高一三角函数与平面向量综合题

讲座 三角形内的三角函数问题

○知识梳理

1.内角和定理：三角形三角和为π，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！

任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.

,sin()sin ,sin

cos 22

A B C

A B C A B C π++=-+== 锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值为正值⇔任两角和都是钝角⇔

任意两边的平方和大于第三边的平方.

A>B a>b sinA>sinB ⇔⇔，60⇔o A,B,C 成等差数列B=

2.正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C

===(R 为三角形外接圆的半径).

注意：①正弦定理的一些变式：

()sin sin sin i a b c A B C ::=::；

()sin ,sin ,sin 222a b c

ii A B C R R R

=

==

； ()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===；

②已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解. 3.余弦定理：2

2

2

2222cos ,cos 2b c a a b c bc A A bc

+-=+-=等，常选用余弦定理鉴定

三角形的形状. 4.面积公式：

222111222

111sin sin sin 222sin sin sin sin sin sin 1112sin 2sin 2sin 1()2

==========++=a b c

S ah bh ch ab C bc A ca B B C C A A B a b a A B C r a b c （其中r 为三角形内切圆半径,2

a b c

p ++=）.

5.射影定理：

a ＝

b ·cos C ＋

c ·cos B ，b ＝a ·cos C ＋c ·cos A ，c ＝a ·cos B ＋c ·cos A ．

特别提醒：求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。

○浙江真题

1．（2010年（18））在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c ，已知1

cos 24

C =- (I)求sinC 的值；

(Ⅱ)当a=2， 2sinA=sinC 时，求b 及c 的长．

2．（2011（18））在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知

()sin sin sin ,A C p B p R +=∈且21

4

ac b =.

（Ⅰ）当5

,14

p b ==时，求,a c 的值；

(Ⅱ) 若角B 为锐角，求p 的取值范围。

3．（12年样卷） (18) 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知tan (A ＋B )＝2．

(Ⅰ) 求sin C 的值；

(Ⅱ) 当a ＝1，c b 的值．

○例题分析

【例1】 (2011年高考陕西卷理科18)（本小题满分12分）叙述并证明余弦定理

【例2】 (2011年高考湖南卷理科17) （本小题满分12分）

在ABC ∆中，角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，，且满足C a A c cos sin =.

()I 求角C 的大小； ()II 求

⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+-4cos sin 3πB A 的最大值，并求取得最大值时角B A ，的大小.

【例3】已知圆内接四边形ABCD 的边长AB =2，BC =6，CD =DA =4.求四边形ABCD 的面积.

【例4】 (2011年高考全国卷理科17) (本小题满分l0分)

△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知A—C=90°，a+c=2b，求C.【例5】 (2011年高考山东卷理科17)（本小题满分12分）

在V ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos A-2cosC2c-a

=

cos B b

.

（1）求sin

sin

C

A

的值；（2）若cosB=

1

4

，2

b=,求ABC

∆的面积.

○巩固练习

1.(2011年高考辽宁卷理科4)△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ， asin AsinB+bcos 2A=2a 则

b

a

=（ ） (A) 23 (B) 22 (C)

3 (D)2

2、在△OAB 中，O 为坐标原点，]2

,0(),1,(sin ),cos ,1(π

θθθ∈B A ，则当△OAB 的面积达最

大值时，=θ（ ）

A ．

6

π B ．

4

π C ．

3

π D ．

2

π 3. (2011年高考天津卷理科6)如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且

,23,2AB AD AB BD BC BD ===，则sin C 的值为（ ）

A ．

33 B ．36 C ．63 D ．66

4.(2011年高考重庆卷理科6)若ABC ∆的内角,,A B C 所对的边,,a b c 满足

22()4a b c +-=，且060C =，则ab 的值为

（A ）

43 (B) 843- (C)1 (D) 23

5．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若(

)

C a A c b cos cos 3=-，

则=A cos

。

6. (2011年高考全国新课标卷理科16)在ABC ∆中，60,3B AC ==o

2AB BC

+的最大值为 。

7．在ΔABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且3

1

cos =

A . （Ⅰ）求A C

B 2cos 2

sin

2

++的值； （Ⅱ）若3=

a ，求bc 的最大值.