中考复习课件 二次根式

二次根式的定义:
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式 .
注意： 被开方数大于或等于零
典型例题解析
【例1】 x为何值时，下列各式在实数范围内才有意义： (1)
2 x
(2)
x2 x 3
; (3)
x5
3 x
解:(1)由2-x≥0 x≤2， ∴x≤2时， 2 x在实数范围的有意义. x 2 0 x 2 (2)由
原式 (a 2) b 2 ( 2 2) 22
2
2 2 2
2
1 2 2 4
∴三角形的面积为 1 2 14
4
7 2
14 2 2
2
2
7 2
拓展2
已知△ABP的一边AB=
10，
A
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使 三角形的三边为 5， 5， 10，
x 3 0
∴x＞3时，
x 3 x 2 x 3 在实数范围内有意义.
x 5 0 x 5 (3)由 3 x 0 x 3 x 5 ∴-5≤x＜3时， x 3 在实数范围内有意义.
题型1:确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围.
≤3 时， 1.当x_____
继续拓展
x2 y 2 的值 1已知x 3 1，y 3 1，求代数式 2 2 x y xy (2)比较大小,并说明理由. 4 6与 2 5
解:(2)∵(
2 4 6 ) 10 4 6
( 2× 5)2= 2× 5=10 4 + 6 ＞0 , 且 2 × 5 ＞ 0
解：原式 (3 4 3 - 4 3 3 ) 2 3 0；
1 0 2 （ ） 例3 (1)计算： 2 2 5 2
(2)计算
12 2 sin 60 ( 5 2)

0
解： (1)原式 2 2 - 1 2 3 2 - 1； 3 (2)原式 2 3 - 2 - 1 3 - 1. 2
（2）如图所示，AD⊥DC于D， BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
B
D P C
2 ①则AD=____
1 BC=____
拓展2
已知△ABP的一边AB=
10，
A
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使 三角形的三边为 5， 5， 10，
（2）如图所示，AD⊥DC于D， BC⊥CD于C，
1.若数轴上表示数x的点在原点的左边，则化简
|3x+ x2| 的结果是（ A.-4x B.4x 2.若方程
C
）
C.-2x
D.2x
2 3x 6 0
B
1 2 ，则 x_______ 2
3.一个台阶如图，阶梯每一层高15cm，宽25cm，长 60cm.一只蚂蚁从A点爬到B点最短路程是多少？
（2）如图所示，AD⊥DC于D， BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
B
D P C
2 ①则AD=____
1 BC=____
拓展3
已知△ABP的一边AB= 10 ， （1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使 三角形的三边为 5， 5， 10， （2）如图所示，AD⊥DC于D， A BC⊥CD于C， 若点P为线段CD上动点。 B 1 2 ①则AD=____ BC=____ ② 设DP=a,请用含a的代数式表 P C D 2 示AP，BP。则AP=__________ a 4 ， 2 BP=__________ (3 a) 1 。 1 13 ③ 当a=1 时，则PA+PB=______, 2 5 当a=3,则PA+PB=______
化简二次根式的步骤：
1.将被开方数尽可能分解成几个平方数。 2.应用
ab a b
3.将平方项应用
a a
2
化简.
根式运算的结果中，被开方数应不含能开 得尽方的因数或因式。 运算的结果应该是最简二次根式或整式。
二次根式的除法公式：
a b
a b
a 0, b 0
a b
a b
1.( a) a
2
(a 0)
a （a 0） （a 0） （a 0） 0 a
2. a 2 a
3. ab a b
a 4. b a b
(a 0 b 0)
b 0)
(a 0
算一算：
2
2
1 2 2Βιβλιοθήκη 9 23 42
2 1
3 2
3 2
3.二次根式的运算：
1 BC=____
拓展2
已知△ABP的一边AB=
10，
A
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使 三角形的三边为 5， 5， 10，
（2）如图所示，AD⊥DC于D， BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
B
D P C
2 ①则AD=____
1 BC=____
拓展2
已知△ABP的一边AB=
a 0, b 0
怎样化去被开方数中的分母呢？
a b a b b b
(a≥0，b>0)
ab ab ab 2 2 b b b
怎样化去分母中的根号呢？
a a b b b b
(a≥0，b>0)
ab b
注意：进行根式化简，关键是要搞清楚分式的分子 和分母都乘什么，有时还要对分母进行化简。
④ PA+PB是否存在一个最小值？
继续拓展
x2 y 2 的值 1已知x 3 1，y 3 1，求代数式 2 2 x y xy
(2)比较大小,并说明理由.
4 6与 2 5
( x y )( x y ) x y 解： (1)原式 . xy ( x y ) xy 当x 3 1, y 3 1时， 原式 3 1 - ( 3 1) ( 3 1)( 3 1) 1.
4.已知：
x4 +
2x y
=0,求 x-y 的值.
解：由题意，得 解得 5.已知x,y为实数,且 为( D ) A.3 B.-3
x-4=0 且 2x+y=0 x=4,y=-8
x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12
x 1 +3(y-2)2
C.1
=0,则x-y的值 D.-1
本章知识 2.二次根式的性质：
解：
60 15 25 25
AB 60 80
2
2
B 60 15 25 60
10000
25
100
15 15 A
60
A
拓展1
设a、b为实数,且|2 -a|+ √ b-2 =0 (1)求a2-2 2a+2+b2的值。 a 2 ， b 2
(2)若满足上式的a,b为等腰三角形的两边,求这 √ b-2≥0 解: (1)∵ | 2-a|≥0, 个等腰三角形的面积 . 2 解:若a为腰,b为底 , 此时底边上的高为 （ 2 ） 1 1 而| 2 -a|+ √ b-2 =0 1 2 1 1 ∴三角形的面积为 2 a 0 ， 2 b2 0 若a为底,b 为腰 a ,此时底边上的高为 2， b 2
若点P为线段CD上动点。
B
D P C
2 ①则AD=____
1 BC=____
拓展2
已知△ABP的一边AB=
10，
A
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使 三角形的三边为 5， 5， 10，
（2）如图所示，AD⊥DC于D， BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
B
DP C
2 ①则AD=____
2.
3 x
有意义。
a 4 + 4 a 有意义的条件是 a=4 .
1 x 5 3 x
3.求下列二次根式中字母的取值范围.
说明：二次根式被开方数 不小于0，所以求二次根 式中字母的取值范围常转 化为不等式（组）
解： x
3- x 0
5 0
①
②
解得
- 5≤x＜3
题型2:二次根式的非负性的应用.
二次根式加减法的步骤：
归纳 （1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （3）合并同类二次根式。
一化
二找
三合并
二次根式计算、化简的 结果符合什么要求？
（1）被开方数不含分母；
分母不含根号； 根号内不含小数
（2）被开方数中不含能开得尽 方的因数或因式.
例2 计算：
(3 48 4 27 ) 2 3
二次根式乘法法则 二次根式除法法则
a b ab (a 0 , b 0)
a a b b (a 0 , b 0)
二次根式的加减： 类似于合并同类项，把相同二次根式的项合并. 二次根式的混合运算： 原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律）仍然适用，原 来所学的乘法公式（如(a+b)(a-b)=a2-b2;(a±b)2=a2± 2ab+b2 ） 仍然适用.
4 6 2 5
再见！
10，
A
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使 三角形的三边为 5， 5， 10，
（2）如图所示，AD⊥DC于D， BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
B
D P C
2 ①则AD=____
1 BC=____
拓展2
已知△ABP的一边AB=
10，
A
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使 三角形的三边为 5， 5， 10，