线面平行证明的常用方法
线面平行证明常用方法
线面平行证明的常用方法方法一：两平行线能确定一个平面，过已知直线的两个端点作两条平行线使它们与已知平面相交，关键：找平行线，使得所作平面与已知平面的交线。
（08浙江卷）如图,矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE//CF ，∠BCF=∠CEF=︒90,AD=3,EF=2。
求证：AE//平面DCF.分析：过点E 作EG//AD 交FC 于G ， DG与平面DCF 的交线，那么只要证明AE//DG证明：过点E 作EG CF ⊥交CF 于G ，连结DG 可得四边形BCGE为矩形， 又ABCD 为矩形，所以AD EG ∥，从而四边形ADGE 故AE DG ∥．因为AE ⊄平面DCF ，DG ⊂平面DCF ，所以AE ∥平面DCF ．方法二：直线与直线外一点有且仅有一个平面，关键：找第三个点,使得所作平面与已知平面的交线。
（06北京卷）如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且PA AB =，点E 是PD 的中点.求证：//PB 平面AEC .分析：由D 、P 、B 三点的平面与已知平面AEC 的交线最易找，第三个点选其它的点均不好找交线.证明：连接BD ，与 AC 相交于 O ，连接 ∵ABCD 是平行四边形， ∴O 是 BD 的中点又 E 是 PD 的中点 ∴EO ∥PB.又 PB ∉平面 AEC ，EO ⊂平面 AEC ， ∴PB ∥平面 AEC.方法三：两个平面是平行, 其中一个平面内的直线和另一个平面平行,关键：作平行平面，使得过所证直线作与已知平面平行的平面（０８安徽卷）如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形，4ABC π∠=,OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点，N 为BC 的中点，证明：直线MN OCD 平面‖分析：M 为OA 的中点,找OA(或AD)中点,再连线。
证明：取OB 中点E ，连接ME ，NEME CD ME CD ∴，‖AB,AB ‖‖又,NE OC MNE OCD ∴平面平面‖‖MN OCD ∴平面‖。
证明两条直线平行的六种方法
证明两条直线平行的六种方法1 斜率法斜率法是最常用的证明两条直线平行的方法，即如果两条直线的斜率相等，则它们是平行的，否则不是平行的。
斜率的计算方法为$斜率=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$，其中$y_2$和$y_1$分别代表两条直线上两点的纵坐标，$x_2$和$x_1$代表两条直线上两点的横坐标。
从上式可以看出，如果$斜率_1=斜率_2$，则此时两条直线平行。
2 线性方程法如果两条直线对应的线性方程相同，则它们是平行的。
根据直线的线性方程可以得出$y=kx+b$，其中$k$表示斜率，$b$为常数。
如果$k_1=k_2$，则此时两条线是平行的。
3 向量法如果两条直线对应的向量齐平，则它们是平行的。
证明两条直线平行则可以将它们对应的向量做点积，如果此时点积为零，则它们是平行的。
4 极坐标法极坐标法是指若两条直线的极角相同，则它们是平行的。
根据极坐标可以得出$x=rsin\theta$，$y=rcos\theta$，其中$\theta$表示极角，$r$为极径，$\theta_1=\theta_2$ 则此时两条线是平行的。
5 比例法该方法是指两条直线由同一点遍及的时候，它们的另外两个坐标点的坐标的比例相等，其中的比例为$\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$，三点式为$(x_1,y_1) \ \ (x_2,y_2) \ \ (x_3,y_3)$，当$\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{y_3-y_1}{x_3-x_1}$，则它们是平行的。
6 水平角法水平角法是指当两条直线对应的水平角大小零度时，它们是平行的。
用平面直角坐标系表示，两条线分别由点$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$和$(x_3,y_3)，(x_4,y_4)$分别经过，水平角就等于$\angle{P}_3P_1P_2$与$\angle{P}_4P_1P_2$的夹角，若$\angle{P}_3P_1P_2=\angle{P}_4P_1P_2=0°$，则它们是平行的。
立体几何线面平行证明
立体几何线面平行证明要证明两个线面平行，一般可以通过以下几种方法来进行证明：方法一：使用平行线的性质假设我们有线面A和线面B，要证明A和B平行，可以通过以下步骤进行证明：1.假设线面A和线面B不平行，即存在一条线a与线面A不平行，又与线面B相交于一点P。
2.假设在线面A上存在一点Q，它与直线a上相交于一点R。
3.由于线a与线面B相交于P，所以线段PR必然属于线面B。
4.由于线a与线面A相交于R，所以线段PR必然属于线面A。
5.由于线面A和线面B都包含线段PR，所以它们必然相交。
6.这与我们的假设相矛盾，因此假设不成立，即线面A和线面B是平行的。
方法二：使用支撑面的性质假设我们有线面A和线面B，要证明A和B平行，可以通过以下步骤进行证明：1.假设在线面A上存在一条直线a，它与线面B相交于一点P。
2.过直线a作平行于线面B的平面，该平面与线面A相交于线段QR。
3.由于直线a与线面B相交于点P，所以线段PR必然属于线面B。
4.由于平面上的任意两点可以确定一条直线，所以线段QR也属于线面B。
5.因此，线段QR同时属于线面A和线面B，所以它们不是平行的。
6.这与我们的假设相矛盾，因此假设不成立，即线面A和线面B是平行的。
