定积分基本计算定律-定积分的计算定律
第三章物理学中定积分的数值计算方法
第三章 物理学中定积分的数值计算方法一、填空题1、库仑常数k 等于 9×109mV/C ，真空中的介电常数ε0等于8.85×10-12F/m 。
2、对于电量为Q 的点电荷，在距离r 处产生的电场强度为21ˆˆ()4QrE r rrrπε==。
3、已知定积分()ba f x dx ⎰，被积分函数为()f x ，积分区间为[],ab 。
将该区间N 等分，步长()/x b a N ∆=-，用曲线下的虚矩形面积和近似替代积分值，该方法称为矩形法。
积分近似计算公式为1()()N bi ai I f x dx f x x -==≈∆∑⎰。
4、毕奥—萨伐尔定律所描述的公式为034Idl rdB r μπ⨯=。
5、玻尔兹曼常数是 k=1.38×1023 J/K 。
6、麦克斯韦速率分布律公式23/22/2()4()2v kTdN f v dv v e dv N kTμμππ-==。
7、在计算物理中求解定积分的方法有 辛普森法 、 龙贝格法 、 高斯求积法等。
二、简答1、写出库仑常数、真空中的介电常数和玻尔兹曼常数的值。
答：库仑常数k= 9×109mV/C ，真空中的介电常数ε0= 8.85×10-12F/m ，玻尔兹曼常数是 k=1.38×1023 J/K 。
2、什么是矩形法？答：已知定积分()ba f x dx ⎰，被积分函数为()f x ，积分区间为[],ab 。
将该区间N 等分，步长()/x b a N ∆=-，用曲线下的虚矩形面积和近似替代积分值，该方法称为矩形法。
积分近似计算公式为1()()N bi ai I f x dx f x x -==≈∆∑⎰。
3、毕奥—萨伐尔定律和麦克斯韦速率分布律公式。
答：毕奥—萨伐尔定律所描述的公式为034Idl rdB rμπ⨯=。
麦克斯韦速率分布律公式23/22/2()4()2v kTdN f v dv v e dv N kTμμππ-==。
定积分的概念与微积分基本定理(优质课)教案
定积分的概念与微积分基本定理（优质课）教案教学目标：掌握定积分的计算，了解定积分的物理意义，会利用定积分求平面区域围成的面积.教学过程：一、定积分的概念：从前面求曲边图形面积以及求变速直线运动路程的过程发现，它们都可以通过“分割、近似代替、求和、取极限得到解决，且都归结为求一个特定形式和的极限，()()i ni n ni i x f n x f S ξξ∑∑=∞→=→∆=∆•=1101lim lim ()()i ni n n i i t v nt v S ξξ∑∑=∞→=→∆=∆•=1101lim lim事实上，许多问题都可以归结为求这种特定形式和的极限1定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b −=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间[]1,i i x x −上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：()()i ni ni i f n ab x f ξξ∑∑==−=∆•11当n →+∞）时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。
记为：()baf x dx ⎰即()baf x dx ⎰=()i ni n f n ab ξ∑=∞→−1lim其中函数()f x 叫做 ，x 叫做 变量，区间[,]a b 为 区间，b 积分 ，a 积分 。
说明：（1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ−∈；③求和：1()ni i b a f n ξ=−∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b af x dx f n ξ→∞=−=∑⎰ （3）曲边图形面积：()baS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰2定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[a,b]上的函数()f x 连续且恒有()0f x ≥。
数学定律大全
数学定律大全在数学领域，有许多重要的定律被广泛应用于各种数学问题的解决和推导中。
这些定律涵盖了各个数学分支，包括代数、几何、概率论等。
本文将介绍一些数学定律的基本概念和应用。
希望通过阅读本文，读者能更好地理解和应用这些数学定律。
一、代数定律1. 加法交换律：对于任意两个实数a和b，a + b = b + a。
2. 加法结合律：对于任意三个实数a、b和c，(a + b) + c = a + (b +c)。
3. 乘法交换律：对于任意两个实数a和b，a × b = b × a。
4. 乘法结合律：对于任意三个实数a、b和c，(a × b) × c = a × (b ×c)。
5. 分配律：对于任意三个实数a、b和c，a × (b + c) = a × b + a × c。
二、几何定律1. 皮亚诺公理：几何推理的基础，包括点、线、平行线、共线等基本概念。
2. 直角三角形定理：直角三角形的斜边平方等于两直角边平方之和。
3. 同位角定理：同位角互补或同位角相等。
4. 锐角三角函数定理：正弦函数、余弦函数和正切函数等定义和性质。
5. 平行线定理：包括同位角定理、内错角定理、同旁内角定理等。
三、概率论定律1. 概率的加法定律：对于两个事件A和B，其和事件的概率为P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
2. 独立事件定律：对于两个独立事件A和B，其交事件的概率为P(A∩B) = P(A) × P(B)。
3. 贝叶斯定理：用于计算条件概率的定理，根据已知信息计算未知的概率。
四、微积分定律1. 导数定义：函数在某点的导数表示函数曲线在该点的切线斜率。
2. 导数的四则运算：包括导数的加减乘除法则，用于计算复杂函数的导数。
3. 牛顿-莱布尼茨公式：函数的不定积分与定积分之间的关系，用于计算函数的积分。
4. 泰勒展开式：将一个函数表示为无限次求导的多项式形式，用于近似函数。
高考数学总复习定积分与微积分基本定理理新人教A讲课文档
b1dx＝______
a
bkF(x)dx＝____________(其中k为常数)
a
b[F1(x)±F2(x)]dx＝bF1(x)dx±bF2(x)dx
a
a
a
bF(x)dx＝cF(x)dx＋bF(x)dx(其中a<c<b)
a
a
c
第九页，共55页。
(1)已知
1
F(x)dx＝2，
2
F(x)dx＝3，则
D. 6
第十五页，共55页。
[审题视点]
计算
b
F(x)dx的关键是找到满足F′(x)＝
a
F(x)的函数F(x)，其中F(x)可将基本初等函数的导数公式逆
向使用得到．
第十六页，共55页。
[解析] (1)1－1(x2＋Sinx)dx＝(13x3－coSx)1－1 ＝23. (2)由于F(x)＝xm＋ax的导函数为F′(x)＝2x＋1，所以
0
0
＝2(x－x22)10 ＝1.
