北师大版数学高二-甘肃省永昌县第一中学高中数学 《正态分布》练习
高二数学正态分布试题
高二数学正态分布试题1.在某项测量中，测量结果服从正态分布，若在内取值的概率为，则在内取值的概率为A．B．C．D．【答案】A【解析】因为服从正态分布，所以正态分布曲线关于；又因为在内取值的概率为，所以在内取值的概率为，所以在内取值的概率为.考点:正态分布曲线的特点及意义.2.已知随机变量X服从正态分布N（ 0，），且P（－2≤X≤0）＝0.4，则P（X>2）＝________.【答案】0.1【解析】因为随机变量X服从正态分布N（ 0，），且P（－2≤X≤0）＝0.4，所以.【考点】随机变量、正态分布.3.设随机变量X服从正态分布N（0，1），P(X>1)= p,则P(X>－1)=A．p B．1－p C．1－2p D．2p【答案】B【解析】∵随机变量X服从正态分布N（0，1），P（X＞1）=p，∴P（X＜-1）=p，P（X＞-1）=1-P（X＜-1）=1-p，故选B．【考点】正态分布.4.已知X～N(0,1)，则P(－1＜X＜2)＝________.【答案】0.818 5【解析】∵P(－1＜X＜1)＝0.682 6，P(－2＜X＜2)＝0.954 4，∴P(1＜X＜2)＝ (0.954 4－0.682 6)＝0.135 9.∴P(－1＜X＜2)＝0.682 6＋0.135 9＝0.818 5.5.已知X～N(0，σ2)且P(－2≤X≤0)＝0.4，则P(X＞2)＝________.【答案】0.1【解析】∵P(0≤X≤2)＝P(－2≤X≤0)＝0.4，∴P(X＞2)＝(1－2×0.4)＝0.1.6.某班有名学生，一次考试的数学成绩服从正态分布，已知，估计该班学生成绩在以上的人数为人。
【答案】10【解析】根据正态分布函数的性质可知x=100是其图像的对称轴，P（ξ≥110）="0.5-" P（90≤ξ≤100）=0.2，所以0.2×50=10.【考点】正态分布函数的图像与性质.7.如果随机变量§~N（—2，），且P（—3≤§≤—1）=0.4，则P（§≥—1）=A．0.7B．0.6C．0.3D．0.2【答案】C【解析】由§~N（—2，）知：正态曲线的对称轴是，则。
北师大版数学高二学案 2.6 正态分布
2.6 正态分布[学习目标] 1.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.2.了解变量落在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)的概率大小.3.会用正态分布去解决实际问题．知识点一 连续型随机变量离散型随机变量的取值是可以一一列举的，但在实际应用中，还有许多随机变量可以取某一区间中的一切值，是不可以一一列举的，这种随机变量称为连续型随机变量． 知识点二 正态分布如果随机变量X 的分布密度函数为f (x )＝1σ2π·exp ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－(x －μ)22σ2(x ∈R ，μ，σ为常数，且σ>0，exp{g (x )}＝e g (x ))，称X 服从参数为μ，σ2的正态分布，通常用X ～N (μ，σ2)表示．其中EX ＝μ，DX ＝σ2.思考1 正态曲线f (x )＝12πσ22()2e x μσ--，x ∈R 中的参数μ，σ2有何意义？答 μ可取任意实数，表示平均水平的特征数，EX ＝μ；σ2>0表示方差，DX ＝σ2.一个正态曲线方程由μ，σ2唯一确定，π和e 为常数，x 为自变量，x ∈R . 思考2 若随机变量X ～N (μ，σ2)，则X 是离散型随机变量吗？答 若X ～N (μ，σ2)，则X 不是离散型随机变量，由正态分布的定义：P (a ＜X ＜b )＝⎠⎛ab f (x )d x可知，X 可取(a ，b)内的任何值，故X 不是离散型随机变量，它是连续型随机变量． 知识点三 正态分布密度函数满足的性质 1．(1)函数图像关于直线x ＝μ对称；(2)σ(σ>0)的大小决定函数图像的“胖”“瘦”；(3)P(μ－σ<X <μ＋σ)＝68.3%；P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝95.4%；P (μ－3σ<X <μ＋3σ)＝99.7%. 2．若随机变量服从正态分布，则它在区间(μ－3σ，μ＋3σ)外取值的概率只有0.3%，由于这个概率值很小，通常称这些情况发生为小概率事件．即通常认为这些情况在一次试验中几乎不可能发生．题型一 正态曲线例1 如图为某地成年男性体重的正态曲线图，请写出其正态分布密度函数，并求P (|X －72|<20)．解 由图可知μ＝72，σ＝10，故正态分布密度函数为φμ，σ(x )＝12π·102(72)200e x --，x ∈(－∞，＋∞)．则P (|X －72|<20)＝P (|X －μ|<2σ)＝P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝95.4%.反思与感悟 利用图像求正态密度函数的解析式，关键是找对称轴x ＝μ与最值1σ2π，这两点确定以后，相应参数μ，σ的值便确定了．跟踪训练1 如图所示是一个正态曲线．试根据该图像写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的均值和方差．解 从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x ＝20对称，最大值是12π，所以μ＝20.12π·σ＝12π， 解得σ＝ 2.于是概率密度函数的解析式是 φμ，σ(x )＝12π·2(20)4ex --，x ∈(－∞，＋∞)．总体随机变量的均值是μ＝20， 方差是σ2＝(2)2＝2. 题型二 利用正态分布求概率例2 设ξ～N (1,22)，试求：(1)P (－1＜ξ＜3)； (2)P (3＜ξ＜5)．解 ∵ξ～N (1,22)，∴μ＝1，σ＝2， (1)P (－1＜ξ＜3)＝P (1－2＜ξ＜1＋2) ＝P (μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝0.683. (2)∵P (3＜ξ＜5)＝P (－3＜ξ＜－1)，∴P (3＜ξ＜5)＝12[P (－3＜ξ＜5)－P (－1＜ξ＜3)]＝12[P (1－4＜ξ＜1＋4)－P (1－2＜ξ＜1＋2)] ＝12[P (μ－2σ＜x ＜μ＋2σ)－P (μ－σ＜x ＜μ＋σ)] ＝12(0.954－0.683)＝0.135 5. 反思与感悟 解答此类题目的关键在于运用3σ原则将给定的区间转化为用μ加上或减去几个σ来表示；当要求服从正态分布的随机变量的概率所在的区间不对称时，不妨先通过分解或合成，再通过求其对称区间概率的一半解决问题．经常用到如下转换公式：①P (x ≥a )＝1－P (x ＜a )；②若b ＜μ，则P (X ＜μ－b )＝1－P (μ－b <X ＜μ＋b )2.跟踪训练2 若η～N (5,1)，求P (5＜η＜7)．解 ∵η～N (5,1)，∴正态分布密度函数的两个参数为μ＝5，σ＝1，∵该正态曲线关于x ＝5对称，∴P (5＜η＜7)＝12×P (3＜η＜7)＝12×0.954＝0.477.题型三 正态分布的实际应用例3 在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N (90,100)． (1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110)上的概率是多少？(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？ 解 ∵ξ～N (90,100)，∴μ＝90，σ＝100＝10.(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.954，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间(70,110)内的概率就是0.954.(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100，由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是0.683.一共有2 000名考生，所以考试成绩在(80,100)间的考生大约有2 000×0.683＝1 366(人)．反思与感悟解答此类题目的关键在于充分利用正态曲线的对称性，把待求区间内的概率向已知区间内的概率进行转化，在此过程中充分体现数形结合及化归的数学思想．跟踪训练3某设备在正常运行时，产品的质量服从正态分布，其参数为μ＝500 g，σ2＝1，为了检验设备运行是否正常，质量检查员需要随机地抽取产品，测量其质量．当检验员随机地抽取一个产品，测得其质量为504 g时，他立即要求停止生产，检查设备．他的决定是否有道理呢？解如果设备正常运行，产品质量服从正态分布N(μ，σ2)，根据正态分布的性质可知，产品质量在μ－3σ＝500－3＝497(g)和μ＋3σ＝500＋3＝503(g)之间的概率为0.997，而质量超出这个范围的概率只有0.003，这是一个几乎不可能出现的事件．但是检验员随机抽取的产品为504 g，这说明设备的运行极可能不正常，因此检验员的决定是有道理的．1．如图是当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3的三种正态曲线N(0，σ2)的图像，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是()A．σ1>1>σ2>σ3>0B．0<σ1<σ2<1<σ3C．σ1>σ2>1>σ3>0D．0<σ1<σ2＝1<σ3答案D2．把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线b.下列说法中不正确的是()A．曲线b仍然是正态曲线B．曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等C．以曲线b为概率密度曲线的总体的均值比以曲线a为概率密度曲线的总体的均值大2 D．以曲线b为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a为概率密度曲线的总体的方差大2答案 D3．正态分布N (0,1)在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率为P 1，P 2，则二者大小关系为( ) A ．P 1＝P 2 B ．P 1＜P 2 C ．P 1＞P 2 D ．不确定答案 A解析 根据正态曲线的特点，图像关于x ＝0对称，可得在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率P 1，P 2相等．4．一批灯泡的使用时间X (单位：小时)服从正态分布N (10 000，4002)，求这批灯泡中“使用时间超过10 800小时”的概率． 解 依题意得μ＝104，σ＝400.∴P (104－800<X <104＋800)＝P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝0.954. 由正态分布性质知P (X <104－800)＝P (X >104＋800) 故2P (X >10 800)＋P (104－800<X <104＋800)＝1， ∴P (X >10 800)＝1－0.9542＝0.023，故使用时间超过10 800小时的概率为0.023.。
高二数学正态分布课后作业题(学生用卷)
一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.已知随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形OABC中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为附：若，则；；．A. 6038B. 6587C. 7028D. 75392.在2018年初的高中教师信息技术培训中，经统计，哈尔滨市高中教师的培训成绩，若已知，则从哈市高中教师中任选位教师，他的培训成绩大于90分的概率为A. B. C. D.3.已知随机变量服从正态分布，如果，则A. B. C. D.4.在某次高三联考数学测试中，学生成绩服从正态分布，若在内的概率为，则任意选取一名学生，该生成绩高于115的概率为A. B. C. D.5.在某次高三联考数学测试中，学生成绩服从正态分布，若在内的概为，则任意选取一名学生，该生成绩高于115的概率为A. B. C. D.6.若随机变量X的密度函数为，X在区间和内取值的概率分别为，则，的关系为A. B. C. D. 不确定7.甲、乙两类水果的质量单位：分别服从正态分布，，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是A. 甲类水果的平均质量B. 甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C. 甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D. 乙类水果的质量服从的正态分布的参数8.已知随机变量，若，则的值为A. B. C. D.9.已知服从正态分布的随机变量，在区间、和内取值的概率分别为、、和某企业为1000名员工定制工作服，设员工的身高单位：服从正态分布，则适合身高在范围内员工穿的服装大约要定制A. 683套B. 954套C. 932套D. 997套10.设随机变量服从正态分布，若，则A. 1B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）11.设随机变量服从正态分布，若，则c的值是______12.已知随机变量服从正态分布，则______13.某正态分布密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为，则总体落入区间内的概率为________．14.某校高二学生一次数学诊断考试成绩单位：分图从正态分布，从中抽取一个同学的数学成绩，记该同学的成绩为事件A，记该同学的成绩为事件B，则在A事件发生的条件下B事件发生的概率______结果用分数表示附参考数据：；；．三、解答题（本大题共2小题，共24.0分）15.某公司新上一条生产线，为保证新的生产线正常工作，需对该生产线进行检测，现从该生产线上随机抽取100件产品，测量产品数据，用统计方法得到样本的平均数，标准差，绘制如图所示的频率分布直方图，以频率值作为概率估值。
