电磁场导论恒定磁场.ppt

4.2.1标量磁位的定义
在无电流区域 H =0，可定义标量磁位m
H= m
Q
m
H dl
P
两点间的磁压
U mAB
B
H
A
dl


d mB
mA
m
mA
mB
标量磁位与静电场中相似，但有很大不同：
1）电位具有明确的物理意义， 但标量磁位没有物理意义。
2）电压与积分路径无关，但是两点间的磁压随积分路径而变。
第四章恒定磁场
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解法二：由于等磁位面与H线正交，在圆柱坐标系中m 只与有关，导线外的无电流区，满足2m=0
柱坐标下简化为
1 r2
2 m 2
0
通过不定积分求解
m
C1
m C1 C2
设 x 轴上=0处A点为磁位参考点，则C2=0； 因 =2 处B点 m= I，因此，C1= I / 2
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4.1.3 B和H的衔接条件
在两种电介质分界面上，围绕P点 作一个很小的矩形回路
由
l H dl SJ dS
由于Δh→0，H1 tΔl –H2 tΔl = KΔl
得
H1 t H2t= K
H1
K H2t

Байду номын сангаас
HΔ1ht →0
H2
当分界面上没有自由电流时,则 H1 t = H2 t
由B0，引入一个矢量A，满足B=A
A称为磁场B的矢量磁位，单位：韦伯/米（ Wb/m ）
由毕-萨定律可导出A的电流积分公式 ：
将
er 1
r2
r
(J) 1J J 1
rr
r
代入毕-萨定律
B 0 J er dV 0 J ( 1)dV
4 V r 2
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由H1tH2t=K和，得
1 1
( A1 )t

1 2
( A2 )t

K
对于平行平面磁场 A1 = A2
1 A1 1 A2 K
1 n 2 n
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例4-7 半径为R的长直圆柱导体沿z轴 通有电流I，导体内外媒质的磁导率 均为0，求导体内外的矢量磁位A和 磁场强度H。
A2 C3 r r
通解为
A2 C3 ln r C4
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确定积分常数：
r=0处
B A1 10 Jr C1
r 2 r
设r =R处为磁位参考点A1 =0，则
所以C1=0
C2

1 4
0 JR 2
r=R处
1 A1 1 A2
F1x x

F1y y

x
Kx
y
Ky
2K

0
F1决不可能是磁感应强度B；


F2

1 r


F


1 r


Kr

0
F2可能是磁感应强度B
er
J

F2

1 r
r
0
e 0 r( Kr )
ez
0

1 r
K
(2r
)e
z
2Kez
0
电流为沿z轴方向的常数
解：在求解之前，先分析本题给定的 条件，进行必要的简化：
1）导体内的电流密度均匀分布J=（I/R2）ez，具有轴对
称性。 2）矢量磁位A只有Az分量(与J同方向)，矢量形式泊松方 程2A= 0J，简化为标量形式泊松方程2Az= 0Jz
3）由于Az只与r有关，偏微分方程进一步简化为只含一 个变量r的微分方程。
4.2.2 标量磁位的边值问题
无流区 H 0
定义H m
B 0
(H) (m ) m (m )
B H
均匀媒质 =0
因此,得
2m=0 标量磁位的拉普拉斯方程
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不同媒质分界面上的衔接条件
m1 = m2
1
m1
n

2
m2
n
例4-3 求无限长直电流I周围的磁位m和场强H
解法一：由安培环路定律，得
等磁位面
H
H

I
2r
e
设x轴（=0）为磁位参考点，则

m
Q
H dl
P
0
I
2r
e
(rd
)e

I 2
|0

I 2
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A1t = A2t
在分界面P点处作一个小圆柱，上 下端面为S，高h0，由于A=0
A2 图 4-6
A1n
A1
1
S P
h0
2
V AdV SA ds 0
A1nS A2nS=0 A1n = A2n
A2
A2n
图 4-6
因此，矢量磁位在分界面的衔接条件为 A1=A2
l H dl SJ ds
B dS 0
S
4.1.1安培环路定理的微分形式
当磁力线所在平面上的闭合回路 l 缩小 ，其面积S0
时，可写为
lim l H dl lim SJ dS
ΔS0 ΔS
ΔS0 ΔS
H = J
则得 rot H = J 或 H = J
则
m

I
2

H
m
1 m r
e

I
2r
e
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例4-4 求双线传输线周围的磁位m及其等磁位面
解：设两线之连线为磁位m参考点，
由叠加原理
等磁位面
P
m
m1 m2

I1 2

I2 2

I
2
(
)
H 1 A
4 V
r
0 ( J )dV 0 J dV
4 V
r
4 V r
由于J是源点坐标 (x’,y’,z’)的函数， 而算符是对场 点坐标(x,y,z)求导
J=0
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因此，
B ( 0 J dV )
4 V r
0 r 0 r
即 0 JR C3
2R
得
C3

1 2
0 JR 2
r=R处,
A1= A2 =0，即C3lnR+C4=0，得
C4

1 2
0 JR 2
ln
R
所以
A1

1 4
0 J(R2

r 2 )e z

0I 4R 2
(R2
r 2 )e z
A2

1 2
0
JR
2
ln
R r ez
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导体内，泊松方程简化为
1 r
r
(r
Az r
)

