齐次式法与圆锥曲线斜率有关的一类问题
齐次化巧解圆锥曲线斜率问题(高中数学)
齐次化巧解圆锥曲线斜率问题齐次化基本原理：圆锥曲线遇到斜率之和或者斜率之积的题目时，以往我们常用方法是设直线方程，与圆锥曲线方程联立，然后通过韦达定理得到相关关于斜率的式子，方法比较容易，计算量比较复杂。
若采用齐次化方法来解决，可直接得到关于斜率的方程，会大大减少题目的计算量。
齐次：次数相等的意思。
例如: 22cy bxy ax y ++=称为二次齐次式。
具体方法：如果公共点在原点，不需要平移。
如果不在原点，先平移图像，将公共点平移到原点，无论如何平移，直线斜率是不变的。
平移的口诀：“左加右减，上减下加”。
这里“上减下加”，是在等式与y 同侧进行加减，我们经常讲的“上加下减”是在等式与y 的异侧进行的。
例如：b kx y +=向上平移一个单位后为1++=b kx y ，移到同侧后为b kx y +=-1。
平移后一般设直线为1=+ny mx （这样设齐次化更加方便，相当于“1”的妙用）。
平移后的直线与平移后的圆锥方程联立化简，可得到02=++⎪⎭⎫⎝⎛c x y b x y a 。
利用韦达定理可得斜率之和为：a b x y x y -=+2211，斜率之积为：acx y x y =⋅2211。
如果是定点之类的题型，还需要平移回去。
思路总结：①平移；②联立齐次化；③化简得02=++⎪⎭⎫⎝⎛c x y b x y a ；④韦达定理。
若是过定点，还需平移回去。
注意：因为1=+ny mx 不能表示过原点的直线，少量题目还需要专门讨论。
典型例题例1.抛物线x y 42=，点P 的坐标为（1,2），直线l 交抛物线于A 、B 两点，PA ⊥PB 。
求证：直线l 过定点。
解：将)2,1(P 点平移至原点)0,0(P '将抛物线向左平移1个单位，向下平移两个单位得到平移后的抛物线方程为：())1(422+=+x y ，化简得：0442=-+x y y设平移后直线B A ''方程为1=+ny mx ，设()()2211,,,y x B y x A ''联立⎩⎨⎧=-+=+04412x y y ny mx ，化简得：()()0444412=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+m x y n m x y n则14142211-=+-=⋅=⋅''''nmx y x y k k B P A P ，可得144=-n m ， ∴1=+ny mx 过定点（4，-4），平移回去，可得直线AB 过定点（5，-2）例2.椭圆13422=+y x ，定点)23,1(P ，A 、B 为椭圆上两点，且0=+PB PA k k 。
巧用齐次化妙解圆锥曲线斜率问题
2022年普通高等学校招生全国统一考试新高考数学1卷的第21题，有不少学生抓住题干中有“直线AP，AQ的斜率之和为0”这一条件，采用了将方程齐次化的方法巧妙解决第一问的直线斜率问题。
回顾我们的高三备考，常有学生利用平移图象，然后联立方程实现齐次化，即在方程两边同除x2后，再利用韦达定理巧妙解决一类圆锥曲线遇到斜率之和或斜率之积的问题。
下面笔者结合2022年的高考题及备考复习中遇到的几道题，介绍这种方法的优点和注意事项，以为高三备考的学子们提供一点经验之谈。
一、巧用齐次化解决定值问题：例1.（2022年全国1卷第21题）已知点A（2，1）在双曲线C∶x2a2-y2a2-1=1（a﹥1）上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.（1）求l的斜率；（2）若tan∠PAQ=22√，求△PAQ的面积。
解：（1）因为点A（2，1）在双曲线C∶x2a2-y2a2-1=1（a﹥1）上，所以4a2-1a2-1解得即双曲线a2=2，因双曲线C∶x22-y2=1，令双曲线PQ∶m（x-2）+n （y-1），则双曲线方程可变为［（x-2）+2］22-［（y-1）+1］2=1，由双曲线方程可得（x-2）2-2（y-1）2+4［x-2-（y-1）］=0，∵m（x-2）+n（y-1）=1，∴（x-2）2-2（y-1）2+4［（x-2）-（y-1）］［m（x-2）+n（y-1）］=0，当x-2≠0时，同除（x-2）2，可得y-1x-2()2（2+ 4m）-4y-1x-2()（n-m）+（1+4m）=0，由条件知k AP+ k AQ=4（n-m）2+4m=0，∴n=m，k PQ=-1.（2）略通过高考第21题的第一问可以总结齐次化解题的注意事项：①齐次化联立的核心思想只有一个，就是将题目中涉及的斜率直接变成一个一元二次方程的两个根，这样直接根据韦达定理，就可以得到斜率与斜率积的表达式;②决定使用齐次化联立之前，首先要注意题目是否涉及斜率和或者斜率积，以及所涉及的两个斜率能不能表示成一个一元二次方程的两Educational Practice and Research刘艳江（石家庄市第一中学，河北石家庄050000）摘要：在高三复习备考中，很多学生在处理从一点出发的两条直线的斜率之和或斜率之积的问题时，常采用将方程齐次化的方式巧妙解决问题，但也不是绝对的，也有优缺点，在此从定值、定点等几个方面进行浅析。
构造齐次方程——解决圆锥曲线的一类问题
构造齐次方程解决一类问题一准备知识定理：若直线与二次曲线交于P，Q两点，则P，Q与原点O连线的方程是﹡证明：设点P的坐标为（）,则：—————————①——————————————————②又直线OP上任一点的坐标可设为，其中，当时，有=〔〕=()=0, 故直线上任一点的坐标（）都适合方程﹡，从而直线OP上任一点都在方程﹡所表示的曲线上。
同理直线OQ上任一点都在方程﹡所表示的曲线上。
又设直线OP，OQ的方程分别是，则由上证明知方程﹡的左边必含有因式，因为方程﹡的左边为关于的齐二次式，根据多项式因式分解是唯一的，所以方程﹡必与两方程同解。
综上知：P，Q与原点O的连线方程可以表示为﹡。
注意：本定理给出了直线与二次曲线相交时，两交点与原点连线的直线方程的构造法。
若将方程﹡的左边展开整理后得到关于的齐二次方程，其中A=，B=，C=，则可以得到以下两个推论。
推论1：若方程（C）表示过原点且不重合的两条直线，则这两条直线的夹角满足。
证明：因为方程（C）表示过原点且不重合的两条直线，所以，则其可以化为，又，所以该方程有两个不相等的实数根，这两个根就是这两条直线的斜率，则，依两直线的夹角公式得：。
注意：本推论给出了直线与圆锥曲线相交时，相交弦对原点张角大小的计算方法。
推论2：方程（C）表示过原点且不重合的两条直线，若这两条直线互相垂直，则。
证明：由推论1知：当这两条直线互相垂直时，，的值不存在，而=0，即，所以。
注意：本推论给出了直线与圆锥曲线相交时，相交弦对原点张直角问题的解决方法。
二例题例1（97年上海高考题）抛物线方程为，直线与轴的交点在抛物线的准线的右边。
（1）求证：直线与抛物线总有两个交点；（2）设直线与抛物线的交点为Q，R，，求关于的函数的表达式；（3）在（2）的条件下，若抛物线的焦点F到直线的距离不大于，求的取值范围。
解：（1）由消去整理得：，则，因为直线与轴的交点为，所以，即，所以0，故直线与抛物线总有两个交点。
齐次化妙解圆锥曲线问题
齐次化妙解圆锥曲线问题【微点综述】直线与圆锥曲线位置关系，是高考的一个难点，而其中一个难在于运算，本微专题的目标在于采用齐次化运算解决直线与圆锥曲线的一类：斜率之和或斜率之积的问题．本专题重难点：一是在于消元的解法，即怎么构造齐次化方程；二是本解法的适用范围．亮点是用平面几何的视角解决问题．圆锥曲线的定义、定值、弦长、面积，很多都可以转化为斜率问题，当圆锥曲线遇到斜率之和或者斜率之积，以往我们的常用解法是设直线y =kx +b ，与圆锥曲线方程联立方程组，韦达定理，再将斜率之和或之积的式子通分后，将x 1+x 2和x 1⋅x 2代入，得到关于k 、b 的式子．解法不难，计算量较为复杂．如果采用齐次化解决，直接得到关于k 的方程，会使题目计算量大大减少．“齐次”即次数相等的意思，例如f x =ax 2+bxy +cy 2称为二次齐式，即二次齐次式的意思，因为f x 中每一项都是关于x 、y 的二次项．如果公共点在原点，不需要平移．如果不在原点，先平移图形，将公共点平移到原点，无论如何平移，直线斜率是不变的．注意平移口诀是“左加右减，上减下加”，你没有看错，“上减下加”，因为是在等式与y 同侧进行加减，我们以往记的“上加下减”都是在等式与y 的异侧进行的．例：y =kx +b 向上平移1个单位，变为y =kx +b +1，即y -1=kx +b ，x 2a 2+y 2b 2=1向上平移1个单位，变为x 2a 2+y -1 2b 2=1．设平移后的直线为mx +ny =1(为什么这样设？∵这样齐次化更加方便，相当于“1”的妙用)，与平移后的圆锥联立，一次项乘以mx +ny ，常数项乘以mx +ny 2，构造ay 2+bxy +cx 2=0，然后等式两边同时除以x 2(前面注明x 不等于0)，得到a ⋅y x2+b ⋅y x +c =0，可以直接利用韦达定理得出斜率之和或者斜率之积，y 1x 1+y 2x 2=-b a ，y 1x 1⋅y 2x 2=c a ，即可得出答案．如果是过定点题目，还需要还原，之前如何平移，现在反平移回去．总结解法为：①平移；②联立并齐次化；③同除以x 2；④韦达定理．证明完毕，若过定点，还需要还原．优点：大大减小计算量，提高准确率！缺点：mx +ny =1不能表示过原点的直线，少量题目需要讨论．一、齐次化运算的前世--韦达定理1.韦达定理发展简史法国数学家弗朗索瓦·韦达(Fran çois Vi ète ，1540-1603)在著作《论方程的识别与订正》中改进了三、四次方程的解法，还对n =2,3的情形，建立了方程根与系数之间的关系，现代称之为韦达定理．证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性．2.韦达定理：设关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0的两根为x 1,x 2，则x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=c a ．韦达定理是本微专题的理论基础．．引例1．已知x1和x2是方程2x2+3x-4=0的两个根，求1x1+1x2的值．【解析】解法1：1x1+1x2=x1+x2x1⋅x2=-b aca=-b c=34．解法2：方程两边同除以x2，得-41x2+31x +2=0，∵1x1,1x2,∴由韦达定理得1x1+1x2=34．引例2．设x1,y1,x2,y2是方程组y=x-1,y2=4x的两组根，求y1x1+y2x2,y1x1⋅y2x2的值．【分析】如果可以建立关于以yx为未知数的一元二次方程Ayx2+B⋅y x+C=0，那么y1x1+y2x2,y1x1⋅y2x2就是对应方程的两根之和了．所以本运算的关键是如何通过消元得到：Ay2+Bxy+Cx2=0，再由x≠0,方程两边同时除以x2．消元得到方程Ay2+Bxy+Cx2=0是个二次齐次式，所以把本计算方法命名为：齐次化运算．观察y=x-1,y2=4x，发现y2已经为二次式，关键在于将4x化成二次式，由y=x-1可得1=x-y，∴y2=4x⋅1=4x⋅x-y，整理可得y2+4xy-4x2=0，显然x=0不是方程y2+4xy-4x2=0的根，方程y2+4xy-4x2=0两边同时除以x2可得：关于yx为未知数的一元二次方程：yx2+4⋅y x-4=0，则由韦达定理可得：y1x1+y2x2=-4,y1x1⋅y2x2=-4．二、齐次化运算的今生--韦达定理遇到笛卡尔解析几何例1.直线mx+ny=1与抛物线y2=4x交于A x1,y1,B x2,y2，求k OA+k OB,k OA⋅k OB．(用m,n表示)【解析】联立mx+ny=1y2=4x，齐次化得y2=4x mx+ny，等式两边同时除以x2，yx2-4n y x -4m=0，∴∴k OA+k OB=y1x1+y2x2=4n,k OA k OB=y1x1⋅y2x2=-4m．例2.直线mx+ny=1与椭圆x24+y23=1交于A x1,y1,B x2,y2，求k OA⋅k OB(用m,n表示)．【解析】mx+ny=1 x24+y23=1齐次化联立得：x24+y23=mx+ny2，等式两边同时除以x2，12n2-4yx2+24mn y x +12m2-3=0，∴k OA⋅k OB=y1x1⋅y2x2=12m2-312n2-4．引例3．已知动直线l的方程为mx+ny=1．(1)若m=2n，求直线l的斜率；(2)若m=-12，求直线l所过的定点；(3)若m=2n+1，求直线l所过的定点；(4)若m=2n+2，求直线l所过的定点；(5)若6+3n4+12m=1，求直线l所过的定点．【解析】(1)k =-mn=-2．(2)-12x +ny =1，消去n ，令y =0，∴过定点-2,0 ．(3)整理得m -2n =1∴过定点1,-2 ．(4)整理得12m -n =1，∴过定点12,-1 ．(5)整理得6m -32n =1，∴过定点6,-32 ．例3.抛物线y 2=4x ，直线l 交抛物线于A 、B 两点，且OA ⊥OB ，求证：直线l 过定点．【解析】设直线AB 方程为mx +ny =1，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，mx +ny =1y 2=4x 联立得y x 2-4n y x-4m =0，∵k OA k OB=y 1y 2x 1x 2,∴-4m =-1,∴m =14，∴直线AB :14x +ny =1过定点4,0 ．例4.不过原点的动直线交椭圆x 24+y 23=1于A 、B 两点，直线OA 、AB 、OB 的斜率成等比数列，求证：直线l 的斜率为定值．【解析】设直线AB 方程为mx +ny =1，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，mx +ny =1x 24+y 23=1联立得12n 2-4 y x 2+24mn y x+12m 2-3=0，于是k OA k OB =y 1x 1y 2x 2=12m 2-312n 2-4，又k AB =-m n ，∴12m 2-312n 2-4=m 2n 2，得k AB=-m n =±32．三、y -nx -m型怎么采用齐次化运算解决，平移是关键引例4．已知椭圆x 24+y 2=1，按照平移要求变换椭圆方程，并化简平移后的椭圆方程．(1)将椭圆向左平移1个单位，求平移后的椭圆；(2)将椭圆向右平移2个单位，求平移后的椭圆；(3)将椭圆向上平移3个单位，求平移后的椭圆；(4)将椭圆向下平移4个单位，求平移后的椭圆；(5)将椭圆向左平移1个单位，向下平移32个单位，求平移后的椭圆；(6)将椭圆向左平移2个单位，向下平移1个单位，求平移后的椭圆．【解析】(1)x +124+y 2=1，即4y 2+x 2+2x -3=0．(2)x -224+y 2=1，即4y 2+x 2-4x =0．(3)x 24+y -3 2=1，即4y 2+x 2-24y +32=0．(4)x 24+y +4 2=1，即4y 2+x 2+32y +60=0．(5)x +124+y +322=1，即4y 2+x 2+2x +43y =0．(6)x +224+y -1 2=1，即4y 2+x 2+4x -8y +4=0．例5.抛物线y 2=4x ，P 1,2 ，直线l 交抛物线于A 、B 两点，PA ⊥PB ，求证：直线l 过定点．【解析】将图形向左平移1个单位，向下平移2个单位，平移后的抛物线方程为y +2 2=4x +1 ，整理得y 2+4y -4x =0．设平移后直线A B 方程为mx +ny =1，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，mx +ny =1,y 2+4y -4x =0联立得1+4n y x 2+4m -4n y x -4m =0，于是k P Ak PB=y 1x 1⋅y 2x 2=-4m1+4n=-1，整理得4m -4n =1，∴mx +ny =1过定点4,-4 ，右移1个，上移2个，直线AB 过定点5,-2 ．例6.椭圆x 24+y 23=1，点P 1,32，A ,B 为椭圆上两点，k PA +k PB =0．求证：直线AB 斜率为定值．【解析】解法一：将图形向左平移1个单位，向下平移32个单位，平移后的椭圆为x +1 24+y +3223=1，整理得4y 2+3x 2+6x +12y =0，设平移后直线A B 方程为mx +ny =1，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，mx +ny =14y 2+3x 2+6x +12y =0，联立得4y 2+3x 2+6x +12y mx +ny =0，12n +4 y2+62m +n xy +6m +3 x 2=0，同时除以x 2，12n +4 y x2+62m +n y x +6m +3 =0，k P A+k PB=y 1x 1+y 2x 2=-62m +n 12n +4=0，-62m +n =0，mx +ny =1的斜率-m n =12．解法二(换元法)：设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，即化为y 1-32x 1-1⋅y 2-32x 2-1=0，即建立以y -32x -1为未知数的一元二次方程A y -32x -12+B⋅y -32x -1+C =0，即可解答．为了方便运算设x -1=s ,y -32=t ，代入椭圆x 24+y 23=1，得3s 2+4t 2+6t +12t =0，∴设直线ms +nt =6可方便运算，3s 2+4t 2+t (ms +nt )+2t (ms +nt )=0，化简得：4+2n t s 2+2m +n t s +(3+m )=0，∴y 1-32x 1-1⋅y 2-32x 2-1=t 1s 1⋅t 2s 2=2m +n 4+2n =0，x -1=s ,y -32=t ,n =-2m 代入ms +nt =6，得m (x -1)-2m y -32 =6，∴直线AB 的斜率是12．例7.双曲线x 22-y 22=1，P 2,0 ，A 、B 为双曲线上两点，且k PA +k PB =0．AB 不与x 轴垂直，求证：直线AB 过定点．【解析】将图形左平移2个单位，平移后的双曲线为x +222-y 22=1，整理得y 2-x 2-4x -2=0，设平移后直线A B 方程为mx +ny =1，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，mx +ny =1y 2-x 2-4x -2=0 ，联立得y 2-x 2-4x mx +ny -2mx +ny 2=0，1-2n 2 y 2-4n +4mn xy -2m 2+4m +1 x 2=0，同时除以x 2，1-2n 2y x 2-4n +4mn y x -2m 2+4m +1 =0，k P A+k PB=y 1x 1+y 2x 2=4n +4mn 1-2n 2=0，4n +4mn =4n m +1 =0，n =0或m =-1，AB 不与x 轴垂直，n ≠0，∴m =-1，-x +ny =1过-1,0 ，右移2个单位，原直线过1,0 ．四、齐次化在解析几何中的应用例8.(2021重庆期末)已知抛物线C :y 2=2px p >0 上一点A 2,a 到其焦点的距离为3．(Ⅰ)求抛物线C 的方程；(Ⅱ)过点4,0 的直线与抛物线C 交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，证明：∠POQ =90°．【解析】解法1：(Ⅰ)由题意知：2--p2=3⇒p =2⇒y 2=4x ．