专题01 规律探索题研究(解析版)
专题01 规律探索题研究(解析版)
专题一：规律探索题研究【题型导引】题型一：点坐标规律（1）与变换相关的点的规律探寻；（2）与函数相关的点的规律探寻；（3）与其它因素相关的点的规律探寻等。
题型二：数字规律（1）数学文化知识的拓展探寻数字规律；（2）与特殊图形引发的数字规律探寻；（3）与变换过程中的数字规律探寻。
题型三：图形规律（1）与变换相关的图形规律；（2）不同操作形成的规律性图形研究；【典例解析】类型一：点坐标规律例题1：（2019•湖北省鄂州市•3分）如图，在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3…A n在x轴上，B1、B2、B3…B n在直线y＝33x上，若A1（1，0），且△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1、S2、S3…S n．则S n可表示为（）A．22n3B．22n﹣13C．22n﹣23D．22n﹣33【解答】解：∵△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形，∴A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥A n B n，B1A2∥B2A3∥B3A4∥…∥B n A n+1，△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形，∵直线y 3与x轴的成角∠B1OA1＝30°，∠OA1B1＝120°，∴∠OB1A1＝30°，∴OA1＝A1B1，∵A1（1，0），∴A1B1＝1，同理∠OB2A2＝30°，…，∠OB n A n＝30°，∴B2A2＝OA2＝2，B3A3＝4，…，B n A n＝2n﹣1，易得∠OB1A2＝90°，…，∠OB n A n+1＝90°，∴B1B2＝3，B2B3＝2 3，…，B n B n+1＝2n3，∴S1＝12×1×3＝32，S2＝12×2×23＝2 3，…，S n＝12×2n﹣1×2n3＝；故选：D．技法归纳：探索点的坐标变化规律时要注意：①逐一求出(或用字母表示出)相应点的坐标，直到探索出点的坐标变化规律为止；②确定起始点找到探寻方向；③抓住问题的关键点等；④探求出统一的表示形式．类型二：数式规律例题2：（2019•四川省达州市•3分）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为＝﹣1，﹣1的差倒数＝，已知a1＝5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数…，依此类推，a2019的值是（）A．5 B．﹣C．D．【解答】解：∵a1＝5，a2＝＝＝﹣，a3＝＝＝，a4＝＝＝5，…∴数列以5，﹣，三个数依次不断循环，∵2019÷3＝673，∴a2019＝a3＝，故选：D ．技法归纳：(1)对于不是循环而有规律排列的数或式，根据前后数或式之间的关系，找出其与序列数n 之间的关系，探求其一般表达式；(2)对于循环产生的数或式，先找到其循环周期；(3)对于数阵的规律问题，先求出每行和每列的个数，并观察相邻数据的变化特点，进而得到该行或该列上的数与行列序数的关系． 第一步：标序数；第二步：对比式子与序号，即分别比较等式中各部分与序数(1，2，3，4，…，n)之间的关系，把其蕴含的规律用含序数的式子表示出来，通常方法是将式子进行拆分，观察式子中数字与序号是否存在倍数或者次方的关系；第三步：根据找出的规律得出第n 个等式，并进行检验． 类型三：图形规律例题3：(2017·绥化中考)如图，顺次连接腰长为2的等腰直角三角形各边中点得到第1个小三角形，再顺次连接所得的小三角形各边中点得到第2个小三角形，如此操作下去，则第n 个小三角形的面积为 ．【解析】记原来三角形的面积为S ，第一个小三角形的面积为S 1，第二个小三角形的面积为S 2，…. ∵S 1＝14·S＝122·S，S 2＝14·14S ＝124·S，S 3＝126·S，∴S n ＝122n ·S＝122n ·12·2·2＝122n －1.故答案为122n －1. 技法归纳：首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解． 【变式训练】1. (2018·成都中考)已知a ＞0，S 1＝1a ，S 2＝－S 1－1，S 3＝1S 2，S 4＝－S 3－1，S 5＝1S 4，…(即当n 为大于1的奇数时，S n ＝1S n －1；当n 为大于1的偶数时，S n ＝－S n －1－1)，按此规律，S 2 018＝ ．【解析】∵S 1＝1a ，S 2＝－S 1－1＝－1a －1＝－a ＋1a ，S 3＝1S 2＝－a a ＋1，S 4＝－S 3－1＝a a ＋1－1＝－1a ＋1，S 5＝1S 4＝－(a ＋1)，S 6＝－S 5－1＝(a ＋1)－1＝a ，S 7＝1S 6＝1a ，…，∴S n 的值每6个一循环．∵2 018＝336×6＋2，∴S 2 018＝S 2＝－a ＋1a.故答案为－a ＋1a.2. (2018·安徽中考)观察以下等式： 第1个等式：11＋02＋11×02＝1，第2个等式：12＋13＋12×13＝1，第3个等式：13＋24＋13×24＝1，第4个等式：14＋35＋14×35＝1，第5个等式：15＋46＋15×46＝1，…按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式： ；(2)写出你猜想的第n 个等式： (用含n 的等式表示)，并证明． 【解析】：(1)16＋57＋16×57＝1(2)根据题意，第n 个分式分母分别为n 和n ＋1，分子分别为1和n －1， 故答案为1n ＋n －1n ＋1＋1n ×n －1n ＋1＝1.证明：1n ＋n －1n ＋1＋1n ×n －1n ＋1＝n ＋1＋n （n －1）＋（n －1）n （n ＋1）＝n 2＋n n （n ＋1）＝1，∴等式成立．3. （2019•四川省广安市•3分）如图，在平面直角坐标系中，点A 1的坐标为（1，0），以OA 1为直角边作Rt△OA 1A 2，并使∠A 1OA 2＝60°，再以OA 2为直角边作Rt△OA 2A 3，并使∠A 2OA 3＝60°，再以OA 3为直角边作Rt△OA 3A 4，并使∠A 3OA 4＝60°…按此规律进行下去，则点A 2019的坐标为 （﹣22017，220173） ．【解答】解：由题意得， A 1的坐标为（1，0），A2的坐标为（1，A3的坐标为（﹣2，，A4的坐标为（﹣8，0），A5的坐标为（﹣8，﹣），A6的坐标为（16，﹣），A7的坐标为（64，0），…由上可知，A点的方位是每6个循环，与第一点方位相同的点在x正半轴上，其横坐标为2n﹣1，其纵坐标为0，与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为2n﹣，与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为2n﹣，与第四点方位相同的点在x负半轴上，其横坐标为﹣2n﹣1，纵坐标为0，与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣，与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣，∵2019÷6＝336…3，∴点A2019的方位与点A23的方位相同，在第二象限内，其横坐标为﹣2n﹣2＝﹣22017，纵坐标为2，故答案为：（﹣22017，2）．4. (2018·滨州中考)观察下列各式：1＋112＋122＝1＋11×2，1＋122＋132＝1＋12×3，1＋132＋142＝1＋13×4，…请利用你所发现的规律，计算1＋112＋122＋1＋122＋132＋1＋132＋142＋ (1)192＋1102，其结果为．【解析】1＋112＋122＋1＋122＋132＋1＋132＋142 ＋…＋1＋192＋1102 ＝1＋11×2＋1＋12×3＋1＋13×4＋…＋1＋19×10＝1×9＋1－12＋12－13＋13－14＋…＋19－110＝9＋1－110＝9910. 故答案为9910.5. (2019•湖南益阳•4分)观察下列等式： ①3－22＝(2－1)2，②5－62＝(3－2)2，③7－122＝(4－3)2，…请你根据以上规律，写出第6个等式 ． 【解答】解：写出第6个等式为13－242＝2(76)- 故答案为13－242＝2(76)-6. （2019•黑龙江省齐齐哈尔市•3分）如图，直线l ：y ＝x+1分别交x 轴、y 轴于点A 和点A 1，过点A 1作A 1B 1⊥l ，交x 轴于点B 1，过点B 1作B 1A 2⊥x 轴，交直线l 于点A 2；过点A 2作A 2B 2⊥l ，交x 轴于点B 2，过点B 2作B 2A 3⊥x 轴，交直线l 于点A 3，依此规律…，若图中阴影△A 1OB 1的面积为S 1，阴影△A 2B 1B 2的面积为S 2，阴影△A 3B 2B 3的面积为S 3…，则S n ＝ ．【解答】解：直线l ：y ＝x+1，当x ＝0时，y ＝1；当y ＝0时，x ＝﹣∴A（﹣，0）A1（0，1）∴∠OAA1＝30°又∵A1B1⊥l，∴∠OA1B1＝30°，在Rt△OA1B1中，OB1＝•OA1＝，∴S1＝；同理可求出：A2B1＝，B1B2＝，∴S2＝＝＝；依次可求出：S3＝；S4＝；S5＝……因此：S n＝故答案为：．7. （2019•山东潍坊•3分）如图所示，在平面直角坐标系xoy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线，l0，l1，l2，l3，…都与x轴垂直，相邻两直线的间距为l，其中l0与y轴重合若半径为2的圆与l1在第一象限内交于点P1，半径为3的圆与l2在第一象限内交于点P2，…，半径为n+1的圆与l n在第一象限内交于点P n，则点P n的坐标为．（n为正整数）【解答】解：连接OP 1，OP 2，OP 3，l 1、l 2、l 3与x 轴分别交于A 1、A 2、A 3，如图所示： 在Rt△OA 1P 1中，OA 1＝1，OP 1＝2， ∴A 1P 1＝2211OP OA -＝2221-＝3，同理：A 2P 2＝2232-＝5，A 3P 3＝2243-＝7，……，∴P 1的坐标为（ 1，3），P 2的坐标为（ 2，5），P 3的坐标为（3，7），……， …按照此规律可得点P n 的坐标是（n ，22(1)n n +-），即（n ，21n +） 故答案为：（n ，21n +）．8. （2019•四川省达州市•11分）箭头四角形 模型规律如图1，延长CO 交AB 于点D ，则∠BOC ＝∠1+∠B ＝∠A+∠C+∠B ．因为凹四边形ABOC 形似箭头，其四角具有“∠BOC ＝∠A+∠B+∠C ”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”． 模型应用（1）直接应用：①如图2，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F ＝ 2α ．②如图3，∠ABE 、∠ACE 的2等分线（即角平分线）BF 、CF 交于点F ，已知∠BEC ＝120°，∠BAC ＝50°，则∠BFC ＝ 85° ．③如图4，BO i 、CO i 分别为∠ABO 、∠ACO 的2019等分线（i ＝1，2，3，…，2017，2018）．它们的交点从上到下依次为O 1、O 2、O 3、…、O 2018．已知∠BOC ＝m °，∠BAC ＝n °，则∠BO 1000C ＝ （m+n ） 度．（2）拓展应用：如图5，在四边形ABCD 中，BC ＝CD ，∠BCD ＝2∠BAD ．O 是四边形ABCD 内一点，且OA ＝OB ＝OD ．求证：四边形OBCD 是菱形．【解答】解：（1）①如图2，在凹四边形ABOC中，∠A+∠B+∠C＝∠BOC＝α，在凹四边形DOEF中，∠D+∠E+∠F＝∠DOE＝α，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝2α；②如图3，∵∠BEC＝∠EBF+∠ECF+∠F，∠F＝∠ABF+∠ACF+∠A，且∠EBF＝∠ABF，∠ECF＝∠ACF，∴∠BEC＝∠F﹣∠A+∠F，∴∠F＝，∵∠BEC＝120°，∠BAC＝50°，∴∠F＝85°；③如图3，由题意知∠ABO1000＝∠ABO，∠OBO1000＝∠ABO，∠ACO1000＝∠ACO，∠OCO1000＝∠ACO，∴∠BOC＝∠OBO1000+∠OCO1000+∠BO1000C＝（∠ABO+∠ACO）+∠BO1000C，∠BO1000C＝∠ABO1000+∠ACO1000+∠BAC＝（∠ABO+∠ACO）+∠BAC，则∠ABO+∠ACO＝（∠BO1000C﹣∠BAC），代入∠BOC＝（∠ABO+∠ACO）+∠BO1000C得∠BOC＝×（∠BO1000C﹣∠BAC）+∠BO1000C，解得：∠BO1000C＝（∠BOC+∠BAC）＝∠BOC+∠BAC，∵∠BOC＝m°，∠BAC＝n°，∴∠BO1000C＝m°+n°；故答案为：①2α；②85°；③（m+n）；（2）如图5，连接OC，∵OA＝OB＝OD，∴∠OAB＝∠OBA，∠OAD＝∠ODA，∴∠BOD＝∠BAD+∠ABO+∠ADO＝2∠BAD，∵∠BCD＝2∠BAD，∴∠BCD＝∠BOD，∵BC＝CD，OA＝OB＝OD，OC是公共边，∴△OBC≌△ODC（SSS），∴∠BOC＝∠DOC，∠BCO＝∠DCO，∵∠BOD＝∠BOC+∠DOC，∠BCD＝∠BCO+∠DCO，∴∠BOC ＝∠BOD，∠BCO ＝∠BCD，又∠BOD＝∠BCD，∴∠BOC＝∠BCO，∴BO＝BC，又OB＝OD，BC＝CD，∴OB＝BC＝CD＝DO，∴四边形OBCD是菱形．。
2019版中考专题(1)规律探索问题(含答案).docx
第二篇专题能力突破 专题一规律探索问题—年创新导向一、选择题1. (原创题)观察下列图形，它们是按一定的规律排列的，依照此规律，第20个图形中的“★”有()★★ ★ ★★★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★★ ★ ★★ ★ ★ ★★ ★ ★ ★ ★第1个图形 第2个图形第3个图形 第4个图形A. 57 个B. 60 个C.63个 D. 85 个解析 第1个图形有3个“★”，第2个图形有6=2X3个“★” ,第3个图形有9=3X3个“★” , 第4个图形有12=4X3个“★ ”，…，第20个图形有20X3=60个.故选B.答案B2. (原创题)如图，在一个三角点阵中，从上向下数有无数多行，其中各行点数依次为2, 4, 6,…，2n,…, 请你探究出前n行的点数和所满足的规律.若前n 行点数和为930,则n=()• • • • A 2• • • • • «A 3A. 29B. 30C. 31D. 32解析 前n 行的点数和可以表示成2+4+6+・・・+2n=2(l+2+3 + ・・・+n) =2X —=n(n+1), 从而得到一元二次方程n(n+1) =930,可以求出n=30・故选B.答案B3. (原创题)符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：(l)f(l)=2, f ⑵=4, f ⑶=6,…;(2)f 閤=2, -(為)等于()A. 2 013B. 2 014c -----2 013答案B4. (原创题)观察下列一组图形中点的个数，其中第一个图形中共有4个点，第2个图形中共有10个点,f(J)=3, f(f|=4,…利用以上规律计算：f(2 014) 解析根据题意，得f (2 014)—=2 014X2-2 014=2 014.故选B.第3个图形中共有19个点，…按此规律第6个图形中共有点的个数是解析第1个图形中共有4个点，第2个图形中共有10个点，比第1个图形中多了6个点；第3个图形中共有19个点，比第2个图形中多了9个点；…，按此规律可知，第4个图形比第3个图形中多12个点，所以第4个图形中共有12+19=31个点，第5个图形比第4个图形中多15个点，所以第5个图形中共有31 + 15=46个点，第6个图形比第5个图形中多18个点，所以第6个图形中共有46+18=64个点，故选D. 答案D二、填空题5.(原创题)图中各正三角形中的四个数之间都有相同的规律，据此规律，第n个正三角形中，四个数的解析观察图形发现：1><2—3 = — 1, 2X3-4=2, 3X4—5 = 7,故第n个正三角形中的外围的三个数分别是n, n+1, n+2,中间的数为n(n+l) — (n+2) =n2—2,所以这四个数的和为n+n+l+n+2 +n2—2=n2+3n+l.答案n+3n+l6.(原创题)如图，ZA0B=45° ,过射线0A上到点03,5, 7, 9, 11,…的点作OA的垂线与OB相交，黑色梯形，它们的面积分别为S“ S2, S3, S4…….律，则第2 015个黑色梯形的面积S2O15= __________ •(1 -LOA X 9 解析根据题意可得：S尸一=4=1X8的距离分别为h 得到并描出一组观察图中的规—4 , S2 —空严=12=2X8-42 (9+11)><2=20=3X8-4,2 S2 015=2 015X8-4=16 116.答案16 116 (13 + 15)=28=4X8-4，…，2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1.小明总结了以下结论：①a(b+c) =ab+ac ；②a(b - c) =ab - ac ； (3)(b - c) -ra=b4-a - c4-a(a^0)；④ a4- (b+c) =a-rb+a4-c(a^0)；其中一定成立的个数是() A. 1B ・2C ・3D ・424.如图，在反比例函数y=-—的图象上有一动点A,连结A0并延长交图象的另一支于点B,在第一象限x内有一点C,满足AC=BC,当点A 运动时，点C 始终在函数y=£的图象上运动，若tanZCAB=3,则kA. -B. 6C. 8D. 1835.甲、乙两人沿相同的路线由A 地到B 地匀速前进，A 、B 两地间的路程为20km.他们前进的路程为s (km), 甲出发后的时间为t(h),甲、乙前进的路程与时间的函数图象如图所示.根据图象信息，下列说法正确 的是()A. x< - 3B. x> - 33.下列运算正确的是( )A. a 6 -a 2 =a 4B. (a 2)3 = a 5C. x< - 6 C. a 2-a 3=a 5D. x> - 6D. a 6 4-a 2 = a 3A.甲的速度是4km/h C.乙比甲晚出发lhB. 乙的速度是10km/h D.甲比乙晚到B 地3h6.如图，AB/7CD,直线L 交AB 于点E,交CD 于点F,若Z2=75° ,则Z1等于（ ）7.如图，幼儿园计划用30m 的围栏靠墙围成一个面积为lOfW 的矩形小花园（墙长为15m ）,则与墙垂直的边x 为（）A. 10m 或 5m B ・ 5m 或 8m C ・ 10m D ・ 5m8. 下列运算正确的是（） A. J （-5）2 = - 5 B. （x 3）2=x 5 C. X 64-X 3=X 2D. （- -）_2=1649. 如图，一个游戏转盘分成红、黄、蓝三个扇形，其中红、黄两个扇形的圆心角度数分别为90° , 120° •让转盘自由转动，停止后，指针落在蓝色区域的概率是（）10. 某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元，求这两年的年利润的平均增长率，设企业这两年的年利润平均增长率为X,则可列方程为（）A. 300 （1+x ） 2=507B. 300 （1 -x ） 2=507x+5 > 211•不等式组4_心的最小整数解是（）、填空题C. 125°D. 75°a5J11 5A ・ 一氏一 c.— 43 12 D.无法确定 C. 300 (l+2x) =507D. 300 (1+x 2) =507B.115°A. -3B. - 2C. 0D. 1A. AABC^ADCBB. AAOD^ACOBC. AABO^ADCOD. AADB^ADAC13.问题背景：如图，将AABC绕点A逆时针旋转60°得到AADE, DE与BC交于点P,可推出结论: PA+PC = PE问题解决：如图，在AM2VG中，MN = 6, ZM=75°, MG = 4近.点O是AWG内一点，则点O到AMNG三个顶点的距离和的最小值是_________________16.如果(2 +血)2=a+b逅(a, b为有理数)，那么a+b等于 ________________ .3 1 1 3 17.如图，点A (1, a)是反比例函数y= 的图象上一点，直线y= ------------------------- x+ —与反比例函数y= ---------- 的x 2 2 x图象在第四象限的交点为点B,动点P (x, 0)在x轴的正半轴上运动，当线段PA与线段PB之差达到最大时，则点P的坐标是 _________________________ .18.若矩形两条对角线的夹角是60° ,且较短的边长为3,则这个矩形的面积为—•三、解答题19.在箱子中有10张卡片，分别写有1到10的十个整数，从箱子中任取一张卡片，记下它的读数x,然后再放回箱子中，第二次再从箱子中任取一张卡片，记下它的读数y,试求x+y是10的倍数的概率.有意义的x的取值范围是___________20. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，将直线y=x 向右平移2个单位后与双曲线y=3 (x>0)有唯一 公共点A,交另一双曲线y=' (x>0)于B.x(1) 求直线AB 的解析式和a 的值; (2) 若x 轴平分AAOB 的面积，求k 的值.x-1 > 01 1(3) 已知x“ X2是方程x 2- 3x - 1 =0的两不等实数根，求一+ —的值 X] x 223. 观察下列等式：©32-31=2X31；②3—32=2X3〈③3"-33=2XT ；④36 - 34=2X34…根据等式所反映的规律，解答下列问题：(1) 直接写出：第⑤个等式为 __________ ;(2) 猜想：第n 个等式为 _________ (用含n 的代数式表示)，并证明. 24. 已知二次函数y=x2—2(m+l)x+加+1 (m 为常数)，函数图像的顶点为C. (1) 若该函数的图像恰好经过坐标原点，求点C 的坐标；(2)该函数的图像与x 轴分别交于点A 、B,若以A 、B 、C 为顶点的三角形是直角三角形，求m 的值.25. 如图，AP 平分ZBAC, ZADP 和ZAEP 互补.⑴作P 到角两边AB, AC 的垂线段PM, PN.(2)求证:PD=PE.【参考答案】*** 一、选择题13. 2A /29 14. xH_315.22. (1)计算：| 2—舲 |+(血+ 1)°—3 tan 30°+(—1)258(2)解不等式组:1 x221.计算:15.1016.(4, 0)17.运.三、解答题18. 1【解析】【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是先后取两次卡片，每次都有1〜10这10个结果，满足条件的事件x+y是10的倍数的数对可以列举出结果数，根据等可能事件的概率公式得到结果.【详解】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是先后取两次卡片，每次都有1~10这10个结果，故形成的数对(x, y)共有100个.满足条件的事件x+y是10的倍数的数对包括以下10个：(1, 9), (9, 1), (2, 8), (8, 2), (3, 7), (7,3), (4, 6), (6, 4), (5, 5), (10, 10).故“x+y是10的倍数”的概率为£ =卷=0.1 •【点睛】本题考查等可能事件的概率，是一个关于数字的题目，数字问题是概率中经常出现的题目，一般可以列举出要求的事件，然后根据概率公式计算.19.(1) y=x - 2, a= - 1； (2) k=3.【解析】【分析】(1)根据平移的性质求出一次函数的解析式，根据无交点求出a的值，1y ——(2)解方程组.x 可求出A的坐标是(1, -1),由x轴平分AAOB的面积，可知B的纵坐标是1, j = x —2代入一次函数解析式可求出B的坐标是（3, 1）,即可求出答案.【详解】（1）直线y=x向右平移2个单位后的解析式是y=x - 2,即直线AB的解析式为y=x-2,得：x - 2=—,则x2 - 2x - a=0,x△=4+4a=0,解得：a= - 1,一1（2）由（1）可得方程组丿x ,y = x-2\ x — \解得：\ ,A的坐标是（1, - 1）,Tx轴平分AAOB的面积，.°.B的纵坐标是1,在y=x-2中，令y=l,解得：x=3,则B的坐标是（3, 1）, 代入y=±可得：k=3.x【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，根的判别式，平移的性质，三角形的面积的应用，及待定系数法求反比例函数解析式，题目是一道比较好的题目，难度适中.20.3-3^6【解析】【分析】直接利用负指数幕的性质以及绝对值的性质和二次根式的性质分别化简得出答案.