三角形的中位线习题精讲精析
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回顾与联想：平行四边形的判定方法
(1) AB ∥CD, BC∥AD
(2) AB=CD ，BC=AD (3) AB ∥CD,AB=CD (4) ∠A= ∠C ， ∠ B=∠ D
□ ABCD
(5) AO=OC, BO=OD
A
D
O
B
C
A、B两点被池塘隔开，现在要测量出A、B两 点间的距离 ，但又无法直接去测量，怎么办？
例1、如图，在四边形 ABCD 中，E、F、G、 H分别是AB 、BC、CD、DA的中点。四边 形EFGH 是平行四边形吗？为什么？
解：四边形EFGH是平行四边形.
A H
连接AC，在△ABC 中，
D
因为E、F分别是AB 、BC边的 E
中点，即EF是△ABC 的中位线.
G
1
所以EF//AC，EF= AC
。
C
F
观察猜想
在△ABC中，中位线 DE和边BC什么关系?
D
DELeabharlann BaiduBC
A E
DE和边BC关系
B
C
位置关系： 平行
数量关系：DE 是BC的一半
如图，点D、E分别是△ABC的边AB、
AC的中点，求证DE∥BC且DE= 1 BC
A
2
证明：延长 DE到F,使EF=DE, 连接FC 、DC、AF
∵AE=EC
C。
。
。B
E
练一练
1.三角形各边的长分别为6 cm 、8 cm 和 10 cm ，求连接各边中点所成三角形的周长1. 2 cm
AB=10 cm EF=5 cm
A
BC=8 cm DF=4 cm 10 cm D
AC=6 cm DE=3 cm
B 8 cm E
F 6 cm
C
三角形三条中位线所围成三角 形周长是 原三角形周长的一半
D
E
∴四边形ADCF 是平行四边形 CF ∥DA，CF=DA
∴CF ∥BD，CF=BD
∴四边形DBCF 是平行四边形
∴ DF∥BC，DF=BC
1
又∵ DE= 2DF ∴DE ∥BC 且DE=
1
BC
2
B
C
A
D
E F
想一想：还可以怎样做辅助线？
B
C
三角形中位线定理
三角形的中位线平行于第三边，
且等于第三边的一半
AB=6cm，AC=8cm ，BC=10cm ，
4.线段的倍分要转化为相等问题来解 决.
A D
B
F
证法四：如图，过E作AB的平行线交 BC于F，自A作BC的平行线交FE 于G
∵AG∥BC∴∠EAG= ∠ECF
G ∴△AEG ≌△CEF ∴AG=FC ，GE=EF
又AB∥GF ，AG∥BF∴四边形ABFG
是平行四边形
E
∴BF=AG=FC ，AB=GF
提示:连接AC或BD
课堂练习
2、△ABC中，D是AB中点，E是AC上的点， 且3AE=2AC，CD、BE交于O点. 求证：OE= 1 BE.
4
提示:取AE的中点F，连接 DF
总结
通过这节课的学习你有 哪些收获？
小结
1.三角形的中位线定义. 2.三角形的中位线定理. 3.三角形的中位线定理不仅给出了中位线 与第三边的关系，而且给出了他们的数量 关系，在三角形中给出一边的中点时，要 转化为中位线.
又D为AB中点，E为GF 中点， ∴DB∥=EF
C
∴四边形DBFE 是平行四边形
∴DE∥BF，即DE∥BC，DE=BF=FC
即DE=1/2BC
证明：
过D作DE' ∥BC，交AC于E' 点
∵D为AB边上的中点
A
∴E' 是AC的中点（经过三角形一
边的中点与另一边平行的直线必
E'
D
E
平分第三边）
所以DE' 与DE重合，因此 DE∥BC B
途 ② 证明一条线段是另一条线段 的2倍或1/2
A
D。 。E
B
图1
C
B
D 。 4 。F 53 。
A 图2 E
1.如图1：在△ABC中，DE是中位线 （1）若∠ADE=60°，
则∠B= 60 度，为什么？
（2）若BC=8cm ，
则DE= 4 cm，为什么？
2.如图2：在△ABC中，D、E、F分别 是各边中点
提示:证明△ABF ≌ △ECF,
得BF=CF, 再证OF是 △ABC 的中位线 . B
A O
G
F
D C
E
例3：已知 ABCD中，AC、BD相交于点 O，E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD的 中点。求 证：∠HEF ＝ ∠FGH 。
A
E F
B
D H
O
G
C
课堂练习
1．已知：如图， E、F、G、H分别是 AB 、BC 、CD 、DA 的中点．求证： 四边形EFGH 是平行四边形．
A
用符号语言表示
∵DE是△ABC的中位线
E
1
D
∴ DE∥BC， DE= BC.