(Ⅱ)证明：设该直线为my =x -4，P 、Q 的坐标分别为x 1,y 1 、x 2,y 2 ，联立方程有：my =x -4y 2=4x⇒y 2-4my -16=0，OP ⋅OQ =x 1x 2+y 1y 2=y 21y 2216+y 1y 2=116×-16 2-16=0，∴∠POQ =90°．解法2：要证明∠POQ =90°，即证k PO ⋅k QO =-1，设PQ :mx +ny =1，过4,0 ，∴4m =1，m =14，y 2=4x mx +ny ，y 2-4nxy -4mx 2=0，同除以x 2得y x 2-4n y x -4m =0，k 1⋅k 2=-4m ，∵m =14，∴k 1⋅k 2=-1即∠POQ =90°．例9.如图，椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 经过点A 0,-1 ，且离心率为22．(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)经过点1,1 ，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 斜率之和为2．【解析】解法1：(Ⅰ)由题设知，c a =22，b =1，结合a 2=b 2+c 2，解得a =2，∴x 22+y 2=1．(Ⅱ)证明：由题意设直线PQ 的方程为y =k x -1 +1k ≠0 ，代入椭圆方程x 22+y 2=1，可得1+2k 2 x 2-4k k -1 x +2k k -2 =0，由已知得1,1 在椭圆外，设P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，x 1x 2≠0，则x 1+x 2=4k k -1 1+2k 2，x 1x 2=2k k -21+2k 2，且Δ=16k 2k -1 2-8k k -2 1+2k 2 >0，解得k >0或k <-2．则有直线AP ，AQ 的斜率之和为k AP +k AQ =y 1+1x 1+y 2+1x 2=kx 1+2-k x 1+kx 2+2-k x 2=2k +2-k 1x 1+1x 2 =2k +2-k ⋅x 1+x 2x 1x 2=2k +2-k ⋅4k k -12k k -2=2k -2k -1 =2．即有直线AP 与AQ 斜率之和为2．解法2：(2)上移一个单位，椭圆E 和直线L :x 22+y -12=1mx +ny =1，mx +ny =1过点1,2 ，m +2n =1，m =1-2n ，x 2+2y -1 2=2，x 2+2y 2-4y =0，2y 2+x 2-4y mx +ny =0，-4n +2 y2-4mxy +x 2=0，∵x ≠0，同除x 2，得-4n +2 y x2-4m yx+1=0，k 1+k 2=-4m -4n +2=2m 1-2n =2mm=2．例10.设A ，B 为曲线C :y =x 24上两点，A 与B 的横坐标之和为4．(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．【解析】(1)设A x 1,x 214 ，B x 2,x 224为曲线C :y =x 24上两点，则直线AB 的斜率为k =x 214-x 224x 1-x 2=14x 1+x 2 =14×4=1．(2)解法1：设直线AB 的方程为y =x +t ，代入曲线C :y =x 24，可得x 2-4x -4t =0，即有x 1+x 2=4，x 1x 2=-4t ，再由y =x 24的导数为y=12x ，设M m ,m 24 ，可得M 处切线的斜率为12m ，由C 在M 处的切线与直线AB 平行，可得12m =1，解得m =2，即M 2,1 ，由AM ⊥BM 可得，k AM ⋅k BM =-1，即为x 214-1x 1-2⋅x 224-1x 2-2=-1，化为x 1x 2+2x 1+x 2 +20=0，即为-4t +8+20=0，解得t =7，则直线AB 的方程为y =x +7．解法2：y =x 24，y =x 2=1，x =2，∴M 2,1 ，左移2个单位，下移1个单位C:y +1=x +2 24，A B :mx +ny =1，4y +4=x 2+4x +4，x 2+4x -y mx +ny =0，x 2+4mx 2+nxy -mxy -ny 2 =0，1+4m x2+4n -m xy -4ny 2=0，x ≠0，同除以x 2，得-4n y x2+4n -m yx+1+4m =0，4nk 2-4n -m k -1+4m =0，mx +ny =1，斜率-mn =1，m =-n ，k 1k 2=-1+4m 4n=-1，1+4m =4n ，n =18，m =-18，-18x +18y =1，x -y +8=0右2，上1，x -2 -y -1 +8=0，x -y +7=0．例11.(2017年全国卷理)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 ，四点P 11,1 ，P 20,1 ，P 3-1,32 ，P 41,32 中恰有三点在椭圆C 上．(1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为-1，证明：l 过定点．【解析】(1)解：根据椭圆的对称性，P 3-1,32 ，P 41,32两点必在椭圆C 上，又P 4的横坐标为1，∴椭圆必不过P 11,1 ，∴P 20,1 ，P 3-1,32，P 41,32 三点在椭圆C 上，把P 20,1 ，P 3-1,32 代入椭圆C ，得：1b 2=11a 2+34b 2=1，解得a 2=4，b 2=1，∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．(2)证法1：①当斜率不存在时，设l :x =m ，A m ,y A ，B m ,-y A ，∵直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为-1，∴k P 2A +k P 2B =y A -1m +-y A -1m =-2m=-1，解得m =2，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设l :y =kx +t ，t ≠1 ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，联立y =kx +tx 2+4y 2-4=0 ，整理，得1+4k 2 x 2+8ktx +4t 2-4=0，x 1+x 2=-8kt 1+4k 2，x 1x 2=4t 2-41+4k 2，则k P 2A +k P 2B =y 1-1x 1+y 2-1x 2=x 2kx 1+t -x 2+x 1kx 2+t -x 1x 1x 2=8kt 2-8k -8kt 2+8kt 1+4k 24t 2-41+4k 2=8k t -14t +1 t -1=-1，又t ≠1，∴t =-2k -1，此时Δ=-64k ，存在k ，使得Δ>0成立，∴直线l 的方程为y =kx -2k -1，当x =2时，y =-1，∴l 过定点2,-1 ．证法2：下移1个单位得E:x 24+y +1 2=1，A B :mx +ny =1，x 24+y 2+2y =0，x 2+4y 2+8y mx +ny =0，8n +4 y 2+8mxy +x 2=0，∵x ≠0同除以x 2，8n +4 y x 2+8m y x +1=0，8n +4 k 2+8mk +1=0，k 1+k 2=-8m 8n +4=-1，8m =8n +4，2m -2n =1，∴mx +ny =1过2,-2 ，上移1个单位2,-1 ．例12.(2018全国一文)设抛物线C :y 2=2x ，点A 2,0 ，B -2,0 ，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；(2)证明：∠ABM =∠ABN ．【解析】(1)当l 与x 轴垂直时，x =2，代入抛物线解得y =±2，∴M 2,2 或M 2,-2 ，直线BM 的方程：y =12x +1，或y =-12x -1．(2)解法1：证明：设直线l 的方程为l :x =ty +2，M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，联立直线l 与抛物线方程得y 2=2xx =ty +2 ，消x 得y 2-2ty -4=0，即y 1+y 2=2t ，y 1y 2=-4，则有k BN +k BM =y 1x 1+2+y 2x 2+2=y 222×y 1+y 212×y 2+2y 1+y 2 x 1+2 x 2+2 =y 1+y 2 y 1y 22+2 x 1+2 x 2+2=0，∴直线BN 与BM 的倾斜角互补，∴∠ABM =∠ABN ．解法2：(2)右移2个单位C :y 2=2x -2 ，l :mx +ny =1过4,0 即4m =1，m =14，y 2=2x -4，y 2=2x mx +ny -4mx +ny 2，y 2=2mx 2+2nxy -4m 2x 2+n 2y 2+2mnxy ，1+4n 2y2+8mn -2n xy +4m 2-2m x 2=0，∵x ≠0，同除以x 2，得1+4n 2 k 2+8mn -2n k +4m 2-2m =0，k 1+k 2=-8mn -2n 1+4n 2=-2n 4m -1 1+4n 2=0，∴∠ABM =∠ABN ．例13.(2018全国一卷理)设椭圆C :x 22+y 2=1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为2,0 ．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；(2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA =∠O MB ．【解析】(1)c =2-1=1，∴F 1,0 ，∵l 与x 轴垂直，∴x =1，由x =1x 22+y 2=1 ，解得x =1y =22 或x =1y =-22，∴A 1,22 ，或1,-22 ，∴直线AM 的方程为y =-22x +2，y =22x -2．(2)证明：解法1：当l 与x 轴重合时，∠OMA =∠O MB =0°，当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，∴∠OMA =∠O MB ．当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为y =k x -1 ，k ≠0，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则x 1<2，x 2<2，直线MA ，MB 的斜率之和为k MA ，k MB 之和为k MA +k MB =y 1x 1-2+y 2x 2-2，由y 1=kx 1-k ，y 2=kx 2-k 得k MA +k MB =2kx 1x 2-3x 1+x 2 +4k x 1-2 x 2-2 ，将y =k x -1 代入x 22+y 2=1可得2k 2+1 x 2-4k 2x +2k 2-2=0，∴x 1+x 2=4k 22k 2+1，x 1x 2=2k 2-22k 2+1，∴2kx 1x 2-3k x 1+x 2 +4k =12k 2+14k 3-4k -12k 3+8k 3+4k =0，从而k MA +k MB =0，故MA ，MB 的倾斜角互补，∴∠OMA =∠O MB ，综上∠OMA =∠O MB ．解法2：左移2个单位C:x +222+y 2=1，l :mx +ny =1过-1,0 即-m =1．m =-1，x 2+4x +2y 2+2=0，x 2+4x mx +ny +2y 2+2mx +ny 2=0，2+2n 2y2+4n +4mn xy +1+4m +2m 2 x 2=0，∵x ≠0，同除以x 2，得2+2n 2 k 2+4n +4mn k +1+4m +2m 2=0，k 1+k 2=4n +4mn-2+2n 2=0，∴∠OMA =∠O MB ．例14.(2020·新课标Ⅰ)已知A ，B 分别为椭圆E :x 2a 2+y 2=1a >1 的左、右顶点，G 为E 的上顶点，AG ⋅GB =8．P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．(1)求E 的方程；(2)证明：直线CD 过定点．【解析】(1)由题意A -a ,0 ，B a ,0 ，G 0,1 ，∴AG =a ,1 ，GB =a ,-1 ，AG ⋅GB =a 2-1=8，解得：a =3，故椭圆E 的方程是x 29+y 2=1．(2)证法1：由(1)知A -3,0 ，B 3,0 ，设P 6,m ，则直线PA 的方程是y =m9x +3 ，联立x 29+y 2=1y =m 9x +3⇒9+m 2 x 2+6m 2x +9m 2-81=0，由韦达定理-3x c =9m 2-819+m 2⇒x c =-3m 2+279+m 2，代入直线PA 的方程为y =m 9x +3 得：y c=6m9+m 2，即C -3m 2+279+m 2,6m9+m 2，直线PB 的方程是y =m3x -3 ，联立方程x 29+y 2=1y =m 3x -3⇒1+m 2 x 2-6m 2x +9m 2-9=0，由韦达定理3x D =9m 2-91+m 2⇒x D =3m 2-31+m 2，代入直线PB 的方程为y =m 3x -3 得y D =-2m 1+m 2，即D 3m 2-31+m 2,-2m1+m 2 ，则①当x c =x D 即27-3m 29+m 2=3m 2-3m 2+1时，有m 2=3，此时x c =x D=32，即CD 为直线x =32．②x C ≠x D 时，直线CD 的斜率K CD =y C -y D x C -x D =4m33-m 2 ，∴直线CD 的方程是y --2m 1+m 2=4m 33-m 2 x -3m 2-31+m 2 ，整理得：y =4m 33-m 2x -32 ，直线CD 过定点32,0 ．综合①②故直线CD 过定点32,0 ．证法2：设P 6,t ，A -3,0 ，B 3,0 ，则k AC =k AP =t 9，k BD =k BP =t 3，根据椭圆第三定义(本书后面有详细讲解)，k AD ⋅k BD =b 2a2=-19，∴k AD =-13t ，则k AC ⋅k AD =-127，将图像向右移动3个单位，则椭圆E 和直线l CD :x -329+y 2=1mx +ny =1，联立得：x 2-6x +9y 2=0，x 2-6x mx +ny +9y 2=0，即9y 2-6nxy +1-6m x 2=0，两边同时除以x 2，得：9y 2x2-6n yx +1-6m =0，则k AC ⋅k AD =1-6m 9=-127，解得m =29，则直线过定点92,0 ，则平移前过32,0 ．例15.(2020·山东)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的离心率为22，且过点A 2,1 ．(1)求C 的方程；(2)点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．【解析】(1)∵离心率e =c a =22，∴a =2c ，又a 2=b 2+c 2，∴b =c ，a =2b ，把点A 2,1 代入椭圆方程得，42b 2+1b 2=1，解得b 2=3，故椭圆C 的方程为x 26+y 23=1．(2)证法1：①当直线MN 的斜率存在时，设其方程为y =kx +m ，联立y =kx +mx 26+y 23=1，得2k 2+1 x 2+4km x +2m 2-6=0，由Δ=4km 2-42k 2+1 2m 2-6 >0，知m 2<6k 2+3，设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，则x 1+x 2=-4km 2k 2+1，x 1x 2=2m 2-62k 2+1，∵AM ⊥AN ，∴AM ⋅AN=x 1-2,y 1-1 ⋅x 2-2,y 2-1 =0，即k 2+1 x 1x 2+km -k -2 x 1+x 2 +m 2-2m +5=0，∴k 2+1 ⋅2m 2-62k 2+1+km -k -2 -4km 2k 2+1+m 2-2m +5=0，化简整理得，4k 2+8km +3m 2-2m -1=2k +m -1 2k +3m +1 =0，∴m =1-2k 或m =-2k +13，当m =1-2k 时，y =kx -2k +1，过定点A 2,1 ，不符合题意，舍去；当m =-2k +13时，y =kx -2k +13，过定点23,-13．设D x 0,y 0 ，则y 0=kx 0+m ，(i )若k ≠0，∵AD ⊥MN ，∴k ⋅kx 0+m -1x 0-2=-1，解得x 0=2k 2+4k +63k 2+3，y 0=3k 2+4k -13k 2+3，∴x 0-432+y 0-132=-2k 2+4k +23k 2+3 2+2k 2+4k -23k 2+3 2=8k 4+2k 2+1 9k 2+12=89，∴点D 在以43,13 为圆心，223为半径的圆上，故存在Q 43,13 ，使得DQ =223，为定值．(ii )若k =0，则直线MN 的方程为y =-13，∵AD ⊥MN ，∴D 2,-13 ，∴DQ =43-22+13+132=223，为定值．②当直线MN 的斜率不存在时，设其方程为x =t ，M t ,s ，N t ,-s ，且t 26+s 23=1，∵AM ⊥AN ，∴AM ⋅AN =t -2,s -1 ⋅t -2,-s -1 =t 2-4t -s 2+5=32t 2-4t +2=0，解得t =23或2(舍2)，∴D 23,1 ，此时DQ =43-232+13-1 2=223，为定值．综上所述，存在定点Q 43,13，使得DQ 为定值，且该定值为223．证法2：将图像向左移动两个单位，向下移动一个单位，那么平移后的C 和直线M N :x +226+y +123=1mx +ny =1，联立得：x 2+2y 2+4x +4y mx +ny =0，两边同时除以x 2:4n +2 y 2+4m +4n xy +4m +1 x 2=0，得：4n +2 k 2+4m +4n k +4m +1 =0，∵AM ⊥AN ，∴k AM ⋅k AN =-1，∴4m +14n +2=-1，4m +1=-4n -2，即-43m +-43n =1，M N 过定点-43,--43 ，则平移前该直线过定点P 23,-13 ．在△ADP 中，AD ⊥DP ，则D 点的轨迹是以AP 为直径，∵A 为定点，P 为定点，则AP 为定值，则Q 为AP 中点，此时DQ 为定值，∵A 2,1 ，P 23,-13，则Q 43,13 ，DQ =12AP =223．例16.(2022惠州模拟)已知左焦点为F -1,0 的椭圆过点E 1,233，过点P 1,1 分别作斜率为k 1，k 2的椭圆的动弦AB ，CD ，设M ，N 分别为线段AB ，CD 的中点(1)求椭圆的标准方程；(2)若P 为线段AB 的中点，求k 1；(3)若k 1+k 2=1，求证：直线MN 恒过定点，并求出定点坐标【解析】(1)由题意c =1，且右焦点F 1,0 ，∴2a =EF +EF =23，b 2=a 2-c 2=2，∴所求椭圆方程为x 23+y 22=1．(2)设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则x 213+y 212=1①，x 223+y 222=1②②-①，可得k 1=y 2-y 1x 2-x 1=-2x 2+x 1 3y 2+y 1=-23．