方法三：使用平行四边形的性质假设我们有线面A和线面B，要证明A和B平行1.假设在线面A上存在一条直线a，它与线面B相交于一点P。
2.在线面A上选择一点Q，并通过P点作一条平行于线面A的直线b。
3.连接直线a和直线b，得到平行四边形PQRD。
4.由于平行四边形的特性，相邻两边平行且长度相等，所以线段PD也是平行于线面A的，并且它必然属于线面B。
5.因此，线段PD同时属于线面A和线面B，所以它们不是平行的。
6.这与我们的假设相矛盾，因此假设不成立，即线面A和线面B是平行的。
以上三种方法是一些常用的证明线面平行的方法，根据实际问题的具体情况，可以选择适合的方法进行证明。
高中数学证明线面平行的方法
高中数学证明线面平行的方法在高中数学学习中，证明线面平行是一个常见的问题。
这个问题需要我们运用一定的数学知识和技巧，来证明两条线段或两个平面之间的平行关系。
下面介绍一些证明线面平行的方法：1. 向量法向量法是证明线面平行的常见方法。
我们可以用向量来表示线段和平面的方向，然后通过向量的内积来判断它们是否平行。
具体来说，如果两个向量的内积为0，那么它们就是垂直的；如果内积不为0，那么它们就是平行的。
例如，如果要证明直线AB与平面P平行，则可以假设向量AB和平面P的法向量n不平行。
然后计算向量AB和n的内积，如果结果为0，则AB与P垂直；如果结果不为0，则AB与P平行。
2. 三角形相似法如果两个平行线段或两个平面之间的平行关系不容易用向量法证明，可以使用三角形相似法。
具体来说，我们可以选择一个三角形，在两个平行线段或平面上各取一个点，然后通过证明两个三角形相似来证明它们平行。
例如，如果要证明平面P和平面Q平行，则可以选择一个三角形ABC，在平面P上取点A和B，在平面Q上取点C，然后证明三角形ABC和三角形ACB相似，从而得出平面P和平面Q平行的结论。
3. 平行四边形法平行四边形法是证明线段平行或平面平行的一种简单方法。
具体来说，我们可以找到一个平行四边形，其中两条边分别是要证明平行的线段或平面，然后证明它的另外两条边也平行，从而得出结论。
例如，如果要证明线段AB与线段CD平行，则可以找到一个平行四边形ABCD，其中AB和CD是相邻的两条边，AC和BD是另外两条边，然后证明AC和BD也平行，从而得出线段AB与线段CD平行的结论。
综上所述，证明线面平行的方法有很多种，我们可以根据具体情况选择合适的方法进行证明。
除了上述方法，还有投影法、反证法等方法。
大家可以尝试学习和运用这些方法，提高数学证明的能力。
线面平行的判定和证明
线面平行
一、基础知识：
线线平行⇒线面平行；面面平行⇒线面平行。
二、方法：
三角形法、平行四边形法、平行截面法。
三、典例：
（一）三角形法：在直线和平面外找一个点，作（找）这个点和直线上两个点的连线，再作（找）出两条连线与平面的交点，证明两个交点连线与已知直线平行，即可证明线面平行。
例1、如图，在正四棱锥ABCD P -中，a AB PA ==,点E 在棱PC 上。
问点E 在何处时，EBD //PA 平面，
练：
1⑴求证：A 1C
正三棱柱Ｃ＝2
C
图5
（三）平行截面法：过直线作（找）一个平面与已知平面平行，即可证明线面平行。
2、已知正方体
，O 是底面ABCD 对角线的交点。
求证：⑴
1、如图,
2、四边形
3、如图，11C 的中点。
（Ⅰ）证明：MN ∥平面11ACC A ；（Ⅱ）求三棱锥MNC A 1-的体积。
E
C 1
A
B
C
M
N
A 1
B 1
4、如图，在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB=1，PA=2。
（I）证明：直线CE∥平面PAB；（Ⅱ）求三棱锥E-PAC的体积。
5
AD
6、如图，在DM
C P
A
B
D
E。
总结证明线面平行的常用方法
BC DA 1B 1C 1D 1图２AFE GαabA图1总结证明线面平行的常用方法空间直线与平面平行问题是立体几何的一个重要内容，也是高考考查的重点，下面就常见的线面平行的判定方法介绍如下：方法一、反证法【例1】求证：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．（直线与平面平行的判定定理）已知：,,a b a αα⊄⊂∥b ，如图1．求证：a ∥α．【分析】要证明直线与平面平行，可以从直线与平面平行的定义入手，但从定义来看，必须说明直线与平面无公共点，这一点直接说明是困难的，但我们可以借助反正法来证明．【证明】假设直线a 与平面α不平行，又∵a α⊄，∴a A α=．下面只要说明aA α=不可能即可．∵a ∥b ，∴a ，b 可确定一平面，设为β． 又aA α=， ∴,A a A β∈∈．又b ,A αα⊂∈，∴平面α与平面β中含有相同的元素直线b ，以及不在直线b 上的点Ａ， 由公理２的推论知，平面α与平面β重合． ∴a α⊂，这与已知a α⊄相矛盾． ∴a A α=不可能．故a ∥α．方法二、判定定理法【例2】正方体1AC 中，Ｅ、G 分别为BC 、11C D 的中点，求证：EG ∥平面11BDD B 【分析】要证明EG ∥平面11BDD B ，根据线面平行的判定定理，需在平面11BDD B 内找到一条与EG 平行的直线，充分借助Ｅ、G 为中点的条件．【证明】如图２，取BD 的中点为Ｆ，连结EF ，1D F ． ∵Ｅ为BC 的中点， ∴ EF ∥CD 且12EF CD =又∵G 为11C D 的中点， ∴ 1D G ∥CD 且112D G CD =∴ EF ∥1D G ，且1EF D G =B C DA 1B 1C 1D 1AＮＭE Ｆ图３故四边形1EFD G 为平行四边形．∴ 1D F ∥EG又1D F ⊂平面11BDD B ，且EG ⊄平面11BDD B ， ∴ EG ∥平面11BDD B 【评注】根据直线与平面平行的判定定理证明直线和平面平行的关键是在平面内找到 一条直线和已知直线平行，常用到中位线定理 、平行四边形的性质、成比例线段、平行转移法、投影法等.