【详解】解：原式=9-2辰2血-（6-茜），=9-4A/6 -6 + A/6,=3-3A/6【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简各数是解题关键.21.（1） 2-2A/3 : （2） l<x<3；（3） - 3.【解析】【分析】(1)根据实数的运算法则进行计算(2)根据不等式组的解法解答，注意去分母(3)先根据一元二次方程的根与系数之间的关系求未知数，再化简求值.【详解】解：(1) |2 —的|+(血+ 1)°—3tan30°+(—I)""* = 2-V3+l-3x —+ 1-23= 2-73+1-73+1-2=2-2 也2x—1 > 0—1 —X解不等式1 —x> ---------- ,得：x<3,2解不等式x-l>0,得：x>l, x<3 x-1 >0故不等式组的解集为l<x<3；(3)由根与系数的关系得：Xi+X2=3, X I X2= - 1,1 1 x. +则一+ —= ~ =-3 .【点睛】此题重点考察学生对实数的运算，不等式组的解，一元二次方程根与系数之间的关系的理解，掌握实数的运算法则，不等式组和一元二次方程的解法是解题的关键.22.(1) 36 - 35=2X35； (2) 3n+1 - 3n=2X3n.【解析】【分析】由®32- 31=2X31；②3彳-3J2X32；③34 - 33=2X33；④35 - 34=2X34-得出第⑤个等式,以及第n个等式的底数不变，指数依次分别是n+1、n、n.【详解】解：(1)由®32- 31=2X31；②3彳-32=2x32；③34-3S=2X33；④35 - 34=2X34…得出第⑤个等式36 - 35 =2X35；故答案为：36 - 35=2X36；(2)由©32-31=2X31；②33-32=2x32； (3)34 - 33=2X33；④35 - 34=2X34…得出第n 个等式的底数不变，指数依次分别是n+1、n、n,即3n+1 - 3n=2X3n.证明：左边=3说-3"=3X3°-3"=3°X (3-1) =2X3n=右边，所以结论得证.故答案为：3n+1-3n=2X3n.【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，得出规律，利用规律，解决问题.【解析】【分析】—1 —X(2) l-x> -------------- \2,(2) m的值为1或一1(1)把(0, 0)代入y=+—2(m+l)x+2m+l可求出m的值，可得二次函数解析式，配方即可得出C点坐标；(2)令y=0,可用m 表示出&和X2,即可表示出AB的距离，根据二次函数解析式可用含m的代数式表示顶点C的坐标，根据以A、B、C为顶点的三角形是直角三角形可得关于m的方程，解方程求出m的值即可.【详解】(1)解:Vy=x2—2(m+l)x+2m+l 的图像经过点(0, 0).•.2m+l=0,12当m=—丄时，y=x2—x= (x —丄)2——,2 2 4•••顶点C的坐标(丄，2 4(2)解：当y=0 时X2—2(m+l)x+2m+l=0.°.xi=2m+l, X2=l,•*.AB= |2m|,Vy=x2—2(m+l)x+2m+l= (x—m—l)2—m2,顶点C的坐标(m+1, —m2),•.•以A、B、C为顶点的三角形是直角三角形，/. 2m2 = |2m|,当2m2=2m 时，mi=0, m2=l,当21^=—2m 时，mi=0, m2= —1,当m=0 时，AB=0 (舍)答：m的值为1或一1.【点睛】本题考查二次函数的图象及二次函数与一元二次方程，根据二次函数的解析式表示出顶点C的坐标和AB 的长是解题关键.25. (1)画图见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)根据题意作图即可；⑵由PM丄AB, PN丄AC, PA平分ZBAC,可得PM=PN,再求出ZDPM=ZEPN,证明△ PMD^APNE,即可求【详解】解：⑴线段PM, PN如图所示.・・・PM=PN・・・ZPMA=ZPNA=90° ,・・・ZMPN+ZMAN=180° ,V ZADP+ZAEP=180° ,A ZDAE+ZDPE=180° ,・•・ ZMPN=ZDPE,・•・ ZDPM=ZEPN,•••△PMD 竺△PNE(ASA),・・・PD=PE・【点睛】本题考查的是全等三角形，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1. 函数y = yj2-x+—^—中自变量x 的取值范围是（）x-1 A. x<2B ・C ・ xV2 且兀工1D ・2. 如图，点B 、C 、E 在同一条直线上，AABC 与ACDE 都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（）A. AACE^ABCD B ・△BGC^AAFC C ・△DCG9/\ECF D ・△ADB^ZkCEA 3.如图，将面积为S 的矩形ABCD 的四边BA 、CB 、DC 、AD 分别延长至E 、F 、G 、H,使得AE=CG, BF=BC, FB 2DH 二AD,连接EF, FG, GH, HE, AF, CH.若四边形EFGH 为菱形，——=—,则菱形EFGH 的面积是（）AB 3A. 2SB. -52 7C. 3S D ・一S24.若关于x 的方程3x 2 - 2x+m=0的一个根是- 1,则m 的值为（）26.如图，在反比例函数y=-—的图象上有一动点A,连结A0并延长交图象的另一支于点B,在第一象限兀内有一点C,满足AC=BC,当点A 运动时，点C 始终在函数y='的图象上运动，若tanZCAB=3,则kX的值为（）A. -5 B ・-1 C ・ 1D. 5如图，直线AD 〃BC,若Zl=40°,ZBAC=80° ,则Z2的度数为（C. 50°D. 40°5.2 A. -B ・ 6C ・ 8D ・ 1837. 函数y=2x'-4x ・4的顶点坐标是( )A. (1, -6)B ・(1, -4)C ・(・ 3, -6)D ・(-3,-4)8. 一个两位数，十位数字比个位数字的2倍大1,若将这个两位数减去36恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数，则这个两位数是( )10. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为11. 在-3, -1, 1, 3四个数中，比-2小的数是( )二、填空题13. 如图，AB 是00的直径，点D 、E 是半圆的三等分点，AE 、BD 的延长线交于点C,若CE=2,则图中 阴」影部分的面积为_•A. 86 氏68 C. 97 D. 739. 在一个不透明的口袋中装有2个绿球和若干个红球, 摸出-个球，摸到绿球的概率为?则红球的个数是(这些球除颜色外无其它差别，从这个口袋中随机A.2B.4C.6D.8C. 24+6^3D. 16+6^3A. 1B. - 1C. -3D.12. 如图，这是健健同学的小测试卷, 判断题：每小题20分(D 2是分式 (2) (-2^ )3=-6/他应该得到的分数是(⑷ J9=±3(x )(5) 65啲补角是125。
规律探究问题(解析版)
2．(2019湖南省娄底市)如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为 的弧AB多次复制并首尾连接而成．现有一点 从 为坐标原点）出发，以每秒 米的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点 的纵坐标为
A． B． C．0D．1
【答案】B
【解析】点运动一个弧AB用时为 秒．
【答案】A
【解析】过A1作A1D1⊥x轴于D1，
∵OA1＝2，∠OA1A2＝∠α＝60°，
∴△OA1E是等边三角形，
问题拓展：
解：延长AG交BC于E，交DC的延长线于Q，延长FH交CD于P，如图4：
则EG＝AG＝ ，PH＝FH，
∴AE＝5，
在Rt△ABE中，BE＝ ＝3，
∴CE＝BC﹣BE＝1，
∵∠B＝∠ECQ＝90°，∠AEB＝∠QEC，
∴△ABE∽△QCE，
∴ ＝ ＝3，
∴QE＝ AE＝ ，
∴AQ＝AE+QE＝ ，
【分析】根据点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，1，3）得到经过点的三条直线对应着等边三角形三边上的三个数，依次为左、右，下，即为该点的坐标，于是得到结论．
【解答】：根据题意得，点C的坐标可表示为（2，4，2），
故答案为：（2，4，2）．
【点评】本题考查了规律型：点的坐标，等边三角形的性质，找出题中的规律是解题的关键．
【答案】A
【解析】连接OP1，OP2，OP3，l1、l2、l3与x轴分别交于A1、A2、A3，如图所示：
在Rt△OA1P1中，OA1＝1，OP1＝2，
∴A1P1＝ ＝ ＝ ，
同理：A2P2＝ ＝ ，A3P3＝ ＝ ，……，
∴P1的坐标为（1， ），P2的坐标为（2， ），P3的坐标为（3， ），……，
专题一 规律探索型问题(3节)
专题一 规律探索型问题<新课程标准>规律探索型问题是近几年来中考的热点问题，能比较系统的考查学生的逻辑思维能力、归纳猜想能力及运用所学的知识和方法分析、解决数学问题的能力，是落实新课标理念的重要途径，所以备受命题专家的青睐，经常以填空题或选择题的形式出现，在全国各地中考中，出现了不少立意新颖、构思巧妙、形式多样的规律探索型问题，规律探索型问题是指给出一系列数字、一个等式或一列图形的前几项，让学生通过“观察-----思考------探究------猜想”这一系列的活动逐步找出题目中存在的规律，最后归纳出一般的结论，再加以运用。
解决此类问题的关键是仔细审题，归纳规律，合理推测，认真验证，从而得出问题的结论。
【经典例题】类型一 探索图形规律例 1.将图①所示的正六边形进行进行分割得到图②,再将图②中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到图③, 再将图③中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割…,则第n 个图形中,共有________个正六边形.图①图②图③(例1题)……思路点拔：将图①所示的正六边形进行进行分割得到图②，增加了3个正六边形，共4个；再将图②中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到图③，又增加了3个正六边形，共4+3=7个；故每次分割，都增加3个正六边形，那么第n个图形中，共有1+3（n﹣1）=3n﹣2．类型二探索数的规律例2、观察下列等式：第1层 1+2=3第2层 4+5+6=7+8第3层 9+10+11+12=13+14+15第4层 16+17+18+19+20=21+22+23+24在上述数字宝塔中，从上往下数，2016在第层．思路点拔：每一层第一个数就是层数的平方，那么只要找到2016在哪两个整数的平方之间，就解决此问题。
类型三探索点的坐标变化规律例3．如图，一个点在第一象限及x轴、y轴上运动，且每秒移动一个单位，在第1秒钟，它从原点运动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向运动[即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…]，那么第35秒时质点所在位置的坐标是（）A．（4，0） B．（0，5） C．（5，0） D．（5，5）(例3题)思路点拔：：由题意可知质点移动的速度是1个单位长度/每秒，到达（1，0）时用了3秒，到达（2，0）时用了4秒，从（2，0）到（0，2）有四个单位长度，则到达（0，2）时用了4+4=8秒，到（0，3）时用了9秒；从（0，3）到（3，0）有六个单位长度，则到（3，0）时用9+6=15秒；依此类推到（4，0）用16秒，到（0，4）用16+8=24秒，到（0，5）用25秒，到（5，0）用25+10=35秒．故第35秒时质点到达的位置为（5，0），【针对训练】1、下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第④个图形叫：，所有正三角形的个数有( )A．160 B．161 C．162 D．1632．如图所示，图①中含“○”的矩形有1个，图②中含“○”的矩形有7个，图③中含“○”的矩形有17个，按此规律，图⑥中含“○”的矩形个数为( )A．70 B．71 C．72 D．733．如图，正方形ABCD的四个顶点在坐标轴上，A点坐标为（3，0），假设有甲、乙两个物体分别由点A同时出发，沿正方形ABCD的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向匀速运动，物体乙按顺时针方向匀速运动，如果甲物体12秒钟可环绕一周回到A点，乙物体24秒钟可环绕一周回到A点，则两个物体运动后的第2017次相遇地点的坐标是（）A．（3，0）B．（﹣1，2）C ．（﹣3，0）D ．（﹣1，﹣2）4．如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1、O 2、O 3，…组成一条平滑的曲线，点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2017秒时，点P 的坐标是（ ）5.如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0）根据这个规律探索可得，第个点的坐标为____________．100(第3题)(第5题)三角形的三边关系《新课程标准》在“课程内容”第二学段中提出“体会两点间所有连线中线段最短，知道两点间的距离”“认识三角形，通过观察、操作，了解三角形两边之和大于第三边、三角形内角和是180°”“认识等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形”。
总复习专题一规律探索型
B.
C.
D.
规律：由图可知，每4个数为一个循环组依次循环，
2013÷4=503……1
∴2013是第504个循环组的第2个数
∴从2013到2014再到2015箭头的方向是 D
D
6.如图中每一个小方格的面积为1，则可根据面积计算得到如 下算式：1+3+5+7+…+（2n-1)=______(用n表示，n是正整数)
（1）等差数列类.即相邻数字的差值相等，整个数字序列
02
【强化运用1 】
如下表，从左到右在每个小格中都填入一个整数，使得 任意பைடு நூலகம்个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2016个 格子中的整数是________.
-4
a
b
c
6
b
-2
……
-4
6
-4
6
-2
02
01
01
【类型解读】
02
图形数量方面的规律
中考第二轮复习
202X
专题一《规律探索型》
类型一 数字规律类
等比数列类.即相邻数字的比值相等. 加、减、乘、除、平方规律类. 个位数字规律类.
数字规律类试题一般是给定一些具有某种特定关系的数 字，考查学生的观察、分析、类比、猜想和归纳能力， 常有以下类型：
【类型解读】
01
依次递增或递减的一类数.
n
2n-1
1
2
3
4
1
3
5
7
1
2
3
4
n
解析：利用每个小方格的面积为1，可以得出
1+3=4=22
1+3+5=9=32
专题一 规律探索型问题共44页
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
专题01 规律探究-备战2022年中考数学母题题源解密(全国通用)(解析版)
专题01 规律探究问题考向1 数字规律探究问题【母题来源】2021年中考江苏镇江卷【母题题文】（2021•镇江）如图，小明在3×3的方格纸上写了九个式子（其中的n是正整数），每行的三个式子的和自上而下分别记为A1，A2，A3，每列的三个式子的和自左至右分别记为B1，B2，B3，其中，值可以等于789的是（）A．A1B．B1C．A2D．B3【答案】B【试题解析】由题意得：A1＝2n+1+2n+3+2n+5＝789，整理得：2n＝260，则n不是整数，故A1的值不可以等于789；A2＝2n+7+2n+9+2n+11＝789，整理得：2n＝254，则n不是整数，故A2的值不可以等于789；B1＝2n+1+2n+7+2n+13＝789，整理得：2n＝256＝28，则n是整数，故B1的值可以等于789；B3＝2n+5+2n+11+2n+17＝789，整理得：2n＝252，则n不是整数，故B3的值不可以等于789；故选：B．【命题意图】考查数字变化类规律，培养学生的抽象思维能力．【命题方向】数字的变化类问题一般以选填形式出现，安排在压轴位置，提高学生的区分度．【得分要点】解数字类规律探究问题的一般步骤:(1)通过观察、对比,找出各部分的特征;(2)猜想、归纳出一般规律并验证;(3)将所求问题代入一般规律.考向2 几何图形类的规律探究问题【母题来源】2021年中考湖南湘西卷【母题题文】古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，…这样的数叫做三角形数，因为它的规律性可以用如图表示．根据图形，若把第一个图形表示的三角形数记为a1＝1，第二个图形表示的三角形数记为a2＝3，…，则第n个图形表示的三角形数a n＝.（用含n的式子表达）【答案】【试题解析】第1个图形表示的三角形数为1，第2个图形表示的三角形数为1+2＝3，第3个图形表示的三角形数为1+2+3＝6，第4个图形表示的三角形数为1+2+3+4＝10，....．第n个图形表示的三角形数为1+2+3+4+......+（n﹣1）+n．故答案为：．【命题意图】考查图形变化类的规律，目的是通过数形结合培养学生的抽象思维能力．【命题方向】以选填为主，主要设置在压轴位置，增加学生的区分度.【得分要点】解几何图形类规律探究问题的一般步骤:(1)找到图形之间变与不变的规律;(2)猜想规律与“序号”之间的对应关系,并用关于“序号”的式子表示出来;(3)验证式子,并解答问题.考向3 点的坐标变化的规律探究问题【母题来源】2021年中考湖北卷【母题题文】如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得点P1（﹣1，﹣1）；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点P2；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点P3；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点P4，…，按此作法进行下去，则点P2021的坐标为．【答案】（﹣1011，﹣1011）【试题解析】观察图象可知，奇数点在第三象限，∵P1（﹣1，﹣1），P3（﹣2，﹣2），P5（﹣3，﹣3），•••，P2n﹣1（﹣n，﹣n），∴P2021（﹣1011，﹣1011），故答案为：（﹣1011，﹣1011）．【命题意图】考查坐标与图形变化﹣平移，规律型等知识，训练学生探究规律，利用规律解决问题的能力．【命题方向】选填为主，将坐标求取与平移、旋转或对称相结合.【得分要点】解点坐标变化规律探究问题的一般方法:(1)点的坐标在坐标轴上或象限内循环(周期)变化时,先求出第一个循环周期内相关点的坐标,然后找出所求点经过循环后位于第一个循环周期内的哪个位置,从而求出坐标;(2)点的坐标是成倍递推变化时,先求出前几个点的坐标,然后归纳出后一个点坐标与前一个点坐标之间存在的倍分关系.1．（2021•广汉市模拟）右边是一个按某种规律排列的数阵：根据规律，自然数2021应该排在从上向下数的第m行，是该行中的从左向右数的第n个数，那么m+n的值是（）A．131 B．130 C．129 D．128【答案】B【解析】∵每行的最后一个数是这个行的行数m的平方，第m行的数字的个数是2m﹣1，∵442＝1936，所以2021在第45行，∵452＝2025，∴45行最后一个数字是2025，第45行有2×45﹣1＝89个数字，从2025往前数4个数据得到2021，从而得出2021是第85个数据，∴m ＝45，n＝85，∴m+n＝45+85＝130．故选：B．2．（2021•沙坪坝区校级二模）如图所示，将形状、大小完全相同的小圆点“•”按照一定规律摆成下列图形，其中第①个图案中有5个小圆点，第②个图案中有9个小圆点，第③个图案中有13个小圆点，……按此规律排列下去，则第⑥个图案中小圆点的个数为（）A．21 B．25 C．29 D．33【答案】B【解析】∵第①个图案中“●”有：1+4×1＝5个，第②个图案中“●”有：1+4×2＝9个，第③个图案中“●”有：1+4×3＝13个，第④个图案中“●”有：1+4×4＝17个，…∴第⑥个图案中“●”有：1+4×6＝25个，故选：B．3．（2021•房县一模）将正整数按如图所示的位置顺序排列：根据排列规律，则2021应在（）A．A处B．B处C．C处D．D处【答案】D【解析】2021÷4＝505…1，∴2021应在1的位置，也就是在D处．故选：D．4．（2021•涪城区模拟）由6个数组成数列a0，将其中的每个数换成该数在数列a0中出现的次数，可得到一个新的数列a1，例如数列a0：{1，1，3，2，5，2}，则a1：{2，2，1，2，1，2}，当某个数列a0经过变换得到新的数列a1，由a1继续按相同规则变换得到a2，…最终得到数列a n﹣1（n≥2）与数列a n相同，则a n不可能是下列的（）A．{2，4，4，4，2，4} B．{1，3，2，3，2，3}C．{6，6，6，6，6，6} D．{1，1，1，1，1，1}【答案】D【解析】A．a0＝{2，4，4，4，2，4}，a1＝{2，4，4，4，2，4}，……，a n＝{2，4，4，4，2，4}，符合题意；B．a0＝{1，3，2，3，2，3}，a1＝{1，3，2，3，2，3}，……，a n＝{1，3，2，3，2，3}，符合题意；C．a0＝{6，6，6，6，6，6}，a1＝{6，6，6，6，6，6}，……，a n＝{6，6，6，6，6，6}，符合题意；D．a0＝{1，1，1，1，1，1}，a1＝{6，6，6，6，6，6}，……，a n＝{6，6，6，6，6，6}，不符合题意；故选：D．5．（2021•交城县二模）已知“！”是一种数学运算符号，并且1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝4×3×2×1＝24，…，若公式∁n m（n＞m），则C125＝（）A．60 B．792 C．812 D．5040【答案】B【解析】∵，∴＝792，故选：B．6．（2021•广东一模）按照图中图形变化的规律，则第2021个图形中黑色正方形的数量是（）A．1010 B．1012 C．3030 D．3032【答案】D【解析】根据图形变化规律可知：第1个图形中黑色正方形的数量为2，第2个图形中黑色正方形的数量为3，第3个图形中黑色正方形的数量为5，第4个图形中黑色正方形的数量为6，...，当n为奇数时，黑色正方形的个数为[3（n+1）﹣1]，当n为偶数时，黑色正方形的个数为（3n），∴第2021个图形中黑色正方形的数量是[3（2021+1）﹣1]，故选：D．7．（2021•武汉模拟）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．现以这组数中的各个数作为正方形的边长构造一组正方形（如图1）；再分别依次从左到右取2个，3个，4个，5个拼成如图2长方形并记为①，②，③，④若按此规律继续作长方形，则序号为⑦的长方形周长是（）A．110 B．100 C．105 D．90【答案】A【解析】由分析可得：第⑤个的周长为：2×（8+13），第⑥的周长为：2×（13+21），第⑦个的周长为：2×（21+34）＝110，故选：A．8．（2021•鞍山一模）如图，直线OA的解析式为y＝x，点P1坐标为（1，0），过P1作PQ1⊥x轴交OA于Q1，过Q1作P2Q1⊥OA交x轴于P2，过P2作P2Q2⊥x轴交OA于Q2，过Q2作P3Q2⊥OA交x轴于P3，…，按此规律进行下去，则P100的坐标为（）A．（2100﹣1，0）B．（5050，0）C．（299，0）D．（100，0）【答案】C【解析】∵直线OA的解析式为y＝x，∴∠AOP1＝45°，∵PQ1⊥x轴，∴△OP1Q1为等腰直角三角形，∵点P1坐标为（1，0），∴P1Q1＝OP1＝1，∵P2Q1⊥OA，∴∠P1Q1P2＝45°，∴△P1P2Q1为等腰直角三角形，∴P1P2＝P1Q1＝1，∴P2（2，0），同理可得P3（4，0），P4（8，0），……，P n（2n﹣1，0），∴P100（299，0），故选：C．9．（2021•潍城区二模）将从1开始的连续自然数按图表所示规律排列：规定位于第a行，第b列的自然数记为（a，b）．例如，自然数10记为（3，2），自然数14记为（4，3）…按此规律，自然数2021记为（）A．（505，1）B．（505，4）C．（506，1）D．（506，4）【答案】D【解析】由题意可得，每一行有4个数，其中奇数行的数字从左往右是由小到大排列；偶数行的数字从左往右是由大到小排列．