(3)证法1：由题意，k 1≠k 2，设M x M ,y M ，直线AB 的方程为y -1=k 1x -1 ，即y =k 1x +k 2，代入椭圆方程并化简得2+3k 21 x 2+6k 1k 2x +3k 22-6=0，∴x M =-3k 1k 22+3k 21，y M =2k 22+3k 21，同理，x N =-3k 1k 22+3k 22，y N =2k 12+3k 22，当k 1k 2≠0时，直线MN 的斜率k =y M -y N x M -x N =10-6k 1k 2-9k 1k 2，直线MN 的方程为y -2k 22+k 21=10-6k 1k 2-9k 1k 2x --3k 1k 22+3k 21，即y =10-6k 1k 2-9k 1k 2x -23，此时直线过定点0,-23 ．当k 1k 2=0时，直线MN 即为y 轴，此时亦过点0,-23．综上，直线MN 恒过定点，且坐标为0,-23．证法2：设过点P 的弦的中点坐标为x 0,y 0 ，由点差法得y 0-1x 0-1⋅y 0x 0=-23，即中点的轨迹方程为2x 2-x +3y 2-y =0，将点P 平移到原点，整体左移1个单位，下移1个单位，设平移后的MN 方程为mx +ny =1，曲线为2x +1 2-x +1 +3y +1 2-y +1 =0，2x 2+3y 2+3y mx +ny +2x mx +ny =0，3+3n y 2+2n +3m xy +2+2m x 2=0，同除以x 2，得3+3n k 2+2n +3m k +2+2m =0，∵k 1+k 2=1，∴-2n +3m 3+3n =1，-m -35n =1，∴过定点-1,-53，则平移前的MN 过定点0,-23 ．例17.(2022武汉模拟)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左右顶点分别为A ，B ，过椭圆内点D 23,0 且不与x 轴重合的动直线交椭圆C 于P ，Q 两点，当直线PQ 与x 轴垂直时，PD =BD =43．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线AP ，AQ 和直线l :x =t 分别交于点M ，N ，若MD⊥ND 恒成立，求t 的值．【解析】(Ⅰ)由BD =43得a =23+43=2，故C 的方程为x 24+y 2b2=1，此时P 23,43 ，代入方程19+169b2=1，解得b 2=2，故C 的标准方程为x 24+y 22=1．(Ⅱ)解法1：设直线PQ 的方程为：x =my +23，与椭圆联立得m 2+2 y 2+4m 3y 329=0，设P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，则y 1+y 2=-4m 3m 2+2 y 1y 2=-329m 2+2，①此时直线PA 的方程为y =y 1x 1+2x +2 ，与x =t 联立，得点M t ,t +2 y 1x 1+2 ，同理，N t ,t +2 y 2x 2+2 ，由MD ⊥ND ，则k MD ⋅k ND =-1，即t +2 y 1t -23 x 1+2 ⋅t +2 y 2t -23 x 2+2=-1，∴t +2 2y 1y 2+t -23 2my 1+83 my 2+83 =0，即t +2 2y 1y 2+t -232m 2y 1y 2+8m 3y 1+y 2 +649 =0，把①代入得-32t +2 29m 2+2+t -23 2-32m 29m 2+2 -32m 29m 2+2 +649 =0，化简得-32t +2 2+t -23 2-32m 2-32m 2+64m 2+2 =0，即t +2 2-4t -23 2=0，t +2=±2t -23 ，解得t =-29或t =103．解法2：公共点A -2,0 ，右移2个单位后P O :mx +ny =1过D 83,0 ，∴83m +0n =1，m =38，C :x -2 24+y 22=1P O :mx +ny =1 ，x 2+2y 2-4x mx +ny =0，2y 2-4nxy +1-4m x 2=0，等式两边同时除以x ，2y x 2-4n y x +1-4m =0，k AP ⋅k AQ =k AM ⋅k AN =1-4m 2=-14，∵MD ⊥ND ，∴k MD ⋅k ND =-1，k DM ⋅k DN k AM ⋅k AN =-1-14=4，直线MN :x =t ，MTt -23⋅-NT t -23 MT t +2⋅-NT t +2=4，t +2 2t -23 2=4，解得t =-29或t =103．五、齐次化运算为什么不是解决圆锥曲线的常规武器通过上面分析，我们可以发现，齐次化运算比传统的设而不求运算量大大的降低，但为什么齐次化运算并不是常规武器呢？首先我们总结一下齐次化运算步骤f x ,y =0,g x ,y =0 ⇒A y x 2+B ⋅y x +C =0⇒y 1x 1+y 2x 2=-B A ,y 1x 1⋅y 2x 2=C A ⇒k 1+k 2=-B A ,k 1k 2=C A .通过上面的步骤可以看出，本方法适用于斜率的相关问题，有较大的局限性，当然，还有一个难点在于方程消元的基本思路是消未知数，而本方法是消去常数，这也是学生不适应之处．但更大的难点是如果通过审题，转化为斜率之积、之和问题．下面通过两道题来说明：例18.A ,B 分别是椭圆E :x 29+y 2=1左右顶点，P 是直线x =6的动点，PA 交E 于另一点C ，PB 交E 于另一点D ．求证：直线CD 过定点．思路一：本问题没有直接的提到斜率之和(积)，而且很容易入手，分别设直线PA ,PB ，与椭圆方程联立，消去x 得到关于y 的常数项为0的方程，即可解出C ,D 坐标，然后写出CD 方程．在实际运算中，C ,D 坐标，CD 过定点运算量巨大．本方法少思、多算．解答如下：证法一：设P 6,y 0，则直线AP 的方程为：y =y 0-06--3 x +3 ，即：y =y 09x +3 ，联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：x 29+y 2=1y =y 09x +3，整理得：y 02+9 x 2+6y 02x +9y 02-81=0，解得：x =-3或x =-3y 02+27y 02+9，将x =-3y 02+27y 02+9代入直线y =y 09x +3 可得：y =6y 0y 02+9，所以点C 的坐标为-3y 02+27y 02+9,6y 0y 02+9 ．同理可得：点D 的坐标为3y 02-3y 02+1,-2y 0y 02+1．当y 20≠3时，直线CD 的方程为：y --2y 0y 02+1 =6y 0y 02+9--2y 0y 02+1 -3y 02+27y 02+9-3y 02-3y 02+1x -3y 02-3y 02+1，整理可得：y +2y 0y 02+1=8y 0y 02+3 69-y 04 x -3y 02-3y 02+1 =8y 063-y 02 x -3y 02-3y 02+1，整理得：y =4y 033-y 02 x +2y 0y 02-3=4y 033-y 02x -32 ，所以直线CD 过定点32,0 ．当y 20=3时，直线CD ：x =32，直线过点32,0 ．故直线CD 过定点32,0 ．思路二：连接CB ，由椭圆第三定义得，k CA k CB =-19,而k CA k CB =-19, k CA =PQ AQ,k BD =k BP =PQ BQ =13，可得：k BC k BD =-13,就可以采用本方法解答．证法二：设交点C x 1,y 1 ,D x 2,y 2 ，即化为y 1x 1-3⋅y 2x 2-3=-13，设x -3=t ，得t 2+9y 2+6t =0, 故设6=mt +ny 易算．计算如下：9y t 2+n ⋅y t +m +1 =0⇒k 1k 2=m +19=-13⇒m =-4⇒-4x -3 +ny =6，可知直线CD 过定点32,0 ．例19.A ,B 分别是椭圆E :x 24+y 2=1下上两顶点，过(1,0)的直线l 交于E 的C ，D ，设直线AC ,BD 的斜率为k 1,k 2，k 1=2k 2，求直线l 的方程．【分析】已知给出了k 1=2k 2，但还是没有斜率之积(和)为定值，还是要用到椭圆的第三定义，k AD k BD =-14,得到k AC k AD =-12,即可采用齐次化运算了．【简解】设交点C x 1,y 1 ,D x 2,y 2 ，即化为y 1x 1+1⋅y 2x 2+1=-12，设y +1=t ，得x 2+4t 2-8t =0, 所以设8=mx +n (y +1)=mx +nt 易算．计算如下：4-n t x 2-m ⋅t x +1=0,∴k 1k 2=14-n ,∴14-n =-12,∴n =6，又l 过(1,0)，得m =2，∴直线l 的方程的方程：y =13x -13．六、为什么斜率为会是定值，从平面几何看众所周知，直径所对的圆周角为直角，其实圆相交弦的还有如下性质．如图圆中，AB 为直径，CD 与AB 交于F ，则有如下性质：tan αtan β=BF AF =PQ AQ ,tan ηtan β=-PQ AQ．引入坐标系，如图建系，设A (-a ,0),B (a ,0),F (m ,0)，则k BC k BD =m +a m -a ,k AC k BD =a -m m +a ，且AB 与CD 的交点在直线x =a 2m 上．【简证】tan αtan β=sin αsin βcos αcos β=sin αsin βsin γsin η，分别在ΔACF ,ΔBCF ，由正弦定理得：sin αsin β=CF AF ，sin γsin η=BF CF ，所以tan αtan β=sin αsin β⋅cos αcos β=sin αsin β⋅sin γsin η=CF AF ⋅BF CF =BF AF，tan α=PQ AQ ,tan β=PQ BQ ,tan αtan β=BQ AQ，而tan ηtan β=-tan βtan α=-AQ BQ ．那么椭圆怎么有这些性质呢？如图，圆的方程为x 2+y 2=a 2，椭圆方程为：x 2a 2+y 2b 2=1，设B x 1,y 1 ,D x 2,y 2 ，B x 1,y 1b ,D x 2,y 2b ，则k A Dk C B=k AD k CB ，k B A k B C=-b 2a 2，更具一般性质的椭圆的内接四边形性质如如下：在椭圆中，O 为椭圆的中心，A ,C 是椭圆上两点且关于O 对称，直线A C 上一点M ，过M 的直线交椭圆于B ,D ，则如果M 为定点，则k A D k B C为定值，反之亦成立．例20.A,B分别是椭圆E:x29+y2=1左右顶点，P是直线x=6的动点，PA交E于另一点C，PB交E于另一点D．求证：直线CD 过定点．【分析】用几何法，k ACk BD=BQAQ=EBAE，得BE=32，所以过32,0．例21.A,B分别是椭圆E:x24+y2=1下上两顶点，过(1,0)的直线l交于E的C，D，设直线AC,BD的斜率为k1,k2，k1=2k2，求直线l 的方程．【分析】用几何法，k1k2=k ACk BD=AEBE，得BE=23，所以E13,0，所以直线l的方程的方程：y=13x-13．【评注】用平面几何的视角，对本问题进行证明，使代数，解析几何，平面几何三者融合．七、微专题小结齐次化运算在解析几何中的运算，只可以处理斜率之和(积)的问题，基本步骤如下：f x,y=0,g x,y=0⇒A yx2+B⋅y x+C=0⇒y1x1+y2x2=-BA,y1x1⋅y2x2=CA⇒k1+k2=-B A,k1k2=C A，重点一在于通过分析题意，明确能不能用本方法，二在于直线方程的设元技巧，三在于消元中的齐次化运算．【针对训练训练】(2022阎良区期末)1.已知抛物线C:x2=2py p>0，直线l经过抛物线C的焦点，且垂直于抛物线C的对称轴，直线l与抛物线C交于M，N两点，且MN=4．(1)求抛物线C的方程；(2)已知点P2,1，直线m:y=k x+2与抛物线C相交于不同的两点A，B，设直线PA与直线PB的斜率分别为k1和k2，求证：k1⋅k2为定值．2.已知直线l与抛物线C:y2=4x交于A，B两点．(1)若直线l的斜率为-1，且经过抛物线C的焦点，求线段AB的长；(2)若点O为坐标原点，且OA⊥OB，求证：直线l过定点．(2022滁州期末)3.已知点A在圆C:x-2，线段AB的垂直平分线与AC相交于点D.2+y2=16上，B-2,0，P0,2(1)求动点D的轨迹方程;(2)若过点Q0,-1的直线l斜率存在，且直线l与动点D的轨迹相交于M，N两点.证明：直线PM与PN的斜率之积为定值.4.已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点P3,12，且椭圆M的上顶点与右焦点所在直线的斜率为-33．(1)求椭圆M的方程；(2)设B、C是椭圆上异于左顶点A的两个点，若以BC为直径的圆过点A，求证：直线BC过定点．(2022醴陵市期中)5.已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1a>b>0的左右顶点是双曲线C2:x24-y2=1的顶点，且椭圆C1的上顶点到双曲线C2的渐近线距离为215 5．(1)求椭圆C1的方程；(2)点F为椭圆的左焦点，不垂直于x轴且不过F点的直线l与曲线C1相交于A、B两点，若直线FA、FB的斜率之和为0，则动直线l是否一定经过一定点？若存在这样的定点，则求出该定点的坐标；若不存在这样的定点，请说明理由．6.椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22，过点P(0,1)的动直线l与椭圆相交于A,B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆C截得线段长为26.(1)求椭圆C的方程；(2)在y轴上是否存在异于点P的定点Q，使得直线l变化时，总有∠PQA=∠PQB？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案：1.(1)x 2=4y (2)证明见解析【分析】(1)将MN 用p 表示，得出p 的值，进而得抛物线方程；(2)联立直线与抛物线的方程，根据斜率计算公式结合韦达定理即可得结果.(1)由题意可得2p =4，得p =2，∴抛物线C :x 2=4y .(2)证明：m :y =k x +2 ，联立y =k x +2 x 2=4y，得x 2-4kx -8k =0．由Δ=16k 2+32k >0，得k >0或k <-2，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则x 1+x 2=4k ，x 1x 2=-8k ，∴k 1k 2=y 1-1x 1-2⋅y 2-1x 2-2=x 214-1x 1-2⋅x 224-1x 2-2=x 1+2 x 2+216=x 1x 2+2x 1+x 2 +416=-8k +8k +416=14.2.(1)8(2)证明见解析【分析】(1)联立直线与抛物线的方程，根据抛物线的焦点弦公式结合韦达定理即可得解；(2)直线AB 方程为：x =my +n ，由向量数量积公式结合韦达定理可得n 的值，进而可得结果.(1)抛物线为y 2=4x ，∴焦点坐标为1,0 ，直线AB 斜率为-1，则直线AB 方程为：y =-x +1，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由y =-x +1y 2=4x 得：x 2-6x +1=0，可得x 1+x 2=6，由抛物线定义可得AB =x 1+x 2+2，∴AB =8．(2)设直线AB 方程为：x =my +n ，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，∵OA ⊥OB ，∴OA ⋅OB =0，∴x 1x 2+y 1y 2=0，由x =my +n y 2=4x得：y 2-4my -4n =0，∴y 1y 2=-4n ；x 1x 2=n 2；∴n 2-4n =0，解得n =0或n =4，当n=0时，直线AB过原点，不满足题意；当n=4时，直线AB过点4,0．故当OA⊥OB时，直线AB过定点4,0．3.(1)x24+y22=1；(2)-32-2.【解析】(1)由圆的方程可得：圆心C(2,0)，半径r=4，|DA|=|DB|，|DB|+|DC|=|DA|+|DC|=|AC|=r=4>|BC|=22，由椭圆的定义即可求解；(2)设l:y=kx-1，M(x1,y1)，N(x2,y2)，联立直线与椭圆的方程，利用根与系数的关系计算x1+x2，x1x2，再计算k1k2=y1-2x1⋅y2-2x2=(kx1-2-1)x1⋅(kx2-2-1)x2即可求解.【详解】(1)由C:x-22+y2=16得，圆心C(2,0)，半径r=4，∵点D在线段AB的垂直平分线上，∴|DA|=|DB|，∴|DB|+|DC|=|DA|+|DC|=|AC|=r=4>|BC|=22，由椭圆的定义可得动点D的轨迹是以B(-2,0)，C(2,0)为焦点，长轴长为2a=4的椭圆．从而a=2,c=2,b2=a2-c2=2，故所求动点D的轨迹方程为x24+y22=1．(2)设l:y=kx-1，M(x1,y1)，N(x2,y2)由y=kx-1x24+y22=1消去y得(2k2+1)x2-4kx-2=0，显然Δ=(-4k)2+8(2k2+1)=k2+8>0∴x1+x2=4k2k2+1,x1x2=-22k2+1．∵x1≠0,x2≠0，∴可设直线PM与PN的斜率分别为k1,k2则k1k2=y1-2x1⋅y2-2x2=(kx1-2-1)x1⋅(kx2-2-1)x2=k2x1x2-(2+1)k(x1+x2)+22+3x1x2=k2+-(2+1)k×4k2k2+1+22+3-22k2+1=k2+2k2+3+22-2=-32-2即直线PM与PN的斜率之积为定值．【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常用方法(1)直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量，如(距离和角)的等量关系，或几何条件简单明了易于表达，只需要把这种关系转化为x,y的等式，就能得到曲线的轨迹方程；(2)定义法：某动点的轨迹符合某一基本轨迹如直线、圆锥曲线的定义，则可根据定义设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程；(3)几何法：若所求轨迹满足某些几何性质，如线段的垂直平分线，角平分线的性质，则可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标即可；(4)相关点法(代入法)：若动点满足的条件不变用等式表示，但动点是随着另一动点(称之为相关点)的运动而运动，且相关点满足的条件是明显的或是可分析的，这时我们可以用动点的坐标表示相关点的坐标，根据相关点坐标所满足的方程，求得动点的轨迹方程；(5)交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现求两个动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点(含参数)的坐标，再消去参数即可求出所求轨迹的方程.4.(1)x 24+y 2=1；(2)证明见解析【分析】(1)由椭圆的定义，性质列方程，求出a ,b 的值，再得到椭圆的方程；(2)设出直线BC 方程，与椭圆联立，由题可得AB ⊥AC ，利用AB ⋅AC =0建立关系可得.