高二数学正态分布试题
高二数学正态分布试题1..设随机变量ξ服从正态分布，若=，则c的值是（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】由题意知，正态分布图像关于对称，因此的中点为2，得【考点】正态分布下的概率.2.已知随机变量X服从正态分布且则．【答案】0.1【解析】由已知随机变量X服从正态分布，则其正态曲线关于纵轴对称，则由知，所以，故应填入：0.1．【考点】正态分布．3.已知随机变量服从正态分布，且，则的值等于（）A．0.5B．0.2C．0.3D．0.4【答案】D【解析】因为随机变量服从正态分布,所以其正态曲线关于直线对称,如图,又因为,由对称性得,从而有：,故选D.【考点】正态分布．4.已知正态总体落在区间(0.2，＋∞)内的概率是0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x＝________时达到最高点．【答案】0.2【解析】由正态曲线的性质知：μ＝0.2，故x＝0.2时，正态曲线f(x)达到最高点．5.随机变量X服从正态分布N(0,1)，如果P(X＜1)＝0.8413，则P(－1＜X＜0)＝ .【答案】0.3413【解析】根据题意，由于随机变量X服从正态分布N(0,1)，如果P(X＜1)＝0.8413，则利用对称性可知，P(－1＜X＜0)＝0.3413，故可知答案为0.3413。
【考点】正态分布点评：主要是考查了正态分布的运用，属于基础题。
6.已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.6826，则P(X>4)＝()A．0.1588B．0.1587C．0.1586D．0.15858【答案】B【解析】由正态分布N(3,1)知：正态曲线的对称轴是，因为P(2≤X≤4)＝0.6826，所以则P(X>4)＝0.1587。
故选B。
【考点】正态分布点评：若随机变量X服从正态分布，则正态曲线的对称轴为。
7.某市对10000名中学生的数学成绩（满分100分）进行抽样统计，发现他们近似服从正态分布N～（70，102），若90分以上者有230人，则这10000名学生中分数在50分到90分之间的人数约有（）A．7140人B．230人C．9540人D．4770人【答案】C【解析】解：因为利用正态分布的对称性可知，某市对10000名中学生的数学成绩（满分100分）进行抽样统计，发现他们近似服从正态分布N～（70，102），因为90分以上者有230人，则这10000名学生中分数在50分到90分之间的人数约有10000-460=9540人，选C8.设随机变量服从正态分布N(0,1)，若P(>1)= ，则P(-1<<0)=（）。
高中数学 第2章 §6正态分布同步测试 北师大版选修23
【成才之路】2014-2015学年高中数学 第2章 §6正态分布同步测试 北师大版选修2-3一、选择题1．(2013·吉林白山一中高二期末)设随机变量ξ服从正态分布N (2,9)，若P (ξ>c ＋1)＝P (ξ<c －1)，则c ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] B[解析] 由正态分布的性质及条件P (ξ>c ＋1)＝P (ξ<c －1)得，(c ＋1)＋(c －1)＝2×2，∴c ＝2.2．已知随机变量X 服从正态分布N (3,1)且P (2≤X ≤4)＝0.6826，则P (X >4)＝( ) A ．0.1588 B ．0.1587 C ．0.1586 D ．0.1585[答案] B[解析] P (X >4)＝12[1－P (2≤X ≤4)]＝12(1－0.682 6)＝0.158 7.3．已知ξ～N (2，σ2)，P (ξ<4)＝0.84，则P (ξ≤0)＝( ) A ．0.16 B ．0.32 C ．0.68 D ．0.84[答案] A[解析] 因为ξ～N (2，σ2)，所以正态曲线关于直线x ＝2对称，所以P (ξ≤0)＝P (ξ≥4)＝1－P (ξ<4)＝1－0.84＝0.16，故选A.二、填空题4．已知随机变量X ～N (3，σ2)，且P (X ≥4)＝0.16，则P (2<X ≤3)＝________. [答案] 0.34[解析] 如图可知P (X ≤2)＝P (X ≥4)＝0.16，所以P (2<X <4)＝1－P (X ≤2)－P (X ≥4)＝1－0.16－0.16＝0.68，所以P (2<X ≤3)＝12P (2<X <4)＝12×0.68＝0.34.5．在某项测量中，测量结果X 服从正态分布N (1，σ2)(σ>0)．若X 在(0,1)内取值的概率为0.4，则X 在(0,2)内取值的概率为________．[答案] 0.8[解析] 由X～N(1，σ2)可知，密度函数关于x＝1对称，从而X在(0,1)内取值的概率就等于在(1,2)内取值的概率．∵X～N(1，σ2)，故X落在(0,1)及(1,2)内的概率相同均为0.4，如图所示，故X落在(0,1)内的概率为P(0<X<1)＋P(1<X<2)＝0.4＋0.4＝0.8.三、解答题6．某糖厂用自动打包机打包，每包质量X(单位：kg)服从正态分布N(100,1.22)，一公司从该糖厂进货1500包，试估计质量在下列范围内的糖包数量：(1)(100－1.2,100＋1.2)；(2)(100－3×1.2,100＋3×1.2)．[解析] 因为X～N(100,1.22)，所以μ＝100，σ＝1.2.(1)由于随机变量X在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率为0.683，而该正态分布中，μ－σ＝100－1.2，μ＋σ＝100＋1.2.于是糖包质量位于区间(100－1.2,100＋1.2)内的概率为0.683.所以估计质量在(100－1.2,100＋1.2)范围内的糖包数量为1500×0.683≈1025包．(2)由于随机变量X在区间(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率为0.997，而该正态分布中，μ－3σ＝100－3×1.2，μ＋3σ＝100＋3×1.2.于是糖包质量位于区间(100－3×1.2,100＋3×1.2)内的概率为0.997.所以估计质量在(100－3×1.2,100＋3×1.2)范围内的糖包数量为1500×0.997≈1496包.一、选择题1．设随机变量ξ服从标准正态分布N(0,1)，已知Φ(－1.96)＝0.025，则P(|ξ|<1.96)＝( )A ．0.025B ．0.050C ．0.950D ．0.975[答案] C[解析] P (|ξ|<1.96)＝P (－1.96<ξ<1.96)＝P (ξ<1.96)－P (ξ≤－1.96)＝1－P (ξ≥1.96)－P (ξ≤－1.96)＝1－2P (ξ≤－1.96)＝1－2P (ξ<－1.96)＝1－2Φ(－1.96)＝1－2×0.025＝0.950.故选C.2．若Φ(x )表示标准正态总体在区间(－∞，x )内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则概率P (|ξ－μ|<σ)等于( )A ．Φ(μ＋σ)－Φ(μ－σ)B ．Φ(1)－Φ(－1)C ．Φ(1－μσ)D ．2Φ(μ＋σ)[答案] B[解析] P (|ξ－μ|<σ)＝P (－σ<ξ－μ<σ)＝P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝P (ξ<μ＋σ)－P (ξ≤μ－σ)＝Φ(μ＋σ－μσ)－Φ(μ－σ－μσ)＝Φ(1)－Φ(－1)．故选B. 3．已知ξ～N (0，σ2)，且P (－2≤ξ≤0)＝0.4，则P (ξ>2)等于( ) A ．0.1 B ．0.2 C ．0.3 D ．0.4[答案] A[解析] P (ξ>2)＋P (0≤ξ≤2)＋P (－2≤ξ≤0)＋P (ξ<－2)＝1，P (ξ>2)＝P (ξ<－2)，P (0≤ξ≤2)＝p (－2≤ξ≤0)，所以P (ξ>2)＝12×[1－2P (－2≤ξ≤0)]＝0.1.4．设两个正态分布N (μ1，σ21)(σ1>0)和N (μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有( )A．μ1<μ2，σ1<σ2B．μ1<μ2，σ1>σ2C．μ1>μ2，σ1<σ2D．μ1>μ2，σ1>σ2[答案] A[解析] 根据正态分布的性质：对称轴方程x＝μ，σ表示总体分布的分散与集中．由图可知选A.5．某地区数学考试的成绩X服从参数为σ2＝64的正态分布，其正态分布密度函数图像如图所示，则成绩X位于区间(52,68)内的概率为( )A．0.954 B．0.997C．0.683 D．不确定[答案] C[解析] 观察图中正态分布密度函数图像可知，对称轴为x＝60，由正态分布密度函数图像的性质可知μ＝60.又σ2＝64，所以X服从正态分布N(60,64)，由于52＝60－8,68＝60＋8，则成绩X位于区间(52,68)内的概率为P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.683.二、填空题6．如图所示为两条正态分布曲线．①为fμ1，σ1(x )的图像； ②为fμ2，σ2(x )的图像．μ1________μ2，σ1________σ2(填“<”、“>”或“＝”)．[答案] < >[解析] 根据图像关于直线x ＝μ对称可知μ1<μ2，又由σ(σ>0)的大小决定图像的“胖瘦”，σ越小，图像越“高瘦”，可知σ1>σ2.7．某灯管厂生产的新型节能灯管的使用寿命(单位：小时)为随机变量Y ，已知Y ～N (1 000,302)，要使灯管的平均寿命在1 000小时的概率为99.7%，问灯管的最低寿命应控制在________小时．[答案] 910[解析] 因为P (μ－3σ<Y <μ＋3σ)＝99.7%，又Y ～N (1 000,302)，所以Y 在(μ－3σ，μ＋3σ)即(910,1 090)内取值的概率为99.7%，故最低寿命应控制在910小时．三、解答题8．一投资者在两个投资方案中选择一个，这两个投资方案的利润X (万元)分别服从正态分布N (8,32)和N (7,12)．投资者要求“利润超过5万元”的概率尽量地大，那么他应该选择哪一个方案？[解析] 对于第一种方案有X ～N (8,32)其中μ＝8，σ＝3，P (X >5)＝1－P 5<X ≤112＋P (5<X ≤11)＝1＋P 5<X ≤112＝1＋0.6832对于第二种方案有X ～N (7,12)，其中μ＝7，σ＝1P (X >5)＝1－P 7－2<X ≤7＋22＋P (7－2<X ≤7＋2)＝1＋P 7－2<X ≤7＋22＝1＋0.9542比较知，“利润超过5万元”的概率以第二种方案为大，可选第二个方案．[点评] 本题是利用正态曲线的对称性结合三个特殊区间概率的值求概率，要体会应用方法．9．设ξ～N (1,22)，试求： (1)P (－1<ξ≤3)； (2)P (3<ξ≤5)； (3)P (ξ≥5)．[分析] 由ξ～N (1,22)知，μ＝1，σ＝2， ∴正态密度曲线关于直线x ＝1对称． [解析] ∵ξ～N (1,22)知，μ＝1，σ＝2.(1)P (－1<ξ≤3)＝P (1－2<ξ≤1＋2)＝P (μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝0.683. (2)∵P (3<ξ≤5)＝P (－3<ξ≤－1)，∴P (3<ξ≤5)＝12[P (－3<ξ≤5)－P (－1<ξ≤3)]＝12[P (1－4<ξ≤1＋4)－P (1－2<ξ≤1＋2)] ＝12[P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)－P (μ－σ<ξ<μ＋σ)] ＝12[0.954－0.683]＝0.135 5. (3)P (ξ≥5)＝P (ξ≤－3)， ∴P (ξ≥5)＝12[1－P (－3<ξ≤5)]＝12[1－P (1－4<ξ≤1＋4)] ＝12[1－P (μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)] ＝12(1－0.954)＝0.023. 10．乘出租车从学校到汽车站有两条路线可走，第一条路线的路程较短，但交通拥挤，所需的时间(单位：min)服从正态分布N (50,102)；第二知路线的路程较长，但阻塞较少，所需时间服从正态分布N (60,42)．问：如果有65min 时间可以利用，应走哪一条路线？[分析] 有关正态分布的概率问题，均应化为标准正态分布去处理． [解析] 设ξ为行走的时间，如有65min 时间可利用，则：(1)若走第一条路线，ξ～N (50,102)，及时赶到汽车站的概率为P (ξ≤65)＝Φ(65－5010)＝Φ(1.5)＝0.933 2； (2)若走第二条路线，ξ～N (60,42)，及时赶到汽车站的概率为P (ξ≤65)＝Φ(65－604)＝Φ(1.25)＝0.894 4. 显然走第一条路线及时赶到汽车站的概率大于第二条路线，故应走第一条路线． [点评] 利用标准正态分布表可以顺利地求出服从正态分布的随机变量的概率，进而可使实际问题得到顺利地解决．。
北师大版数学高二学案 第二章 6 正态分布
