一、选择题(本大题共12个小题每小题5分共60分在每041019124157

1 3
×
2
2
4
2
×2 3 =4 3 .
20.如图,在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,D 为线段
AC 的中点,E 为线段 PC 上一点.
(1)求证:PA⊥BD. (2)求证:平面 BDE⊥平面 PAC. (3)当 PA∥平面 BDE 时,求三棱锥 E-BCD 的体积. 【命题意图】本题主要考查空间几何体的位置关系与夹角运算,意在培养学 生的空间想象能力及运算能力.
n n-1
所以{a n}的首项 a 1=1,a 1=4b =43 =4-217,
由 a 14=1+13d=27 得,公差 d=2,所以{a }的n 通项 a =1n+(n-1)×2=2n-1.
(2)由(1)得 c n=(2n-1)+3 n.-所1 以数列{c }的n 前 n项和 S 为nS =(an +b1 )+(1a +b2 )+2…
B.1
C.
D. 1
5
5
5
【解析】选 C.由诱导公式可得:cos x
6
=cos2
x

3


=3si,n x
则 fx= s15in x +si3nx

3
=
65sin
x


3,因 为-1≤sin
一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的 四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1.若集合 A={x|-2<x<1},B={x|x<-1或 x>3},则 A∩B= ( )
A.{x|-2<x<-1}
B.{x|-2<x<3} C.{x|-1<x<1}
D.{x|1<x<3}
第三次:S=1-3=-2,a=1,K=4;
第四次:S=-2+4=2,a=-1,K=5;
第五次:S=2-5=-3,a=1,K=6;
第六次:S=-3+6=3,a=-1,K=7;
结束循环,输出 S=3.
9.函数 f(x)=
si15n
x


+c3os
x

的最6大 值为
(
)
6
A. 3
x

≤13,故
函数 f(x)的最大值为
6 5
10.已知圆柱的高为 1,它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上,
则该圆柱的体积为 ( )

A.π B. 2
C. 3 4
D. 4
【解析】选 C.如图,画出圆柱的轴截面:
r=BC=
3 2
,
那么圆柱的体积 V=π r h2=π ×
.1
2
因为 C∈(0,π ),
π所C3=以. (2)由余弦定理得:c =2a +2 b 2-2ab·cosC,
(a+b) 2-3ab=7,
17b2·2=2a-ab,2+
1S=
2
ab·sinC=43ab=
3 2
3,
所以 ab=6,
所以(a+b) -2 18=7,
a+b=5,
所以△ABC 的周长为 a+b+c=5+ 7 .
⊥CM,设 BC=x,则 CM=x,CD= 2 x,PM= 3 x,PC=PD=2x,取 CD 的中点 N,连接 PN,则 PN
⊥CD,所以 PN=
14 2
x,因为△PCD
的面积为
2
7
,所以
×
212x×
14 2
x=2
7
,解
得 x=-2(舍去),x=2,于是 AB=BC=2,AD=4,PM=2 3 ,所以四棱锥 P-ABCD 的体积 V=
六边形的面积为
1
6S =6×
△OAB
2 ×AB·OG=
3 3. 2
答案:
33 2
15.若直线
+x a
=b1y(a>0,b>0)过点(1,2),则
2a+b的最小值为
.
【命题意图】本题考查应用基本不等式求最小值,意在考查考生的转化与化
归、分析问题、解决问题的能力.
xy
1【(a12b,解2a),析所b 】以因+ 为=1直,所线以+ 2=a1+(ba=>(02,ab+>b0))过点
.
【解析】设 y=f(x),则 f'(x)=2x- ,所x1以2 f'(1)=2-1=1,
所以在(1,2)处的切线方程为 y-2=1×(x-1),即 y=x+1.
答案:y=x+1
14.我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π ,理论上能把π
的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”,将π 的值精确到小数
() A.1盏
B.3盏 C.5 盏
D.9 盏
【解析】选 B.塔的顶层共有灯 x 盏,则各层的灯数构成一个公比为 2 的等比
)
数列,由
x(172 =381可得 x=3. 1 2
x 3 7.若 x,y 满足 x y 2 则 x+2y 的最大值为 ( )
y x
A.1
B.3
C.5