具体应用时,应根据题目条件而定.方法三、运用面面平行的性质定理【例3】在正方体1111ABCD A B C D -中，点N 在BD 上，点M 在1B C 上，且CM DN =，求证：MN ∥平面11AA BB ．【分析】若过MN 能作一个平面与平面11AA BB 平行，则由面面平行的性质定理，可得MN 与平面11AA BB 平行．【证明】如图3，作MP ∥1BB ，交BC 与点Ｐ，联结NP ． ∵ MP ∥1BB ，∴1CM CPMB PB=． ∵1BD B C =，DN CM =，∴1B M BN =， ∵1CM DN MB NB =，∴DN CPNB PB= ∴NP ∥CD ∥AB ， ∴面MNP ∥面11AA BB ． ∴MN ∥平面11AA BB【评注】本题借助于成比例线段，证明一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行，得到这两个平面平行，进而得到线面平行，很好地体现了线面、线线、面面平行关系之间的转化思想．。
谈谈证明线面平行问题常用的几种方法
证明线面平行的问题侧重于考查同学们的空间想象能力与数学运算能力.根据直线与平面平行的定义可知，要判断直线与平面是否平行，只需判定直线与平面有没有公共点.但由于直线是无限延伸的，平面是无限延展的，因此利用定义法不易快速证明线面平行，需运用转化思想，把线面平行问题转化为线线平行问题、面面平行问题、空间向量之间的位置关系问题，利用线面平行的判定定理、面面平行的性质定理，通过空间向量运算来求解.下面谈一谈证明线面平行的三种方法.一、利用线面平行的判定定理进行证明线面平行的判定定理：如果平面外一条直线与平面内的一条直线平行，那么该直线与该平面平行.利用线面平行的判定定理，可由线线平行推出线面平行.在证明线面平行时，可根据题意和几何图形的特点，添加合适的辅助线，利用中位线的性质、平行四边形的性质寻找或作出平行线，以利用线面平行的判定定理证明线面平行.例1.如图1，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为AC的中点，M为PD的中点，证明：PB//平面ACM.证明：如图1，连接MO，BD.在平行四边形ABCD中，O为AC的中点，∴O为BD的中点，∵M为PD的中点，∴MO为ΔPBD的中位线，∴PB//MO，又PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM，∴PB//平面ACM.想要证明PB//平面ACM，需在平面ACM内找到一条与直线PB平行的直线，于是添加辅助线，作出ΔPBD的中位线MO.由三角形中位线的性质可知MO//PB，即可利用线面平行的判定定理证明线面平行.例2.如图2，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为直角梯形，侧棱AP⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD=2BC.若点E为棱PD的中点.求证：CE//平面ABP.证明：如图2所示，取PA的中点F，连接BF，EF，在ΔPAD中，点F，E分别是PA，PD的中点，∴EF为ΔPAD的中位线，∴EF//AD，EF=12AD，∵ AD=2 BC，∴AD//BC，BC=12AD，∴EF//BC，EF=BC，∴四边形EFBC是平行四边形，∴CE//BF，∵CE⊄平面ABP，BF⊂平面ABP，∴CE//平面ABP.通过作辅助线构造出平行四边形EFBC，再利用中位线的性质和平四边形的性质即可证明EF//AD、CE//BF.而CE在平面ABP外，BF在平面ABP内，利用线面平行的判定定理，就能证明CE//平面ABP.例3.如图3，S是平行四边形ABCD外一点，M，N分别是SA、BD上的点，且AMSM=BN ND，求证：MN//平面SDC.证明：连接AN，并延长AN延长线交CD于点P，连接SP，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//PD，∴ΔABN∽ΔPDN，∴BNND=AN NP，又AMMS=AN NP，∴AMAS=AN AP，∴MN//SP，∵MN⊄平面SDC，SP⊂平面SDC，∴MN//平面SDC.通过作辅助线，构造出两个相似三角形ΔABN与ΔPDN，再根据相似三角形的性质可证明MN//SP.而图1图2图346方法集锦图4三、利用空间向量进行证明若几何图形中有两两垂直的三条线，为坐标轴，建立空间直角坐标系，分别求出直线的方向向量和平面的法向量的方向向量与平面的法向量垂直，平面平行.。
立体几何证明方法——证线面平行
如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， 点 M、N 在分别是 BC1、B1D1 的中点。 求证:MN//平面 AA1B1B
D1
A1
面面平行 则线面平行
D A
N
C1 G
B1
M C
B
.
7
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关键：构造三角形平面 D1 A1 四边形平面
面面平行
D
A
构造三角形平面 .
N
C1
B1
M C
B
5
方法演练二：
如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，
点 M、N 在分别是 BC1、B1D1 的中点。
求证:MN//平面 AA1B1B
D1
构造平行
A1
G
四边形平面
D
A
N
C1
B1
HM C
B
.
6
方法演练二：
a
的一条平行于一个平面，
b
那么另一条直线也平行于这个平面。
a // b
推理过程： a //
b //
b
.
3
方法演练一：
如图，在三棱锥 S ABC 中，
E，F 分别是侧棱 SA，SB 的中点。
求证： EF // 平面ABC .
S
E A
F C
关键点：找三角形平面 B
.
