，222222,AB BF AF ABF +=∴∆为直角三角形．设1AF m =，由双曲线的定义知1221BF BF AF AF -=-，即345t m t t m +-=-，∴3m t =，∴212532a AF AF t t t =-=-=．在12Rt BF F ∆中， 22221212(6)(4)213F F BF BF t t t =+=+=，∴13ce a==，故选D ． 考点6. 借助双曲线的渐近线求离心率【例11】已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x E 的两条渐近线分别为x y l x y l 2:,2:21-==.则双曲线E 的离心率为_______________.【解析】因为双曲线E 的渐近线分别为y ＝2x ，y ＝－2x ，所以b a ＝2，所以c 2－a 2a＝2，故c ＝5a ，从而双曲线E 的离心率e ＝ca＝ 5.【例12]已知双曲线22221x y a b-=的一条渐近线的倾斜角的余弦值为31010，该双曲线上过一个焦点且垂直于实轴的弦长为3，则双曲线的离心率等于（ ）A ．3 D ． 3【解析】双曲线22221x y a b-=所以110e =，即3e =， 故选C. 考点7. 利用弦中点坐标，代点相减求离心率【例13】过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>相交于,A B ，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为。
离心率的五种求法
离心率的五种求法离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质,在高考中频繁出现. 椭圆的离心率10<<e ,双曲线的离心率1>e ,抛物线的离心率1=e ． 一、直接求出,a c ,求解e 已知标准方程或,a c 易求时,可利用离心率公式c e a=来求解;例1. 过双曲线C ：)0b (1by x 222>=-的左顶点A 作斜率为1的直线l ,若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B 、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M 的离心率是 A. 10B. 5C.310 D. 25分析：这里的1,a c ==故关键是求出2b ,即可利用定义求解;解：易知A-1,0,则直线l 的方程为1x y +=;直线与两条渐近线bx y -=和bx y =的交点分别为B )1b b ,1b 1(++-、C )1b b,1b 1(--,又|AB|=|BC|,可解得9b 2=,则10c =故有10ace ==,从而选A;二、变用公式)c e a=双曲线,)c e a==椭圆,整体求出e例2. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为43y x =,则双曲线的离心率为 A. 35B. 34C. 45D. 23分析：本题已知b a =34,不能直接求出a 、c,可用整体代入套用公式;解：因为双曲线的一条渐近线方程为43y x =,所以 43b a =,则2451()33c e a ==+=,从而选A; 1.设双曲线22221x y a b-=a ＞0,b ＞0的渐近线与抛物线21y x =+相切,则该双曲线的离心率等于 CA.3 C.5 D.6解：由题双曲线()222200x y a b a b－＝1＞，＞的一条渐近线方程为a bx y =,代入抛物线方程整理得02=+-a bx ax ,因渐近线与抛物线相切,所以0422=-a b ,即224b a =221145b e a∴=+=+=.2.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12AB BC =,则双曲线的离心率是A ．2B ．3C ．5D ．10 答案：C解析对于(),0A a ,则直线方程为0x y a +-=,直线与两渐近线的交点为B,C,22,,(,)a ab a ab B C a b a b a b a b ⎛⎫- ⎪++--⎝⎭,22222222(,),,a b a b abab BC AB a b a b a b a b ⎛⎫=-=- ⎪--++⎝⎭, 222,4AB BC a b =∴=因此 ,即224b a =,221145b e a∴=+=+=3.过椭圆22221x y a b +=0a b >>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ,2F 为右焦点,若1260F PF ∠=,则椭圆的离心率为A ．22 B ．33 C ．12 D ．13解析因为2(,)b P c a -±,再由1260F PF ∠=有232,b a a =即2223b a =从而可得22231133b e a ∴=-=-=,故选B三、构造a 、c 的齐次式,解出e根据题设条件,借助a 、b 、c 之间的关系,构造a 、c 的关系特别是齐二次式,进而得到关于e 的一元方程,从而解得离心率e ;例3.