清华大学信号与系统作业答案与讲评(宫琴)

0 o
因果与稳定也由定义判断。
(a) r(t) = T[e(t)] = e(t-2); T[ae (t)
1 1
+ a e ( t )] = a e ( t − t ) + a e ( t − t ) =a r(t)+a (t) r
1 1 2 2 2 2 1 1 0 2 2 0
线性系统
先过系统 ， 再时移 e (t) → e ( t − 2 ) → e ( t − o 2−t 先时移 ， 再过系统
[题六] 考虑一个LTI系统 和信号 若
x(t)=2 u(t−1) e
−3t
x( t ) → y ( t )
t
有的同学没有将计算结果化简。注意： e−α δ = (t) δ (t)
注： １． 有同学把末使用的数学作业纸交上来了。 随作业返 回，请取回。 ２．请同学们将作业装订好后再上交， 否则易遗失。 ３．有的同学写得太简略，直接给出了答案，有抄袭之嫌， 希望以后注意。 ４．错的地方有什么不明白，可以发邮件问 我。
２1 题 错误数目：9 错的同学多是因为没有积出最后结果。
注： １．请同学们将作业装订好后再上交，否则易遗失。 ２．由于公布了参考答案，作业中错的地方以后就不详细指出了，希 望 同 学 们 结 合 答 案 自己修正。 ３．错的地方有什么不明白，可以发邮件问我。
第一章内容摘要
信号的定义、分类、 描述 典型的连续时间信号 信号 信号的运算 奇异信号 信号的分解 系统的定义、 分 类 线性时不变系 统
1
-2 1
平移
t -2
-1
0
-1/2 0 1/2
f [-(t-1)] 压 缩
-1 0 t
f [-(2t-1)]
1 -1/2 0 1/2 t
[题二] 判断下列系统 (a) r(t) = T[e(t)] = e(t-2); (b) r(t) = T[e(t)] =e(-t); e(t) (c) r(t) = T[e(t)] =cost· e(t); (d) r(t) = T[e(t)] =a 是否为线性系统; 时不变系统; 因果系统; 稳定系统. [解] 线性系统 满足
aδ ′(t) + bδ ′(t) + cδ (t) + dΔu(t) + 2aδ ′(t) + 2bδ (t) + 2cΔu (t) = δ ′(t) + 3δ ′(t) + 3δ (t)
⎧a = 1 根据在t=0时刻，微分方程两端 ⎪ b=1 的冲激 函数及其各阶导数应该平衡相 ⎨c = 1 ⎪
方法一：奇异函数项相平衡法 方法二：冲激函数匹配法
方法一：奇异函数项相平衡法
由于微分方程的右端比左端还高一阶，故冲 激响应设成
h (t) A =
−2 t
将（2）式代入（1）式，得
⎧A + 2 A = 3 1 2 ⎪ A +2A =2 ⎨ A2 = 1 3
1
e
u (t) + A (t) + A δ ′ (t) 3 δ
注：参考答案中的题号和教材中差 1。
第二章作业讲评 助教：张丹丹 2007-3-30 4题 错误数目：2
错的两位同学都是方程组解错了。 6题 错误数目：4 （2 分）
答案中的各种响应表达式都应加上条件 t>0，或是加上因子 u(t)， 请大家注意。 不少同学没有回答完 5 个问题。 9 题 错误数目：7 （2 分） 请大家注意 sin2t 和 sin(2t)的区别， 规范自己的 书写。 本题部分同学的最后答案没有化到最 简。 １3 题 １5 题 错误数目：4 错误数目：6
卷积积分法：求零状态响应
f (t) [题一] 1 信号 f(t) 的波形如图 所示, 0 试 画 出 2f(1-2t) 的 波 形 。 f (-2t) [解]
1
2
t
2f [-2(t-1/2)]
1
f (t) 压 缩
0 1 2 t
f (2t)
1
反褶
t
1
平移,倍乘
t 0 0 1/2 1 t
2
反褶 f (-t)
(1) (3)
微分方程的齐次解为
下面用冲激函数匹配法求初始条件，设
d r (t) = a δ ′ (t) b δ ′ (t) + (t) + d Δ u (t) dt + cδ r (t) = aδ ′(t) + bδ (t) + cΔu (t)
h (t) B 2 t − 1 e =
上述两等式代入方程（1），经整理得
2
（2）
解得冲激响 应 阶跃响应
⎪ ⎩
3 −2t
h (t) = e u (t)
t
⎛
+ δ (t) + δ ′ (t) g (t) =
1 ⎞ −2 ⎟ u (t) + δ (t) t 0h( τ) d τ − = ⎜1− e ⎠ ⎝ 2