4
方法演练二：
如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， 点 M、N 在分别是 BC1、B1D1 的中点。 求证:MN//平面 AA1B1B
二如何证明直线与平面平行：
方法一：线线平行，则线面平行。
线面平行证明的常用方法
线面平行证明的常用方法线面平行的常用证明方法有以下几种：1.直线斜率法：对于一条直线和一个平面，我们可以通过计算直线的斜率和平面的法向量来判断它们是否平行。
如果直线的斜率与平面的法向量垂直，那么它们就是平行的。
举个例子，如果一条直线的斜率为m，并且平面的法向量为N(x,y,z)，那么直线和平面平行的条件是m*N=0。
2.距离法：使用距离的概念，我们可以通过计算一条直线到一个平面的距离来判断它们是否平行。
如果直线到平面的距离为0，那么它们就是平行的。
假设直线的方程为ax + by + cz + d = 0，平面的方程为Ax + By + Cz + D = 0，直线上任意一点的坐标为(x₀, y₀, z₀)，那么直线到平面的距离可以通过以下公式计算：distance = ，A * x₀ + B * y₀ + C * z₀ + D， / sqrt(A^2 + B^2+ C^2)如果直线到平面的距离为0，那么它们就是平行的。
3.两向量法：我们可以通过计算直线的方向向量和平面的法向量的点积来判断它们是否平行。
如果直线的方向向量与平面的法向量垂直，那么它们就是平行的。
假设直线的方向向量为V(a,b,c)，平面的法向量为N(x,y,z)，那么直线和平面平行的条件是V·N=a*x+b*y+c*z=0。
4.三点共线法：对于一个包含直线上三个不同点的平面，如果这三个点共线，那么直线和平面是平行的。
假设直线上的三个点为A(x₁,y₁,z₁)，B(x₂,y₂,z₂)，C(x₃,y₃,z₃)，可以计算三个向量AB，AC和平面的法向量N进行叉乘，得到一个新的向量M。
如果M的长度为0，那么直线和平面是平行的。
5.平行线与交线法：如果两个平行的直线分别与一个平面的交线平行，并且交线不在这两条直线上，那么这两条直线和平面是平行的。
假设平行直线的方程为l₁: ax + by + cz + d₁ = 0，l₂: ax + by + cz + d₂ = 0，平面的方程为π: Ax + By + Cz + D = 0。
平面几何中线面平行的经典方法+经典题(附具体解答)
DB A 1高中立体几何证明平行的专题(基本方法)立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为 线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法： (1)通过“平移”。
(2)利用三角形中位线的性质。
(3)利用平行四边形的性质。
(4)利用对应线段成比例。
(5)利用面面平行，等等。
(1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质1．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分 别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ；分析：取PC 的中点G ，连EG.，FG ，则易证AEGF 是平行四边形2、如图，已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋3， 过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥EC.（Ⅰ）求证：BC ⊥面CDE ； （Ⅱ）求证：FG ∥面BCD ；分析：取DB 的中点H ，连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形3、已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证：（Ⅰ）C 1D ⊥BC ； （Ⅱ）C 1D ∥平面B 1FM. 分析：连EA ，易证C 1EAD 是平行四边形，于是MF//EA（第1题图）4、如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形,,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点,证明: //EB PAD 平面;分析:：取PD 的中点F ，连EF,AF 则易证ABEF 是平行四边形(2) 利用三角形中位线的性质5、如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。
分析：连MD 交GF 于H ，易证EH 是△AMD 的中位线6、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是PC 的中点。
怎样证明线面平行
解题宝典线面平行是指直线与平面平行，是一种常见的位置关系.证明线面平行是立体几何试题中的常考内容.证明直线与平面平行一般需要运用直线与平面平行的判定定理，设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，合理运用三角形的中位线定理、面面平行的性质定理、平行四边形的性质证明两直线平行.如何在平面内寻找或求作一条与已知直线平行的直线是解题的关键.一、利用三角形的中位线定理我们知道，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形的中位线定理是指三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半.在证明线面平行时，可以构造合适的三角形，使已知直线为三角形的中位线，以便利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理证明线面平行.在构造三角形的中位线时，要注意关注中点、线段的垂直平行线、三角形的重心等信息，结合图形的特征寻找或求作中位线.例1.如图1，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：GH //平面PAD .分析：通过观察图形，我们可以发现平面[PAD ]内的直线PD //GH ，G ，H 为PB ，AC 的中点，可构造三角形PBD ，使GH 为三角形的中位线，利用三角形的中位线定理以及线面平行的判定定理来证明线面平行.证明：连接BD ，易知AC ⋂BD =H ,BH =DH .由BG =PG ，故GH //PD ，又因为GH ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以GH //平面PAD .例2.如图2，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD为矩形，E 为PD 的中点.