【详解】(1)由已知设椭圆的上顶点的坐标为(0,b )，右焦点为(c ,0)，则由已知可得-b c =-333a 2+14b 2=1a 2=b 2+c 2，解得a =2,b =1，所以椭圆方程为x 24+y 2=1；(2)可得A (-2,0)，设直线BC 方程为x =my +n ，代入椭圆方程可得4+m 2 y 2+2mny +n 2-4=0，设B x 1,y 1 ,C x 2,y 2 ，则y 1+y 2=-2mn 4+m 2,y 1y 2=n 2-44+m 2，∴x 1+x 2=m y 1+y 2 +2n =8n 4+m 2，x 1x 2=my 1+n my 2+n =m 2y 1y 2+mn y 1+y 2 +n 2=4n 2-m 2 4+m 2，∵以BC 为直径的圆过点A ，∴AB ⊥AC ，即AB ⋅AC =0，∴x 1+2,y 1 ⋅x 2+2, y 2 =x 1x 2+2x 1+x 2 +4+y 1y 2=5n 2+16n +124+m 2=0，解得n =-2或n =-65，又A (-2,0)，故n =-65，所以直线BC 方程为x =my -65，故直线BC 过定点-65,0 .【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：(1)得出直线方程，设交点为A x 1，y 1 ，B x 2，y 2 ；(2)联立直线与曲线方程，得到关于x(或y)的一元二次方程；(3)写出韦达定理；(4)将所求问题或题中关系转化为x1+x2,x1x2形式；(5)代入韦达定理求解.5.(1)x24+y23=1；(2)存在，-4,0.【分析】(1)由双曲线顶点求出a，再由点到直线距离求出b作答.(2)设出直线l的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式计算、推理作答.(1)双曲线C2:x24-y2=1的顶点坐标为(±2,0)，渐近线方程为x±2y=0，依题意，a=2，椭圆上顶点为0,b到直线x±2y=0的距离2b5=2155，解得b=3，所以椭圆的方程为x24+y23=1．(2)依题意，设直线l的方程为y=kx+m，A x1,y1、B x2,y2，点F-1,0，由x24+y23=1y=kx+m消去y并整理得3+4k2x2+8km x+4m2-12=0，则x1+x2=-8km3+4k2，x1⋅x2=4m2-123+4k2，直线FA、FB的斜率之和为y1x1+1+y2x2+1=kx1+mx1+1+kx2+mx2+1=2kx1x2+(k+m)(x1+x2)+2m(x1+1)(x2+1)=0，即2kx1x2+k+mx1+x2+2m=0，有2k⋅4m2-123+4k2+k+m-8km3+4k2+2m=0，整理得m=4k，此时Δ=64k2m2-16(4k2+3)(m2-3)=48(4k2+3-m2)=144(1-4k2)，k≠0，否则m=0，直线l 过F点，因此当Δ>0且k≠0，即-12<k<12且k≠0时，直线l与椭圆C1交于两点，直线l：y=k(x+4)，所以符合条件的动直线l过定点(-4,0)．6.(Ⅰ)x28+y24=1；(Ⅱ)存在定点Q(0,4)满足题意.【详解】试题分析：(1)由椭圆C的离心率是22，直线l被椭圆C截得的线段长为26列方程组求出b 2=4,a 2=8，从而可得椭圆C 的标准方程；(2)设直线l 方程为y =kx +1，由x 2+2y 2=8y =kx +1 得2k 2+1 x 2+4kx -6=0，Δ=16k 2+242k 2+1 >0，根据韦达定理及斜率公式可得k QA +k QB =2k+1-t-4k -6=2k 4-t 3，令4-t =0，可得t =4符合题意.试题解析：(1)∵e =22,e 2=c 2a2=12，∴a 2=2c 2=b 2+c 2,b =c ·a 2=2b 2，椭圆方程化为：x 22b 2+y 2b2=1，由题意知，椭圆过点6,1 ，∴62b 2+1b 2=1，解得b 2=4,a 2=8，所以椭圆C 的方程为：x 28+y 24=1；(2)当直线l 斜率存在时，设直线l 方程：y =kx +1，由x 2+2y 2=8y =kx +1得2k 2+1 x 2+4kx -6=0，Δ=16k 2+242k 2+1 >0，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,x 1+x 2=-4k 2k 2+1x 1x 2=-62k 2+1，假设存在定点Q 0,t (t 不为2)符合题意，∵∠PQA =∠PQB ，∴k QA =-k QB ，∴k QA +k QB =y 1-t x 1+y 2-t x 2=x 2y 1+x 1y 2-t x 1+x 2 x 1x 2=x 2kx 1+1 +x 1kx 2+1 -t x 1+x 2 x 1x 2=2kx 1x 2+1-t x 1+x 2 x 1x 2=2k +1-t -4k -6=2k 4-t 3=0，∵上式对任意实数k 恒等于零，∴4-t =0，即t =4，∴Q 0,4 ，当直线l 斜率不存在时，A ,B 两点分别为椭圆的上下顶点0,-2 ,0,2 ，显然此时∠PQA =∠PQB ，综上，存在定点Q 0,4 满足题意．。
齐次化法巧解一类圆锥曲线问题_林国红
５６ 数学名言 数学是一种别具匠心的艺术．———哈尔莫斯齐次化法巧解一类圆锥曲线问题 广东 林国红 直线与圆锥曲线是解析几何的两大研究对象，历年来都是高考的重点考查内容．考查方式多以直线与圆锥曲线的位置关系为背景显现，其一般的解题思路是直线与圆锥曲线联立方程组消元，通过韦达定理获得两根之间的关系，再利用已知条件求解，解答过程常常涉及繁冗运算，即使是在思路顺畅的情况下，也较难得出正确结果，因此提高运算能力与减少运算量是顺利解答解析几何题的必要条件．要减少解析几何运算量，规避运算风险，算理就显得非常重要．本文以近两年圆锥曲线的高考题为例，提供一种通性的优化解法———齐次化法，它在解决两直线斜率之和（积）相关的定值、定点的圆锥曲线问题中常能达到化繁为简、举重若轻的效果．一、两种解法比较示例（２０１７·全国卷Ⅰ理·２０）已知椭圆Ｃ：ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０），四点Ｐ１（１，１），Ｐ２（０，１），Ｐ３－１，槡３（）２，Ｐ４１，槡３（）２中恰好有三点在椭圆Ｃ上．（Ⅰ）求Ｃ的方程；（Ⅱ）设直线ｌ不经过Ｐ２点且与Ｃ相交于Ａ，Ｂ两点．若直线Ｐ２Ａ与直线Ｐ２Ｂ的斜率的和为－１，证明：ｌ过定点．解答：（Ⅰ）略解，椭圆Ｃ方程为ｘ２４＋ｙ２＝１．（Ⅱ）解法一：（一般解法）设直线Ｐ２Ａ与直线Ｐ２Ｂ的斜率分别为ｋ１，ｋ２，如果ｌ与ｘ轴垂直，设ｌ：ｘ＝ｔ，由题设知ｔ≠０，且｜ｔ｜＜２，可得Ａ，Ｂ的坐标分别为ｔ，４－ｔ槡２（）２，ｔ，－４－ｔ槡２（）２，于是ｋ１＋ｋ２＝４－ｔ槡２－２２ｔ－４－ｔ槡２＋２２ｔ＝－１，得ｔ＝２，不符合题意．从而可设ｌ：ｙ＝ｋｘ＋ｍ（ｍ≠１），将ｙ＝ｋｘ＋ｍ代入ｘ２４＋ｙ２＝１得（４ｋ２＋１）ｘ２＋８ｋｍｘ＋４ ｍ２－４＝０．由题设可知Δ＝１６（４ｋ２－ｍ２＋１）＞０，设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），则ｘ１＋ｘ２＝－８ｋｍ４ｋ２＋１，ｘ１ｘ２＝４ ｍ２－４４ｋ２＋１．而ｋ１＋ｋ２＝ｙ１－１ｘ１＋ｙ２－１ｘ２＝ｋｘ１＋ｍ－１ｘ１＋ｋｘ２＋ｍ－１ｘ２＝２ｋｘ１ｘ２＋（ｍ－１）（ｘ１＋ｘ２）ｘ１ｘ２．由题设ｋ１＋ｋ２＝－１，故（２ｋ＋１）ｘ１ｘ２＋（ｍ－１）（ｘ１＋ｘ２）＝０，即（２ｋ＋１）·４ ｍ２－４４ｋ２＋１＋（ｍ－１）·－８ｋｍ４ｋ２＋１＝０．解得ｋ＝－ｍ＋１２，当且仅当ｍ＞－１时，Δ＞０，于是ｌ：ｙ＝－ｍ＋１２ｘ＋ｍ，即ｙ＋１＝－ｍ＋１２（ｘ－２），所以ｌ过定点（２，－１）．解法二：（齐次化解法）设直线ｌ的方程为ｍｘ＋ｎ（ｙ－１）＝１．由ｘ２４＋ｙ２＝１，变形得ｘ２４＋（ｙ－１＋１）２＝１，即ｘ２４＋（ｙ－１）２＋２（ｙ－１）＝０，与直线ｌ联立，齐次化得ｘ２４＋（ｙ－１）２＋２（ｙ－１）·［ｍｘ＋ｎ（ｙ－１）］＝０，化简得（１＋２ｎ）（ｙ－１）２＋２ ｍｘ（ｙ－１）＋ｘ２４＝０，两边同除ｘ２，得（１＋２ｎ）ｙ－１（）ｘ２＋２ ｍ·ｙ－１（）ｘ＋１４＝０．又因ｋＰＡ＋ｋＰＢ＝－１，所以－２ ｍ１＋２ｎ＝－１，故２ ｍ－２ｎ＝１，数学名言 数学是一种会不断进化的文化．———魏尔德５７ 代入直线ｌ的方程ｍｘ＋ｎ（ｙ－１）＝１并化简，得ｎ（ｙ＋１）＝－ｍ（ｘ－２）．所以直线ｌ过定点（２，－１）．评析：（１）解析几何的综合题往往有多种解法，关键是找到一种最有效的解题途径．从示例可以看出齐次化解法的代数变形较为简单，运算量较少，解题过程更为简洁．（２）一般来说，齐次化法能解决两直线斜率之和（积）为定值的圆锥曲线问题，（其解题步骤如下以椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１）为例：①设直线方程为ｍ（ｘ－ｘ０）＋ｎ（ｙ－ｙ０）＝１，其中（ｘ０，ｙ０）为两相关直线的交点（这样设直线方程的形式，右边为１对联立齐次化较为方便）；②椭圆方程ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１变形为（ｘ－ｘ０＋ｘ０）２ａ２＋（ｙ－ｙ０＋ｙ０）２ｂ２＝１，即（ｘ－ｘ０）２＋２ｘ０（ｘ－ｘ０）＋ｘ２０ａ２＋（ｙ－ｙ０）２＋２ｙ０（ｙ－ｙ０）＋ｙ２０ｂ２＝１；③与直线方程ｍ（ｘ－ｘ０）＋ｎ（ｙ－ｙ０）＝１联立齐次化，得Ｓ（ｙ－ｙ０）２＋Ｐ（ｘ－ｘ０）（ｙ－ｙ０）＋Ｑ（ｘ－ｘ０）２＝０（Ｓ≠０），即Ｓｙ－ｙ０ｘ－ｘ（）０２＋Ｐｙ－ｙ０ｘ－ｘ（）０＋Ｑ＝０（Ｓ≠０）；④由韦达定理得ｋ１＋ｋ２＝－ＰＳ，ｋ１ｋ２＝ＱＳ；⑤根据题目条件进一步求解．注：当两相关直线的交点（ｘ０，ｙ０）不在原点时，可以通过平移坐标系的方式，将交点（ｘ０，ｙ０）变为原点，再齐次化解答，这一方法也称“平移齐次化”法．但这样多了一个坐标的相互变换，思维强度加大．二、齐次化法的应用１．两直线的斜率之积为定值型例１（２０１７·全国卷Ⅲ理·２０）已知抛物线Ｃ：ｙ２＝２ｘ，过点（２，０）的直线ｌ交Ｃ于Ａ，Ｂ两点，圆Ｍ是以线段ＡＢ为直径的圆．（Ⅰ）证明：坐标原点Ｏ在圆Ｍ上；（Ⅱ）设圆Ｍ过点Ｐ（４，－２），求直线ｌ与圆Ｍ的方程．分析：设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），要证明坐标原点Ｏ在圆Ｍ上，等价于证明ＯＡ⊥ＯＢ，即证ｋＯＡ·ｋＯＢ＝ｙ１ｘ１·ｙ２ｘ２＝－１，根据此特征，可构造齐次式Ｓｙ２＋Ｐｘｙ＋Ｑｘ２＝０（Ｓ≠０），于是有Ｓｙ（）ｘ２＋Ｐｙ（）ｘ＋Ｑ＝０（Ｓ≠０），由于ｋＯＡ，ｋＯＢ是方程Ｓｙ（）ｘ２＋Ｐｙ（）ｘ＋Ｑ＝０（Ｓ≠０）的两个根，可用韦达定理得到两根关系，再根据条件求解．解答：（Ⅰ）设直线ｌ的方程为ｍｘ＋ｎｙ＝１，因为直线ｌ过点（２，０），所以有２ ｍ＝１．联立ｍｘ＋ｎｙ＝１，ｙ２＝２ｘ烅烄烆，齐次化得ｙ２＝２ｘ（ｍｘ＋ｎｙ），整理得ｙ２－２ｎｘｙ－２ ｍｘ２＝０，两边同除ｘ２，有ｙ（）ｘ２－２ｎｙ（）ｘ－２ ｍ＝０．故ｋＯＡ·ｋＯＢ＝－２ ｍ＝－１，所以ＯＡ⊥ＯＢ，即坐标原点Ｏ在圆Ｍ上．（Ⅱ）略解，得直线ｌ的方程为ｙ＝ｘ－２，圆Ｍ的方程为（ｘ－３）２＋（ｙ－１）２＝１０或者直线ｌ的方程为ｙ＝－２ｘ＋４，圆Ｍ的方程为ｘ－（）９４２＋ｙ＋（）１２２＝８５１６．例２（２０１７·全国卷Ⅰ文·２０）设Ａ，Ｂ为曲线Ｃ：ｙ＝ｘ２４上两点，Ａ与Ｂ的横坐标之和为４．（Ⅰ）求直线ＡＢ的斜率；（Ⅱ）设Ｍ为曲线Ｃ上一点，Ｃ在Ｍ处的切线与直线ＡＢ平行，且ＡＭ⊥ＢＭ，求直线ＡＢ的方程．分析：设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），Ｍ（ｘＭ，ｙＭ），由ＡＭ⊥ＢＭ，即有ｋＡＭ·ｋＢＭ＝ｙ１－ｙＭｘ１－ｘＭ·ｙ２－ｙＭｘ２－ｘＭ＝－１，由此可构造齐次式Ｓ（ｙ－ｙＭ）２＋Ｐ（ｘ－ｘＭ）（ｙ－ｙＭ）＋Ｑ（ｘ－ｘＭ）２＝０（Ｓ≠０），于是有Ｓｙ－ｙＭｘ－ｘ（）Ｍ２＋Ｐｙ－ｙＭｘ－ｘ（）Ｍ＋Ｑ＝０（Ｓ≠０），由于ｋＡＭ，ｋＢＭ是方程Ｓｙ－ｙＭｘ－ｘ（）Ｍ２＋Ｐｙ－ｙＭｘ－ｘ（）Ｍ＋Ｑ＝０（Ｓ≠０）的两个根，可用韦达定理得到两根关系，再根据条件求解．解答：（Ⅰ）略解，得直线ＡＢ的斜率为１．５８ 数学名言 我总是尽我的精力和才能来摆脱那种繁重而单调的计算．———纳皮尔（Ⅱ）设Ｍ（ｘＭ，ｙＭ），由ｙ′＝ｘ２，且在Ｍ处的切线与直线ＡＢ平行，得ｘＭ２＝１，求得ｘＭ＝２，ｙＭ＝１，故Ｍ（２，１）．设直线ＡＢ的方程为ｍ（ｘ－２）＋ｎ（ｙ－１）＝１，因为直线ＡＢ的斜率为１，易得ｍ＝－ｎ．由ｙ＝ｘ２４，变形得（ｙ－１＋１）＝（ｘ－２＋２）２４，即（ｙ－１）＋１＝（ｘ－２）２＋４（ｘ－２）＋４４，整理得４（ｙ－１）＝（ｘ－２）２＋４（ｘ－２），于是联立直线ＡＢ，齐次化得４（ｙ－１）［ｍ（ｘ－２）＋ｎ（ｙ－１）］＝（ｘ－２）２＋４（ｘ－２）［ｍ（ｘ－２）＋ｎ（ｙ－１）］，化简得４ｎ（ｙ－１）２＋（４ ｍ－４ｎ）（ｘ－２）（ｙ－１）－（１＋４ ｍ）（ｘ－２）２＝０，两边同除（ｘ－２）２，得４ｎｙ－１ｘ（）－２２＋（４ ｍ－４ｎ）·ｙ－１ｘ（）－２－（１＋４ ｍ）＝０．因为ＡＭ⊥ＢＭ，所以ｋＡＭ·ｋＢＭ＝－（１＋４ ｍ）４ｎ＝－１，得４ ｍ－４ｎ＝－１，联立ｍ＝－ｎ，４ ｍ－４ｎ＝－１烅烄烆，求得ｍ＝－１８，ｎ＝１８，代入ｍ（ｘ－２）＋ｎ（ｙ－１）＝１，得直线ＡＢ的方程为ｘ－ｙ＋７＝０．２．两直线的斜率之和为定值型例３（２０１８·全国卷Ⅰ理·１９）设椭圆Ｃ：ｘ２２＋ｙ２＝１的右焦点为Ｆ，过Ｆ的直线ｌ与Ｃ交于Ａ，Ｂ两点，点Ｍ的坐标为（２，０）．（Ⅰ）当ｌ与ｘ轴垂直时，求直线ＡＭ的方程；（Ⅱ）设Ｏ为坐标原点，证明：∠ＯＭＡ＝∠ＯＭＢ．分析设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），要证明∠ＯＭＡ＝∠ＯＭＢ，等价于ＡＭ，ＢＭ的倾斜角互补，即证明ｋＡＭ＋ｋＢＭ＝ｙ１ｘ１－２＋ｙ２ｘ２－２＝０，由此可构造齐次式Ｓｙ２＋Ｐ（ｘ－２）ｙ＋Ｑ（ｘ－２）２＝０（Ｓ≠０），于是有Ｓｙｘ（）－２２＋Ｐｙｘ（）－２＋Ｑ＝０（Ｓ≠０），由于ｋＡＭ，ｋＢＭ是方程Ｓｙｘ（）－２２＋Ｐｙｘ（）－２＋Ｑ＝０（Ｓ≠０）的两个根，可用韦达定理得到两根关系，再根据条件求解．解答（Ⅰ）略解，得直线ＡＭ的方程为ｙ＝－槡２２ｘ槡＋２或ｙ＝槡２２ｘ槡－２．（Ⅱ）设直线ＡＢ的方程为ｍ（ｘ－２）＋ｎｙ＝１，因为直线ＡＢ过点Ｆ（１，０），易得ｍ＝－１．由ｘ２２＋ｙ２＝１，变形得（ｘ－２＋２）２２＋ｙ２＝１，即（ｘ－２）２＋４（ｘ－２）＋４２＋ｙ２＝１，整理得ｙ２＋２（ｘ－２）＋（ｘ－２）２２＋１＝０，于是联立直线ＡＢ，齐次化得ｙ２＋２（ｘ－２）［ｍ（ｘ－２）＋ｎｙ］＋（ｘ－２）２２＋［ｍ（ｘ－２）＋ｎｙ］２＝０，化简得（１＋ｎ２）ｙ２＋（２ｎ＋２ ｍｎ）（ｘ－２）ｙ＋１２＋２ ｍ＋ｍ（）２（ｘ－２）２＝０，两边同除（ｘ－２）２，得（１＋ｎ２）ｙｘ（）－２２＋（２ｎ＋２ ｍｎ）ｙｘ（）－２＋１２＋２ ｍ＋ｍ（）２＝０．故有ｋＡＭ＋ｋＢＭ＝－（２ｎ＋２ ｍｎ）１＋ｎ２＝－（２ｎ－２ｎ）１＋ｎ２＝０，即ＡＭ，ＢＭ的倾斜角互补，所以∠ＯＭＡ＝∠ＯＭＢ．例４（２０１８·全国卷Ⅰ文·２０）设抛物线Ｃ：ｙ２＝２ｘ，点Ａ（２，０），Ｂ（－２，０），过点Ａ的直线ｌ与Ｃ交于Ｍ，Ｎ两点．（Ⅰ）当ｌ与ｘ轴垂直时，求直线ＢＭ的方程；（Ⅱ）证明：∠ＡＢＭ＝∠ＡＢＮ．分析：设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），要证明∠ＡＢＭ＝∠ＡＢＮ，等价于ＢＭ，ＢＮ的倾斜角互补，即证明ｋＢＭ＋ｋＢＮ＝ｙ１ｘ１＋２＋ｙ２ｘ２＋２＝０，由此可构造齐次式Ｓｙ２＋Ｐ（ｘ＋２）ｙ＋Ｑ（ｘ＋２）２＝０（Ｓ≠０），于是有Ｓｙｘ（）＋２２＋Ｐｙｘ（）＋２＋Ｑ＝０（Ｓ≠０，由于ｋＢＭ，ｋＢＮ是方程Ｓｙｘ（）＋２２＋Ｐｙｘ（）＋２＋Ｑ＝０（Ｓ≠０）的两个根，可用韦达定理得到两根关系，再根据条件求解．解答：（Ⅰ）略解，得直线ＢＭ的方程：ｙ＝１２ｘ＋１或ｙ＝数学诗选 三角函数东升西落照苍穹，影短影长角不同．昼夜循环潮起伏，冬春更替草枯荣．５９ －１２ｘ－１；（Ⅱ）设直线ＭＮ的方程为ｍ（ｘ＋２）＋ｎｙ＝１，因为直线ＭＮ过点Ａ（２，０），易得ｍ＝１４．由ｙ２＝２ｘ，变形得ｙ２＝２（ｘ＋２－２），整理得ｙ２＝２（ｘ＋２）－４，于是联立直线ＭＮ，齐次化得ｙ２＝２（ｘ＋２）［ｍ（ｘ＋２）＋ｎｙ］－４［ｍ（ｘ＋２）＋ｎｙ］２，化简得（１＋４ｎ２）ｙ２＋（８ ｍｎ－２ｎ）（ｘ＋２）ｙ＋（４ ｍ２－２ ｍ）（ｘ＋２）２＝０，两边同除（ｘ＋２）２，得（１＋４ｎ２）ｙｘ（）＋２２＋（８ ｍｎ－２ｎ）ｙｘ（）＋２＋（４ ｍ２－２ ｍ）＝０．故有ｋＢＭ＋ｋＢＮ＝－（８ ｍｎ－２ｎ）１＋４ｎ２＝－８×１４ｎ－２（）ｎ１＋４ｎ２＝０，即ＢＭ，ＢＮ的倾斜角互补，所以∠ＡＢＭ＝∠ＡＢＮ．三、小结反思圆锥曲线中涉及两直线斜率相关的定值、定点问题，是高考的热门考点．从上述例子可以看出，全国卷２０１７，２０１８年文、理共１２份试卷的解析几何大题中（共９题，其中有３份试卷的题目一样），连续两年共考查了５次的两直线斜率相关的定值、定点问题．因此，对于高考真题不能浅尝辄止，特别是高频考点，要认真分析体会题目的内涵与考查背景，掌握其典型解法等等．与两直线斜率相关的定值、定点问题重点考查方程思想，转化与化归思想等，往往需要学生具备较强的知识综合性，较高的思维能力与运算能力，而齐次化法可以将此类问题统一处理，是一种通性解法，运算量较少，既可以简化解题过程，又可以培养学生的思维灵活性，应该熟练掌握．四、练习巩固最后提供四题作为练习，以加深体会齐次化法在圆锥曲线中的妙用．１．已知过点Ｄ（４，０）的直线ｌ与椭圆Ｃ：ｘ２４＋ｙ２＝１交于不同的两点Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），其中ｙ１ｙ２≠０，Ｏ为坐标原点．（Ⅰ）若ｘ１＝０，求△ＯＡＢ的面积；（Ⅱ）在ｘ轴上是否存在定点Ｔ，使得直线ＴＡ，ＴＢ与ｙ轴围成的三角形始终为等腰三角形．【答案】（Ⅰ）４５；（Ⅱ）存在定点Ｔ（１，０）．２．已知圆Ｅ：（ｘ槡＋３）２＋ｙ２＝１６，点Ｆ（槡３，０），动点Ｐ在Ｅ上，线段ＰＦ的垂直平分线与直线ＰＥ相交于点Ｑ，Ｑ的轨迹是曲线Ｃ．（Ⅰ）求Ｃ的方程；（Ⅱ）已知过点（２，－１）的直线ｌ与Ｃ交于两点Ａ，Ｂ，Ｍ是Ｃ与ｙ轴正半轴的交点，设直线ＭＡ，ＭＢ的斜率分别为ｋ１，ｋ２，证明：ｋ１＋ｋ２为定值．【答案】（Ⅰ）ｘ２４＋ｙ２＝１；（Ⅱ）ｋ１＋ｋ２＝－１．３．已知Ｆ１，Ｆ２分别为椭圆Ｃ：ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）的左、右焦点，点Ｐ槡２ ６３，（）１在椭圆Ｃ上，且△Ｆ１ＰＦ２的垂心为Ｈ槡２ ６３，－（）５３．（Ⅰ）求椭圆Ｃ的方程；（Ⅱ）设Ａ为椭圆的左顶点，过点Ｆ２的直线ｌ交椭圆Ｃ于Ｄ，Ｅ两点，记直线ＡＤ，ＡＥ的斜率为ｋ１，ｋ２，若ｋ１＋ｋ２＝－１２，求直线ｌ的方程．【答案】（Ⅰ）ｘ２４＋ｙ２３＝１；（Ⅱ）ｙ＝２ｘ－２．４．已知抛物线Ｃ：ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０），三点Ｐ１（３，２），Ｐ２（１，－２），Ｐ３（１，２）中只有一个点不在抛物线上．（Ⅰ）求Ｃ的方程；（Ⅱ）设过Ｐ１且不过Ｐ２，Ｐ３的直线ｌ与Ｃ交于Ａ，Ｂ两点，若直线Ｐ２Ａ，Ｐ２Ｂ的斜率分别为ｋ１，ｋ２，证明：ｋ１ｋ２为定值．【答案】（Ⅰ）ｙ２＝４ｘ；（Ⅱ）ｋ１ｋ２＝－２．（作者单位：广东省佛山市乐从中学）。
齐次化解圆锥曲线
