高等数学第10章 曲线积分与曲面积分
《高等数学》第十章 曲线积分与曲面积分
x2
dS y2
z2
2
Dxz
(1
1 z2)
1
x2
dxdz
4
D1 (1
1 z2)
1
x2
dxdz
4
lim
a1
D1
(1
z
2
1 )
1
x2
dxdz
4
lim
a1
01dz
a
0
(1
1 z2)
1
x2
dx
lim arcsina
a1
2
2
.
z
1
y
例3 计算 zxdydz xydzdx yzdxdy,
z
1
其中 是圆柱面 x2 y2 1 o
在第一卦限中 0 z 1 的部分的前侧. x 1
y
1
例1
计算
x2
dS y2
z2
,
其中 是界于平面 z = 0 及
z = 1 之间的圆柱面 x2 y2 1.
1 dxdz 1 x2
右 : y2 1 x2 ,
dS
1
(
y1 x
)2
(
y1 z
)2
dxdz
1 dxdz. 1 x2
1
x2
dS y2
z2
Dxz
1 1 z2
1 dxdz 1 x2
右 : y2 1 x2 , 将曲面 右 向 xoz 面投影，得
高等数学II第十章 曲线积分与曲面积分
第十章 曲线积分与曲面积分 §1 对弧长的曲线积分计算公式：无论是对弧长还是对坐标的曲线积分重要的是写出曲线的参数方程若()():x x tL a t b y y t =⎧⎪≤≤⎨=⎪⎩，则()()()(,,b L af x y ds f x t y t=⎰⎰ 若()()():x x t L y y t a t b z zt =⎧⎪=≤≤⎨⎪=⎩，则()()()()(,,,,b Laf x y z ds f x t y t z t =⎰⎰ 注意：上限一定要大于下限计算下列对弧长的曲线积分（1）ds yx L ⎰+222)(，其中L 为圆周222a y x =+； 解：法一：222()Lx yds +=⎰ 22()Lads ⎰4La ds =⎰45(2)2a a a ππ== 法二：cos:02sin x a L y a θθπθ=⎧≤≤⎨=⎩，222()Lx y ds +⎰ ()()222[cos sin ]a a πθθθ=+⎰25502a d a πθπ==⎰（2）ds eLy x ⎰+22，其中L 为圆周222a y x =+，直线x y =及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；解：()L OAABBO=++⎰⎰⎰⎰ ，其中:,00x x OA x a y =⎧≤≤⎨=⎩， cos :,0sin 4x a AB y a θπθθ=⎧≤≤⎨=⎩，:0x x BO x y x =⎧≤⎨=⎩aoA=⎰⎰01ax a e dx e ==-⎰a ABABe ds =⎰⎰ 4aa ABaee ds π==⎰（或AB⎰4πθ=⎰404aaae e ad ππθ==⎰）BO=⎰1ae ==- 故(2)24a Le a π=+-⎰（3）⎰L xds ，其中L 为抛物线122-=x y 上介于0=x 与1=x 之间的一段弧；解：由2:0121x x L x y x =⎧≤≤⎨=-⎩，得10L xds =⎰⎰32122(116)332x +==（4）⎰L ds y 2，其中L 为摆线的一拱)20)(cos 1(),sin (π≤≤-=-=t t a y t t a x ； 解：[]22(1cos )Ly ds a t π=-⎰⎰5232(1cos )t dt π=-⎰52322(2sin)2tdtπ=⎰2358sin2ta dtπ=⎰令2tθ=）3516sina dπθθ=⎰353324225632sin325315a d a aπθθ==⨯⨯=⎰（5）dsxyL⎰，其中L为圆周222ayx=+；解：利用对称性14L Lxy ds xy ds=⎰⎰，其中1cos:0sin2x aLy aθπθθ=⎧≤≤⎨=⎩1144L L Lxy ds xy ds xyds==⎰⎰⎰204(cos)(sina aπθθθ=⎰3323224cos sin2sin2a d a aππθθθθ===⎰（6）dszyx⎰Γ++1，其中Γ为曲线tex t cos=，tey t sin=，t ez=上相应于t从0变到2的弧段；解：2221dsx y zΓ++⎰=⎰22)te dt e--==-⎰（7）dsy⎰Γ，其中Γ为空间圆周：⎪⎩⎪⎨⎧==++Γxyzyx2:222.解：由2222x y zy x⎧++=⎨=⎩，得2222x z+=，令cos02xzθθπθ=⎧⎪≤≤⎨=⎪⎩故cos:cos02xyzθθθπθ⎧=⎪Γ=≤≤⎨⎪=⎩。