∵2021÷4＝505……1，505+1＝506，∴2021在第506行，∵偶数行的数字从左往右是由大到小排列，∴自然数2021记为（506，4）．故选：D．10．（2021•十堰一模）将从1开始的自然数按规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第4列的数是（）A．2025 B．2023 C．2022 D．2021【答案】C【解析】观察数字的变化，发现规律：第n行的第一个数为n2，所以第45行第一个数为452＝2025，再依次减1，到第4列，即452﹣3＝2022．故选：C．11．（2021•陆良县一模）按一定规律排列的单项式a，﹣3a2，5a3，﹣7a4，9a5，…第n个单项式是（）A．（﹣1）n（2n﹣1）a n B．（﹣1）n+1（2n+1）a nC．（﹣1）n（2n+1）a n D．（﹣1）n+1（2n﹣1）a n【答案】D【解析】∵a＝（﹣1）1+1×（2×1﹣1）a，﹣3a2＝（﹣1）2+1×（2×2﹣1）a2，5a3＝（﹣1）3+1×（2×3﹣1）a3，﹣7a4＝（﹣1）4+1×（2×4﹣1）a4，9a5＝（﹣1）5+1×（2×5﹣1）a5，…∴第n个单项式为：（﹣1）n+1（2n﹣1）a n．故选：D．12．（2021•河南模拟）如图，过点A1（2，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B1；点A2与点O关于直线A1B1对称；过点A2（4，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B2；点A3与点O关于直线A2B2对称；过点A3作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B3；…，按此规律作下去，则点B2021的坐标为（）A．（22021，22020）B．（22021，22022）C．（22022，22021）D．（22020，22021）【答案】B【解析】由已知作图规律可知：A1（2，0），A₂（4，0），A3（8，0），A4（16，0），…，An（2n，0），∴对应的B1（2，4），B2（4，8），B3（8，16），B4（16，32），…，B n（2n，2n+1），∴点B2021的坐标为（22021，22022），故选：B．13．（2021•武汉模拟）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成．第（1）个图案有4个三角形，第（2）个图案有7个三角形，第（3）个图形有10个正三角形，…依此规律，若第n个图案有2020个三角形，则n＝（）A．670 B．672 C．673 D．676【答案】C【解析】∵第（1）个图案有3+1＝4个三角形，第（2）个图案有3×2+1＝7个三角形，第（3）个图案有3×3+1＝10个三角形，…∴第n个图案有（3n+1）个三角形．根据题意可得：3n+1＝2020，解得：n＝673，故选：C．14．（2021•八步区模拟）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m的值应是（）A．134 B．136 C．140 D．144【答案】B【解析】由题意得：左上角的数分别为1＝21﹣1，2＝22﹣1，4＝23﹣1，8＝24﹣1，则左上角第n个数为2n﹣1（n为正整数）；左下角的数分别为：2＝2×1，4＝2×2，6＝2×3，8＝2×4，则左下角第n个数为：2n；右上角的数分别为：4＝2×1+2，6＝2×2+2，8＝2×3+2，10＝2×4+2，则右上角第n个数为：2n+2；右下角的数分别为：7＝2×4﹣1，22＝4×6﹣1，44＝6×8﹣4，72＝8×10﹣8，则右下角第n个数为：2n（2n+2）﹣2n﹣1，根据排列规律，得：2n﹣1＝32，解得：n＝6，∴m＝2×6×（2×6+2）﹣32＝168﹣32＝136，故选：B．15．（2021•淅川县一模）如图，矩形OABC的顶点O（0，0），B（﹣2，2），若矩形绕点O逆时针旋转，每秒旋转60°，则第145秒时，矩形的对角线交点D的坐标为（）A．（﹣1，）B．（﹣1，﹣3）C．（﹣2，0）D．（1，﹣3）【答案】C【解析】∵矩形OABC的顶点O（0，0），B（﹣2，2），∴D（﹣1，），过点D作DE⊥x轴于E，则OE＝1，DE，∴OD，∴tan∠DOE，∴∠DOE＝60°，∵60°×145÷360°＝24，，∴第145秒时，点D恰好在x轴负半轴上，∴此时点D的坐标为（﹣2，0），故选：C．16．（2021•路北区三模）如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是（1，2），则经过第2021次变换后点A的对应点的坐标为（）A．（1，﹣2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（1，2）【答案】C【解析】点A第一次关于y轴对称后在第二象限，点A第二次关于x轴对称后在第三象限，点A第三次关于y轴对称后在第四象限，点A第四次关于x轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置，所以，每四次对称为一个循环组依次循环，∵2021÷4＝505余1，∴经过第2021次变换后所得的A点与第一次变换的位置相同，在第二象限，坐标为（﹣1，2）．故选：C．17．（2021•焦作模拟）如图，等边△ABC的顶点A（1，1），B（3，1），规定把△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2020次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为（）A．（﹣2 020，）B．（﹣2 019，）C．（﹣2 018，）D．（﹣2 017，）【答案】C【解析】∵△ABC是等边三角形AB＝3﹣1＝2，∴点C到x轴的距离为1+21，横坐标为2，∴C（2，1），第2020次变换后的三角形在x轴上方，点C的纵坐标为1，横坐标为2﹣2020×1＝﹣2018，∴点C的对应点C′的坐标是（﹣2018，1），故选：C．18．（2021•渝中区校级三模）用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第8个图案中共有圆点的个数是（）A．34 B．40 C．49 D．59【答案】C【解析】当n＝1时，第1个图案的圆点的个数是y1＝5+2＝7个．当n＝2时，第2个图案的圆点的个数是y2＝y1+3＝5+2+3＝10个．当n＝3时，第3个图案的圆点的个数是y3＝y2+4＝5+2+3+4＝14个．当n＝4时，第4个图案的圆点的个数是y4＝y3+5＝5+2+3+4+5＝19．..．以此类推，第n个图案的圆点的个数是y n＝5+2+3+4+...+（n+1）个．∴当n＝8时，第8个图案的圆点的个数是个．故选：C．19．（2021•开封二模）如图，将△ABC沿着过BC，AB的中点D，E所在的直线折叠，使点B落在AC边上的B1处，称为第一次操作，点D到AC的距离为h1；还原纸片后，再将△BDE沿着过BD，BE的中点D1，E1所在的直线折叠，使点B落在DE边上的B2处，称为第二次操作，点D1到AC的距离记为h2；按上述方法不断操作下去，…，经过第n次操作后得到点D n﹣1到AC的距离记为h n．若h1＝1，则h n值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵将△ABC沿着过BC，AB的中点D，E所在的直线折叠，点D到AC的距离为h1，∴点D到AC的距离h1＝1，DE∥AC，DE AC，∴△EBD∽△ABC，△EBD与△ABC的相似比为1：2，∵折叠，∴△EBD≌△EB1D，∴△EB1D∽△ABC，△EB1D与△ABC的相似比为1：2，∵将△BDE沿着过BD，BE的中点D1，E1所在的直线折叠，点D1到AC的距离记为h2，同理：△E1B2D1∽△EB1D，△E1B2D1与△EB1D的相似比为1：2，∴D1到AC的距离h2＝1，同理：h3＝h2h1＝1，h4＝h3h1＝1，..．h n＝1...2，故选：A．20．（2021•北京一模）二维码是一种编码方式，它是用某种特定的几何图形按一定规律在平面（二维方向上）分布，采用黑白相间的图形记录数据符号信息的．某社区为方便管理，仿照二维码编码的方式为居民设计了一个身份识别图案系统：在4×4的正方形网格中，白色正方形表示数字0，黑色正方形表示数字1，将第i行第j列表示的数记为a i，j（其中i，j都是不大于4的正整数），例如，图中，a1，2＝0．对第i行使用公式A i＝a i，1×23+a i，2×22+a i，3×21+a i，4×20进行计算，所得结果A1，A2，A3，A4分别表示居民楼号，单元号，楼层和房间号．例如，图中，A3＝a3，1×23+a3，2×22+a3，3×21+a3，4×20＝1×8+0×4+0×2+1×1＝9，A4＝0×8+0×4+1×2+0×1＝2，说明该居民住在9层，2号房间，即902号．有下面结论：①a2，3＝0；②图中代表的居民居住在11号楼；③A2＝3，其中正确的是（）A．③B．①②C．①③D．①②③【答案】B【解析】①a2，3表示的是将第2行第3列是白色正方形，所以表示的数是0，即a2，3＝0，故①正确；②图中代表的居民的楼号A1＝a1，1×23+a1，2×22+a1，3×21+a1，4×20＝1×23+0×22+1×21+1×20＝1×8+0×4+1×2+1×1＝11，∴图中代表的居民居住在11号楼；故②正确；③A2＝a2，1×23+a2，2×22+a2，3×21+a2，4×20＝0×23+1×22+0×21+0×20＝0×8+1×4+0×2+0×1＝4，故③错误，综上，①②是正确的．故选：B．。
专题01 规律探究问题(精练)-初中中考数学高频考点突破全攻略(原卷板+解析版)
一、选择题（10×3=30分）1. （2017广西百色）观察以下一列数的特点：0，1，﹣4，9，﹣16，25，…，则第11个数是（）A．﹣121 B．﹣100 C．100 D．1212. （2017日照）观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为（）A．23 B．75 C．77 D．1393.（2016·四川达州·3分）如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是（）A．25 B．33 C．34 D．504. （2017湖北随州）在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数（n）和芍药的数量规律，那么当n=11时，芍药的数量为（）A．84株B．88株C．92株D．121株5.（2017·烟台）用棋子摆出下列一组图形(如图)：按照这种规律摆下去，第n个图形用的棋子个数为 ( )A．3n B．6n C．3n＋6 D.3n＋36.将从1开始的自然数，按如图所示的规律排列，在2，3，5，7，10，13，17，…，处分别拐第1，2，3，4，5，6，7，…，次弯，则第33次拐弯处的那个数是（）A．290 B．226 C．272 D．3027.用菱形纸片按规律依次拼成如图3-5-1的图案．第1个图案中有5张菱形纸片；第2个图案中有9张菱形纸片；第3个图案中有13张菱形纸片．按此规律，第6个图案中的菱形纸片的张数为（）图3-5-1A．21 B．23 C．25 D．298. （2017浙江湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．从一个格点移动到与之相距的另一个格点的运动称为一次跳马变换．例如，在4×4的正方形网格图形中（如图1），从点A经过一次跳马变换可以到达点B，C，D，E等处．现有20×20的正方形网格图形（如图2），则从该正方形的顶点M经过跳马变换到达与其相对的顶点N，最少需要跳马变换的次数是（）A．13 B．14 C．15 D．169.如图所示，一动点从半径为2的⊙O上的A0点出发，沿着射线A0O方向运动到⊙O上的点A1处，再向左沿着与射线A1O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A2处；接着又从A2点出发，沿着射线A2O方向运动到⊙O上的点A3处，再向左沿着与射线A3O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A4处；…按此规律运动到点A2017处，则点A2017与点A0间的距离是（）A．4 B．23C．2 D．010. （2017山东聊城）如图，在平面直角坐标系中，直线l的函数表达式为y=x，点O1的坐标为（1，0），以O1为圆心，O1O为半径画圆，交直线l于点P1，交x轴正半轴于点O2，以O2为圆心，O2O为半径画圆，交直线l于点P2，交x轴正半轴于点O3，以O3为圆心，O3O 为半径画圆，交直线l于点P3，交x轴正半轴于点O4；…按此做法进行下去，其中的长为．二、填空题（6×4=24分）.11.（2018湖北荆州）（3.00分）如图所示，是一个运算程序示意图．若第一次输入k的值为125，则第2018次输出的结果是．12.（2017湖北江汉）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，1），B（0，﹣2），C（1，0），点P（0，2）绕点A旋转180°得到点P1，点P1绕点B旋转180°得到点P2，点P2绕点C旋转180°得到点P3，点P3绕点A旋转180°得到点P4，…，按此作法进行下去，则点P2017的坐标为．13. （2017贵州安顺）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x+2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形A n B n﹣1B n顶点B n的横坐标为．14.（2018•贵州遵义•4分）每一层三角形的个数与层数的关系如图所示，则第2018层的三角形个数为．15.（2018广西桂林）将从1开始的连续自然数按图规律排列：规定位于第m行，第n列的自然数10记为（3，2），自然数15记为（4，2）…按此规律，自然数2018记为列行第1列第2列第3列第4列第1行 1 2 3 4第2行8 7 6 5第3行9 10 11 12第4行16 15 14 13 ……………第n行…………16.（2018广西贵港）（3.00分）如图，直线l为y=x，过点A1（1，0）作A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2；再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3；……，按此作法进行下去，则点A n的坐标为（）．三、解答题（共46分）.17. （2017山东聊城）如图，在平面直角坐标系中，直线l的函数表达式为y=x，点O1的坐标为（1，0），以O1为圆心，O1O为半径画圆，交直线l于点P1，交x轴正半轴于点O2，以O2为圆心，O2O为半径画圆，交直线l于点P2，交x轴正半轴于点O3，以O3为圆心，O3O 为半径画圆，交直线l于点P3，交x轴正半轴于点O4；…按此做法进行下去，求的长．18.（2017内江）观察下列等式：第一个等式：第二个等式：第三个等式：第四个等式：按上述规律，回答下列问题：（1）请写出第六个等式：a6= = ﹣；（2）用含n的代数式表示第n个等式：a n= = ﹣；（3）a1+a2+a3+a4+a5+a6= （得出最简结果）；（4）计算：a1+a2+…+a n．19. (2016安徽，18，8分)（1）观察下列图形与等式的关系，并填空：（2）观察下图，根据（1）中结论，计算图中黑球的个数，用含有n 的代数式填空：1+3+5+…+（2n ﹣1）+（ 2n+1 ）+（2n ﹣1）+…+5+3+1= ．20. （2018·湖北随州·11分）我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化例：将0.7化为分数形式 由于0.7 =0.777…，设x=0.777…① 则10x=7.777…② ②﹣①得9x=7，解得x=79，于是得0.7 =79． 同理可得0.3 =39=13，1.4 =1+0.4 =1+49=139根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示） 【基础训练】 （1）0.5 = ，5.8 = ； （2）将0.23化为分数形式，写出推导过程；【能力提升】（3）0.315 = ，2.018= ；（注：0.315=0.315315…，2.018=2.01818…）【探索发现】（4）①试比较0.9与1的大小：0.91（填“＞”、“＜”或“=”）②若已知0.285714=27，则3.714285= ．（注：0.285714=0.285714285714…）一、选择题（10×3=30分）1. （2017广西百色）观察以下一列数的特点：0，1，﹣4，9，﹣16，25，…，则第11个数是（）A．﹣121 B．﹣100 C．100 D．121【解答】解：0=﹣（1﹣1）2，1=（2﹣1）2，﹣4=﹣（3﹣1）2，9=（4﹣1）2，﹣16=﹣（5﹣1）2，∴第11个数是﹣（11﹣1）2=﹣100，故选B．2. （2017日照）观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为（）A．23 B．75 C．77 D．1393.（2016·四川达州·3分）如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是（）A．25 B．33 C．34 D．50【解答】解：∵第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4+3=7个；第三次操作后，三角形共有4+3+3=10个；…∴第n次操作后，三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个；当3n+1=100时，解得：n=33，故选：B．4. （2017湖北随州）在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数（n）和芍药的数量规律，那么当n=11时，芍药的数量为（）A．84株B．88株C．92株D．121株5.（2017·烟台）用棋子摆出下列一组图形(如图)：按照这种规律摆下去，第n个图形用的棋子个数为 ( )A．3n B．6n C．3n＋6 D.3n＋3【解析】∵第1个图需棋子3＋3＝6；第2个图需棋子3×2＋3＝9；第3个图需棋子3×3＋3＝12；…∴第n个图需棋子(3n＋3)个．6.将从1开始的自然数，按如图所示的规律排列，在2，3，5，7，10，13，17，…，处分别拐第1，2，3，4，5，6，7，…，次弯，则第33次拐弯处的那个数是（）A．290 B．226 C．272 D．302【解析】：拐弯处的数与其序数的关系如下表：拐弯的序数0 1 2 3 4拐弯处的数 1 2 3 5 7拐弯的序数 5 6 7 8 …拐弯处的数10 13 17 21 …由此可见相邻两数的差是1，1，2，2，3，3，4，4，...，则第33次拐弯处的数是1+2×（1+2+ (16)+17=290.故选A.学科@网7.用菱形纸片按规律依次拼成如图3-5-1的图案．第1个图案中有5张菱形纸片；第2个图案中有9张菱形纸片；第3个图案中有13张菱形纸片．按此规律，第6个图案中的菱形纸片的张数为（）图3-5-1A．21 B．23 C．25 D．298. （2017浙江湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．从一个格点移动到与之相距的另一个格点的运动称为一次跳马变换．例如，在4×4的正方形网格图形中（如图1），从点A经过一次跳马变换可以到达点B，C，D，E等处．现有20×20的正方形网格图形（如图2），则从该正方形的顶点M经过跳马变换到达与其相对的顶点N，最少需要跳马变换的次数是（）A．13 B．14 C．15 D．16【解答】解：如图1，连接AC，CF，则AF=3，∴从该正方形的顶点M经过跳马变换到达与其相对的顶点N，最少需要跳马变换的次数是14次，故选：B．9.如图所示，一动点从半径为2的⊙O上的A0点出发，沿着射线A0O方向运动到⊙O上的点A1处，再向左沿着与射线A1O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A2处；接着又从A2点出发，沿着射线A2O方向运动到⊙O上的点A3处，再向左沿着与射线A3O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A4处；…按此规律运动到点A2017处，则点A2017与点A0间的距离是（）A．4 B．23C．2 D．010. （2017山东聊城）如图，在平面直角坐标系中，直线l的函数表达式为y=x，点O1的坐标为（1，0），以O1为圆心，O1O为半径画圆，交直线l于点P1，交x轴正半轴于点O2，以O2为圆心，O2O为半径画圆，交直线l于点P2，交x轴正半轴于点O3，以O3为圆心，O3O 为半径画圆，交直线l于点P3，交x轴正半轴于点O4；…按此做法进行下去，其中的长为．【解答】解：连接P1O1，P2O2，P3O3…∵P1是⊙O2上的点，∴P1O1=OO1，∵直线l解析式为y=x，∴∠P1OO1=45°，∴△P1OO1为等腰直角三角形，即P1O1⊥x轴，二、填空题（6×4=24分）.11.（2018湖北荆州）（3.00分）如图所示，是一个运算程序示意图．若第一次输入k的值为125，则第2018次输出的结果是．【解答】解：∵第1次输出的结果是25，第2次输出的结果是5，第3次输出的结果是1，第4次输出的结果是5，第5次输出的结果是5，…，∴第2n次输出的结果是5，第2n+1次输出的结果是1（n为正整数），∴第2018次输出的结果是5．故答案为：5．学科@网12.（2017湖北江汉）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，1），B（0，﹣2），C（1，0），点P（0，2）绕点A旋转180°得到点P1，点P1绕点B旋转180°得到点P2，点P2绕点C旋转180°得到点P3，点P3绕点A旋转180°得到点P4，…，按此作法进行下去，则点P2017的坐标为．13. （2017贵州安顺）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x+2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形A n B n﹣1B n顶点B n的横坐标为．14.（2018•贵州遵义•4分）每一层三角形的个数与层数的关系如图所示，则第2018层的三角形个数为．【解答】解：由图可得，第1层三角形的个数为：1，第2层三角形的个数为：3，第3层三角形的个数为：5，第4层三角形的个数为：7，第5层三角形的个数为：9，……第n层的三角形的个数为：2n﹣1，∴当n=2018时，三角形的个数为：2×2018﹣1=4035，故答案为：4035．15.（2018广西桂林）将从1开始的连续自然数按图规律排列：规定位于第m行，第n 列的自然数10记为（3，2），自然数15记为（4，2）…按此规律，自然数2018记为列行第1列第2列第3列第4列第1行 1 2 3 4第2行8 7 6 5第3行9 10 11 12第4行16 15 14 13 ……………第n行…………【分析】根据表格可知，每一行有4个数，其中奇数行的数字从左往右是由小到大排列；偶数行的数字从左往右是由大到小排列．用2018除以4，根据除数与余数确定2018所在的行数，以及是此行的第几个数，进而求解即可．16.（2018广西贵港）（3.00分）如图，直线l为y=x，过点A1（1，0）作A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2；再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3；……，按此作法进行下去，则点A n的坐标为（）．三、解答题（共46分）.17. （2017山东聊城）如图，在平面直角坐标系中，直线l的函数表达式为y=x，点O1的坐标为（1，0），以O1为圆心，O1O为半径画圆，交直线l于点P1，交x轴正半轴于点O2，以O2为圆心，O2O为半径画圆，交直线l于点P2，交x轴正半轴于点O3，以O3为圆心，O3O 为半径画圆，交直线l于点P3，交x轴正半轴于点O4；…按此做法进行下去，求的长．【分析】连接P1O1，P2O2，P3O3，易求得P n O n垂直于x轴，可得为圆的周长，再找出圆半径的规律即可解题．学科@网【解答】解：连接P1O1，P2O2，P3O3…∵P1是⊙O2上的点，∴P1O1=OO1，∵直线l解析式为y=x，∴∠P1OO1=45°，∴△P1OO1为等腰直角三角形，即P1O1⊥x轴，18.（2017内江）观察下列等式：第一个等式：第二个等式：第三个等式：第四个等式：按上述规律，回答下列问题：（1）请写出第六个等式：a6= = ﹣；（2）用含n的代数式表示第n个等式：a n= = ﹣；（3）a1+a2+a3+a4+a5+a6= （得出最简结果）；（4）计算：a1+a2+…+a n．【分析】（1）根据已知4个等式可得；（2）根据已知等式得出答案；（3）利用所得等式的规律列出算式，然后两两相消，计算化简后的算式即可得；（4）根据已知等式规律，列项相消求解可得．=﹣=．19. (2016安徽，18，8分)（1）观察下列图形与等式的关系，并填空：（2）观察下图，根据（1）中结论，计算图中黑球的个数，用含有n的代数式填空：1+3+5+…+（2n﹣1）+（2n+1 ）+（2n﹣1）+…+5+3+1=．【分析】（1）根据1+3+5+7=16可得出16=42；设第n幅图中球的个数为a n，列出部分a n的值，根据数据的变化找出变化规律“a n﹣1=1+3+5+…+（2n﹣1）=n2”，依此规律即可解决问题；（2）观察（1）可将（2）图中得黑球分三部分，1到n行，第n+1行，n+2行到2n+1行，再结合（1）的规律即可得出结论．（2）观察图形发现：20. （2018·湖北随州·11分）我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可例：将0.7化为分数形式由于0.7 =0.777…，设x=0.777…① 则10x=7.777…② ②﹣①得9x=7，解得x=79，于是得0.7 =79． 同理可得0.3 =39=13， 1.4 =1+0.4 =1+49=139根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示）【基础训练】（1）0.5 = ， 5.8 = ； （2）将0.23化为分数形式，写出推导过程；【能力提升】（3）0.315 = ， 2.018= ；（注：0.315 =0.315315…， 2.018=2.01818…） 【探索发现】 （4）①试比较0.9与1的大小：0.9 1（填“＞”、“＜”或“=”） ②若已知0.285714=27，则 3.714285= ．（注：0.285714=0.285714285714…）【分析】根据阅读材料可知，每个整数部分为零的无限循环小数都可以写成分式形式，如果循环节有n位，则这个分数的分母为n个9，分子为循环节．学科@网（3）同理0.315=315999=35111，2.0=2+1181099=11155故答案为：35111，11155（4）①0.9=99=1故答案为：0.9=1②3.714285=3+714285999999=3+57=267故答案为：26 7。