齐次化妙解圆锥曲线题型1定点在原点的斜率问题题型2定点在原点转化成斜率问题题型3定点不在原点之齐次化基础运用题型4定点不在原点的斜率问题题型5定点不在原点转化为斜率问题题型6定点不在原点之二级结论第三定义的使用题型7齐次化妙解之等角问题题型8点乘双根法的基础运用题型9点乘双根法在解答题中的运用题型1定点在原点的斜率问题圆锥曲线的定义、定值、弦长、面积，很多都可以转化为斜率问题，当圆锥曲线遇到斜率之和或者斜率之积，以往我们的常用解法是设直线y=kx+b，与圆锥曲线方程联立方程组，韦达定理，再将斜率之和或之积的式子通分后，将x1+x2和x1⋅x2代入，得到关于k、b的式子．解法不难，计算量较为复杂．如果采用齐次化解决，直接得到关于k的方程，会使题目计算量大大减少．“齐次”即次数相等的意思，例如f x =ax2+bxy+cy2称为二次齐式，即二次齐次式的意思，因为f x 中每一项都是关于x、y的二次项．如果公共点在原点，不需要平移．1直线mx+ny=1与抛物线y2=4x交于A x1 , y1 , B x2 , y2，求k OA+k OB , k OA⋅k OB．(用m , n表示)【解析】联立mx+ny=1y2=4x，齐次化得y2=4x mx+ny，等式两边同时除以x2，yx2-4n y x -4m=0，∴∴k OA+k OB=y1x1+y2x2=4n , k OA k OB=y1x1⋅y2x2=-4m．1直线mx +ny =1与椭圆x 24+y 23=1交于A x 1 , y 1 , B x 2 , y 2 ，求k OA ⋅k OB (用m , n 表示)．【解析】mx +ny =1x 24+y 23=1齐次化联立得：x 24+y 23=mx +ny 2，等式两边同时除以x 2，12n 2-4 y x 2+24mn y x +12m 2-3=0，∴k OA ⋅k OB =y 1x 1⋅y 2x 2=12m 2-312n 2-4．2抛物线y 2=4x ，直线l 交抛物线于A 、B 两点，且OA ⊥OB ，求证：直线l 过定点．【解析】设直线AB 方程为mx +ny =1，A x 1 , y 1 , B x 2 , y 2 ，mx +ny =1y 2=4x 联立得y x 2-4n y x-4m =0，∵k OA k OB =y 1y 2x 1x 2 , ∴-4m =-1 , ∴m =14，∴直线AB :14x +ny =1过定点4,0 ．3不过原点的动直线交椭圆x 24+y 23=1于A 、B 两点，直线OA 、AB 、OB 的斜率成等比数列，求证：直线l 的斜率为定值．【解析】设直线AB 方程为mx +ny =1，A x 1 , y 1 , B x 2 , y 2 ，mx +ny =1x 24+y 23=1联立得12n 2-4 y x2+24mn yx+12m 2-3=0，于是k OA k OB =y 1x 1y 2x 2=12m 2-312n 2-4，又k AB =-m n ，∴12m 2-312n 2-4=m 2n2，得k AB =-m n =±32．4已知直线y =kx +4交椭圆x 24+y 2=1于A ，B 两点，O 为坐标原点，若k OA +k OB =2，求该直线方程．【解析】法一(齐次化解法)：设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，步骤1：构建关于x 、y 的齐次式：将直线变形为y -kx 4=1代入x 24+y 2=1进行“1”的代换得x 24+y 2=y -kx 42，整理得15y 2+2kxy +(4-k 2)x 2=0；步骤2：构建关于斜率k =yx的方程：因为x≠0，方程两边同除以x2，得15yx2+2k y x +(4-k2)=0；步骤3：利用韦达定理转化目标：易知k OA=y1x1和k OB=y2x2是方程15yx2+2k y x +(4-k2)=0的两个根，由韦达定理得k OA+k OB=-2k15=2，即k=-15，故所求直线方程为y=-15x+4．法二(常规解法)：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立y=kx+4①x24+y2=1②，①代入②消去y得(4k2+1)x2+32kx+60=0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=32k4k2+1，x1x2=604k2+1，所以k OM+k ON=y1x1+y2x2=kx1+4x1+kx2+4x2=2k+4(x1+x2)x1x2=2k+32k15=2，解得k=-15，故所求直线方程为y=-15x+4．【方法小结】本题属于曲线上的两个点与原点连线的斜率之和为定值(斜率之积为定值也可以用本法)问题，通过对直线变形，采取“1”的巧用，一般二次方不变，一次方项直接乘以“1”，常数项乘以“1”的平方，从而构建关于x，y的二元二次的齐次方程，再两边同时除以x2得到一个是以原点与曲线上连线的斜率k为根的一元二次方程，再借助韦达定理使得问题运算得到简化，我们把这种操作手法称之为“齐次化”．5设Q1，Q2为椭圆x22b2+y2b2=1上两个动点，且OQ1⊥OQ2，过原点O作直线Q1Q2的垂线OD，求D的轨迹方程．【解析】法一：(常规方法)设Q1(x1,y1)，Q1(x2,y2)，D(x0,y0),设直线Q1Q2方程为y=kx+m，联立y=kx+mx22b2+y2b2=1化简可得:(2b2k2+b2)x2+4kmb2x+2b2(m2-b2)=0，所以x1x2=2b2(m2+b2)2b2k2+b2，y1y2=b2(m2-2b2k2)2b2k2+b2，因为OQ1⊥OQ2，所以x1x2+y1y2=2b2(m2+b2)2b2k2+b2+b2(m2-2b2k2)2b2k2+b2=2(m2-b2)2k2+1+m2-2b2k22k2+1=0，∴3m2=2b2(1+k2)①又因为直线Q1Q2方程等价于为y-y0=-x0y0(x-x0)，即y=-x0y0x+x20y0+y0，对比于y =kx +m ，则-x0y 0=kx 2y 0+y 0=m代入①中，化简可得：x 20+y 20=23b 2．法二：(齐次化解法)设直线Q 1Q 2方程为mx +ny =1，联立mx +ny =1x 22b2+y2b 2=1，可得mx +ny =1x 22b2+y 2b 2-1=0，所以x 22b 2+y 2b 2-(mx +ny )2=0，化简可得x 22b 2+y 2b 2-m 2x 2-n 2y 2-2mnxy =0，整理成关于x ，y 的齐次式：(2-2b 2n 2)y 2+(1-2m 2b 2)x 2-4mnb 2xy =0，进而两边同时除以x 2，则(2-2b 2n 2)y x 2-4mnb 2yx+1-2m 2b 2=0，记OQ 1，OQ 2的斜率分别为k 1，k 2，则k 1，k 2为方程(2-2b 2n 2)y x 2-4mnb 2yx+1-2m 2b 2=0的两个根，由韦达定理得k 1k 2=1-2m 2b 22-2b 2n 2，因为OQ 1⊥OQ 2，所以k 1k 2=1-2m 2b 22-2b 2n2=-1，∴3m 2=2b 2(1+k 2)①又因为直线Q 1Q 2方程等价于为y -y 0=-x 0y 0(x -x 0)，即y =-x 0y 0x +x 20y 0+y 0，对比于y =kx +m ，则-x0y 0=kx 2y 0+y 0=m，代入①中，化简可得：x 20+y 20=23b 2．题型2定点在原点转化成斜率问题圆锥曲线齐次化原理是：过程中为了式子整齐好记，所以将它齐次化。
齐次式法与圆锥曲线斜率有关的一类问题
齐次式法与圆锥曲线斜率有关的一类问题本文介绍了利用“齐次式”法解决圆锥曲线斜率有关的顶点定值问题。
针对定点问题，文章提出了引入变量参数表示直线方程、数量积、比例关系等的方法，以寻找不受参数影响的量。
对于直线过定点问题，可以通过设出直线方程，利用韦达定理和已知条件找出k和m的一次函数关系式，代入直线方程解决。
在圆锥曲线中，有很多常见的定点模型，熟练掌握这些结论可以事半功倍。
举例来说，文章给出了一个07山东省的例题。
该题要求证明直线l过定点，并求出该定点的坐标。
通过设定直线方程，利用已知条件和韦达定理，可以求出直线方程中的k和m的关系式，代入方程解得定点坐标。
文章还提供了一些解题技巧，例如如何选择直线，如何转化题目条件等。
总的来说，本文介绍了一种解决定点问题的方法，并以圆锥曲线为例，详细说明了几种常见的定点模型。
文章语言简洁明了，逻辑清晰，对于解决类似问题有很大的帮助。
练7：已知点A（-1，0），B（1，-1）和抛物线C：y=4x，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M、P，直线MB交抛物线C于另一点Q，如图。
I）证明：OM·OP为定值；II）若△POM的面积为5，求向量OM与OP的夹角；III）证明直线PQ恒过一个定点。
解：（I）设点M（m，4m），则动直线l的斜率为k=4/m。
由于A、M、P三点共线，故有k·(-1)+4=m，即m=4/(k+1)。
又因为直线MB与抛物线C有两个交点，设另一点为Q（q，4q），则有q=-1/4.因此，OM·OP=|(m，4m)·(q，4q)|=|16(mq)^2|=|16/(k+1)^2|，为定值。
II）设∠PO M=α，则OM·OP·cosα=5.又因为△POM的面积为5，所以OM·OP·sinα=5.由此可得tanα=1，又因为α∈(0，π)，所以α=45°。
因此，向量OM与OP的夹角为45°。
圆锥曲线斜率和与积的问题——平移构造齐次式进阶篇平移构造齐次式
秒杀秘籍：已知点 Px0
,
y0
是平面内一个定点，椭圆
C：
x2 a2
y2 b2
1a b 0上有两动点 A、B
（1）若直线 k PA k PB ，则直线 AB 过定点
（2）若直线 k PA k PB ，则直线 AB 过定点
证明：将椭圆
C
按向量
PO x0
,
y0 方向平移，得椭圆
C’ ：
2mn
y x
mx0
a
2
12
m
2
y
2 0
b2
m
2
0
因
为点
A’、B’的坐标满足这个方程，所以
k OA'
和
k OB '
是关于
y x
的方程的两根。
（1）若 kPA kPB ， 由 平 移 性 质 知 kOA kOB ， 所 以
k OA
k OB
2mnx
2 0
2x0n
2mny
2 0
a2
b2
n 2 x02 ny0 12
过定点？若过，求出此定点，若不过，请说明理由.
【答案】（1） x 2 y 2 1 . 2
（2）将椭圆按 FO 平移得椭圆 C' ，则 F
O ，P P' ，Q Q' ，椭圆 C' ：x 12
2
y2
1 ，设 lP'Q' ：mx ny 1 ，
椭圆 C' ： x 2 y 2 x 1 0 ，即 x 2 y 2 xmx ny 1 mx ny2 0 ，两边同除以 x 2 ，整理得，
k BN
kOM '
kON '
圆锥曲线综合之齐次化巧解斜率的和积问题,含详细参考答案
齐次化巧解斜率的和积问题1.曲线的平移法则：对于给定曲线，平移口决：左加右减(针对x )，下加上减(针对y )2.两直线的斜率之和或积为定值方法拓展1.拓展：齐次化巧解斜率的和积问题2.原理：平移不改变直线的斜率、韦达定理的运用3.步骤：①设：设两直线的斜率分别为k 1和k 2；②移：将直线和曲线整体平移，使得两直线的公共点落在原点，写出平移后曲线的方程，并将平移后的目标直线设为固定形式：mx+ny =1若与定点(00,y x )的斜率关系,则可设直线方程为1)()(00=-+-y y n x x m ③联：联立直线和曲线方程，得到开如：)0(022≠=++p rx qxy py 方程两边同时除以x 2，得到形如)0(0)((2≠=++p r x y q x y p ④换：令k =x y ，得到)0(02≠=++p r qk pk ，则k 1和k 2是该方程的两根⑤达：韦达定理得到k 1+k 2和k 1k 2，从而得到m 和n 的关系4.优点：相比传统的韦达定理，计算量大大减少，缺点：mx+ny =1不能表示经过原点的直线常见三种类型：①MB MA k k ⋅为定值(不为0)②MB MA k k +为定值(不为0)③)0(πθθβα<<=+例1A 、B 是抛物线x y 42=上的两点，且满足OA ⊥OB(O 为坐标原点)，求证：直线AB 经过一个定点.练习1已知抛物线C ：)0(22>=p px y 上一点A(2,a )到其焦点的距离为3(1)求抛物线C 的方程；(2)过点(4,0)的直线与抛物线C 交于点P 、Q 两点，O 为坐标原点，证明∠POQ=90°.例2设曲线C ：)0(22>=p py x 上一点M(m ,2)到焦点的距离为3.(1)求曲线C 方程；(2)设P 、Q 为曲线C 上不同于原点O 的任意两点，且满足以线段PQ 为直径的圆过原点O ，试问直线PQ 是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标；若不恒过定点，说明理由.练习2已知离心率为25的双曲线C 的中心在坐标原点，左、右焦点F 1、F 2在x 轴上，双曲线C 的右支上一点A 使0AF AF 21=⋅→→且△AF 1F 2的面积为1.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)若直线l ：y=kx+m 与双曲线C 相交于E 、F 两点(E 、F 不是左右顶点)，且以EF 为直径的圆过双曲线C 的右顶点D ，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.例3如图，椭圆E ：)0(12222>>=+b a b y a x 经过点A(0,-1)，且离心率为22(1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1,1)且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P 、Q(异于点A)，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.练习3已知椭圆C 过点A(231，),两个焦点为(-1,0),(1,0)(1)求椭圆的方程；(2)E 、F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值.例4(2017全国I 卷)已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x ，四点)23,1()23,1()1,0()1,1(4321P P P P -，中恰有三点在椭圆C 上.(1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A 、B 两点，若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率之和为-1，求证：l 过定点.练习4设抛物线C ：x y 22=点A(2,0)，B(-2,0),过点A 的直线l 与C 交于M 、N 两点.(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；(2)证明:∠ABM=∠ABN参考答案例1设A(11,y x )、B(22,y x )直线AB 的解析式为mx+ny =1，与抛物线联立有)(42ny mx x y +=即有044(2=--m x y n x y ，此方程是关于2211,x y x y 的一元二次方程，142211-=-=⋅=⋅m x y x y k k OB OA ，即41=m ，直线AB 的方程为141=+ny x ，过定点(4,0)练习1(1)2+2p =3得p=2,抛物线的方程为x y 42=(2)设P(11,y x )、Q(22,y x )直线PQ 的解析式为mx+ny =1，与抛物线联立有)(42ny mx x y +=即有044(2=--m x y n x y ，此方程是关于2211,x y x y 的一元二次方程，直线PQ 过点(4,0)得41=m 142211P -=-=⋅=⋅m x y x y k k OQ O ，故∠POQ=90°例2(1)2+2p =3得p=2,抛物线的方程为y x 42=(2)设P(11,y x )、Q(22,y x )直线PQ 的解析式为mx+ny =1，与抛物线联立有)(42ny mx y x +=即有014(42=-+x y m x y n ，此方程是关于2211,x y x y 的一元二次方程，以PQ 为直径的圆过原点，则1412211P -=-=⋅=⋅nx y x y k k OQ O 得n=41，直线PQ 方程为141=+y mx ，过定点(0,4)练习2(1)易知AF 1-AF 2=2a ,AF 21+BF 22=4c 2,25=a c 得2a =4，b=1,故双曲线的方程为1422=-y x (2)设P(11,y x )、Q(22,y x )直线PQ 的方程为m (x-2)+ny =1，令p=x -2,q=y ，则直线PQ 的方程为mp+nq =1与双曲线联立有)(4)2(2nq mp q p +=+即有044))(41(2=--+pq n q pm ，此方程是关于2,22211--x y x y 的一元二次方程，则1414222211D DP -=+-=-⋅-=⋅mx y x y k k Q 得m=43，直线PQ 方程为1)2(43=+-ny x ，过定点(310,0)例3(1)1222=+y x (2)设P(11,y x )、Q(22,y x )直线PQ 的方程为mx+n (y+1)=1，令p=x ,q=y+1，则直线PQ 的方程为mp+nq =1与椭圆联立有2)1(222=-+q p 即有014))(42(2=++-p q mp q n ，此方程是关于22111,1x y x y ++的一元二次方程，则n m k k Q 424D DP --=+，而直线PQ 过点(1,1)则有m +2n =1即有m =1-2n ，代入可得242)21(4D DP =+--=+nn k k Q 练习3(1)13422=+y x (2)设E(11,y x )、F(22,y x )直线EF 的方程为m (x-1)+n (y-23)=1，令p=x -1,q=y-23，则直线EF 的方程为mp+nq =1与椭圆联立有1223(4)1(322=+++q p 即有063)126()(124(2=+++++m pq m n p qn ，此方程是关于123,1232211-+-+x y x y 的一元二次方程，则0412126AE =++-=+n m n k k AF 得n=-2m,故直线EF 的斜率为21例4(1)易知点P 2P 3P 4在椭圆上，可得椭圆方程为1422=+y x (2)设A(11,y x )、B(22,y x )直线AB 的方程为mx+n (y -1)=1，令p=x ,q=y-1，则直线AB 的方程为mp+nq =1与椭圆联立有4)1(4322=++q p 即有034)(44(2=+++p q mp q n ，此方程是关于22111,1x y x y --的一元二次方程，则1444AE -=+-=+n m k k AF 得m=n+21,故直线方程为0121)1(=-+-+x y x n ，故直线过定点(2,1)练习4(1)121121--=+=x y x y 或(2)设M(11,y x )、N(22,y x )直线MN 的方程为m(x+2)+ny =1，令p=x+2,q=y ，则直线MN 的方程为mp+nq =1与椭圆联立有)2(22-=p q 即有024)28()(41(222=-+-++m m p q n mn p q n ，此方程是关于2,22211++x y x y 的一元二次方程，则2BN BM 4128n n mn k k +--=+,而直线过点A(2,0)，m=41,得0BN BM =+k k 故∠ABM=∠ABN。
齐次化解决圆锥曲线问题
4 + ( 3t − 12 ) n
2
2
以上步移——齐次化——韦达定理
直线 mx + ny = 1 过定点 (1 − t ,0 ) ,即：
m (1 − t ) = 1 ，若 = 1，则与点重合，显然不为定值。所以：
①中含有 3 个参数，t,m,n 变化，都会导致结果发生变化。
又由 PA1 = 3 ，可得 x0 + a = 3 ，可得 x0 = 1 ，
因为 PB1 = 2 = a ，所以 b 2 + x02 = a 2 ，即 b 2 + 1 = 4 ，所以 b2 = 3 ，
所以椭圆的标准方程为
x2 y 2
+
= 1 ，此时点 P 点坐标为 (1,0 ) ．
4
3
（2）解：由直线 l 过 P (1, 0 ) ，设 l 的方程为 x = my + 1 ，
4
3
步骤
计算过程
思路解释
两直线的交点为(, 0),将 点平移到原点，则整个图像需要
向左平移个单位.
