概率与概率分布
第5章概率与概率分布
第5章 概率与概率分布一、思考题、频率与概率有什么关系 、独立性与互斥性有什么关系、根据自己的经验体会举几个服从泊松分布的随机变量的实例。
、根据自己的经验体会举几个服从正态分布的随机变量的实例。
二、练习题、写出下列随机试验的样本空间：（1）记录某班一次统计学测试的平均分数。
（2）某人在公路上骑自行车，观察该骑车人在遇到第一个红灯停下来以前遇到的绿灯次数。
（3）生产产品，直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。
、某市有50%的住户订阅日报，有65%的住户订阅晚报，有85%的住户至少订两种报纸中的一种，求同时订这两种报纸的住户的百分比。
、设A 与B 是两个随机事件，已知A 与B 至少有个发生的概率是31，A 发生且B 不发生的概率是91，求B 发现的概率。
、设A 与B 是两个随机事件，已知P(A)=P(B)=31，P(A ｜B)= 61，求P(A ｜B ) 、有甲、乙两批种子，发芽率分别是和。
在两批种子中各随机取一粒，试求： （1）两粒都发芽的概率。
（2）至少有一粒发芽的概率。
（3）恰有一粒发芽的概率。
、某厂产品的合格率为96%，合格品中一级品率为75%，从产品中任取一件为一级品的概率是多少、某种品牌的电视机用到5000小时未坏的概率为43，用到10000小时未坏的概率为21。
现在有一台这种品牌的电视机已经用了5000小时未坏，它能用到10000小时的概率是多少、某厂职工中，小学文化程度的有10%，初中文化程度的有50%，高中及高中以上文化程度的有40%，25岁以下青年在小学、初中、高中及高中以上文化程度各组中的比例分别为20%，50%，70%。
从该厂随机抽取一名职工，发现年龄不到25岁，他具有小学、初中、高中及高中以上文化程度的概率各为多少、某厂有A ，B ，C ，D 四个车间生产同种产品，日产量分别占全厂产量的30%，27%，25%，18%。
已知这四个车间产品的次品率分别为，，和，从该厂任意抽取一件产品，发现为次品，且这件产品是由A ，B 车间生产的分布。
第五章概率与概率分布
P( A)
事件A发生的次数m 重复试验次数n
m n
英语字母出现频率
space 0.2 ; I 0.055 ; C 0.023 ; G 0.011 ; Q 0.001 ; E R U B Z 0.105 ; T 0.072 ; 0.054 ; S 0.052 ; 0.0225 ; M 0.021 ; 0.0105 ; V 0.008 ; 0.001 O H P K 0.0654 ; 0.047 ; 0.0175 ; 0.003 ; A D Y X 0.063 ; 0.035 ; 0.012 ; 0.002 ; N 0.059 L 0.029 W 0.012 J 0.001
一、概率(Probability)的定义
概率：0-1之间的数，衡量事件A发生可能 性（机会）的数值度量。记P（A） •Probability: A value between 0 and 1, inclusive, describing the relative possibility (chance or likelihood) an event will occur.