第二十一页，共55页。
例2 若定积分m－2 －x2－2xdx＝4π，则m等于(
)
A．－1
B．0
C．1
D．2
第二十二页，共55页。
[审题视点] 被积函数y＝ －x2－2x 的原函数不易直接 求出，其图象与圆有关，故可用定积分的几何意义求解．
第二十三页，共55页。
[解析] 根据定积分的几何意义知，定积分 m － 2 －x2－2x dx的值，就是函数y＝ －x2－2x 的图象与x轴及
b
F(x)dx＝________，这个结论叫做微
a
积分基本定理，又叫做牛顿——莱布尼兹公式，可以把F(b)
－F(a)记作________，即bF(x)dx＝________＝______. a
三角函数的积分变换与定积分计算
理论推导：定积分在物理理论推导中也有着重要的作用，例如在电 磁学和量子力学等领域中的应用。
定积分在经济学中的应用
计算经济成本和收益 分析经济现象和趋势 预测经济指标和未来发展 制定经济政策和计划
定积分在生物学中的应用
定积分表示函数图像与x轴 所夹的面积
定积分的性质
线性性质：定积分具有线性性质，即对于两个函数的和或差的积分，可以 分别对每个函数进行积分后再求和或求差。
区间可加性：定积分的区间可加性，即对于函数在一个区间上的定积分， 如果将该区间分成若干个子区间，则定积分等于各个子区间的定积分之和。
积分常数：积分常数是一个确定的数，它表示函数在一个无穷区间上的定 积分。
探讨心理学中人类行为、决策制 定等问题的量化研究
定积分的跨学科应用价值
物理学中的应 用：计算物体 在流体中的运 动阻力、电磁 场中的电势和
电流等。
工程学中的应 用：优化设计、 控制工程、信 号处理等领域 中都有广泛的
应用。
经济学中的应 用：用于研究 供需关系、市 场均衡、投资 回报等问题。
生物学中的应 用：用于研究 种群增长、生 物循环等问题。
电磁学中的定积分应用
电磁学中的定积分应用：计算 电场和磁场分布
电磁学中的定积分应用：计算 电磁波的传播
电磁学中的定积分应用：计算 电磁感应现象
电磁学中的定积分应用：计算 电路中的电流和电压
定积分在物理问题中的重要性
描述物体运动规律：定积分可以用来描述物体的运动规律，例如速度、 加速度和位移等。
计算物理量：定积分可以用来计算物理量，例如功、力和能量等。
三角函数的定积 分公式： ∫sec(x)dx = ln|sec(x) + tan(x)| + C， 其中C为积分常 数
高中公式大全
高中公式大全高中阶段是学习数理化知识的关键时期，而掌握一些常用的数理化公式是非常重要的。
下面将为大家整理一份高中公式大全，帮助大家更好地学习和记忆这些重要的公式。
数学公式：1. 一元二次方程的根公式：对于方程ax^2+bx+c=0，其根的公式为x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。
2. 三角函数的关系公式：包括正弦定理、余弦定理、正切定理等，用于求解三角形的各种问题。
3. 二项式定理：(a+b)^n的展开公式为∑(k=0)^n(C(n,k)a^(n-k)b^k)。
4. 等差数列的通项公式：对于公差为d的等差数列an=a1+(n-1)d。
5. 等比数列的通项公式：对于公比为q的等比数列an=a1*q^(n-1)。
6. 三角函数的导数公式：包括sin(x)的导数为cos(x)，cos(x)的导数为-sin(x)，tan(x)的导数为sec^2(x)等。
7. 积分的基本公式：包括定积分的计算公式，如∫f(x)dx=F(x)+C。
物理公式：1. 运动学公式：包括匀速直线运动公式、匀加速直线运动公式、自由落体运动公式等，用于描述物体运动的规律。
2. 牛顿定律：包括牛顿第一定律、牛顿第二定律、牛顿第三定律，用于描述物体受力和运动的关系。
3. 力学功和功率公式：功的公式为W=F·s·cosθ，功率的公式为P=W/t。
4. 万有引力定律：F=G*(m1*m2)/r^2，用于描述物体之间的引力关系。
5. 电学公式：包括欧姆定律、库仑定律、电场强度公式等，用于描述电流、电荷和电场的关系。
6. 磁学公式：包括洛伦兹力公式、磁感应强度公式、电磁感应公式等，用于描述磁场和电磁感应的关系。
化学公式：1. 摩尔定律：V1/n1=V2/n2，用于描述气体的摩尔关系。
2. 热力学公式：包括焓的计算公式、熵的计算公式、自由能的计算公式等，用于描述化学反应的热力学性质。
3. 化学平衡常数公式：Kc=[C]^c[D]^d/[A]^a[B]^b，用于描述化学平衡反应的平衡常数。
定积分第五节定积分的应用
=p
b2 a2
[a
2
x
-
1 3
x3 ]a-
a
=
4 p ab
3
2
.