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ,右顶点为A ,点B 在椭圆上,且BF x ⊥轴, 直线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =,则椭圆的离心率是A ．32 B ．22 C ．13 D ．12解析对于椭圆,因为2AP PB =,则12,2,2OA OF a c e =∴=∴=1.设1F 和2F 为双曲线22221x y a b-=0,0a b >>的两个焦点, 若12F F ，,(0,2)P b 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为 A ．32 B ．2 C ．52D ．3 解析由3tan623c b π==有2222344()c b c a ==-,则2c e a==,故选B.2.双曲线虚轴的一个端点为M ,两个焦点为1F 、2F ,021120=∠MF F ,则双曲线的离心率为A 3 B26 C 36D 33解：如图所示,不妨设()b M ,0,()0,1c F -,()0,2c F ,则2221b c MF MF +==,又c F F 221=, 在21MF F ∆中, 由余弦定理,得212212221212cos MF MF F F MF MF MF F ⋅-+=∠,即()()()22222222421bc c b c b c +-+++=-,∴212222-=+-c b c b , ∵222a cb -=,∴212222-=--a c a ,∴2223c a =,∴232=e ,∴26=e ,故选B3.设ABC △是等腰三角形,120ABC ∠=,则以A B ，为焦点且过点C 的双曲线的离心率为 B A ．221+ B ．231+ C ． 21+D ．31+4.设双曲线的一个焦点为F ,虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为解析：选D.不妨设双曲线的焦点在x 轴上,设其方程为：22221(0,0)x y a b a b-=>>,则一个焦点为(,0),(0,)F c B b 一条渐近线斜率为：b a ,直线FB 的斜率为：bc -,()1b ba c∴⋅-=-,2b ac ∴= 220c a ac --=,解得12c e a ==. 5.设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2,过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若21PF F ∆为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是 DA.22 B.212- C. 22- D. 12-解：由22222222101b PFc a c acae e e ==⇒-=+-=⇒=化为齐次式6.双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点分别是12F F ，,过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点,若2MF 垂直于x 轴,则双曲线的离心率为 BABCD．37.设12F F ，分别是双曲线2222x y a b-的左、右焦点,若双曲线上存在点A ,1290F AF ∠=且123AF AF =,则双曲线的离心率为 BA．2B．2C．2D解12222212222102()()(2)10AF AF AF a c aeAF AF c8．如图,1F 和2F 分别是双曲线12222=-by a x 0,0>>b a 的两个焦点,A 和B 是以O 为圆心,以1OF 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且AB F 2∆是等边三角形,则双曲线的离心率为 A 3B 5C25D 13+6.解析：连接AF 1,∠AF 2F 1=30°,|AF 1|=c,|AF 2|=3c,∴ 231)a c =, 双曲线的离心率为31+,选D;9. 设1F 、2F 分别是椭圆12222=+by a x 0>>b a 的左、右焦点,P 是其右准线上纵坐标为c 3c 为半焦距的点,且P F F F 221=,则椭圆的离心率是 A213- B 21C 215-D 22 10.设双曲线12222=-by a x b a <<0的半焦距为c ,直线L 过()0,a ,()b ,0两点.已知原点到直线的距离为c 43,则双曲线的离心率为 A. 2 B. 3 C. 2D.332 解：由已知,直线L 的方程为0=-+ab ay bx ,由点到直线的距离公式,得c b a ab 4322=+, 又222b a c +=, ∴234c ab =,两边平方,得()4222316c a c a =-,整理得01616324=+-e e ,得42=e 或342=e ,又b a <<0 ,∴2122222222>+=+==ab a b a ac e ,∴42=e ,∴2=e ,故选A11.