中考数学总复习专题一：探索规律问题含真题分类汇编解析
聚焦泰安类型一 数式规律(2016·绥化)古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记为a 1，第二个三角数记为a 2，…第n 个三角数记为a n ，计算a 1＋a 2，a 2＋a 3，a 3＋a 4，…，由此推算a 399＋a 400＝ ．1．(2017·遵义)按一定规律排列的一列数依次为23，1，87，119，1411，1713，…，按此规律，这列数中的第100个数是__________． 类型二 图形规律这类题目通常是给出一组图形的排列(或通过操作得到一系列的图形)，探求图形的变化规律，以图形为载体考查图形所蕴含的数量关系．解决此类问题：先观察图案的变化趋势是增加还是减少，然后从第一个图形进行分析，运用从特殊到一般的探索方式，分析归纳找出增加或减少的变化规律，并用含有字母的代数式进行表示，最后用代入法求出特殊情况下的数值．(2016·重庆)下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为( )A ．64B ．77C ．80D ．85【分析】 观察图形特点，可将图形分为两部分：上面的三角形和下面的正方形，因此小圆圈的个数分别是3＋12，6＋22，10＋32，15＋42，…，据此总结出规律求解即可．3．(2017·随州)在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数(n)和芍药的数量规律，那么当n ＝11时，芍药的数量为( )A ．84株B ．88株C ．92株D ．121株4．(2017·绵阳)如图，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a 1，第2幅图形中“●”的个数为a 2，第3幅图形中“●”的个数为a 3，…，以此类推，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 19的值为( )A.2021B.6184C.589840D.431760 类型三 点的坐标规律这类问题要求探索图形在运动过程中的规律，通常以平面直角坐标系为载体探索点的坐标的变化规律．解答时，应先写出前几次的变化过程，并将相邻两次的变化过程进行比对，明确哪些地方发生了变化，哪些地方没有发生变化，逐步发现规律，从而使问题得以解决．(2017·东营)如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y ＝33x －33与x 轴交于点B1，以OB1为边长作等边三角形A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l 于点B2，以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3，…，则点A2 017的横坐标是．【分析】利用直线的表达式及等边三角形的性质计算出A1，A2，A3，A4的横坐标，得出规律，写出A2 017的横坐标即可．5．如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3…都在x轴上，点B1，B2，B3…都在直线y＝x上，△OA1B1，△B1A1A2，△B2B1A2，△B2A2A3，△B3B2A3…都是等腰直角三角形，且OA1＝1，则点B2 018的坐标是( )A．(22 017，22 017) B．(22 018，22 018)C．(22 017，22 018) D．(22 018，22 017)6．(2017·安顺)如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x＋2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A 1OB 1，△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x 轴上，则第n 个等腰直角三角形A n B n －1B n 的顶点B n 的横坐标为_________.参考答案【聚焦泰安】【例1】 ∵a 1＋a 2＝1＋3＝4＝22，a 2＋a 3＝3＋6＝9＝32，a 3＋a 4＝6＋10＝16＝42，…，∴a n ＋a n ＋1＝(n ＋1)2.∴a 399＋a 400＝4002＝160 000.故答案为160 000. 变式训练 1. 299201 2.nn ＋1【例2】 通过观察，得到小圆圈的个数分别是： 第①个图形：3＋12＝（1＋2）×22＋12＝4；第③个图形：10＋32＝（1＋4）×42＋32＝19；第④个图形：15＋42＝（1＋5）×52＋42＝31；…所以第n 个图形：（n ＋1）（n ＋2）2＋n 2.当n ＝7时，图中小圆圈的个数为（7＋2）（7＋1）2＋72＝85.故选D .变式训练 3.B 4.C【例3】 由直线l ：y ＝33x －33与x 轴交于点B 1，可得B 1(1，0)，D(0，－33)，∴OB 1＝1，∠OB 1D ＝30°.如图，过A 1作A 1A⊥OB 1于A ，则OA ＝12OB 1＝12，由题可得∠A 1B 2B 1＝∠OB 1D ＝30°， ∠B 2A 1B 1＝∠A 1B 1O ＝60°，∴∠A 1B 1B 2＝90°，∴A 1B 2＝2A 1B 1＝2. 过A 2作A 2B⊥A 1B 2于B ，则A 1B ＝12A 1B 2＝1，即A 2的横坐标为12＋1＝32＝22－12.过A 3作A 3C⊥A 2B 3于C ，同理可得，A 2B 3＝2A 2B 2＝4，A 2C ＝12A 2B 3＝2，即A 3的横坐标为12＋1＋2＝72＝23－12.同理可得，A 4的横坐标为12＋1＋2＋4＝152＝24－12，由此可得，A n 的横坐标为2n －12，∴点A 2 017的横坐标为22 017－12.故答案为22 017－12.变式训练 5.A 6.2n ＋1－2。
2019-2020年中考数学复习专题一探索规律问题试题.doc
1-2*-2 - 3-1 - 3- 丄—丄―』D.121 2.（XX •林E州）已知內=一7 __9_To'a4=T7,11n,环，…，则2019-2020年中考数学复习专题一探索规律问题试题类型一数式规律这类问题通常是先给出一组数或式子，通过观察、归纳这组数或式子的共性规律，写出一个一般性的结论.解决这类题目的关键是抓“变”和“不变”，找出“变”和“不变”部分对应的关系，进而得到一般性的结论.（XX •黄石）观察下列各式：请按上述规律，写出第n（n为正整数）个式子的计算结果____ .【分析】先分析给出的三个等式的结果与n的关系，从而写出第n个式子的计算结果.1. （xx •百色）观察以下一列数的特点：0, 1, —4, 9, —16, 25,…，则第11个数是（）A. -121B. -100C. 1003.（xx •南宁）观察下列等式：第1层1+2 = 3第2层4+5+6=7+8第3层9 + 10+11 + 12 = 13 + 14+15第4层16+17 + 18 + 19+20=21 + 22+23+24在上述数字宝塔中，从上往下数，2 016在第类型层.类型二图形变化规律这类题型一般是给出一组排列的图形，探索图形的变化规律或图形蕴含的数量关系.解答这类问题，首先要观察图形的变化趋势，即是增加还是减少；然后从第一个图形的构成元素开始分析，寻找其中的变化规律或蕴含的数量关系，归纳出结论后，再验证其正确性.（xx •黑龙江）观察下列图形，第1个图形中有1个三角形；第2个图形中有5个三角形；第3个图形中有9个三角形；…；则第2 017个图形中有________ 个三角形.【分析】结合图形数出前三个图形中三角形的个数，找出规律，然后写出第 2 017个图形中三角形的个数.第1个第2个第3个第2 017个C.2<><>图①O 步 O OO图②A. 73B. 81 C O <><>^> o o <><><> O O OO OOO OO OO O OOOO O 0<0><0> 0<0>图③ 图④4. （xx •连云港）如图，一动点从半径为2的©0上的A 。
备战中考数学二轮专题归纳提升真题平面直角坐标系规律探究问题(解析版)
专题01 平面直角坐标系规律探究问题【知识点梳理】1、关于x 轴、y 轴或原点对称的点的坐标的特征点P （a ，b ）与关于x 轴对称点的坐标为 （a ，-b ） 点P （a ，b ）与关于y 轴对称点的坐标为 （-a ，b ） 点P （a ，b ）与关于原点对称点的坐标为 （-a ，-b ） 口诀：关于谁对称，谁不变，另一个变号，关于原点对称都变号 2、点的平移点P （a ，b ）沿x 轴向右（或向左）平移m 个单位后对应点的坐标是(a ±m,b )； 点P （a ，b ）沿y 轴向上（或向下）平移n 个单位后对应点的坐标是(a,b ±n ). 口诀：横坐标右加左减，纵坐标上加下减.3、两点间的距离：在x 轴或平行于x 轴的直线上的两点P 1 (x 1,y )，P 2 (x 2,y )间的距离为|x 1−x 2| 在y 轴或平行于y 轴的直线上的两点P 1 (x ,y 1)，P 2 (x ,y 2)间的距离为|y 1−y 2| 任意两点P 1 (x 1,y 1)，P 2 (x 2,y 2)，则线段P 1P 2的中点坐标为(x 1+x 22,y 1+y 22)任意两点P 1 (x 1,y 1)，P 2 (x 2,y 2)，则线段P 1P 2=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2【典例分析】【例1y)经过某种变换后得到点P ′(−y +1,x +2)，我们把点P ′(−y +1,x +2)叫做点P(x,y)的终结点．已知点P 1的终结点为P 2，点P 2的终结点为P 3，点P 3的终结点为P 4，这样依次得到P 1、P 2、P 3、P 4、…、nP 、…，若点p 1的坐标为（2，0），则点P 2022的坐标为_____。
【答案】（1，4）．解析：解：P 1 坐标为（2，0），则P 2坐标为（1，4），P 3坐标为（-3，3），P 4坐标为（-2，-1），P 5坐标为（2，0），∴P n 的坐标为（2，0），（1，4），（-3，3），（-2，-1）循环， ∵2022=4×505+2， ∴P 2022 坐标与P 2点重合， 故答案为（1，4）．【练1】在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ），我们把点P′（y -1，-x+1）叫做点P 的伴随点．已知点A 1的伴随点为A 2，点A 2的伴随点为A 3，点A 3的伴随点为A 4，…，这样依次得到点A 1，A 2，A 3，…，A n ，…．若点A 1的坐标为（3，2），则A 2023的坐标为________【答案】（-3，0）解析：解：∵A1（3，2），A2（1，-2），A3（-3，0），A4（-1，4），A5（3，2），…，∴点A n的坐标4个一循环．∵2023=505×4+3，∴点A2023的坐标与点A2的坐标相同．∴A2023的坐标为（-3，0），故答案为：（-3，0）．【练2】某同学在平面直角坐标系内设计了一个动点运动的编程．若一个动点从点A1（1，3）出发，沿A2（3，5）→A3（7，9）→…运动，则点A2022的坐标为（）A．（22021﹣1，22021+1）B．（22022﹣1，22022+1）C．（22022﹣2，22022+2）D．（22021﹣2021，22021+2021）【答案】B【解析】解：∵一个动点从点A1（1，3）出发，沿A2（3，5）→A3（7，9）→…运动，∴A n（2n﹣1，2n+1），∴A2022的坐标为：（22022﹣1，22022+1），故选：B．【练3】对点（x，y）的一次操作变换记为P1（x，y），定义其变换法则如下：P1（x，y）＝（x+y，x﹣y）；且规定P n（x，y）＝P1（P n﹣1（x，y））（n为大于1的整数）．如P1（1，2）＝（3，﹣1），P2（1，2）＝P1（P1（1，2））＝P1（3，﹣1）＝（2，4），P3（1，2）＝P1（P2（1，2））＝P1（2，4）＝（6，﹣2）．则P2022（1，﹣1）＝．【答案】（21011，21011）【解析】解：由题意可得：P1（1，﹣1）＝（0，2），P2（1，﹣1）＝（2，﹣2）P3（1，﹣1）＝（0，4），P4（1，﹣1）＝（4，﹣4）P5（1，﹣1）＝（0，8），P6（1，﹣1）＝（8，﹣8）…当n为奇数时，P n（1，﹣1）＝（0，），当n为偶数时，P n（1，﹣1）＝（2n2，2n2），∴P2022（1，﹣1）应该等于（21011，21011）．故答案是：（21011，21011）．【例2】如图，在平面直角坐标系中，A1（1，2），A2（2，0），A3（3，﹣2），A4（4，0）…根据这个规律，探究可得点A2022的坐标是（）A．（2022，0）B．（2022，2）C．（2021，﹣2）D．（2022，﹣2）【答案】A【解析】解：观察图形可知，点A1（1，2），A2（2，0），A3（3，﹣2），A4（4，0）…的横坐标依次是1、2、3、4、…、n，纵坐标依次是2、0、﹣2、0、2、0、﹣2、…，四个一循环，2022÷4＝505…2，故点A2022坐标是（2022，0）．故选：A．【练1】如图，动点P1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），……，按这样的运动规律，经过第2022次运动后，动点P的坐标是（）A．（2021，0）B．（2020，1）C．（2022，0）D．（2022，1）【答案】C【解析】分析图象可以发现，点P的运动每4次位置循环一次．每循环一次向右移动四个单位，∴2022=4×505+2．当第505循环结束时，点P位置在（2020，0），在此基础之上运动两次到（2022，0）．故选C．【练2】如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点O运动到点P1（1，1），第二次运动到点P2（2，0），第三次运动到P3（3，﹣2），…，按这样的运动规律，第2022次运动后，动点P2022的坐标是（）A．（2022，1）B．（2022，2）C．（2022，﹣2）D．（2022，0）【答案】D【解析】解：观察图象，动点P第一次从原点O运动到点P1（1，1），第二次运动到点P2（2，0），第三次运动到P3（3，﹣2），第四次运动到P4（4，0），第五运动到P5（5，2），第六次运动到P6（6，0），…，结合运动后的点的坐标特点，可知由图象可得纵坐标每6次运动组成一个循环：1，0，﹣2，0，2，0；∵2022÷6＝337，∴经过第2022次运动后，动点P的纵坐标是0，故选：D．【练3】如图，平面直角坐标系中，一个点从原点O出发，按向右→向上→向右→向下的顺序依次不断移动，每次移动1个单位，其移动路线如图所示，第1次移到点A1，第二次移到点A2，第三次移到点A3，…，第n次移到点A n，则点A2022的坐标是_____________.【答案】（1011,1）.【解析】观察图象可知，点A的纵坐标每4个点循环一次，∵2022=505×4+2，∴点A2022的纵坐标与点A2的纵坐标相同，∵A2（1，1），A6（3,1），A10（5,1）……，∴点A2022的坐标是（1011,1）.【例3】如图，在平面直角坐标系上有个点A（-1，O），点A第1次向上跳动一个单位至点A1（-1，1），紧接着第2次向右跳动2个单位至点A2(1，1)，第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，…，依次规律跳动下去，点A第2022次跳动至点A2022的坐标是( )A.(-505, 1011)B.(505, 1010)C.(-506, 1010)D.(506, 1011)【答案】D【解析】解：设第n次跳动至点A n，观察，发现：A（-1，0），A1（-1，1），A2（1，1），A3（1，2），A4（-2，2），A5（-2，3），A6（2，3），A7（2，4），A8（-3，4），A9（-3，5），…，∴A4n（-n-1，2n），A4n+1（-n-1，2n+1），A4n+2（n+1，2n+1），A4n+3（n+1，2n+2）（n为自然数）．∵2022=505×4+2，∴A2022（505+1，505×2+1），即（506，1011）．故选：D．【练1】如图所示，在平面直角坐标系上有个点P（1,0），点P第1次向上跳动1个单位至点P1(1,1)，紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2(−1,1)，第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位……依此规律跳动下去，点P第99次跳动至点P99的坐标是_____【答案】（-25，50）【解析】解：由题中规律可得出如下结论：设点Px的横坐标的绝对值是n，则在y轴右侧的点的下标分别是4（n-1）和4n-3，在y轴左侧的点的下标是：4n-2和4n-1；判断P199的坐标，就是看99=4（n-1）和99=4n-3和99=4n-2和99=4n-1这四个式子中哪一个有负整数解，从而判断出点的横坐标.由上可得：点P第99次跳动至点P99的坐标是（-25，50）故答案为：（-25，50）.【练2】如图，在平面直角坐标系上有点A0(1,0)，点A0第一次跳动至点A1(−1,1)，第二次点A1跳动至点A2(2,1)，第三次点A跳动至点A3(−2,2)，第四次点A3跳动至点A4(3,2)，……依2此规律跳动下去，则点A2021与点A2022之间的距离是（）A．2023B．2022C．2021D．2020【答案】A【解析】观察发现，第2次跳动至点的坐标是（2，1），第4次跳动至点的坐标是（3，2），第6次跳动至点的坐标是（4，3），第8次跳动至点的坐标是（5，4），…第2n次跳动至点的坐标是（n+1，n），则第2022次跳动至A2022点的坐标是（1012，1011），第2021次跳动至点A2021的坐标是（﹣1011，1011）．∵点A2021与点A2022的纵坐标相等，∴点A2021与点A2022之间的距离=1012﹣（﹣1011）=2023．故选：A．【练3】在平面直角坐标系内原点O（0，0）第一次跳动到点A1（0，1），第二次从点A1跳动到点A2（1，2），第三次从点A2跳动到点A3（﹣1，3），第四次从点A3跳动到点A4（﹣1，4），…，按此规律下去，则点A2021的坐标是（）A．（673，2021）B．（674，2021）C．（﹣673，2021）D．（﹣674，2021）【答案】B【解析】解：因为A1（0，1），A2（1，2），A3（﹣1，3），A4（﹣1，4），A5（2，5），A6（﹣2，6），A7（﹣2，7），A8（3，8），…A3n﹣1（n，3n﹣1），A3n（﹣n，3n），A3n+1（﹣n，3n+1）（n为正整数），∵3×674﹣1＝2021，∴n＝674，所以A2021（674，2021），故选：B．【例4】如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1）（1，1）,（1，2），（2，2）……根据这个规律，第2022个点的坐标为________【答案】（45，6）【解析】解：观察图形，可知：第1个点的坐标为（1，0），第4个点的坐标为（1，1），第9个点的坐标为（3，0），第16个点的坐标为（1，3），…，∴第（2n-1）2个点的坐标为（2n-1，0）（n为正整数）．∵2025=452，∴第2025个点的坐标为（45，0）．又∵2025-3=2022，∴第2022个点在第2025个点的上方3个单位长度处，∴第2022个点的坐标为（45，3）．故答案为：（45，3）．【练1】如图，一个蒲公英种子从平面直角坐标系的原点O出发，向正东走3米到达点A1，再向正北方向走6米到达点A2，再向正西方向走9米到达点A3，再向正南方向走12米到达点A4，再向正东方向走15米到达点A5，以此规律走下去，当种子到达点A10时，它在坐标系中坐标为（）A．（﹣12，﹣12）B．（15，18）C．（15，﹣12）D．（﹣15，18）【答案】B【解析】解：根据题意可知：O A1＝3，A1A2＝6，A2A3＝9，A3A4＝12，A4A5＝15，A5A6＝18，A9A10＝30，∴A1点坐标为（3，0），A2点坐标为（3，6），A3点坐标为（﹣6，6），A4点坐标为（﹣6，﹣6），A5点坐标为（9，﹣6），A6点坐标为（9，12），以此类推，A9点坐标为（15，﹣12），所以A10点横坐标为15，纵坐标为﹣12+30＝18，∴A10点坐标为（15，18），故选：B．【练2】如图，一个点在第一象限及x轴、y轴上移动，在第一秒钟，它从原点移动到点（1，0），然后按照图中箭头所示方向移动，即（0，0）→（1，0）→（1，1）→（0，1）→（0，2）→…，且每秒移动一个单位，那么第2022秒时，点所在位置的坐标是（ ）A ．（2，44）B ．（41，44）C ．（44，41）D ．（44，2）【答案】【解析】解：观察可发现，点到（0，2）用4＝22秒，到（3，0）用9＝32秒，到（0，4）用16＝42秒，则可知当点离开x 轴时的横坐标为时间的平方，当点离开y 轴时的纵坐标为时间的平方， 此时时间为奇数的点在x 轴上，时间为偶数的点在y 轴上, ∵2022＝452﹣3＝2025﹣3，∴第2025秒时，动点在（45，0），故第2022秒时，动点在（45，0）向左一个单位，再向上2个单位， 即（44，2）的位置． 故选：D ．【练3】如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,1)，(3,0)，(3,−1)…根据这个规律探索可得，第99个点的坐标为( )A.(14,−1)B.(14,0)C.(14,1)D.(14,2)【答案】C【解析】解：在横坐标上，第一列有一个点，第二列有2个点…第n 个有n 个点， 并且奇数列点数对称而偶数列点数y 轴上方比下方多一个， 所以奇数列的坐标为(n,n−12)，(n,n−12−1)，…，(n,1−n 2)；偶数列的坐标为(n,n2)，(n,n2−1)，…，(n,1−n2)， ∵1+2+3+4+……+13=91∴第99个点位于第14列自上而下第7行．−6)，即(14,1)．代入上式得(14,142故选C．【例5】如图，在平面直角坐标系中，将边长为3，4，5的直角△ABO沿x轴向右滚动到△AB1C1的位置，再到△A1B1C2的位置…依次进行下去，发现A（3，0），A1（12，3），A2（15，0）…那么点A2022的坐标为．【答案】（12135，0）【解析】解：∵∠AOB＝90°，点A（3，0），B（0，4），根据勾股定理得AB＝5，根据旋转可知：OA+AB1+B1C2＝3+5+4＝12，所以点A1（12，3），A2（15，0）；继续旋转得A3（24，3），A4（27，0）；…发现规律：A2n﹣1（12n，3），A2n（12n+3，0），∵2022＝2n，∴n＝1011，∴点A2022的坐标为（12135，0），故答案为：（12135，0）．