将图像向左平移个单位：得
平移
( x + 1)
4
2
+
y2
= 1 ，化简：
3
3 x 2 + 4 y 2 + 6tx + 3t 2 − 12 = 0
(红色为平移后的图像)
将 T 平移到原点后，图像上的点与曲线的位置如何？
且平以后所求的斜率： KTN = KT2 N2 ; KTM = KT2 M 2
设直线
设 MN 平移后的直线 M 2 N 2 的方程为：
直线为什么这么设？
1.便于齐次化；2.回忆直线的截距式。
巧用齐次化联立方法解答圆锥曲线中的定值、定点问题
张茜郑轩宇圆锥曲线是数学高考中的重要内容,而定值、定点问题常以压轴题的形式出现.这两类问题较为复杂，运算量较大，且综合性较强，是很多同学感到困难的问题.对这两类问题，大部分同学只会采用常规方法：联立曲线的方程，然后根据韦达定理求解.而这种方法对同学们的运算能力要求很高,很多同学往往在得出关键方程后无法继续解下去.用齐次化联立解答圆锥曲线定值定点问题,可以有效提高运算的效率.齐次化联立主要用于处理以下问题:过圆锥曲线C 上的一点P 作两条直线l 1,l 2,两条直线的斜率k 1,k 2存在某种等量关系（和或积为定值）,两条直线又分别与C 有另外两个交点A ,B ,则直线AB 的斜率为定值或过定点.运用齐次化联立方法解答此类问题的基本思路是，将两条直线合起来写成一个二次方程，并将这个二次方程与圆锥曲线方程联立，再通过消项将所得到的方程变为一次方程.只要在消项过程中没有消去A 点或B 点对应的解，那么所得到的一次方程也就仍然满足A 、B 的坐标.由“两点确定一条直线”知所得一次方程即为直线AB 的方程.最后消去方程中的参数，得到过定点的直线系方程即可求出定点或者定值.下面结合实例来分析一下如何用这种方法解题.例1.记G æèöø1,32,M ,N 是椭圆C :x 24+y 23=1上的两个动点,若k GM +k GN =0,证明:直线MN 的斜率为定值.证法1:设直线GM 的方程为y -32=k (x -1),则直线GN 的方程为y -32=-k (x -1).由ìíîïïy -32=k (x -1)3x 2+4y 2=12得(3+4k 2)x 2+4k (3-2k )x +4(32-k )2-12=0.则x G x M =x M =4(32-k )2-123+4k 2,所以ìíîïïïïx M =(3-2k )2-123+4k 2，y M =k (x M -1)+32，同理可得ìíîïïïïx N =(3+2k )2-123+4k 2，y N =-k (x M -1）+32，所以k MN =y M -y N x M -x N =k [18+8k 2-2(3+4k 2)]24k=12为定值.证法1是一种常规的解法,先联立直线和椭圆方程得到关键方程,在分别求出两点的坐标后,代入有关斜率的关系式求得参数k 的值.该解法对同学们的计算能力要求较高，尤其在求两点的坐标时运算量较大.证法2:将题目中的直角坐标系向上平移1个单位,再向右平移32个单位,即使G 为新直角坐标系的原点.也就是说,点G ,M ,N 所对应的坐标分别为G '()0,0,M '()x 1,y 1,N '()x 2,y 2.此时椭圆C 在新坐标系中的方程为C ':()x +124+æèöøy +3223=1.由于直线M 'N '不经过原点,可设其直线方程为mx +ny =1,与C '联立可得3x 2+4y 2+6x ()mx +ny +12y ()mx +ny =0.两边同时除以x 2可得()12n +4æèçöø÷y x 2+()6n +12m æèçöø÷y x +()6m +3=0.由k GM +k GN =0知y 1x 1+y 2x 2=0,故-6n +12m 12n +4=0,即n =-2m .又m ,n 不同时为0,则M 'N '的斜率k =-m n =12.综上所述,直线MN 的斜率为定值,其值为12.值得注意的是,无论我们怎样平移直角坐标系,题目中所有直线的斜率都没有发生变化,也就是说,原直角坐标系中所涉及斜率的已知条件,也可以在新直角坐标系中直接使用.证法2以k GM +k GN =0为突破口,通过平移直角坐标系得到关于x ,y 的齐次化方程,将问题转化为关于yx（斜率）的一元二次方程，利用方程的根与系数之间的关系进行求解,巧妙地避开了复杂的运算.解答类似题目，此方法值得推广.例2.记H ()0,3,M ,N 是椭圆C :x 24+y 23=1上的两个动点,若k HM ∙k HN =4,证明:直线MN 过定点.证明:将题目中的坐标系向上平移3个单位,点H ,M ,N 对应的坐标分别为H '()0,0,M '()x 1,y 1,N '()x 2,y 2,即以点H 为坐标原点建立新的直角坐标系.此时,椭圆C 在新直角坐标系中的方程为C ':x 24+()y +323=1.47由于直线M 'N '不经过原点，所以设其直线方程为mx +ny =1,与C '联立可得3x 2+83mxy +()83n +4y 2=0.两边同时除以x 2可得()83n +4æèçöø÷y x 2+83m æèçöø÷y x +3=0.由k HM ∙k HN =4知y 1x 1∙y 2x 2=4,故383n +4=4,即n =.因此M 'N '恒过定点æèçø0,,将定点平移回原直角坐标系中,可知直线MN 过定点æèçø0,.在运用齐次化联立解答定点问题时,应注意平移前后直角坐标系中点的对应关系,得到的定点需要平移回去才是原坐标系中的定点.例3.已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.（1）求椭圆C 的标准方程.（2）若直线l :y =kx +m 与椭圆C 相交于A ,B 两点（A ,B 不是椭圆的左、右顶点）,且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点,求证:直线l 过定点,并求出该定点的坐标.解:（1）C :x 24+y 23=1.（过程略）（2）设椭圆的右顶点为D ()2,0,将题目中的坐标系向右平移2个单位,则点D ,A ,B 对应的坐标分别为D '()0,0,A '()x 1,y 1,B '()x 2,y 2.此时椭圆C 在新坐标系中的方程为C ':(x +2)24+y 23=1.由于直线M 'N '不经过原点,设其直线方程为mx +ny =1,与C '联立可得4y 2+12nxy +()12m +3x 2=0.两边同时除以x 2可得4æèçöø÷y x 2+12n æèçöø÷y x +()12m +3=0.因为以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点D ()2,0,所以k AD ∙k BD =-1.由k AD ∙k BD =-1知y 1x 1∙y 2x 2=-1,故12m +34=-1,即m =-712.因此A 'B '恒过定点æèöø-127,0,将定点平移回原直角坐标系中,则直线AB 过定点æèöø27,0.此类题目主要有两个特征:①涉及两条直线的斜率和或斜率积；②两条直线过同一个定点.在遇到此类问题时，要设法将两条直线的斜率表示成一元二次方程的两个根,即使用齐次化联立进行求解.可见，运用齐次化联立的方法解题，可以降低运算的难度.一般地,过圆锥曲线C :f ()x ,y =0上一点P ()x 0,y 0引两弦PA ,PB ,则利用齐次化联立证明直线AB 斜率为定值或直线AB 过定点的一般步骤为:（1）平移坐标轴,建立以P ()x 0,y 0为坐标原点的新直角坐标系；（2）求出曲线C 在新直角坐标系下的方程C ':f ()x +x 0,y +y 0；（3）设直线A 'B '的方程为:mx +ny =1,与C '联立得关键方程；（4）对关键方程进行齐次化处理,处理的原则是将关于x ,y 的一次式乘以()mx +ny ,常数项乘以()mx +ny 2,从而将关键方程转化成关于x ,y 的二次式；（5）将齐次化后的方程除以x 2,得到关于yx（斜率）的一元二次方程,并将题目条件转化为该方程的根与系数之间的关系.在解题时，我们不应停留在对特殊题型的求解上,还应该对题目、解法展开深入的探究,挖掘更具一般性的结论.结论1.已知定点P ()x 0,y 0为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1上的定点，A ,B 为椭圆C 上的两个动点，则有（1）若k AP +k BP =0,那么直线AB 的斜率为定值b 2x 0a 2y 0.（2）若k AP +k BP =λ()λ≠0,那么直线恒过定点æèçöø÷-2y 0λ+x 0,-2b 2x 0λa 2-y 0.（3）若k AP ∙k BP =λ,那么直线恒过定点æèçöø÷2b 2x 0λa 2-b 2+x 0,-2λa 2y 0λa 2-b 2+y 0.证明:将题目中的直角坐标系向上或向下平移x 0个单位,再向左或向右平移y 0个单位,即使P 为新直角坐标系的原点.也就是说,点P ,A ,B 对应的坐标分别为P '()0,0,A '()x 1,y 1,B '()x 2,y 2.由于直线A 'B '不经过原点,可设其直线方程为mx +ny =1,与椭圆在新直角坐标系中的方程C '联立得ìíîïï()x +x 02a 2+()y +y 02b 2=1mx +ny =1,,整理可得()a 2+2a 2y 0n y 2+()2b 2x 0n +2a 2y 0m xy +()b2+2b 2x 0m x 2=0,将两边同时除以x 2可得()a 2+2a 2y 0n æèçöø÷y x 2+(2b 2x 0n+2a 2y 0m )æèçöø÷y x+(b 2+2b 2x 0m )=0.48。
构造齐次方程巧解一类圆锥曲线问题
y2 =
1
6x
(
l
lx+ x 0+
m m
y y
0
)
16lx 2 - 16mx y -
( l x 0 + my 0 ) y 2 = 0.
-
( lx0+ my0) 16l
=
-
1
l ( x 0 - 16) +
my 0 = 0恒成立. 定点为( 16, 0) .
∃ 例 3% 抛物线 y 2 = p ( x + 1) ( p > 0) , 直
(x0, y0), 则
A
x2 0
+
B x 0y 0 +
Cy
2 0
+
( Dx 0 +
Ey0 ) #
(-
l
x
0
+ n
my
0
)
+
F( -
l
x
0
+ n
m
y
0
)
2
=
A
x
2 0
+
Bx0y0 +
C
y
2 0
+
( Dx0 +
Ey0 ) +
F= 0.
(x0, y0) 满足 ! , ! 代表 过原点 且与 L
与 C 的交点( x 0 , y 0 ) 的两条直线 方程, ! 可化
( Dl+
Em) n+ F( l 2 + m2 ) = 0. 第二种方法
若直线 L 与二次曲线 C 有两个交点 A , B, 则将直线方程与二次曲线方程联立, 分别消去 x , y , 所得的关于 x 和 y 两个一元二次方程( 让
谈齐次化构造法解决两直线的斜率和与积问题——以２０２２年新高考Ⅰ卷圆锥曲线为例
试题研究２０２３年７月上半月㊀㊀㊀谈齐次化构造法解决两直线的斜率和与积问题以２０２２年新高考Ⅰ卷圆锥曲线为例◉华南师范大学㊀叶晓茵㊀陈伟连㊀㊀摘要:本文中以２０２２年新高考Ⅰ卷第２１题为切入点,运用齐次化构造法解决斜率和与斜率积的问题,并将问题推广到更加一般的情况,得到曲线外的点和曲线上的点与曲线上两点连线的斜率和与积的一些有趣结论．关键词:齐次化构造法;定点;定值;定斜率１试题呈现图１如图１,已知点A (２,１)在双曲线C :x２a ２－y ２a ２－１＝１(a ＞１)上,直线l 交C 于P ,Q 两点,直线A P ,A Q 的斜率之和为０．(１)求l 的斜率;(２)若t a n øP A Q ＝２２,求әP A Q 的面积．２试题剖析本题考查椭圆方程的求法,直线和椭圆的交点与曲线上的点连接的斜率和问题,涉及转化和化归能力以及代数运算能力．第(１)问可以用常规方法设直线,再运用韦达定理,算出点P ,Q 的坐标,运用条件化简得到关于直线l 斜率的式子就可以解决,但是这种方法运算量偏大,出错率高．本文中应用齐次化构造法来解决这类斜率和与积的问题进行解决,以彰显这种方法处理该类问题的强大之处．３试题第(１)问的解答利用齐次化构造法解答第(１)问的过程如下:易求得C 的方程为x２２－y ２＝１．因为直线l 不过点A (２,１),所以设直线l 的方程为m (x －２)＋n (y －１)＝１．由x ２２－y ２＝１,得(x －２＋２)２２－(y －１＋１)２＝１．联立m (x －２)＋n (y －１)＝１,(x －２)２２＋２(x －２)－(y －１)２－２(y－１)＝０,{齐次化整理得－(２n ＋１)(y －１x －２)２＋(２n －２m )(y －１x －２)＋(２m ＋１２)＝０,即－(２n ＋１)k ２＋(２n －２m )k ＋(２m ＋１２)＝０．由韦达定理,得k A P ＋k A Q ＝y １－１x １－２＋y ２－１x ２－２＝－２n －２m－(２n ＋１)＝０．所以m ＝n ．故直线l 的斜率为－mn＝－１．评注:解决此类有关斜率的问题,常用的方法有点差法㊁设一直线法㊁设两直线法㊁设三直线法㊁对偶法以及齐次化构造法．对比这些解法,齐次化构造法的计算量最小．学生如果能够理解并运用齐次化构造法,将会节省计算时间,快速解决有关斜率和与积的问题．４使用步骤为方便大家更好地利用齐次化构造法解决解析几何中以上类型问题,笔者总结归纳了使用该方法的步骤,如图２所示．明条件已知定点A (a ,b ),直线l 交圆锥曲线于P ,Q两点,且有k A P ＋k A Q ＝λ(或k A P k A Q ＝λ,或１k A P ＋１k A Q＝λ)设直线设直线方程为m (x －a )＋n (y －b )＝１凑形式圆锥曲线方程的一般形式为A x ２＋B y ２＋Cx ＋D y ＋E ＝０,将方程配凑成A (x －a )２＋B (y －b )２＋(２A a ＋C )(x －a )＋(２B b ＋D )(y －b )＋E ＋A a ２＋C a ＋B b ２＋D b ＋E ＝０(∗)化齐次将直线方程与曲线方程(∗)联立,得到关于y －bx －a的一元二次方程用韦达根据韦达定理和题目条件,得到k A P 和k A Q 的关系式,最终求得目标结论㊀⇩㊀⇩㊀⇩㊀⇩图２８６Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２３年７月上半月㊀试题研究㊀㊀㊀㊀５结论推广５．１类别一:点M 在曲线上探究１㊀已知圆锥曲线过点M (m ,n ),直线l 交圆锥曲线于P ,Q 两点,且有k M Q ＋k M P ＝０,求直线l 的斜率．结论１:对圆锥曲线进行分类,得到如表１所示的关于直线l 斜率k 的结论．表１圆锥曲线方程k M P ＋k M Q ＝０x ２a ２＋y ２b ２＝１k ＝m n b ２a ２x ２a ２－y ２b２＝１k ＝－m n b ２a ２y ２＝２px k ＝－pn㊀㊀说明:若点M (m ,n )在圆锥曲线上,不过点M 的直线l 交曲线于P ,Q 两点．直线l 的斜率与直线M P ,M Q 的斜率之和与积的结论详见参考文献[１Ｇ２]．５．２类别二:点M 不在曲线上由于m ＝０,p ＝０或直线l 斜率不存在,这种方法没有明显优势,因此以下的讨论都是基于p ʂ０,m ʂ０,p ʂm ,且直线l 的斜率均存在的情况．探究２㊀(点M 在x 轴上)设曲线C ,点M (m ,０)不在曲线C 上,过点F (p ,０)的直线l 交曲线于A ,B 两点,p ʂm ʂ０,探求k M A ＋k M B ,k M A k M B 的值．解:以曲线C :x ２a ２＋y ２b２＝１为例．平移M 到原点,将x ＝x １＋m ,y ＝y １{代入曲线C 的方程,得x ２１＋m ２＋２m x １a ２＋y ２１b２＝１．设直线l 为c x １＋d y １＝１,且过F １p －m ,０(),则c ＝１p －m．齐次化,得(A d ２＋１b ２)(y １x １)２＋(２A c d ＋２m d a２)y １x １＋１＋２m c a ２＋A c ２＝０,其中A ＝m ２a２－１．若k M A ＋k M B ＝－２A c d ＋２m da２A d ２＋１b２＝λ,当λ＝０时,a ２＝m p ．若k M A k M B ＝１＋２m c a ２＋A c ２A d ２＋１b２＝λ,当λ＝０时,p ２＝a ２．结论２:以下将列出其他曲线的情况,得到如表３所示的关于直线l 的斜率与直线M A ,M B 的斜率之和与积的结论．表２圆锥曲线方程k M A ＋k M B ＝λk M A k M B ＝λC :x ２a ２＋y ２b ２＝１当λ＝０时,a ２＝m p λ＝０,p ２＝a ２C :x ２a ２－y ２b２＝１当λ＝０时,a ２＝m p λ＝０,p ２＝a ２C :y ２＝２p １x 当λ＝０时,p ＋m ＝０无类似性质㊀㊀探究３㊀(点M 在y 轴上)设曲线C ,点M (０,n )不在曲线C 上,过点F (p ,０)的直线l 交曲线于A ,B 两点,探求k M A ＋k M B ,k M A k M B 的值．结论３:以下将列出其他曲线的情况,得到如表４所示的关于直线l 的斜率与直线M A ,M B 斜率之和与积的结论．表３圆锥曲线方程k M A ＋k M B ＝λk M A k M B ＝λC :x ２a ２＋y ２b２＝１无类似性质λʂ０,当λ＝n ２p ２时,k ＝－３n a ２＋n pp (a ２＋p ２)C :x ２a ２－y ２b ２＝１λʂ０,２n ＋λp ＝０时,k ＝－b ２＋n ２(１－p )p n (１－p )λʂ０,λ＝n ２p ２时,k ＝－n (a ２＋p ２)p (p ２－a ２)C :y ２＝２p １x 当λʂ０,pλ＋２n ＝０,λ２＝４n ２p－２p １λ＝０,n ２＝２p １㊀㊀结合以上性质,可以对２０２２年高考题进行以下变式:变式１㊀设曲线C :x ２a ２＋y ２b２＝１,点M (m ,０)不在曲线C 上,直线l 交曲线于A ,B 两点,k M A ＋k M B ＝０．求证:直线l 过定点．变式２㊀设曲线C :x ２a ２＋y ２b２＝１,点M (０,n )不在曲线C 上,过点F (p ,０)直线l 交曲线于A ,B 两点,且有k M A k M B ＝λ．当λ＝n ２p２时,求直线l 的斜率．通过上面高考题的两道变式我们发现,在解析几何中,涉及曲线上的点M 与曲线上两个点连线的斜率和与积的问题,或者在x 轴或y 轴上且不在曲线上的点M 与曲线上两点连线的斜率和与积的问题,都可以运用齐次化构造法．参考文献:[１]刘大鹏．斜率和(或积)为定值条件下圆锥曲线的性质[J ]．中学数学研究(华南师范大学版),２０２０(５):４４Ｇ４５．[２]陈斌,杨彩清．对椭圆㊁双曲线中两直线斜率乘积为定值的探究[J ]．中学数学研究(华南师范大学版),２０１７(７):４２Ｇ４３,５０．Z９６Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
巧用齐次化方法解圆锥曲线问题
中学数学教学参考（上旬）2021年第3期^•题探索巧用齐次化方法解圆锥曲线问题项海圆，黄永明（云南师范大学数学学院）摘要：圆锥曲线问题，由于其侧重对学生数学运算和逻辑推理的考查，成为高考数学的一个重要考点。
本文以2020年圆锥曲线内容的高考题为例，巧用齐次化方法解决圆锥曲线中斜率之和为定值或斜率之积 为定值的问题。
关键词：圆锥曲线；齐次化方法 文章编号：1002-2171 (2021)3-0040-031问题的提出圆锥曲线问题是高中解析几何的重点和难点，对于此类问题，学生往往先将直线方程与圆锥曲线方程 联立方程组，然后进行消元，再利用韦达定理求得两 根的关系，最后根据题目的已知条件进行转换和计算 得到想要的结果（简称“常规解法”）。
但是，这种方法 计算量大且复杂，让很多学生不敢下笔，望而却步。
笔者运用齐次化方法解决圆锥曲线中斜率之和为定 值或斜率之积为定值的问题，从而简化解题步骤，提 高解题的正确率。
2模型构建，初探齐次化方法例1已知椭圆C :誓+ y =1，B (0,1)，P ，Q 为C 上的两个动点.々阳=|~。
求证：直线P Q 过定点。
证明：椭圆匸：:^ + >;2 = 1，识0，1),/5,〇向下平移1个单位后分别得到椭圆B〇(B ^\ ,c r(y + I )2 = 1, Bf C 0,、'幻0)，P '，Q '，如图1。
设直线P 'Q '的方程为将平移后的椭圆和直线P 'Q '的方y 程联立得图1—+ (^+D 2 =1 9^ ==>x 2 + 3y 2 + 63^ • (m x + ny )=mocJ rny = 10=>*r2 + 67/1：?：3/+(3 + 672)3；2 = 0,等式两边同时除以：c2 得 1 + 6m • f + ( 3 + 6n ) ( f ) = 0。
令易知《就是直线O P '和OQ '的斜率），得X(3 + 672)Z 2+6m Z +l = 0,所以々B P •々BQ =々〇p ，•々O Q '== |■，解得《=_ +。
齐次化方法在圆锥曲线问题中的应用探究