§6 正态分布三维目标1．知识与技能(1)让学生理解正态函数及其曲线的有关性质，并运用它来解决一些简单的与正态分布有关的问题．(2)培养学生从图形上分析、解决问题的能力和抽象思维能力．2．过程与方法(1)探究法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系．3．情感、态度与价值观通过教学中一系列的探究过程，使学生体验发现的快乐，形成积极的情感，培养学生的进取意识和科学精神．重点难点重点：正确认识正态分布密度曲线的特点及其所表示的意义；难点：数形结合归纳正态分布曲线的性质．教学时要通过一些贴近生活的实例，让学生对正态分布有初步直观的认识，同时使学生领悟到“数学来源于实践，又要回归到实践”，从而培养学生的学习兴趣，激发学习热情．教学中教师可利用多媒体引导学生分析归纳正态曲线的特点，既加强了学生的直观理解，也增强了学生观察归纳的能力．通过几何画板呈现了教学中难以呈现的课程内容，很好地锻炼了学生观察归纳的能力，体现了归纳、分类、化难为易、数形结合的思想．这样的处理很好地突出了重点、突破了难点．教学建议由于高二学生已具有较好的数学基础和较强的分析问题、解决问题的能力．因此，在教学中以学生为中心，以严谨的思维为载体，采用启发、猜想、探究相结合的教学方法．(1)让学生在实例中发现问题、提出问题，并学会猜想，在思想的产生过程中不知不觉培养学生的猜想与看图能力；(2)提供“观察、探究、交流”的机会，引导学生独立思考，有效调动学生的思维，使学生在开放的活动中获取知识；(3)利用多媒体辅助教学，直观生动地呈现，突出重点，化解难点．既加大了课堂信息量又提高了教学效率．教学流程提出问题如何描述随机变量的分布情况．⇒分析理解通过两个实例画出图形(频率分布直方图)．⇒给出定义通过上面的实例，教师引导，分析得出分布密度曲线．⇒利用几何画板，学生分组讨论，自己总结正态分布密度函数的性质．⇒通过例题分析，讲解让学生体会正态分布的应用．⇒课堂小结，布置作业.【问题导思】1．离散型随机变量的取值有何特点？【提示】 离散型随机变量的取值是可以一一列举出来的． 2．一件产品的使用寿命是否为随机变量？它能一一列举出来吗？ 【提示】 一件产品的使用寿命是随机变量，但它不能一一列举出来．离散型随机变量的取值是可以一一列举的，但在实际应用中，还有许多随机变量可以取某一区间中的一切值，是不可以一一列举的，这种随机变量称为连续型随机变量．1．如何由频率分布直方图得到正态分布密度曲线？ 【提示】 样本容量越大，所分组越多．2．正态分布密度函数中μ与σ的意义分别是什么？【提示】 μ表示随机变量的平均值，σ是衡量随机变量的总体波动水平．在频率分布直方图中，为了了解得更多，图中的区间会分得更细，如果将区间无限细分，最终得到一条曲线，这条曲线称为随机变量X 的分布密度曲线，这条曲线对应的函数称为X 的分布密度函数，记为f (x )．正态分布的密度函数为f (x )()222x u --σ.它有两个重要的参数：均值μ和方差σ2(σ>0)，通常用X ～N (μ，σ2)表示X服从参数为μ和σ2的正态分布．1．从正态分布的密度函数的解析式中，求它的定义域、值域． 【提示】 定义域为R ，值域为(0，12πσ]． 2．正态分布密度函数的对称轴方程是什么？ 【提示】 对称轴方程为x ＝μ.3．σ是方差，它决定正态分布密度曲线的什么形状．【提示】“胖”、“瘦”．正态分布密度函数满足的性质：(1)函数图像关于直线x＝μ对称；(2)σ(σ>0)的大小决定函数图像的胖、瘦；(3)P(μ－σ<X<μ＋σ)＝68.3%，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝95.4%，P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝99.7%.类型1 正态密度曲线的应用例1体随机变量的均值和方差．【思路探究】给出一个正态曲线，就给出了该曲线的对称轴和最大值，从而就能求出总体随机变量的均值、标准差以及解析式．【自主解答】从正态曲线的图像可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值为12π，所以μ＝20，12π·σ＝12π，解得σ＝ 2.于是正态分布密度曲线的函数解析式为φμ，σ(x)()22042x--π，x∈(－∞，＋∞)．总体随机变量的均值是μ＝20，方差是σ2＝(2)2＝2.规律方法1．要特别注意方差是标准差的平方．2．用待定系数法求正态分布密度曲线的函数表达式，关键是确定参数μ与σ的值．3．当x＝μ时，正态分布密度曲线的函数取得最大值，即f(μ)＝12πσ，注意该式在解题中的运用．变式训练如图，为σ取三个不同值σ1，σ2，σ3时的三种正态曲线N(0，σ2)的图像，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是()A．σ1>1>σ2>σ3>0 B．0<σ1<σ2<1<σ3 C．σ1>σ2>1>σ3>0 D．0<σ1<σ2＝1<σ3【解析】当μ＝0，σ＝1时，正态分布密度函数f(x)＝222xe-π，x∈(－∞，＋∞)，当x＝0时，取得最大值12π，所以σ2＝1，由正态曲线的特点知：当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”；σ越大，曲线越“矮小”，于是有0<σ1<σ2＝1<σ3，故选D.【答案】 D类型2正态分布下的概率计算例20.4，则X在(0,2)内取值的概率为________．【思路探究】由题意知，正态曲线关于x＝1对称，而区间(0,1)与区间(1,2)关于x＝1对称，故由正态曲线性质得X在区间(0,1)和(1,2)上取值的概率相等．【自主解答】∵X～N(1，σ2)，∴正态曲线关于x＝1对称．∴P(1<X<2)＝P(0<X<1)＝0.4.∴P(0<X<2)＝P(0<X<1)＋P(1<X<2)＝0.4＋0.4＝0.8.【答案】0.8规律方法1．解答此题的关键是利用正态曲线的对称性，把待求区间内的概率向已知区间内的概率进行转化．2．正态分布在某个区间内取值的概率求法(1)熟记P(μ－σ<X<μ＋σ)，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)，P(μ－3σ<X<μ＋3σ)的值．(2)利用P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)，P(X<a)＝1－P(X≥a)求解．变式训练设ξ～N(1,22)，试求：(1)P(－1<ξ≤3)；(2)P (3<ξ≤5)；(3)P (ξ≥5)． 解 ∵ξ～N (1,22)，∴μ＝1，σ＝2. (1)P (－1<ξ≤3)＝P (1－2<ξ≤1＋2) ＝P (μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝0.683. (2)∵P (3<ξ≤5)＝P (－3<ξ≤－1)，∴P (－3<ξ≤5)＝12[P (－3<ξ≤5)－P (－1<ξ≤3)]＝12[P (1－4<ξ≤1＋4)－P (1－2<ξ≤1＋2)] ＝12[P (μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)－P (μ－σ<ξ≤μ＋σ)] ＝12(0.954－0.683)＝0.135 5. (3)∵P (ξ≥5)＝P (ξ≤－3)， ∴P (ξ≥5)＝12[1－P (－3<ξ≤5)]＝12[1－P (1－4<ξ≤1＋4)] ＝12[1－P (μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)] ＝12(1－0.954)＝0.023.例3 分，这个班的学生共54人．求这个班在这次数学考试中及格(不低于90分)的人数和130分以上的人数．【思路探究】 要求及格的人数，即要求出P (90≤X ≤150)，而求此概率需将问题化为正态分布中几种特殊值的概率形式，然后利用对称性求解．【自主解答】 ∵X ～N (110,202)，∴μ＝110，σ＝20，P (110－20<X <110＋20)＝0.683. ∴X >130的概率为12×(1－0.683)＝0.158 5，X ≥90的概率为0.683＋0.158 5＝0.841 5. ∴及格的人数为54×0.841 5≈45人， 130分以上的人数为54×0.158 5≈9人．规律方法1．求正态分布在给定区间上的概率问题时，要将所给区间化为已知其概率值的区间． 2．由正态分布的对称性知，若ξ～N (μ，σ2)，则 P (ξ>μ)＝P (ξ<μ)＝0.5，P (μ－σ<ξ<μ)＝P (μ<ξ<μ＋σ)≈0.341 5，P (μ－2σ<ξ<μ)＝P (μ<ξ<μ＋2σ)＝0.477等，利用这些对称关系和相关数据可以解决一些相应的计算问题． 变式训练某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间X (单位：分)近似服从正态分布X ～N (50,102)，求他在(30,60]分内赶到火车站的概率．解 ∵X ～N (50,102)，∴μ＝50，σ＝10.∴P (30<X ≤60)＝P (30<X ≤50)＋P (50<X ≤60)＝12P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＋12P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝12×0.954＋12×0.683＝0.818 5，即他在(30,60]分内赶到火车站的概率是0.818 5.易错易误辨析正态分布密度函数中μ、σ的意义混淆致误典例 把一正态曲线C 1沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线C 2，下列说法不正确的是( )A ．曲线C 2仍是正态曲线B ．曲线C 1，C 2的最高点的纵坐标相等C ．以曲线C 2为正态曲线的总体的方差比以曲线C 1为正态曲线的总体的方差大2D ．以曲线C 2为正态曲线的总体的期望比以曲线C 1为正态曲线的总体的期望大2 【错解】 D【错因分析】 把正态密度函数μ，σ的意义混淆了．【防范措施】 正确理解正态密度函数中μ与σ的意义，是解决正态分布有关问题的前提，因此了解μ、σ的意义，明确正态分布曲线是学习正态分布的关键．【正解】 正态密度函数为f (x )()222x u --σ，正态曲线对称轴x ＝μ，曲线最高点的纵坐标为f (μ)＝12πσ.所以曲线C 1向右平移2个单位后，曲线形状没变，仍为正态曲线，且最高点的纵坐标f (μ)没变，从而σ没变，所以方差没变，而平移前后对称轴变了，即μ变了，因为曲线向右平移2个单位，所以期望值μ增大了2个单位．【答案】 C课堂小结1．类比函数的性质，结合正态分布密度曲线的特点掌握正态分布曲线的性质． 2．求正态分布在给定区间上的概率问题时，要将所给区间化为已知其概率的区间． 3．由正态分布的对称性知：若ξ～N (μ，σ2)，则P (ξ>μ)＝P (ξ<μ)＝0.5.当堂检测1．下列变量中，是连续型随机变量的是( )A ．投掷五枚硬币出现的正面次数B ．某工厂生产的某种零件的长度C ．抛掷两枚骰子，所得点数之差D ．某人的手机在一周内接到的电话次数【解析】 B 中的变量的取值不能一一列出，所以它是连续型随机变量，而A.C.D 中的变量均是离散型随机变量．【答案】 B2．在正态分布总体服从N (μ，σ2)中，其参数μ，σ分别是这个总体的( )A ．方差与标准差B ．期望与方差C ．平均数与标准差D ．标准差与期望【解析】 由正态分布概念可知C 正确． 【答案】 C3．设随机变量X ～N (0,1)则P (X <0)＝________.【解析】 由正态分布曲线的对称性知P (X <0)＝12.【答案】 124．一建桥工地所需要的钢筋的长度服从正态分布，其中μ＝8，σ＝2.质检员在检查一大批钢筋的质量时发现现有的钢筋长度小于2 m ．这时，他是让钢筋工继续用钢筋切割机切割钢筋，还是让钢筋工停止生产，检修钢筋切割机？解 设检验出钢筋长为x m ，则x <2.由题意X ～N (μ，σ2)，其中μ＝8，σ＝2，∴(x －μ)＝|X －8|>6＝3σ.这说明这一钢筋的长度出现在区间(μ－3σ，μ＋3σ)之外，理应拒绝假设，所以检验员应马上让钢筋工停止生产，立即检修钢筋切割机.。
高二数学正态分布练习题
xyO正态分布㈠ 知识点回顾：1、正态分布概念：若连续型随机变量ξ的概率密度函数为),(,21)(222)(∞+-∞∈=--x ex f x σμσπ，其中,σμ为常数，且0σ>，则称ξ服从正态分布，简记为ξ～()2,N μσ。
()f x 的图象称为正态曲线。
2、正态分布的期望与方差 若ξ～()2,Nμσ，则2,E D ξμξσ==3、正态曲线的性质：①曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交． ②曲线关于直线x=μ对称． ③曲线在x=μ时位于最高点．④当x<μ时，曲线上升；当x>μx 轴为渐进线，向它无限靠近．⑤当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．4、在标准正态分布表中相应于0x 的值()0x Φ是指总体取值小于0x 的概率即 ()()00x P x x Φ=<00≥x 时，则)(0x Φ的值可在标准正态分布表中查到00<x 时，可利用其图象的对称性获得)(1)(00x x -Φ-=Φ来求出，5、两个重要公式：① ②（6）、()2,Nμσ与()0,1N的关系：()()00P x F x ξ<==Φ①若ξ～()2,N μσ，有()212xP x x x σ⎛<<=Φ ⎝②若ξ～()2,N μσ，则)(0x Φ())()(1221x x x x P Φ-Φ=<<ξ())(100x x -Φ-=Φ（二）习题 一、选择题1.某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为)(1021)(200)80(2R x ex f x ∈⋅=--π，则下列命题不正确的是 （ B ）A ．该市这次考试的数学平均成绩为80分；B ．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同；C ．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同；D ．该市这次考试的数学成绩标准差为10. 2.设随机变量ξ服从标准正态分布()0,1N ，若()1P p ξ>=，则()10P ξ-<<=（D ）A.2pB. 1p -C. 12p -D. 12p -3.设随机变量),(~2σμξN ，且 )()(c P c P >=≤ξξ，则c 等于（ D ） 4. 已知正态分布曲线关于y 轴对称，则μ值为（ ）A ．1B ．－1C ．0 D.不确定5.正态分布N （0，1）在区间（－2，－1）和（1，2）上的取值的概率分别为12,p p ，则12,p p的大小关系为（ ） A ．12p p <B ．12p p >C ．12p p =D.不确定6.设随机变量),(~2σμξN ，且1,3==ξξD E ，则)11(≤<-ξP =( B )7.已知随机变量ξ服从正态分布2(2)N σ，，(4)0.84P ξ=≤，则(0)P ξ=≤（ A ）A ．0.16B ．0.32C ．0.68D ，0.848.设随机变量ξ服从正态分布(2,9)N ,若(1)(1)P c P c ξξ>+=<-,则c = ( B )A.1B.2C.3D.49.已知随机变量ζ服从正态分布N (3,a 2),则P (3)ζ<＝（ D ）(A)15(B)14(C)13(D)1210.若φ(3)=0.9987，则标准正态总体在区间(－3，3)内取值的概率为 (B) A ．0.9987 B ．0.9974 C ．0.944 D ． 0.8413 11、设随机变量服从正态分布N(0,1),p(ξ＞1)＝P ，则P(－1＜ξ＜1)＝（ C ） A ．12PB ．1－PC ．1－2PD ．12－P12.（07湖南卷,5）设随机变量ξ服从标准正态分布()0,1N。