P ( A) A包 含 的 可 能 结 果 (偶 数 ) 全部可能结果 3 6
实际与理论分析不符时，实际中可能作弊。
如：河北银行人员为买奖券，盗2000万并没中大奖。
西安彩票中心人员中奖率极高,结果是作弊。
例：已知有148名学生统计表
专业
性别
男 女
金融学院 工商学院 经济学院 会计学院 15 15 22 14 30 12 25 15
摘自：概率论与数理统计简明教程1988》李贤平 卞国瑞 立鹏，高等教育出版社
吴
大量统计的结果,用于破解密码
美国正常人血型分布
概率与概率分布
第六章概率与概率分布推论统计研究如何依据样本资料对总体性质作出推断，这是以概率论为基础的。
通过概率论，可以知道在一定条件下，总体的各种抽样结果所具有的概率特性。
然后，推论统计依据这些概率特性，研究在发生了某种抽样结果的情况下总体参数是什么，或者对社会研究中提出的某种假设进行检定。
学习推论统计必须首先对概率论有所了解。
第一节概率论1．随机现象和随机事件概率是与随机现象相联系的一个概念。
所谓随机现象，是指事先不能精确预言其结果的现象。
随机现象具有非确定性，但内中也有一定的规律性。
例如，事先我们虽不能准确预言一个婴儿出生后的性别，但大量观察，我们会发现妇女生男生女的可能性几乎一样大，都是0．5，这就是概率。
随机现象具有在一定条件下呈现多种可能结果的特性。
但由于到底出现哪种结果，却又无法事先预言。
因此，人们把随机现象的结果以及这些结果的集合体称作随机事件，简称事件。
当随机事件发生的可能性能用数量大小表示出来时，我们就得到了概率。
在统计学中，我们把类似掷一枚硬币的行为（或对某一随机现象进行观察）称之为随机试验。
随机试验必须符合以下三个条件：①它可以在相同条件下重复进行；②试验的所有结果事先已知；③每次试验只出现这些可能结果中的一个，但不能预先断定出现哪个结果。
随机试验的每一个可能的结果，称为基本事件（或称样本点）；所有可能出现的基本事件的集合，称为样本空间，记为Ω。
随机事件（可记为A、B、C等）如果仅含样本空间中的一个样本点，该事件称为简单事件；随机事件如果含样本空间中的一个以上的样本点，该事件称为复合事件。
换言之，复合事件是样本空间Ω的某个子集。
随机事件有两种极端的情况：一种是必然会出现的结果，称为必然事件；另一种是不可能出现的结果，称为不可能事件。
从样本空间来看，必然事件是由其全部基本事件组成的，可记为S；不可能事件则不含任何基本事件，可记为Φ。
2．事件之间的关系客观事物之间总是存在着一定的关系，随机事件之间也不例外。
概率分布和概率分布律
概率分布和概率分布律【原创版】目录一、概率分布的定义和意义二、概率分布律的概念和性质三、概率分布律的类型和应用四、总结正文一、概率分布的定义和意义概率分布是指用于表述随机变量取值的概率规律。
在概率论中，随机变量是描述随机现象的重要工具，而概率分布则是用来描述随机变量取值的可能性。
事件的概率表示了一次试验中某一个结果发生的可能性大小。
若要全面了解试验，则必须知道试验的全部可能结果及各种可能结果发生的概率，即随机试验的概率分布。
概率分布的研究具有重要的理论意义和实际应用价值。
在理论上，概率分布是概率论的一个重要研究对象，可以深入研究随机现象的内在规律；在实际应用中，概率分布可以用于风险评估、数据分析、可靠性分析等领域。
二、概率分布律的概念和性质概率分布律是指随机变量取某个值的概率。
具体来说，假设随机变量X 的概率分布为 F(x)，那么 F(x) 表示 X 取值小于等于 x 的概率。
概率分布律具有以下性质：1.0 ≤ F(x) ≤ 1，即概率分布律的取值范围在 0 到 1 之间。
2.F(-∞) = 0，即随机变量取负无穷大的概率为 0。
3.F(+∞) = 1，即随机变量取正无穷大的概率为 1。
4.F(x) 是单调递增的，即随着 x 的增加，F(x) 的值也递增。
5.F(x) 是右连续的，即对于任意一个 x，有 F(x+) = F(x)。
三、概率分布律的类型和应用概率分布律可以分为离散型和连续型两种。