3 2
2 ×1=
3 π4
.
11.函数 y=1+x+ sxinx的2 部分图像大致为 (
)
【解析】选 D.当 x=1时,f1=1+1+sin1=2+sin1>2,故排除 A,C;当 x→+∞时,y→
1+x,故排除 B,因此满足条件的只有 D.
12.若 x=-2 是函数 f(x)=2 (+axx-1) ex 1的极值点,则 f(x)的极小值为 ( )
⊂平面 PAD,故 BC∥平面 PAD.
(2)取
AD
的中点
M,连接
PM,CM,由
AB=BC=
AD
及1 2
BC∥AD,∠ABC=90°,得四边形
ABCM 为正方形,则 CM⊥AD,因为侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD,平
面 PAD∩平面 ABCD=AD,所以 PM⊥AD,PM⊥平面 ABCD,因为 CM⊂平面 ABCD,所以 PM

1 a
2 b
=4+
+
≥4ba4+b2a
4a b
b
a=8,当且仅当
=
,4即ba ba=a2,b=4
时等号成立.
答案:8
【
光
速ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解
题
】
2a+b=(2a+b)
1 a
2 b

≥ 2
2ab ·2
1a=2b8,当 且 仅 当 b=2a,即
a=2,b=4 时等号成立.
答案:8
16.已 知 f(x)是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 ,且 f(x+4)=f(x-2).若 当 x∈ [-3,0]
5.设非零向量 a,b 满足 a b = a b ,则 ( )
A. a = b
B.a⊥b
C.a∥b
D. a > b
【解析】选 B.由|a+b|=|a-b|平方得(a) +22ab+(b) =(2a) -2a2b+(b) ,即 2ab=0,则 a ⊥b. 6.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点 点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座 7层塔共挂了 381 盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍,则塔的顶层共有灯
时,f(x)=6-x,则 f(919)=
.
【解析】因为 f(x+4)=f(x-2),令 t=x+4,则 x-2=t-6,所以 f(t)=f(t-6),所以函数
f(x)的周期为 6,因为 f(919)=f(153×6+1)=f(1)=f(-1)=6.
答案:6 三、解答题（共 70 分） 17.（12 分）已知{a n}是等差数列,{b }n是等比数列,且 b =32 ,b =93 ,a =b1 ,a1 1=4b . 4
+(a n+bn )
=(a 1+a2 +…+an)+(b1+b2 +…+bn )
= n
n(n 1) 2
21+3
n
13
3
=n2+ n 1
2.
18.(12 分)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 2cosC(acosB+bcosA)=c.
(1)求 C. (2)若 c= π,3△ABC 的面积为
解得
A(3,3),
所以 z =3+2×3=9.
max
8.执行如图所示的程序框图,如果输入的 a=-1,则输出的 S= ( )
A.2
B.3 C.4
D.5
【解析】选 B.阅读程序框图,初始化数据 a=-1,K=1,S=0,循环结果执行如下:
第一次:S=0-1=-1,a=1,K=2;
第二次:S=-1+2=1,a=-1,K=3;
(1)求{a n}的通项公式.
(2)设 c n=a n+bn,求数列{c n}的前 n 项和.
【解题指南】(1)利用等差、等比数列的基本量进行计算.(2)采用分组求和法.
【解析】(1){b n}的公比 q= bb=23 3,首93 项 b = =11,所bq2以{33b }的通项 bn =3 .
+1.
1 32
4
2
1
4.已知 a=2 3 ,b=4 5 ,c=253 ,则 ( )
A.b<a<c B.a<b<c
C.b<c<a
D.c<a<b
42
12
2
【解析】选 A.因为 a 2 =43 ,c 3 25 =5 ,函3 数3 f x=x 在 0,3∞上单调递增,所以
2
2
2
2
43 5 ,又3 45 43 所以 b<a<c.
【解析】选 A.A∩B={x|-2<x<-1}.
2.设复数 z 满足(1+i)z=2i,则∣z∣= ( )
A. 1 2
B.
2 2
则|z|= 1 2 12= 2 .
C. 2
D.2
2【选题知i 解意:Cz.=析由=21i】i11iii1
=
2i
2
2
=i+1,
3.某几何 体 的 三 视 图 如 图 所 示(单 位 :cm),则 该几何体的体积 (单位:cm3)是
【解析】(1)因为 PA⊥AB,PA⊥BC, AB⊂平面 ABC,BC⊂平面 ABC,且 AB∩BC=B,
所以 PA⊥平面 ABC,BD⊂平面 ABC,所以 PA⊥BD.
(2)因为 AB=BC,D 是 AC 的中点,所以 BD⊥AC,
由(1)知 PA⊥平面 ABC, 因为 PA⊂平面 PAC,所以平面 PAC⊥平面 ABC, 因为平面 PAC∩平面 ABC=AC,BD⊂平面 ABC,BD⊥AC,
点后七位,其结果领先世界一千多年,“割圆术”的第一步是计算单位圆内接
正六边形的面积 S ,S内 = 内
.
【解析】
如图,因为是单位圆,所以 OA=1,因为六边形 ABCDEF是正六边形,所以△OAB是
正三角形,所以 AB=1,过点 O作 OG⊥AB 于点 G,所以 OG=OAsin60°=
3 2
,所以正
令 f'(x)>0,解得 x<-2或 x>1,所以 f(x)在(-∞,-2)和(1,+∞)上单调递增,在(-2,1)
上单调递减,所以 f(x)极小值=f(1)=(1-1-1) e11 =-1.
二、填空题（共 20 分，每小题 5 分，共 4
小题）
13.曲线 y=x 2+ 1在x 点(1,2)处的切线方程为
D.9
x 3 【解析】选 D.线性约束条件 x y 2 表示的平面区域如图阴影部分所示,
y x
将 z=x+2y
转化为 y=-
x1 + 2
,
z 2
由直线 l:y=-
x1 2
平移可知,
当直线 y=-
x1 + 2
过z点 A 2
时,z=x+2y的值最大,
由
x y