㊀㊀㊀解题技巧与方法１１３㊀㊀齐次化方法在圆锥曲线问题中的应用探究齐次化方法在圆锥曲线问题中的应用探究Һ李清华㊀（民勤县第一中学，甘肃㊀武威㊀７３３３９９）㊀㊀ʌ摘要ɔ在圆锥曲线试题中，常常出现与斜率有关或者证明直线过定点的问题．此类问题用常规的方法也可以解决，只不过运算量有些大，但如果构造方程，利用齐次化方法求解，则可大大简化运算．利用齐次化方法解决的题型主要有两种：题型一是定点在坐标原点的斜率问题，题型二是定点不在坐标原点的斜率问题．文章介绍利用齐次化方法求解以上两种题型的步骤，并给出齐次化方法局限性的说明，旨在让读者熟悉齐次化方法的解题步骤㊁适用范围，并且知道齐次化方法不是求解圆锥曲线问题的通法，它只是求解与斜率有关的问题的巧妙方法．ʌ关键词ɔ圆锥曲线；斜率；构造；齐次化；应用圆锥曲线试题是高考的难点，常以压轴题的形式出现，考查考生的数学运算能力与逻辑推理能力．圆锥曲线试题主要难在运算上，故如何简化运算是突破圆锥曲线中定点在坐标原点的斜率问题的关键．下面笔者通过构造与斜率有关的一元二次方程，利用齐次化方法来求解圆锥曲线问题，可大大简化运算，提高解题效率．一㊁题型一：定点在坐标原点的斜率问题设Ｏ为定点，过点Ｏ作两条动直线与曲线交于Ａ，Ｂ两点．齐次化方法解圆锥曲线试题的关键步骤如下：（１）将直线ＡＢ方程设成 ｍｘ＋ｎｙ＝１ 的形式；（２）将直线ＡＢ与圆锥曲线联立时，二次项不动，一次项系数乘 １ ，常数项乘 １ 的平方，这样就可以构造一个关于ｙｘ的齐二次方程；（３）直接使用韦达定理计算直线ＯＡ，ＯＢ的斜率之和或斜率之积．例１㊀已知抛物线Ｃ的方程为ｙ２＝２ｐｘ（ｘʂ０），若直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｂʂ０）与抛物线Ｃ相交于Ａ，Ｂ两点，且以ＡＢ为直径的圆过坐标原点，证明：直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ过定点．证明㊀因为以ＡＢ为直径的圆过坐标原点，所以ＯＡʅＯＢ，即ｋＯＡ㊃ｋＯＢ＝－１．设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），则ｋＯＡ＝ｙ１ｘ１，ｋＯＢ＝ｙ２ｘ２．将直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ变形得ｙｂ－ｋｘｂ＝１，记ｍ＝１ｂ，ｎ＝－ｋｂ，则直线可化为ｍｙ＋ｎｘ＝１，将 １ 代入抛物线Ｃ的方程得ｙ２＝２ｐｘ（ｍｙ＋ｎｘ），整理得ｙ２－２ｐｍｘｙ－２ｐｎｘ２＝０．因为ｘʂ０，方程两边同除以ｘ２，得ｙｘæèçöø÷２－２ｐｍｙｘ－２ｐｎ＝０，易知ｋＯＡ＝ｙ１ｘ１和ｋＯＢ＝ｙ２ｘ２是方程ｙｘæèçöø÷２－２ｐｍｙｘ－２ｐｎ＝０的两个根．由韦达定理得ｋＯＡ㊃ｋＯＢ＝－２ｐｎ＝－１，即ｎ＝１２ｐ，代入求直线方程ｍｙ＋ｎｘ＝１得ｍｙ＋１２ｐｘ＝１，即ｘ＝２ｐ－２ｐｍｙ，当ｙ＝０时，ｘ＝２ｐ，故直线恒定过点（２ｐ，０）．点评㊀以ＡＢ为直径的圆过坐标原点⇔ＯＡʅＯＢ⇔ｋＯＡ㊃ｋＯＢ＝－１⇔ｙ１ｘ１㊃ｙ２ｘ２＝－１．将直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ化为ｍｙ＋ｎｘ＝１，代入抛物线方程，进行齐次化联立ｙ２＝２ｐｘ（ｍｙ＋ｎｘ），得到关于ｙｘ的一元二次方程ｙｘæèçöø÷２－２ｐｍｙｘ－２ｐｎ＝０．最后利用韦达定理即可求解．二㊁类型二：定点不在坐标原点的斜率问题设Ｐ（ｓ，ｔ）为定点，过点Ｐ作两条动直线与曲线交于Ａ，Ｂ两点．齐次化方法解圆锥曲线中定点不在坐标原点的斜率问题的关键步骤如下：（１）将坐标原点平移到点Ｐ；（２）直线ＡＢ方程设成 ｍｘ＋ｎｙ＝１ 的形式；（３）直线ＡＢ与圆锥曲线联立时，二次项不动，一次项系数乘 １ ，常数项乘 １ 的平方，这样就可以构㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１１４㊀造一个关于ｙ－ｔｘ－ｓ的齐二次方程；（４）直接使用韦达定理计算直线ＯＡ，ＯＢ的斜率之和或斜率之积．例２㊀已知Ａ１，３２æèçöø÷是椭圆Ｃ上一点，Ｆ１（－１，０），Ｆ２（１，０）是Ｃ的左㊁右焦点．（１）求Ｃ的标准方程；（２）设Ｅ，Ｆ是Ｃ上的两个动点．若直线ＡＥ与ＡＦ的斜率之和为２，证明：直线ＥＦ恒过定点．分析㊀本题定点Ａ１，３２æèçöø÷不是坐标原点，故可考虑将坐标系原点平移到与Ａ１，３２æèçöø÷重合，则问题就转化为定点为坐标原点的题型，则可以采取题型一的齐次化方法求解．解㊀（１）椭圆Ｃ的标准方程为ｘ２４＋ｙ２３＝１，过程略．（２）设直线ＥＦ的方程为ｙ＝ｋｘ＋ｍ，即ｙ－３２＝ｋ（ｘ－１）＋ｋ＋ｍ－３２，变形得ｙ－３２－ｋ（ｘ－１）ｋ＋ｍ－３２＝１．将椭圆ｘ２４＋ｙ２３＝１变形为［（ｘ－１）＋１］２４＋ｙ－３２æèçöø÷＋３２éëêêùûúú２３＝１，展开整理得３（ｘ－１）２＋４ｙ－３２æèçöø÷２＋６(（ｘ－１）＋２ｙ－３２æèçöø÷]㊃１＝０．将直线进行 １ 的代换得３（ｘ－１）２＋４ｙ－３２æèçöø÷２＋６（ｘ－１）＋２ｙ－３２æèçöø÷éëêêùûúú㊃ｙ－３２－ｋ（ｘ－１）ｋ＋ｍ－３２＝０，去分母化简得４ｋ＋ｍ＋３２æèçöø÷ｙ－３２æèçöø÷２＋６（１－２ｋ）（ｘ－１）ｙ－３２æèçöø÷＋３ｍ－３ｋ－９２æèçöø÷（ｘ－１）２＝０，等式同除以（ｘ－１）２得４ｋ＋ｍ＋３２æèçöø÷ｙ－３２ｘ－１æèççöø÷÷２＋６（１－２ｋ）ｙ－３２ｘ－１＋３ｍ－３ｋ－９２＝０，①因此ｙ－３２ｘ－１是方程①的实数根．设Ｅ（ｘ１，ｙ１），Ｆ（ｘ２，ｙ２），则ｋＡＥ＝ｙ１－３２ｘ１－１和ｋＡＦ＝ｙ２－３２ｘ２－１是方程①的两个实数根．由韦达定理得ｋＡＥ＋ｋＡＦ＝－６（１－２ｋ）４ｋ＋ｍ＋３２æèçöø÷＝２，即－３（１－２ｋ）＝４ｋ＋４ｍ＋６，即２ｋ＝４ｍ＋９，代入直线ＥＦ的方程得ｙ＝ｋｘ＋２ｋ－９４＝ｋｘ＋１２æèçöø÷－９４，所以直线ＥＦ恒定过定点－１２，－９４æèçöø÷．点评㊀由直线ＡＥ与ＡＦ的斜率之和为２知ｙ１－３２ｘ１－１＋ｙ２－３２ｘ２－１＝２，所以要将直线方程和椭圆方程变形，进行齐次化处理，设法得到关于ｙ－３２ｘ－１的一元二次方程，然后利用韦达定理即可求解．例３㊀直线ｌ与椭圆ｘ２４＋ｙ２３＝１交于点Ｅ，Ｆ，已知点Ａ１，３２æèçöø÷，设直线ＡＥ，ＡＦ的斜率为ｋ１，ｋ２，且ｋ１＋ｋ２＝０，求证：直线ＥＦ的斜率是定值．证明㊀设ｘ－１＝ｓ，ｙ－３２＝ｔ，代入椭圆ｘ２４＋ｙ２３＝１，得３ｓ２＋４ｔ２＋６ｓ＋１２ｔ＝０．设直线ｌ：ｍｓ＋ｎｔ＝６，则３ｓ２＋４ｔ２＋ｓ（ｍｓ＋ｎｔ）＋２ｔ（ｍｓ＋ｎｔ）＝０，化简得（４＋２ｎ）ｔｓæèçöø÷２＋（２ｍ＋ｎ）ｔｓæèçöø÷＋（３＋ｍ）＝０，所以设点Ｅ（ｘ１，ｙ１），点Ｐ（ｘ２，ｙ２），则ｋＡＥ＋ｋＡＦ＝ｙ１－３２ｘ１－１＋㊀㊀㊀解题技巧与方法１１５㊀㊀ｙ２－３２ｘ２－１＝ｔ１ｓ１＋ｔ２ｓ２＝－２ｍ＋ｎ４＋２ｎæèçöø÷＝０，可得ｎ＝－２ｍ．将ｘ－１＝ｓ，ｙ－３２＝ｔ，ｎ＝－２ｍ代入ｍｓ＋ｎｔ＝６，得ｍ（ｘ－１）－２ｍｙ－３２æèçöø÷＝６．所以直线ＥＦ的斜率是１２．点评㊀该题使用换元法处理已知条件，设ｘ－１＝ｓ，ｙ－３２＝ｔ，其本质与将原点平移到点Ａ１，３２æèçöø÷是一样的．设直线ｌ：ｍｓ＋ｎｔ＝６，便于代入椭圆方程进行齐次化处理，得到关于ｔｓ的一元二次方程，再利用韦达定理即可证明．例４㊀已知抛物线Ｅ：ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）与椭圆Ｃ：ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）有相同的焦点Ｆ，且两曲线相交于点２３，２６３æèçöø÷，过Ｆ作斜率为ｋ（ｋʂ０）的动直线ｌ，交椭圆Ｃ于Ｍ，Ｎ两点．（１）求抛物线Ｅ和椭圆Ｃ的方程；（２）若Ａ为椭圆Ｃ的左顶点，直线ＡＭ，ＡＮ的斜率分别为ｋ１，ｋ２，求证：ｋｋ１＋ｋｋ２为定值，并求出定值．解㊀（１）椭圆Ｃ的方程为ｘ２４＋ｙ２３＝１．抛物线Ｅ的方程为ｙ２＝４ｘ．过程略．（２）证明：将椭圆沿着ＡＯң方向平移２个单位长度，平移后的椭圆方程为（ｘ－２）２４＋ｙ２３＝１⇒ｘ２４＋ｙ２３－ｘ＝０．设直线ＭＮ的方程为ｍｘ＋ｎｙ＝１，代入椭圆方程得ｘ２４＋ｙ２３－ｘ（ｍｘ＋ｎｙ）＝０，两边同时除以ｘ２得１３ｙｘæèçöø÷２－ｎｙｘ＋１－４ｍ４＝０，所以ｋ１＋ｋ２＝３ｎ，ｋ１ｋ２＝３４－３ｍ，ｋ＝ｋＭＮ＝－ｍｎ．由题意可知焦点Ｆ移动后的坐标为Ｆᶄ（３，０）．因为ｍｘ＋ｎｙ＝１过定点Ｆᶄ（３，０）⇒ｍ＝１３，所以ｋｋ１＋ｋｋ２＝ｋｋ２＋ｋｋ１ｋ１㊃ｋ２＝ｋ（ｋ１＋ｋ２）ｋ１ｋ２＝－３ｍ３４－３ｍ，再代入ｍ＝１３，可得ｋｋ１＋ｋｋ２＝４，是定值．点评㊀将椭圆平移，使得左顶点Ａ平移到坐标原点，设直线ＭＮ方程为ｍｘ＋ｎｙ＝１，代入椭圆方程，并进行齐次化处理，得到关于ｙｘ的一元二次方程，再利用韦达定理即可证明．结㊀语通过对以上例题的解析，使学生感受到齐次化方法的运算量要比常规的运算量降低很多，同时给学生展示了如何通过分析题意，将问题转化为斜率之和（积），从而使用齐次化方法求解．齐次化方法比传统的设而不求运算量大大降低，那为什么齐次化方法并不是解决圆锥曲线问题的通法呢？下面总结一下齐次化方法的步骤：ｆ（ｘ，ｙ）＝０，ｇ（ｘ，ｙ）＝０{⇒Ａｙｘæèçöø÷２＋Ｂｙｘæèçöø÷＋Ｃ＝０⇒ｙ１ｘ１＋ｙ２ｘ２＝－ＢＡｙ１ｘ１㊃ｙ２ｘ２＝ＣＡìîíïïïï⇒ｋ１＋ｋ２＝－ＢＡｋ１ｋ２＝ＣＡìîíïïïï．通过上面的步骤可以看出，齐次化方法适用于与斜率有关的问题，所以有很大的局限性．当然，还有一个难点在于方程消元的基本思路是消未知数，而齐次化方法是消去常数．解决该类型圆锥曲线问题更大的难点是如何通过审题，将问题转化为斜率之积（和）问题，这也是学生不适应之处．因此，教师应在教学中有针对性地引导学生，促进学生对齐次化方法的掌握．ʌ参考文献ɔ［１］汪红毅．一类圆锥曲线定点问题的解法探究与拓展［Ｊ］．高中数学教与学，２０２２（１１）：２０－２１＋３５．［２］赵维浩．二次齐次式在圆锥曲线中的妙用［Ｊ］．中学数学教学参考，２０１６（２８）：４３－４５．［３］高建．巧用齐次化，解决一类圆锥曲线问题［Ｊ］．中学数学，２０２３（０５）：１２－１４．［４］耿玲玲．巧用齐次化法求解有关直线的斜率问题［Ｊ］．语数外学习（高中版中旬），２０２１（１１）：４４．［５］李鸿昌．圆锥曲线中 非对称 问题的成因及破解策略［Ｊ］．数学通讯，２０２２（２２）：３２－３５．［６］李鸿昌．二次曲线系在圆锥曲线四点共圆问题中的应用［Ｊ］．数理化解题研究，２０２２（０７）：９２－９４．。
“齐次化”思想在圆锥曲线一类问题中的应用
试题研究２０２３年７月上半月㊀㊀㊀齐次化 思想在圆锥曲线一类问题中的应用◉泉州第五中学㊀陈㊀显㊀黄种生㊀㊀摘要:利用齐次化思想,研究直线与圆锥曲线中的过定点问题,并用这个思想方法对一些问题进行探究和推广,得到这种思想方法更广泛的应用．关键词:齐次化;定点;定积;定和㊀㊀在解题时,若能把某些非齐次式转化为齐次式,或构造出有利于解题的齐次式,则能起到化繁为简㊁化难为易的作用,达到事半功倍的效果．笔者通过教学中对 齐次化 方法的深入探究,引导学生挖掘出齐次化的本质,即化二元为一元,减少代数字母的数量,从而使齐次化方法上升为一种解题思路．在求解圆锥曲线中一类过定点问题时,常常将直线与圆锥曲线方程联立,借助齐次化思想,得到关于斜率k 的一元二次方程,再利用韦达定理解决．１试题及解析例１㊀(２０２０年新高考数学全国卷Ⅰ 山东 ２２)已知椭圆C :x ２a ２＋y ２b ２＝１(a ＞b ＞０)的离心率为２２,且过点A (２,１)．(１)求C 的方程;(２)点M ,N 在C 上,且AM ʅA N ,A D ʅMN ,D 为垂足,证明:存在定点Q ,使得|D Q |为定值．此题解题思路:由AM ʅA N ,得k A M k A N ＝－１,判断直线MN 过定点H ,所以点D 在以AH 为直径的圆上,AH 的中点即为所求的点Q ．解析:(１)曲线C :x ２６＋y ２３＝１(过程略)．(２)曲线C 的方程可变形为２(y －１)２＋(x －２)２＋４(y －１)＋４(x －２)＝０．设直线MN :m (x －２)＋n (y －１)＝１(一定不过点A ),将其整体代入曲线C :２(y －１)２＋(x －２)２＋４(y －１) １＋４(x －２) １＝０,补齐一次为二次,得到(４n ＋２)(y －１)２＋(４m ＋４n )(y －１)(x －２)＋(４m ＋１)(x －２)２＝０,即(４n ＋２)(y －１x －２)２＋(４m ＋４n )y －１x －２＋４m ＋１＝０．设y －１x －２＝t ,M (x １,y １),N (x ２,y ２),从而y １－１x １－２,y ２－１x ２－２是方程(４n ＋２)t ２＋(４m ＋４n )t ＋４m ＋１＝０的两根．所以k A M k A N ＝y １－１x １－２ y ２－１x ２－２＝１＋４m２＋４n ＝－１,得m ＝－４n －３４．故直线MN :４n (y －x ＋１)＋(－３x ＋２)＝０过定点H(２３,－１３),得到点D 在以AH 为直径的圆上,从而定点Q 为AH 的中点．故存在点Q(４３,１３),使得|D Q |为定值．评注:上述齐次化联立的过程可以归纳为三步．(１)设直线MN 不过点A 的方程;(２)常数 １整体代换得到齐次化式子,这里不消去x 或者y ,与常规代换不一样,是齐次化关键的一环;(３)将齐次式变成关于斜率的一元二次方程,然后利用韦达定理求解．利用齐次化思想,可以对相关问题进行拓展研究．２试题探究探究１㊀过椭圆C :x ２a ２＋y ２b２＝１(a ＞b ＞０)上一点A (x ０,y ０)引椭圆的两条弦AM 和A N ,若AM ʅA N ,则直线MN 过定点(x ０(a ２－b ２)a ２＋b ２,－y ０(a ２－b ２)a ２＋b２),特别地,当A 在顶点时,点H 在相应的坐标轴上．证明:设直线MN :m (x －x ０)＋n (y －y ０)＝１．椭圆C 可变形为[(x －x ０)＋x ０]２a ２＋[(y －y ０)＋y ０]２b２＝１,得a ２(y －y ０)２＋b ２(x －x ０)２＋２a ２y ０(y －y ０)＋２b ２x ０(x －x ０)＝０,即a ２(y －y ０)２＋b ２(x －x ０)２＋２a ２y ０(y －y ０)１＋２b ２x ０(x －x ０) １＝０．将式子中的数字 １用直线MN 的方程进行整体代换,化一次为二次,即４６Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２３年７月上半月㊀试题研究㊀㊀㊀㊀(a ２＋２a ２y ０n )(y －y ０)２＋(b ２＋２b ２x ０m ) (x －x ０)２＋(２b ２x ０n ＋２a ２y ０m )(x －x ０)(y －y ０)＝０．由k A M k A N ＝－１,可得b ２＋２b ２x ０ma ２＋２a ２y ０n ＝－１,则m ２b ２x ０－(a ２＋b ２)＋n ２a ２y ０－(a ２＋b２)＝１．令x －x ０＝－２b ２x ０a ２＋b ２,y －y ０＝－２a ２y ０a ２＋b２,则x ＝x ０(a ２－b ２)(a ２＋b ２),y ＝－y ０(a ２－b ２)(a ２＋b ２)．所以,可知直线MN 过定点H (x ０(a ２－b ２)a ２＋b２,－y ０(a ２－b２)a ２＋b２)．特别地,当x ０＝０时,得H (０,－y ０(a ２－b２)a ２＋b ２)在y 轴上;当y ０＝０时,得H (x ０(a ２－b ２)a ２＋b２,０)在x 轴上．探究２㊀过双曲线x ２a ２－y ２b２＝１(a ＞０,b ＞０)上一点A (x ０,y ０)引双曲线的两条弦AM 和A N ,若AM ʅA N ,则直线MN 过定点H (x ０(a ２＋b ２)a ２－b２,－y ０(a ２＋b２)a ２－b２),特别地,当点A 在顶点时,点H 在相应的坐标轴上．证明:设直线MN :m (x －x ０)＋n (y －y ０)＝１．双曲线的方程可以变形为[(x －x ０)＋x ０]２a ２－[(y －y ０)＋y ０]２b２＝１,即－a ２(y －y ０)２＋b ２(x －x ０)２－２a ２y ０(y －y ０)＋２b ２x ０(x －x ０)＝０,即变形为－a ２(y －y ０)２＋b ２(x －x ０)２－２a ２y ０(y －y ０)１＋２b ２x ０(x －x ０) １＝０,式子中的 １ 用直线MN 的方程进行整体代换,可得(－a ２－２a ２y ０n )(y －y ０)２＋(b ２＋２b ２x ０m )(x －x ０)２＋(２b ２x ０n －２a ２y ０m )(x －x ０)(y －y ０)＝０．因为k A M k A N＝－１,所以b ２＋２b ２x ０m－(a ２＋２a ２y ０n )＝－１,即m ２b ２x ０a ２－b ２－n ２a ２y ０a ２－b２＝１．同探究１的方法,由此可得直线MN 过定点H (x ０(a ２＋b ２)a ２－b ２,－y ０(a ２＋b ２)a ２－b ２)．特别地,当点A 在坐标轴上,点H 也在相应的坐标轴上．探究３㊀过抛物线y ２＝２p x 上一点A (x ０,y ０)引抛物线的两条弦AM 和A N ,若AM ʅA N ,则直线MN 过定点H (x ０＋２p ,－y ０),特别地,当点A 在顶点时,点H 在相应的对称轴上．证明:设直线MN :m (x －x ０)＋n (y －y ０)＝１．抛物线方程可变形为[(y －y ０)＋y ０]２＝２p [(x －x ０)＋x ０],即(y －y ０)２＋２y ０(y －y ０)－２p (x －x ０)＝０,即(y －y ０)２＋２y ０(y －y ０) １－２p (x －x ０) １＝０,该式子中的 １用直线MN 的方程进行整体代换,可得(２y ０n ＋１)(y －y ０)２＋(２y ０m －２p n )(x －x ０) (y －y ０)－２pm (x －x ０)２＝０．因为k A M k A N ＝－１,所以－２p m ２y ０n ＋１＝－１即２p m －２y ０n ＝１．同探究１的方法,由此可得直线MN 过定点H (x ０＋２p ,－y ０),特别地,当y ０＝０,点H (２p ,０)．探究４㊀已知焦点在x 轴的圆锥曲线上三点A ,M ,N ,若动点M ,N 与定点A 的斜率之和为定值λ(λʂ１－e ２),则MN 是过定点的直线系．(注:e 为圆锥曲线离心率．)探究５㊀已知焦点在x 轴的圆锥曲线上三点A ,M ,N ,若动点M ,N 与定点A 的斜率之和为定值λ(λʂ１－e ２),则MN 是平行直线系．(注:e 为圆锥曲线离心率．)３结论应用试题链接１㊀(２０２０年全国高考新课标Ⅰ卷２０)已知A ,B 分别为椭圆E :x２a ２＋y ２＝１(a ＞１)的左㊁右顶点,G 为E 的上顶点,A G ң G B ң＝８,P 为直线x ＝６上的动点,P A 与E 的另一交点为C ,P B 与E 的另一交点为D ．(１)求E 的方程;(２)证明:直线C D 过定点．试题链接２㊀(２０２０年新高考数学全国卷Ⅰ２１)已知点A (２,１)在双曲线C :x ２a ２－y ２a ２－１＝１(a ＞１)上,直线l 交C 于P ,Q 两点,直线A P ,A Q 的斜率之和为０．(１)求l 的斜率;(２)略．在解题时,我们必须准确地判断出每一个题设条件的用途,以便快速找到解题思路;同时,结合待求解的结论,进行合理的转化．上述例题体现了齐次化方法在求解圆锥曲线一类过定点问题中的应用,渗透如何将非齐次的问题齐次化,然后借助韦达定理得到定值．将问题推广到一般情形,可用于求解圆锥曲线的一类过定点的问题．Z５６Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
构造齐次方程解一类圆锥曲线问题
百花园地新课程NEW CURRICULUM由10、20可得y ∈［12，1）∪（1，76］即所求函数的值域为［12，1）∪（1，76］析：事实上，当y =12即x 2+3x+4x 2+2x+4=12时解得x =-2与x >1相矛盾。
所以上述解法肯定有错。
错因究竟在何处呢？让我们比较一下本例中函数与例1和例2有何区别。
不难发现，本题多了一个备注条件。
这里我们不妨约定一种说法：使函数解析式有意义的一切x 的集合称之为函数的自然定义域。
而像本题给出x>1只是函数y =x 2+3x+4x 2+2x+4自然定义域R 的一个子集，我们称之为条件定义域。
当二次型分式函数给出的是条件定义域的时候，我们不能轻易用判别式法求其值域。
以本题为例，事实上，满足Δ=（2y -3）2-4（y -1）（4y -4）≥0的y 的值只能保证★式在R 上（自然定义域）有解，但不能保证★式在x >1时（条件定义域）有解。
对策：本题可以用部分分式与基本不等式相结合去解决。
由y =x 2+3x+4x 2+2x+4可得y =x 2+2x+4+x x 2+2x+4=1+x x 2+2x+4=1+1x +4x +2因为x +4x +2≥6，所以y ∈（1，76］。