6.5 正态分布 练习题— 高二上学期北师大版(2019)选择性必修第一册
正态分布1.已知随机变量X~N(0,σ2).若P(X>2)=0.023,则P(-2<X≤2)=()A.0.477B.0.628C.0.954D.0.9772.某校有1 000人参加某次模拟考试,其中数学考试成绩近似服从正态分布N(105,σ2)(σ>0),试卷满分150分,统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人,则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为()数的15A.150B.200C.300D.4003.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,则P(0<ξ<2)=()A.0.2B.0.3C.0.4D.0.64.某学校的两个班共有100名学生,一次考试后数学成绩ξ(ξ∈Z)服从正态分布N(100,σ2),已知P(90<ξ≤100)=0.4,估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为()A.20B.10C.7D.55.某校1 000名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布,其正态曲线如图所示,则成绩X位于区间(52,68]的人数大约是()A.997B.954C.683D.3416.已知离散型随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<3)=0.968,则P(1<ξ<3)=.7.一年时间里,某校高一学生经常利用课余时间参加社区志愿者公益活动,据统计,他们参加社区志愿者公益活动时长X(单位:时)近似服从正态分布N(50,σ2),且P(30<X<70)=0.7,该校高一学生中参加社区志愿者公益活动超过30小时的人数有1 275,估计该校高一年级学生人数为.8.已知正态总体的数据落在区间(-3,-1]里的概率和落在区间(3,5]里的概率相等,那么这个正态总体的数学期望为.9.某工厂包装白糖的生产线,正常情况下包装出来的白糖质量服从正态分布N(500,52)(单位:g).(1)求正常情况下,任意抽取一包白糖,质量小于485 g的概率约为多少?(2)该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖,称得其质量均小于485 g,检测员根据抽检结果,判断出该生产线出现异常,要求立即停产检修,检测员的判断是否合理?请说明理由.附:X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.682 6,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.954 4,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.997 4.能力达标10.已知随机变量X~N(6,1),且P(5<X≤7)=a,P(4<X≤8)=b,则P(4<X≤7)=()A.b-a2B.b+a2C.1-b2D.1-a211.已知某随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),且P(0<ξ≤1)=0.3,则P(ξ<2)=()A.0.8B.0.75C.0.7D.0.612.已知某市高三一次模拟考试数学成绩X~N(90,σ2),且P(70<X<110)=0.8,则从该市任取3名高三学生,恰有1名学生成绩不低于110分的概率是()A.0.2B.0.1C.0.243D.0.02713.(多选题)若随机变量ξ~N(0,1),Φ(x)=P(ξ≤x),下列等式成立的有()A.Φ(-x)=1-Φ(x)B.Φ(2x)=2Φ(x)C.P(|ξ|<x)=2Φ(x)-1D.P(|ξ|>x)=2-Φ(x)14.某镇农民年平均收入服从μ=5 000元,σ=200元的正态分布,则该镇农民年平均收入在5 000~5 200元间人数的百分比约为.15.为了解高三复习备考情况,某校组织了一次阶段考试.高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布N(100,17.52).已知成绩在117.5分以上的学生有80人,则此次参加考试的学生成绩不超过82.5分的概率为;如果成绩大于135分的为特别优秀,那么本次考试数学成绩特别优秀的大约有人.(若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)≈68.3%,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈95.4%)16.某公司生产某种产品,一条流水线年产量为10 000件,该生产线分为两段,流水线第一段生产的半成品的质量指标会影响第二段生产成品的等级,具体见下表:第一段生产的半x≤74或x>8674<x≤78或82<x≤8678<x≤82从第一段生产的半成品中抽样调查了100件,得到频率分布直方图如图:若生产一件一等品、二等品、三等品的利润分别是100元、60元、-100元.(1)以各组的中间值估计为该组半成品的质量指标,估算流水线第一段生产的半成品质量指标的平均值;(2)将频率估计为概率,试估算一条流水线一年能为该公司创造的利润;(3)现在市面上有一种设备可以安装到流水线第一段,价格是20万元,使用寿命是1年,安装这种设备后,流水线第一段半成品的质量指标服从正态分布N(80,22),且不影响产量.请你帮该公司做出决策,决定是否要购买该设备.说明理由.(参考数据:P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.682 6,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.954 4,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.997 4) 17.某高校为了解全校学生的阅读情况,随机调查了200名学生每周阅读时间X(单位:小时)并绘制如图所示的频率分布直方图.(1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中间值代表);(2)由直方图可以认为,目前该校学生每周的阅读时间X服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数x,σ2近似为样本方差s2.①一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算:若X~N(μ,σ2),令Y=X-μσ,则Y~N(0,1),且P(X≤a)=P Y≤a-μσ.利用直方图得到的正态分布,求P(X≤10).②从该高校的学生中随机抽取20名,记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数,求P(Z≥2)(结果精确到0.000 1)以及Z的数学期望.参考数据:√178≈403,0.773 419≈0.007 6.若Y~N(0,1),则P(Y≤0.75)=0.773 4.1.已知随机变量X~N(0,σ2).若P(X>2)=0.023,则P(-2<X≤2)=()A.0.477B.0.628C.0.954D.0.977答案C解析因为随机变量X~N(0,σ2),所以正态曲线关于直线x=0对称.又P(X>2)=0.023,所以P(X≤-2)=0.023,所以P(-2<X≤2)=1-P(X>2)-P(X≤-2)=1-2×0.023=0.954.2.某校有1 000人参加某次模拟考试,其中数学考试成绩近似服从正态分布N(105,σ2)(σ>0),试卷满分150分,统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的15,则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为()A.150B.200C.300D.400答案C解析因为P(X<90)=P(X>120)=15,P(90≤X≤120)=1-25=35,所以P(90≤X≤105)=3,10=300.所以此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为1 000×3103.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,则P(0<ξ<2)=()A.0.2B.0.3C.0.4D.0.6答案B解析因为随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),μ=2,即对称轴是x=2,P(ξ<4)=0.8,所以P(ξ≥4)=P(ξ≤0)=0.2,所以P(0<ξ<4)=0.6,所以P(0<ξ<2)=0.3.4.某学校的两个班共有100名学生,一次考试后数学成绩ξ(ξ∈Z)服从正态分布N(100,σ2),已知P(90<ξ≤100)=0.4,估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为() A.20 B.10 C.7 D.5答案B解析由考试成绩服从正态分布(100,σ2),且P(90<ξ≤100)=0.4,得P(ξ>110)=1-2P(90<ξ≤100)=0.1,所以估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为20.1×100=10.5.某校1 000名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布,其正态曲线如图所示,则成绩X位于区间(52,68]的人数大约是()A.997B.954C.683D.341答案C解析由题图知X~N(μ,σ2),其中μ=60,σ=8,所以P(μ-σ<X≤μ+σ)=P(52<X≤68)≈0.682 6.所以人数大约为0.682 6×1 000≈683.6.已知离散型随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<3)=0.968,则P(1<ξ<3)=.答案0.936解析因为随机变量X服从正态分布N(2,σ2),所以μ=2,得对称轴是x=2.因为P(ξ<3)=0.968,所以P(2<ξ<3)=P(ξ<3)-0.5=0.468,所以P(1<ξ<3)=0.468×2=0.936.7.一年时间里,某校高一学生经常利用课余时间参加社区志愿者公益活动,据统计,他们参加社区志愿者公益活动时长X(单位:时)近似服从正态分布N(50,σ2),且P(30<X<70)=0.7,该校高一学生中参加社区志愿者公益活动超过30小时的人数有1 275,估计该校高一年级学生人数为.答案1 500×(1-0.7)=0.15,解析由P(30<X<70)=0.7,得P(X≤30)=12所以P(X>30)=1-0.15=0.85.所以估计该校高一年级学生人数为1 275÷0.85=1 500.8.已知正态总体的数据落在区间(-3,-1]里的概率和落在区间(3,5]里的概率相等,那么这个正态总体的数学期望为.答案1解析正态总体的数据落在这两个区间的概率相等说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等,另外,因为区间(-3,-1]和区间(3,5]的长度相等,说明正态曲线在这两个区间上是对称的,我们需要找出对称轴.由于正态曲线关于直线x=μ对称,μ的意义是数学期望,因为区间(-3,-1]和区间(3,5]关于x=1对称(-1的对称点是3,-3的对称点是5),所以数学期望为1.9.某工厂包装白糖的生产线,正常情况下包装出来的白糖质量服从正态分布N(500,52)(单位:g).(1)求正常情况下,任意抽取一包白糖,质量小于485 g的概率约为多少?(2)该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖,称得其质量均小于485 g,检测员根据抽检结果,判断出该生产线出现异常,要求立即停产检修,检测员的判断是否合理?请说明理由.附:X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.682 6,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.954 4,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.997 4.解(1)设正常情况下,该生产线上包装出来的白糖质量为X g,由题意可知X~N(500,52).[1-P(500-由于485=500-3×5,所以根据正态分布的对称性与“3σ原则”可知P(X<485)=12×0.002 6=0.001 3.3×5<X≤500+3×5)]≈12(2)检测员的判断是合理的.