例8由y x3 x 2 y 0所围成的图形 分别绕x轴及y轴旋转 计算所得两个旋转体的 体积
解：
绕x轴旋转所得旋转体 的体积为
绕y轴旋转所得旋转体 的体积为
Vx02y2dx02x6dx
2
Vy22808x2dy3208y3dy
3233y5864 1x7 2 128 5 05 7 0 7
给出, 其中f(x)在区间[a, b]上具有一阶连续导数. 现
在来计算这曲线弧的长度. 弧长元素(弧微分) :
y
yf(x)
ds
ds(x d)2(d y)2 1y2dx
因此所求弧长 s b 1y2 dx o a xxdxb x a
曲线
y f(x)(a x b)的
弧长：
解：
例12
sab1y2d x
计算曲线y ln x上相应于
曲线弧的长为 s 2 ( ) 2 ( ) d
da22sa2da12d
s02a12d2a[2142l2n142)( ]
sab1y2d x
s02a12d2a[2142l2n142)( ]
曲线
( )(
)的弧长：
例15 求阿基米德螺线 a (a>0)相应于 从0到2 一段的弧长.
解
立体的体积为
平行截面面积为已知 的立体的体积
A(x)dx.
A(x)
VabA(x)d x
截面面积为A(x)的立体体积V ： a b A ( x ) d
例10 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心, 并与底面交成角. 计算这平面截圆柱所得立体的体积.
计算物理学(郭立新)章 (3)
dE
1 4πε0
ds
l2
根据电荷分布对称性可知，场强沿着与x轴垂直的方向
为0，场强仅沿x方向有值，而dE沿x方向的投影为
dEx
cos
dE
1 4πε0
xds
l3
第3章 物理学中定积分的数值计算方法
其中cosα= x。对上式做积分可得解析解 l
Ex
2 πr 0
1 4πε0
xds
l3
Qx 4πε0
1[ 2
f
(x0 )
f
(x1)]x
1[ 2
f
(x1)
f
(x2 )]x
1[ 2
f
(xN 1)
f
(xN )]x
(3.3)
第3章 物理学中定积分的数值计算方法
积分近似计算公式为
I
b
a
f
(x)dx
N
Ci
f
( xi
)x
i0
其中，系数C0=CN=
1 2
，C1=C2=…=CN-1=1。
(3.4)
第3章 物理学中定积分的数值计算方法
第3章 物理学中定积分的数值计算方法
y3=y3+2./3.*f(x3)*(b-a)/float(N) else y3=y3+4./3.*f(x3)*(b-a)/float(N) end if end if 30 continue write(1,*)N,y3 write(*,*)N,y3 end function f(x) f=cos(x) end
3．抛物线法(辛普森法) 将区间［a，b］分成N(偶数)个均等的小区间，步长仍为 Δx=(b-a)/N 抛物线法是整个曲线f(x)下方的面积用N/2个以抛物线为边 界的四边形来替代(见图3.3)。设y=Ax2+Bx+C，则有
定积分求极限公式
定积分求极限公式1.中值定理2.大数定律3.独立变量的积分4.常用极限公式接下来，我将对这些公式进行详细的介绍。
1.中值定理中值定理是微积分中的一个重要定理，可以用来证明函数的连续性。
对于函数f(x)在闭区间[a,b]上连续并可导，在(a,b)内存在一个点c，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
根据中值定理，定积分的极限可以通过函数的导数和平均值来表示。
2.大数定律有很多情况下，定积分可以用来表示一些随机变量的数学期望（期望值）。
根据大数定律，当取样数量足够大时，随机变量的平均值会趋近于其数学期望。
这意味着当定积分的上下限趋近于无穷时，定积分的值会收敛到一个常数。
3.独立变量的积分对于含有一个或多个独立变量的积分，可以通过分离变量，将其转化为只含有一个变量的积分。
例如，如果要求解∫(x^2 + y^2) dx，可以将 y 视为常数，并对 x 进行积分。
这样就可以得到只关于 y 的积分表达式。
4.常用极限公式在定积分求极限过程中，还可以直接使用一些常用的极限公式来简化计算。
常用的极限公式包括：- 弧长公式：当 a < b 时，有lim(x→∞) ∫(a→b) f(x) dx =lim(x→∞) ∫(a→x) f(t) dt + lim(x→∞) ∫(x→b) f(t) dt；- 指数函数和对应的自然对数函数的极限：lim(x→0) (1 + x)^1/x= e；- 三角函数的极限：lim(x→0) sin(x)/x = 1；- 幂函数的极限：lim(x→∞) x^a = ∞，其中 a > 0；- 正无穷大与负无穷大的相加或相减：lim(x→∞) [f(x) ± g(x)]= lim(x→∞) f(x) ± lim(x→∞) g(x)；- 正无穷大与有界函数的乘积：lim(x→∞) [f(x) * g(x)] =lim(x→∞) f(x) * lim(x→∞) g(x)，其中lim(x→∞) f(x) 为正无穷大，g(x) 为有界函数。
定积分的概念及性质.