2
适用范围:
B
C
① 证明平行问题
② 证明一条线段是另一条线段的 两倍或一半
如图，在 A、B外选一点C，连结AC和BC ， 并分别找出 AC和BC的中点D、E，如果能 测量出DE 的长度，也就能知道 AB的距离了。
A。
D。
三角形的中位线是连结三角形 两边中点 的线段 三角形的中线是连结一个顶点 和它的对边中点 的线段
理解三角形的中位线定义的 两层含义:
① ∵D、E分别为AB、AC的中点
∴DE为△ ABC 的中位线
② ∵ DE为△ ABC的中位线
D。
∴ D、E分别为AB、AC的中点
A 。E
一个三角形共有 三条中位线。
B
2
B
F
C
在△ADC中，同理可得
1
HG//AC，HG= AC
2
所以EF//HG，EF=HG
所以四边形EFGH是平行四边形
顺次连接四边形各边中点 的线段组 成一个平行四边形
温馨提示：
①有中点连线而无三角形,要作辅助线产生三角形 ②有三角形而无中位线,要连结两边中点得中位线
例2：已知:E为平行四边形ABCD 中DC边的延长 线上一点,且CE=DC,连结AE, 分别交BC 、BD 于 点F、G，连接AC交BD于O，连结OF. 求证: AB= 2 OF
这堂课，我们将教大家一种测量的方法。
A。
。B
连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线
A ∵D、 E分别为AB 、AC的中点
∴DE为△ABC 的中位线
D
E
画出△ABC中所有的中位线
B
F
注意
三角形有 三条中位线 C
DF、EF也为△ABC 的中位线
三角形的 中位线和三角形的 中线是否相同？
注意： 区分三角形的中位线和中线：
同样过 D作DF ∥AC ，交BC 于F
F
C
∴BF=FC= 1/2BC ( 经过三角形一边的中点与
另一边平行的直线必平分第三边 ) ∴四边形 DECF 是平行四边形 ∴DE=FC ∴ DE=1/2BC
D B
A
如果 DE是△ABC的中位线
E
那么 ⑴ DE∥BC，
⑵ DE=1/2BC
C
用 ① 证明平行问题
(1) AB ∥CD, BC∥AD
(2) AB=CD ，BC=AD (3) AB ∥CD,AB=CD (4) ∠A= ∠C ， ∠ B=∠ D
□ ABCD
(5) AO=OC, BO=OD
A
D
O
B
C
A、B两点被池塘隔开，现在要测量出A、B两 点间的距离 ，但又无法直接去测量，怎么办？
例1、如图，在四边形 ABCD 中，E、F、G、 H分别是AB 、BC、CD、DA的中点。四边 形EFGH 是平行四边形吗？为什么？
解：四边形EFGH是平行四边形.
A H
连接AC，在△ABC 中，
D
因为E、F分别是AB 、BC边的 E
中点，即EF是△ABC 的中位线.
G
1
所以EF//AC，EF= AC
。
C
F
观察猜想
在△ABC中，中位线 DE和边BC什么关系?
D
DELeabharlann BaiduBC
A E
DE和边BC关系
B
C
位置关系： 平行
数量关系：DE 是BC的一半
如图，点D、E分别是△ABC的边AB、
AC的中点，求证DE∥BC且DE= 1 BC
A
2
证明：延长 DE到F,使EF=DE, 连接FC 、DC、AF
∵AE=EC
C。
。
。B
E
练一练
1.三角形各边的长分别为6 cm 、8 cm 和 10 cm ，求连接各边中点所成三角形的周长1. 2 cm
AB=10 cm EF=5 cm
A
BC=8 cm DF=4 cm 10 cm D
AC=6 cm DE=3 cm
B 8 cm E
F 6 cm
C
三角形三条中位线所围成三角 形周长是 原三角形周长的一半
D
E
∴四边形ADCF 是平行四边形 CF ∥DA，CF=DA
∴CF ∥BD，CF=BD
∴四边形DBCF 是平行四边形
∴ DF∥BC，DF=BC
1
又∵ DE= 2DF ∴DE ∥BC 且DE=
1
BC
2
B
C
A
D
E F
想一想：还可以怎样做辅助线？
B
C
三角形中位线定理
三角形的中位线平行于第三边，
且等于第三边的一半
AB=6cm，AC=8cm ，BC=10cm ，
4.线段的倍分要转化为相等问题来解 决.
