高分子水凝胶材料研究中分子模拟的研究
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Monte Carlo 方法的基本思想和特征
Monte Carlo 方法能用于求解确定性的数学问题 但它更适宜于求解随机 方法能用于求解确定性的数学问题,但它更适宜于 但它更适宜于求解随机 性问题。 性问题。 它的最基本思想是 为了求解数学 物理或化学等问题,首先需要建立一 它的最基本思想是:为了求解数学、物理或化学等问题 首先需要建立一 基本思想 为了求解数学、 使它的参数等于问题的解;当所解的问题本身属 概率模型或随机过程 使它的参数等于问题的解 个概率模型或随机过程,使它的参数等于问题的解 当所解的问题本身属 随机性问题时,则可采用直接模拟法,即根据实际物理 随机性问题时,则可采用直接模拟法,即根据实际物理、化学情况的概率 则可采用直接模拟法 即根据实际物理、 法则来构造Monte Carlo 模型 然后通过对模型或过程的观察或抽样试验 模型;然后通过对模型或过程的观察或抽样试验 法则来构造 来计算所求参数的统计特征;最后给出所求问题的近似解。 来计算所求参数的统计特征 最后给出所求问题的近似解。 最后给出所求问题的近似解 在高分子科学中的Monte Carlo 模拟主要采用直接模拟方法 因为高分子 模拟主要采用直接模拟方法 直接模拟方法,因为高分子 在高分子科学中的 科学中的很多问题本身就属于随机性问题。 科学中的很多问题本身就属于随机性问题。
水凝胶凝胶化过程的 Monte Carlo模拟
Monte Carlo 方法的历史
Monte Carlo 模拟方法又被称为随机抽样法、随机模拟法、统计实验法。 模拟方法又被称为随机抽样法 随机模拟法、统计实验法。 随机抽样法、 它起源于20 世纪40 年代对中子扩散问题的模拟,即通过计算机对中子行 它起源于 世纪 年代对中子扩散问题的模拟 即通过计算机对中子行 为进行随机抽样模拟,然后从大量的中子样本参数中得到所需的结果。 为进行随机抽样模拟 然后从大量的中子样本参数中得到所需的结果。 然后从大量的中子样本参数中得到所需的结果 方法诞生以来,随着电子计算机的迅速发展 随着电子计算机的迅速发展,人们开始有 从Monte Carlo 方法诞生以来 随着电子计算机的迅速发展 人们开始有 意识地、广泛地、系统地应用随机抽样方法来解决大量数学和物理等方 意识地、广泛地、系统地应用随机抽样方法来解决大量数学和物理等方 大量数学和物理 面的问题,并且将 方法作为一种独立的计算方法来进行研究, 面的问题 并且将Monte Carlo 方法作为一种独立的计算方法来进行研究 并且将 也使得Monte Carlo 方法向各个学科领域渗透。 方法向各个学科领域渗透。 也使得 除了对中子扩散等所谓的粒子输运问题的应用之外,Monte Carlo 方法还 除了对中子扩散等所谓的粒子输运问题的应用之外 被广泛的用来模拟各种平衡态和非平衡态的经典统计力学问题 以及量子 被广泛的用来模拟各种平衡态和非平衡态的经典统计力学问题,以及量子 平衡态和非平衡态的经典统计力学问题 统计等问题。 统计等问题。 等问题
低分子溶液
高分子溶液
——溶剂分子 溶剂分子 ——溶质分子 溶质分子
——溶剂分子 溶剂分子 ——溶质分子 溶质分子