3 x
3 2
3,求△ABC
的周长.
【解析】(1)2cosC(acosB+bcosA)=c,
由正弦定理得:2cosC(sinA·cosB+sinB·cosA)=sinC,
2cosC·sin(A+B)=sinC.
因为 A+B+C=π ,A,B,C∈(0,π ),
所以 sin(A+B)=sinC>0,
所以 2cosC=1,cosC=
()


2
2
3A. +1 B. +33C.+3
+21 D.
2
【解析】选 A.根据所给几何体的三视图,画出该几何
体的直观图,如图所示,可知该几何体是由一个半圆锥
和一个三棱锥组合成的,圆锥的底面半径为 1,高为 3,
三棱锥底面是斜边为 2的等腰直角三角形,高也为 3,所以该几何体的体积为:
V=π ·12×3× ×13 +2×12 1× ×3×12=
19.(12 分 )如 图 ,四 棱 锥 P-ABCD中 ,侧 面 PAD为 等 边 三 角 形 且 垂 直 于 底 面 ABCD,AB=BC= A12D,∠BAD=∠ABC=90°. (1)证明:直线 BC∥平面 PAD.
(2)若△PCD的面积为 2 7 ,求四棱锥 P-ABCD的体积.
【解析】(1)在平面 ABCD 内,因为∠BAD=∠ABC=90°,所以 BC∥AD,又 BC⊄平面 PAD,AD
A.-1
3
C.5e3
D.1
【 解B析.-2】e 选 A.由 题 可 得 f'(x)=(2x+a) ex1 +( x
2 +ax-1) ex1 =[ x 2
+(a+2)x+a-1] ex 1 ,
因为 f'(-2)=0,所以 a=-1,f(x)=( x 2 -x-1) ex1 ,故 f'(x)=( x +2x-2) ex1 ,