∫
方法二：冲激函数匹配法
2 d d d r (t) + 2 r (t) 2 δ (t) + 3 δ (t) + 3 δ (t) dt= dt dt
(c) r(t) = T[e(t)] =cost· e(t);
T[ae (t)
1 1
+ a e ( t ) ] = a cos t ⋅ e ( t ) a cos t ⋅ e ( t ) +
2 2
=a r(t)+a (t) r 统
1 1 2 2
1
1
2
2
线性系
先过系统 ， 再时 移 (t−t )e( t − t ) e (t) → cos (t)e(t) → cos 0 ( t 再过系统 先时 移， ( t ) e( t − t ) − t ) → cos e (t) → e
少数同学没做此题。有的同学写出了分段函数的形式，但没有写出阶 跃函数表达式。既 然我们学了更简洁的表达形式，就应该用。 １２题 错误数目：１ 这道题大家做得很好
１４题 错误数目：５ 这５名同学（３）（４）题没有给出最后结果。完整的解答应该讨论 t0 的范围，求出 值。 ２０题 错误数目：６
该类题很典型，希望大家掌握。 有的同学没有回答完３个问题。 ２1 题 ２3 题 错误数目：0 错误数目：3
希望大家画图时把各种信息标注完整，包括横纵轴的名称、波形在横 轴上的起始坐标以 及幅度大小。没标注完整的这次没有扣分。 １9 题 错误数目：a very large number 这道题答得很不好，出现了各种错误，希望结合答案好好修正。 另外，本题的题图画得也有一点问题，出题者的本意是想让一个周期 信 号 f1(t) 来 卷 积 一 个三角波 f2(t)，但 f1(t)的图中又没有画省略号表示周期。所以有的同学只 讨论到了 t<6。 ２０题 错误数目：0
第一章作业讲评 助教：张丹丹 2007-3-20 ２题 错误数目：０
题目只要求回答为“离散信号”还是“连续信号”，有的同学进一步 回答成了“抽样信 号”，也正确，但希望以后严格按照题目要求作答。 ３题 ４题 错误数目：１ 错误数目：３
有的同学没画图。虽然大部分同学图都画对了，但好多同学纵轴没有 写 正 确 ， 均 写 成 了 f(t)。纵轴应该随变换的进行而改变。学号 2005013045 做得很好，给出了三 种变换顺序。 １０题 错误数目：9
= δ ′ (t ) 方法二没有注意利用冲激函数的性 质，求解过 程较繁。另外，对冲激偶信号的性质 ( t) f (t) δ ′
往往被错误写成 = f (0) ′ − f ′ (0) (t) δ δ (t) f (t)δ ′(t) = f (0)δ ′ (t)
从而得出错误结论。
(2)f (t) =
等 于是
，
解
得
⎩
r ( 0+)= r ( 0
+
−
把 r ( 0 )= 1代入 （3）式，= 1 ，考虑n=1,m=2, n< m, 1 求得 A h (t) 中应加 函数匹配过程中 出现的 上δ δ ′(t)δ
(m−n)
)+c=1
δ (t)及其导数项
(t)
故冲激响应为
h (t) = e
−2 t
u (t) + (t) + δ ′ (t) δ
d − ( 1) f (t) [ e t δ (t) ] dt = d − d = δ ′ ( t) 方法一： (t) d t [ e t δ (t) ] f = [ δ (t) ] = d d dt −t ] (t) d −t −t 方法二： (t) d [ e δ (t) ] = [ e δ + f [ δ (t) ] e −t = dt d t (t) −t −t = e δ (t) + e δ′ = −δ (t) + δ ′(t) + δ (t)
T[ae (t)
1 1
+ a e ( t )] = a r ) + a r ( t ) (t
2 2 11 2 2
时不变系统满 足
) 先过系 再时移 统， 2 ) → e ( t − 2o e (t) → e ( t − t −
先时 再过系统 移， − t ) → e ( t − 2 − t) e (t) → e (t
1 1
1
r
2 2
a
++aa
2
2
非线性系 统
1
先过系统， 再时移 e
e(t) e(t −t0 )
先时 t 0) 移， e(t e (t) → e − (t − t 0) → a
(t) → a
→a 再过系 统
时不变系统
输入输出同时变化，为因果系统; 由系统的BIBO准则,系统为稳定系统.