数学方面的成就：
莱布尼兹在数学方面的成就是巨大的。他的研究及成果渗透到高 等数学的许多领域。他的一系列重要数学理论的提出，为后来的数学 理论奠定了基础。他曾讨论过负数和复数的性质，得出复数的对数并 不存在，共扼复数的和是实数的结论。在后来的研究中，莱布尼兹证 明了自己结论是正确的。他还对线性方程组进行研究，对消元法从理 论上进行了探讨，并首先引入了行列式的概念，提出行列式的某些理 论。此外，莱布尼兹还创立了符号逻辑学的基本概念，发明了能够进 行加、减、乘、除及开方运算的计算机和二进制，为计算机的现代发 展奠定了坚实的基础。
背景
积分思想先于微分的产生“无限细分，无限求和”的积分思想在古 代就已经萌牙．最早可以追溯到希腊由阿基米德（Archimedes ，287 BC~212 BC）等人提出的计算面积和体积的方法．后来也逐步得到了一 系列求面积（积分）、求切线斜率（导数）的重要结果，但这些结果都 是孤立的，不连贯的．只有莱布尼兹和牛顿将积分和微分真正沟通起来， 明确地找到了两者内在的直接联系，确立微分和积分是互逆的两种运
2
W 0r(t)dt
莱布尼兹（Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716） ，是17、18世纪之交德国最重要的数学家、物理学家 和哲学家，一个举世罕见的科学天才。 他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可 磨灭的贡献。1673年，莱布尼兹被推荐为英国皇家学会会员。此时， 他的兴趣已明显地朝向了数学和自然科学，开始了对无穷小算法的研 究，独立地创立了微积分的基本概念与算法，和牛顿并蒂双辉共同奠 定了微积分学。1676年，他到汉诺威公爵府担任法律顾问兼图书馆馆 长。1700年被选为巴黎科学院院士，促成建立了柏林科学院并任首任 院长。
定积分的基本概念与可积函数类
定积分的基本概念与可积函数类黎曼积分一，摘要：本文先是从微积分的发展史开始讨论，从开普特第二定律到牛顿的变化量累积量再到莱布尼茨的特征三角，研究微积分思想的形成过程包括牛顿和莱布尼茨的积分思想与方法进而引出完整的以柯西，威尔斯特拉斯的极限ε-δ语言定义的定积分基本概念。
再着重分析了在黎曼积分定义前提下的可积函数类。
在讨论可积函数类的过程中主要分析了原函数（不定积分）与可积的关系，两类间断点与可积函数的关系以及间断点的个数与可积的关系。
在讨论的过程中我主要是通过举例说明,比如前者是通过证明连续函数有原函数，再证明教材中的牛顿莱布尼茨公式，引出了原函数存在是个比连续还强的条件。
即原函数存在一定可积，但可积不一定有原函数，比如黎曼函数。
再通过单调函数的（第一类间断点）可积性与黎曼函数（第一类间断点）的可积性与的函数f(x)=sin(1/x)（第二类间断点）的比较得出可积性对间断点的类别提出的要求。
即第一类间断点和第二类有穷间断点可能可积，对于无限间断点，无界肯定不可积。
再通过狄利克函数说明间断点的个数与可积性的关系，有限个间断点可积无限个间断点不可积。
当然上面说的所有的前提是在有界这个必要条件下的最后再补述了勒贝克积分与黎曼积分的关系，扩充可积条件。
在此处键入公式。
二，关于牛顿和莱姆尼茨的积分思想讲到定积分的基本概念就不得不说到微积分的发展历程，淡到微积分大家一定会想到两位数学界的伟人--------他们是英国的牛顿和德国的莱姆尼茨。
他们两分别独立从不同的角度思考终于发明了微积分，牛顿是从力学的运动的角度（物理学方面的求变化过程中的积累量。
例如，变速运动在一段时间【α,b】内行进的路程,变力使物体运动一段路程【α,b】所作的功等等。
），而莱姆尼茨则是从几何图形的角度着入研究的（主要是利用“特征三角形”从作曲线上任一点的切线进而求面积）。
虽然他们的积分思想有所差别，但他们的最终问题的根源却殊途同归回到了同一个问题上来了即蕴含在定积分概念中的基本思想----------有限逼近无限，以致促进了以后的极限方法的发展。
初中数理化公式定律大全
初中数理化公式定律大全一、数学公式定律1.二次方程的求解公式（欧拉公式）：对于二次方程ax^2 + bx + c = 0，其求解公式为：x = (-b ±√(b^2-4ac))/(2a)2.勾股定理：直角三角形中，a^2+b^2=c^2，其中a和b为直角边的长度，c为斜边的长度。
3.三角函数的基本关系：对于任意角θ（θ为弧度制），sin^2θ + cos^2θ = 1，tanθ = sinθ/cosθ。