•编辑郭晓云本文考虑通过构造齐次方程，再转化为一元二次方程利用韦达定理解决下面这类问题：已知二次曲线：C :ax 2+bxy +cy 2+dx +ey+f=0，过点P （x 0，y 0）的直线与曲线C 交于A 、B 两点，考虑关于k AP +k BP 与k AP ·k BP 的一类问题.为了叙述简洁，我们忽略一些诸如斜率不存在等一些特殊情形.设直线AB 的方程为：y=kx+m .我们的目的主要是构造一个以k AP ，k BP 为根的一元二次方程.设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则k AP =y 1-y 0x 1-x 0，k BP =y 2-y 0x 2-x 0.将y=kx+m 变为：y -y 0=k （x -x 0）+kx 0-y 0+m ，从而可得：y -y 0-k （x -x 0）kx 0-y 0+m=1（1）再将曲线C 的方程配方成下面形式：a （x -x 0）2+b （x -x 0）（y -y 0）+c （y -y 0）2+d ′（x -x 0）+e ′（y -y 0）+f ′=0（2）令X =x -x 0，Y =y -y 0，M =kx 0-y 0+m ，则（1）（2）式即为：Y -kX M=1（3）aX 2+bXY +cY 2+d ′X +e ′Y +f ′=0（4）将（3）式带入（4）中得：aX 2+bXY +c Y 2+d ′X Y -kX M +e ′Y Y -kX M +f ′（Y -kX M ）2=0（5）因此可化简为齐次方程：α（k ，m ）Y 2+β（k ，m ）XY +γ（k ，m ）X 2=0（6）两边同除X 2即可得关于的Y X一元二次方程：α（k ，m ）（Y X 2+β（k ，m ）（Y X）+γ（k ，m ）=0（7）而k AP ，k BP 为方程(7)的两个根，从而对k AP +k BP 与k AP ·k BP 的问题可以用一元二次方程的根与系数的关系来解决.通过上面的方法，其实我们可以解决诸如k AP -k BP ，k 2AP +k 2BP ，1k AP +1k BP等关于k AP ，k BP 的有理对称函数的问题，因为它们可以用k AP +k BP 与k AP ·k BP 表示出来.作为这个方法一个具体的应用，下面是2013年江西高考卷（理）第20题：椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a>b >0）经过点P （1，32］，离心率e =12，直线l 的方程为x =4.（1）求椭圆C 的方程；（2）AB 是经过右焦点的任意弦（不经过点P ），设直线AB 与直线l 相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为k 1,k 2，k 3.问：是否存在常数λ，使得k 1+k 2=λk 3？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.解：（1）x 24+y 23=1.（2）设直线AB 的方程为：y=k （x-1）⇒23［k （x -1）-(y -32)］=1.设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （4，y 0）.由x 24+y 23=1推出3x 2+4y 2-12=0，可配为：3（x -1）2+4（y -32）2+6（x-1）+12(y -32)=0，再配为：3（x -1）2+4（y -32）2+6（x -1）·23［k （x -1）-(y -32)］+12(y -32)23［k （x -1）-(y -32)］=0.得：（3+4k ）（x -1）2-4(y -32)2+（8k -4）（x -1）(y -32)=0令X =x -1，Y =y -32，则-4（Y X ）2+（8k -4）Y X+3+4k =0，从而k 1+k 2=y 1-32x 1-1+y 2-32x 2-1=Y 1X 1+Y 2X 2=2k -1又因为y 0=k （4-1）=3k ，所以k 3=y 0-324-1=k -12.因此，当λ=2时，k 1+k 2=2k 3.这里的方法用到了构造“1”的技巧来构造一个齐次方程，而构造“1”的技巧在高中经常遇见，例如，苏教版必修4的习题1.2的第11题：设tan α=-12，计算1sin 2α-sin αcos α-2cos 2α.这里，我们就可以利用恒等式sin 2α+cos 2α=1将“1”代换，构造齐次式去解决.再如,苏教版必修5第三章复习题的第13题：已知整数x ，y 满足x+2y =1，求1x +1y的最小值.这里我们可以对1进行代换构造齐次式x+2y x +x+2y y 解决.而对一般的情形：ax+by=c ，则可构造ax+by c =1来解决.通过对比可以发现对上面的圆锥曲线问题构造齐次式的运算时是初等的，但齐次方程或齐次式的应用远非如此.•编辑郭晓云构造齐次方程解一类圆锥曲线问题徐辉（苏州蓝缨学校）摘要：以2013年江西省高考卷（理）第20题为例，通过构造齐次方程，再转化为一元二次方程利用韦达定理解决一类过定点引二次曲线两条割线斜率之和与之积的问题.关键词：圆锥曲线；齐次方程；韦达定理；斜率213--. All Rights Reserved.。
齐次平移巧解一类圆锥曲线问题
B(−2, 0) 为原点的心坐标系, 记新原点 B′, 设 直线 l 对应 l′,
M, N
分别对应 M ′(x′1, y1′ ), N ′(x′2, y2′ ).
则
x′ = x + 2, y′ = y,
x = x′ − 2, 即 y = y′.
则直线 l′ 的方程为: x′ = my′ +4, 抛物线
其方程为 m(x′ − y′) = 1, 联立
x′2 + 4x′ − 4y′ = 0, m(x′ − y′) = 1,
得
x′2
+
(4x′
−
4y′)(mx′
−
my′)
=
0,
整理得
4m
·
(
y′ x′
)2
−
8m
·
y′ x′
+ (4m + 1)
=
0.
所 以 由 韦 达 定 理 知, kMA · kMB
=
xi − x0
而
kP Pi
=
yi xi
− y0 (i − x0
=
1, 2),
所以 kP P1 , kP P2 是方程 ⃝2 的两根. 由韦达定理可以得到以
下结论:
(1) 若 直 线 P P1 与 直 线 P P2 的 倾 斜 角 互 补, 则 由 kP P1 + kP P2 = 0 ⇔ B = 0.
A · ( y − y0 )2 + B · y − y0 + C = 0(A ̸= 0). ⃝2
x − x0
x − x0
P1(x1, y1), P2(x2, y2) 的坐标满足方程 ⃝2 , 即有
“齐次化”法在圆锥曲线问题中的应用
“齐次化”法在圆锥曲线问题中的应用作者：***来源：《中学教学参考·理科版》2022年第05期[摘要]由斜率關系引发的定点、定值问题在高考中总是以不同的方式出现，用“齐次化”法能巧妙解决此类问题，并简化运算过程。
[关键词]齐次化;圆锥曲线;斜率[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2022）14-0022-03圆锥曲线是高考的重点考查内容，圆锥曲线问题常以压轴题或把关题的形式出现，此类问题因计算烦琐，而常令考生望而却步。
若能根据题目所给条件，找到简捷的解法，往往可化繁为简，使解题事半功倍。
下面利用“齐次化”法解决由斜率关系引发的定点、定值问题。
一、引例分析[例1]已知椭圆[C]：[x2a2+y2b2=1]（[a>b>0]）的离心率为[22]，且过点[A（2， 1）]。
（1）求[C]的方程;（2）点[M]，[N]在[C]上，且[AM⊥AN]，[AD⊥MN]，[D]为垂足。
证明：存在定点[Q]，使得[DQ]为定值。
“已知直线[l]与圆锥曲线交于两点，另一定点与两个交点相连，所得两条直线的斜率之和或斜率之积为定值。
”若题目中给出这种类似的条件，则确定直线[l]过某一定点。
由已知条件[AM⊥AN]，可知直线[AM]和[AN]的斜率之积为定值-1，故本题名为求定值，实为求定点，即直线[MN]过某一定点。
设该定点为[E]（如图1），则[AE]为定线段，由[AD⊥MN]可知三角形[ADE]为直角三角形，故点[D]到[AE]的中点[Q]的距离为定值，即[12AE]。
因此问题求解的关键是确定定点[E]的坐标。
二、问题解答直线过定点问题的常规处理方法是设出直线方程[y=kx+m]，根据已知条件寻找[k， m]的等量关系，从而得出直线所过的定点。
（一）常规方法引入直线[MN]的方程（注意讨论斜率不存在的情况），将其与椭圆方程联立，利用坐标法（设出[N]、[M]两点的坐标）、消元法、判别式及根与系数的关系等，再结合[AM⊥AN]进行求解。
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“齐次式”法解圆锥曲线斜率有关的顶点定值问题定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。
直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。
技巧在于：设哪一条直线如何转化题目条件圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。
如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。
下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型：例题、（07山东）已知椭圆C ：13422=+y x 若与x 轴不垂直的直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。
求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。
解法一（常规法）：m kx y l +=:设1122(,),(,)A x y B x y ，由223412y kx mx y =+⎧⎨+=⎩得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340k m +->212122284(3),3434mk m x x x x k k-+=-⋅=++ 22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -⋅=+⋅+=+++=+以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ⋅=-， 1212122y yx x ∴⋅=---，1212122()40y y x x x x +-++=，（*） 2222223(4)4(3)1640343434m k m mkk k k --+++=+++，（**）整理得：2271640m mk k ++=，解得：1222,7k m k m =-=-，且满足22340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；当27k m =-时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0)7综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2(,0).7◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点))(,)((2222022220b a b a y b a b a x +--+-。
（参考百度文库文章：“圆锥曲线的弦对定点张直角的一组性质”）◆模型拓展：本题还可以拓展为：只要任意一个限定AP 与BP 条件（如=•BP AP k k 定值或=+BP AP k k 定值），直线AB 依然会过定点。
此模型解题步骤：Step1：设AB 直线m kx y +=，联立曲线方程得根与系数关系，∆求出参数范围；Step2：由AP 与BP 关系（如1-=•BP AP k k ），得一次函数)()(k f m m f k ==或者； Step3：将)()(k f m m f k ==或者代入m kx y +=，得定定y x x k y +-=)(。
方法评估：此方法求解过程中（*）（**）化简整理计算非常繁琐。
下面介绍齐次式法。
（上述方法改进还有“点乘双根法”）解法二（齐次式法）由以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点P ，知PB PA ⊥，即1-=⋅PB PA k k 。
（⋅⋅⋅⋅⋅⋅PB PA k k ⋅为定值）依题意直线l 不过椭圆的右焦点)0,2(P 设直线1)2(:=+-ny x m l ， 由124322=+y x 得124)22(322=++-y x （⋅⋅⋅⋅⋅⋅凑出因式)0(),2(--y x ）故04)2(12)2(322=+-+-y x x （⋅⋅⋅⋅⋅⋅此式不是齐次式，有2次式和1次式，下面齐次化）故0])2()[2(124)2(322=+--++-ny x m x y x （⋅⋅⋅⋅⋅⋅1的代换）即0)2(12)2(124)2(3222=-+-++-y x n x m y x （⋅⋅⋅⋅⋅⋅下面凑出斜率PB PA k k ,。
两边同除2)2(-x ）故0)312(212)2(42=++-+-m x y n x y ， （⋅⋅⋅⋅⋅⋅因为B A ,是直线与曲线的交点，故B A ,的坐标满足此式，即2,22211--x yx y 是相应方程0)312(1242=+++m nt t 的解）故14312222211-=+=-⋅-=⋅m x y x y k k PB PA ，解得127-=m ，代入1)2(:=+-ny x m l 得0172127=+--ny x ，由⎪⎩⎪⎨⎧==+-00127127y x 得⎪⎩⎪⎨⎧==072y x ，故l 过定点)0,72(。
变式此题若改为：已知椭圆C ：13422=+y x 的右顶点P ，若直线与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且=+PB PA k k 3，,求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。
此题用传统法解得时要计算，1212322y yx x ∴+=--，化简变形比原题更难，用齐次式法，与原题类似。
解：由原题齐次式解法得0)312(212)2(42=++-+-m x y n x y ，故33=-=⋅n k k PB PA 解得1-=n ，代入1)2(:=+-ny x m l ，知1)2(:=--y x m l ，过定点)1,2(-。
变式此题若改为：已知椭圆C ：13422=+yx 上一点)23,1(P ，若直线与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且1-=⋅PB PA k k ，,求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。
◆迁移训练练习1：过抛物线M:px y 22=上一点P （1,2）作倾斜角互补的直线PA 与PB ，交M 于A 、B 两点，求证：直线AB 过定点。
（注：本题结论也适用于抛物线与双曲线） 练习2：过抛物线M:x y 42=的顶点任意作两条互相垂直的弦OA 、OB ，求证：直线AB 过定点。
（经典例题，多种解法）练习3：过1222=-y x 上的点)1,1(A 作动弦AB 、AC 且3=•AC AB k k ，证明BC 恒过定点。
（本题参考答案：)51,51(-）练习:4：设A 、B 是轨迹C ：22(0)y px P =>上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当,αβ变化且4παβ+=时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标。
（参考答案()2,2p p -）【答案】设()()1122,,,A x y B x y ，由题意得12,0x x ≠，又直线OA,OB 的倾斜角,αβ满足4παβ+=，故0,4παβ<<，所以直线AB 的斜率存在，否则，OA,OB 直线的倾斜角之和为πAB 方程为y kx b =+，显然221212,22y y x x p p ==， 将y kx b =+与22(0)y px P =>联立消去x ，得2220ky py pb -+=由韦达定理知121222,p pby y y y k k+=⋅=① 由4παβ+=，得1＝tan tan()4παβ=+=tan tan 1tan tan αβαβ+-=122122()4p y y y y p +- 将①式代入上式整理化简可得：212pb pk=-，所以22b p pk =+， 此时，直线AB 的方程可表示为y kx =+22p pk +即()(2)20k x p y p +--=所以直线AB 恒过定点()2,2p p -.练习5：（2013年高考陕西卷（理））已知动圆过定点A (4,0), 且在y 轴上截得的弦MN 的长为8. (Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C 的方程;(Ⅱ)已知点B (-1,0), 设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P , Q , 若x 轴是PBQ ∠的角平分线, 证明直线l 过定点.【答案】解:(Ⅰ) A (4,0),设圆心C2222,2),,(EC ME CM CA MNME E MN y x +===，由几何图像知线段的中点为x y x y x 84)422222=⇒+=+-⇒（(Ⅱ) 点B (-1,0),222121212122118,8,00),,(),,(x y x y y y y y y x Q y x P ==<≠+，由题知设.080)()(88811211221212222112211=+⇒=+++⇒+-=+⇒+-=+⇒y y y y y y y y y y y y x y x y 直线PQ方程为:)8(1)(21121112121y x y y y y x x x x y y y y -+=-⇒---=-1,088)(8)()(122112112==⇒=++⇒-=+-+⇒x y x y y y y x y y y y y y所以,直线PQ 过定点(1,0)练习6：已知点()()1,0,1,0,B C P -是平面上一动点，且满足||||PC BC PB CB ⋅=⋅（1）求点P 的轨迹C 对应的方程；（2）已知点(,2)A m 在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD 和AE ，且AD AE ⊥，判断：直线DE 是否过定点试证明你的结论.【解】（1）设.4,1)1(||||),(222x y x y x CB PB BC PC y x P =+=+-⋅=⋅化简得得代入 （5分）).2,1(,14)2,()2(2的坐标为点得代入将A m x y m A ∴== ,044,422=--=+=t mt y x y t my x DE 得代入的方程为设直线）（（，则设*016)44,4),(),,(221212211>+-=∆-=⋅=+t m t y y m y y y x E y x D4)(21)()2)(2()1)(1(212121212121++-⋅+++-=--+--=⋅∴y y y y x x x x y y x x AE AD5)(2)44(44212122212221++-⋅++-⋅=y y y y y y y y 5)(242)(16)(212121221221++-⋅+⋅-+-⋅=y y y y y y y y y ym m t t m t t m t 845605)4(2)4(4)4(2)4(16)4(2222+=+-=+--+----=化简得)1(23)1(43484962222+±=-∴+=-++=+-m t m t m m t t ）即（即0*,1252>∆+-=+=∴）式检验均满足代入（或m t m t 1)2(5)2(+-=++=∴y m x y m x DE 或的方程为直线 ）不满足题意，定点（（过定点直线21).2,5(-∴DE ）练习7：已知点A （－1，0），B （1，－1）和抛物线.x y C 4:2=，O 为坐标原点，过点A 的动直线l交抛物线C 于M 、P ，直线MB 交抛物线C 于另一点Q ，如图.（I ）证明: OM OP ⋅为定值; （II ）若△POM 的面积为25，求向量OM 与OP 的夹角； （Ⅲ）证明直线PQ 恒过一个定点.解：（I ）设点P y y P y y M ),,4(),,4(222121、M 、A 三点共线， ,4414,222121211y y y y y y k k DM AM --=+=∴即 4,142121211=∴+=+y y y y y y 即 .544212221=+⋅=⋅∴y y y y OP OM (II)设∠POM =α，则.5cos ||||=⋅⋅αOP OM.5sin ||||,25=⋅⋅∴=∆αOP OM S ROM 由此可得tan α=1. 又.45,45),,0(︒︒=∴∈的夹角为与故向量OP OM απα(Ⅲ)设点M y y Q ),,4(323、B 、Q 三点共线，,QM BQ k k =∴ 3133222233131323133131311,,41444(1)()4,40.11y y y y y y y y y y y y y y y y y y -+==-++-∴++=-+++=即即即分,0444,4,432322121=+++⋅∴==y y y y y y y y 即即.(*)04)(43232=+++y y y y ,44432232232y y y y y y k PQ +=--=)4(422322y x y y y y PQ -+=-∴的方程是直线即.4)(,4))((323222322x y y y y y y x y y y y =-+-=+-即由（*）式，,4)(43232++=-y y y y 代入上式，得).1(4))(4(32-=++x y y y 由此可知直线PQ 过定点E （1，－4）.模型二：切点弦恒过定点例题：有如下结论：“圆222r y x =+上一点),(00y x P 处的切线方程为200r y y y x =+”，类比也第22题有结论：“椭圆),()0(1002222y x P b a by a x 上一点>>=+处的切线方程为12020=+b y y a x x ”，过椭圆C ：1422=+y x 的右准线l 上任意一点M 引椭圆C 的两条切线，切点为 A 、B. （1）求证：直线AB 恒过一定点；（2）当点M 在的纵坐标为1时，求△ABM 的面积。