因为如果生产线不出现异常的话,由(1)可知,随机抽取两包检查,质量都小于485 g的概率约为0.001 3×0.001 3=0.000 001 69=1.69×10-6,几乎为零,但这样的事件竟然发生了,所以有理由认为生产线出现异常,检测员的判断是合理的.能力达标10.已知随机变量X~N(6,1),且P(5<X≤7)=a,P(4<X≤8)=b,则P(4<X≤7)=()A.b-a2B.b+a2C.1-b2D.1-a2答案B解析由于P(4<X≤7)=P(4<X≤5)+P(5<X≤7)=b-a2+a=b+a2.11.已知某随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),且P(0<ξ≤1)=0.3,则P(ξ<2)=()A.0.8B.0.75C.0.7D.0.6答案A解析因为ξ~N(1,σ2),且P(0<ξ≤1)=0.3,所以P(ξ≥2)=P(ξ≤0)=P(ξ<1)-P(0<ξ≤1)=0.5-0.3=0.2.所以P(ξ<2)=1-P(ξ≥2)=1-0.2=0.8.12.已知某市高三一次模拟考试数学成绩X~N(90,σ2),且P(70<X<110)=0.8,则从该市任取3名高三学生,恰有1名学生成绩不低于110分的概率是()A.0.2B.0.1C.0.243D.0.027答案C解析由X~N(90,σ2),且P(70<X<110)=0.8,可知成绩不低于110分的概率是0.1,则3名高三学生,恰有1名学生成绩不低于110分的概率是P=C31(0.1)(0.9)2=0.243.13.(多选题)若随机变量ξ~N(0,1),Φ(x)=P(ξ≤x),下列等式成立的有()A.Φ(-x)=1-Φ(x)B.Φ(2x)=2Φ(x)C.P(|ξ|<x)=2Φ(x)-1D.P(|ξ|>x)=2-Φ(x)答案AC解析因为随机变量ξ服从标准正态分布N(0,1),所以正态曲线关于直线x=0对称,因为Φ(x)=P(ξ≤x),根据曲线的对称性可得:Φ(-x)=P(ξ≥x)=1-Φ(x),所以A正确;Φ(2x)=P(ξ≤2x),2Φ(x)=2P(ξ≤x),所以Φ(2x)≠2Φ(x),所以B错误;P(|ξ|<x)=P(-x<ξ<x)=1-2Φ(-x)=1-2[1-Φ(x)]=2Φ(x)-1,所以C正确;P(|ξ|>x)=P(ξ>x或ξ<-x)=1-Φ(x)+Φ(-x)=1-Φ(x)+1-Φ(x)=2-2Φ(x),所以D错误.14.某镇农民年平均收入服从μ=5 000元,σ=200元的正态分布,则该镇农民年平均收入在5 000~5 200元间人数的百分比约为.答案34.13%解析设X表示此镇农民的年平均收入,则X~N(5 000,2002).由P(5 000-200<X≤5 000+200)≈0.682 6,=0.341 3=34.13%,得P(5 000<X≤5 200)≈0.68262故此镇农民年平均收入在5 000~5 200元间的人数的百分比约为34.13%.15.为了解高三复习备考情况,某校组织了一次阶段考试.高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布N(100,17.52).已知成绩在117.5分以上的学生有80人,则此次参加考试的学生成绩不超过82.5分的概率为;如果成绩大于135分的为特别优秀,那么本次考试数学成绩特别优秀的大约有人.(若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)≈68.3%,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈95.4%)答案0.158 711解析P(X≤82.5)=P(X≤μ-σ)≈0.158 7,=1-P(μ-σ<X≤μ+σ)2P(X>117.5)=P(X>μ+σ)≈0.158 7,=1-P(μ-σ<X≤μ+σ)2∵成绩在117.5分以上的学生有80人,≈504(人),∴高三考生总人数约为800.1585P(X>135)=P(X>μ+2σ)=1-P(μ-2σ<X≤μ+2σ)2≈0.022 8,本次考试数学成绩特别优秀的大约有504×0.022 8≈11(人).16.某公司生产某种产品,一条流水线年产量为10 000件,该生产线分为两段,流水线第一段生产的半成品的质量指标会影响第二段生产成品的等级,具体见下表:100件,得到频率分布直方图如图:从第一段生产的半成品中抽样调查了(1)以各组的中间值估计为该组半成品的质量指标,估算流水线第一段生产的半成品质量指标的平均值;(2)将频率估计为概率,试估算一条流水线一年能为该公司创造的利润;(3)现在市面上有一种设备可以安装到流水线第一段,价格是20万元,使用寿命是1年,安装这种设备后,流水线第一段半成品的质量指标服从正态分布N(80,22),且不影响产量.请你帮该公司做出决策,决定是否要购买该设备.说明理由.(参考数据:P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.682 6,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.954 4,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.997 4) 解(1)平均值为72×0.1+76×0.25+80×0.3+84×0.2+88×0.15=80.2.(2)由频率分布直方图知,第一段生产的半成品质量指标P(X≤74或X>86)=0.25,P(74<X≤78或82<X≤86)=0.45,P(78<X≤82)=0.3,设生产一件产品的利润为X元,则P(X=100)=0.2×0.25+0.4×0.45+0.6×0.3=0.41,P(X=60)=0.3×0.25+0.3×0.45+0.3×0.3=0.3,P(X=-100)=0.5×0.25+0.3×0.45+0.1×0.3=0.29,所以生产一件成品的平均利润是100×0.41+60×0.3-100×0.29=30(元),所以一条流水线一年能为该公司带来利润的估计值是30万元.(3)需购买该设备.因为μ-3σ=74,μ-σ=78,μ+σ=82,μ+3σ=86,设引入该设备后生产一件成品利润为Y元,则P(Y=100)=0.002 6×0.2+0.314 8×0.4+0.682 6×0.6=0.536,P(Y=60)=0.002 6×0.3+0.314 8×0.3+0.682 6×0.3=0.3,P(Y=-100)=0.002 6×0.5+0.314 8×0.3+0.682 6×0.1=0.164,所以引入该设备后生产一件成品平均利润为100×0.536+60×0.3-100×0.164=55.2(元), 所以引入该设备后一条流水线一年能为该公司带来利润的估计值是55.2万元,增加收入55.2-30-20=5.2(万元),综上,应该购买该设备.17.某高校为了解全校学生的阅读情况,随机调查了200名学生每周阅读时间X(单位:小时)并绘制如图所示的频率分布直方图.(1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中间值代表);(2)由直方图可以认为,目前该校学生每周的阅读时间X服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数x,σ2近似为样本方差s2.①一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算:若X~N(μ,σ2),令Y=X-μσ,则Y~N(0,1),且P(X≤a)=P Y≤a-μσ.利用直方图得到的正态分布,求P(X≤10).②从该高校的学生中随机抽取20名,记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数,求P(Z≥2)(结果精确到0.000 1)以及Z的数学期望.参考数据:√178≈403,0.773 419≈0.007 6.若Y~N(0,1),则P(Y≤0.75)=0.773 4.解(1)x=6×0.03+7×0.1+8×0.2+9×0.35+10×0.19+11×0.09+12×0.04=9,s2=(6-9)2×0.03+(7-9)2×0.1+(8-9)2×0.2+(9-9)2×0.35+(10-9)2×0.19+(11-9)2×0.09+(12-9)2×0.04=1.78.(2)①由(1)知μ=9,σ2=1.78,∴X~N(9,1.78),σ=√1.78=√17810≈43.∴P(X≤10)=P(Y≤0.75)=0.773 4.②由①知P(X>10)=1-P(X≤10)=0.226 6,可得Z~B(20,0.226 6),P(Z≥2)=1-P(Z=0)-P(Z=1)=1-0.773 420-C201×0.226 6×0.773 419=1-(0.773 4+20×0.226 6)×0.773 419≈0.959 7.∴Z的数学期望EZ=20×0.226 6=4.532.11。
高中数学 基础知识篇 2.6正态分布+同步练测同步练测 北师大版选修23
§6 正态分布同步练测建议用时 实际用时满分 实际得分45分钟100分一、选择题(本题共3小题，每小题10分，共30分)1．设两个正态分布N (μ1，σ21)(σ1>0)和N (μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图像如图所示，则有( )A ．μ1μ2，σ1σ2B ．μ1μ2，σ1σ2C ．μ1μ2，σ1σ2D ．μ1μ2，σ1σ22．设随机变量ξ服从标准正态分布N (0,1)，已知Φ(－1.96)＝0.025，则P (|ξ| 1.96)等于( )A ．0.025B ．0.050C ．0.950D ．0.9753．如果随机变量ξ～N (μ，σ2)，且Eξ＝3，Dξ＝1，则P (－1ξ≤1)等于( ) A ．2Φ(1)－1 B ．Φ(4)－Φ(2) C ．Φ(2)－Φ(4) D ．Φ(－4)－Φ(－2)二、填空题(本题共2小题，每小题10分，共20分)4.若随机变量X ～N (μ，σ2)，则P (X ≤μ)＝________.5．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ＞0)，若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为________． 三、解答题（本题共3小题，共50分）6.(本小题满分16分)已知：从某批材料中任取一件时，取得的这件材料强度 服从).18,200(2N （1）计算取得的这件材料的强度不低于180的概率．（2）如果所用的材料要求以99％的概率保证强度不低于150，问这批材料是否符合这个要求． 7. (本小题满分16分)某城市从南郊某地乘公共汽车前往北区火车站有两条路线可走，第一条路线穿过市区，路线较短，但交通拥挤，所需时间(单位为：min)服从正态分布N (50,102)；第二条路线沿环城公路走， 路程较长，但交通阻塞少，所需时间服从正态分布 N (60,42)．(1)若只有70 min 可用，问应走哪条路线？(2)若只有65 min可用，又应走哪条路线？8.(本小题满分18分)某班有48名同学，一次考试后数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，问从理论上讲在80分到90分之间有多少人？§6 正态分布同步练测答题纸得分：_________一、选择题题号 1 2 3答案二、填空题4.__________5.三、解答题6.7.8§6 正态分布同步练测答案一、选择题1．A 解析:根据正态分布的密度函数f (x )＝22)21e 2x μσσ--（π的图像关于直线x ＝μ对称，而σ2＝Dξ，其大小表示变量集中程度，值越大，数据分布越广，图像越胖；值越小，数据分布越集中，图像越廋，因此选A.2．C 解析:Φ(－1.96)＝1－Φ(1.96)＝0.025，∴ Φ(1.96)＝0.975， P (|ξ| 1.96)＝Φ(1.96)－Φ(－1.96)＝0.975－0.025＝0.95.3．B 解析:对正态分布，μ＝Eξ＝3，σ2＝Dξ＝1，故P (－1ξ≤1)＝Φ(1－3)－Φ(－1－3) ＝Φ(－2)－Φ(－4)＝Φ(4)－Φ(2)． 二、填空题 4.12 解析：∵ X ～N (μ，σ2)，∴ 由正态分布图像可知对称轴x ＝μ，∴ P (X ≤μ)＝12. 5．0.8 解析：依题意，如图，正态分布曲线的对称轴为μ＝1，又ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，根据对称性ξ在(0,2)内取值的概率为0.8.三、解答题6.解：（1）()()()18020018011801111118P ξP ξΦΦ.-⎛⎫=-<=-=-- ⎪⎝⎭≥ ()()1111111108665;Φ.Φ..=--==⎡⎤⎣⎦（2）可以先求出：这批材料中任取一件时强度都不低于150的概率为多少，拿这个结果与99％进行比较，从而得出结论．()()()()()1502001501150112781127827809973;18P ξP ξΦΦ.Φ.Φ..-⎛⎫=-<=-=--=--==⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭≥ 即从这批材料中任取一件时，强度保证不低于150的概率为99.73％＞99％，所以这批材料符合所提要求．7.解：设ξ为行车时间．(1)走第一条路线，及时赶到火车站的概率为P (0＜ξ≤70)＝Φ⎝ ⎛⎭⎪⎫70－5010－Φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0－5010≈Φ⎝ ⎛⎭⎪⎫70－5010＝Φ(2)＝0.977 2；走第二条路线及时赶到火车站的概率为P (0＜ξ≤70)≈Φ⎝ ⎛⎭⎪⎫70－604＝Φ(2.5)＝0.993 8.因此在这种情况下应走第二条路线． (2)走第一条路线及时赶到的概率为P (0＜ξ≤65)≈Φ⎝ ⎛⎭⎪⎫65－5010＝Φ(1.5)＝0.933 2；走第二条路线及时赶到的概率为P (0＜ξ≤65)≈Φ⎝ ⎛⎭⎪⎫65－604＝Φ(1.25)＝0.894 4.因此在这种情况下应走第一条路线．8.解：设x 表示这个班的数学成绩，则x 服从N (80,102)，设z ＝x －8010，则z 服从标准正态分布N (0,1)，查标准正态分布表，得Φ(1)＝0.841 3，Φ(0)＝0.500 0.∴ (80x 90)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫80－8010<x －8010<90－8010＝(0z 1)＝Φ(1)－Φ(0) ＝0.841 3－0.500 0＝0.341 3. ∴ 48×0.341 3＝16.382 4≈16.∴ 从理论上讲从80分到90分之间有16人.。