【练1】如图，动点P从（0，3）出发沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2022次碰到长方形的边时点P的坐标为．【答案】（0，3【解答过程】解：如图所示：经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），∵2022÷6＝337∴当点P第2022次碰到矩形的边时与P点起点位置重合，∴点P的坐标为（0，3）．故答案为：（0，3）．【练2】如图，将边长为2的等边三角形沿x轴正方向连续翻折2019次，依次得到点P1,P2,P3,...,P2022，则点P2022的坐标是（）A.(2022,2)B.(2022,√3)C.(4043,2)D.(4043, √3)【答案】D【解析】解：由题意可知P1是1P的横坐标是3，P3的横坐标是5，P4的横坐标是7…依此类推下去，P n的横坐标是2n-1,∴P2022的横坐标是2×2022-1=4043纵坐标都是√3，故选：D．连续作旋转变换，依【练3】如图，在直角坐标系中，已知点A(−3,0)，B(0,4)，对OAB次得到Δ1，Δ2，Δ3，Δ4，…，则∆2022的直角顶点的坐标为______.【答案】（8088，0）【解析】解：∵点A（-3，0）、B（0，4），∴AB=√32+42=5由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：4+5+3=12，∵2022÷3=674，∴∆2022的直角顶点是第674个循环组的最后一个三角形的直角顶点；∵674×12=8088，∴∆2022的直角顶点的坐标为（8088，0）.故答案为（8088，0）.【例6】如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推……则正方形OB2021B2022C2022的顶点B2022的坐标是_____.【答案】（0,-22011）【解析】解：∵正方形OA1B1C1的边长为1，∴OB1=√2∴OB2=2∴B2（0，2），同理可知B3（-2，2），B4（-4，0），B5（-4，-4），B6（0，-8），B7（8，-8），B9（16，16），B10（0，32）．由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标的符号相同，每次正方形的边长变为原来的√2倍，∵2022÷8=252⋯⋯6，∴B8n+6（0，-24n+3），∴B2022（0,-22011）．故答案为：（0,-22011）．【练1】如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAA1的直角边OA在x轴上，点A1在第一象限，且OA＝1，以点A1为直角顶点，0A1为一直角边作等腰直角三角形OA1A2，再以点A2为直角顶点，OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3…依此规律，则点A2022的坐标是_____．【答案】（0,-22011）【解析】解：由等腰直角三角形的性质，可知：A 1（1，1），A 2（0，2），A 3（﹣2，2），A 4（0，﹣4），A 5（﹣4，﹣4），A 6（0，﹣8），A 7（8，﹣8），A 8（16，0），A 9（16，16），A 10（0，32），A 11（﹣32，32），…，∵2022＝252×8+6∴点A 8n+6的坐标为（0，24n+3）（n 为自然数）．∴点A 2022的坐标为（0，24×252+3），即（0,-22011），故答案为：（0,-22011）．【练2】在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为（1，0），点D 的坐标为（0，2）.长CB 交x 轴于点A 1，作正方形A 1B 1C 1C ；延长C 1B 1交x 轴于点2A ，作正方形A 2B 2C 2C 1……按这样的规律进行下去，第2022个正方形的面积为_____．【答案】5×(32)4042.【解析】解：∵点A 的坐标为（1,0），点D 的坐标为（0,2）∴正方形ABCD 的边长为√5，设其面积为S 1=5，依此类推，接下来的面积依次为S 2,S 3,S 4⋯⋯第2022个正方形的面积为S 2022，又∵三角形相似，∴ OA OD =A 1B AB =A 2B 1A 1B 1=⋯=12. ∴ S 2=5×94，S 3=5×(94)2…… ∴S 2022=5×(94)2022−1=5×(94)2021=5×(32)4042.【练3】如图，在平面直角坐标系xOy中，B1（0，1），B2（0，3），B3（0，6），B4（0，10），…，以B1B2为对角线作第一个正方形A1B1C1B2，以B2B3为对角线作第二个正方形A2B2C2B3，以B3B4为对角线作第三个正方形A3B3C3B4，…，如果所作正方形的对角线B n B n+1都在y 轴上，且B n B n+1的长度依次增加1个单位长度，顶点A n都在第一象限内（n≥1，且n为整数），那么A1的纵坐标为；用n的代数式表示A n的纵坐标：．【答案】2；【解析】解：作A1D⊥y轴于点D，则B1D＝B1B2÷2＝（3﹣1）÷2＝1，∴A1的纵坐标＝B1D+B1O＝1+12，同理可得A2的纵坐标＝OB2+（B2B3）÷2＝3+（6﹣3）÷2 4.5，∴A n的纵坐标为，故答案为2，．。
中考数学备考专题复习探索规律问题(含解析)
研究规律问题一、（共 7；共14分）1、（2016?重）以下形都是由同大小的小圈按必定律所成的，此中第①个形中一共有4个小圈，第②个形中一共有10个小圈，第③个形中一共有19个小圈，⋯，按此律摆列，第⑦个形中小圈的个数（）A、64B、77C、80D、852、（2016?重）察以下一形，此中形①中共有2星，形②中共有6星，形③中共有11星，形④中共有17星，⋯，按此律，形⑧中星星的数是（）A、43B、45C、51D、533、（2016?邵阳）如所示，以下各三角形中的三个数之均拥有同样的律，依据此律，最后一个三角形中y与n之的关系是（）A、y=2n+1B、y=2n+nC、y=2n+1+nD、y=2n+n+14、（2016?沂）用大小相等的小正方形按必定律拼成以下形，第n个形中小正方形的个数是（）A、2n+1B、n21C、n2+2nD、5n25、（2016?州）如，用黑白两种色的菱形片，按黑色片数逐增添1的律拼成以下案，若第n个案中有2017个白色片，n的（）A、671B、672C、673D、6746、（2016?永州）我依据指数运算，得出了一种新的运算，如表是两种运算关系的一例：指数运算21=222=423=8⋯31=332=933=27⋯新运算log22=1 log24=2log28=3⋯log33=1log39=2 log327=3⋯依据上表律，某同学写出了三个式子：①log216=4，②log525=5，③log2=1．此中正确的选项是（）A、①②B、①③C、②③D、①②③7、（2016?青海）如，正方形ABCD的2，其面S1，以CD斜作等腰直角三角形，以等腰直角三角形的一条直角向外作正方形，其面S2，⋯，依据此律下去，S9的（）A、（）6B、（）7C、（）6D、（）7二、填空（共14；共15分）8、（2016?宁波）以下案是用度同样的火柴棒按必定律拼搭而成，案①需8根火柴棒，案②需15根火柴棒，⋯，按此律，案⑦需________根火柴棒．9、（2016?宁）按必定律摆列的一列数：，1，1，□，，，，⋯你仔察，依据此律方框内的数字________．10、（2016?岳阳）如，在平面直角坐系中，每个最小方格的均1个位，P1，P2，P3，⋯，均在格点上，其序按中“→”方向摆列，如：P1（0，0），P2（0，1），P3（1，1），P4（1，1），P5（1，1），P6（1，2）⋯依据个律，点P2016的坐________．11、（2016?内江）将一些半径同样的小按如所示的律放，仔察，第n个形有________个小?（用含n的代数式表示）12、（2016?新疆）如，下边每个形中的四个数都是按同样的律填写的，依据此律确立x的________．13、（2016?百色）察以下各式的律：ab）（a+b）=a2b2ab）（a2+ab+b2）=a3b3ab）（a3+a2b+ab2+b3）=a4b4⋯可获得（a b）（a2016+a2015b+⋯+ab2015+b2016）=________14、（2016?丹）察以下数据：2，，，，，⋯，它是按必定律排列的，依据此律，第11个数据是________．15、（2016?泉州）找出以下各形中数的律，依此，a的________．16、（2016?仁市）如是小用放的4个案，依据放案的律，猜想第n个案需要________个．17、（2016?益阳）小李用棋子排成以下一有律的案，此中第1个案有1枚棋子，第2个案有3枚棋子，第3个案有4枚棋子，第4个案有6枚棋子，⋯，那么第9个案的棋子数是________枚．218、（2016?徐州）如，每个案都由大小同样的正方形成，依据此律，第n个案中三、合（共4；共46分）的正方形的个数可用含n的代数式表示________．22、（2016?云港）保局某企排状况行，果示：所排水中硫化物的度超，即硫化物的度超最高允的．保局要求企立刻整顿，在15天之内（含15天）排达．整顿程中，所排水中硫化物的度y（mg/L）与x（天）的化律如所示，此中段AB表示前3天的化律，从第3天起，所排水中硫化物的度y与x成反比率关系．19、（2016?青海）如，以下各形中的三个数之均拥有同样的律，依此律，那么第4个形中的x=________，一般地，用含有m，n的代数式表示y，即y=________．20、（2016?曲靖）等腰三角形ABC在平面直角坐系中的地点如所示，已知点A（6，0），点B在原点，CA=CB=5，把等腰三角形ABC沿x正半作无滑翻，第一次翻到地点①，第二次翻到地点②⋯依此律，第15次翻后点C的横坐是________．21、（2016?葫芦）如，点A1（2，2）在直y=x上，点 A1作A1B1∥y交直y=x于点B1，以点A1直角点，A1B1直角在A1B1的右作等腰直角△A1B1C1，再点C1作A2B2∥y ，分交直y=x和y=x于A2，B2两点，以点A2直角点，A2B2直角在A2B2的右作等腰直角△A2B2C2⋯，按此律行下去，等腰直角△A n B n C n的面________（用含正整数n 的代数式表示）(1)求整顿程中硫化物的度y与x的函数表达式；(2)企所排水中硫化物的度，可否在15天之内不超最高允的？什么？23、（2016?台州）【操作】在算器上入一个正数，不停地按“”求算平方根，运算果愈来愈靠近1或都等于1．【提出】入一个数，不停地行“乘以常数k，再加上常数b”的运算，有什么律？【剖析】我可用框表示种运算程（如a）．也可用象描绘：如1，在x上表示出x1，先在直y=kx+b上确立点（x1，y1），再在直y=x上确立坐y1的点（x2，y1），而后再x上确立的数x2，⋯，以此推．【解决】研究入数x1，跟着运算次数n的不停增添，运算果x，怎化．(1)若k=2，b= 4，获得什么？能够入特别的数如3，4，5行察研究；若k＞1，又获得什么？明原因；3(3)①若k=，b=2，已在x上表示出x1（如2所示），在x上表示x2，x3，x4，并写出研究；②若入数x1，运算果x n互不相等，且愈来愈靠近常数m，直接写出k的取范及m的（用含k，b的代数式表示）24、（2016?云南）有一列按必定序和律摆列的数：第一个数是；第二个数是；第三个数是；⋯任何正整数n，第n个数与第（n+1）个数的和等于．研究，我：列数的第5个数a，那么，，，哪个正确？你直接写出正确的；(2)你察第1个数、第2个数、第3个数，猜想列数的第 n个数（即用正整数n表示第n数），而且明你的猜想足“第n个数与第（n+1）个数的和等于”；(3)M表示，，，⋯，，2016个数的和，即，求：．25、（2016?北京）已知y是x的函数，自量x的取范x＞0，下表是y与x的几：x⋯123579⋯y⋯⋯小依据学函数的，利用上述表格所反应出的y与x之的化律，函数的象与性行了研究．下边是小的研究程，充完好：如，在平面直角坐系xOy中，描出了以上表格中各坐的点，依据描出的点，画出函数的象；依据画出的函数象，写出：x=4的函数y________②函数的一条性：________4答案分析部分一、2、【答案】D【考点】研究形律【分析】【解答】解：通察，获得小圈的个数分是：第一个形：+12=4，第二个形：+22=6，第三个形：+32=10，第四个形：+42=15，⋯，因此第n个形：+n2，当n=7，+72=85，故D．剖析：此主要考了学生剖析、察律的能力．关是通察剖析得出律．2、【答案】C【考点】研究形律【分析】【解答】解：形n中星星的数是a n（n自然是），察，律：a1=2，a2=6=a1+3+1，a3=11=a2+4+1，a4=17=a3+5+1，⋯，∴a n=2+．令n=8，a8=2+=51．故C．【剖析】形n中星星的数是a n（n自然是），列出部分形中星星的个数，依据数据的化找出化律“a n=2+”，合律即可得出．本考了律型中的形的化，解的关是找出化律“a n=2+”．本属于中档，度不大，解决型目，依据定条件列出部分数据，依据数据的化找出化律是关．2、【答案】B【考点】研究数与式的律【分析】【解答】解：∵察可知：左三角形的数字律：1，2，⋯，n，右三角形的数字律：2，22，⋯，2n，下三角形的数字律：1+2，2+22，⋯，n+2n，∴y=2n+n．故B．【剖析】由意可得下三角形的数字律：n+2n，而求得答案．此考了数字律性．注意依据意找到律y=2n+n是关．2、【答案】C【考点】研究形律【分析】【解答】解：∵第1个形中，小正方形的个数是：221=3；第2个形中，小正方形的个数是：321=8；第3个形中，小正方形的个数是：421=15；⋯∴第n个形中，小正方形的个数是：（n+1）21=n2+2n+11=n2+2n；故：C．【剖析】由第1个形中小正方形的个数是221、第2个形中小正方形的个数是321、第3个形中小正方形的个数是421，可知第n个形中小正方形的个数是（n+1）21，化可得答案．本主要考形的化律，解决此目的方法是：从化的形中不的部分和化的部分及化部分的特色是解的关．2、【答案】B【考点】研究形律【分析】【解答】解：∵第1个案中白色片有4=1+1×3；第2个案中白色片有7=1+2×3；第3个案中白色片有10=1+3×3；⋯∴第n个案中白色片有1+n×3=3n+1（），依据意得：3n+1=2017，解得：n=672，故：B．【剖析】将已知三个案中白色片数拆分，得出律：每增添一个黑色片，相增添3个白色片；据此可得第n个案中白色片数，进而可得对于n的方程，解方程可得．本考了形的化，察出后一个形比前一个形的白色片的数多3，进而出第n个形的白色片的数是解的关．2、【答案】B【考点】数的运算，定新运算【分析】【解答】解：①因24=16，因此此正确；②因55=3125≠25，因此此；③因2﹣1=，因此此正确；故B．【剖析】依据指数运算和新的运算法得出律，依据律运算可得．此考了指数运算和新定运算，运算律是解答此的关．2、【答案】A【考点】勾股定理【分析】【解答】解：在中上字母E，如所示．5∵正方形ABCD的2，△CDE等腰直角三角形，222∴DE+CE=CD，DE=CE，∴S+S=S．221察，律：S1=22=4，S2=S1=2，S3=S2=1，S4=S3=，⋯，∴S=（）n﹣3．n当n=9，S=（9﹣3）6）=（，9故：A．【剖析】依据等腰直角三角形的性可得出S2+S2=S1，写出部分S n的，依据数的化找出化律“S n=（）n﹣3”，依此律即可得出．本考了等腰直角三角形的性、勾股定理以及律型中数的化律，解的关是找出律“S n=（）n﹣3”．本属于中档，度不大，解决型目，写出部分S n的，依据数的化找出化律是关．二、填空2、【答案】50【考点】坐与形化-平移【分析】【解答】解：∵案①需火柴棒：8根；案②需火柴棒：8+7=15根；案③需火柴棒：8+7+7=22根；⋯∴案n需火柴棒：8+7（n 1）=7n+1根；当n=7，7n+1=7×7+1=50，∴案⑦需50根火柴棒；故答案：50．【剖析】依据案①、②、③中火柴棒的数目可知，第1个形中火柴棒有8根，每多一个多形就多7根火柴棒，由此可知第n个案需火柴棒8+7（n 1）=7n+1根，令n=7可得答案．此主要考了形的化，解决此目的关在于形在化程中正确抓住不的部分和化的部分，化部分是以何种律化．2、【答案】【考点】研究数与式的律【分析】【解答】解：把整数1化，得，，，（），，，⋯能够后一个数的分子正是前方数的分母，因此，第4个数的分子是2，分母是3，故答案：．【剖析】把整数1化，能够后一个数的分子正是前方数的分母，剖析即可求解．此主要考数列的律研究，把整数一分数，察找出存在的律是解的关．2、【答案】（504，504）【考点】研究形律【分析】【解答】解：由律可得，2016÷4=504，∴点P2016的在第四象限的角均分上，∵点P4（1，1），点P8（2，2），点P12（3，3），∴点P2016（504，504），故答案（504，504）．【剖析】依据各个点的地点关系，可得出下4的倍数的点在第四象限的角均分上，被4除余1的点在第三象限的角均分上，被4除余2的点在第二象限的角均分上，被4除余3的点在第一象限的角均分上，点P2016的在第四象限的角均分上，且横坐的=2016÷4，再依据第四象限内点的符号得出答案即可．本考了律型：点的坐，是一个理解，猜想律的目，解答此的关是第一确立点所在的大概地点，所在正方形，而后就能够一步推得点的坐．2、【答案】4+n（n+1）【考点】研究形律【分析】【解答】解：依据第1个形有6个小，第 2个形有10个小，第3个形有16个小，第4个形有24个小，6=4+1×2，10=4+2×3，16=4+3×4，24=4+4×5⋯，∴第n个形有：4+n（n+1）．故答案：4+n（n+1），【剖析】本是一道对于数字猜想的，关是通与，获得此中的律．此主要考了形的律以及数字律，通与合形得出数字之的律是解决的关，注意公式必切合所有的形．2、【答案】370【考点】研究数与式的律【分析】【解答】解：∵左下角数字偶数，右上角数字奇数，2n=20，m=2n1，解得：n=10，m=19，∵右下角数字：第一个：1=1×21，第二个：10=3×42，第三个：27=5×63，6∴第n个：2n（2n 1）n，∴x=19×2010=370．故答案：370．【剖析】第一察律，求得n与m的，再由右下角数字第n个的律：2n（2n1）n，求得答案．此考了数字律性．注意第一求得n与m的是关．2、【答案】a2017b2017【考点】多式乘多式，平方差公式【分析】【解答】解：（ a b）（a+b）=a2b2；ab）（a2+ab+b2）=a3b3；ab）（a3+a2b+ab2+b3）=a4b4；⋯可获得（ab）（a2016+a2015b+⋯+ab2015+b2016）=a2017b2017，故答案：a2017b2017【剖析】依据已知等式，获得一般性律，写出所求式子果即可．此考了平方差公式，以及多式乘以多式，弄清中的律是解本的关．2、【答案】-【考点】研究数与式的律【分析】【解答】解：∵2=，，，，，⋯，∴第11个数据是：=．故答案：．【剖析】此主要考了数字化，正确得出分子与分母的化律是解关．依据意可得：所有数据分母正整数，第奇数个是数，且分子是正整数的平方加1，而得出答案．2、【答案】226【考点】研究数与式的律【分析】【解答】解：依据意得出律：14+a=15×16，解得：a=226；故答案：226．【剖析】由0+2=1×2，2+10=3×4，4+26=5×6，6+50=7×8，得出律，即可得出a的．本考了数字的化美；依据意得出律是解决的关．2、【答案】n（n+1）【考点】数据剖析【分析】【解答】解：n=1，个数=1+1=2；当n=2，个数=1+2+2=4；当n=3，个数=1+2+2+3=7；当n=4，个数=1+2+2+3+4=11；⋯第n个案，个数=1+2+3+4+⋯+n=n（n+1）．故答案：n（n+1）．【剖析】找出相两个形的数目的差，进而可此中的律，于是可求得的答案．本主要考的是形的化律，找出此中的律是解的关．2、【答案】13【考点】研究数与式的律【分析】【解答】解：第n个形有a n个旗帜，察，律：a1=1，a2=1+2=3，a3=3+1=4，a4=4+2=6，a5=6+1=7，⋯，a2n+1=3n+1，a2n+2=3（n+1）（n自然数）．当n=4，a9=3×4+1=13．故答案：13．【剖析】第n个形有a n个旗帜，列出部分a n的，依据数的化找出化律“a2n+1=3n+1，a2n+2=3（n+1）（n自然数）”，挨次律即可解决．本考了律型中得形的化，解的关是找出化律“a2n+1=3n+1，a2n+2=3（n+1）（n自然数）”．本属于基，度不大，解决型目，找出部分形的棋子数目，依据数的化找出化律是关．2、【答案】n（n+1）【考点】研究形律【分析】【解答】解：第n个案中正方形的个数a n，察，律：a1=2，a2=2+4=6，a3=2+4+6=12，⋯，n=n（n+1）．∴a=2+4+⋯+2n=故答案：n（n+1）．【剖析】第n个案中正方形的个数a n，依据定案写出部分a n的，依据数据的化找出律“a n=n（n+1）”，由此即可得出．本考了律型中的形的化，解的关是找出律“a n=n（n+1）”．本属于基，度不大，依据定案写出部分案中正方形的个数，依据数据的化找出化律是关．2、【答案】63；m（n+1）【考点】研究数与式的律【分析】【解答】解：察，律：3=1×（2+1），15=3×（4+1），35=5×（6+1），x=7×（8+1）=63，y=m（n+1）．故答案：63；m（n+1）．【剖析】察定形，右下的数字=右上数字×（左下数字+1），依此律即可得出．本考了律型中的形的化以及数字的化，解的关是找出律“右下的数字=右上数字×（左下数字+1）”．本属于基，度不大，解决型目，依据形中数字的化找出化律是关．72、【答案】77【考点】等腰三角形的性，坐与形化-旋【分析】【解答】解：由意可得，每翻三次与初始地点的形状同样，15÷3=5，故第15次翻后点C的横坐是：（5+5+6）×5 3=77，故答案：77．【剖析】依据意可知每翻折三次与初始地点的形状同样，第15次于开始形状同样，故以点B参照点，第15次的坐减去3即可的此点C的横坐．本考坐与形化旋，等腰三角形的性，解的关是此中的律，每旋三次一个循．2、【答案】【考点】等腰直角三角形【分析】【解答】解：∵点A1（2，2），A1B1∥y交直y=x于点B1，∴B（2，1）1∴A1B1=21=1，即△A1B1C1面=2；×1=1111∵A C=AB=1，∴A2（3，3），又∵A2B2∥y，交直y=x于点B2，∴B2（3，），∴A B=3=，即△A2B2C2面=×（2=；）22以此推，A3B3=，即△A3B3C3面=×（）2=；A4B4=，即△A4B4C4面=×（）2=；⋯∴A n B n=（）n﹣1，即△A n B n C n的面=×[（）n﹣1]2=．故答案：【剖析】先依据点A1的坐以及A1B1∥y，求得B1的坐，而获得A1B1的以及△A1B1C1面，再依据A2的坐以及A2B2∥y，求得B2的坐，而获得A2B2的以及△A2B2C2面，最后依据依据律，求得A n B n的，而得出△A n B n C n的面即可．本主要考了一次函数象上点的坐特色以及等腰直角三角形的性，解决的关是通算找出律，依据A n B n的，求得△A n B n C n的面．解注意：直上随意一点的坐都足函数关系式y=kx+b．三、合2、【答案】（1）解：分状况：①当0≤x≤3，段AB的函数表达式y=kx+b；把A（0，0），B（3，4）代入得，解得：，y=2x+10；②当x＞3，y=，把（3，4）代入得：m=3×4=12，∴y=；上所述：当0≤x≤3，y=2x+10；当x＞3，y=（2）解：能；原因以下：令y==1，x=12＜15，故能在15天之内不超最高允的【考点】一次函数的用【分析】【剖析】（1）分状况：①当0≤x≤3，段AB的函数表达式y=kx+b；把A（0，0），B（3，4）代入得出方程，解方程即可；②当x＞3，y=，把（3，4）代入求出m的即可；（2）令y==1，得出x=12＜15，即可得出．本考了方程式的用、反比率函数的用；依据意得出函数关系式是解决的关．2、【答案】（1）解：若k=2，b=4，y=2x4，取x1=3，x2=2，x3=0，x4=4，⋯8取x1=4，x2x3=x4=4，⋯取x1=5，x2=6，x3=8，x4=12，⋯由此：当x1＜4，跟着运算次数n的增添，运算果x n愈来愈小．当x1=4，跟着运算次数n的增添，运算果x n的保持不，都等于4．当x＞4，跟着运算次数n的增添，运算果x愈来愈大1n（2）解：当x1＞，跟着运算次数n的增添，x n愈来愈大．当x＜，跟着运算次数n的增添，x愈来愈小．1n当x1=，跟着运算次数n的增添，x n保持不．原因：如1中，直y=kx+b与直y=x的交点坐（，），当x＞，于同一个x的，kx+b＞x，1∴y＞x11∵y=x2，1∴x1＜x2，同理x2＜x3＜⋯＜x n，∴当x1＞，跟着运算次数n的增添，x n愈来愈大．同理，当x1＜，跟着运算次数n的增添，x n愈来愈小．当x1=，跟着运算次数n的增添，x n保持不（3）解：①在数上表示的x1，x2，x3如2所示．x1=三种情况解答即可．（3）①如2中，画出形，依据象即可解决，x n的愈来愈靠近两直交点的横坐．②依据前方的研究即可解决．本考一次函数合以及性，解的关是学会从一般到特别研究律，学会利用律解决，属于中考常考型．2、【答案】（1）解：由意知第5个数a==（2）解：∵第n个数，第（n+1）个数，∴+=（+）××=，即第n个数与第（n+1）个数的和等于（3）解：∵1=＜=1，=＜＜=1，=＜＜=，⋯=＜＜=，=＜＜=，∴1＜+++⋯++＜2，即＜+++⋯++＜，跟着运算次数的增添，运算果愈来愈靠近．∴②由（2）可知：1＜k＜1且k≠0，【考点】分式的混淆运算，研究数与式的律由消去y获得x=【分析】【剖析】（1）由已知律可得；（2）先依据已知律写出第n、n+1个数，再依据分式的运算化可得；（3）将每个分式依据=＜＜=，睁开∴由①研究可知：m=．【考点】一次函数的性后再所有相加可得．本主要考分式的混淆运算及数字的化律，依据已知律=【分析】【剖析】（1）分x1＜4，x1=4，x1＞4三种情况解答即可．（2）分x1＞，x1＜，获得=＜＜=是解的关．9中考数学备考专题复习探索规律问题(含解析)（2、【答案】（1）解：如图，2）2；该函数有最大值【考点】函数的观点【分析】【解答】解：①x=4对应的函数值y约为2；②该函数有最大值．故答案为2，该函数有最大值．【剖析】此题考察了函数的定义：对于函数观点的理解：①有两个变量；②一个变量的数值跟着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确立的值，函数值有且只有一个值与之对应．1）依据自变量由小到大，利用光滑的曲线连接各点即可；2）①在所画的函数图象上找出自变量为4所对应的函数值即可；②利用函数图象有最高点求解．1011 / 1111。