4.等差数列求和公式：对于等差数列an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数，其和Sn的求解公式为：Sn = (n/2)(a1 + an)5.等比数列求和公式：对于等比数列an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数，其和Sn的求解公式为：Sn=a1*(r^n-1)/(r-1)6.梯形面积公式：对于梯形的上底a，下底b和高h，其面积S的求解公式为：S=(a+b)*h/27.三角形面积公式：对于三角形的底边长b和高h，其面积S的求解公式为：S=b*h/28.圆的周长和面积公式：对于圆的半径r，其周长C和面积A的求解公式分别为：C=2πr，A=πr^29.定积分的定义：对于函数f(x)在区间[a,b]上的定积分的定义为：∫[a, b] f(x)dx = lim(n→∞) Σ(k=1→n) f(xk)Δx，其中Δx = (b-a)/n，xk为[a+(k-1)Δx, a+kΔx]上的任意一点。
10.泰勒级数展开：对于函数f(x)在x=a处的泰勒级数展开为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...二、物理公式定律1.牛顿第一定律（惯性定律）：任何物体都保持静止或匀速直线运动，直到外力强迫其改变状态。
2.牛顿第二定律（运动定律）：物体所受合力等于质量与加速度的乘积，即 F = ma，其中F为合力，m为物体质量，a为加速度。
人教版高中数学选修2-2第5讲：定积分的概念与微积分基本定理(教师版)
性质 4
b
c
f ( x) d x
a
a
b
(f )x d x
c
( f ) x其d中(x
acb
（定积分对积分区间的可加性）
b
说明：①推广： a [ f1( x) f 2( x)
b
b
f m( x)] dx a f1( x)dx a f2 (x)dx
b
c1
c2
②推广 : f ( x)dx f ( x) dx f ( x)dx
b
f ( x) d x F( b) F( a)
a
若上式成立， 我们就找到了用 f ( x) 的原函数 （即满足 F (x)
f (x) ）的数值差 F (b)
计算 f (x) 在 [ a,b] 上的定积分的方法。
注： 1：定理 如果函数 F ( x) 是 [a,b] 上的连续函数 f (x) 的任意一个原函数，则
a
a
c1
b
f ( x)dx
ck
③性质解释：
b
a fm(x)
y
性质 1
y=1
y A
性质 B4
C
Oa
b
x
M
O
a
N P bx
S曲边梯形 AMNB
S曲边梯形 AMPC
S曲边梯形 CPNB
2
二、微积分基本定理：
变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
设一物体沿直线作变速运动，在时刻 t 时物体所在位置为 S(t),速度为 v(t) （ v(t) o ），
证明：因为
b
f ( x) dx F (b) F (a)
a
x
( x) = f (t )dt 与 F (x) 都是 f (x) 的原函数，故 a
数学各种运算定律和公式
数学各种运算定律和公式数学是一门研究数量、结构、空间以及变化的科学，它拥有多种运算定律和公式。
下面我将介绍一些常见和重要的数学运算定律和公式。
一、基础运算定律1.加法运算定律加法具有结合律（a+b）+c=a+（b+c）、交换律a+b=b+a、和零元素性质a+0=a。
2.减法运算定律减法具有减法反运算性质a-b+b=a。
3.乘法运算定律乘法具有结合律（a*b）*c=a*（b*c）、交换律a*b=b*a和乘法分配律a*（b+c）=a*b+a*c。
4.除法运算定律除法具有除法反运算性质a/b*b=a。
然而，除法没有结合律和交换律。
5.幂运算定律幂运算具有幂与幂的乘法规则a^m*a^n=a^(m+n)、幂与乘法的交换规则（a*b）^n=a^n*b^n和幂与除法的交换规则（a/b）^n=a^n/b^n。
二、代数运算公式1.二次方程求根公式对于二次方程 ax^2 + bx + c = 0，其求根公式为 x = (-b ±sqrt(b^2 - 4ac)) / 2a。
2.因式分解公式通过因式分解，可以将一个多项式表示为两个或多个更简单的因式的乘积。
3.勾股定理对于直角三角形，a^2+b^2=c^2，其中a和b是直角的两条直角边，c是斜边。
4.平方差公式(a+b)(a-b)=a^2-b^2，可以用于将平方差形式转化为因式分解形式，或将因式分解形式转化为平方差形式。
1.直线相关性质包括平行线之间的性质（如同位角相等、内错角相等、对顶角相等等）和相交线之间的性质（如交角的补角相等等）。
2.三角形相关性质包括等边三角形的性质（如三边相等、三角内角相等等）、等腰三角形的性质（如底边角相等等）以及直角三角形的性质（如勾股定理等）等。