高中数学北师大版 5 正态分布 课后练习、课时练习
一、单选题1. 在某项测量中，测量结果服从正态分布，若，则（）A．0.14 B．0.16C．0.28 D．0.322. 设随机变量服从正态分布，则下列结论正确的是（）①；②；③；④．A．①②B．②③C．①④D．②④3. 某杂交水稻种植研究所调查某水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态分布，其概率分布密度函数为，，若，则（）A．B．C．D．4. 已知随机变量服从正态分布，若，则（）A．B．C．1 D．45. 设某车间的类零件的质量(单位：kg)服从正态分布，且. 下列选项中错误的是（）A．若从A类零件随机选取2个，则这2个零件的质量都大于10kg的概率为0.25 B．若从A类零件随机选取3个，则这3个零件的质量恰有1个小于9.9kg的概率为0.4C．若从A类零件随机选取100个，则零件质量在9.9kg∼10.1kg的个数的期望为60D．若从A类零件随机选取100个，则零件质量在9.9kg∼10.1kg的个数的方差为246. 已知随机变量服从正态分布，且，则（）A．0.84 B．0.66 C．0.34 D．0.16二、多选题7. 下列判断正确的是（）A．若随机变量服从正态分布，，则B．同时抛掷3枚质地均匀的硬币，已知这三枚硬币中有一枚正面向上，则至少有一枚反面向上的概率为C．若随机变量，则D．设，随机变量的分布列是0 1 2P则当p在内增大时，先减小后增大8. 下列说法正确的是（）A．随机变量服从两点分布，若，则B．随机变量，若，则C．随机变量服从正态分布，且，则D．随机变量服从正态分布，且，则随机变量服从正态分布三、填空题9. 已知随机变量服从正态分布，若，则__________.10. 已知随机变量且，则＝________．11. 已知随机变量服从正态分布，且，则_______________．12. 已知随机变量服从正态分布，若，则______．四、解答题13. 某金属元件的抗拉强度服从正态分布，均值为，标准差是.测量记录精确到.(1)求抗拉强度超过的元件的比例；(2)如果要求所有元件的规格是的抗拉强度，那么被报废的元件的比例是多少？14. 为普及传染病防治知识，增强市民的疾病防范意识，提高自身保护能力，某市举办传染病防治知识有奖竞赛．现从该市所有参赛者中随机抽取了100名参赛者的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如表所示的频率分布表．竞赛成绩人数 6 10 18 33 16 11 6(1)求这100名参赛者的竞赛成绩的样本均值和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)若该市所有参赛者的成绩X近似地服从正态分布，用样本估计总体，近似为样本均值，近似为样本方差，利用所得正态分布模型解决以下问题：（参考数据：）①如果按照的比例将参赛者的竞赛成绩划分为参与奖、二等奖、一等奖、特等奖四个等级，试确定各等级的分数线（精确到整数）；②若该市共有10000名市民参加了竞赛，试估计参赛者中获得特等奖的人数（结果四舍五入到整数）．附：若随机变量X服从正态分布，则，．15. 已知随机变量，其正态曲线在（－∞，80）上单调递增，在（80，+∞）上单调递减，且．(1)求参数μ，的值；(2)求．16. 近些年天然气使用逐渐普及，为了百姓能够安全用气，国务院办公厅2022年6月印发《城市燃气管道等老化更新改造实施方案（2022－2025年）》，为了更具有针对性，某市在实施管道老化更新的过程中，从本市某社区500个家庭中随机抽取了个家庭燃气使用情况进行调查，统计这个家庭燃气使用量（单位：m3），得到如下频数分布表（第一行是燃气使用量，第二行是频数），并将这一个月燃气使用量超过22 m3的家庭定为“超标”家庭．8 14 16 30 16 12 4(1)估计该社区这一个月燃气使用量的平均值；(2)若该社区这一个月燃气使用量大致服从正态分布，其中近似为个样本家庭的平均值（精确到m3），估计该社区中“超标”家庭的户数；(3)根据原始样本数据，在抽取的个家庭中，这一个月共有个“超标”家庭，市政府决定从这8个“超标”家庭中任选个跟踪调查其使用情况．设这一个月燃气使用量不小于m3的家庭个数为，求的分布列和数学期望．附：若服从正态分布，则，，.。
北师大版高中数学选修2-3正态分布同步练习.docx
正态分布 同步练习【选择题】 1、若随机变 ，且则等于（ ） A ．B ．C ．D ．2、设随机变量 的概率密度函数为：，则那么 等于（ ）A ．B ．C ．D ．3、已知，那么下面哪个变量服从标准正态分布？（ ）A ．ξB ．μξ-C ．σμξ+ D ．σμξ-【填空题】4、若随机变量，且，则＝_________．5、设，求 = ____________.6、设，求= ____________.7、设，求= ____________.【解答题】8、若x～N（0，1），试求：(1) P（x>-1.77）；（2）P（x>2.89）；（3）P（|x|<2）9、设x～N（1.5，4），求：（1）P{x<3.5}；（2）P{x<-4}；（3）P{x>2}；（4）P{|x|<3}10、设x～N（μ，σ2），求P{|x-μ|<kσ}，其中k=1，2，311、设x～N（μ，σ2），则k分别取什么值时，P（x≥μ-kσ）=0.9505，0.8508，0.998612、某地区的月降水量（单位：㎝）服从正态分布，试求该地区连续10个月降水量都不起过50㎝的概率．13、某中学高考数学成绩近似地服从正态分布 ，求此校数学成绩在120分以上的考生占总人数的百分比．参考答案1、B2、B3、D 1、解答：因为如果，那么σμξ-)1,0(~N ，（在本题中，)1,3(~N ξ ）所以313-=-=ξξη)1,0(~N ，从而=)234(-≤-<-ξP=)24(-≤<-ηP =)42(<≤ηP =)2()4(Φ-Φ. 4、7.564 5、0.9861 6、0.0392 7、0.8788 5、解：6、解：（2）)76.1(1)76.1(≤-=>ξξP P7、解：（4）.8788.019394.021)55.1(2)]55.1(1[)55.1()55.1()55.1(=-⨯=-Φ=Φ--Φ=-Φ-Φ= 8、（1）0.9616；（2）0.0019；（3）0.95449、（1）0.8413；（2）0.003；（3）0.4013；（4）0.5467解：P{x<3.5}=F(3.5)= __φ(1)=0.8413 P{x<-4}=F(-4)= __φ(-2.75)=1-__φ(2.75)=0.003 P{x>2}=1-P{x≤2}=1-F(2)=1-__φ（0.25）=1-0.5987=0.4013 P{|x|<3}=F(3)-F(-3)= __φ(0.75)+ __φ(0.75)-1=0.5467 10、P{|x-μ|<k σ}=P{μ-k σ<x<μ+k σ}=__φ(k)- __φ(-k)=2__φ(k)-1 当k=1时，P{|x-μ|<1σ}=2__φ(1)-1=0.6827 当k=2时，P{|x-μ|<2σ}=2__φ(2)-1=0.9545 当k=3时，P{|x-μ|<3σ}=2__φ(3)-1=0.9973 11、P （x≥μ-k σ）=1-P(x<μ-k σ)=1-__φ)k (σμ-σ-μ=1-__φ(-k)=1-[1-__φ(k)]=__φ(k) 当__φ(k)=0.9505，0.8508，0.9986时，反查表得k=1.650 , 1.040, 2.989 12、9938.0)5.2()44050()50(==-=<P P P ξ，所以．即该地区连续10个月降水量都不超过50㎝的概率为．13、设 表示学生高考数学成绩，根据题意知要求的值．因为，，所以，，故数学成绩在120分以上的考生占总人数的2.28％．。
北师大版数学高二-选修2试题 2.6正态分布
2.6正态分布同步练习【选择题】1、若随机变，且则等于（）A．B．C．D．2、设随机变量的概率密度函数为：，则那么等于（）A．B．C．D．3、已知，那么下面哪个变量服从标准正态分布？（）A．ξB．μξ-C．σμξ+D．σμξ-【填空题】4、若随机变量，且，则＝_________．5、设，求= ____________.6、设，求= ____________.7、设，求= ____________.【解答题】8、若x～N（0，1），试求：(1) P（x>-1.77）；（2）P（x>2.89）；（3）P（|x|<2）9、设x～N（1.5，4），求：（1）P{x<3.5}；（2）P{x<-4}；（3）P{x>2}；（4）P{|x|<3}10、设x～N（μ，σ2），求P{|x-μ|<kσ}，其中k=1，2，311、设x～N（μ，σ2），则k分别取什么值时，P（x≥μ-kσ）=0.9505，0.8508，0.998612、某地区的月降水量（单位：㎝）服从正态分布，试求该地区连续10个月降水量都不起过50㎝的概率．13、某中学高考数学成绩近似地服从正态分布，求此校数学成绩在120分以上的考生占总人数的百分比．参考答案1、B2、B3、D1、解答：因为如果，那么σμξ-)1,0(~N ，（在本题中，)1,3(~N ξ ） 所以313-=-=ξξη)1,0(~N ，从而=)234(-≤-<-ξP=)24(-≤<-ηP =)42(<≤ηP =)2()4(Φ-Φ. 4、7.564 5、0.9861 6、0.0392 7、0.8788 5、解：6、解：（2）)76.1(1)76.1(≤-=>ξξP P7、解：（4）.8788.019394.021)55.1(2)]55.1(1[)55.1()55.1()55.1(=-⨯=-Φ=Φ--Φ=-Φ-Φ=8、（1）0.9616；（2）0.0019；（3）0.95449、（1）0.8413；（2）0.003；（3）0.4013；（4）0.5467 解：P{x<3.5}=F(3.5)=__φ(1)=0.8413P{x<-4}=F(-4)=__φ(-2.75)=1-__φ(2.75)=0.003P{x>2}=1-P{x≤2}=1-F(2)=1-__φ（0.25）=1-0.5987=0.4013P{|x|<3}=F(3)-F(-3)=__φ(0.75)+__φ(0.75)-1=0.546710、P{|x-μ|<k σ}=P{μ-k σ<x<μ+k σ}=__φ(k)-__φ(-k)=2__φ(k)-1当k=1时，P{|x-μ|<1σ}=2__φ(1)-1=0.6827当k=2时，P{|x-μ|<2σ}=2__φ(2)-1=0.9545当k=3时，P{|x-μ|<3σ}=2__φ(3)-1=0.997311、P （x≥μ-k σ）=1-P(x<μ-k σ)=1-__φ)k (σμ-σ-μ=1-__φ(-k)=1-=__φ(k) 当__φ(k)=0.9505，0.8508，0.9986时，反查表得k=1.650 , 1.040, 2.98912、9938.0)5.2()44050()50(==-=<P P P ξ， 所以．即该地区连续10个月降水量都不超过50㎝的概率为．13、设 表示学生高考数学成绩，根据题意知要求的值．因为， ，所以，，故数学成绩在120分以上的考生占总人数的2.28％．。
北师大版数学高二选修2试题 2.6正态分布
课后巩固作业（十六）(30分钟50分)一、选择题(每小题4分，共16分)1.已知随机变量ξ服从正态分布N(4,σ2),则P(ξ>4)=( )(A)15(B)14(C)13(D)122.已知X～N(0，σ2),且P(-2≤X≤0)=0.4,则P(X＞2)等于( )(A)0.1 (B)0.2 (C)0.3 (D)0.43.正态总体N(0,1)在区间(-2，-1)和(1，2)上取值的概率为P1，P2，则二者大小关系为( )(A)P1＞P2(B)P1＜P2(C)P1=P2(D)不确定4.已知随机变量ξ服从正态分布N(0,σ2)，若P(ξ>2)=0.023，则P(-2≤ξ≤2)=( )(A)0.477 (B)0.628 (C)0.954 (D)0.977二、填空题(每小题4分，共8分)5.高二年级某班共有60名学生，在一次考试中，其数学成绩满足正态分布，数学平均分为100分，若P(X<80)=0.1(X表示本班学生数学分数),求分数在［100,120］的人数为_______.6.已知琼海市高二年级的学生共3 000人，在某次教学质量检测中的数学成绩服从正态分布，其密度函数曲线如图，从而可估计出这次检测中全市高二年级数学分数在70～80之间的人数为_______人.三、解答题(每小题8分，共16分)7.在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N(90, 100).(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110)内的概率是多少；(2)若参加这次考试的共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100)内的考生大约有多少人.8.设X～N(1,4)试求(1)P(-1＜X≤3);(2)P(3＜X≤5).【挑战能力】(10分)已知随机变量X～N(μ,σ2),且其正态曲线在(-∞,80)上是增函数，在(80，+∞)上为减函数，且P(72＜X＜88)=0.683.求(1)参数μ,σ的值；(2)P(64<X≤72).答案解析1.【解析】选D.由正态分布图像可知，μ=4是该图像的对称轴，∴P (ξ＜4)=P(ξ＞4)=1 2 .2.【解析】选A.∵X～N(0，σ2),∴μ=0,又P(-2≤X≤0)=0.4.∴P(X＞2)=12(1-0.4×2)=0.1.3.