(完整版)高等数学经典方法与典型例题归纳

2014年山东省普通高等教育专升本考试2014年山东专升本暑期精讲班核心讲义

高职高专类

高等数学

经典方法及典型例题归纳

—经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务

—理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制

造及其自动化、交通运输、计算机科学与技术、土

木工程

2013年5月17日星期五

曲天尧编写

一、求极限的各种方法

1．约去零因子求极限

例1：求极限1

1

lim

41--→x x x 【说明】表明无限接近，但，所以这一零因子可以约去。

1→x 1与x 1≠x 1-x 【解】=4

6)1)(1(lim 1

)

1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x 2．分子分母同除求极限

例2：求极限1

3lim

32

3+-∞→x x x x 【说明】

型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。∞

∞

【解】3131lim 13lim 3

11323=

+-=+-∞→∞→x x

x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除的最高次方；

x (2) ⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧=<∞>=++++++----∞→n

m b a n m n m b x b x b a x a x a n

n

m m m m n n n n x 0lim 01101

1 3．分子(母)有理化求极限

例3：求极限)

13(lim 22

+-

++∞

→x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。

【解】1

3)

13)(13(lim

)13(lim 2222222

2

+++++++-+=+-

++∞

→+∞

→x x x x x x x x x x 0

1

32

lim

2

2

=+++=+∞

→x x x 例4：求极限3

sin 1tan 1lim

x x

x x +-+→

【解】x

x x x

x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim

3030

+-+-=+-+→→41

sin tan lim 21sin tan lim

sin 1tan 11

lim

30300

=-=-+++=→→→x x x x x x x

x x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键　

4．应用两个重要极限求极限

两个重要极限是和，第一

1sin lim 0=→x

x

x e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1

0)1(lim 11(lim )11(lim 个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。

例5：求极限x

x x x ⎪

⎭

⎫

⎝⎛-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑，最后凑指数部分。X

1

+

【解】22

21212112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x

x x x =⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+∞→+∞→+∞→例6：(1)；(2)已知，求。

x

x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→211lim 82lim =⎪⎭

⎫

⎝⎛-++∞→x

x a x a x a 5．用等价无穷小量代换求极限

【说明】

(1)常见等价无穷小有：

当 时,,

0→x ~)1ln(~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~x x x x x x +1e x

-；()abx ax x x b ~11,2

1~

cos 12-+-(2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式；(3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选。

例7：求极限0ln(1)

lim

1cos x x x x →+=

-【解】 .

002

ln(1)lim lim 211cos 2

x x x x x x

x x →→+⋅==-例8：求极限x

x

x x 30tan sin lim

-→

【解】x x x x 30tan sin lim -→613lim 31cos lim sin lim 2

2

2102030-

=-==-=-=→→→x x x x x x x x x x 6．用洛必达法则求极限

例9：求极限2

20)

sin 1ln(2cos ln lim

x x x x +-→【说明】

或型的极限,可通过罗必塔法则来求。∞∞0

【解】220)sin 1ln(2cos ln lim x

x x x +-→x x x

x x x 2sin 12sin 2cos 2sin 2lim 20+--=→3sin 112cos 222sin lim

20-=⎪⎭

⎫ ⎝⎛+--=→x x x x x 【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用洛必达法则求解

例10：设函数f(x)连续，且，求极限0)0(≠f .

)()()(lim

⎰⎰--→x x x dt

t x f x dt

t f t x 【解】 由于

,于是

⎰

⎰⎰

=-=

-=-0

)())(()(x

x

x

u t x du u f du u f dt t x f

=

⎰⎰⎰⎰⎰

-=--→→x

x

x

x x

x

x du

u f x dt

t tf dt t f x dt

t x f x dt

t f t x 0

00

)()()(lim

)()()(lim

=⎰

⎰+-+→x

x x x xf du u f x xf x xf dt t f 0

)

()()

()()(lim

⎰

⎰+→x x

x x xf du u f dt

t f 0

)

()()(lim

==

)

()()(lim

x f x

du

u f x dt

t f x

x

x +⎰

⎰

→.

2

1

)0()0()0(=+f f f 7．用对数恒等式求极限

)()(lim x g x f 例11：极限

x

x x 2

)]1ln(1[lim ++→【解】 ==x

x x 20

)]1ln(1[lim ++→)]1ln(1ln[2

lim x x

x e

++→.

2)

1ln(2lim

)]1ln(1ln[2lim

00e e

e

x x x x x x ==+++→→