A D
B
F
证法四：如图，过E作AB的平行线交 BC于F，自A作BC的平行线交FE 于G
∵AG∥BC∴∠EAG= ∠ECF
G ∴△AEG ≌△CEF ∴AG=FC ，GE=EF
又AB∥GF ，AG∥BF∴四边形ABFG
是平行四边形
E
∴BF=AG=FC ，AB=GF
提示:连接AC或BD
课堂练习
2、△ABC中，D是AB中点，E是AC上的点， 且3AE=2AC，CD、BE交于O点. 求证：OE= 1 BE.
4
提示:取AE的中点F，连接 DF
总结
通过这节课的学习你有 哪些收获？
小结
1.三角形的中位线定义. 2.三角形的中位线定理. 3.三角形的中位线定理不仅给出了中位线 与第三边的关系，而且给出了他们的数量 关系，在三角形中给出一边的中点时，要 转化为中位线.
又D为AB中点，E为GF 中点， ∴DB∥=EF
C
∴四边形DBFE 是平行四边形
∴DE∥BF，即DE∥BC，DE=BF=FC
即DE=1/2BC
证明：
过D作DE' ∥BC，交AC于E' 点
∵D为AB边上的中点
A
∴E' 是AC的中点（经过三角形一
边的中点与另一边平行的直线必
E'
D
E
平分第三边）
所以DE' 与DE重合，因此 DE∥BC B
途 ② 证明一条线段是另一条线段 的2倍或1/2
A
D。 。E
B
图1
C
B
D 。 4 。F 53 。
A 图2 E
1.如图1：在△ABC中，DE是中位线 （1）若∠ADE=60°，
则∠B= 60 度，为什么？
（2）若BC=8cm ，
则DE= 4 cm，为什么？
2.如图2：在△ABC中，D、E、F分别 是各边中点
提示:证明△ABF ≌ △ECF,
得BF=CF, 再证OF是 △ABC 的中位线 . B
A O
G
F
D C
E
例3：已知 ABCD中，AC、BD相交于点 O，E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD的 中点。求 证：∠HEF ＝ ∠FGH 。
A
E F
B
D H
O
G
C
课堂练习
1．已知：如图， E、F、G、H分别是 AB 、BC 、CD 、DA 的中点．求证： 四边形EFGH 是平行四边形．
A
用符号语言表示
∵DE是△ABC的中位线
E
1
D
∴ DE∥BC， DE= BC.
2
适用范围:
B
C
① 证明平行问题
② 证明一条线段是另一条线段的 两倍或一半
如图，在 A、B外选一点C，连结AC和BC ， 并分别找出 AC和BC的中点D、E，如果能 测量出DE 的长度，也就能知道 AB的距离了。
A。
D。
三角形的中位线是连结三角形 两边中点 的线段 三角形的中线是连结一个顶点 和它的对边中点 的线段
理解三角形的中位线定义的 两层含义:
① ∵D、E分别为AB、AC的中点
∴DE为△ ABC 的中位线
② ∵ DE为△ ABC的中位线
D。
∴ D、E分别为AB、AC的中点
A 。E
一个三角形共有 三条中位线。
B
2
B
F
C
在△ADC中，同理可得
1
HG//AC，HG= AC
2
所以EF//HG，EF=HG
所以四边形EFGH是平行四边形
顺次连接四边形各边中点 的线段组 成一个平行四边形
温馨提示：
①有中点连线而无三角形,要作辅助线产生三角形 ②有三角形而无中位线,要连结两边中点得中位线
例2：已知:E为平行四边形ABCD 中DC边的延长 线上一点,且CE=DC,连结AE, 分别交BC 、BD 于 点F、G，连接AC交BD于O，连结OF. 求证: AB= 2 OF
这堂课，我们将教大家一种测量的方法。
A。
。B
连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线
A ∵D、 E分别为AB 、AC的中点
∴DE为△ABC 的中位线
D
E
画出△ABC中所有的中位线
B
F
注意
三角形有 三条中位线 C
DF、EF也为△ABC 的中位线
三角形的 中位线和三角形的 中线是否相同？
注意： 区分三角形的中位线和中线：
同样过 D作DF ∥AC ，交BC 于F
F
C
∴BF=FC= 1/2BC ( 经过三角形一边的中点与
另一边平行的直线必平分第三边 ) ∴四边形 DECF 是平行四边形 ∴DE=FC ∴ DE=1/2BC
D B
A
如果 DE是△ABC的中位线
E
那么 ⑴ DE∥BC，
⑵ DE=1/2BC
C
用 ① 证明平行问题