3.正弦定理和余弦定理对于任意三角形ABC，正弦定理为a/sinA = b/sinB = c/sinC，余弦定理为c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC。
1.导数的四则运算法则对于函数f(x)和g(x)，导数的四则运算法则包括常数乘积法则、求和法则、差法则和乘积法则。
定积分的概念、性质、和微积分基本定理3-1
b
补充：无论 a、b、c 的相对位置如何，上式总成立， 如 abc
则
c
a
b
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
a b
b
c
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
a b
c
c
f ( x )dx f ( x )dx
x i 1 o a x1 i xi i 1 记 max xi 如果分割越细，即 0 时， i 上述和式的极限存在，则曲边梯形的面积
i i
f ( )x
n
x n 1 b
x
A lim f ( i )xi
0
i 1
n
4
二、定积分的定义 定义 设 f 是 [a, b] 上的有界函数，对 [a, b] 的 任意分割 D : a x0 x1 x2 xn1 xn b 任取 i [ xi 1 , xi ] , (i 1,, n) 并记 xi xi xi 1
y
A?
a b
x
o
y
用矩形面积近似取代曲边梯形面积。
o
a
（四个小矩形）
b
x
o
a
（九个小矩形）
b
x
小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积。
3
作区间 [a, b] 的一个分割： D : a x0 x1 x2 xn1 xn b
把 [a, b] 分成 n 个小区间 [ xi-1 , xi ] ， 长度为 xi xi xi 1 , 在 [ xi-1 , xi ] 上任取一点 i ， y 以 xi 为底，f ( i ) 为高的 小矩形面积： Ai f ( i )xi n 个小矩形面积相加得
定积分的求解方法及其应用
定积分的求解方法及其应用摘要：在数学分析这门课程里,定积分是最普遍而又重要的内容之一,同时也是数学研究中的重要工具,随着数学在生活中的广泛应用,定积分的相关解法和应用所蕴藏的巨大潜力越来越引起人们的关注.本论文从定积分的基本理论出发,系统阐述了牛顿莱布尼茨公式、换元法、分部积分法、凑微分法等几种常见的求解方法,并列举了相关的例子,更直观的了解求解定积分的方法的精髓.另外本文又介绍了定积分在数学、物理学和经济学当中的应用,实现了定积分在实际生活中的应用.通过这一系列的总结,可以进一步提升对定积分的认识,为以后的学习奠定了基础.关键词：定积分；求解方法；应用一、定积分的求解方法1.1 定积分概念定义1 不妨设在闭区间[m ,n ]中，不包含两个端点，共有1-k 个点,按照大小分别为m =0x <1x <2x <…<1-k x <k x =n ,这些点将闭区间[m ,n ]分割为大小不一的子区间，共有k 个，用i ∆表示这些子区间，即i ∆=[1-i x ,i x ],i =1,2, …,k 。
可以将k x x x ......,10点或[]n i xi x i i ......12,,1==∆-子区间视为分割了闭区间[m ,n ]，令集合=A {0x ,1x ,…,k x }或{1∆,2∆,…,k ∆}.定义2 假设函数g 的定义域为 [m ,n ]。
将区间[m ,n ]分割为k 个，得分割区间的集合=A {1∆,2∆,…,k ∆}，在区间i ∆上随意取点i ψ，即i ψ∈i ∆,i =1,2, …,k ，将该点函数值与自变量之差做乘积，累次相加得()iki ix g ∆∑=1ψ，该式是函数g 在定义域[m ,n ]上的积分和.定义3 假设函数g 的定义域为 [m ,n ]，S 是给定的实数。
假如总能找到某个的正数θ，以及任何正数σ，在定义域 [m ,n ]进行任意大小的分割A ，并且在分割出来的区间中随意选择一个点组成集合{i φ}，当A <θ时，存在σφ<-∆∑=S xg ni ii1)(，则函数g在定义域[m ,n ]上可积，即⎰=nmdx x g S )(。
定积分求变力做功
9. 结合其他物理概念和定律
在解决具体的物理问 题时，我们常常需要 结合其他物理概念和 定律。例如，我们可 能需要用到牛顿的第 二定律(F=ma)，动能 定理，动量定理等。 这些定律可以帮助我 们更准确地理解和计 算变力做功
定积分求变力做功
10. 验证和确认结果