知1F 、2F 是双曲线12222=-by a x 0,0>>b a 的两焦点,以线段12F F 为边作正三角形21F MF ,若边1MF 的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是A. 324+B. 13-C. 213+ D. 13+ 解：如图,设1MF 的中点为P ,0113360,,,,P(,)2222P P c c c c OF P PF c x y ∠==∴=-=-即把P 点坐标代人双曲线方程,有22223=144c c a b-, 化简得42840e e -+= 解得131-3e e =+=或（舍）,故选D 四、第二定义法由圆锥曲线的统一定义或称第二定义知离心率e 是动点到焦点的距离与相应准线的距离比,特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题;例4：设椭圆12222=-by a x 0,0>>b a 的右焦点为1F ,右准线为1l ,若过1F 且垂直于x 轴的弦的长等于点1F 到1l 的距离,则椭圆的离心率是 .解：如图所示,AB 是过1F 且垂直于x 轴的弦,∵1l AD ⊥于D ,∴AD 为1F 到准线1l 的距离,根据椭圆的第二定义,21211===AD AB AD AF e 1．在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为2,焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心率为 A 2 B22 C 21 D42解：221222===ADAF e 2．在给定双曲线中,过焦点垂直于实轴的弦长为2,焦点到相应准线的距离为21,则该双曲线的离心率为 A22B 2C 2D 22 五、构建关于e 的不等式,求e 的取值范围1．已知双曲线12222=-by a x 0,0>>b a 的右焦点为F ,若过点F 且倾斜角为060的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是 A []2,1 B ()2,1 C [)+∞,2 D ()+∞,2 2．椭圆12222=+by a x 0>>b a 的焦点为1F 、2F ,两条准线与x 轴的交点分别为M 、N ,若212F F MN ≤,则该椭圆离心率的取值范围是A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛22,0C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21D ．⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,22 1.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F,若过点F 且倾斜角为60o 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率b a ,∴ b a≥3,离心率e 2=22222c a b a a +=≥4,∴ e ≥2,选C 2.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦点为1F ,2F ,两条准线与x 轴的交点分别为M N ，,若2||2a MN c =,12||2F F c =,12MN F F 2≤,则22a c c≤,该椭圆离心率e≥22,选D 3.已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点,满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是CA ．(0,1)B ．1(0,]2C． D． 解析：满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部,所以c<b.4.设1a >,则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是 B A． B． C ．(25)， D．(2。
双曲线离心率的求法
双曲线离心率的求法在化学领域中，离心率（eccentricity）是指椭圆曲线形状（ellipses）长短轴两端之间的中间有多长的距离，双曲线离心率（hyperbolic eccentricity）是一种常见的曲线，它位于传统的椭圆曲线（ellipses）之后。
双曲线的离心率可以通过一系列的特定算法或公式来求解。
双曲线离心率的求解公式是根据双曲线的对称性来确定的。
双曲线的对称性可以通过它的弧长参数（arc length parameter）来定义。
大多数情况下，双曲线的弧长参数r/r0是用于求解它的离心率的。
下面是一个双曲线离心率的求解公式：双曲线离心率（e）＝√(1-(r/r0)^2)这个公式定义了双曲线的离心率，其中r/r0表示双曲线的弧长参数，e表示双曲线的离心率。
这个公式可以用来计算任何双曲线的离心率，但是在使用这个公式之前，必须确定双曲线的弧长参数。
另一种求解双曲线离心率的方法是使用现有的椭圆离心率公式，这个公式可以用来求解任何椭圆的离心率：椭圆离心率（e）＝√(a^2-b^2/a^2)其中a,b分别为椭圆的长半轴（major axis）和短半轴（minor axis）。
可以使用这个公式来求解任何双曲线的离心率，使用这种方法可以准确求解双曲线的离心率，而且这个公式不需要计算双曲线的弧长参数，只要确定椭圆的长半轴（major axis）和短半轴（minor axis），就可以求解出双曲线的离心率。
