3 机器人运动学熊有伦机器人技术基础

3.1.1连杆描述
假设条件 把连杆看作是一个刚体 描述一个连杆的两个参数:
1.Link length 连杆长度ai-1 关节轴i-1和关节轴i之间 的公垂线的长度ai-1
2.Link twist 连杆转角 αi-1 假设作一个平面,并使该平面与两关节轴之间的公垂线垂直,然后把 关节轴i-1和关节轴i投影到该平面上,在平面内轴i-1按照右手法则转 向轴i,测量两轴角之间的夹角为αi-1.
i 1 i
3.1.4操作臂运动学方程
• 最后，得到相邻连杆的一般变换为： 3.定义三个中间坐标系{R} {Q} {P}： （相对于运动坐标系，算子右乘） 坐标系{R} 是由坐标系{i-1}绕X i-1轴偏转αi-1得到；
坐标系{Q}是由坐标系{R} 沿着X i-1轴平移a i-1得到； 坐标系{P}是由坐标系{Q}绕Z i轴旋转Θi得到； 坐标系{i}是由坐标系{P}沿着Z i轴平移di得到。
– 对于移动关节 n, 设定Xn轴的方向使之满足θn=0.0,当dn=0时, 选取坐标系{n} 的原点位于Xn-1轴与关节轴n的交点位置.
3.1.3连杆附加坐标系的规定
（3）在连杆坐标系中对连杆参数的归纳
a
i 1
沿X i 1轴, 从Z i 1到Z i的距离；
αi-1
i 1 绕X i 1轴, 从Z i 1到Z i的角度；
0 0 0 1
3.1.5 PUMA 560型机器人运动学方程
• 4. 求末杆的位姿矩阵
c5c6 s6 4 4 5 6T 5T 6T s5 c6 0 c5 s6 c6 s5c6 0 s5 0 c5 0 0 0 0 1
3.1.3连杆附加坐标系的规定
（4）建立连杆坐标系的步骤
确定关节轴，并画出轴的延长线。 找出关节轴i-1和i的公垂线或交点，作为坐标系i-1的原点。
αi-1
规定Zi-1的指向是沿着第i-1个关节轴。
规定Xi-1轴得指向是沿着轴i-1和i的公垂线的方向，如果关节轴i-1 和i相交，则Xi-1轴垂直于关节轴i-1和i所在的平面。
• 关节1 (或n)如果为移动关节,则d1的零位可以任意选取, 规定 θ1=0.0;
3.1.2连杆连接的描述
（3） 连杆参数 • 对于转动关节,θi为关节变量,其他三个参数固定不变;
• 对于移动关节, di为关节变量,其他三个参数固定不变;
• 这种用连杆参数描述机构运动关系的方法称为 Denavit-Hartenberg法, • 对于一个6关节机器人,需要用18个参数就可以完全描 述这些固定的运动学参数,可用6组(ai-1, αi-1 , di) 表示， 用6个关节变量θi描述运动学中的变化部分。
再绕k 轴旋转的组合变换。
3.1.4操作臂运动学方程
（2）连续连杆变换
定义了连杆坐标系和相应得连杆参数，就能建立运动学 方程，坐标系{N}相对于坐标系{0}的变换矩阵为：
0 N
0 N
T T T T
0 1 1 2 2 3
N 1 N
T
T 是关于n个关节变量的函数，这些变量可以 变换矩阵 通过放置在关节上的传感器测得，则机器人末端连杆在基 坐标系（笛卡尔坐标系）中的位置和姿态就能描述出来。
5
1 型机器人运动学方程 0 0 0° θ1(90° 3.1.5 PUMA 560 αi-1 =沿Xi-1轴,从Zi-1到Zi的距离；
6
0
-90°
0
θ6(0°)
3.1.5 PUMA 560型机器人运动学方程
• 3.求出两杆间的位姿矩阵
si 0 ai 1 ci s c c c s d s i i 1 i i 1 i 1 i i 1 i 1 T i 1 i 1 sc 0 0 c i 1 s 0 0 c c 2di c s i 1 1 i s i s i 12 0 s c 0 0 1 d 0 1 2 0 01 0 , 1T 0 1 T 1 0 2 a2 s cc 4 00 3 0 4 s 0 c3 0 s 1 0 2 2 s3 c3 0 0 0 0 1 2 3 0 1 0 0 0 c 0 1 , 0 0 T 0 s c5 s 6 3T 4 5 6 0 0 1 0 s c 0 4 4
0 N N 1 T(q1 , q2 , , qN ) 01T(q1 ) 1 T ( q ) 2 2 N T( qN ) 0 0 N R 0 0 0
PN 0 1
3.1.5 PUMA 560型机器人运动学方程
3.1.5 PUMA 560型机器人运动学方程
i
αi-1
Yi-1轴的方向由右手定则确定Yi-1= Zi-1 ×Xi-1 。
当第一个关节变量为0时，规定坐标系{0}和{1} 重合，对于坐标 系{N}，尽量选择坐标系使得连杆参数为0.