离散型概率分布律是指随机变量取有限个或可数无限个值的概率分布律，如伯努利分布、二项分布等；连续型概率分布律是指随机变量取值在一个区间内的概率分布律，如正态分布、指数分布等。
概率分布律在实际应用中有广泛的应用，例如在风险评估中，可以通过概率分布律来估计某一风险发生的可能性；在数据分析中，可以通过概率分布律来分析数据的分布特征；在可靠性分析中，可以通过概率分布律来评估产品的寿命等。
四、总结概率分布是描述随机变量取值的概率规律，是概率论的一个重要研究对象。
概率与概率分布
第5章 概率与概率分布一、思考题5.1、频率与概率有什么关系？5.2、独立性与互斥性有什么关系？5.3、根据自己的经验体会举几个服从泊松分布的随机变量的实例。
5.4、根据自己的经验体会举几个服从正态分布的随机变量的实例。
二、练习题5.1、写出下列随机试验的样本空间：（1）记录某班一次统计学测试的平均分数。
（2）某人在公路上骑自行车，观察该骑车人在遇到第一个红灯停下来以前遇到的绿灯次数。
（3）生产产品，直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。
5.2、某市有50%的住户订阅日报，有65%的住户订阅晚报，有85%的住户至少订两种报纸中的一种，求同时订这两种报纸的住户的百分比。
5.3、设A 与B 是两个随机事件，已知A 与B 至少有个发生的概率是31，A 发生且B 不发生的概率是91，求B 发现的概率。
5.4、设A 与B 是两个随机事件，已知P(A)=P(B)=31，P(A ｜B)= 61，求P(A ｜B ) 5.5、有甲、乙两批种子，发芽率分别是0.8和0.7。
在两批种子中各随机取一粒，试求：（1）两粒都发芽的概率。
（2）至少有一粒发芽的概率。
（3）恰有一粒发芽的概率。
5.6、某厂产品的合格率为96%，合格品中一级品率为75%，从产品中任取一件为一级品的概率是多少？5.7、某种品牌的电视机用到5000小时未坏的概率为43，用到10000小时未坏的概率为21。
现在有一台这种品牌的电视机已经用了5000小时未坏，它能用到10000小时的概率是多少？5.8、某厂职工中，小学文化程度的有10%，初中文化程度的有50%，高中及高中以上文化程度的有40%，25岁以下青年在小学、初中、高中及高中以上文化程度各组中的比例分别为20%，50%，70%。
从该厂随机抽取一名职工，发现年龄不到25岁，他具有小学、初中、高中及高中以上文化程度的概率各为多少？5.9、某厂有A ，B ，C ，D 四个车间生产同种产品，日产量分别占全厂产量的30%，27%，25%，18%。
概率分布和概率分布律
概率分布和概率分布律概率分布是概率论中的一个重要概念，它描述了随机变量的所有可能取值及其对应的概率。
概率分布可以用来描述随机事件发生的可能性大小，是统计分析和推断的基础。
概率分布可以分为离散型和连续型两种。
离散型概率分布是指随机变量只能取有限个或可列个取值的情况，其概率可以用概率分布律表示。
概率分布律是指在离散型概率分布中，每个取值对应的概率。
以掷骰子为例，假设一个骰子的每个面上的数字分别为1、2、3、4、5、6。
如果我们想知道掷骰子后出现某个数字的概率，就可以使用概率分布律来描述。
在这个例子中，每个数字出现的概率都是1/6，因为骰子是均匀的，每个面出现的可能性是相等的。
所以，掷骰子的概率分布律可以表示为：P(1) = 1/6P(2) = 1/6P(3) = 1/6P(4) = 1/6P(5) = 1/6P(6) = 1/6这个概率分布律告诉我们，在掷骰子的过程中，每个数字出现的概率都是1/6。
除了离散型概率分布律，还有连续型概率分布。
连续型概率分布是指随机变量的取值可以是任意的实数，其概率可以用概率密度函数表示。
概率密度函数是描述连续型概率分布的函数，它的值并不表示概率，而是在某个取值附近的概率密度。
以正态分布为例，正态分布是一种常见的连续型概率分布，也被称为高斯分布。
它的概率密度函数可以用一个钟形曲线来表示，曲线的中心对应着平均值，曲线的宽度对应着标准差。
正态分布在自然界中广泛存在，例如身高、体重等。
正态分布的概率密度函数形式如下：f(x) = (1 / (σ * sqrt(2π))) * exp(-((x - μ)^2) / (2σ^2))其中，μ表示平均值，σ表示标准差。