虽然这两种方法都可以求解出双曲线的离心率，但从精准性以及计算简单性上考虑，相比较而言椭圆公式求解双曲线离心率更为可行。
尤其是在双曲线的弧长参数很难确定的情况下，使用椭圆公式求解双曲线离心率更加简易，并且结果更为准确。
因此，椭圆公式求解双曲线离心率是比较理想的一种方法。
高二文科数学离心率的五种求法(精)
离心率的五种求法椭圆的离心率0<e<1，双曲线的离心率e>1，抛物线的离心率e=1．一、直接求出a、c，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用率心率公式e=c来解决。
ax2例1：已知双曲线2-y2=1（a>0）的一条准线与抛物线y2=-6x的准线重合，则该双曲线的离心率为a（） 3233 B. C. D. 2322223ac-132解：抛物线y=-6x的准线是x=，即双曲线的右准线x===，则2c2-3c-2=0，解得2cc2A.c=2，a=，e=c2，故选D =a3变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为F1(1,0)、F2(3,0)，则其离心率为（）3211 B. C. D. 4324解：由F1(1,0)、F2(3,0)知 2c=3-1，∴c=1，又∵椭圆过原点，∴a-c=1，a+c=3，∴a=2，c=1，c1所以离心率e==.故选C. a2A.变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（） A. 36 B. C. D 2 222c3=，因此选C a2解：由题设a=2，2c=6，则c=3，e=x2y2变式练习3：点P（-3，1）在椭圆2+2=1（a>b>0）的左准线上，过点P且方向为=(2,-5)的光线，ab经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）A 112BCD 32325(x+3)，关于y=-2的反射光线（对称关系）为5x-2y+5=0，则2解：由题意知，入射光线为y-1=-⎧a2c⎪=3c=1a=e==解得，，则，故选A ⎨ca3⎪-5c+5=0⎩二、构造a、c的齐次式，解出e根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。
x2y2例2：已知F1、F2是双曲线2-2=1（a>0,b>0）的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若ab边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（） +1 D. +1 2c解：如图，设MF1的中点为P，则P的横坐标为-，由焦半径公式2PF1=-exp-a， A. 4+2 B. 3-1 C.2c⎛c⎫c⎛⎫⎛c⎫即c=-⨯ -⎪-a，得⎪-2 ⎪-2=0，解得 a⎝2⎭⎝a⎭⎝a⎭ce==1+（1-3舍去），故选D ax2y2变式练习1：设双曲线2-2=1（0<a<b）的半焦距为c，直线L过(a,0)，(0,b)两点.已知原点到直线ab的距离为3c，则双曲线的离心率为( ) 4A. 2B.C. 2D. 2 3解：由已知，直线L的方程为bx+ay-ab=0，由点到直线的距离公式，得aba2+b2=c， 422242又c=a+b, ∴4ab=3c,两边平方，得16a2c2-a2=3c4，整理得3e-16e+16=0， 2() c2a2+b2b2422=1+>2e=4，∴e=2，故选A 得e=4或e=，又0<a<b ，∴e=2=，∴223aaa22变式练习2：双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，则双曲线的离心率为（）∠F1MF2=1200，A B 6 C D 323解：如图所示，不妨设M(0,b)，F1(-c,0)，F2(c,0)，则MF1=MF2=c2+b2，又F1F2=2c，在∆F1MF2中，由余弦定理，得cos∠F1MF2= MF1+MF2-F1F22MF1⋅MF2222,b2-c211c2+b2+c2+b2-4c2即-=，∴， =-22222b+c22c+b()()-a213222∵b=c-a，∴2，∴，∴，∴，故选B e==-3a=2ce=22222c-a222三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例3：设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若∆F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。
关于高中数学离心率题型解法的有效解决技巧
关于高中数学离心率题型解法的有效解决技巧高中数学中，离心率是一个重要概念，在解题过程中经常会遇到相关的题型。
下面给出一些有效的解决技巧，帮助学生在做离心率题目时更快、更准确地解答。
1. 理解离心率的含义离心率是描述椭圆形状的一个参数，它是由长轴和短轴之间的差异程度决定的。
当离心率为0时，椭圆变成了一个圆；当离心率为1时，椭圆变成了一个抛物线；当离心率大于1时，椭圆变成了一个双曲线。
离心率越接近于0，椭圆越接近于圆形；离心率越接近于1，椭圆越扁平；离心率越大于1，椭圆越细长。
2. 利用长轴和短轴求解离心率离心率可以通过长轴和短轴的长度求解。