人教版中考复习数学练习专题一：规律题探索专题含试卷分析答题技巧
第二部分专题复习专题一规律题探索专题考纲要求探索规律型问题：指的是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形或是给出与图形有关的操作、变化过程，要求通过观察、分析、推理，探求其中所隐含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．常见的类型有三种：(1)数与式变化规律型；(2)图形变化规律型；(3)猜想论证型．这种类型的解题方法和步骤有三步：(1)通过对几个特例的观察与分析，寻找规律并进行归纳；(2)猜想符合规律的一般性结论；(3)对一般性结论进行【课堂精讲】例1观察下列一组数：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是＿＿．数字的变化类，观察已知一组数发现：分子为从1开始的连线奇数，分母为从2开始的连线正整数的平方，写出第n个数即可．解答：解：根据题意得：这一组数的第n个数是．故答案为：．点评：此题考查了数字规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．例2.如图，是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”……，则搭n条“金鱼”需要火柴________根．分析：图形规律，观察图形发现：搭1条金鱼需要火柴8根，搭2条金鱼需要14根，即发现了每多搭1条金鱼，需要多用6根火柴．则搭n条“金鱼”需要火柴8+6（n-1）=6n+2．点评：此题考查了图形规律型：图形的变化类，弄清题中的递增规律是解本题的关键．例3. 正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y=x+1和x轴上，则点B6的坐标是．解答：解：∵直线y=x+1，x=0时，y=1，∴A1B1=1，点B2的坐标为（3，2），∴A2的纵坐标是：1+1=21，A2的横坐标是：1=21﹣1，∴A3的纵坐标是：2+2=4=22，A3的横坐标是：1+2=3=22﹣1，∴A4的纵坐标是：4+4=8=23，A4的横坐标是：1+2+4=7=23﹣1，即点A4的坐标为（7，8）．据此可以得到A n的纵坐标是：2n﹣1，横坐标是：2n﹣1﹣1．即点A n的坐标为（2n﹣1﹣1，2n﹣1）．∴点A6的坐标为（25﹣1，25）．∴点B6的坐标是：（26﹣1，25）即（63，32）．故答案为：（63，32）．此题主要考查了一次函数图象上点的坐标性质和坐标的变化规律，正确得到点的坐标的规律是解题的关键．②42－4×2＝22＋4；③52－4×3＝32＋4；…则第n个等式可以表示为__________________2.阅读下列材料：1×2＝13(1×2×3－0×1×2)， 2×3＝13(2×3×4－1×2×3)， 3×4＝13(3×4×5－2×3×4)， 由以上三个等式相加，可得1×2＋2×3＋3×4＝13×3×4×5＝20. 读完以上材料，请你计算下各题：(1)1×2＋2×3＋3×4＋…＋10×11(写出过程)；(2)1×2＋2×3＋3×4＋…＋n ×(n ＋1)＝________；(3)1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋7×8×9＝________.3.如下图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n (n 是大于0的整数)个图形需要黑色棋子的个数是________4.如图，在等腰Rt △OAA 1中，∠OAA 1=90°，OA =1，以OA 1为直角边作等腰Rt △OA 1A 2，以OA 2为直角边作等腰Rt △OA 2A 3，…则OA 4的长度为 ．5. 如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点A 顺时针旋转到△AB 1C 1的位置，点B 、O 分别落在点B 1、C 1处，点B 1在x 轴上，再将△AB 1C 1绕点B 1顺时针旋转到△A 1B 1C 2的位置，点C 2在x 轴上，将△A 1B 1C 2绕点C 2顺时针旋转到△A 2B 2C 2的位置，点A 2在x 轴上，依次进行下去…．若点A （，0），B （0，4），则点B 2014的横坐标为 ．6.有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2014次后，骰子朝下一面的点数是．【高效作业本】专题一规律题探究专题1如图，按此规律，第6行最后一个数字是，第行最后一个数是2014．2.观察分析下列数据：0，﹣，，﹣3，2，﹣，3，…，根据数据排列的规律得到第16个数据应是（结果需化简）．3.如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个▲组成，第2个图案由7个▲组成，第3个图案由10个▲组成，第4个图案由13个▲组成，…，则第n（n为正整数）个图案由个▲组成．4.观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…按此规律第5个图中共有点的个数是（）A．31B．46C．51D．66)．A ．38B ．52C ．66D ．746．如右图，物体从点A 出发，按照A →B (第1步)→C (第2步)→D →A →E →F →G →A →B →…的 顺序循环运动．则第2011步到达的点处是( )A ．A 点B ．B 点C ．D 点 D ．F 点7.为了求1+2+22+23+…+2100的值，可令S=1+2+22+23+…+2100，则2S=2+22+23+24+…+2101，因此2S ﹣S=2101﹣1，所以S=2101﹣1，即1+2+22+23+…+2100=2101﹣1，仿照以上推理计算1+3+32+33+…+32014的值．【答案】专题一 规律题探索专题1.：(n ＋2)2－4n ＝n2＋42. 解析：(1)∵1×2＝13(1×2×3－0×1×2) 2×3＝13(2×3×4－1×2×3) ⋮10×11＝13(10×11×12－9×10×11) ∴以上各式相加得1×2＋2×3＋…＋10×11＝13×10×11×12＝440. (2)13n (n ＋1)(n ＋2)． (3)14×7×8×9×10＝1 260.3. n(n ＋2)解：∵△OAA1为等腰直角三角形，OA=1，∴AA1=OA=1，OA1=OA=；∵△OA1A2为等腰直角三角形，∴A1A2=OA1=，OA2=OA1=2；∵△OA2A3为等腰直角三角形，∴A2A3=OA2=2，OA3=OA2=2；∵△OA3A4为等腰直角三角形，∴A3A4=OA3=2，OA4=OA3=8．故答案为：8．点评：此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理，熟练应用勾股定理得出是解题5.解：由题意可得：∵AO=，BO=4，∴AB=，∴OA+AB1+B1C2=++4=6+4=10，∴B2的横坐标为：10，B4的横坐标为：2×10=20，∴点B2014的横坐标为：×10=10070．故答案为：10070．点评：此题主要考查了点的坐标以及图形变化类，根据题意得出B点横坐标变化规律是解题关键．2.解：由题意知道：题目中的数据可以整理为：，（﹣1）2+1，…（﹣1n+1），故答案为：．3.解：观察发现：第一个图形有3×2﹣3+1=4个三角形；第二个图形有3×3﹣3+1=7个三角形；第一个图形有3×4﹣3+1=10个三角形；…第n个图形有3（n+1）﹣3+1=3n+1个三角形；故答案为：3n+1．4..解：第1个图中共有1+1×3=4个点，第2个图中共有1+1×3+2×3=10个点，第3个图中共有1+1×3+2×3+3×3=19个点，…第n个图有1+1×3+2×3+3×3+…+3n个点．故选：B．5. D6. C7.解：设M=1+3+32+33+…+32014 ①，①式两边都乘以3，得3M=3+32+33+…+32015 ②．②﹣①得2M=32015﹣1，两边都除以2，得M=，故答案为：．。
规律探索性问题(含解析)
规律探索性问题第一部分 讲解部分一．专题诠释规律探索型题是根据已知条件或题干所提供的若干特例，通过观察、类比、归纳，发现题目所蕴含的数字或图形的本质规律与特征的一类探索性问题。
这类问题在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都比较新颖新。
其目的是考查学生收集、分析数据，处理信息的能力。
所以规律探索型问题备受命题专家的青睐，逐渐成为中考数学的热门考题。
二．解题策略和解法精讲规律探索型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律．它体现了“特殊到一般”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力．题型可涉及填空、选择或解答．。
三．考点精讲 考点一：数与式变化规律通常根据给定一列数字、代数式、等式或者不等式，然后写出其中蕴含的一般规律，一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过比较各式子中相同的部分和不同的部分，找出各部分的特征，改写成要求的规律的形式。
例1. 有一组数：13,25579,,101726，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第n （n 为正整数）个数为 ．分析：观察式子发现分子变化是奇数，分母是数的平方加1．根据规律求解即可． 解答：解：21211211⨯-=+； 23221521⨯-=+； 252311031⨯-=+；272411741⨯-=+； 219251265+⨯-=；…； ∴第n （n 为正整数）个数为2211n n -+． 点评：对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．此题的规律为：分子变化是奇数，分母是数的平方加1． 例2（2010广东汕头）阅读下列材料：1×2 ＝31(1×2×3－0×1×2)， 2×3 ＝ 31(2×3×4－1×2×3)，3×4 ＝ 31(3×4×5－2×3×4)，由以上三个等式相加，可得1×2＋2×3＋3×4＝ 31×3×4×5 ＝ 20． 读完以上材料，请你计算下列各题：(1) 1×2＋2×3＋3×4＋···＋10×11（写出过程）；(2) 1×2＋2×3＋3×4＋···＋n ×(n ＋1) ＝ ______________； (3) 1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋···＋7×8×9 ＝ ______________．分析：仔细阅读提供的材料，可以发现求连续两个正整数积的和可以转化为裂项相消法进行简化计算，从而得到公式)1(433221+⨯++⨯+⨯+⨯n n[])1()1()2)(1()321432()210321(31+--++++⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯⨯=n n n n n n )2)(1(31++=n n n ；照此方法，同样有公式： )2()1(543432321+⨯+⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯n n n [])2()1()1()3()2()1()43215432()32104321(41+⨯+⨯⨯--+⨯+⨯+⨯++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=n n n n n n n n )3)(2)(1(41+++=n n n n ． 解：（1）∵1×2 ＝ 31(1×2×3－0×1×2)， 2×3 ＝31(2×3×4－1×2×3)， 3×4 ＝ 31(3×4×5－2×3×4)，…10×11 ＝31(10×11×12－9×10×11)， ∴1×2＋2×3＋3×4＋···＋10×11＝31×10×11×12＝440．（2）)2)(1(31++n n n ．（3）1260．点评：本题通过材料来探索有规律的数列求和公式，并应用此公式进行相关计算．本题系初、高中知识衔接的过渡题，对考查学生的探究学习、创新能力及综合运用知识的能力都有较高的要求．如果学生不掌握这些数列求和的公式，直接硬做，既耽误了考试时间，又容易出错．而这些数列的求和公式的探索，需要认真阅读材料，寻找材料中提供的解题方法与技巧，从而较为轻松地解决问题．例3（2010山东日照，19，8分）我们知道不等式的两边加（或减）同一个数（或式子）不等号的方向不变．不等式组是否也具有类似的性质？完成下列填空：一般地，如果⎩⎨⎧>>dc b a ,那么a +c b +d ．（用“>”或“<”填空）你能应用不等式的性质证明上述关系式吗？分析：可以用不等式的基本性质和不等式的传递性进行证明。
专题01探索勾股定理重难点专练(解析版)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图是两个全等的三角形纸片，其三边长之比为3: 4: 5，按图中方法分别将其对折，使折痕（图中虚线）过其中的一个顶点，且使该顶点所在两边重合，记折叠后不重叠部分面积分别为,A B S S ，已知15A B S S -=，则纸片的面积是（）A ．102B ．104C ．106D ．108【答案】D 【分析】设3AC FH x ==，则4BC GH x ==，5AB GF x ==，根据勾股定理即可求得CD 的长，利用x 表示出A S ，同理表示出B S ，根据15A BS S -=，即可求得x 的值，进而求得三角形的面积．【详解】解：设3AC FH x ==，则4BC GH x ==，5AB GF x ==．设CD y =，则4BD x y =-，DE CD y ==，在直角BDE ∆中，532BE x x x =-=，根据勾股定理可得：2224(4)x y x y +=-，解得：32y x =，2222A 同理可得：223B S x =，15A B S S -= ，∴22321523x x -=，解得：x =，∴纸片的面积是：213461082x x x ⨯== ，故选：D ．．【点睛】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），三角形面积的计算，根据勾股定理求得CD 的长是解题的关键．2．七巧板是大家熟悉的一种益智玩具，用七巧极能拼出许多有趣的图案，小聪将一块等腰直角三角形硬纸板（如图①）切割成七块，正好制成一副七巧板（如图②），已知80cm AB =，则图中阴影部分的面积为（）2cm ．A ．200B ．2003C ．50D ．100【答案】A如图，设OF＝EF＝FG＝x cm，可得EH＝＝40cm，解方程即可解决问题．【详解】解：如图：设OF＝EF＝FG＝x（cm），∴OE＝OH＝2x，在Rt△EOH中，由勾股定理得：EH＝，∵AB＝80cm，∴由题意得EH＝40cm，∴40＝，∴x＝∴阴影部分的面积＝（2＝200（cm2）故选：A．【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．3．下列四组数据，不是勾股数的是（）A．3，4，5B．5，6，7C．6，8，10D．9，40，41【答案】B根据勾股数的定义：满足222a b c +=的三个正整数，称为勾股数，根据定义即可求解．【详解】解：A 、因为32+42＝52，属于勾股数；B 、因为52+62≠72，不属于勾股数；C 、因为62+82＝102，属于勾股数；D 、因为92+402＝412，属于勾股数；故选：B ．【点睛】本题考查了勾股数的定义，注意：作为勾股数的三个数必须是正整数，一组勾股数扩大相同的整数倍得到的三个数仍是一组勾股数．4．ABC 在由边长为1的小正方形构成网格中的位置如图所示，则AC 边上的高是（）A ．135B ．145C ．165D ．175【答案】D 【分析】作BD AC ⊥于D ，根据勾股定理求出AC 的长，再利用三角形面积公式求ABC 中AC 边上的高即可．【详解】∵小正方形的边长都为1，∴5AC ==，∵11117451523342222ABC S =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯= ，∴11175222ABC S AC BD BD =⨯⨯=⨯⨯= ，解得：175BD =，故选：D ．【点睛】本题主要考查了勾股定理在网格中的应用以及三角形的面积，根据题意得出ABC 的面积等于矩形的面积减去三个小三角形的面积是解题的关键．5．如图，在Rt ABC 中，90,8,6ACB AC BC ∠=︒==，将边BC 沿CN 折叠，使点B 落在AB 上的点B ′处，再将边AC 沿CM 折叠，使点A 落在CB '的延长线上的点A '处，两条折痕与斜边AB 分别交于点N 、M ，则线段A M '的长为（）5555【答案】B 【分析】利用勾股定理求出AB =10，利用等积法求出CN ＝245，从而得AN ＝325，再证明∠NMC ＝∠NCM ＝45°，进而即可得到答案．【详解】解：∵90,8,6ACB AC BC ∠=︒==∴AB 10==，∵S △ABC ＝12×AB ×CN ＝12×AC ×BC∴CN ＝245，∵AN 325=，∵折叠∴AM ＝A'M ，∠BCN ＝∠B'CN ，∠ACM ＝∠A'CM ，∵∠BCN +∠B'CN +∠ACM +∠A'CM =90°，∴∠B'CN +∠A'CM ＝45°，∴∠MCN ＝45°，且CN ⊥AB ，∴∠NMC ＝∠NCM ＝45°，∴MN ＝CN ＝245，∴A'M ＝AM ＝AN −MN ＝325-245=85．故选B ．本题考查了翻折变换，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键．6．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右“肩”上“生出”两个小正方形，这3个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的图形，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，则“生长”了2021次后形成的图形中所有正方形的面积和为（）A．2019B．2020C．2021D．2022【答案】D【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．【详解】解：如图，设直角三角形的三条边分别是a，b，c，根据勾股定理，得222a b c，+=同理：正方形D 的面积+正方形E 的面积+正方形F 的面积+正方形G 的面积=正方形A 的面积+正方形B 的面积=正方形C 的面积1=，推而广之，“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是202212022⨯=．故选：D 【解答】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理，理解“勾股树”的关系是解题关键．7．我们把梯形下底与上底的差叫做梯形的底差，梯形的高与中位线的比值叫做梯形的纵横比．如果一个腰长为5的等腰梯形，底差等于6，面积为24，那么这个等腰梯形的纵横比等于（）A ．54B ．56C ．23D ．35【答案】C 【分析】作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 于F ，根据BC-AD =6求出BE=CF =3，利用勾股定理求出高AE 的长，利用梯形面积公式求出AD 的长，由此得到梯形中位线的长，即可得到答案．【详解】解：如图，由题意得：AB=CD =5，BC-AD =6，作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 于F ，∴BE=CF =3，∴4AE DF ===，∵梯形面积11()(6)42422S AD BC AE AD AD =+⋅=⨯++⨯=，∴3AD =，22∴这个等腰梯形的纵横比=4263=，故选：C ．．【点睛】此题考查勾股定理，梯形面积公式及中位线公式，正确理解题意确定各线之间的数量及关系是解题的关键．8．如图，1OP =，过P 作1PP OP ⊥且11PP =，得1OP =再过1P 作122PP OP ⊥且121P P =，得2OP =；又过2P 作232PP OP ⊥且231PP =，得32OP =…依此法继续作下去，则20202021OP P △的面积为（）A B C D 【答案】B 【分析】根据勾股定理分别列式计算，找出被开方数的变化规律，最后用三角形的面积公式求解．123=12OP OP OP OP == ，4OP ∴==，…，n OP2020OP ∴202020211P P = ，2020OP 和20202021P P 相互垂直20202021OP P ∴ 的面积为1122S =⨯⨯=．故答案为：B ．【点睛】本题考查了勾股定理(在直角三角形中，两直角边的平方之和等于斜边的平方)，三角形面积公式(1=2S ⨯底⨯底边上的高)．根据题目观察出，被开方数比相应的序数大1是解题的关键．9．如图，有一张长方形纸片ABCD ，8cm AB =，10cm BC =，点E 为CD 上一点，将纸片沿AE 折叠，BC 的对应边B C ''恰好经过点D ，则线段CE 的长为（）cmA ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A 【分析】由折叠的性质可得8cm AB AB '==，10cm BC B C ''==，CE C E '=，由勾股定理可求B D '的长，由勾股定理可求解．解： 将纸片沿AE 折叠，BC 的对应边B C ''恰好经过点D ，8AB AB cm '∴==，10BC B C cm ''==，CE C E '=，6B D cm '∴=，4C D B C B D cm ''''∴=-=，222DE C D C E ''=+ ，2216(8)DE DE ∴=+-，5DE cm ∴=，∴3cmCE =故选：A ．【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，熟练运用折叠的性质是解决本题的关键．10．已知a 、b 为两正数，且12a b +=，则代数式+）A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】B 【分析】如图所示，构造Rt △BEA 和Rt △AFC 使得BE =a ，EA =2，AF =3，FC =b ，然后根据勾股定理构可得AB 和AC ，当A ，B ，C 三点共线时有最小值，在根据勾股定理计算即可．【详解】解：如图所示，构造Rt △BEA 和Rt △AFC 使得BE =a ，EA =2，AF =3，FC =b ，根据勾股定理可得：AB 和AC所以：AB AC BC +≥，∴当A ，B ，C 三点共线时+AB AC 有最小值，即BC ，在Rt △BDC 中13BC ===．故选：B 【点睛】本题主要考查勾股定理，能够根据二次根式的特点，数形结合，构造出直角三角形表示所求式子是解题的关键．11．