目的：求解 个溶剂分子和N 个高分子链混合， 目的：求解N1个溶剂分子和 2个高分子链混合，在N=N1+XN2格子中 排不方式 步骤如下： 步骤如下： 1、假定已有 个高分子无规地方在格子中，即jx格子已被填满，剩下 个高分子无规地方在格子中， 格子已被填满， 、假定已有j个高分子无规地方在格子中 格子已被填满 N- jx个格子是空的。现在，若放入 个高分子，问其排列方式 个格子是空的。 个高分子， 个格子是空的 现在，若放入j+1个高分子 问其排列方式W j+1=？ ？ 第一个链段放入时有N-jx种排列方式， 种排列方式， 第一个链段放入时有 种排列方式 N − jx 第二个链段放入时有 Za = z N 依次类推， 个高分子放进格子中时， 依次类推，……第j+1个高分子放进格子中时，总的排列方式为： 第 个高分子放进格子中时 总的排列方式为：
水溶性高分子弱凝胶体系凝胶化过程模拟
1 Z( Z−1) W+1 = • j Q Nx−1
x−2
( N− jx)( N− jx−1)( N− jx−2)KN− jx−( x−1)
将上式分子、分母同乘以：
L ( N − jx − x)( N − jx − x −1)L 1
化简得：
1 ( Z − 1) W j +1 = • Q N x −1
Monte Carlo 方法的优势
Monte Carlo 方法被直接称为“计算机实验”。它已经成为与理论方法 方法被直接称为“计算机实验” 和实验方法并立的科学研究的第三分支 第三分支。 和实验方法并立的科学研究的第三分支。 “计算机实验” 可以获得关于所考察体系的任意详尽的信息。虽然 计算机实验” 可以获得关于所考察体系的任意详尽的信息。 Monte Carlo 模拟的结果总是伴随着统计误差 但从原理上来看 只要增 模拟的结果总是伴随着统计误差,但从原理上来看 只要增 但从原理上来看,只要 加统计样本数就可使误差减少到所希望的程度。 加统计样本数就可使误差减少到所希望的程度。 实验法的弊端：由实验方法所获得的关于研究体系的信息也会存在不可 实验法的弊端： 靠性。在通常情况下,人们在实验前不可能完全了解体系内的各相互作用 靠性。在通常情况下 人们在实验前不可能完全了解体系内的各相互作用 量,因而对实验的设计和实验过程中各项条件的控制就不可避免地带有盲 因而对实验的设计和实验过程中各项条件的控制就不可避免地带有盲 目性。 目性。无法确定实验观察到的现象究竟是体系的实在特征还是由实验体 系中的某些未知杂质或一些未加控制的实验条件所导致。 系中的某些未知杂质或一些未加控制的实验条件所导致。 Monte Carlo 模拟出的各种微观状态足以描绘出体系的静态和动态行为 模拟出的各种微观状态足以描绘出体系的静态和动态行为, 可以在分子水平上跟踪体系演化过程。可以说,只有 计算机模拟” 分子水平上跟踪体系演化过程 只有” 可以在分子水平上跟踪体系演化过程。可以说 只有”计算机模拟”才能 达到对一个模型体系进行精确定义,才能真正自如的控制体系的各种内部 达到对一个模型体系进行精确定义 才能真正自如的控制体系的各种内部 和外部参数,从而来考察所感兴趣的因素与模型体系的各种统计性质间的 和外部参数 从而来考察所感兴趣的因素与模型体系的各种统计性质间的 关系。 关系。
x −1
( N − jx )! • ( N − jx − 1)!
2、设溶液中共有N2个相同的高分子，当他们互相对 换位置 时，并不引起排列方式的改变，故总的排列 方式为： 1 W = W1W 2W 3 LL W N 2 N2!
1 1 Z −1 = • N2 N2! Q N
N 2 ( x − 1)
Monte Carlo 方法在高分子中的应用