证明：PB ∥平面AEC .证明：如图2所示，连接BD 交AC 于点F ,连接EF ,因为ABCD 为矩形，所以F 为BD 的中点.又E 为PD 的中点，所以EH //PB .EF ⊂平面AEC ,PB ⊄平面AEC ，所以PB //平面AEC .由E 为PD 的中点，可以联想到三角形的中位线，于是连接BD ，构造三角形PBD ，又由矩形的性质可知F 为BD 的中点，于是便证明EF 为三角形的中位线，利用三角形的中位线定理以及线面平行的判定定理即可证明PB ∥平面AEC .二、利用平行四边形的性质平行四边形的性质有很多，如（1）平行四边形的两组对边相等；（2）平行四边形的两组对角相等；（3）夹在两条平行线间平行的高相等；（4）连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形.在证明线面平行时，我们可以结合几何体的结构特征，构造平行四边形，使已知直线为四边形的边或高，然后利用平行四边形的性质和线面平行判定定理证明线面平行.例3.如图3，直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点.求证：MN //平面C 1DE .分析：要证MN //平面C 1DE ，需要在平面C 1DE 内找到一条直线与MN 平行，才能运用线面平行判定定理证明结论.观察图3，我们可以猜测平面C 1DE 内的直线DE 与MN 平行且相等，不妨构造四边形MNDE ，证明它是平行四边形，这样就可以运用平行四边形的性质证明结论.证明：如图3所示，连接B 1C ,ME ，因为M ，E 分别为BB 1,BC 的中点，所以ME //B 1C ，且ME =12B 1C.谭治华图1图2图340解题宝典又因为N 为A 1D 的中点，所以ND =12A 1D.由题设知A 1B 1=//DC ，可得B 1C =//A 1D ，故ME =//ND ，因此四边形MNDE 为平行四边形，则MN //ED .又MN ⊄平面C 1DE ，DE ⊂平面C 1DE ,所以MN //平面C 1DE .例4.如图4，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，E ，F 分别为AD ，PB 的中点.求证：EF //平面PCD ．证明：如图4，取PC 中点G ，连接FG ,GD ．∵F ,G 分别为PB 和PC 的中点，∴FG //BC ，且FG =12BC ．∵四边形ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点，∴ED //BC ,DE =12BC ，∴ED //FG ，且ED =FG ，∴四边形EFGD 为平行四边形，∴EF //GD ．又EF ⊄平面PCD ，GD ⊂平面PCD ，∴EF //平面PCD ．上面通过构造平行四边形EFGD ，利用平行四边形的性质证明EF //GD ，然后利用线面平行的判定定理证明EF //平面PCD .三、利用面面平行的性质我们知道，面面平行的性质定理是若两个平面平行，则在一个平面内的直线平行于另一个平面.在解题时，可首先运用面面平行的性质定理证明已知直线与在平面内的直线平行，然后便可运用线面平行的判定定理证明线面平行.例5.如图5(1)，已知公共边为AB 的两个全等的矩形ABCD 和ABEF 不在同一平面内，P ，Q 分别是对角线AE ,BD 上的点，且AP =DQ .求证：PQ //平面CBE .证法一：如图5（2），作PH //BE 交AB 于H ,连接HQ ，∴AP AE =AH AB，∵AP =DQ ,AE =DB ,∴AP AE =DQ DB ∴AH AB =DQDB ，∴HQ //AD ,∴HQ //BC ,又HQ ⊄平面CBE ,BC ⊂平面CBE ,∴HQ //平面CBE ,∵PH //EB ,又PH ⊄平面CBE ,EB ⊂平面CBE ,∴PH //平面CBE ,又PH ⋂HQ =H ,∴平面PHQ //平面CBE ,∴PQ //平面CBE .通过观察图5（1）可知，很难在平面CBE 内找到一条与直线PQ 平行的直线，故需要添加辅助线，构造一个平面PQH ，运用面面平行的判定定理证明两个平面平行，然后运用面面平行的性质定理证明PQ //平面CBE .本题还可以运用平行四边形的性质来求解.结合图形的特征，构造出平行四边形PMNQ ，利用平行四边形的性质：两组对边平行，证明结论.证法二：如图5(3)，作PM //AB 交BE 于点M ，作QN //AB 交BC 于点N ，连接MN ，∴PM //QN ,PM AB =EP EA ,QN CD =BQBD.易知EA =BD ,∵AP =DQ ,∴EP =BQ .又∵AB =CD ,∴PM =QN ，四边形PMNQ 是平行四边形，∴PQ //MN .又∴PQ ⊄平面CBE ,MN ⊂平面CBE ，∴PQ //平面CBE .综上所述，无论运用哪种方法证明线面平行，都需要结合几何图形的特征，构造合适的三角形中位线、平行四边形、两平行的平面，寻找或求作已知直线在平面内的平行直线，然后运用线面平行的判定定理证明线面平行.这就要求同学们熟练掌握三角形的中位线定理、平行四边形的性质、面面平行的性质定理、线面平行的判定定理，巧妙地作出辅助线，来提升解题的效率.（作者单位：广东省清远市英德市第一中学）图4图5（1）图5（2）图5（3）41。
证明面面平行的方法
证明面面平行的方法要证明两条线段或者两个平面是平行的，我们可以通过多种方法来进行证明。
下面将介绍几种常见的方法来证明面面平行的情况。
1. 同位角相等法。
同位角是指两条直线被一条截线分成两段，而且这两段位于两条平行线的同侧，那么这两个同侧的角就是同位角。
同位角相等是平行线的一个重要性质，也是证明两条线段或者两个平面平行的重要方法之一。
在证明过程中，我们可以利用同位角相等的性质来进行推导，如果两个角相等，那么可以得出两条线段或者两个平面是平行的结论。
2. 交叉线法。
交叉线法是通过画一条与已知线段或者平面相交的线段或者平面，然后利用同位角相等或者其他性质来证明两条线段或者两个平面是平行的。
通过交叉线法，我们可以找到一些相等的角或者相等的边，从而得出两条线段或者两个平面是平行的结论。
3. 平行线的性质法。
平行线有许多重要的性质，比如平行线上的对应角相等、平行线上的内错角相等、平行线上的同位角相等等。
通过利用这些性质，我们可以证明两条线段或者两个平面是平行的。
在证明过程中，我们可以根据已知条件利用平行线的性质来进行推导，从而得出结论。
4. 转化为等价命题法。
有时候，我们可以将证明两条线段或者两个平面平行的问题转化为等价命题来进行证明。
比如，我们可以将证明两条线段平行的问题转化为证明两个三角形相似的问题，然后利用相似三角形的性质来进行证明。
通过转化为等价命题，我们可以更容易地得出结论。
综上所述，证明两条线段或者两个平面平行的方法有很多种，可以根据具体情况选择合适的方法来进行证明。