[题三] 求下列函数值 d − −3 t ( 1) f (t) = [ e t δ ] ( 2 ) f e τ δ ′ ( τ )d τ = ∫ (t) (t) −∞ dt 本例目的在于熟悉并正确应用冲激函数 的性质。
o
时变系统
0 0
输入输出同时变化，为因果 系统; 由系统的BIO准则,系统为稳 定系统.
(d) r(t) = T[e(t)] =a T[ae (t)
1 1
e(t)
a e (t ) + a e (t )
+ a e ( t )] = a
2 2 e
1
1
2 2
(t)
e (t)
而 ar(t)+a (t)=a
)
时不变系 统
e (t) → e ( t 0 ) → e ( t − 2 − t ) o −t
输出为输入延迟2个单位,故为因 果系统; 由系统的BIBO准则,系统为稳定系 统.
(b) r(t) = T[e(t)] =e(-t); T[ae (t)
1 1
+ a e ( t )] = a e ( −) + a e ( − t ) t =a r(t)+a (t) r
1 1 2 2 2 2 1 1 2 2
线性系统
先过系统， 再时移
e(t) → e(− t ) → e(− (t − t ) ) o 先时 再过系统 移， − t ) → e ( − t − t) e (t) → e (t
0
时变系统
o
t>0时, 为因果系统; t<0时, 为非因果系统. 由系统的BIBO准则, 系统为稳定系统.
系统
线性特性 时 不 变 微 分 特 因果性
性 性
第二章内容摘要
⎧ 输入 — 输出描 建立系统的数学 述法 模型 ⎨ ⎩ 状态变量描述 ⎧ u ( 0 ) = u ( 0 法 ) c 满足换路定 i ( 0 +) = i (c 0 )− 则⎨ ⎩L + L − 求 经典法： →定初始 条件 起始点有跳变：求跳 解 变量 系 零输入响应： 用经典法求 统 双零 解 响 法 零状态响应： 卷积积分法 应 求解
t
=
t
∫
e
−3 τ
δ ′ ( τ )dτ + 3 δ (τ) ] d τ
−∞
∫
=
[δ′ (τ)
−∞ t
∫
δ′(τ) d
τ+
t
3δ(τ)dτ
= δ (t) + 3 u (t)
t
−∞
∫
−∞
∫
f ( τ ) d τ 表示的是变量t的函数
−∞
∞
∫
f ( τ ) d τ 表示的是 f ( t ) 的积分值。 函数
2 1 1
题五
若激励 ，响应 r 的系统的微分方程 (t) (t) 2 为e d r (t) + 2 r d d e (t) + 3 e (t) = 2 e (t) + 3 d t (t) dt dt 求系统的冲激响应．
将e = (t) δ (t)代入方 程 d
d
2
d
(1)
Βιβλιοθήκη Baidu
h (t) + 2 h (t) = 2 δ (t) + 3 δ (t) + 3 δ (t) dt dt dt
−∞
[题四] 已知一个LTI系统对e1(t)的响应为r1(t)， 求该系 统对 于e2(t)的响 e2(t) 应。 2 r1(t)
1 0
e1(t)
2
1 0 1 2 -1
1 0 1 2
[解]
e (t) = e ( t +
1 ) + e (t)
r1(t)
2
1
1
r (t) = r + 1 ) + r (t) (t