多元函数积分定义

D
解
z
∫∫ f ( x , y )dσ = lim ∑ f (ξ i ,ηi )∆σ i λ →0 i =1
D
n
z = f ( x, y)
曲顶柱体
o
x
D任意划分为 个子域∆σi 任意划分为n个子域 任意划分为 (ξi ,ηi ) ∆σ i y 点 ( ξ i , η i ) ∈ ∆ σ i
D
小平顶柱体体积 =f ( ξ i ,η i ) ∆σ i 高×底面积
dg ∫∫ ff((Px))dx ＝lim ∑ f ( ξ i )∆xi λ →0 i =1
b
Ga
n
为平面有界闭区域（ （2）当G为平面有界闭区域（常记为 ）时， ） 为平面有界闭区域 常记为D f ( P ) = f ( x , y )，x , y ) ∈ D， 二重积分 ( 称为二重积分 称为 n
第一节 多元函数积分的概念与性质 1. 物体质量的计算
设有一质量非均匀分布的物体， 设有一质量非均匀分布的物体，其密度 是点M的函数 是点 的函数 µ = f (M ). 已知，怎样求物体的质量呢？ 如果函数 f 已知，怎样求物体的质量呢？
在定积分中， 在定积分中，一根线密度为
µ = f ( M ) = f ( x)
n
( P )d ∫∫ ff ( x , )ydgσ = lim ∑ f (ξ i ,ηi )∆σ i ∫G λ →0 i =1
D
Ω 就 是 积 分 域 ， dv 称 为 体 积 元 素 .
Ω
G
为平面有限曲线段（ （4）当G为平面有限曲线段（常记为 ） ） 为平面有限曲线段 常记为L） 或空间有限曲线段（ 或空间有限曲线段（常记为 Γ）时， f ( P ) = f ( x , y )， , y ) ∈ L (x
∫∫ f ( x , y )dσ = lim ∑ f (ξ i ,ηi )∆σ i = V λ →0 i =1
D
n
z
f ( ξ i ,η i )
z = f ( x, y )
小柱体体积无限累加 得到以曲面为顶， 得到以曲面为顶，
y
区域D为底的曲顶 区域 为底的曲顶 为底的
o
x
D
•
的体积V. 柱体的体积 柱体的体积 (ξ ,η )
y dS ∫∫ f∫( xf, ( ,pz))dg = lim ∑ f (ξ i ,ηi ,ζ i )∆Si G λ →0
∑
n
i =1
称为积分曲面 积分曲面， 称为曲面面积元素. 称为曲面面积元素 Σ 称为积分曲面，dS称为曲面面积元素
例1 设 z = f ( x , y ) 在 有 界 闭 区 域 D 连 续 ， 的几何意义. 讨论二重积分 ∫∫ f ( x , y )dσ 的几何意义
∫ f ( P )dg = lim ∑ f ( P )∆g λ
G →0 i =1 i
n
i
积分和
积分号
G
被积函数 元素
∫ f ( P ) dg
积分域
被积式或 积分微元
∫ f ( P )dg = lim ∑ f ( P )∆g λ
G →0 i =1 i
n
i
为不同的几何形体时， 当G为不同的几何形体时，对应的积 为不同的几何形体时 分有不同的名称和表达式： 分有不同的名称和表达式： （1）当G是 x 轴上的闭区间 ） 是 轴上的闭区间[a,b], f ( P ) = f ( x ), x ∈ [a , b], 称为定积分 称为定积分
它的质量可通过分割、近似、 它的质量可通过分割、近似、 的细直棒AB， 的细直棒 ， 求和、取极限 四个步骤化为定积分 求和、
m = lim ∑ f ( ξ i )∆xi =
λ →0
i =1 n
∫
b
A
o a= x = 0
ξi
a
f ( x )dx
B
x i −1
xi
b= xn =
x
平面薄板的质量 设它所占的平面区域为D， 设它所占的平面区域为 ，其密度为 上连续， 上连续 µ = f ( M) = f ( x. y) 在D上连续， 类似于对直棒的处理 ------“化整为零” 化整为零” 化整为零 可按如下步骤计算它的质量. 可按如下步骤计算它的质量
当所有∆gi的直径的最大值λ → 0时，和式
∑ f ( P )∆g
i =1 i
n
i
都趋于同一常数，
那 么 ， 称 函 数 f 在 G上 可 积 ， 且 此 常 数
为多元函数 f 在G上的积分.记作
∫ f ( P )dg = lim ∑ f ( P )∆g λ
G →0 i =1 i
n
i
Fra Baidu bibliotek
函数f ( p ) 在几何形体G上的积分
i =1 i =1
【取极限】 λ = max {∆gi的直径} 取极限】 n
m = lim ∑ f ( M i )∆gi
λ →0
i =1
2. 多元函数积分的概念
定义 表示一个有界的可度量几何形体， 设G表示一个有界的可度量几何形体， 表示一个有界的可度量几何形体
函数f ( P ) 在G上有界. 将 G 任 意 划 分 为 n个
x
∫∫ f ( x, y)dσ = −V
D
3.多元函数积分的性质 多元函数积分的性质
多元积分的存在性与定积分类似： 多元积分的存在性与定积分类似：
若函数 f 在有界闭集G上连续，
则 f 在G上可积.