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，分别以AB ，AC ，BC 为斜边作三个等腰直角ABD △，ACE ，BCF △，图中阴影部分的面积分别记为1S ，2S ，3S ，4S ，若已知Rt ABC 的面积，则下列代数式中，一定能求出确切值的代数式是（）A ．4S B ．143S S S +-C ．234S S S ++D ．123S S S +-【答案】A 【分析】表示相应的面积，确定面积与m ，n ，S 之间的关系，从而作出判断．【详解】设AC =m ，BC =n ，ABC 的面积为S ，∵Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，分别以AB ，AC ，BC 为斜边作三个等腰直角ABD △，ACE ，BCF △，∴S =1mn 2，AB∴AE =EC =m 2，BF =CF =2n ，AD =BD ，在直角三角形AED 中，ED ==2n ，∴DC =EC -ED =m 2-2n =()2m n -，∴4S =11111AE ED=2222222m n mn S ∙=⨯=，故4S 的值可以确定，∴A 选项符合题意；设AC ，BD 的交点为G ，则3S +ADG S =112222()22S CD AE m n =∙=⨯-⨯△ADC =24()1m mn -，1S +ADG S =222241S AD m n +==△ADB ，∴143S S S +-=224m n ++12S -24()1m mn -=2+4n S ，与n 有关系，故代数式的值不能确定，∴B 选项不符合题意；∵3S +ADG S =24()1m mn -，1S +ADG S =224m n +，∴13S S -=21+42n S ，∴234S S S ++=212BF +12S +1S -21-42n S =24n +12S +1S -21-42n S =1S ，无法确定，∴C 选项不符合题意；∵123S S S +-=21+42n S +24n =21+22n S ，与n 有关，∴D 选项不符合题意；故选A ．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，图形面积的割补，灵活运用性质和勾股定理计算阴影的面积是解题的关键．12．如图，在ABC 中，点D 是边AB 上的中点，连接CD ，将BCD △沿着CD 翻折，得到ECD ，CE 与AB 交于点F ，连接AE ．若6,42AB CD AE ===,，则点C 到AB 的距离为（）A ．72B ．C ．3D ．【答案】C 【分析】连接BE ，延长CD 交BE 于G 点，过C 作CH ⊥AB 于H ，由折叠的性质及中点性质，可得△AEB 是直角三角形，且G 点是BE 的中点，从而CG ⊥BE ，由勾股定理可求得BE 的长，则根据△ABC 的面积相等一方面可表示为12AB CH ，另一方面其面积为△BCD 与△ACD 面积的和，从而可求得CH 的长．【详解】连接BE ，延长CD 交BE 于G 点，过C 作CH ⊥AB 于H ，如图所示由折叠的性质，得：BD =ED ，CB =CE∴CG 是线段BE 的垂直平分线∴BG =12BE∵D 点是AB 的中点∴BD =AD ，BCD ACDS S ∴AD =ED∴∠DAE =∠DEA∴∠DEB =∠DBE∵∠DAE +∠BEA +∠DBE =180°即∠DAE +∠DEA +∠DEB +∠DBE =180°∴2∠DEA +2∠DEB =180°∴∠DEA +∠DEB =90°即∠AEB =90°在Rt △AEB 中，由勾股定理得：BE =∴BG =∵BCD ACD ABCS S S += ∴11222CD BG AB CH ⨯=∴224863CD BG CH AB ⨯⨯==故选：C ．【点睛】本题考查了直角三角形的判定、勾股定理、线段垂直平分线的判定，利用面积相等求线七巧板拼成的，则这四个图形的周长从大到小排列正确的是（）A．乙＞丙＞甲＞丁B．乙＞甲＞丙＞丁C．丙＞乙＞甲＞丁D．丙＞乙＞丁＞甲【答案】A【分析】设最小的直角三角形的直角边长为1，根据勾股定理，分别表示出七块七巧板各边的长度，计算每个图形中重合的线段和，和越大，周长越小．【详解】解：设七巧板中最小的边长为1根据勾股定理，可以得出其余的边长分别为2，分别求出各图中重合的线段的长度和，和越大，则周长越小；甲图中重叠的线段和为：；乙图中重叠的线段和为：；丙图中重叠的线段和为丁图中重叠的线段和为：；+>+>+>+∵6755∴乙＞丙＞甲＞丁本题考查了勾股定理，不规则图形的周长，解题关键是明确总周长一定，重叠的线段和越大，则周长越小．二、填空题14．如图，点A ，B 在直线MN 的同侧，A 到MN 的距离8AC =，B 到MN 的距离5BD =，已知4CD =，P 是直线MN 上的一个动点，记PA PB +的最小值为a ，||PA PB -的最大值为b ，则22a b -=_______．【答案】160【分析】作点A 关于直线L 的对称点A ′，连接A ′B 交直线L 于点P ，过点A ′作直线A ′E ⊥BD 的延长线于点E ，再根据勾股定理求出A ′B 的长就是PA +PB 的最小值；延长AB 交MN 于点P ′，此时P ′A -P ′B =AB ，由三角形三边关系可知AB ＞|PA -PB |，故当点P 运动到P ′点时|PA -PB |最大，作BE ⊥AM ，由勾股定理即可求出AB 的长就是|PA -PB |的最大值．进一步代入求得答案即可．【详解】解：如图，作点A关于直线L的对称点A′，连接A′B交直线L于点P，则点P即为所求点．过点A′作直线AE⊥BD的延长线于点E，则线段A′B的长即为PA+PB的最小值．∵AC=8cm，BD=5cm，CD=4cm，∴A′C=8cm，BE=8+5=13cm，A′E=CD=4cm，∴A′B=即PA+PB的最小值是a如图，延长AB交MN于点P′，∵P′A-P′B=AB，AB＞|PA-PB|，∴当点P运动到P′点时，|PA-PB|最大，∵BD=5，CD=4，AC=8，∴AB =5．∴|PA -PB |=5为最大，即b =5，∴a 2-b 2=185-25=160，故答案为：160．【点睛】本题考查的是最短线路问题及勾股定理，熟知两点之间线段最短及三角形的三边关系是解答此类问题的关键．15．在ABC 中，1520AB AC BC ==,,边上的高线为12，则ABC ∆的面积为________．【答案】150或42【分析】分两种情况：①B Ð为锐角；②B Ð为钝角；利用勾股定理求出BD 、CD ，即可求出BC 的长．【详解】解：分两种情况：①当B Ð为锐角时，如图1所示，在Rt △ABD 中，9BD ===，在Rt ADC 中，16CD ===，25BC BD CD ∴=+=，ABC ∆∴的面积为125121502⨯⨯=；②当B Ð为钝角时，如图2所示，在Rt △ABD 中，1697BC CD BD =-=-=，所以ABC ∆的面积为1712422⨯⨯=；故答案为：150或42．【点睛】本题主要考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，画出图形，分类讨论是解答此题的关键．16．在ABC 中，5AB =，AC =，BC 边上的高为3，则边BC 的长为__________．【答案】2或10【分析】分两种情况考虑：当△ABC 为锐角三角形，在直角三角形ABD 与直角三角形ACD 中，利用勾股定理求出BD 与DC 的长，由BD +DC 求出BC 的长即可；当△ABC 为钝角三角形，同理由CD -BD 求出BC 的长即可．【详解】解：分两种情况考虑：如图，此时△ABC为锐角三角形，==，在Rt△ABD中，根据勾股定理得：BD4在Rt△ACD中，根据勾股定理得：CD6，此时BC=BD+DC=4+6=10；如图，此时△ABC为钝角三角形，==；在Rt△ABD中，根据勾股定理得：BD4在Rt△ACD中，根据勾股定理得：CD6，=-=，此时BC=CD-BD642综上，BC的长为2或10．故答案为：2或10．【点睛】本题考查的是勾股定理，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．17．如图，Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段CE的长等于_________，线段BF的长等于_________．【答案】24585【分析】先依据勾股定理求得AB 的长，然后在△ABC 中，利用面积法可求得CE 的长，然后依据勾股定理定理可求得AE 的长，证明△ECF 为等腰直角三角形可求得EF 的长，依据FB =AB -AF 求得FB 的长即可．【详解】解：由翻折的性质可知CE ⊥AD ，在Rt △ABC 中，AB ，∵S △ABC =12AC •BC =12AB •CE ，∴CE =6824105⨯=，在△AEC 中，依据勾股定理得：AE =185，由翻折的性质可知∠ECD =12∠ACD ，∠DCF =12∠DCB ，CE ⊥AD ，∴∠ECF =45°，∵CE ⊥AD ，∴CE =EF =245，∴FB =AB -AE -EF =10-185-245=85，故答案为：245，85．本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，利用面积法求得CE 的长，然后再利用勾股定理和等腰三角形的性质求得AE 和EF 的长是解答问题的关键．18．如图，已知在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，分别以AC ，BC ，AB 为直径作半圆，面积分别记为S 1，S 2，S 3，若S 3＝9π，则S 1+S 2等于_____．【答案】9π．【分析】根据勾股定理和圆的面积公式，可以得到S 1+S 2的值，从而可以解答本题．【详解】解：∵∠ACB ＝90°，∴AC 2+BC 2＝AB 2，∵S 1＝π（2AC ）2×12，S 2＝π（2BC ）2×12，S 3＝π（2AB ）2×12，∴S 1+S 2＝π（2AC ）2×12+π（2BC ）2×12＝π（2AB ）2×12＝S 3，∵S 3＝9π，∴S 1+S 2＝9π，故答案为：9π．【点睛】本题考查勾股定理，解答本题的关键是利用数形结合的思想解答．作A E BC '⊥，垂足为E ，若8AB =，5CE =，则BC 的长为__．【答案】【分析】过C 作CF AB ⊥，F 为垂足，通过已知条件可以求得()AFC CEA AAS D @D ¢，AF CE =，从而求得3BF =，再根据直角三角形的性质，即可求解．【详解】解：过C 作CF AB ⊥，F为垂足，ACE ABC A ∠=∠+∠Q ，又30ABC =︒∠ ，30ACE A \Ð=°+Ð，又30ACE A CE ��孝Q ，A A CE \�孝，在AFC ∆与CEA D ¢中，'90''AFC A EC A A CE AC CA ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AFC CEA AAS \D @D ¢，∴3BF AB AF =-=，在Rt BFC △中，30FBC ∠=︒，设FC x =，则2BC x=由勾股定理可得222BC FC BF =+即222(2)3x x =+解得x =BC =故答案为【点睛】此题主要考查了三角形全等的证明方法和直角三角形的有关性质，利用已知条件合理构造直角三角形是解决本题的关键．20．如图，在Rt ABC 中，AC BC =，点D 为AB 中点．90GDH ∠=︒，GDH ∠绕点D 旋转，DG ，DH 分别与边AC ，BC 交于E ，F 两点．下列结论：①AE BF AC +=；②222AE BF EF +=；③12ABC CEDF S =四边形△；④DEF 始终为等腰直角三角形．其中正确答案的序号有__________．【答案】①②③④【分析】连接CD 根据等腰直角三角形的性质就可以得出ADE CDF ∆≅∆，就可以得出AE CF =，进而得出CE BF =，就有AE BF AC +=，由勾股定理就即可求出结论．【详解】12AD CD BD AB ∴===．45A B ACD BCD ∠=∠=∠=∠=︒，90ADC BDC ∠=∠=︒．90ADE EDC ∴∠+∠=︒，90EDC FDC GDH ∠+∠=∠=︒ ，ADE CDF \Ð=Ð．在ADE ∆和CDF ∆中，A DCB AD CD ADE CDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ADE CDF ASA ∴∆≅∆，AE CF ∴=，DE DF =，ADE CDF S S ∆∆=．AC BC = ，AC AE BC CF ∴-=-，CE BF ∴=．AC AE CE =+ ，AC AE BF ∴=+．①222AC BC AB +=，AC ∴=，2AE BF AB ∴+=．DEF ∴∆始终为等腰直角三角形．④222CE CF EF += ，222AE BF EF ∴+=．②EDC CDF CEDF S S S ∆∆=+ 四边形，12EDC ADE ABC CEDF S S S S ∆∆∆∴=+=四边形．③∴正确的有①②③④．故答案为：①②③④．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，解答时证明ADE CDF ∆≅∆是关键．21．如图所示的网格是正方形网格，点A ，B ，C ，D ，E 是网格线交点，则BAC DAE ∠-∠的度数为_______．【答案】45°【分析】如图，连接CG 、AG ，根据勾股定理的逆定理可得∠CAG =90°，从而知△CAG 是等腰直角三角形，根据平行线的性质和三角形全等，可知：∠BAC -∠DAE =∠ACG ，即可得解．【详解】解：如图，连接CG 、AG ，设小正方形的边长为1，由勾股定理得：AC 2=AG 2=12+22=5，CG 2=12+32=10，∴AC 2+AG 2=CG 2，∴∠CAG =90°，∴△CAG 是等腰直角三角形，∴∠ACG =45°，∵CF ∥AB ，∴∠ACF =∠BAC ，在△CFG 和△ADE 中，∵90CF AD CFG ADE FG DE ⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩＝＝＝＝，∴△CFG ≌△ADE （SAS ），∴∠FCG =∠DAE ，∴∠BAC -∠DAE =∠ACF -∠FCG =∠ACG =45°，故答案为：45°．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的全等的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．22．如图，在ABC 中，4AB =，135BAC ∠=︒，D 为边BC 的中点，若 1.5AD =，则AC 的长度为______．【答案】1+【分析】延长AD 到E ，使得AD =DE ，证明△ADB ≌△EDC ，得4CE AB ==，过点E 作EH AC ⊥于H ，分别求出CH 和AH 的长即可得到结论．【详解】解：延长AD 到E ，使得AD =DE，如图，∵D 为边BC 的中点，∴BD=CD在△ADB 和△EDC 中，AD DE ADB EDC BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADB ≌△EDC∴,4B DCE CE AB ∠=∠==∴//AB CE∴180BAC ACE ︒∠+∠=∴18013545ACE ︒︒︒∠=-=过点E 作EH AC ⊥于H∴CH EH ==在Rt AHE ∆中，23AE AD ==，HE =∴1AH ==∴1AC AH HC =+=故答案为：1．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，中线的性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答此题的关键．23．如图，四边形ABCD 中，AB AD =，90BAD ∠=︒，连接AC ，BD 交于点E ，90CBD ∠=︒，若点E 为AC 的中点，CD =ABCD 的面积为______．【答案】6【分析】过点A 作AF BD ⊥，可证得CBE AFE ≌△△，得到线段BC 和BD 的数量关系，即可求出BC 和BD 的长度，然后根据三角形面积公式即可求得．【详解】过点A 作AF BD ⊥，如图所示，在CBE △和AFE △中，CBE AFE BEC AEF EC EA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()CBE AFE AAS ≌△△，∴BC AF =，又∵2BD AF =，∴2BD BC =，∴在Rt BCD 中，222BC BD CD +=，()2222BC BC +=，解得：BC(负值舍去)，BD=AF∴四边形ABCD的面积11=622ABD CBD S S +=⨯=△△．故答案为：6．【点睛】此题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．24．我们规定：经过三角形的一个顶点且将三角形的周长分成相等的两部分的直线叫做3BC=，若直线l为Rt ABC的“等周线”，请直接写出ABC的所有“等周径”长为______________．【答案】5或【分析】分直线过顶点A、B、C三种情况，分别画出图形求解即可．【详解】解：分三种情况讨论：①当“等周线”经过点C时，直线1交AB于点E，设BE=x，则AE=5-x，作CH⊥AB于H，由题意：3+x=4+5-x，解得：x=3，∵125BC ACCHAB⋅==，∴95 BH==，∴96355 EH=-=，在Rt△ECH中，CE=∴“等周径”由题意得：4+3-x=5+x，解得：x=1，∴EC=2，在Rt△ACE中，AE==，∴“等周径”长为③当∴“等周径”经过点B时，直线l交AC于点E，设AE=x，则CE=4-x，由题意：3+4-x=5+x，解得：x=1，∴CE=3，在Rt△BCE中，BE==∴“等周径”长为本题考查了勾股定理的应用和分类讨论思想，关键是分三种情况进行讨论．25．把两个同样大小含45︒角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A ，且另外三个锐角顶点B ，C ，D 在同一直线上．若4AB =，则CD =____．【答案】【分析】作AF BC ⊥于F ，根据等腰直角三角形的性质求出AF ，BF ，CF ，在Rt ABC ∆中根据勾股定理求出BC ，得到AD ，在Rt ADF ∆中，根据勾股定理求出DF ，即可得CD ．【详解】过点A 作AF BC ⊥于点F ，在Rt ABC ∆中，45B ∠=︒，∴4AB AC ==，∴BC =，BF CF AF ===，∵两个同样大小的含45°角的三角尺，∴AD BC ==DF ==∴CD FD FC =-=，故答案为：【点睛】本题考查的是勾股定理，等腰直角三角形的性质，掌握勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键．26．如图，矩形ABCD 中，3AD =，2AB =．点E 是AB 的中点，点F 是BC 边上的任意一点（不与B 、C 重合），EBF △沿EF 翻折，点B 落在B '处，当DB '的长度最小时，BF 的长度为______．【答案】13+【分析】先确定当D ，B '，E 共线时，DB '的值最小，再根据勾股定理解题．【详解】如图，连接DE ，∴1DB '≥，∴当D ，B '，E 共线时，DB '的值最小，不妨设此时点B '落在DE 上的点B ''处，设BF F B x ''''==，∵22222F D CD F C B D B F '''''''=+=+，∴())2222231x x +-=-+，解得13x =．故答案为：13．【点睛】本道题考查了两点之间，线段最短、勾股定理(在直角三角形中，两直角边的平方之和等于斜边的平方)．解题的关键是确定当D ，B '，E 共线时，DB '的值最小．27．如图，矩形ABCD 中，6AB =，4=AD ，E ，F ，Q 分别是AD 和BC 、DC 的中点，P 是EF 上的点，则PD PQ +的最小值为________．【答案】5【分析】取AB 的中点为'Q ，连接'DQ 交EF 于点P'，则PD PQ +的最小值转为两点之间的距离最短，利用勾股定理求解．【详解】小值，如下图：由图可知，'''P Q P Q =，''''PD PQ DP P Q DQ ∴+=+=，在'Rt DQQ 中，13,'42DQ AB QQ AD ====，'5DQ ∴==，由两点之间的距离最短即，PD PQ +的最小值为5，故答案是：5．【点睛】本题考查了动点问题，涉及到勾股定理的使用，解题的关键是把PD PQ +转换为两点之间的距离最短来求解，运用转换的思想．28．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，点E 是AB 边上一点．将△CEB 沿直线CE 折叠到△CEF ，使点B 与点F 重合．当CF ⊥AB 时，线段EB 的长为_____．【分析】设CF 与AB 交于点H ，利用勾股定理求出AB ，利用面积法求出CH ，求出HF 和BH ，设BE =EF =x ，在△EHF 中利用勾股定理列出方程，解之即可．【详解】解：设CF 与AB 交于点H ，∵∠ACB =90°，AC =3，BC =4，∴AB =5，∴S △ABC =1122AC BC AB CH ⨯⨯=⨯⨯，即345CH ⨯=⨯，∴CH =125，由折叠可知：CF =CB =4，∴HF =CF -CH =85，在△BCH 中，BH 165=，设BE =EF =x ，则EH =165-x ，在△EHF 中，222EH FH EF +=，∴22216855x x ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：x =2，∴EB =2，故答案为：2．【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，解题的关键是利用折叠的性质得到相等线段，利用勾股定理列出方程．29．在平面直角坐标系中，己知y轴上一点B，A为x轴上的一动点，连接AB，的最小值是________．以AB为边作等边ABC如图所示，连接OC，则BC OC【答案】3【分析】作等边△BOD，构造出△BAO≌△BCD，从而得到∠BDC＝∠AOB＝90°，找到点C的运动轨迹为直线CD，延长BD交y轴于点B′，利用已知条件可证明直线CD就是线段BB′的中垂线，从而BC+OC=B'C+OC，而O、C、B'三点共线时，B'C+OC的值最小，最小值为OB'的长．【详解】解：如图所示，在第二象限以OB为边长作等边△BOD，连接OD，并作直线BD，延∵等边△ABC 、等边△BOD∴AB ＝BC ，BO ＝BD ，∠CBA ＝∠OBD ＝60°∴∠OBA ＝∠CBD在△BAO 和△BCD 中BO BD BA BC OBA DBC =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BAO ≌△BCD （SAS ）∴∠AOB ＝∠BDC ＝90°∴CD ⊥BD∴点C 随着点B 的运动形成的图形是直线CD∵∠BOB '＝90°，∠OBD ＝60°∴∠BB 'O ＝30°∴OB ＝12BB '∴BD ＝OB ＝12BB '∴点D 是BB '的中点∴CD 是BB '的中垂线∴BC ＝B ′C∴BC +OC ＝B 'C +OC又∵点C 在直线CD 上运动，所以点O 、C 、B '三点共线时，B 'C +OC 的值最小，最小值为OB '的长．在R △BOB '中，∠BOB '＝90°，∠OBD ＝60°，OB BB，OB ′3=，∴BC +OC 的最小值为3．故答案为3．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、利用轴对称求最短线路．这里构造三角形全等找到点C 的运动轨迹是关键．30．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，4BC AC ==，M 为AB 中点，D 是射线BC 上的一动点，连接AD ，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90︒得到线段AE ，连接ED 、ME ，点D 在运动过程中ME 的最小值为_______．【答案】2【分析】连接EB ，过点M 作MG EB ⊥于点G ，过点A 作AK AB ⊥交BD 的延长线于点K ，则AKB △是等腰直角三角形．推出ADK ABE ≅△△，根据全等三角形的性质得到【详解】解：连接EB ，过点M 作MG EB ⊥于点G ，过点A 作AK AB ⊥交BD 的延长线于点K ，则AKB △是等腰直角三角形．在ADK △与ABE △中，AK AB KAD BAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ADK ABE ASA ≅ ，∴45ABE K ∠=∠=︒，∴BMG △是等腰直角三角形，∵4BC =，∴AB =∵M 为AB 中点，∴MB =∴2MG =，∵90G ∠=︒，∴ME MG ≥，∴当ME MG =时，ME 的值最小，∴2ME BE ==.故答案为：2．