在证明过程中，我们需要充分利用已知条件和平行线的性质，通过推导和演算来得出结论。
希望以上介绍的方法能够帮助大家更好地理解和应用平行线的性质，从而更准确地进行证明。
证明线面平行的三种措施
探索探索与与研研究究线面平行指的是直线与平面平行，是一种较为常见的空间位置关系.证明线面平行问题侧重于考查线线平行、面面平行、线面平行的定义以及定理.下面主要介绍三种证明线面平行的思路.一、利用线面平行的判定定理线面平行的判定定理：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行.利用线面平行的判定定理证明线面平行，关键在于找到一组平行线，使其分别位于平面内外.可从下面两个角度寻找：1.利用中位线的性质三角形的中位线有一个重要的性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.在证明线面平行时，可根据几何图形的特点，寻找或选取中点，并添加辅助线，构造出三角形的中位线，以根据中位线的性质找到一组平行线，使两条直线分别在平面内外，即可利用线面平行的判定定理证明线面平行.例1.如图1所示，在直三棱柱ABC -AB C 1中，D ,E 分别是AB ,BB 1的中点，AA 1=AC =CB =AB ，证明：BC 1∥平面A 1CD .图1证明：连接AC 1，交A 1C 于点F ，则F 为A 1C 的中点，因为D 是AB 的中点，连接DF ，则在△ABC 1中，DF 是△ABC 1的中位线，所以BC 1∥DF ，又因为DF ⊂平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD .观察图形，可以发现BC 1∥DF .而D ,E 分别是线段AB ,BB 1的中点，于是依次连接AC 1和DF .此时线段DF 为△ABC 1的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边的性质可得出BC 1∥DF ，即可根据线面平行的判定定理证明BC 1∥平面A 1CD .2.利用平行四边形的性质我们知道，平行四边形的两组对边平行且相等.在证明线面平行时，可以将平面内的一条直线平移到平面外的某一点，使两条直线成为平行四边形的一组对边，即可根据平行四边形的性质：一组对边平行且相等，构造出一组平行线，就可以直接根据线面平行的判定定理证明线面平行.例2.如图2所示，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB =2CD ，点M 为AB 的中点，求证：C 1M ∥平面A 1ADD 1.图2证明：连接AD 1，因为底面ABCD 为等腰梯形，所以AB ∥CD ，因为点M 为AB 的中点，所以CD 平行且等于MA ，因为在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，CD 平行且等于C 1D 1，所以四边形AMC 1D 1为平行四边形，所以C 1M ∥D 1A ，又D 1A ⊂平面A 1ADD 1，C 1M ⊄平面A 1ADD 1，51所以C 1M ∥平面A 1ADD 1.连接AD 1，构造出平行四边形AMC 1D 1，即可得到一组平行线C 1M 、D 1A .此时AD 1为平面A 1ADD 1内的一条直线，C 1M 为平面A 1ADD 1外的一条直线，根据线面平行的判定定理，即可证明C 1M ∥平面A 1ADD 1.二、利用面面平行的性质当无法直接根据线面平行的判定理证明线面平行时，可以先根据面面平行的判定定理找到或证明两个平面平行；然后利用面面平行的性质：如果两个平面平行，则在一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面，来证明线面平行.例3.如图3，线段AC 、DF 分别为正方形ABCD 和正方形CDEF 的对角线，M ,N 分别是线段AC 、DF 上的点，且AM =12MC ，DN =12NF ，证明：MN ∥平面BCF .证明：如图3，在DC 上取G 点，使DG =12GC ，连接NG 、MG ，则G 点是DC 上的一个三等分点，所以GC DG =MCAM，所以MG ∥AD ，而AD ∥BC ，可得MG ∥BC ，所以MG ∥平面BCF ，同理可得DG GC =DNNF，所以NG ∥FC ，所以NG ∥平面BCF ，所以平面MNG ∥平面BCF ，又因为MN ⊂平面MNG ，所以MN ∥平面BCF .我们根据题意，在平面BCF 内很难找到一条直线与MN 平行.于是根据AM =12MC ，DN =12NF ，添加辅助线，构造出一个与平面BCF 平行的平面NMG .根据线面平行的判定定理证明平面MNG ∥平面BCF 后，即可根据面面平行的性质定理证明MN ∥平面BCF .三、构造空间向量在证明线面平行受阻时，可以根据几何体的结构特征，构造出空间向量，通过空间向量运算，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，即可证明直线与平面平行.在解题时，要根据几何体的特征，寻找或构造垂直关系，使三条垂线相交于一点，并将其视为三条坐标轴，即可构造出空间直角坐标系.例4.如图4所示，已知四边形ABEF 是矩形，△ABC 是等腰三角形，平面ABEF ⊥平面ABC ，∠BAC =120°，AB =12AF =4，CN =3NA ，M ,P ,Q 分别是AF ,EF ,BC 的中点，求证：直线PQ ∥平面BMN .图4图5证明：以A 为原点、AB 为x 轴、AF 为z 轴，建立如图5所示的空间直角坐标系，可得A (0,0,0)，B (4,0,0)，C (-2,23,0)，F (0,0,8)，E (4,0,8)，P (2,0,8)，Q (1,3,0)，M (0,0,4)，N (-12)，则 BN =()-920， BM =()-4,0,4，设平面BMN 的法向量n=(x,y,z )，则ìíîn ⋅ BN =0,n ⋅BM =0,得ìíîïï-92x +y =0,-4x +4z =0,令x =1，则ìíîy =33,z =1,所以n =(1,33,1)，因为PQ =(-1,3,-8)，所以n ⋅ PQ =-1+9-8=0，所以n ⊥ PQ ，因为PQ ⊄平面BMN ，所以PQ ∥平面BMN .我们根据平面ABEF ⊥平面ABC ，以A 为原点、AB 为x 轴、AF 为z 轴、垂直于AB 的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，求得PQ 以及平面MNB 的法向量，证明二者垂直，即可证明PQ ∥平面BMN .总之，在证明线面平行时，要注意：（1）根据题意寻找平行关系，如中位线、平行四边形的对边；（2）灵活运用线面平行的判定定理、面面平行的性质定理；（3）合理添加辅助线，构造空间直角坐标系.（作者单位：宁夏回族自治区银川市灵武市第一中学）探索探索与与研研究究图352。