当函数f ( P ), h( P )可积时，多元函数
积分有与定积分类似的性质.
性质1 线性性质） 性质1 （线性性质）
(1)∫ kf ( P ) dg = k ∫ f ( P ) dg
G G
为 ( k为常数 )
(2)∫ [ f ( P ) ± h( P )] dg
G
= ∫ f ( P ) dg ± ∫ h ( P )dg
G G
∫ [ f ( x) ± g( x)]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx
G
G1
f ( P ) dg + ∫ h ( P )dg
G2
定积分
∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx
c b a a c
D1
二重积分
D D 1 D2
D2
∫∫ f ( x, y)dσ =∫∫ f ( x, y)dσ + ∫∫ f ( x, y)dσ
性质3 性质
（ ∫ dg = G的度量 比如面积，体积，弧长等）
b b b a a a
∫∫[ f ( x, y) ± g( x, y)]dσ = ∫∫ f ( x, y)dσ ±∫∫ g( x, y)dσ
D D D
性质2（区域可加性） 性质 （区域可加性） 若G分为两部分G = G1 + G2 , G1 ∩ G2 = φ ,
则
b
∫ f ( P ) dg = ∫
i i
∆σ i
二重积分的几何意义
当被积函数 f ( x , y ) ≥ 0时， 二重积分是曲面 z = f ( x, y)为顶，
z z = f ( x, y)
V D y
其投影D为底曲顶柱体的体积. 其投影 为底曲顶柱体的体积. 为底曲顶柱体的体积 o f ( x, y)dσ = V ∫∫
D
当被积函数 f ( x , y ) ≤ 0时， 二重积分是曲顶柱体的体积的负值. 二重积分是曲顶柱体的体积的负值.
i =1
L(或 Γ ) 称为积分路径，ds称为弧长元素 称为积分路径 积分路径， 称为弧长元素. 称为弧长元素
为空间有限曲面片（ （5）当G为空间有限曲面片（常记为 ）时， ） 为空间有限曲面片 常记为∑）
f ( P ) = f ( x , y , z )，x , y , z ) ∈ Σ， (
称为对面积的曲面积分 称为对面积的曲面积分
特别地，由于 − f ( P) ≤ f ( P) ≤ f ( P) ，
故有
定积分
∫ f ( P ) dg ≤ ∫
G
b a
G
f ( P ) dg
∫ f ( x)dx ≤ ∫ h( x)dx
b a
D D
二重积分： 二重积分：∫∫ f ( x, y)dσ ≤ ∫∫ h( x, y)dσ
若M , m分别是f ( P ) 在G上的最大值 和最小值，则
o
【取极限】 m = lim ∑ f ( M i )∆σ i 取极限】
λ →0
i =1
n
λ = max {∆σ i的直径}
细棒的质量 m = lim
λ →0
λ →0
∑ f (ξ )∆x
i =1 n i
i =1
n
i
薄板的质量 m = lim ∑ f ( M i )∆σ i 均可由相同形式的和式极限来确定. 均可由相同形式的和式极限来确定. 一般地，设有一质量非均匀分布在某一 一般地， 几何形体G上的物体 可以是直线段 可以是直线段、 几何形体 上的物体 (G可以是直线段、 平面或空间区域、一片曲面或一段曲线 平面或空间区域、一片曲面或一段曲线), 其质量可以按照以上四个步骤来计算： 其质量可以按照以上四个步骤来计算：
小 部 分 ∆ g i , i = 1, 2,⋯ n. ∆ g i 也 表 示 其 度 量 .
n 任取点Pi ∈ ∆gi , 作乘积 f ( Pi )∆gi , i =1,2,⋯ .