Monte Carlo 方法能广泛地被用于高分子科学的研究中 是因为高分子科学中存 方法能广泛地被用于高分子科学的研究中,是因为高分子科学中存 在大量的随机性问题 且某些问题只存在统计学上的意义,而这正是 随机性问题,且某些问题只存在统计学上的意义 而这正是Monte Carlo 在大量的随机性问题 且某些问题只存在统计学上的意义 而这正是 方法所擅长的问题。比如用Monte Carlo 模拟高分子的链回转半径、相平衡、 模拟高分子的链回转半径 相平衡、 链回转半径、 方法所擅长的问题。比如用 共聚高分子的序列问题、高分子链的构象统计、共混、 共聚高分子的序列问题、高分子链的构象统计、共混、结晶以及模拟高聚物的 聚合反应等。 聚合反应等。 高分子链一般由大量的重复单元构成,分子量一般在 之间。 高分子链一般由大量的重复单元构成 分子量一般在104～106 之间。由于聚合反 分子量一般在 应本身的随机性特点,高分子系统内各个成员之间存在着与其生成机理密切相关 应本身的随机性特点 高分子系统内各个成员之间存在着与其生成机理密切相关 的特定分布。在多元聚合中,共聚物不仅具有分子量分布 共聚物不仅具有分子量分布,还有不同种单元在高分 的特定分布。在多元聚合中 共聚物不仅具有分子量分布 还有不同种单元在高分 子链上的排列问题。此外,在多官能团的聚合反应中的支化和凝胶化问题,高分子 在多官能团的聚合反应中的支化和凝胶化问题 子链上的排列问题。此外 在多官能团的聚合反应中的支化和凝胶化问题 高分子 链的热降解和辐射降解等等,无一不是随机性问题 无一不是随机性问题。 链的热降解和辐射降解等等 无一不是随机性问题。 在高分子物理方面,一般高分子链可因热运动而绕其化学键作内旋转,使高分子链 在高分子物理方面 一般高分子链可因热运动而绕其化学键作内旋转 使高分子链 一般高分子链可因热运动而绕其化学键作内旋转 的形状不停的发生变化,以致对单个高分子链的构象统计也成为十分复杂的问题 以致对单个高分子链的构象统计也成为十分复杂的问题。 的形状不停的发生变化 以致对单个高分子链的构象统计也成为十分复杂的问题。 而且,高分子链的构象或链的形状也强烈地依赖于溶剂性质、温度等环境因素 高分子链的构象或链的形状也强烈地依赖于溶剂性质 等环境因素,从 而且 高分子链的构象或链的形状也强烈地依赖于溶剂性质、温度等环境因素 从 而增加了问题的复杂度。 而增加了问题的复杂度。由结构和性质如此复杂的个体所构成的高分子浓溶液 乃至本体的多链体系则具有更复杂、更深刻的统计意义。 乃至本体的多链体系则具有更复杂、更深刻的统计意义。
Monte Carlo 中对高分子链模拟的理论基础
Flory-Huggins高分子“晶格模型”理论 高分子“晶格模型” 高分子 该理论有六条假设： 该理论有六条假设： 1、在晶格中每个溶剂分子占有一个格子，而高分子有x个链段所组成。每 、在晶格中每个溶剂分子占有一个格子，而高分子有 个链段所组成 个链段所组成。 个链段占有一个格子，整个高分子占有x个相连的格子 个相连的格子。 个链段占有一个格子，整个高分子占有 个相连的格子。 2、高分子可以自由弯曲，所有构象具有相同的能量（即大分子链为“链段” 、高分子可以自由弯曲，所有构象具有相同的能量（即大分子链为“链段” 组成的自由连接链）； 组成的自由连接链）； 3、任意链段与溶剂分子可以在晶格上相互取代而无影响； 、任意链段与溶剂分子可以在晶格上相互取代而无影响； 4、各个链段均匀分布在晶格中，即占有任意晶格的机率相等； 、各个链段均匀分布在晶格中，即占有任意晶格的机率相等； 5、晶格的配位数为Z，Z不依赖于组分； 、晶格的配位数为 ， 不依赖于组分 不依赖于组分； 6、所有高分子具有相同的聚合度。 、所有高分子具有相同的聚合度。 模型如下图所示： 模型如下图所示：
N! ( N − xN 2 )!