证线面平行的常见方法
证线面平行的常见方法1. 用对称性证明线面平行如果两条线段或两个平面之间具有对称性，那么这两者之间的关系就是平行的。
如果两个平面对于某个轴对称，那么它们就是平行的。
如果两条线段相对称，那么就可以通过平移来证明它们平行。
举个例子，如果我们有两个互相垂直的平面，那么它们对于它们的交线具有对称性。
我们可以通过将一个平面上的点对称到另一个平面上来证明这两个平面平行，其中每个点都延伸至它们与交线的距离相等。
另一种证明线面平行的方法是使用投影。
这种方法将两个物体的轮廓投射到同一个平面上，以确定它们是否平行。
如果我们有两条相交的线段，我们可以将它们沿着它们的交点投影到一个新的平面上，然后判断它们是否平行。
如果它们在新平面上的投影是平行的，那么它们本身应该是平行的。
相似三角形定理是在几何学中非常有用的，它可以帮助我们证明三角形之间的相似性以及线面之间的平行性。
当两个三角形中每个角度的大小相等时，它们就是相似的。
根据相似三角形定理，相似的三角形具有相同的比例。
假设我们有两个平行的直线和一条横跨它们的任意直线，如果我们从这条横跨的线上任意选择两个点来与两个平行直线相交，那么与它们相交的各个线段所代表的三角形就是相似的。
因为这些三角形都有相同的角度大小和形状，它们之间的相似性可以用相同的比例来表示。
垂直线性质是在证明线面平行时经常用到的一种方法。
如果一条线段与另外两条直线的夹角均为直角，则这两条直线是平行的。
这个性质也适用于平面上两个直角相交的线。
举个例子，如果我们有两条相交的直线和一条平行于其中一条直线的第三条直线，那么与平行线相交的其他直线的夹角应该是直角，否则平行线将无法保持平行。
这证明了平行线的存在。
向量是另一种证明线面平行的有用工具。
向量的方向和大小定义了一条直线或一个平面的性质。
如果给定两个向量，我们可以通过它们的点积和叉积来计算它们之间的夹角和平行性。
总结：证明线面平行是建立几何学定理的基础之一，在几何学中有重要的应用。
高中数学证明线面平行方法
高中数学证明线面平行方法一.线面平行判断方法(1)利用定义：证明直线与平面无公共点;(2)利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行;(3)利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个平面。
注：线面平行通常采用构造平行四边形来求证。
>>>二.证明线面平行的方法一，面外一条线与面内一条线平行，或两面有交线强调面外与面内版二，面外一直线上不同两点到面的权距离相等，强调面外三，证明线面无交点四，反证法(线与面相交，再推翻)五，空间向量法，证明线一平行向量与面内一向量(x1x2-y1y2=0)>>>三.高中数学必考知识点必修一：1、集合与函数的概念 (这部分知识抽象，较难理解)2、基本的初等函数(指数函数、对数函数)3、函数的性质及应用 (比较抽象，较难理解)首先，在高中必考数学知识点归纳整理，集合的初步知识与其他知识点密切联系。
它们是学习、掌握和使用数学语言的基础，是高中数学学习的出发点。
所以同学在集合与函数的概念一定要学扎实。
同学们应该知道，函数在高中是最重要的基本概念之一，老师运用有关的概念和函数的性质，培养学生的思维能力。
必修二：1、立体几何(1)、证明：垂直(多考查面面垂直)、平行(2)、求解：主要是夹角问题，包括线面角和面面角。
立体几何这部分对高一同学是难点，因为需要同学立体意识较强。
在学习立体几何证明：垂直(多考查面面垂直)、平行在学习空间几何体、点、直线、平面之间的位置关系时，重点要帮助学生逐步形，逐步掌握解决立体几何的相关问题。
必修三：1、算法初步：高考必考内容，5分(选择或填空)2、统计：3、概率：高考必考内容。
在学习算法初步、统计等内容的时候，要注意顺序渐进，不可追求一步到位，特别要注意其思想的重要性。
必修四：1、基本初等函数(三角函数：图像、性质、高中重难点)这个是高考中占分最多的题目。
2、平面向量：高考不单独命题，易和三角函数、圆锥曲线结合命题。
证明线面平行的三种方法
FE证明线面平行的三种方法DQAP BD Q AE P AB ABEF ABCD =∈∈且相交于与正方形正方形,,,BCE PQ 面求证：//,,//1N BC CD QN 于点交：作证明MN 连接BD AE DQ AP ==, BQ EP =∴EA EP AB PM AB PM =∴// BD BQCD QN CD QN =∴//BD BQ EA EP =CD QN AB PM =∴QN PM CD AB =∴=CD AB CD QN AB PM //,//,//QN PM //∴是平行四边形四边形PMQN ∴MNPQ //∴BCEPQ BCE MN BCE PQ 面面面//,∴⊂⊄ 相交面或平行面已知面的证明线面平行方法是作FEDCG BC AQ 相交于点与：连接证明,2BD AE DQ AP ==,DB DQ AE AP =∴AG AQDB DQ BC AD =∴//AG AQ AE AP =∴EG PQ //∴BCEPQ BCE EG BCE PQ 面面面//,∴⊂⊄相交面或平行面已知面的证明线面平行方法是作FEDCMQ M AB BE PM 连接于点交证法三：作,,//DBDQ AE AP DB AE DQ AP =∴==,BCMQ BC AD AD MQ DBDQ AB AM //////∴∴=∴BCEMQ BCE BC BCE MQ 面面面//,∴⊂⊄ BCEPM BCE BE BCE PM BE PM 面面面//,,//∴⊂⊄BCE MQP M MQ MP 面面//∴=BCE PQ MQP PQ 面面又//,∴⊂相交面或平行面已知面的证明线面平行方法是作。
线面平行的证明
4. 面面平行模型：
a
例. 如图，FD垂直于矩形ABCD所在平面，CE//DF,2CE=FD． 求证：BE//平面ADF.
F
E G
D A
C B
证明:
∵ CE // DF , DF 平面ADF , CE 平面ADF ∴ CE // 平面ADF , ∵ 四边形ABCD为矩形 ∴ BC// AD ∵ AD 平面ADF , BC 平面ADF ∴ BC // 平面ADF ∵ BC CE C
F
4. 如图，在三棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC， AA1=AC=2，E、F分别为A1C1、BC的中点.
（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1； （2）求证：C1F//平面ABE； （3）求三棱锥E-ABC的体积.
A1
E
C1
B1
A G
C F B
5. 如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，AD=2 ， BA=BD = ， PA=PD= , E、F分别2 是棱AD、PC5的中点.