概率密度函数告诉我们，在正态分布中，随机变量取某个值的概率密度是多少。
概率分布和概率分布律在统计学中扮演着重要的角色。
它们可以帮助我们理解随机事件的分布情况，预测未来事件的可能性，进行统计推断和假设检验等。
在实际应用中，我们经常使用概率分布和概率分布律来描述和分析数据，以便更好地了解数据的特征和规律。
第五章 概率及概率分布
P A B P ( A) P ( B)
16
第一节 概率的一般概念
三、概率的加法和乘法 1、概率的加法 例如：抛掷一枚硬币，正面朝上和正面朝下的概率各为0.50， 问在实验中，硬币正面朝上或朝下的概率是多少？ 答：硬币正面朝上或朝下的概率是1。 获得一、二、三等奖的概率分别为：0.002、0.005和0.993， 获奖的概率是多少？ 答：获奖的概率为1。
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第一节 概率的一般概念
三、概率的加法和乘法 2、概率的乘法 A事件出现的概率不影响B事件出现的概率，这两个事件为独 立事件。 两个独立事件积的概率，等于这两个事件概率的乘积。表示 两个事件同时出现的概率。 用公式可表示为：
P ( A B ) P ( A) P ( B)
18
第一节 概率的一般概念
npq 101/ 2 1/ 2 1.58
31
第二节 二项分布
四、二项分布的平均数和标准差 例如：有一份试卷，共有50道选择题，并且都为四选一，假 定一个学生一点都不会，只能凭猜测来回答。问凭猜测来回 答，平均能猜对几道题，猜对题目数的标准差为多少。 分析：因为完全不会做而只是靠猜测，因此属于二项分布的 运用条件。
8
第一节 概率的一般概念
一、概率的定义 （2）后验概率——
表5.1 抛掷硬币试验中正面朝上的频率 试验者 德摩根 蒲丰 皮尔逊 皮尔逊 抛硬币次数 2048 4040 12000 24000 正面朝上次数 1061 2048 6019 12012 正面朝上频率 0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
职教学院 刘春雷 E-mail：lcl2156@
1
第五章
概率及概率分布
第一节 概率的一般概念 第二节 二项分布
概率与概率分布
概率与概率分布概率是数学中的一个重要概念，它描述了事件发生的可能性。
在现实生活和各个学科领域中，概率都有着广泛的应用。
而概率分布则是概率理论的基础，用于描述不同事件发生的概率分布情况。
本文将介绍概率的定义，概率的性质以及概率分布的类型和应用。
一、概率的定义与性质1.1 概率的定义概率是指某个事件在特定条件下发生的可能性。
它通常用一个介于0和1之间的数值来表示，其中0代表不可能发生的事件，而1代表必然发生的事件。
概率的计算方法可以通过实验观察、理论推导或者数据统计等方式得到。
1.2 概率的性质概率具有以下几个重要的性质：1) 非负性：概率的值始终是非负的，即概率不会为负数。
2) 正则性：所有可能事件的概率之和等于1，即P(Ω) = 1，其中Ω代表样本空间。
3) 可列可加性：对于任意一组互不相容的事件Ai（i = 1,2,...,n），它们的概率之和等于各个事件概率的和，即P(A1∪A2∪...∪An) =P(A1)+ P(A2)+ ...+ P(An)。
二、概率分布的概念与类型2.1 概率分布的概念概率分布是用于描述随机变量可能取值的概率情况的函数或表格。
随机变量是实验结果的函数，它的取值是根据概率分布来确定的。
2.2 常见的概率分布类型2.2.1 离散概率分布离散概率分布是指随机变量的取值只能是离散的、有限或可数个的情况。
常见的离散概率分布有：1) 伯努利分布：描述了只有两个可能结果的随机试验，如抛硬币的结果。
2) 二项分布：用于描述重复n次、每次试验只有两个可能结果的情况。
3) 泊松分布：适用于描述单位时间或单位面积内随机事件发生次数的概率分布。
2.2.2 连续概率分布连续概率分布是指随机变量的取值可以是连续的、无限多个的情况。
