郑州大学数值分析重点考察内容及各章习题

《数值分析》重点考察内容及各章作业答案学院：学号：姓名：重点考察内容基本概念（收敛阶，收敛条件，收敛区域等）, 简单欧拉法。

第一章基础掌握：误差的种类，截断误差，舍入误差的来源，有效数字的判断。

了解：误差限，算法及要注意的问题。

第二章插值掌握：Hermite插值，牛顿插值，差商计算，插值误差估计。

了解：Lagrange插值第三章数据拟合掌握：给出几个点求线性拟合曲线。

了解：最小二乘原理第四章数值积分微分掌握：梯形公式，Simpson公式，代数精度，Gauss积分，带权Gauss积分公式推导，复化梯形公式推导及算法。

了解：数值微分，积分余项第五章直接法掌握：LU分解求线性方程组，运算量了解：Gauss消去法，LDL，追赶法第六章迭代法掌握：Jacobi,Gauss-Seidel迭代格式构造，敛散性分析，向量、矩阵的范数、谱半径了解：SOR迭代第七章Nolinear迭代法掌握：牛顿迭代格式构造，简单迭代法构造、敛散性分析，收敛阶。

了解：二分法，弦截法第八章ODE解法掌握：Euler公式构造、收敛阶。

了解：梯形Euler公式、收敛阶，改进Euler公式题目类型：填空，计算，证明综合题第一章 误差1. 科学计算中的误差来源有4个，分别是________，________，________，________。

2. 用Taylor 展开近似计算函数000()()'()()f x f x f x x x ≈+-，这里产生是什么误差？3. 0.7499作34的近似值，是______位有效数字，65.380是舍入得到的近似值，有____几位有效数字，相对误差限为_______. 0.0032581是四舍五入得到的近似值，有_______位有效数字.4. 改变下列表达式，使计算结果比较精确： （1） 11,||1121xx x x --++ （2）||1x（3）1cos ,0,|| 1.xx x x-≠ （4） sin sin ,αβαβ-≈5.采用下列各式计算61)时，哪个计算效果最好？并说明理由。

（1）（2）99-（3）6(3- （46. 已知近似数*x 有4位有效数字，求其相对误差限。

上机实验题：1、利用Taylor 展开公式计算 0!kxk x e k ∞==∑，编一段小程序，上机用单精度计算xe 的函数值. 分别取 x =1，5，10，20，-1，-5，-10，-15，-20，观察所得结果是否合理，如不合理请分析原因并给出解决方法. 2、已知定积分1,0,1,2,,206nn x I dx n x ==+⎰,有如下的递推关系1111100(6)61666n n n n n x x x x I dx dx I x x n ---+-===++-⎰⎰可建立两种等价的计算公式 (1) 1016,0.154n n I I I n -=-=取； (2) 12011),0.6n n I nI I n-=-=（取来计算123419,,,,,I I I I I ，编程比较哪种计算的数值结果好，并给出理论分析。

第二章 插值法1. 已知(0)2,(1)1f f ==-，那么差商[1,0]f =_________.2. n 阶差商与导数的关系是01[,,,]n f x x x =__________________.3. 由导数和差商的关系知，[,]i i f x x =__________________。

4. 已知函数()f x 在3,1,4x =的值分别是4，6，9，试构造Lagrange 插值多项式。

5.取节点0120,1,2x x x ===, 对应的函数值和导数值分别为0()1,f x = 11()2,'()2f x f x ==，试建立不超过二次的插值多项式。

(如果将最后一个条件改为2'()2f x =，插值多项式如何计算？)6．已知(0)1,(1)2,'(1)3,(2)9f f f f ====，试建立不超过3次的插值多项式，并写出插值余项.7. 设4()[,]f x C a b ∈,求三次多项式3()p x ,使之满足插值条件11()(),0,1,2'()'()i i p x f x i p x f x ==⎧⎨=⎩8. 设1()P x 是过01,x x 的一次插值多项式，2()[,],f x C a b ∈其中[,]a b 是包含01,x x 的任一区间。

试证明：对任一给定的[,]x a b ∈，在（a,b ）上总存在一点ξ，使得101()()()()()()2!f R x f x P x x x x x ξ''=-=--。

9.证明关于互异节点0{}n i i x =的Lagrange 插值基函数0{()}n i i l x =满足恒等式01()()()1n l x l x l x +++≡上机习题：1. 绘制4题的Lagrange 的插值函数的图像。

第三章 数据拟合1. 数据拟合与插值的区别是什么？2. 最小二乘原理是使偏差iδ的___________达到最小3. 求过点（2,3），（0,1），（3,5）的线性拟合函数。

4. 用最小二乘法求一形如2y a bx=+的多项式，使与下列数据相拟合第四章线性方程组的直接解法1. 线性方程组的解法大致可分为_____________，________________。