3.1.3连杆附加坐标系的规定
【例题1】
i 1 2 3
ai-1 0 L1 L2
αi-1 0 0 0
di 0 0 0
θi θ1 θ2 θ3
a3 d4 0 0 0 0 1 0 0 0 1 4 5 0 0 0 1 0 0 0 1 , 5T 6T s5 c5 s 6 c 6 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 不同的坐标系下D-H矩阵是不同的，关键是约定!!
3.1.3连杆附加坐标系的规定
（2）连杆中的首尾连杆
• 坐标系{0} 通常规定: – Z0轴沿着关节轴1的方向,当坐标系1的关节变量为0时,设定 参考坐标系{0}与{1}重合.且a0=0, α0=0,当关节1为转动关 节,d1=0;当关节1为移动关节, θ1=0. • 坐标系{n} 通常规定:
– 对于转动关节 n,设定θn=0.0,此时Xn和Xn-1轴的方向相同,选 取坐标系{n} 的原点位置,使之满足dn=0;
3.1.4操作臂运动学方程
i 1 i
T
{R}
{P} {Q}
变换矩阵：i 1 P 化简： 这里： 根据变换 过程：
i 1 i 1 i i 1 i i 1 i
i 1 R i 1 i
Q P i TR T T T P Q P i
P T
Ti P
Q P TR T T Q P iT
i 1 R
3. 机器人运动学
ENTER
本章主要内容
运动学研究的问题： 手在空间的运动与各个关节的运动之间的关系。
3.1 机器人正运动学方程 3.2 机器人逆运动学方程
3.1机器人正运动学方程
• 定义：
– 描述机器人手部在空间相对于绝对坐标系或机 座坐标系的位置及姿态的数学表达式
• 运动学方程的模型： • M f (qi )
a
i 1
沿X i 1轴, 从Z i 1到Z i的距离；
i 1 绕X i 1轴, 从Z i 1到Z i的角度；
d i 沿Z i 轴, 从X i 1到X ii 1旋转到X i的角度;
3.1.3连杆附加坐标系的规定
【例题2】
i
1
ai-1
3.1.3 连杆附加坐标系的规定 （1）连杆中的中间连杆
规定: 为了描述每个连杆和相邻连杆之间的相对位置关系,需要 • 坐标系{i-1}的Z轴称为Zi-1,与关 在每个连杆上定义一个固连坐标系. 节轴i-1重合;
• 坐标系{i-1}的原点位于公垂线 ai-1与关节轴i-1的交点处. • Xi-1轴沿ai-1方向由关节i-1指向 关节i • (若: ai-1 =0,则Xi-1垂直于Zi-1和 Zi所在的平面; xi 1 zi zi 1 • Yi-1轴由右手定则确定 Yi-1= Zi-1 ×Xi-1
0
αi-1
0
di
0
θi
θ1
2 3
0 0
90° 0
d2 L2
0 θ3
3.1.4操作臂运动学方程
目的：求出相邻连杆间的坐标 变换的形式，进一步求出连杆 T （1 ） 推导过程： n相对于连杆0的位置和姿态。 {P} {R} 1.坐标系{i-1}相对于坐标系{i}的变换是由连杆四个参数构成 {Q} 的函数，其中只有一个变量。 i 1 2.为求解 iT ，对每个连杆建立坐标系，分解成4个变换子 问题，每个子变换只包含一个连杆参数。 3.定义三个中间坐标系{R} {Q} {P}： 坐标系{R} 是由坐标系{i-1}绕X i-1轴偏转αi-1得到； 坐标系{Q}是由坐标系{R} 沿着X i-1轴平移a i-1得到； 坐标系{P}是由坐标系{Q}绕Z i轴旋转Θi得到； 坐标系{i}是由坐标系{P}沿着Z i轴平移di得到。
d i 沿Z i 轴, 从X i 1到X i的距离;
i 绕Z i 轴, 从X i 1旋转到X i的角度;
• 通常规定 ai 1 0 ,其余可正可负.按照上述规定的坐标系不是唯一的； • Zi的指向有两种选择;
• 如果关节轴相交, Xi轴的指向也有两种选择.
• 当相邻两轴平行时,坐标系原点可以任意选择. • 当关节为移动关节时,坐标系的选取具有一定任意性.
3.1.2连杆连接的描述
（2） 连杆中的首尾连杆 • 对于运动链中的末端连杆,其参数习惯设为0,即
a0 an 0.0,0 n 0.0
• 从关节2到关节n的连杆偏距di和关节角θi.是根据前面的规定进 行定义. • 关节1(或n)如果为转动关节,则θ1的零位可以任意选取,规定 d1=0.0，
i 1 i
T Rot ( x, i 1 )Trans ( x, ai 1 ) Rot ( z , i )Trans ( z , di ) 0 s i 1 c i 1 0 di s i 1 di c i 1 1 ai 1