最后，我们需要验证和确认我们的计算结果 是否正确。这可以通过对比我们的结果与实 验数据，或者用另一种方法重新计算来验证 。如果结果一致，那么我们的计算就是正确 的 通过以上的步骤，我们可以使用定积分求变 力做功，并结合其他物理概念和定律来解决 具体的物理问题。在实际应用中，我们还需 要根据具体问题的特点来灵活运用这些方法 和概念
定积分求变力做功
汇报人：xxxx
日期：20XX
-
1 1. 确定变力
2 2. 确定积分区间
3 3. 计算定积分
4 4. 求解定积分
5 5. 考虑物理约束和边界条件
6 6. 确定做功的物理意义
7 7. 应用实例
8 8. 考虑非保守力做功
9 9. 结合其他物理概念和定律
10 10. 验证和确认结果
定积分求变力做功
定积分求变力做功
4. 求解定积分
最后，我们需要求解定积分。定积分的求 解方法有多种，例如牛顿-莱布尼茨公式 、格林公式等。具体使用哪种方法取决于 具体的积分表达式和求解问题的要求
需要注意的是，在实际应用中，变力做功的 计算需要考虑到实际情况中的各种因素，例 如物体的质量、加速度、速度等。同时，对 于复杂的问题，可能需要使用更高级的数学 工具和方法来进行求解。因此，在进行变力 做功的计算时，需要根据实际情况进行具体 分析和计算
5. 考虑物理约 束和边界条件
在计算变力做功时， 还需要考虑物理约束 和边界条件。例如， 如果物体在一段时间 内移动了一段距离， 那么还需要将物体的 位移和速度考虑在内 。这些条件可以通过 物理公式和定理来得 到
常见积分公式
常见积分公式
定积分公式（Integral Formula）是一种重要的数学公式，它可以帮助我们计算积分。
它由微积分的发明者，著名数学家莱布尼茨在17世纪发明的。
它一直被用于计算积分，它也是许多科学计算中的基本公式。
定积分公式是一种求积分的方法，它可以用来计算曲线下面积。
它可以用来计算函数的积分，而不必将函数分解为不同的部分。
它也可以用来计算复杂函数的积分，例如椭圆，圆，抛物线等。
定积分公式是由一个复杂的函数和它的积分组成的。
它的形式如下：∫f(x)dx = F(x)+C
其中f(x)是函数，F(x)是函数的积分，C是一个任意常数。
定积分公式可以用来计算各种类型的函数，包括多项式，指数函数，对数函数，三角函数，微分方程等。
它可以用来计算各种函数的积分，例如简单积分，复杂积分，多项式积分等。
它还可以用来求解复杂积分，例如椭圆积分，圆积分，抛物线积分等。
定积分公式也可以用来解决物理问题，如力学中的动量守恒定律，电磁学中的Maxwell方程等。
它也可以被用来计算圆周长和圆面积，以及计算非线性函数的最优解。
定积分公式对于科学家和数学家来说十分重要，它的发现使得微积分的应用更加广泛，也使得微积分的研究变得更加容易。
它也为物理学，数学，工程等领域带来了重大突破，使得这些领域变得更加精确和准确。
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2x
x
0
f
(t )dt
1在[0,1]上只有一个解.
证
令
F(x)
2x
x
0
f
(t )dt
1,
f ( x) 1, F ( x) 2 f ( x) 0,
F ( x)在[0,1]上为单调增加函数. F (0) 1 0,
F (1)
1
1
0
f
(t )dt
1
0 [1
f
(t )]dt
0,
所以F ( x) 0即原方程在[0,1]上只有一个解.
y x
x2 2 x 0
2
o 1 2x
x
0 x1 ,
x
2
1 x2
原式
0 x2dx
1
xdx
2 x2dx 11.
2
0
1
2
例7 求 1 1dx.
2 x
解 当 x 0时， 1 的一个原函数是ln | x |,
x
1
2
1dx x
ln |
x
| 1 2
ln1
ln 2
ln 2.
例 8 计算曲线 y sin x在[0, ]上与 x轴所围
x a t , x 0 t 0,
2
原式 2
a cos t
dt
0 a sin t a2 (1 sin2 t)
2 0
cos t dt sin t cos t
1 2
2 0
1
cos t sin t
sin cos
t t
dt
1 2
2
1 2
ln
sin
t
cos
t
2 0
. 4
例11 当 f ( x)在[a, a]上连续，且有
① f ( x)为偶函数，则 f (t) f (t),
a
a
f
( x)dx
0
a
f
( x)dx
a
0
f
( x)dx
a
20 f (t)dt;
② f ( x)为奇函数，则 f (t) f (t),
a
a
f
( x)dx
0
a
f
( x)dx
a
0
f
( x)dx
0.