作和式 ∑ f ( Pi )∆gi
i =1
n
不 论 G怎 样 划 分 ， 点 Pi 在 ∆gi中 怎 样 选 取 ，
任意划分为n个子域 任意划分为 【分割】 把G任意划分为 个子域 ∆gi（也表 分割】 示度量） 示度量）i
= 1, 2,⋯ n,
n n
【近似】 ∆gi 上质量分布近似看作均匀 近似】 【求和】 m 求和】
∀M i ∈ ∆ g i , ∆ m i ≈ f ( M i ) ∆ g i
= ∑ ∆m i ≈ ∑ f ( M i )∆g i
G
定积分
∫
b
a
（积分区间的长度） dx = b − a 积分区间的长度）
对于二重积分来说 若在D上f ( x , y ) = 1，则有
∫∫ dσ＝D的面积
D
性质4（比较性） 性质 （比较性）
如果在G上f ( P ) ≤ h ( P ) , 则有
∫ f ( P ) dg ≤ ∫ h ( P )dg
G G
D
任意划分为n个子域 i 【分割】把D任意划分为 个子域 ∆σ（也表 分割】 任意划分为 示面积） 示面积）i = 1, 2,⋯ n, x Mi ∆σi 近似】 【近似】∀M i ∈ ∆σ i , 【求和】 求和】
n i =1
∆m i ≈ f ( M i )∆σ i
n i =1
D
y
m = ∑ ∆ m i ≈ ∑ f ( M i )∆ σ i
性质5 估值性 估值性） 性质 (估值性）
mG ≤ ∫ f ( P ) dg ≤ MG
G
这个性质可以由m ≤ f ( P ) ≤ M 利用性质3 和性质4 推出.
b a
定积分 m(b − a) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M(b − a) 二重积分： 二重积分： m⋅σ ≤ ∫∫ f ( x, y)dσ ≤ M ⋅σ
多元函数积分学 及其应用
第九章 重积分 第十章 曲线积分与曲面积分
引
言
在一元函数积分学中, 在一元函数积分学中, 我们知道定积 分是某种确定形式的和的极限. 分是某种确定形式的和的极限. 这种和的 极限的概念推广到定义在区域、 极限的概念推广到定义在区域、曲线及 曲面上多元函数的情形，便得到重积分、 曲面上多元函数的情形，便得到重积分、 曲线积分及曲面积分的概念. 曲线积分及曲面积分的概念. 将函数在这些区域 区域、 将函数在这些区域、曲线及曲面上 的积分统称为函数在几何形体上的积分. 的积分统称为函数在几何形体上的积分. 函数在几何形体上的积分
( 或f ( P ) = f ( x , y , z )，x , y , z ) ∈ Γ，
称为对弧长的曲线积分 称为对弧长的曲线积分
n
G
( dg λ →0 ∫ f f( x ,Py))ds = lim ∑ f (ξ i ,ηi )∆si i =1 n
L
∫
Γ
f ( x , y , z )ds = lim ∑ f (ξ i ,η i , ζ i )∆si λ →0
D
性质6（积分中值定理） 性质 （积分中值定理）
设f ( P )在有界连通闭集G上连续，
则在G上至少存在一点M，满足等式
∫
定积分
G
f ( P )dg＝f ( M ) G
∫ f ( x)dx = f (ξ )(b − a),ξ ∈[a, b]
b a
D
D就 是 积 分 域 ， dσ 称 为 面 积 元 素 . 为空间有界闭区域（ （3）当G为空间有界闭区域（常记为 Ω）时， ） 为空间有界闭区域 f ( P ) = f ( x, y, z )， , y, z ) ∈Ω, 称为三重积分 (x 称为三重积分
y )dv ∫∫∫∫ f (fx(, P,)zdg = lim ∑ f (ξ i ,ηi ,ζ i )∆vi λ →0 i =1