2. 平方根法和LDL T分解法要求系数矩阵A满足______________。

3. 上三角和下三角方程组的解法分别称为___________，____________。

4. 严格对角占优矩阵的定义是什么？5. 试求下面矩阵的杜利特尔分解（1）6234⎡⎤⎢⎥-⎣⎦。

（2）213 457 285⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦。

6. 用列主元高斯消去法求解方程组1231521 04313 2063xxx-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦。

7. 用LU分解法解方程组1232111 6161 10272xxx⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦。

上机实验题：1.编程实现列主元的高斯消去法2.编程实现LU分解法第五章线性方程组的迭代解法1. 向量(3,2,1,7)T x =--，计算1||||x ，2||||x ，||||x ∞.2. A=312010126-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，计算1||||A ，2||||A ，||||A ∞. 3. 2003A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 分别计算A 的谱半径()A ρ, 条件数cond ()A ∞，1||||A 4. 矩阵A 的范数与谱半径的关系为__________________________。

5. 求解AX =b 的迭代格式(1)()k k x Bx g +=+收敛的充分必要条件____________________。

6. SOR 迭代法收敛的一个必要条件是松驰因子______________。

7. 写出下面方程的Jacobi 迭代格式1231231231027102854x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩ 8. 给定下列方程组，判断对它们构造的Jacobi 迭代公式和Gauss-Seidel 迭代公式是否收敛（1） 131252728x x x x +=⎧⎨+=⎩ （2） 123121355251285x x x x x x x -+=⎧⎪-+=⎨⎪+=⎩9. 对下列方程组建立收敛的简单迭代公式（提示：先调整方程组）123162132624114x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 10. 给定方程组123122*********x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， （1）分别写出Jacobi 迭代公式和Gauss-Seidel 迭代公式。

（2）证明Jacobi 迭代法收敛，而Gauss-Seidel 迭代法发散。

上机实验题：1. 求解方程组：1231231231027102854x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩以(0)(1,1,1)T x =为初值，当(1)()4||||10k k x x +-∞-<时迭代终止。

(1) 编写Jacobi 迭代法程序 (2) 编写Gauss-Seidel 迭代法程序第六章 数值积分与数值微分1.()ba f x dx ⎰的梯形求积公式是________，Simpson 公式是_______，其代数精度分别为_____，____。

2. n 点Gauss 求积公式的代数精度为___________.3. 确定下列求积公式中的待定系统，使得求积公式的代数精度尽量的高，并指明代数精度 （1）101()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h -≈-++⎰(2) 11211()[(1)2()3()]3f x dx f f x f x -≈-++⎰(3) 10100()(0)(1)'(0)f x dx A f A f B f ≈++⎰4. 分别用梯形公式、Simpson 公式、Cotes 公式、Gauss 求积公式计算积分11x e dx -⎰，并估计各种方法的误差。

5. 写出11()f x dx -⎰二点和三点的Gauss-Legendre 求积公式.6. 分别用复化梯形公式和复化Simpson 公式计算下列积分.10,(8)4xdx n x =+⎰7. 确定求积公式10101()()(1)2f x dx A f A f ≈+⎰的求积公式，并求其代数精度。

8. 构造如下形式的Gauss 求积公式：00110()()()x dx A f x A f x ≈+⎰.9. 构造如下形式的Gauss 求积公式： 100111()()()f x dx A f x A f x -≈+⎰.上机实验题：1. 编程实现五点Gauss 积分算法。

第七章 非线性方程与非线性方程组的解法1. 求解非线性方程的根，牛顿法的收敛阶是________，割线法的收敛阶是____________.2. 确定下列方程的有根区间 (1) 32720x x -+= (2) 20x e x -+-=3. 试用牛顿法和弦截法建立计算1,(0)c c≠的迭代格式。

4(0)a>的两种收敛的迭代格式。

5(0)a >4位有效数字。

(迭代求解3次即可)6. 2+++的近似值.7. 设初值00x ≠, 计算1,(0)a a≠的迭代格式 1(2),0,1,2,k k k x x ax k +=-=。

试证：（1）此迭代格式二阶收敛.（2）此迭代格式收敛的充分必要条件为0|1|1ax -<. 上机实验题：1. 用割线法求方程32210200x x x ++-=的根，要求61||10k k x x -+-<第八章 常微分方程初值问题的数值解法1. 求解常微分方程'(0)1y x yy =+⎧⎨=⎩的Euler 公式为______________________, 其局部截断误差的阶数为_________，整体截断误差的阶数为__________.(设步长为h) 2. 应用向前欧拉格式求解初值问题'1,01(0)1y x y x y =-+≤≤⎧⎨=⎩取步长h = 0.1，将计算结果与精确解x y x e -=+对照.。