Monte Carlo 中的高分子处理模型
Monte Carlo 模拟中所有对高分子链的统计处理都基于上面的晶格模型 理论。 理论。
Monte Carlo 模拟的系统多采用由立方格子整齐地堆积而成的模型 即格 模拟的系统多采用由立方格子整齐地堆积而成的模型,即格 子模型。比如50 ×50 ×50 ,32 ×32 ×256 等,每一个格子只可容纳一 子模型。比如 每一个格子只可容纳一 个高分子链节或溶剂分子等,或代表一个空格。在模拟过程中 可以用以 个高分子链节或溶剂分子等 或代表一个空格。在模拟过程中,可以用以 或代表一个空格 下一些方法来实现高分子链形状的改变:曲柄运动、摆尾运动、 形翻转、 下一些方法来实现高分子链形状的改变 曲柄运动、摆尾运动、L 形翻转、 曲柄运动 蛇行运动、 切除—生长法 空穴扩散法、键长涨落模型等。 生长法、 蛇行运动、RR 切除 生长法、空穴扩散法、键长涨落模型等。也可以 模拟多个分子链在格子模型中复杂的分布状态。 模拟多个分子链在格子模型中复杂的分布状态。
Monte Carlo 方法的基本思想和特征
Monte Carlo 方法能用于求解确定性的数学问题 但它更适宜于求解随机 方法能用于求解确定性的数学问题,但它更适宜于 但它更适宜于求解随机 性问题。 性问题。 它的最基本思想是 为了求解数学 物理或化学等问题,首先需要建立一 它的最基本思想是:为了求解数学、物理或化学等问题 首先需要建立一 基本思想 为了求解数学、 使它的参数等于问题的解;当所解的问题本身属 概率模型或随机过程 使它的参数等于问题的解 个概率模型或随机过程,使它的参数等于问题的解 当所解的问题本身属 随机性问题时,则可采用直接模拟法,即根据实际物理 随机性问题时,则可采用直接模拟法,即根据实际物理、化学情况的概率 则可采用直接模拟法 即根据实际物理、 法则来构造Monte Carlo 模型 然后通过对模型或过程的观察或抽样试验 模型;然后通过对模型或过程的观察或抽样试验 法则来构造 来计算所求参数的统计特征;最后给出所求问题的近似解。 来计算所求参数的统计特征 最后给出所求问题的近似解。 最后给出所求问题的近似解 在高分子科学中的Monte Carlo 模拟主要采用直接模拟方法 因为高分子 模拟主要采用直接模拟方法 直接模拟方法,因为高分子 在高分子科学中的 科学中的很多问题本身就属于随机性问题。 科学中的很多问题本身就属于随机性问题。
水凝胶凝胶化过程的 Monte Carlo模拟
Monte Carlo 方法的历史
Monte Carlo 模拟方法又被称为随机抽样法、随机模拟法、统计实验法。 模拟方法又被称为随机抽样法 随机模拟法、统计实验法。 随机抽样法、 它起源于20 世纪40 年代对中子扩散问题的模拟,即通过计算机对中子行 它起源于 世纪 年代对中子扩散问题的模拟 即通过计算机对中子行 为进行随机抽样模拟,然后从大量的中子样本参数中得到所需的结果。 为进行随机抽样模拟 然后从大量的中子样本参数中得到所需的结果。 然后从大量的中子样本参数中得到所需的结果 方法诞生以来,随着电子计算机的迅速发展 随着电子计算机的迅速发展,人们开始有 从Monte Carlo 方法诞生以来 随着电子计算机的迅速发展 人们开始有 意识地、广泛地、系统地应用随机抽样方法来解决大量数学和物理等方 意识地、广泛地、系统地应用随机抽样方法来解决大量数学和物理等方 大量数学和物理 面的问题,并且将 方法作为一种独立的计算方法来进行研究, 面的问题 并且将Monte Carlo 方法作为一种独立的计算方法来进行研究 并且将 也使得Monte Carlo 方法向各个学科领域渗透。 方法向各个学科领域渗透。 也使得 除了对中子扩散等所谓的粒子输运问题的应用之外,Monte Carlo 方法还 除了对中子扩散等所谓的粒子输运问题的应用之外 被广泛的用来模拟各种平衡态和非平衡态的经典统计力学问题 以及量子 被广泛的用来模拟各种平衡态和非平衡态的经典统计力学问题,以及量子 平衡态和非平衡态的经典统计力学问题 统计等问题。 统计等问题。 等问题
低分子溶液
高分子溶液
——溶剂分子 溶剂分子 ——溶质分子 溶质分子
——溶剂分子 溶剂分子 ——溶质分子 溶质分子