F B
E C
10. 三棱柱 ABC-A1B1C1中，侧棱与底面垂直， ∠ABC=90° ， AB=BC=BB1=2，M、N分别是AB、AC1的中点． 求证：MN//平面BCC1B1；
A
M
B
C
N
A1
B1
C1
11.如图, 三棱柱ABC-A1B1C1中, 侧棱A1A⊥底面ABC, 且各棱长均相等. D、 E、F分别为棱AB, BC, A1C1的中点. (Ⅰ) 证明：EF//平面A1CD； (Ⅱ) 证明：平面A1CD⊥平面A1ABB1； (Ⅲ) 求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值.
12. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形,PA⊥平面
证明线面平行的方法
证明线面平行的方法线面平行是几何学中一个重要的概念，它在解决各种几何问题中起着重要的作用。
在实际问题中，我们经常需要证明两条直线或两个平面是否平行，因此了解证明线面平行的方法是非常重要的。
本文将介绍几种常见的证明线面平行的方法，希望能够帮助读者更好地理解和运用这一概念。
首先，我们来看一种常见的证明线面平行的方法——使用平行线性质。
根据平行线性质，如果两条直线被一条截线所截，那么同侧内角相等，则这两条直线是平行的。
这一性质在证明线面平行时也同样适用。
当我们需要证明两个平面平行时，可以先找到它们的交线，然后证明同侧内角相等，从而得出结论。
其次，我们可以利用垂直平分线的性质来证明线面平行。
垂直平分线是指一个线段或者一条直线被另一条直线垂直平分成两个相等的部分。
当两个平面被同一条直线垂直平分时，我们可以利用垂直平分线的性质来证明它们是平行的。
这种方法在实际问题中应用较为广泛，可以帮助我们快速准确地证明线面平行的关系。
另外，我们还可以使用平行四边形的性质来证明线面平行。
根据平行四边形的性质，对角线互相平分，那么它们所在的平面是平行的。
因此，当我们需要证明两个平面平行时，可以先构造一个平行四边形，然后证明对角线互相平分，从而得出结论。
最后，我们可以利用平行线的性质来证明线面平行。
平行线的性质是指如果两条直线被一条截线所截，同侧内角相等，则这两条直线是平行的。
这一性质同样适用于证明线面平行的问题。
当我们需要证明两个平面平行时，可以先找到它们的交线，然后证明同侧内角相等，从而得出结论。
综上所述，证明线面平行的方法有很多种，我们可以根据具体的问题选择合适的方法进行证明。
通过掌握这些方法，我们可以更好地理解和运用线面平行的概念，从而解决各种几何问题。
希望本文介绍的方法能够对读者有所帮助，谢谢阅读！。
高中证明线线平行的方法
高中证明线线平行的方法
在高中数学中，证明两条直线平行的方法有多种，主要包括以下几种：
1. 定义法：在同一平面内，永不相交的两条直线叫平行线。
2. 同位角相等法：在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
3. 内错角相等法：在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果内错角相同，这两条直线平行。
4. 垂直于同一条直线的两条直线平行：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行。
5. 平行定理：两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行。
6. 平行四边形的对边平行：如果一个四边形是平行四边形，那么它的对边平行。
7. 梯形的两底平行：梯形的两底是平行的。
8. 三角形（或梯形）的中位线平行与第三边（或两底）：三角形（或梯形）的中位线平行于第三边（或两底）。
9. 线段比例法：一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，则这条直线平行于三角形的第三边。
这些方法在实际证明过程中可以灵活应用，需根据具体的几何图形和条件选择最适合的方法进行证明。
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线面平行证明的常用方法张磊立体几何在高考解答题中每年是必考内容，必有一个证明题；重点考察：平
行与垂直（线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直等），我们现在对线面平行这一方面作如下探讨：
方法一：中位线型：找平行线。
求证：PB//平面AEC . 分
析： r
如图⑴
例1、如图⑴，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD中，点E是PD的中点•
方法二：构造平行四边形，找平行线
例2、如图⑵，平行四边形ABCD和梯形BEFC所在平面相交，BE//CF，求证:
AE// 平面DCF.
分析：过点E作EG//AD交FC于G，DG就是平面AEGD 与平面DCF的交线，那么只要证明
AE//DG即可。
方法三：作辅助面使两个平面是平行，即:作平行平面，使得过所证直线作与已知平面平行的平面
例3、如图⑷，在四棱锥O ABCD中，底面ABCD为菱形，M为0A的中
点，N为BC的中点，证明：直线MN ||平面OCD
分析：：取0B中点E,连接ME , NE,只需证平面MEN l平面OCD。
方法四：利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行。
例4、已知正方形 ABCD 和正方形ABEF 所在的平面相交于 AB ,点M , N 分别在
AC 和 BF 上，且 AM=FN.
求证：MN |平面
BCE.
如图⑷ 如图⑹
A D
如图⑸
例5.如图⑸，已知三棱锥P —ABC, A', B C '是△ PBC, △ PCA, △ PAB
的重心.
(1)求证：A'B' //面ABC;
(2)求£△ A ' B ' C ' : £△ ABC .
方法五：(向量法)所证直线与已知平面的法向量垂直，关键：建立空间坐标系 (或找空间一组基底)及平面的法向量。
例6、如图⑹，在四棱锥S ABCD中，底面ABCD为正方形，
侧棱SD丄底面ABCD，E，F分别为AB, SC的中点.证明EF //平面SAD;
分析：因为侧棱SD丄底面ABCD，底面ABCD是正方形，所以很容易建立空间直角坐标系及相应的点的坐标。
证明：如图，建立空间直角坐标系 D xyz .
设A(a,O,O，S(0,0, b)，贝U B(a, a,0), C(0，a,0,
E a, ,0 ,
F 0,,,
2 2 2
uu u b
EF a,0,—
2
因为y轴垂直与平面SAD，故可设平面的法向量为n= (0, 1, 0) uur r b
则：EFgn a,0,，(0, 1, 0) =0
2
uuu r
因此EF n
所以EF //平面SAD .。