常见的连续概率分布有：1) 均匀分布：描述在一个区间内每个取值出现的可能性相等的概率分布。
2) 正态分布：也称为高斯分布，是最常见的连续概率分布之一，广泛应用于各个领域。
概率密度与概率分布函数
概率密度与概率分布函数概率——随机事件发⽣的可能性⼤⼩
对于离散型随机变量，概率是指某⼀个随机事件发⽣的可能性，⽐如
P(X=x i)=p i
x表⽰所有随机事件，i表⽰其中的⼀个取值。
概率分布表⽰所有随机事件的概率规律，⽤于了解实验的全部可能结果及其发⽣的概率，⽐如
P(X=x i)=p i,i=1,2,...,n
⽤图表表⽰为
X x1x2...x n
P p1p2...p n
离散型随机变量的概率分布函数可以表⽰为
F(x)=P(X<x)=∑
x i<x p
i
概率分布函数为概率的累加。
对于连续型随机变量，讨论某⼀点的概率没有意义，所以引⼊概率密度（函数），表⽰⼀段区间的概率除以该区间的长度。
常⽤f(x)表⽰，有
∫∞−∞f(x)dx=1
连续型随机变量的概率分布函数
F(x)=∫x−∞f(x)dx
概率分布函数为概率密度的积分。
概率分布函数的导数为概率密度，即
f(x)=F′(x)
概率分布函数为概率的累加或概率密度的积分，由于概率或概率密度都是⾮负的，概率分布函数是⼀个单调⾮降函数。
平时我们遇到的正态分布、瑞利分布等就是指离散型随机变量的概率分布或连续型随机变量的概率密度函数。
参考：
Processing math: 100%。
概率分布的计算
概率分布的计算概率分布的计算是统计学中最基础的概念之一。
它描述了在某个随机事件中，各个可能结果发生的概率。
概率分布在各个领域都有广泛的应用，例如金融、医学、天气预报等。
在本文中，我们将介绍概率分布的基本概念、常见的概率分布类型以及概率分布的计算方法。
1. 概率和概率分布概率是描述某个事件发生的可能性的数值。
它的取值范围在0到1之间，0表示不可能发生，1表示一定会发生。
概率分布则是表示一个随机变量所有可能取值及其对应的概率的函数。
2. 常见的概率分布类型2.1 二项分布二项分布描述了进行多次独立重复试验中成功的次数的概率。
每次试验只有两个可能的结果，称为“成功”和“失败”。
例如，抛掷硬币就是一个二项分布。
二项分布的概率质量函数为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中，n表示试验的总次数，k表示成功的次数，p表示每次试验成功的概率。
2.2 正态分布正态分布是自然界中最常见的分布之一。
它可用于描述众多随机现象，例如人的身高、体重等。
正态分布的概率密度函数为：f(x) =(1/(σ√(2π))) * exp(-(x-μ)²/(2σ²))，其中，μ表示期望值，σ表示标准差。
2.3 泊松分布泊松分布用于描述单位时间、单位面积或单位体积内随机事件发生的次数。
例如，电话中断次数、交通事故数量等都可以用泊松分布来描述。
泊松分布的概率质量函数为：P(X=k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!，其中，λ表示单位时间、单位面积或单位体积内事件发生的平均次数。
3. 概率分布的计算方法概率分布的计算方法有两种：经验法和理论法。
3.1 经验法经验法是通过观测和统计数据来计算概率分布。
它适用于实际数据收集和分析，但需要大量的数据样本和时间。
在经验法中，可以通过频率来估计概率，即事件发生的次数除以总次数。
3.2 理论法理论法是通过特定的数学模型来计算概率分布。
概率分布及概率分布图
概率密度函数图
总结词
概率密度函数图是一种展示连续概率分布的图形，通过曲线的高低表示概率密度的大小。
详细描述
概率密度函数图是连续概率分布的图形表示，它通过曲线的高低表示概率密度的大小。在概率密度函数图中，曲 线下方的面积表示事件发生的概率。这种图形可以帮助我们了解连续随机变量的分布情况，并用于估计和预测未 来的事件。
02 离散概率分布
二项分布
01
02
03
定义
二项分布是描述在n次独 立重复的伯努利试验中成 功的次数的概率分布。
公式