【解析】选C.根据正态曲线的特点，图像关于x=0对称，可得在区间(-2,-1)和(1,2)上取值的概率P1、P2相等.4.【解析】选C.因为随机变量ξ服从正态分布N(0,σ2)，所以正态曲线关于直线x=0对称，又P(ξ>2)=0.023，所以P(ξ<-2)=0.023,所以P(-2≤ξ≤2)=1-P(ξ>2)-P(ξ<-2)=1-2×0.023=0.954.5.独具【解题提示】先求P(100≤X≤120),再求分数在［100,120］的人数.【解析】∵X～N(100,σ2)∴P(100≤X≤120)=12P(80≤X≤120)=12［1-2P(X<80)］=12(1-0.2)=0.4.60×0.4=24(人).答案:24独具【方法技巧】利用正态分布解答实际问题正态分布是自然界中最常见的一种分布，许多现象都近似地服从正态分布.利用正态分布求解实际问题时，首先把实际问题正态分布模型化，在此基础上充分利用数据在(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ)及(μ-3σ,μ+3σ)三类区间内的概率，求解相关问题.6.独具【解题提示】先求出分数在70～80的比例，然后求人数.【解析】由图像知学生分数X～N(60，102)，∴P(60-2×10＜X＜60+2×10)=P(40＜X＜80)=0.954，P(60-10＜X＜60+10)=P(50＜X＜70)=0.683，P(70＜X＜80)=12［P(40＜X＜80)-P(50＜X＜70)］=12×0.271=0.135 5，∴分数在70～80的人数为3 000×0.135 5≈407(人).答案：4077.独具【解题提示】利用正态曲线图像的对称性先求概率，然后求人数.【解析】因为ξ～N(90,100)，所以μ=90,σ==10.(1)由于正态变量在区间(μ-2σ,μ+2σ)内取值的概率是0.954，而在该正态分布中，μ-2σ=90-2×10=70,μ+2σ=90+2×10=110,于是考试成绩ξ位于区间(70,110)内的概率就是0.954.(2)由μ=90，σ=10，得μ-σ=80,μ+σ=100.由于正态变量在区间(μ-σ,μ+σ)内取值的概率是0.683，所以考试成绩ξ位于区间(80,100)内的概率是0.683.一共有2 000名考生，所以考试成绩在(80,100)内的考生大约有2 000×0.683≈1 366(人).8.独具【解题提示】利用图像对称性结合3σ原则求解.【解析】∵X～N(1,4)，∴μ=1,σ=2.(1)P(-1＜X≤3) =P(1-2＜X≤1+2)=P(μ-σ＜X≤μ+σ)=0.683.(2)∵P(3＜X≤5)=P(-3＜X≤-1)∴P(3＜X≤5)=12［P(-3＜X≤5)-P(-1＜X≤3)］=12［P(1-4＜X≤1+4)-P(1-2＜X≤1+2)］=12［P(μ-2σ＜X≤μ+2σ)-P(μ-σ＜X≤μ+σ)］=12×(0.954-0.683)=0.1355【挑战能力】【解析】(1)由于正态曲线在(-∞,80)上是增函数，在(80，+∞)上是减函数，所以正态曲线关于直线x=80对称，即参数μ=80.又P(72＜X＜88)=0.683，结合P(μ-σ<X<μ+σ)=0.683，可知σ=8.(2)∵P(μ-2σ<X<μ+2σ)=P(64<X<96)=0.954，又∵P(X≤64)=P(X≥96),∴P(X≤64)=12(1-0.954)=12×0.046=0.023.∴P(X＞64)=0.977.又P(X≤72)=12［1-P(72＜X＜88)］=12(1-0.683)=0.158 5，P(64<X≤72)=P(X>64)-P(X>72) =0.977-(1-0.158 5)=0.135 5.。
高二数学北师大版选修2-3同步课时作业2.6正态分布(有答案)
高二数学北师大版选修2-3同步课时作业2.6正态分布一、选择题1.设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X 且()28000~,5N X .记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为0p .则0p 的值约为( )（参考数据：若()2~,X N μσ，有()0.683P X μσμσ-<≤+≈，()220.954P X μσμσ-<≤+≈， ()330.997P X μσμσ-<≤+≈） A.0.972 5B.0.683C.0.977D.0.9542.已知某射击运动员每次击中目标的概率是0.8，则该射击运动员射击4次至少击中3次的概率大约为( ) A.0.85B.0.819 2C.0.86D.0.753.某工厂生产的零件外直径(单位：cm )服从正态分布()210,0.2N ，今从该厂上午、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.45cm 和9.35cm ，则可认为( ) A.上午生产情况异常，下午生产情况正常 B.上午生产情况正常，下午生产情况异常 C.上午、下午生产情况均正常 D.上午、下午生产情况均异常4.某校有1 000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布2(105,)(0)N σσ>，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的15，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为( ) A.150B. 200C.300D.4005.随机变量 ξ服从正态分布()21,2,(2)0.3N P ξ=，则()01P ξ<<=( ) A.0.7B.0.4C.0.2D.0.156.已知随机变量X 服从正态分布(),4N a ，且()10.5P x >=，则实数a 的值为( ) A.1C.2D.47.已知随机变量ξ服从正态分布()21,N σ,若(4)0.9P ξ<=,则(21)P ξ-<<=( ) A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6 8.设随机变量ξ服从正态分布()4,3N ，若(5)(1)P a P a ξξ<-=>+，则实数a 等于( )A.7B.6C.5D. 4二、填空题9.设随机变量ξ服从正态分布()2,9N ,若()()11P c P c ξξ>+=<-，则c =___________.10.某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为志愿者，若用随机变量X 表示选出的志愿者中女生的人数，则均值()E X =______________.(结果用最简分数表示)11.抽样调查表明，某校高三学生成绩(总分750分)X 近似服从正态分布，平均成绩为500分.已知()4004500.3P X <<=，则550(600)P X <<=______________. 三、解答题12.某公司开发了一种产品,有一项质量指标为“长度”（记为l,单位:cm),先从中随机抽取100件,测量发现全部介于 85 cm 和155 cm 之间，得到如下频数分布表：2(,)N μσ，其中2,x σ近似为样本方差2s (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表). (1)求(132.2144.4)P l <<(2)公司规定:当115l ≥时,产品为正品:当115l <时,产品为次品,公司每生产一件这种产品,若是正品,则盈利90元;若是次品,则亏损30元.记ξ为生产一件这种产品的利润,求随机变量ξ的分布列和数学期望.12.2若()2~,X N μσ,则()0.6827P X μσμσ-<≤+≈,(22)0.9545P X μσμσ-<≤+≈,(33)0.9973P X μσμσ-<≤+≈参考答案1.答案：C解析：∵随机变量X 服从正态分布()2800,50N ，()800,50,7009000.954P X μσ∴==∴<≤≈，根据正态曲线的对称性可得()()()()0119008008009007009000.97722p P X P X P X P X =≤=≤+<≤=+<≤=，故选C. 2.答案：B解析：设运动员射击4次，击中目标的次数为X ，则443344(3)C 0.8C 0.80.20.8192P X ≥=+⨯=.3.答案：B解析：由题意，某工厂生产的零件外直径服从正态分布()210,0.2N ，根据3σ原则可得33X μσμσ-<<+，即1030.21030.2X -⨯<<+⨯，即生产的零件外直径在()9,4,10.6内是正常的.又由从该厂上午、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.45cm 和9.35cm ， 所以可认为上午生产情况正常，下午生产情况异常，故选B. 4.答案：C 解析：1233(90)(120),(90120)1,(90105)55510P X P X P X P X <=>==-=∴=.∴此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为3100030010⨯=.故选C. 5.答案：C解析：由题意，随机变量 ξ服从正态分布()21,2N ， ∴正态曲线的对称轴是直线1x =. 又(2)0.3,(0)0.3P P ξξ=∴=，11(01)(02)[1(0.30.3)]0.222P P ξξ∴<<=<<=⨯-+=，故选 C. 6.答案：A 解析：随机变量X 服从正态分布(,4)N a ，()0.5P X a ∴>=.由(1)0.5P X >=，可知1a =.7.答案：C解析：由题意可知1μ=,正态曲线关于直线1x =对称,(4)1(4)0.1P P ξξ≥=-<=,根据对称性可知,(2)(4)0.1P P ξξ≤-=≥=,故(21)0.5(2)0.50.10.4P P ξξ-<<=-≤-=-=.故选C. 8.答案：B解析：由题意知，正态曲线关于直线4x =对称，∴5142a a -++=，∴6a = 9.答案：2解析：∵()()()2122,31113c N P c P c ξξ+-⎛⎫⇒>+=-≤+=Φ ⎪⎝⎭，()1213c P c ξ--⎛⎫<-=Φ ⎪⎝⎭，∴31311113333c c c c ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫Φ+Φ=⇒-Φ+Φ= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得2c =， 故答案为：2.10.答案：47解析：用随机变量X 表示选出的志愿者中女生的人数，X 的所有可能取值为0,1,2.2115522277C C C 1010(0),(1)C 21C 21P X P X ∴======， 2227C 1(2)C 21P X ===.101014()0122121217E X ∴=⨯+⨯+⨯=. 11.答案：0.3解析：∵某校高三学生成绩（总分750分）X 近似服从正态分布，平均成绩为500分，∴正态曲线的对称轴为直线500x =.(400450)0.3,(550600)(400450)0.3P X P X P X <<=∴<<=<<=.12.答案：(1)抽取产品质量指标值的样本平均数900.021000.091100.221200.331300.241400.081500.02120x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=抽取产品质盈指标值的方差29000.024000.091000.2200.331000.244000.089000.02150s =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=所以~(120,150)l N ,又12.2σ所以1()(120132.2)0.68270.34142P l P l μμσ<≤+=<≤≈⨯≈1(2)(120144.4)0.95450.47732P l P l μμσ<≤+=<≤≈⨯≈所以(132.2144.4)(120144.4)(12132.2)=0.13590P l P l P l <<=<≤-<≤(2) 由频数分布表得(115)0.020.090.220.33P l <=++=,(115) 10.330.67P l ≥=-= 随机变量ξ的取值为90,-30且(90)0.67,(30)0.33P P ξξ===-= 则随机变量ξ的分布列为:。
高中数学北师大版选修2-3同步训练：(11)正态分布