对于一个椭圆来说，设长轴的长度为2a，短轴的长度为2b，则离心率的公式可以表示为e = √(a^2 - b^2) / a。
通过这个公式，可以根据已知的长轴和短轴的长度求解离心率。
3. 确定椭圆的方程在解题过程中，通常会给出椭圆的焦点坐标、顶点坐标等条件，要求求解椭圆的离心率。
这时，可以利用已知的信息构建椭圆的方程，再通过方程求解离心率。
一般来说，椭圆的方程可以表示为(x - h)^2 / a^2 + (y - k)^2 / b^2 = 1，其中(h, k)为椭圆的中心坐标，a和b分别为长轴和短轴的长度。
4. 利用角平分线公式有时，离心率的题目会给出椭圆的两个顶点和一个焦点的坐标，要求求解椭圆的离心率。
这时，可以利用角平分线的性质来求解。
根据已知的顶点和焦点的坐标，可以求出来心的坐标。
然后，利用心和顶点的连线来求出两条角平分线的斜率，再利用角平分线的性质，可以得到长轴和短轴的长度，从而求解离心率。
5. 利用离心率的几何特性离心率具有一些几何特性，利用这些特性可以推导出一些有用的定理，进而用于解题。
离心率e等于焦点到准线和焦点到椭圆上一点的距离之比；离心率e等于焦点到顶点的距离和焦点到椭圆上一点的距离之比；离心率e等于焦点到每一条法线的交点与准线之间的距离之比等等。
高中数学求圆锥曲线离心率的常用方法
高中数学求圆锥曲线离心率的常用方法离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质。
椭圆的离心率：0＜e＜1；双曲线的离心率：e＞1；抛物线离心率：e=1。
下面介绍求圆锥曲线离心率的常用方法。
一、直接求出a、c，求解e在求解离心率e，椭圆中存在：a2=b2+c2双曲线中存在：c2=a2+b2这两个关系对于求解椭圆与双曲线的离心率是非常重要的。
已知标准方程或a、c易求时，可利用离心率公式来求解。
例1、过双曲线M：的左顶点A作斜率为1的直线，若与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且|AB|=|BC|，则双曲线M的离心率是（）A. B. C. D. 分析：这里的，故关键是求出，即可利用定义求解。
解：易知A（-1，0），则直线的方程为。
直线与两条渐近线和的交点分别为B、C，又|AB|=|BC|，可解得，则故有，从而选A。
例2、已知椭圆C的短轴长为6，左焦点F到右端点的距离等于9，则椭圆E的离心率等于多少？解：二、变用公式，整体求出e椭圆与双曲线求离心率还有如下变形例3、已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D. 分析：本题已知，不能直接求出a、c，可用整体代入套用公式。
解：由（其中k为渐近线的斜率）。
这里，则，从而选A。
三、统一定义法由圆锥曲线的统一定义（或称第二定义）知离心率e是动点到焦点的距离与相应准线的距离比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题。
例4、在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D. 解：由过焦点且垂直于长轴的弦又称为通径，设焦点为F，则轴，知|MF|是通径的一半，则有。
由圆锥曲线统一定义，得离心率，从而选B。
四、(等量关系)利用题目中所给的几何关系或者条件得出a，b，c的关系，然后根据b2=a2-c2(椭圆)或者b2=c2-a2(双曲线)，消除b，得到关于a，c的方程，从而得到e的方程，继而解出e。
专题三 求椭圆及双曲线的离心率 的方法
求圆锥曲线离心率的专题求离心率问题有三种思路，一是求出,,a b c 三个量中的任何两个，然后利用离心率的计算公式求解；二是求出,a c 或,a b 或,c b 之间关系，然后利用离心率的计算公式求解；三是构造出关于离心率e 的方程来求解.此题中关键是灵活的应用椭圆和双曲线的定义构造出方程即可求解,一般是依据题设寻求一个关于,,a b c 的等量关系，再利用,,a b c 的关系消去b ，得到关于,a c 的等式，再转化为关于离心率e 的方程，解方程求出e 的值，最后根据椭圆或双曲线的离心率的取值范围,给出离心率的值.1.（2016全国丙卷理11）已知O 为坐标原点，F 是椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）.A.13 B. 12 C.23D. 342.已知双曲线:E 22221x y a b-=()0,0a b >>，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD的中点为E 的两个焦点，且23AB BC =，则E 的离心率是_______.【解析】 由题意，2BC c =，又因为23AB BC =，则3AB c =，于是点3,2c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭在双曲线E 上，代入方程22221x y a b -=，得2222914c c a b-=，再由2c b a =+22得E 的离心率为2ce a==. 考点1.