$B(n, p) = C(n, k) p^k (1-p)^{n-k}$，其中C(n, k)是组合数，表示从n个 不同项中选取k个的方法 数。
应用场景
例如，抛硬币的结果（正 面或反面），或者给定数 量的独立事件中成功事件 的次数。
泊松分布
定义
泊松分布是描述在单位时间内（或单 位面积内）随机事件的次数，当这些 事件以小概率发生，并且这些事件之 间是独立的。
公式
应用场景
例如，放射性衰变或者网络中同时发 生的请求数。
$P(X=k) = frac{e^{lambda}lambda^k}{k!}$，其中 $lambda$是事件的平均发生率。
05 概率分布及概率分布图的 应用实例
在统计学中的应用
1 2 3
描述性统计
概率分布图可以用来描述数据的分布情况，如频 数分布图、直方图等，帮助我们了解数据的集中 趋势、离散程度等。
假设检验
在假设检验中，概率分布图可以用来表示样本数 据和理论分布之间的比较，帮助我们判断样本数 据是否符合预期的分布。
概率分布的种类
离散概率分布
描述离散随机变量的取值概率，如二项分布、泊 松分布等。
《统计学》(第8版)笔记和课后习题详解
《统计学》(第8版)笔记和课后习题详解统计学 (第8版) 笔记和课后题详解
1. 简介
本文档为《统计学》第8版的笔记和课后题详解。
主要内容包括统计学的基本概念、统计学的应用和解决问题的方法等。
2. 章节概述
第一章：统计学导论
该章节介绍了统计学的基本定义和应用领域，以及统计学在科学研究中的作用。
第二章：数据描述
该章节重点介绍了统计学中常用的数据描述方法，包括数据的图形展示、数据的中心趋势和数据的离散程度等。
第三章：概率与概率分布
该章节讲解了概率的概念和性质，以及常见的概率分布如二项分布、正态分布等。
第四章：统计推断的基本原理
该章节介绍了统计推断的基本原理，包括参数估计和假设检验等内容。
第五章：单因素方差分析
该章节讲解了单因素方差分析的原理和应用，以及一些统计学中常见的假设检验方法。
第六章：相关与回归分析
该章节重点介绍了相关与回归分析的原理和应用，包括线性回归和多元回归等内容。
3. 课后题详解
本文档还包含了每章的课后题详解，帮助读者巩固所学知识。
针对题中的难点和常见错误，给出了详细的解答和解题思路。
4. 结语
通过阅读本文档的《统计学》笔记和课后题详解，读者将更好地理解统计学的基本概念和方法，掌握统计分析的基本技能。
以上是《统计学》(第8版)笔记和课后习题详解的概述。
希望对您有所帮助！。
概率的计算与分布
概率的计算与分布概率是数学中的一个重要概念，用于描述事件发生的可能性。
在实际应用中，概率的计算与分布是非常关键的，它们可用于估计和预测各种事件的发生概率。
本文将介绍概率的基本计算方法和常见的概率分布。
一、概率的计算方法1. 事件的概率事件的概率是指某个事件发生的可能性。
概率的计算方法有两种，分别是古典概率和统计概率。
- 古典概率：古典概率适用于实验结果固定且等可能发生的情况下。
计算公式为 P(A) = n(A) / n(S)，其中 n(A) 表示事件 A 发生的次数，n(S) 表示样本空间中的样本总数。
- 统计概率：统计概率适用于实验结果无法预测，需要通过统计方法来估计的情况。
计算公式为 P(A) = N(A) / N，其中 N(A) 表示事件 A在一系列重复试验中出现的次数，N 表示试验的总次数。
2. 条件概率条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
条件概率的计算方法为P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中P(A∩B) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率，P(B) 表示事件 B 发生的概率。
3. 独立事件独立事件是指两个或多个事件之间互不干扰、相互独立的情况下发生的事件。
对于独立事件，它们的概率计算方法为P(A∩B) = P(A) *P(B)。
4. 互斥事件互斥事件是指两个或多个事件之间不可能同时发生的情况。
对于互斥事件，它们的概率计算方法为 P(A∪B) = P(A) + P(B)。