（11）正态分布1、在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C 为正态分布(0,1)N 的密度曲线)的点的个数的估计值为( )附:若()2,X N μσ~,则()0.6826,(22)0.9544P X P X μσμσμσμσ-<≤+=-<≤+=.A.2386B.2718C.3413D.47722、设()211,X N μσ~,()222,Y N μσ~,这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是( )A.21()()P Y P Y μμ≥≥≥ B. 21()()P X P X σσ≤≥≤C.对任意正数t ,()()P X t P Y t ≤≥≤D.对任意正数t ,()()P X t P Y t ≥≥≥3、某厂生产的零件外直径()28.0,0.15X N (单位: mm ),今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个,测得其外直径分别为7.9mm 和7.5mm ,则可认为( )A.上、下午生产情况均为正常B.上、下午生产情况均为异常C.上午生产情况正常,下午生产情况异常D.上午生产情况异常,下午生产情况正常4、已知()20,N ξσ~,且()200.4P ξ-<<=,则()2P ξ>等于( )A.0.1B.0.2C.0.3D.0.45、如果随机变量()2,X N μσ~,且3,1EX DX ==,则()11P X -<<等于( )A.0.210B.0.003C.0.681D.0.02156、已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ且P(ξ<4)=0.8,则P (0<ξ<2)等于( )A.0.6B.0.4C.0.3D.0.27、随机变量X 服从正态分布()0,1N ,若X 落在区间()2,1--和()1,2上取值的概率分别为1P 、2P ,则( )A. 12P P >B. 12P P <C. 12P P =D.不确定8、设随机变量ξ服从正态分布()2,9N ,若()()2P c P c ξξ>=<-,则c 的值是( )A.1B.2C.3D.49、设随机变量ξ服从正态分布()0,1?N ,()1P p ξ>=,则0()1P ξ<<-等于( ) A.1 2p B. 1 2p - C. 12?p -D. 1?p -10、某校高考的数学成绩近似服从正态分布()100,100,N 则该校成绩位于()80,120内的人数占考生总人数的百分比约为( )A.22.8%B.45.6%C.95.44%D.97.22%11、已知ξ服从正态分布()5,8N ,则3ηξ=-服从__________.12、关于正态曲线,下列说法:①曲线()()222x x μσϕ--上任一点()00,M x y 的纵坐标0y 表示0X x =的概率;②()ax dx ϕ-∞⎰表示总体取值小于a 的概率;③正态曲线在 x 轴上方且与 x 轴一定不想交;④正态曲线关于x σ=对称;⑤μ一定时, σ越小,总体分布越分散, σ越大,总体分布越集中.其中正确的是__________.13、人从某城市的A 地乘公交车到火车站,由于交通拥挤,所需时间(单位:分钟)服从()50,102,X N 则他在时间段(]30,70内赶到火车站的概率是__________14、在某项测量中,测量结果X 服从正态分布()()21,0N σσ>,若X 在()0,1内取值的概率为0.4,则X 在()0,2内取值的概率为__________15、生产工艺工程中产品的尺寸误差()()20,1.5X mm N ,如果产品的尺寸与规定的尺寸偏差的绝对值不超过1.?5mm 为合格品,求:1. X 的密度函数;2.生产的5件产品的合格率不小于80%的概率.答案以及解析1答案及解析：答案：C解析：由正态分布的性质, ()()101110.342P x P x <<=-<<≈2答案及解析：答案：C解析：由正态密度曲线的性质可知, ()()221122,,,X N Y N μσμσ的密度曲线分别关于12,x x μμ==对称,因此结合所给图象可得12μμ<,且()211,X N μσ~得密度曲线较()222,Y N μσ~的密度曲线“瘦高”,所以12σσ<,所以对任意正数t ,()()P Xt P Y t ≤≥≤.3答案及解析：答案：C解析：根据3σ原则,在()830.15,830.15-⨯+⨯即()7.55,8.45之外时为异常.4答案及解析：答案：A解析：由()()()()2022021P P P P ξξξξ>+<<+-<<+<-=,又()()()()22,0220P P P P ξξξξ>=<-<<=-<<,所以()()1212200.12P P ξξ>=--<<=⎡⎤⎣⎦.5答案及解析：答案：D解析：由题意知3,1μσ==,所以()()060.9974,150.9544P X P X <<=<<=,又知其关于3x =对称,所以()()1110.99740.95440.02152P X -<<=-=.6答案及解析：答案：C解析：∵ξ服从正态分布()()()()2112,,240.80.3,240.80.3,020.3.22N P P P σξξξ∴<<=-=∴<<=-=∴<<=7答案及解析：答案：C解析：画出正态分布()0,1N 的密度函数的图象:由图象的对称性可得,因为()0,1N ξ~,所以()21P ξ-<<-()12P ξ=<<.故12P P =.8答案及解析：答案：C解析：由随机变量ξ服从正态分布()2,9N ,且()()2P c P c ξξ>=<-,得24c c +-=,解得3c =,故选C.9答案及解析：答案：B解析：随机变量ξ服从标准正态分布,关于直线0?x =对称,()()()111001122P P P p ξξξ-<<=<<=->=-,故选B.10答案及解析：答案：C解析：11答案及解析：答案：()2,8N 解析：由正态曲线特征可知, 3ηξ=-的密度曲线是ξ的密度曲线向左移一个单位,所以也服从正态分布,且32,E E ηξσησξ=-==,所以服从()2,8N .12答案及解析：答案：②③解析：①不对,因为密度曲线中面积代表概率而不是纵坐标;④不对,因为正态曲线关于x μ=对称;⑤不对,与之相反μ一定时, σ越大,总体分布越分散, σ越小,总体分布越集中.13答案及解析：答案：0.9544解析：∵()50,102,50,10.X N μσ∴==()()3070502050200.9544.P X P X ∴<≤=-<≤+=14答案及解析：答案：0.8解析：由()()21,0,X N σσ>知正态曲线的对称轴为1x =,从而由图像可知()()0112,P X P X <<=<<所以()()0220120.40.8.P X P X <<=<<=⨯=15答案及解析：答案：1.由题意知()20,1.5X N ~,即0, 1.5μσ==.所以密度函数()24.5x x ϕ-=.2.设Y 表示5件产品中的合格品数,每件产品是合格品的概率为()()1.5 1.5 1.50.6826P X P X ≤=-<≤=.而()5,0.6826Y B ~,合格率不小于80%,即50.84Y ≥⨯=.所以()()()445P Y P Y P Y ≥==+=()44550.682610.68260.6826C =⨯⨯-+0.4927=.解析：由Ruize收集整理。
高中数学 课时跟踪训练(十五)正态分布 北师大版选修23
课时跟踪训练(十五) 正态分布1．设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ1＞0)和N(μ2，σ22)(σ2＞0)的密度函数图像如图所示，则有( )A．μ1<μ2，σ1<σ2B．μ1<μ2，σ1>σ2C．μ1>μ2，σ1<σ2D．μ1>μ2，σ1>σ22．已知X～N(0,62)，且P(－2≤X≤0)＝0.4，则P(X>2)等于( )A．0.1 B．0.2C．0.6 D．0.83．在正常情况下，工厂生产的零件尺寸服从正态分布N(μ，σ2)．在一次正常的试验中，取10 000个零件时，不属于(μ－3σ，μ＋3σ)这个尺寸范围的零件个数可能为( ) A．70个B．100个C．30个D．60个4．如果随机变量X～N(μ，σ2)，且EX＝3，DX＝1，则P(0<X≤1)等于( )A．0.021 5 B．0.723C．0.215 D．0.645．若随机变量X～N(2,100)，若X落在区间(－∞，k)和(k，＋∞)内的概率是相等的，则k等于________．6．已知随机变量X服从正态分布N(0，σ2)，P(X>2)＝0.023，则P(－2≤X≤2)＝________.7．设X～N(0,1)．(1)求P(－1<X≤1)；(2)求P(0<X≤2)．8．某厂生产的T 型零件的外直径X ～N (10,0.22)，一天从该厂上午、下午生产的T 型零件中随机取出一个，测得其外直径分别为9.52和9.98.试分析该厂这一天的生产状况是否正常．答案1．选A 根据正态分布的性质：对称轴方程x ＝μ，σ表示总体分布的分散与集中．由图可得，μ1<μ2，σ1<σ2.2．选A 由正态分布曲线的性质知P (0≤X ≤2)＝0.4， ∴P (－2≤X ≤2)＝0.8，∴P (X >2)＝12(1－0.8)＝0.1.3．选C 正态总体N (μ，σ2)落在(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率为0.997，因此不属于(μ－3σ，μ＋3σ)的概率为0.003，所以在一次正常的试验中，取10 000个零件时．不属于(μ－3σ，μ＋3σ)这个尺寸范围的零件个数可能为30个左右．4．选A 由EX ＝μ＝3，DX ＝σ2＝1，∴X ～N (3,1)．P (μ－3σ<X <μ＋3σ)＝P (0<X <6)＝0.997， P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝P (1<X <5)＝0.954， P (0<X <6)－P (1<X <5)＝2P (0<X ≤1)＝0.043.∴P (0<X ≤1)＝0.021 5.5．解析：由于X 的取值落在(－∞，k )和(k ，＋∞)内的概率是相等的，所以正态曲线在直线x ＝k 的左侧和右侧与x 轴围成的面积应该相等，于是正态曲线关于直线x ＝k 对称，即μ＝k ，而μ＝2.所以k ＝2.答案：26．解析：∵P (X >2)＝0.023，∴P (X <－2)＝0.023， 故P (－2≤X ≤2)＝1－P (X >2)－P (X <－2)＝0.954. 答案：0.9547．解：(1)X ～N (0,1)时，μ－σ＝－1，μ＋σ＝1， 所以P (－1<X ≤1)＝0.683.(2)μ－2σ＝－2，μ＋2σ＝2，正态曲线f (x )关于直线x ＝0对称，所以P (0<X ≤2)＝12P (－2<X ≤2)＝12×0.954＝0.477.8．解：∵X ～N (10,0.22)， ∴μ＝10，σ＝0.2.∴μ－3σ＝10－3×0.2＝9.4， μ＋3σ＝10＋3×0.2＝10.6.∵9.52∈(9.4,10.6)，9.98∈(9.4,10.6)， ∴该厂全天的生产状况是正常的．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
甘肃省永昌县第一中学高中数学《正态分布》练习
(时间：45分钟满分：100分)
一、选择题(每小题7分，共35分)
1．已知三个正态分布密度函数φi(x)＝
1
2πσi
2
()
2
2
e
x i
i
μ
σ
-
-
(x∈R，i＝1,2,3)的图象如图所
示，则( )
A．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3
B．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3
C．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3
D．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3
2．(2010·广东)已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且
P(2≤X≤4)＝0.682 6，则P(X>4)等于( )
A．0.158 8 B．0.158 7 C．0.158 6 D．0.158 5
3．已知随机变量ξ～N(3,22)，若ξ＝2η＋3，则D(η)等于( )
A．0 B．1 C．2 D．4
4．某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为φμ，
σ(x)＝
1
2π·10
2
(80)
200
e x--(x∈R)，则下列命题不正确的是( )
A．该市这次考试的数学平均成绩为80分
B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同
C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同
D．该市这次考试的数学成绩标准差为10
5．某市进行一次高三教学质量抽样检测，考试后统计的所有考生的数学成绩服从正态分布．已知数学成绩平均分为90分，60分以下的人数占10%，则数学成绩在90分至120分之间的考生人数所占百分比约为( )
A．10% B．20% C．30% D．40%
二、填空题(每小题6分，共24分)
6．随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，已知P(ξ<0)＝0.3，则P(ξ<2)＝________. 7．已知正态分布总体落在区间(0.2，＋∞)的概率为0.5，那么相应的正态曲线φμ，σ(x)在x＝________时达到最高点．
8．某班有50名学生，一次考试后数学成绩ξ(ξ∈N)服从正态分布N(100,102)，已知P(90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为________．9．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为________．
三、解答题(共41分)
10．(13分)设X～N(10,1)，若P(X≤2)＝a，求P(10<X<18)．
11．(14分)某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N(70，102)，如果规定低于60分为不及格，则成绩不及格的人数占多少？
12．(14分)在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N(60,100)，已知成绩在90分以上的学生有13人．
(1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？
(2)若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生，问受奖学生的分数线是多少？
答案
11. 解 设学生的得分情况为随机变量X ，X ～N (70,102
)，
则μ＝70，σ＝10.
∵P (60<X ≤80)＝P (70－10<X ≤70＋10)＝0.682 6.
∴P (X <60)＝12[1－P (60<X ≤80)] ＝12×(1－0.682 6)＝0.158 7. 即不及格学生占15.87%.
∴学生总数为：130.001 3
＝10 000(人)． (2)成绩排在前228名的学生数占总数的0.022 8. 设分数线为x .
则P (X ≥x 0)＝0.022 8. ∴P (120－x 0<x <x 0)＝1－2×0.022 8＝0.954 4. 又知P (60－2×10<x <60＋2×10)＝0.954 4.
∴x 0＝60＋2×10＝80(分)．。