0 J
z
通过不定积分求解，得
A1 0 Jr C1
r
2r
通解为
A1


1 4
0 Jr 2
C1
ln
r
C2
导体外，拉氏方程简化为
1 (r Az ) 0 r r r
通过不定积分求解，得
S
A dl
l
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A1
4.3.3矢量磁位的衔接条件
围绕媒质分界面上任一点P取一 矩形回路，令h0，
1 l A22t P
A1t h0
m

B dS
S
( A)dS
S
Adl 0
l
A1t l A2t l 0
第四章 恒定磁场
4-1 基本方程及其微分形式 4-2 标量磁位 4-3 矢量磁位 4-4 磁场中的镜像法 4-5 电感 4-6 磁场能量与磁场力 4-7 磁路及其计算
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4.1 基本方程及其微分形式
当电荷与电流不随时间变化时，产生的电场和磁场 都不随时间变化（D/t=0、B/t=0），电场、磁场方 程各自独立。
根据定义可知
A 0 J dV
4 V r
磁感应强度B是唯一的，但的存在使得矢量磁位A
不是唯一的。
矢量场不仅要规定它的旋度，还必须规定它的散度。
由于A=Ax/x+Ay/y+Az/z，
而B=A与Ax/x、Ay/y、Az/z无关,
因此，A可以任意规定。每种规定称为一种规范。

2 ⊙ H B
等磁位面方程为m=常数，即= K。 它是以AB为弦，以为圆周角的圆
弧。K值不同可得一系列以AB为弦 的园，其圆心y轴上。
例 4-4 题解
由H= m知，B线与等磁位面正交，也是一族偏心园，
圆心在x轴上。
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4.3 矢量磁位
4.3.1矢量磁位的定义
在恒定磁场中,为了方便规定A=0，称为库仑规范 。
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4.3.2矢量磁位的边值问题
B=0
B=A
A=0
H=J
B=J A=J
B=H
A=(A)2A
在无电流区域
2A = J
2A =0
A的泊松方程 拉普拉斯方程
J0r 2

C1 r
不定积分求解，得
H

C2 r
由于r=0处H，故 C1=0
r=R处H1t=H2t ,即
J0R C2 2R
因此，导体内
H1

J0r 2
e
得
C2

J0R2 2
故导体外H 2

J0R2 2r
e
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4.2 标量磁位
H =J表明恒定磁场是有旋场，但在无电流区域 H =0，可有条件地定义标量磁位。
4 V r
考虑到各种电流，则为
A 0 J dV 0 K ds 0I dl
4 V r
4 S r
4 l r
已知各种电流的分布时，可计算矢量磁位A，再由A求磁感应 强度B。还可以由A直接计算磁通量
m
B dS
S
( A)dS
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对于图示闭合路径，由
H dl I 即 l
H dl H dl I
AmB
BnA
得
mA
H dl
AmB
H
AnB
dl

I
m A

I
•A
m
n
I •B
可见，mA’mA，表明积分路径不同标量磁位有不同数值。
4-3 真空中在x=2m处分别有沿z轴正、反方向的线电流
6mA。设坐标原点磁位为零，求：y轴上任一点的磁位m。
4-5 已知电流密度为J=J0rez（ra），求矢量磁位A（参考 点选在r = r0 a处）和磁感应强度B。
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4.3.4磁力线方程与等A面方程
等A面方程为
包围P点作一个很小的扁平闭合圆柱面
由
SB dS 0
由于Δh→0, B1 nΔS + B2 nΔS = 0
得
B1 n = B2 n
B2
B1n
B1
Δh→0
B2n
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例4-2 已知半径为R的长直圆柱导体中的体电流密度均匀
分布为J0ez（A/m2），求磁场强度H。

0I 2
ln
R r ez
B1
A1
A1 r
e

0 Ir 2R 2
e
B2
A2
A2 r
e

0I 2r
e
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作业
4-1 已知无限大平面上均匀分布面电流，密度为Kez。试
用安培环路定律微分形式，求载流平面外的磁场强度H。
解：由于电流分布具有轴对称性，可知磁场
J
分布也具有轴对称性，H只有沿圆周的分量，
且只与r有关。
er e ez
H 1 r r
0
0

1 r
(rH r
)
ez
0 rH 0
1）rR时，满足
(rH r
)

rJ 0
2）rR时，满足
(rH r

)

0
不定积分求解，得 H

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矢量方程相当于三个标量方程
2Ax = Jx 2Ay = Jy 2Az = Jz
Ax

0 4
J x dV V r
Ay

0 4
J y dV V r
Az

0 4
J z dV V r
三式合并，得
A 0 J dV
磁感应强度B？如果是，求相应的电流密度J 。 F1 = K（x ex +y ey）； F2 = K r e
解： B = 0是磁场的特有性质，因此根据矢量的散度
是否总为0，来判断。
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根据
F1 = K（x ex +y ey）； F2 = K r e
F1

A（x，y，z）=常矢量
等A面微分方程为
dA dAxex dAyey dAzez 0
磁力线微分方程为
Bdl=0
在平行平面场中，若矢量磁位A=Azez，则在xoy平面内
l S
表明恒定磁场是有旋场，其场源是电流密度J
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4.1.2磁通连续性原理的微分形式
当闭合面S缩小，体积V0时，磁通连续性原理可
写为
lim SB dS 0
ΔV 0 ΔV
则得
divB=0 或 B = 0
表明恒定磁场是无散场，磁力线是无头无尾的
例4-1 在园柱坐标系中下列矢量中常数K0，问哪个可能是