二、常见的概率分布1. 均匀分布均匀分布是指在某个区间内各个取值的概率相等的分布。
其概率密度函数为 f(x) = 1 / (b-a)，其中 a 和 b 表示区间的上下限。
2. 正态分布正态分布是自然界和社会现象中最常见的分布之一，也被称为高斯分布。
其概率密度函数为f(x) = (1 / σ√(2π)) * e^(-(x-μ)² / (2σ²))，其中μ 和σ 分别表示均值和标准差。
概率与概率分布
故乘客候车小于5min的概率为
1 P(0 5) dx 0.5 0 10
5
2、正态分布 一、 概念和公式的引出 正态分布 如果随机变量 的密度函数为
1 f ( x) e 2
( x )2 2 2
( x (,))
其中 , ( 0) 为参数，则称随机变量 服从参数为
如果随机变量 取值为0，1，2，…，n，其概率 分布为
k P( k ) Cn p k (1 p) nk (k 1,2,, n)
则称 服从参数为n,p的二项分布，记作
～B(n, p)
三、进一步练习 练习[摸球]
练习 [使用寿命] 按规定，某种型号电子元件的使用 寿命超过1500小时的为一级品．已知某大批产品的一 级品率为0.2，现从中随机地抽查10只，设10只元件 中一级品的只数为 ，求 的概率分布．
“出现正面”这一随机事件．
3.2.1 离散型随机变量及其分布
一、案例 二、概念和公式的引出
三、进一步的练习
案例 [取球]
上面我们已经知道随机变量可以表示随机试验的
结果，有些随机试验的结果可用随机变量的取值按 一定顺序列出．如掷一枚骰子，可用 取值1，2，…，6来表示所有结果．
二、 概念和公式的引出 离散型随机变量
k 10 k
的概率分布为
10 k
P( k ) C (0.2) (0.8)
(k 1,2, ...)
3．泊松分布 二、 概念和公式的引出 泊松分布 如果随机变量 的概率分布为
P( k )
k
k!
e
( 0, k 0,1,2,, n)
则称 服从参数为 的泊松分布，记作
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掌握概率的概念、性质和法则 明确概率分布的含义，了解二项试验和分布
的基础知识。
概率与概率分布
第一节 概率的一般概念
概率论起源于17世纪，当时在人口统计、人 寿保险等工作中，要整理和研究大量的随机数据资 料，这就需要一种专门研究大量随机现象的规律性 的数学。
参赌者就想：如果同时掷两颗骰子 ，则点数 之和为9 和点数之和为10 ，哪种情况出现的可能 性较大？
概率与概率分布
一、频率和概率的定义
1. 频率 对随机现象进行观测时，若事件Ａ在ｎ次观测中出 现了ｍ次,则ｍ与ｎ的比值，就是事件Ａ出现的频 率（也称为相对频数）。用 Ｗ（Ａ）表示事件Ａ 的频率。 公式为：Ｗ（Ａ）=ｍ/ｎ
概率与概率分布
2. 概率
概率是对随机事件出现可能性大小的客观量度。
事件Ａ发生的概率记为P（Ａ）。
概率与概率分布
二、概率的性质
1. 对于任何事件Ａ，均有0≤Ｐ（Ａ）≤1 2. 不可能事件的概率为零，P（V）=0 3. 必然事件的概率为1，P（U）=1
概率与概率分布
三、概率的加法和乘法
1. 概率的加法
互不相容事件：在一次试验中不可能同时出现的 事件。
事件之和：有限个互不相容事件中任意一个发生。 如：A+B=A或B发生。
假设把两枚硬币投1000次，得到的结果为下表：
正面的数量 0 1 2
总计
频数（f） 253 499 248 1000
百分比（%） 25.3 49.9 24.8 100.0
概率分布实质上是无限次抛掷的频数分布。尽 管我们永远不能观察到这个无限次抛掷的频数 分布，但我们知道这是的频数分布会无限接近 概率分布。
概率与概Байду номын сангаас分布
⑵ 先验概率（古典概率）
如果某个随机现象所有可能结果是有限的，其总 数为n，每一种可能结果出现的可能性相等，这个 现象中的随机事件A包括m个可能结果，则事件A 的概率为ｍ与ｎ的比值，即 P（A）=ｍ/ｎ。
例：某班有20名男生，25名女生，现随机从全班 同学中抽取一名同学，抽到男生的概率为 20/45=4/9，抽到女生的概率为25/45=5/9。