目的：求解 个溶剂分子和N 个高分子链混合， 目的：求解N1个溶剂分子和 2个高分子链混合，在N=N1+XN2格子中 排不方式 步骤如下： 步骤如下： 1、假定已有 个高分子无规地方在格子中，即jx格子已被填满，剩下 个高分子无规地方在格子中， 格子已被填满， 、假定已有j个高分子无规地方在格子中 格子已被填满 N- jx个格子是空的。现在，若放入 个高分子，问其排列方式 个格子是空的。 个高分子， 个格子是空的 现在，若放入j+1个高分子 问其排列方式W j+1=？ ？ 第一个链段放入时有N-jx种排列方式， 种排列方式， 第一个链段放入时有 种排列方式 N − jx 第二个链段放入时有 Za = z N 依次类推， 个高分子放进格子中时， 依次类推，……第j+1个高分子放进格子中时，总的排列方式为： 第 个高分子放进格子中时 总的排列方式为：
水溶性高分子弱凝胶体系凝胶化过程模拟
1 Z( Z−1) W+1 = • j Q Nx−1
x−2
( N− jx)( N− jx−1)( N− jx−2)KN− jx−( x−1)
将上式分子、分母同乘以：
L ( N − jx − x)( N − jx − x −1)L 1
化简得：
1 ( Z − 1) W j +1 = • Q N x −1
Monte Carlo 方法的优势
Monte Carlo 方法被直接称为“计算机实验”。它已经成为与理论方法 方法被直接称为“计算机实验” 和实验方法并立的科学研究的第三分支 第三分支。 和实验方法并立的科学研究的第三分支。 “计算机实验” 可以获得关于所考察体系的任意详尽的信息。虽然 计算机实验” 可以获得关于所考察体系的任意详尽的信息。 Monte Carlo 模拟的结果总是伴随着统计误差 但从原理上来看 只要增 模拟的结果总是伴随着统计误差,但从原理上来看 只要增 但从原理上来看,只要 加统计样本数就可使误差减少到所希望的程度。 加统计样本数就可使误差减少到所希望的程度。 实验法的弊端：由实验方法所获得的关于研究体系的信息也会存在不可 实验法的弊端： 靠性。在通常情况下,人们在实验前不可能完全了解体系内的各相互作用 靠性。在通常情况下 人们在实验前不可能完全了解体系内的各相互作用 量,因而对实验的设计和实验过程中各项条件的控制就不可避免地带有盲 因而对实验的设计和实验过程中各项条件的控制就不可避免地带有盲 目性。 目性。无法确定实验观察到的现象究竟是体系的实在特征还是由实验体 系中的某些未知杂质或一些未加控制的实验条件所导致。 系中的某些未知杂质或一些未加控制的实验条件所导致。 Monte Carlo 模拟出的各种微观状态足以描绘出体系的静态和动态行为 模拟出的各种微观状态足以描绘出体系的静态和动态行为, 可以在分子水平上跟踪体系演化过程。可以说,只有 计算机模拟” 分子水平上跟踪体系演化过程 只有” 可以在分子水平上跟踪体系演化过程。可以说 只有”计算机模拟”才能 达到对一个模型体系进行精确定义,才能真正自如的控制体系的各种内部 达到对一个模型体系进行精确定义 才能真正自如的控制体系的各种内部 和外部参数,从而来考察所感兴趣的因素与模型体系的各种统计性质间的 和外部参数 从而来考察所感兴趣的因素与模型体系的各种统计性质间的 关系。 关系。
x −1
( N − jx )! • ( N − jx − 1)!
2、设溶液中共有N2个相同的高分子，当他们互相对 换位置 时，并不引起排列方式的改变，故总的排列 方式为： 1 W = W1W 2W 3 LL W N 2 N2!
1 1 Z −1 = • N2 N2! Q N
N 2 ( x − 1)
Monte Carlo 方法在高分子中的应用