【点睛】本题考查了旋转的性质和等腰直角三角形的性质、三角形全等的性质和判定，证明线段最短有一定的难度．但通过构造全等三角形，利用全等三角形和等腰直角三角形的性质就变得容易．31．已知，有一个井泵如图1所示，它的一个纵向截面如图2，当活塞EF向上移动时，底面BC上的阀门打开，EF上的阀门关闭，外部液体被吸入活塞下方的空间内，活塞EF上方的液体被上推；当活塞EF向下移动时，BC上的阀门关闭，EF上的阀门打开，液体从活塞EF下方空间被压入活塞内EF上方空间．在图2中，点J在直径AD上，水泵底面直径BC＝10cm，活塞直径EF∥BC，G为EF中点．手柄IH支撑杆ID长cm，弧JI是直径为的半圆，连轴JG的长为25cm，（点C，D，F，I四点共线，J，I，H三点共线，水泵材质厚度忽略不计），则DF＝_____cm，当手柄IH从图2位置按压到与CD重合（如图3）过程中井泵的最大出水量是_____cm3．【答案】GM=DF，在直角△IJD中由勾股定理可计算出JD，从而可得MJ，然后在直角△GMJ 中，由勾股定理可求得GM，进而求得DF的长；当手柄IH从图2位置按压到与CD重合（如图3）过程中，点J上升的最大高度为JD=ID+IJ，从而EF的最大上升高度也为JD，此时最大出水量为一个圆柱的体积，圆柱的高为JD的长，底面直径为10cm，所以可求得其体积．【详解】（1）如图，连接AD，过点G作GM⊥AD于点M，则M为AD的中点，且四边形MGFD为矩形，所以有DF=MG，MD=GF=152EF=cm∵ID⊥AD，ID=cm，IJ=∴由勾股定理得：6JD===(cm)∴MJ=JD−MD=6-5=1(cm)在Rt△GMJ中，由勾股定理得：GM===(cm)∴DF=cm当手柄IH从图2位置按压到与CD重合（如图3）过程中，点J上升的最大高度为JD=ID+IJ==(cm)，相应地EF也随之上升的最大高度为cm，此时井泵的最大出水量是一个底面直径为10cm高为的圆柱的体积．2V π=⨯⨯= ⎪⎝⎭(cm 3)故答案为：；【点睛】本题主要考查了解直角三角形在实际中的应用，第二问的关键是明白点J 上升的最大垂直高度为图3中JD 的长度，即为EF 上升的最大高度，从而可求出此时的最大出水量，且这个出水量是底面直径为10cm ，高为JD 的圆柱的体积．32．如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ABC ＝90°．点E 是BC 上的一点，D 为AC 中点，连接ED ，将△CED 沿ED 翻折，得到△EDC ′，连接AC ′，BC ′．若DC ′⊥AB ，AC ′＝2，则△ABC 的面积为_____．【答案】4+【分析】设AB 与C′D 交于O 点，根据等腰直角三角形以及折叠找到三角形AOC ′的三边关系利用勾股定理计算即可.【详解】∴DB=DC=DA ，∠BAD =45°∵将△CED 沿ED 翻折，得到△EDC ′，∴DC=DC′设DB=DC=DA=DC′=x∵DC ′⊥AB∴△AOD 是等腰直角三角形∴22OA OD x ===∴C C O O D x x D ==''-在Rt △AOC ′中，222C OA O AC +=''∵AC ′＝2∴222())2x +=解得24x =+∴2142ABC S BD AC x =⋅==+V 故答案为4+【点睛】本题综合考察勾股定理与等腰直角三角形，解题过程中与二次根式有关的运算也是解题的关键.33．如图，在Rt ABC 的纸片中，∠C ＝90°，AC ＝7，AB ＝25．点D 在边BC 上，以AD 为折痕将 ADB 折叠得到ADB ' ，AB '与边BC 交于点E ．若DEB '△为直角三角形，则BD 的长是_____．【答案】17或754【分析】由勾股定理可以求出BC 的长，由折叠可知对应边相等，对应角相等，当DEB ∆'为直角三角形时，可以分为两种情况进行考虑，分别利用勾股定理可求出BD 的长．【详解】解：在Rt ABC ∆中，24BC =，（1）当90EDB ∠'=︒时，如图1，过点B ′作B F AC '⊥，交AC 的延长线于点F ，由折叠得：25AB AB ='=，BD B D CF ='=，设BD x =，则B D CF x '==，24B F CD x '==-，在Rt AFB ∆'中，由勾股定理得：222(7)(24)25x x ++-=，即：2170x x -=，解得：10x =（舍去），217x =，因此，17BD =．由折叠得：25AB AB ='=，则25718B C '=-=，设BD x =，则B D x '=，24CD x =-，在Rt △B CD ¢中，由勾股定理得：222(24)18x x -+=，解得：754x =，因此754BD =．故答案为：17或754．【点睛】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是：分类讨论思想的应用注意分类的原则是不遗漏、不重复．34．如图，Rt ACB △中，90ACB ∠=︒，ACB △的角平分线AD ，BE 相交于点P ，过P 作PF AD ⊥交BC 的延长线于点F ，交AC 于点H ，则下列结论：①135APB ∠=︒；②DH =；③APH ADE S S =△△；④DH 平分CDE ∠；其中正确的结论是___________．（填正确结论的序号）【答案】①②③【分析】（ASA ）与△APH ≌△FPD （ASA ），结合90,HPD ∠=︒可判断②，由△ABP ≌△FBP ，△APH ≌△FPD ，可得S △APB =S △FPB ，S △APH =S △FPD ，再证明HD ∥EP ，可判断③，若DH 平分∠CDE ，推导DE ∥AB ，这个显然与条件矛盾，可判断④；【详解】解：在△ABC 中，∵∠ACB =90°，∴90BAC ABC ∠+∠=︒，又∵AD 、BE 分别平分∠BAC 、∠ABC ，∴∠BAD +∠ABE =190452窗=，∴∠APB =135°，故①正确．∴∠BPD =45°，又∵PF ⊥AD ，∴∠FPB =90°+45°=135°，∴∠APB =∠FPB ，又∵∠ABP =∠FBP ，BP =BP ，∴△ABP ≌△FBP （ASA ），∴∠BAP =∠BFP ，AB =FB ，PA =PF ，,BAD CAD ∠=∠ ,PAH PFD ∴∠=∠在△APH 和△FPD 中，90APH FPD PA PF PAH PFD ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，。
专题一 规律探索题(可编辑PPT)
当堂巩固 1.(2018·四川绵阳)将全体正奇数排成一个三角形数阵: 1 35 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 …… 根据以上排列规律,数阵中第25行的第20个数是 ( A ) A.639 B.637 C.635 D.633
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类型二 图形的规律
题型特点 试题要求根据题目中的图形,分析、归纳或直观地发现共同特征或发展变化 的趋势,据此去预测、估计规律或者其他相关结论,有些题目需要直观猜想和 科学论证、具体应用相结合,解题的方法也更为灵活多样. 方法规律 探索图形的变化规律,有多种方法,一般要注重数形结合,找出图形与数字之 间的联系,或找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的,然后利用规 律求解.
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11、越是没有本领的就越加自命不凡 。21.8.6 17:14:0 317:14 Aug-21 6-Aug-2 1
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12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人 的错儿 。17:14: 0317:1 4:0317: 14Frida y, August 06, 2021
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13、知人者智，自知者明。胜人者有 力，自 胜者强 。21.8.6 21.8.61 7:14:03 17:14:0 3Augus t 6, 2021
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解题策略 灵活应用观察、测量、移动、比较、类比、验证等解题方法解决问题,体会 数学思想方法的应用,学会从特殊到一般的探究方法.
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典例2(2018·重庆A卷)把三角形按如图所示的规律拼图案,其中第①个图案中 有4个三角形,第②个图案中有6个三角形,第③个图案中有8个三角形,……,按 此规律排列下去,则第⑦个图案中三角形的个数为 ( C )
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17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。下 午5时14 分3秒 下午5时 14分17 :14:032 1.8.6
专题一 规律探索题(可编辑word)
专题一规律探索题类型一数式的规律1.(2019·湖北武汉)将正整数1至2 018按一定规律排列如下表:1 2 3 4 5 6 7 89 1015 1617 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32……要练说，得练看。
看与说是统一的，看不准就难以说得练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、自然的活动中，积累词汇、理解词义、发展语言。
在运用观察法组织活动时，我着眼观观察对象的选择，着力于观察过程的指导，着重于幼儿观察能力和语言表达能力的提高。
平移表中带阴影的方框,方框中三个数的和可能是()A.2 019B.2 018C.2 016D.2 0132.(2019·百校联考四)如图为一列有规律的式子,则可猜想第n个式子是.2×0+1=12,4×2+1=32,8×6+1=72,16×14+1=152,语文课本中的文章都是精选的比较优秀的文章,还有不少名家名篇。
如果有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、精彩段落,对提高学生的水平会大有裨益。
现在,不少语文教师在分析课文时,把文章解体的支离破碎,总在文章的技巧方面下功夫。
结果教师费劲,学生头疼。
分析完之后,学生收效甚微,没过几天便忘的一干二净。
造成这种事倍功半的尴尬局面的关键就是对文章读的不熟。
常言道“书读百遍,其义自见”,如果有目的、有计划地引导学生反复阅读课文,或细读、默读、跳读,或听读、范读、轮读、分角色朗读,学生便可以在读中自然领悟文章的思想内容和写作技巧,可以在读中自然加强语感,增强语言的感受力。
久而久之,这种思想内容、写作技巧和语感就会自然渗透到学生的语言意识之中,就会在写作中自觉不自觉地加以运用、创造和发展。
32×30+1=312,3.观察下列运算过程:与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。
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专题一：规律探索题研究【题型导引】题型一：点坐标规律（1）与变换相关的点的规律探寻；（2）与函数相关的点的规律探寻；（3）与其它因素相关的点的规律探寻等。
题型二：数字规律（1）数学文化知识的拓展探寻数字规律；（2）与特殊图形引发的数字规律探寻；（3）与变换过程中的数字规律探寻。
题型三：图形规律（1）与变换相关的图形规律；（2）不同操作形成的规律性图形研究；【典例解析】类型一：点坐标规律例题1：（2019•湖北省鄂州市•3分）如图，在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3…A n在x轴上，B1、B2、B3…B n在直线y＝33x上，若A1（1，0），且△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1、S2、S3…S n．则S n可表示为（）A．22n3B．22n﹣13C．22n﹣23D．22n﹣33【解答】解：∵△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形，∴A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥A n B n，B1A2∥B2A3∥B3A4∥…∥B n A n+1，△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形，∵直线y 3与x轴的成角∠B1OA1＝30°，∠OA1B1＝120°，∴∠OB1A1＝30°，∴OA1＝A1B1，∵A1（1，0），∴A1B1＝1，同理∠OB2A2＝30°，…，∠OB n A n＝30°，∴B2A2＝OA2＝2，B3A3＝4，…，B n A n＝2n﹣1，易得∠OB1A2＝90°，…，∠OB n A n+1＝90°，∴B1B2＝3，B2B3＝2 3，…，B n B n+1＝2n3，∴S1＝12×1×3＝32，S2＝12×2×23＝2 3，…，S n＝12×2n﹣1×2n3＝；故选：D．技法归纳：探索点的坐标变化规律时要注意：①逐一求出(或用字母表示出)相应点的坐标，直到探索出点的坐标变化规律为止；②确定起始点找到探寻方向；③抓住问题的关键点等；④探求出统一的表示形式．类型二：数式规律例题2：（2019•四川省达州市•3分）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为＝﹣1，﹣1的差倒数＝，已知a1＝5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数…，依此类推，a2019的值是（）A．5 B．﹣C．D．【解答】解：∵a1＝5，a2＝＝＝﹣，a3＝＝＝，a4＝＝＝5，…∴数列以5，﹣，三个数依次不断循环，∵2019÷3＝673，∴a2019＝a3＝，故选：D ．技法归纳：(1)对于不是循环而有规律排列的数或式，根据前后数或式之间的关系，找出其与序列数n 之间的关系，探求其一般表达式；(2)对于循环产生的数或式，先找到其循环周期；(3)对于数阵的规律问题，先求出每行和每列的个数，并观察相邻数据的变化特点，进而得到该行或该列上的数与行列序数的关系． 第一步：标序数；第二步：对比式子与序号，即分别比较等式中各部分与序数(1，2，3，4，…，n)之间的关系，把其蕴含的规律用含序数的式子表示出来，通常方法是将式子进行拆分，观察式子中数字与序号是否存在倍数或者次方的关系；第三步：根据找出的规律得出第n 个等式，并进行检验． 类型三：图形规律例题3：(2017·绥化中考)如图，顺次连接腰长为2的等腰直角三角形各边中点得到第1个小三角形，再顺次连接所得的小三角形各边中点得到第2个小三角形，如此操作下去，则第n 个小三角形的面积为 ．【解析】记原来三角形的面积为S ，第一个小三角形的面积为S 1，第二个小三角形的面积为S 2，…. ∵S 1＝14·S＝122·S，S 2＝14·14S ＝124·S，S 3＝126·S，∴S n ＝122n ·S＝122n ·12·2·2＝122n －1.故答案为122n －1. 技法归纳：首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解． 【变式训练】1. (2018·成都中考)已知a ＞0，S 1＝1a ，S 2＝－S 1－1，S 3＝1S 2，S 4＝－S 3－1，S 5＝1S 4，…(即当n 为大于1的奇数时，S n ＝1S n －1；当n 为大于1的偶数时，S n ＝－S n －1－1)，按此规律，S 2 018＝ ．【解析】∵S 1＝1a ，S 2＝－S 1－1＝－1a －1＝－a ＋1a ，S 3＝1S 2＝－a a ＋1，S 4＝－S 3－1＝a a ＋1－1＝－1a ＋1，S 5＝1S 4＝－(a ＋1)，S 6＝－S 5－1＝(a ＋1)－1＝a ，S 7＝1S 6＝1a ，…，∴S n 的值每6个一循环．∵2 018＝336×6＋2，∴S 2 018＝S 2＝－a ＋1a.故答案为－a ＋1a.2. (2018·安徽中考)观察以下等式： 第1个等式：11＋02＋11×02＝1，第2个等式：12＋13＋12×13＝1，第3个等式：13＋24＋13×24＝1，第4个等式：14＋35＋14×35＝1，第5个等式：15＋46＋15×46＝1，…按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式： ；(2)写出你猜想的第n 个等式： (用含n 的等式表示)，并证明． 【解析】：(1)16＋57＋16×57＝1(2)根据题意，第n 个分式分母分别为n 和n ＋1，分子分别为1和n －1， 故答案为1n ＋n －1n ＋1＋1n ×n －1n ＋1＝1.证明：1n ＋n －1n ＋1＋1n ×n －1n ＋1＝n ＋1＋n （n －1）＋（n －1）n （n ＋1）＝n 2＋n n （n ＋1）＝1，∴等式成立．3. （2019•四川省广安市•3分）如图，在平面直角坐标系中，点A 1的坐标为（1，0），以OA 1为直角边作Rt△OA 1A 2，并使∠A 1OA 2＝60°，再以OA 2为直角边作Rt△OA 2A 3，并使∠A 2OA 3＝60°，再以OA 3为直角边作Rt△OA 3A 4，并使∠A 3OA 4＝60°…按此规律进行下去，则点A 2019的坐标为 （﹣22017，220173） ．【解答】解：由题意得， A 1的坐标为（1，0），A2的坐标为（1，A3的坐标为（﹣2，，A4的坐标为（﹣8，0），A5的坐标为（﹣8，﹣），A6的坐标为（16，﹣），A7的坐标为（64，0），…由上可知，A点的方位是每6个循环，与第一点方位相同的点在x正半轴上，其横坐标为2n﹣1，其纵坐标为0，与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为2n﹣，与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为2n﹣，与第四点方位相同的点在x负半轴上，其横坐标为﹣2n﹣1，纵坐标为0，与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣，与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣，∵2019÷6＝336…3，∴点A2019的方位与点A23的方位相同，在第二象限内，其横坐标为﹣2n﹣2＝﹣22017，纵坐标为2，故答案为：（﹣22017，2）．4. (2018·滨州中考)观察下列各式：1＋112＋122＝1＋11×2，1＋122＋132＝1＋12×3，1＋132＋142＝1＋13×4，…请利用你所发现的规律，计算1＋112＋122＋1＋122＋132＋1＋132＋142＋ (1)192＋1102，其结果为．【解析】1＋112＋122＋1＋122＋132＋1＋132＋142 ＋…＋1＋192＋1102 ＝1＋11×2＋1＋12×3＋1＋13×4＋…＋1＋19×10＝1×9＋1－12＋12－13＋13－14＋…＋19－110＝9＋1－110＝9910. 故答案为9910.5. (2019•湖南益阳•4分)观察下列等式： ①3－22＝(2－1)2，②5－62＝(3－2)2，③7－122＝(4－3)2，…请你根据以上规律，写出第6个等式 ． 【解答】解：写出第6个等式为13－242＝2(76)- 故答案为13－242＝2(76)-6. （2019•黑龙江省齐齐哈尔市•3分）如图，直线l ：y ＝x+1分别交x 轴、y 轴于点A 和点A 1，过点A 1作A 1B 1⊥l ，交x 轴于点B 1，过点B 1作B 1A 2⊥x 轴，交直线l 于点A 2；过点A 2作A 2B 2⊥l ，交x 轴于点B 2，过点B 2作B 2A 3⊥x 轴，交直线l 于点A 3，依此规律…，若图中阴影△A 1OB 1的面积为S 1，阴影△A 2B 1B 2的面积为S 2，阴影△A 3B 2B 3的面积为S 3…，则S n ＝ ．【解答】解：直线l ：y ＝x+1，当x ＝0时，y ＝1；当y ＝0时，x ＝﹣∴A（﹣，0）A1（0，1）∴∠OAA1＝30°又∵A1B1⊥l，∴∠OA1B1＝30°，在Rt△OA1B1中，OB1＝•OA1＝，∴S1＝；同理可求出：A2B1＝，B1B2＝，∴S2＝＝＝；依次可求出：S3＝；S4＝；S5＝……因此：S n＝故答案为：．7. （2019•山东潍坊•3分）如图所示，在平面直角坐标系xoy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线，l0，l1，l2，l3，…都与x轴垂直，相邻两直线的间距为l，其中l0与y轴重合若半径为2的圆与l1在第一象限内交于点P1，半径为3的圆与l2在第一象限内交于点P2，…，半径为n+1的圆与l n在第一象限内交于点P n，则点P n的坐标为．（n为正整数）【解答】解：连接OP 1，OP 2，OP 3，l 1、l 2、l 3与x 轴分别交于A 1、A 2、A 3，如图所示： 在Rt△OA 1P 1中，OA 1＝1，OP 1＝2， ∴A 1P 1＝2211OP OA -＝2221-＝3，同理：A 2P 2＝2232-＝5，A 3P 3＝2243-＝7，……，∴P 1的坐标为（ 1，3），P 2的坐标为（ 2，5），P 3的坐标为（3，7），……， …按照此规律可得点P n 的坐标是（n ，22(1)n n +-），即（n ，21n +） 故答案为：（n ，21n +）．8. （2019•四川省达州市•11分）箭头四角形 模型规律如图1，延长CO 交AB 于点D ，则∠BOC ＝∠1+∠B ＝∠A+∠C+∠B ．因为凹四边形ABOC 形似箭头，其四角具有“∠BOC ＝∠A+∠B+∠C ”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”． 模型应用（1）直接应用：①如图2，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F ＝ 2α ．②如图3，∠ABE 、∠ACE 的2等分线（即角平分线）BF 、CF 交于点F ，已知∠BEC ＝120°，∠BAC ＝50°，则∠BFC ＝ 85° ．③如图4，BO i 、CO i 分别为∠ABO 、∠ACO 的2019等分线（i ＝1，2，3，…，2017，2018）．它们的交点从上到下依次为O 1、O 2、O 3、…、O 2018．已知∠BOC ＝m °，∠BAC ＝n °，则∠BO 1000C ＝ （m+n ） 度．（2）拓展应用：如图5，在四边形ABCD 中，BC ＝CD ，∠BCD ＝2∠BAD ．O 是四边形ABCD 内一点，且OA ＝OB ＝OD ．求证：四边形OBCD 是菱形．【解答】解：（1）①如图2，在凹四边形ABOC中，∠A+∠B+∠C＝∠BOC＝α，在凹四边形DOEF中，∠D+∠E+∠F＝∠DOE＝α，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝2α；②如图3，∵∠BEC＝∠EBF+∠ECF+∠F，∠F＝∠ABF+∠ACF+∠A，且∠EBF＝∠ABF，∠ECF＝∠ACF，∴∠BEC＝∠F﹣∠A+∠F，∴∠F＝，∵∠BEC＝120°，∠BAC＝50°，∴∠F＝85°；③如图3，由题意知∠ABO1000＝∠ABO，∠OBO1000＝∠ABO，∠ACO1000＝∠ACO，∠OCO1000＝∠ACO，∴∠BOC＝∠OBO1000+∠OCO1000+∠BO1000C＝（∠ABO+∠ACO）+∠BO1000C，∠BO1000C＝∠ABO1000+∠ACO1000+∠BAC＝（∠ABO+∠ACO）+∠BAC，则∠ABO+∠ACO＝（∠BO1000C﹣∠BAC），代入∠BOC＝（∠ABO+∠ACO）+∠BO1000C得∠BOC＝×（∠BO1000C﹣∠BAC）+∠BO1000C，解得：∠BO1000C＝（∠BOC+∠BAC）＝∠BOC+∠BAC，∵∠BOC＝m°，∠BAC＝n°，∴∠BO1000C＝m°+n°；故答案为：①2α；②85°；③（m+n）；（2）如图5，连接OC，∵OA＝OB＝OD，∴∠OAB＝∠OBA，∠OAD＝∠ODA，∴∠BOD＝∠BAD+∠ABO+∠ADO＝2∠BAD，∵∠BCD＝2∠BAD，∴∠BCD＝∠BOD，∵BC＝CD，OA＝OB＝OD，OC是公共边，∴△OBC≌△ODC（SSS），∴∠BOC＝∠DOC，∠BCO＝∠DCO，∵∠BOD＝∠BOC+∠DOC，∠BCD＝∠BCO+∠DCO，∴∠BOC ＝∠BOD，∠BCO ＝∠BCD，又∠BOD＝∠BCD，∴∠BOC＝∠BCO，∴BO＝BC，又OB＝OD，BC＝CD，∴OB＝BC＝CD＝DO，∴四边形OBCD是菱形．。