概率的加法法则：有限个互不相容事件之和的概 率等于这些事件概率的和。
例：某学生从5个试题中任意抽取一题，则抽到 试题2或试题3的概率为2/5。
概率与概率分布
例：根据上海市职业代际流动的统计，向下流动 的概率是0.07，静止不动的概率是0.6，求向上流动 的概率是多少？
例：为了研究父代文化程度对子代文化程度的影 响，某大学统计出学生中只有父亲具有大学文化程度 的占30％，只有母亲具有大学文化程度的占20％， 而双方都具有大学文化程度的占有10％，问从学生中 任抽一名，父代至少有一名具有大学文化程度的概率 是多少？
在相同的条件下，某个事件A发生的概率是一个 常数。
根据概率的计算方法，概率可分为后验概率和先 验概率。
概率与概率分布
⑴ 后验概率（统计概率）
以随机事件A在大量重复试验中出现的稳定频率 作为随机事件A概率的估计值。
事件A的频率不是常数,它随试验次数的变化而变 化，但是随着试验次数的无限增大，事件A的频 率会逐渐趋近于一个常数P，P就是随机事件A出 现概率的近似值。
频率分布与概率分布的区别
经验分布： 频率分布是经资料整理而来;频 率分布随样本不同而不同;频率 分布有对应的频数分布。 概率与概率分布
理论分布： 概率分布是先验的；概 率分布是唯一的；概率 分布无频率分布所对应 的频数分布。
概率分布是理论性的或理念性的，它描绘了在一个完美的 世界中百分比应该是多少。不幸的是，根据现实的（实际 得到的）数据得到的百分比和理论上的总是不完全一致。
概率与概率分布
2. 概率的乘法
独立事件：出现概率相互不影响的事件。 事件之积：有限个互相独立事件同时发生。如：
A×B=A和B同时发生。 概率的乘法法则：有限个独立事件乘积的概率等于这 些事件概率的乘积。 例：两个学生从5个试题中任意抽取一题，第一个学生 把抽出的题还回去后，第二个学生再抽，则两个学生 都抽到试题2的概率为1/25。
概率与概率分布
例：根据统计结果，男婴出生的概率是22/43，女 婴出生的概率是21/43，某单位有两名孕妇，问两名孕 妇都生男婴的概率是多少？都生女婴的概率是多少？ 其中一男一女的概率是多少？
概率与概率分布
四、概率分布
随机事件及其概率回答的是随机现象某一局部结 果，例如对给定的复合事件求先验概率。而概率 分布则要在满足完备性(穷举)和互不相容性(互斥) 的前提下，回答随机现象一共会出现多少种结果， 以及每种结果所伴随的概率是多少。
应该指出，在统计中，概率分布是就随机现象呈 现的宏观结果而言的。它可以在宏观层次加以识 别而与特定排列次序无关。
概率与概率分布
例如掷两颗骰子的试验，点数就是随机现象，它 一共有11种宏观结果。我们用古典法对每种宏观结果 计算P，便得到了如下表所示的概率分布。
X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 合计 P(X)
概率与概率分布
四、概率分布
概率分布：对随机变量取值的概率分布情况用数学 方法进行描述。
根据随机变量取值情况可分为：离散变量概率分布 连续变量概率分布
概率与概率分布
离散变量概率分布
离散型随机变量的取值是可数的，如果对X的每个可 能取值xi计算其实现的概率Pi ，我们便得到了离散型 随机变量的概率分布，即
例如17世纪中叶，贵族德·梅尔发现：将一枚 骰子连掷四次，只出现一个6 点的机会比较多，而 同时将两枚掷24次，只出现一次双6 的机会却很 少。
概率与概率分布
概率论的创始人是法国的帕斯卡(1623—1662)和 费尔马(1601—1665)，他们在以通信的方式讨论赌博 的机率问题时，发表了《骰子赌博理论》一书。棣莫弗 (1667—1754)发现了正态方程式。同一时期瑞士的伯 努利(1654一1705)提出了二项分布理论。1814年， 法国的拉普拉斯(1749—1827)发表了《概率分析论》， 该书奠定了古典概率理论的基础，并将概率理论应用于自 然和社会的研究。此后，法国的泊松(1781—1840)提 出了泊松分布，德国的高斯(1777—1855)提出了最小 平方法。