苏教版数学高二-2.1素材 《合情推理与演绎证明》文字素材1

高考中的类比推理

大数学家波利亚说过：“类比是某种类型的相似性，是一种更确定的和更概念性的相似。”应用类比的关键就在于如何把关于对象在某些方面一致性说清楚。类比是提出新问题和作出新发现的一个重要源泉，是一种较高层次的信息迁移。

例1 半径为r 的圆的面积2

)(r r S ⋅=π，周长r r C ⋅=π2)(，若将r 看作),0(+∞上的变量，则r r ⋅=⋅ππ2)'(2， ①，①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R 的球，若将R 看作),0(+∞上的变量，请你写出类似于①的式子：_________________，②，②式可用语言叙述为___________.

解：由提供的形式找出球的两个常用量体积、表面积公式，类似写出恰好成立， ,3

4)(3R R V π=24)(R r S π=. 答案：①)'3

4(3R π.42R π= ②球的体积函数的导数等于球的表面积函数。 点评：主要考查类比意识考查学生分散思维，注意将圆的面积与周长与球的体积与表面积进行类比

例2 在等差数列｛a n ｝中，若a 10=0，则有等式a 1＋a 2＋……＋a n =a 1＋a 2＋……＋a 19－n

（n ＜19，n ∈N *）成立。类比上述性质，相应地：在等比数列｛b n ｝中，若b 9=1，则有等式

成立。

分析：这是由一类事物（等差数列）到与其相似的一类事物（等比数列）间的类比。在等差数列｛a n ｝前19项中，其中间一项a 10=0，则a 1＋a 19= a 2＋a 18=……= a n ＋a 20－n = a n ＋1＋a 19－n =2a 10=0，所以a 1＋a 2＋……＋a n ＋……＋a 19=0，即a 1＋a 2＋……＋a n =－a 19－a 18－…－a n ＋1，又∵a 1=－a 19， a 2=－a 18，…，a 19－n =－a n ＋1，∴ a 1＋a 2＋……＋a n =－a 19－a 18－…－a n ＋1= a 1＋a 2＋…＋a 19－n 。相似地，在等比数列｛b n ｝的前17项中，b 9=1为其中间项，则可得b 1b 2…b n = b 1b 2…b 17－n （n ＜17，n ∈N *

）。

例3 在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则AB 2＋AC 2= BC 2。”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得到的正确结论是：“设三棱锥A —BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两相互垂直，则 ________________”。

分析：这是由低维（平面）到高维（空间）之间的类比。三角形中的许多结论都可以类比到三棱锥中（当然必须经过论证其正确性），像直角三角形中的勾股定理类比到三侧面两两垂直的三棱锥中，则有S △ABC 2＋S △ACD 2＋S △ADB 2= S △BCD 2。需要指出的是，勾股定理的证明也可进行类比。如在Rt △ABC 中，过A 作AH ⊥BC 于H ，则由AB 2=BH ·BC ，AC 2=CH ·BC 相加即得AB 2＋AC 2=BC 2；在三侧面两两垂直的三棱锥A —BCD 中，过A 作AH ⊥平面BCD 于H ，类似地由S △ABC 2=S △HBC ·S △BCD ，S △ACD 2=S △HCD ·S △BCD ，S △ADB 2=S △HDB ·S △BCD 相加即得S △ABC 2＋S △ACD 2＋S △ADB 2= S △BCD 2。

例4 已知函数x

a x y +=有如下性质：如果常数a>o ，那么该函数在],0(a 上是减函数，在),[+∞a 上是增函数。

（1） 如果函数)0(2>+=x x

x y b

的值域为),6[+∞，求b 的值； （2） 研究函数2

2

x c x y +=（常数)0>c 在定义域内的单调性，并说明理由； （3） 对函数x a x y +=和22x c x y +=（常数)0>c 作出推广，使它们都是你所推广 的函数的特例，研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明）。

解：（1）函数)0(2>+=x x

x y b 在]2,0(b 上是减函数，在),2[+∞b 上是增函数，所以该函数在b x 2=处取得最小值.22b 令622=b ，得.9log 2=b （2）设02≥=x t ，显然函数t c t y +

=在],0(c 上是减函数，在),[+∞c 上是增函数，令c x ≤

2得44c x c ≤≤-，令c x ≥2得4c x ≥或.4c x -≤ 又因为2x t =在]0,(-∞上是减函数，在),0[+∞上是增函数，于是利用复合函数的单调性知，函数22x

c x y +=在],(4c --∞上是减函数，在)0,[4c -上是增函数，在],0(4c 上是减函数，),[4+∞c 上是增函数。

（3）推广结论：当n 是正奇数时，函数n

n x a x y +=（常数)0>a 是奇函数，故在],(2n a --∞上是增函数，在)0,[2n a -是减函数，在],0(2n a 上是减函数，在),[2+∞n a 上是增函数。

而当n 为正偶数时，函数n n x

a x y +=（常数)0>a 是偶函数，在],(2n a --∞上是减函数，在)0,[2n a -是增函数，在],0(2n a 上是减函数，在),[2+∞n a 上是增函数。 点评：本题设计新颖，层层递进，主要考查函数n n x

a x y +

=的单调性、最值，考查分析解决问题的能力。