高等数学科学出版社下册课后答案第十章曲线积分与曲面积分习题简答
第十章曲线积分与曲面积分习题简答习题10—11 计算下列对弧长的曲线积分：（1）LIxds ，其中L 是圆221xy中(0,1)A 到11(,)22B 之间的一段劣弧；解:1(1)2．（2）(1)Lx y ds，其中L 是顶点为(0,0),(1,0)O A 及(0,1)B 所成三角形的边界；解:(1)322Lxyds．（3）22Lxy ds，其中L 为圆周22x yx ；解:222Lxy ds．（4）2Lx yzds ，其中L 为折线段ABCD ，这里(0,0,0)A ，(0,0,2),B (1,0,2),C (1,2,3)D ；解:2853Lx yzds ．2 求八分之一球面2221(0,0,0)xyzx y z 的边界曲线的重心，设曲线的密度1。
解故所求重心坐标为444,,333．习题10—21 设L 为xOy 面内一直线y b （b 为常数），证明xyz(0,0,0)A (0,0,2)B (1,0,2)C (1,2,3)D xyoABC(,)0LQ x y dy 。
证明：略.2 计算下列对坐标的曲线积分：（1）Lxydx ，其中L 为抛物线2yx 上从点(1,1)A 到点(1,1)B 的一段弧。
解:45Lxydx 。
（2）Ldy y xdx y x 2222)()(，其中L 是曲线x y11从对应于0x 时的点到2x 时的点的一段弧；解34)()(2222Ldyy xdxy x．（3）,Lydx xdy L 是从点(,0)A a 沿上半圆周222xya 到点(,0)B a 的一段弧；解0.Lydxxdy（4）22Lxy dyx ydx ，其中L 沿右半圆222xya 以点(0,)A a 为起点，经过点(,0)C a 到终点(0,)B a 的路径；解22Lxy dyx ydx44a 。
（5）3223Lx dx zy dy x ydz ，其中L 为从点(3,2,1)A 到点(0,0,0)B 的直线段AB ；解3223Lx dx zy dy x ydz3187874t dt。
第10章-曲线积分与曲面积分 高等数学教学课件
f (x, y) d s
f (x, y) d s.
L( A,B)
L( B, A)
性质2 设, 为常数，则
L[ f (x, y) g(x, y)]d s L f (x, y)d s L g(x, y)d s.
性质3 若积分路径L可分成两段光滑曲线弧L1,L2, 则
f (x, y) d s f (x, y) d s f (x, y) d s.
把 L分成n个有向小弧段
¼ A0 A1, ¼ A1A2,L , ¼ Ai1Ai ,L , ¼ An1An, (A0(x0, y0) A, An (xn, yn) B).
令xi xi xi1, yi yi yi1，在¼ Ai1Ai上任取点Mi (i ,i )， i 1, 2,L , n，若当小弧段的长度的最大值 0时，和
若L是闭曲线,即L的两个端点重合,那么f (x, y)
在闭曲线L上对弧长的曲线积分记为
ÑL f (x, y) d s.
函数f (x, y, z)在曲线弧上对弧长的曲线积分为
n
f (x, y, z) d s lim 0
i 1
f (xi , yi , zi )si.
性质1 对弧长的曲线积分与曲线L的方向无关，即
方程为x =a cos t, y =a sin t, z = kt, 0 t 2p, k>0.
解 Q x' t asint, y' t a cost, z' t k,
[x '(t)]2 [( y '(t)]2 [z '(t)]2 a2 k2 ,
(x2 y2 z2 ds 2p (a2 k 2t2 ) a2 k 2 dt
d r d xi d yj d zk，即有
高等数学第十章曲线积分与曲面积分(考研辅导班内部资料)
ds L ( L 表示曲线 L 的弧长 ) ．
L
积函数可用积分曲线方程作变换．
（ 6） 奇偶性与对称性 如果积分弧段 L (AB ) 关于 y 轴对称，
f (x, y)ds 存在，则
L( AB )
f ( x, y)ds
L ( AB )
0,
f ( x, y) 关于 x是奇函数 ,
2
f ( x, y)ds，f ( x, y) 关于 x是偶函数 .
