高中数学专题三 求椭圆及双曲线的离心率 的方法

求圆锥曲线离心率的专题

求离心率问题有三种思路，一是求出,,a b c 三个量中的任何两个，然后利用离心率的计算公

式求解；二是求出,a c 或,a b 或,c b 之间关系，然后利用离心率的计算公式求解；三是构造出

关于离心率e 的方程来求解.此题中关键是灵活的应用椭圆和双曲线的定义构造出方程即可求解,一般是依据题设寻求一个关于,,a b c 的等量关系，再利用,,a b c 的关系消去b ，得到关于,a c 的等式，再转化为关于离心率e 的方程，解方程求出e 的值，最后根据椭圆或双曲线的

离心率的取值范围,给出离心率的值.

1.（2016全国丙卷理11）已知O 为坐标原点，F 是椭圆:C 22

221(0)x y a b a b

+=>>的左焦

点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）.

A.

13 B. 12 C.

2

3

D. 3

4

2.已知双曲线:E 22

221x y a b

-=()0,0a b >>，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD

的中点为E 的两个焦点，且23AB BC =，则E 的离心率是_______.

【解析】 由题意，2BC c =，又因为23AB BC =，则3AB c =，于是点3,

2c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭

在双曲线E 上，代入方程22221x y a b

-=，得2222914c c a b -=，再由2

c b a =+22得E 的离心率为

2c

e a

=

=. 考点1.利用题设条件求出,a c 的值

【例1】已知双曲线

22

219x y b

-=(0)b >，过其右焦点F 作圆229x y +=的两条切线，切点记作C ，D ,双曲线的右顶点为E ,0150CED ∠=，其双曲线的离心率为( )

3

2

【解析】由题意3a =，易得OD OE =，075CEO OCE ∠=∠=,所以0

30=∠COE ，在

Rt OCF ∆中，

⇒=+=0230cos 93b

OF OC 33

212322==⇒=⇒=a c e c b

【例2】已知抛物线2

4y x =的准线与双曲线22

214

x y a -

=交于,A B 两点，点F 为抛物线的交点，若FAB ∆为正三角形，则双曲线的离心率是 ．

【解析】根据已知条件画出图形（如右图），FAB ∆

R t A K F ∆中，30,2,AFK KF ∠=︒=

tan 30AK KF A ⎛∴=︒=

∴- ⎝

⎭2

2114a ⎝⎭∴-=，解得234a =，又24b =，故双曲线离心率c e a =

==

．

考点2.根据题设条件直接列出,,a b c 的等量关系

【例3】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b

-=>>的一条渐近线与圆22

(3)9x y -+=相变于A.B

两点，若||2AB =，则该双曲线的离心率为（ ）

A.8

B. C 3 D.4

考点3.借助直角三角形的边角关系

【例4】【2012全国新课标，理4】设12F F 是椭圆22

22:1(0)x y E a b a b

+=>>的左、右焦点，P

为直线32

a

x =

上一点，12F PF ∆是底角为30 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） ()

A 12 ()

B 23 ()

C 3

4

()

D 45

【解析】12F PF ∆是底角为30 的等腰三角形，2213

2()22

PF F F a c c ⇒==-=， 则34

c e a =

= 【例5】设1F ，2F 分别是椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于P ，

Q 两点，若160F PQ ∠=︒，1PF PQ =，则椭圆的离心率为（ ）

A.

13 B.2

3

【解析】由条件1PF PQ =，则PQ ⊥x 轴，而0

1

60F PQ ∠=，∴1F PQ ∆为等边三角形，而周长为4a ，∴ 等边三角形的边长为

43a ，焦点在直角三角形12PF F ∆中，14||3

a

PF =，

22||3a PF =，12||2F F c =， ∴22242()()(2)33a a c -=，即22

3a c =，∴22213

c e a ==，

考点4. 借助与其它曲线的关系求离心率

【例6】点A 是抛物线2

1:2(0)C y px p =>与双曲线22

222:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的一条渐

近线的交点（异于原点），若点A 到抛物线1C 的准线的距离为p ，则双曲线2C 的离心率等于

（ ）

A B ．2 C D ．4

【解析】 点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ，

∴⎪⎭

⎫

⎝⎛p p A ,2适合x a b y =，∴422=a b ，∴5=e 【例7】如图，已知抛物线y 2

＝2px (p >0)的焦点恰好是椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)的右焦点F ，且

这两条曲线交点的连线过点F ，则该椭圆的离心率为________． 【解析】如图，设F ′为椭圆的左焦点，椭圆与抛物线在x 轴上方

的交点为A ，连接AF ′，所以|FF ′|＝2c ＝p ，因为|AF |＝p ，所以|AF ′|＝2p .因为|AF ′|＋|AF |＝2a ，所以2a ＝2p ＋p ，所以e

＝c a

＝2－1.

考点5. 利用椭圆或双曲线的定义求离心率

【例8】椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其左焦点，若

AF ^BF ,设6

π

=

∠ABF ，则该椭圆的离心率为 （ ）