例12 计算
1 2x2 x cos x dx. 1 1 1 x2
§4. 定积分的计算
一 定积分计算的基本公式
设函数 f ( x)在区间[a, b]上连续，并且设 x为
[a, b]上的一点，考察定积分
x
a
f
( x)dx
x
a
f
(t )dt
如果上限 x在区间[a, b]上任意变动，则对
于每一个取定的 x值，定积分有一个对应值，所
以它在[a, b]上定义了一个函数，
x
三、定积分的分部积分法
定理 3 设函数u( x)、v( x)在区间a, b上具
有连续导数，则有
b
a udv
b
uv a
b
a vdu
.
定积分的分部积分公式
证 uv uv uv,
b
b
(uv)dx uv ,
a
a
uv b
b
uvdx
b
uvdx,
a
a
a
b
b
b
udv uv vdu.
a
aa
记 ( x) f (t)dt. 积分上限函数 a
定理１ 如果 f ( x)在[a, b]上连续，则积分上限的函
数( x)
x
a
f
(t)dt 在[a, b]上具有导数，且它的导
数是
(
x)
d dx
x
a
f (t)dt
f (x)
(a x b)
证
( x
x)
xx
a
f
(t )dt
y
( x x) ( x)
则有
b
a f ( x)dx
f [ (t)] (t)dt .
证 设F ( x)是 f ( x)的一个原函数，
b
a f ( x)dx F (b) F (a),
令 (t ) F[ (t )],
(t) dF dx f ( x) (t) f [(t )](t),
dx dt
(t )是 f [ (t )] (t )的一个原函数.
f
[(t )](t )dt
()
(),
( ) a、 ( ) b,
( ) ( ) F[( )] F[( )]
F(b) F(a),
b f ( x)dx F(b) F(a) ( ) ( ) a f [ (t)](t)dt.
注意 当 时，换元公式仍成立.
应用换元公式时应注意:
解
原式
1
1
1
2x2 1
x2
dx
1
1
x cos x 1 1 x2
dx
偶函数
奇函数
1
40 1
x2 1
x2
dx
1
40
x
2(1 1 (1
1
x x2)
2
)
dx
1
40
(1
1
x2
)dx
4
1
40
1 x2dx
单位圆的面积
4 .
例 13 若 f ( x) 在 [0,1] 上 连 续 ， 证 明
xf (sin x)dx f (sin x)dx . 由 此 计 算
82
08 4
1 ln(1 x)
例16
计算 0
(2 x)2 dx.
解
1 ln(1 x)
0 (2 x)2 dx
1 0
ln(1
x)d
2
1
x
ln(1 x 2 x
)1 0
1
0
2
1
x
d
ln(1
x)
ln 2 1 1 1 dx
3 0 2 x 1 x
11 1 x 2 x
ln 2 3
ln(1
x x
x
f (t)dt f (t)dt
a
a
( x)
o a x x x b x
x
x x
x
a f (t)dt x f (t)dt a f (t)dt
x x
y
f (t)dt, x
由积分中值定理得
( x)
f ( )x, 在x与x ox之a间. x x x b x
f ( ), lim lim f ( )
0 f (sin x)dx 0 xf (sin x)dx,
xf (sin x)dx
f (sin x)dx.
0
20
0
1
x
sin x cos2
x
dx
2
01
sin x cos2
x
dx
2
01
1 cos2
x
d (cos
x)
arctan(cos
2
x )0
( ) 2 . 2 44 4
x
证明函数F ( x)
0 tf
x
(t )dt
在(0,)内为单调增
0 f (t)dt
加函数.
证
d dx
x
0
tf
(t )dt
xf
( x),
dx
dx 0
f (t)dt
f ( x),
x
x
F ( x) xf ( x)0
f (t )dt f ( x)0 tf (t )dt
x
0
f
(t )dt
2
x
F(x)
的任意一个原函数在区间[a, b]上的增量.
求定积分问题转化为求原函数的问题.
牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学 之间的关系．
注意
当a
b
时，
b
a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a)仍成立.
例4
求
2 0
(
2
cos
x
sin
x
1)dx
.
解
原式
2 sin
x
cos
x
x
2
3
.
0
2
例5
设
f
(x)
2x 5
0 1
x x
(a)
a
a
f
(t )dt
0
F(a) C,
F ( x)
x
a
f
(t )dt
C,
x
a f (t)dt F ( x) F (a),
令x b
b
a f ( x)dx F (b) F (a).
牛顿—莱布尼茨公式
b
a
f
( x)dx
F (b)
F (a)
F
x
b a
基本公式表明
一个连续函数在区间[a, b]上的定积分等于它
x)
ln(2
x)10
5 3
ln
2
ln
3.
x2 sin t
1
例17
解
因设为fs(inxt)没 有1 初等t 形dt式, 的求原0x函f 数( x，)dx.
t
无法直接求出 f ( x)，所以采用分部积分法
1
0 xf ( x)dx
11
2 0
f ( x)d( x2 )
1 2
x2
f
(