专题01 规律探索题研究(解析版)

专题一：规律探索题研究

【题型导引】

题型一：点坐标规律

（1）与变换相关的点的规律探寻；（2）与函数相关的点的规律探寻；（3）与其它因素相关的点的规律探寻等。

题型二：数字规律

（1）数学文化知识的拓展探寻数字规律；（2）与特殊图形引发的数字规律探寻；（3）与变换过程中的数字规律探寻。

题型三：图形规律

（1）与变换相关的图形规律；（2）不同操作形成的规律性图形研究；

【典例解析】

类型一：点坐标规律

例题1：（2019•湖北省鄂州市•3分）如图，在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3…A n在x轴上，B1、B2、B3…B n

在直线y＝

3

3

x上，若A1（1，0），且△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形，从左到右的小三角形

（阴影部分）的面积分别记为S1、S2、S3…S n．则S n可表示为（）

A．22n3B．22n﹣13C．22n﹣23D．22n﹣33

【解答】解：∵△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形，

∴A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥A n B n，B1A2∥B2A3∥B3A4∥…∥B n A n+1，△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形，

∵直线y 3

与x轴的成角∠B1OA1＝30°，∠OA1B1＝120°，

∴∠OB1A1＝30°，

∴OA1＝A1B1，

∵A1（1，0），

∴A1B1＝1，

同理∠OB2A2＝30°，…，∠OB n A n＝30°，

∴B2A2＝OA2＝2，B3A3＝4，…，B n A n＝2n﹣1，

易得∠OB1A2＝90°，…，∠OB n A n+1＝90°，

∴B1B2＝3，B2B3＝2 3，…，B n B n+1＝2n3，

∴S1＝1

2

×1×3＝

3

2

，S2＝

1

2

×2×23＝2 3，…，S n＝

1

2

×2n﹣1×2n3＝；

故选：D．

技法归纳：探索点的坐标变化规律时要注意：①逐一求出(或用字母表示出)相应点的坐标，直到探索出点的坐标变化规律为止；②确定起始点找到探寻方向；③抓住问题的关键点等；④探求出统一的表示形式．类型二：数式规律

例题2：（2019•四川省达州市•3分）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为＝﹣1，﹣1的差倒数＝，已知a1＝5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数…，依此类推，a2019的值是（）

A．5 B．﹣C．D．

【解答】解：∵a1＝5，

a2＝＝＝﹣，

a3＝＝＝，

a4＝＝＝5，

…

∴数列以5，﹣，三个数依次不断循环，

∵2019÷3＝673，

∴a2019＝a3＝，

故选：D ．

技法归纳：(1)对于不是循环而有规律排列的数或式，根据前后数或式之间的关系，找出其与序列数n 之间的关系，探求其一般表达式；(2)对于循环产生的数或式，先找到其循环周期；(3)对于数阵的规律问题，先求出每行和每列的个数，并观察相邻数据的变化特点，进而得到该行或该列上的数与行列序数的关系． 第一步：标序数；第二步：对比式子与序号，即分别比较等式中各部分与序数(1，2，3，4，…，n)之间的关系，把其蕴含的规律用含序数的式子表示出来，通常方法是将式子进行拆分，观察式子中数字与序号是否存在倍数或者次方的关系；第三步：根据找出的规律得出第n 个等式，并进行检验． 类型三：图形规律

例题3：(2017·绥化中考)如图，顺次连接腰长为2的等腰直角三角形各边中点得到第1个小三角形，再顺次连接所得的小三角形各边中点得到第2个小三角形，如此操作下去，则第n 个小三角形的面积为 ．

【解析】记原来三角形的面积为S ，第一个小三角形的面积为S 1，第二个小三角形的面积为S 2，…. ∵S 1＝14·S＝122·S，S 2＝14·14S ＝1

24·S，

S 3＝1

26·S，

∴S n ＝

122n ·S＝122n ·12·2·2＝122n －1.故答案为12

2n －1. 技法归纳：首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解． 【变式训练】

1. (2018·成都中考)已知a ＞0，S 1＝1a ，S 2＝－S 1－1，S 3＝1S 2，S 4＝－S 3－1，S 5＝1

S 4，…(即当n 为大于1的

奇数时，S n ＝1

S n －1

；当n 为大于1的偶数时，S n ＝－S n －1－1)，按此规律，S 2 018＝ ．

【解析】∵S 1＝1a ，S 2＝－S 1－1＝－1a －1＝－a ＋1a ，S 3＝1S 2＝－a a ＋1，S 4＝－S 3－1＝a a ＋1－1＝－1a ＋1，S 5＝

1

S 4＝－(a ＋1)，S 6＝－S 5－1＝(a ＋1)－1＝a ，S 7＝1S 6＝1

a ，…，

∴S n 的值每6个一循环．

∵2 018＝336×6＋2，∴S 2 018＝S 2＝－a ＋1

a

.

故答案为－a ＋1

a

.

2. (2018·安徽中考)观察以下等式： 第1个等式：11＋02＋11×0

2＝1，

第2个等式：12＋13＋12×1

3＝1，

第3个等式：13＋24＋13×2

4＝1，

第4个等式：14＋35＋14×3

5＝1，

第5个等式：15＋46＋15×4

6＝1，

…

按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式： ；

(2)写出你猜想的第n 个等式： (用含n 的等式表示)，并证明． 【解析】：(1)16＋57＋16×5

7

＝1

(2)根据题意，第n 个分式分母分别为n 和n ＋1，分子分别为1和n －1， 故答案为1n ＋n －1n ＋1＋1n ×n －1

n ＋1

＝1.

证明：1n ＋n －1n ＋1＋1n ×n －1n ＋1＝n ＋1＋n （n －1）＋（n －1）n （n ＋1）＝n 2

＋n n （n ＋1）

＝1，∴等式成立．

3. （2019•四川省广安市•3分）如图，在平面直角坐标系中，点A 1的坐标为（1，0），以OA 1为直角边作Rt△OA 1A 2，并使∠A 1OA 2＝60°，再以OA 2为直角边作Rt△OA 2A 3，并使∠A 2OA 3＝60°，再以OA 3为直角边作Rt△OA 3A 4，并使∠A 3OA 4＝60°…按此规律进行下去，则点A 2019的坐标为 （﹣2

2017，2

2017

3） ．

【解答】解：由题意得， A 1的坐标为（1，0），