函数的奇偶性、周期性、对称性三者之间的关系

函数的奇偶性、周期性和对称性三者之间的关系

1、若函数)(x f 在R 上满足图像关于直线)(,,b a b x a x ≠==对称，则函数)(x f 为周期函数，)(2b a T -=是它的一个周期。

证：根据题意有：)()2();()2(x f x b f x f x a f -=+-=+

令b x x 2-=，代入上式得：)2()22(b x f b x a f +-=-+——————————①

)2()(b x f x f +-=—————————————②

将②式代入①式得：)()](2[x f b a x f =-+

∴函数)(x f 是周期函数，且)(2b a T -=是它的一个周期。

2、若函数)(x f 在R 上满足图像关于点))(0,(),0,(b a b a ≠对称，则函数)(x f 为周期函数，)(2b a T -=是它的一个周期。

证：根据题意有：0)()2(,0)()2(=-++=-++x f x b f x f x a f

令b x x 2-=，代入上式得：)2()22(b x f b x a f +--=-+————————① )2()(b x f x f +--=————————————②

将②式代入①式得：)()](2[x f b a x f =-+

∴函数)(x f 是周期函数，且)(2b a T -=是它的一个周期。

3、若函数)(x f 在R 上满足图像关于直线a x =和点))(0,(b a b ≠对称，则函数)(x f 为周期函数，)(4b a T -=是它的一个周期。

证：根据题意有：0)()2(),()2(=-++-=+x f x b f x f x a f

令b x x 2-=，代入上式得：)2()22(b x f b x a f +-=-+，)2()(b x f x f +--=

则)()22(x f b a x f -=-+，又令b a x x 22-+=，得)22()](4[b a x f b a x f -+-=-+ )()](4[x f b a x f =-+∴

∴函数)(x f 是周期函数，且)(4b a T -=是它的一个周期。

4、若函数)(x f 在定义域上是奇函数，其图像关于直线)0(≠=a a x 对称，则函数)(x f 为周期函数，a T 4=是其一个周期。

证：根据题意有：)0(),()(),()(≠-=+-=-a x a f x a f x f x f

令a x x +=，有)()()2(x f x f x a f -=-=+

又令a x x 2+=，有)2()4(x a f x a f +-=+，)()4(x f x a f =+∴

∴函数)(x f 为周期函数，a T 4=是其一个周期。

5、若函数)(x f 在定义域上是奇函数，其图像关于点)0)(0,(≠a a 对称，则函数)(x f 为周期函数，a T 2=是其一个周期。

证：根据题意有：)0(,0)()(),()(≠=-++-=-a x a f x a f x f x f

令a x x +=，有)()()2(x f x f x a f =--=+

∴函数)(x f 为周期函数，a T 2=是其一个周期。

6、若函数在定)(x f 义域上是奇函数，且以T 为周期（T ＞0）的函数，则其图像关于点)0,(T 对称。 证：根据题意有：)()(),()(x f x T f x f x f =+-=-

则有)()()(x f x f T x f -=-=+-，即)()(x T f x T f --=+0)()(=+-++⇒T x f T x f ∴函数)(x f 的图像关于点)0,(T 对称。

7、若f （x ）为偶函数，且以T 为周期（T ＞0）的函数，则图象关于直线x=T 对称； 证：根据题意有：)()(),()(x f x T f x f x f =+=-

则有)()()(x f x f T x f =-=+-，即)()(x T f x T f -=+

∴函数)(x f 的图像关于直线x=T 对称。

8、若f （x ）为偶函数，且图象关于直线x=a （a ≠0）对称，则f （x ）为周期偶函数，且2a 是它的一个周期；

证：根据题意有：)()(),()(x a f x a f x f x f -=+=-

令a x x +=，有)()()2(x f x f x a f =-=+

∴函数)(x f 为周期函数，a T 2=是其一个周期。

9、若f （x ）的图象关于直线x=a （a ≠0）对称，且f （x ）是以2a 为周期的周期函数，则f （x ）是偶函数。

证：根据题意有：)()2(),()(x f x a f x a f x a f =+-=+

令a x x -=，有)()2()(x f x a f x f -=-=

∴函数)(x f 为偶函数