Monte Carlo 方法能广泛地被用于高分子科学的研究中 是因为高分子科学中存 方法能广泛地被用于高分子科学的研究中,是因为高分子科学中存 在大量的随机性问题 且某些问题只存在统计学上的意义,而这正是 随机性问题,且某些问题只存在统计学上的意义 而这正是Monte Carlo 在大量的随机性问题 且某些问题只存在统计学上的意义 而这正是 方法所擅长的问题。比如用Monte Carlo 模拟高分子的链回转半径、相平衡、 模拟高分子的链回转半径 相平衡、 链回转半径、 方法所擅长的问题。比如用 共聚高分子的序列问题、高分子链的构象统计、共混、 共聚高分子的序列问题、高分子链的构象统计、共混、结晶以及模拟高聚物的 聚合反应等。 聚合反应等。 高分子链一般由大量的重复单元构成,分子量一般在 之间。 高分子链一般由大量的重复单元构成 分子量一般在104～106 之间。由于聚合反 分子量一般在 应本身的随机性特点,高分子系统内各个成员之间存在着与其生成机理密切相关 应本身的随机性特点 高分子系统内各个成员之间存在着与其生成机理密切相关 的特定分布。在多元聚合中,共聚物不仅具有分子量分布 共聚物不仅具有分子量分布,还有不同种单元在高分 的特定分布。在多元聚合中 共聚物不仅具有分子量分布 还有不同种单元在高分 子链上的排列问题。此外,在多官能团的聚合反应中的支化和凝胶化问题,高分子 在多官能团的聚合反应中的支化和凝胶化问题 子链上的排列问题。此外 在多官能团的聚合反应中的支化和凝胶化问题 高分子 链的热降解和辐射降解等等,无一不是随机性问题 无一不是随机性问题。 链的热降解和辐射降解等等 无一不是随机性问题。 在高分子物理方面,一般高分子链可因热运动而绕其化学键作内旋转,使高分子链 在高分子物理方面 一般高分子链可因热运动而绕其化学键作内旋转 使高分子链 一般高分子链可因热运动而绕其化学键作内旋转 的形状不停的发生变化,以致对单个高分子链的构象统计也成为十分复杂的问题 以致对单个高分子链的构象统计也成为十分复杂的问题。 的形状不停的发生变化 以致对单个高分子链的构象统计也成为十分复杂的问题。 而且,高分子链的构象或链的形状也强烈地依赖于溶剂性质、温度等环境因素 高分子链的构象或链的形状也强烈地依赖于溶剂性质 等环境因素,从 而且 高分子链的构象或链的形状也强烈地依赖于溶剂性质、温度等环境因素 从 而增加了问题的复杂度。 而增加了问题的复杂度。由结构和性质如此复杂的个体所构成的高分子浓溶液 乃至本体的多链体系则具有更复杂、更深刻的统计意义。 乃至本体的多链体系则具有更复杂、更深刻的统计意义。
Monte Carlo 中对高分子链模拟的理论基础
Flory-Huggins高分子“晶格模型”理论 高分子“晶格模型” 高分子 该理论有六条假设： 该理论有六条假设： 1、在晶格中每个溶剂分子占有一个格子，而高分子有x个链段所组成。每 、在晶格中每个溶剂分子占有一个格子，而高分子有 个链段所组成 个链段所组成。 个链段占有一个格子，整个高分子占有x个相连的格子 个相连的格子。 个链段占有一个格子，整个高分子占有 个相连的格子。 2、高分子可以自由弯曲，所有构象具有相同的能量（即大分子链为“链段” 、高分子可以自由弯曲，所有构象具有相同的能量（即大分子链为“链段” 组成的自由连接链）； 组成的自由连接链）； 3、任意链段与溶剂分子可以在晶格上相互取代而无影响； 、任意链段与溶剂分子可以在晶格上相互取代而无影响； 4、各个链段均匀分布在晶格中，即占有任意晶格的机率相等； 、各个链段均匀分布在晶格中，即占有任意晶格的机率相等； 5、晶格的配位数为Z，Z不依赖于组分； 、晶格的配位数为 ， 不依赖于组分 不依赖于组分； 6、所有高分子具有相同的聚合度。 、所有高分子具有相同的聚合度。 模型如下图所示： 模型如下图所示：
N! ( N − xN 2 )!
Monte Carlo 中的高分子处理模型
Monte Carlo 模拟中所有对高分子链的统计处理都基于上面的晶格模型 理论。 理论。
Monte Carlo 模拟的系统多采用由立方格子整齐地堆积而成的模型 即格 模拟的系统多采用由立方格子整齐地堆积而成的模型,即格 子模型。比如50 ×50 ×50 ,32 ×32 ×256 等,每一个格子只可容纳一 子模型。比如 每一个格子只可容纳一 个高分子链节或溶剂分子等,或代表一个空格。在模拟过程中 可以用以 个高分子链节或溶剂分子等 或代表一个空格。在模拟过程中,可以用以 或代表一个空格 下一些方法来实现高分子链形状的改变:曲柄运动、摆尾运动、 形翻转、 下一些方法来实现高分子链形状的改变 曲柄运动、摆尾运动、L 形翻转、 曲柄运动 蛇行运动、 切除—生长法 空穴扩散法、键长涨落模型等。 生长法、 蛇行运动、RR 切除 生长法、空穴扩散法、键长涨落模型等。也可以 模拟多个分子链在格子模型中复杂的分布状态。 模拟多个分子链在格子模型中复杂的分布状态。