利用题设条件求出,a c 的值【例1】已知双曲线22219x y b-=(0)b >，过其右焦点F 作圆229x y +=的两条切线，切点记作C ，D ,双曲线的右顶点为E ,0150CED ∠=，其双曲线的离心率为( )32【解析】由题意3a =，易得OD OE =，075CEO OCE ∠=∠=,所以030=∠COE ，在Rt OCF ∆中，⇒=+=0230cos 93bOF OC 33212322==⇒=⇒=a c e c b 【例2】已知抛物线24y x =的准线与双曲线22214x y a -=交于,A B 两点，点F 为抛物线的交点，若FAB ∆为正三角形，则双曲线的离心率是 ．【解析】根据已知条件画出图形（如右图），FAB ∆R t A K F ∆中，30,2,AFK KF ∠=︒=tan 30,1,33AK KF A ⎛∴=︒=∴- ⎝⎭223114a ⎛⎫⎪⎝⎭∴-=，解得234a =，又24b =，故双曲线离心率223c e a ==÷=． 考点2.根据题设条件直接列出,,a b c 的等量关系【例3】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与圆22(3)9x y -+=相变于A.B两点，若||2AB =，则该双曲线的离心率为（ ） A.8 B. C 3 D.4考点3.借助直角三角形的边角关系【例4】【2012全国新课标，理4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P为直线32ax =上一点，12F PF ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23 ()C 34 ()D 45【解析】12F PF ∆是底角为30的等腰三角形，22132()22PF F F a c c ⇒==-=，则34c e a ==【例5】设1F ，2F 分别是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于P ，Q 两点，若160F PQ ∠=︒，1PF PQ =，则椭圆的离心率为（ ）A.13 B.23【解析】由条件1PF PQ =，则PQ ⊥x 轴，而0160F PQ ∠=，∴1FPQ ∆为等边三角形，而周长为4a ，∴ 等边三角形的边长为43a ，焦点在直角三角形12PF F ∆中，14||3aPF =，22||3a PF =，12||2F F c =， ∴22242()()(2)33a a c -=，即223a c =，∴22213c e a ==，考点4. 借助与其它曲线的关系求离心率【例6】点A 是抛物线21:2(0)C y px p =>与双曲线22222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线的交点（异于原点），若点A 到抛物线1C 的准线的距离为p ，则双曲线2C 的离心率等于（ ）A B ．2 C D ．4【解析】 点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ，∴⎪⎭⎫⎝⎛p p A ,2适合x a b y =，∴422=a b ，∴5=e 【例7】如图，已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点恰好是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F ，且这两条曲线交点的连线过点F ，则该椭圆的离心率为________．【解析】如图，设F ′为椭圆的左焦点，椭圆与抛物线在x 轴上方的交点为A ，连接AF ′，所以|FF ′|＝2c ＝p ，因为|AF |＝p ，所以|AF ′|＝2p .因为|AF ′|＋|AF |＝2a ，所以2a ＝2p ＋p ，所以e ＝ca＝2－1.考点5. 利用椭圆或双曲线的定义求离心率【例8】椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其左焦点，若AF ^BF ,设6π=∠ABF ，则该椭圆的离心率为（ ） A ．22 B ．13- C ．33 D ．231-【解析】取椭圆右焦点M ，连接BM AM ,，由椭圆对称性以及AF ^BF 知四边形AFBM 为矩形，由6π=∠ABF 得c AF =，c AM 3=，由椭圆定义知a AM AF 2=+2c a +=，13-=∴e .【例9】设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若216,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30，则C 的离心率为___.【例10】 F 1，F 2是双曲线2222:1(,0)x y C a b b a b-=>>的左、右焦点，过左焦点F 1的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，若22||:||:||3:4:5AB BF AF =，则双曲线的离心率是（ ）A BC ．2D 【解析】画出图形，在2ABF ∆中，根据题意可设223,4,5(0)AB t BF t AF t t ===>，222222,AB BF AF ABF +=∴∆为直角三角形．设1AF m =，由双曲线的定义知1221BF BF AF AF -=-，即345t m t t m +-=-，∴3m t =，∴212532a AF AF t t t =-=-=．在12Rt BF F ∆中，12F F ==，∴ce a==，故选D ． 考点6. 借助双曲线的渐近线求离心率【例11】已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x E 的两条渐近线分别为x y l x y l 2:,2:21-==.则双曲线E 的离心率为_______________.【解析】因为双曲线E 的渐近线分别为y ＝2x ，y ＝－2x ，所以b a ＝2，所以c 2－a 2a＝2，故c ＝5a ，从而双曲线E 的离心率e ＝ca＝ 5.【例12]已知双曲线22221x y a b -=的一条渐近线的倾斜角的余弦值为10，该双曲线上过一个焦点且垂直于实轴的弦长为3，则双曲线的离心率等于（ ）A C D ．【解析】双曲线22221x y a b -=所以1e =，即3e =， 故选C. 考点7. 利用弦中点坐标，代点相减求离心率【例13】过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>相交于,A B ，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
求圆锥曲线离心率的专题
求离心率问题有三种思路，一是求出,,a b c 三个量中的任何两个，然后利用离心率的计算公
式求解；二是求出,a c 或,a b 或,c b 之间关系，然后利用离心率的计算公式求解；三是构造出
关于离心率e 的方程来求解.此题中关键是灵活的应用椭圆和双曲线的定义构造出方程即可求解,一般是依据题设寻求一个关于,,a b c 的等量关系，再利用,,a b c 的关系消去b ，得到关于,a c 的等式，再转化为关于离心率e 的方程，解方程求出e 的值，最后根据椭圆或双曲线的
离心率的取值范围,给出离心率的值.
1.（2016全国丙卷理11）已知O 为坐标原点，F 是椭圆:C 22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦
点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）.
A.
13 B. 12 C.
2
3
D. 3
4
2.已知双曲线:E 22
221x y a b
-=()0,0a b >>，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD
的中点为E 的两个焦点，且23AB BC =，则E 的离心率是_______.
【解析】 由题意，2BC c =，又因为23AB BC =，则3AB c =，于是点3,
2c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭
在双曲线E 上，代入方程22221x y a b
-=，得2222914c c a b -=，再由2
c b a =+22得E 的离心率为
2c
e a
=
=. 考点1.利用题设条件求出,a c 的值
【例1】已知双曲线
22
219x y b
-=(0)b >，过其右焦点F 作圆229x y +=的两条切线，切点记作C ，D ,双曲线的右顶点为E ,0150CED ∠=，其双曲线的离心率为( )
3
2
【解析】由题意3a =，易得OD OE =，075CEO OCE ∠=∠=,所以0
30=∠COE ，在
Rt OCF ∆中，
⇒=+=0230cos 93b
OF OC 33
212322==⇒=⇒=a c e c b
【例2】已知抛物线2
4y x =的准线与双曲线22
214
x y a -
=交于,A B 两点，点F 为抛物线的交点，若FAB ∆为正三角形，则双曲线的离心率是 ．
【解析】根据已知条件画出图形（如右图），FAB ∆
R t A K F ∆中，30,2,AFK KF ∠=︒=
tan 30AK KF A ⎛∴=︒=
∴- ⎝
⎭2
2114a ⎝⎭∴-=，解得234a =，又24b =，故双曲线离心率c e a =
==
．
考点2.根据题设条件直接列出,,a b c 的等量关系
【例3】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>的一条渐近线与圆22
(3)9x y -+=相变于A.B
两点，若||2AB =，则该双曲线的离心率为（ ）
A.8
B. C 3 D.4
考点3.借助直角三角形的边角关系
【例4】【2012全国新课标，理4】设12F F 是椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的左、右焦点，P
为直线32
a
x =
上一点，12F PF ∆是底角为30 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） ()
A 12 ()
B 23 ()
C 3
4
()
D 45
【解析】12F PF ∆是底角为30 的等腰三角形，2213
2()22
PF F F a c c ⇒==-=， 则34
c e a =
= 【例5】设1F ，2F 分别是椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于P ，
Q 两点，若160F PQ ∠=︒，1PF PQ =，则椭圆的离心率为（ ）
A.
13 B.2
3
【解析】由条件1PF PQ =，则PQ ⊥x 轴，而0
1
60F PQ ∠=，∴1F PQ ∆为等边三角形，而周长为4a ，∴ 等边三角形的边长为
43a ，焦点在直角三角形12PF F ∆中，14||3
a
PF =，
22||3a PF =，12||2F F c =， ∴22242()()(2)33a a c -=，即22
3a c =，∴22213
c e a ==，
考点4. 借助与其它曲线的关系求离心率
【例6】点A 是抛物线2
1:2(0)C y px p =>与双曲线22
222:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的一条渐
近线的交点（异于原点），若点A 到抛物线1C 的准线的距离为p ，则双曲线2C 的离心率等于
（ ）
A B ．2 C D ．4
【解析】 点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ，
∴⎪⎭
⎫
⎝⎛p p A ,2适合x a b y =，∴422=a b ，∴5=e 【例7】如图，已知抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦点恰好是椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的右焦点F ，且
这两条曲线交点的连线过点F ，则该椭圆的离心率为________． 【解析】如图，设F ′为椭圆的左焦点，椭圆与抛物线在x 轴上方
的交点为A ，连接AF ′，所以|FF ′|＝2c ＝p ，因为|AF |＝p ，所以|AF ′|＝2p .因为|AF ′|＋|AF |＝2a ，所以2a ＝2p ＋p ，所以e
＝c a
＝2－1.
考点5. 利用椭圆或双曲线的定义求离心率
【例8】椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其左焦点，若
AF ^BF ,设6
π
=
∠ABF ，则该椭圆的离心率为 （ ）
A ．
22 B ．13- C ．33 D ．2
31- 【解析】取椭圆右焦点M ，连接BM AM ,，由椭圆对称性以及AF ^BF 知四边形AFBM 为
矩形，由6
π
=
∠ABF 得c AF =，c AM 3=，由椭圆定义知a AM AF 2=+2c a +=，
13-=∴e .
【例9】设12,F F 是双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若
216,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30 ，则C 的离心率为___.
【例10】 F 1，F 2是双曲线22
22:1(,0)x y C a b b a b
-=>>的左、右焦点，过左焦点F 1的直线l 与
双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，若22||:||:||3:4:5AB BF AF =，则双曲线的离心率是
（ ）
A B
C ．2
D 【解析】画出图形，在2ABF ∆中，根据题意可设223,4,5(0)AB t BF t AF t t ===>， 2
2
2
2
22,AB BF AF ABF +=∴∆ 为直角三角形．设1AF m =，由双曲线的定义知
1221BF BF AF AF -=-，即
345t m t t m +-=-，∴3m t =， ∴212532a AF AF t t t =-=-=．在12Rt BF F ∆中，
12F F =
=，∴c
e a
=
=，故选D ．
考点6. 借助双曲线的渐近线求离心率
【例11】已知双曲线)0,0(1:22
22>>=-b a b
y a x E 的两条渐近线分别为x y l x y l 2:,2:21-==.
则双曲线E 的离心率为_______________.
【解析】因为双曲线E 的渐近线分别为y ＝2x ，y ＝－2x ，所以b a ＝2，所以c 2－a 2
a
＝2，
故c ＝5a ，从而双曲线E 的离心率e ＝c
a
＝ 5.
【例12]已知双曲线22221x y a b -=的一条渐近线的倾斜角的余弦值为10
，该双曲线上过一
个焦点且垂直于实轴的弦长为
3
，则双曲线的离心率等于（ ）
A D ．
【解析】双曲线22221x y a b -=所以1e =，即
e =
， 故选C. 考点7. 利用弦中点坐标，代点相减求离心率
【例13】过点(1,1)M 作斜率为1
2
-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>相交于,A B ，
若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为。