切线的方向余弦是一个常量。 所以， 当积分曲线是直线时， 可能采用两类不同的曲线积分的
转换。
定理 4 （格林公式）
设 D 是由分段光滑的曲线 L 围成，函数 P( x, y), Q (x, y) 及其一阶偏导数在 D 上连续，
则有
P(x, y)dx Q (x, y)d y
Q P dxdy
L
Dx x
设 L (AB ) 的平面曲线： 其参数方程： x
分别是 和 ，则
(t), y
(t) ，起点和终点对应的参数取值
Pdx Qdy
L ( AB)
{ P( (t ), (t)] (t) Q[( (t), (t )] (t )}dt
设 L (AB ) 的空间曲线 ：其参数方程： x (t), y (t ), z w(t ) ，起点和终点对应的
表示曲线的线密度。 定义 2 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）
（ 1）平面曲线 L( AB) 的积分：
P(x, y)dx Q( x, y)dy
L ( AB )
（ 2）空间曲线 L( AB) 的积分：
n
lim
(T ) 0
[ f ( k , k ) xk
k1
f ( k , k ) yk ]
高等数学(二)复习指导-第10章曲线积分与曲面积分
第十章 曲线积分与曲面积分一、基本要求及重点、难点1. 基本要求(1) 了解第一类曲线积分（即对弧长的曲线积分）的概念及其物理与几何意义，并掌握其计算方法。
(2) 了解第二类曲线积分（即对坐标的曲线积分）的概念及物理意义，并掌握其计算方法，能熟练应用曲线积分计算力场沿曲线所做的功。
(3) 掌握格林公式的条件和结论，熟练掌握利用格林公式把第二类曲线积分化为二重积分的计算方法，及掌握通过添加辅助曲面利用格林公式改变积分路径的计算方法。
(4) 掌握在单连通区域上第二类曲线积分与路径无关的等价条件及其应用，会求全微分的原函数。
(5) 了解第一类曲面积分（即对面积的曲线积分）的概念及其物理与几何意义，并掌握其计算方法。
(6) 掌握高斯公式的条件与结论，并会利用高斯公式计算第二类曲面积分。
2. 重点及难点（1）重点： (a) 熟练选择适当的参数方程或坐标系将曲线积分化为定积分。
(b) 熟练掌握用投影法将曲面积分化为二重积分。
(c) 格林公式（熟练使用格林公式计算曲线积分）。
(d) 曲线积分与路径无关的概念及条件。
(e) 高斯公式（熟练使用高斯公式计算曲面积分）。
（2）难点： (a) 两类曲线积分的关系。
(b) 格林公式的灵活使用（条件、结论；辅助曲线的添加）。
(c) 高斯公式的灵活使用（条件、结论；辅助曲面的添加）。
二、内容概述1、曲线积分的基本概念与性质(1) 对弧长的曲线积分（又称第一类曲线积分）定义 设(,)f x y 在x O y 面内的光滑曲线L 上有界. 第一类曲线积分为1(,)lim (,)ni i i Li f x y ds f s λξη→==∆∑⎰(见课本).Γ为空间曲线时，类似地有1(,,)lim (,,)ni i i i i f x y z ds f s λξηζΓ→==∆∑⎰.物理意义 设曲线L 的线密度为(,)x y ρ，则其质量为(,)LM x y ds ρ=⎰性质1 运算性质[] (,)(,) (,)(,)LLLf x yg x y ds f x y ds g x y ds ±=±⎰⎰⎰(,)(,)LLkf x y ds k f x y ds =⎰⎰ 其中k 为常数．性质2 对弧长的曲线积分与积分路径的走向无关，即⎰⎰-=LL ds y x f ds y x f ),(),(．性质3 对积分路径具有可加性，即12(,)(,)(,)(,)kLL L L f x y ds f x y ds f x y ds f x y ds =+++⎰⎰⎰⎰其中12k L L L L =+++．(2) 对坐标的曲线积分（又称第二类曲线积分）定义 设(,),(,)P x y Q x y 在x O y 面内的有向光滑曲线L 上有界.(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰[]01lim (,)(,)ni i i i i i i P x Q y λξηξη→==∆+∆∑．Γ为空间曲线时，类似地有(,,)(,,)(,,)P x y z dx Q x y z dy R x y z dz Γ++⎰[]01lim (,,)(,,)(,,)ni i i i i i i i i i i i i P x Q y R z λξηζξηζξηζ→==∆+∆+∆∑.物理意义 变力(,) (,)F P x y i Q x y j =+沿曲线L 所作的功为(,)(,)LW P x y dx Q x y dy =+⎰．性质1 对坐标的曲线积分与积分路径的方向有关，即⎰⎰-+-=+LL dy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P ),(),(),(),(．性质2 对积分路径具有可加性，即1(,)(,)(,)(,)LL P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy +=+⎰⎰2(,)(,)(,)(,)kL L P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy +++++⎰⎰其中k L L L L +++= 21．（3）两类曲线积分之间的关系平面曲线L 上两类曲线积分有如下关系(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰[(,)cos (,)cos ]LP x y Q x y ds αβ=+⎰其中),(),,(y x y x βα为平面有向曲线L 上点),(y x 处的切线向量的方向角．空间曲线Γ上两类曲线积分有如下关系(,,)(,,)(,,)P x y z dx Q x y z dy R x y z dzΓ++⎰[(,,)cos (,,)cos (,,)cos ]P x y z Q x y z R x y z ds αβγΓ=++⎰其中(,,),(,,),(,,)x y z x y z x y z αβγ为空间有向曲线Γ上点(,,)x y z 处切向量的方向角．2、曲线积分的计算公式 (1) 对弧长的曲线积分（1）设函数(,)f x y 在平面曲线: (t), (t),L x y φψ==()t αβ≤≤上连续(),()t t φψ''在区间[], αβ上连续，且22()()0t t φψ''+≠，则[ (,) (), ()Lf x y ds f t t βαφψ=⎰⎰（2）设平面曲线L 的方程为)(),(b x a x y y ≤≤=且)(x y '在区间[]b a ,上连续，则[ (,),()bLaf x y ds f x y x =⎰⎰（3）设函数),,(z y x f 在空间曲线: (), (),x t y t φψΓ==),(t z ω=(t α≤)β≤上连续，(),(),()t t t φψω'''在区间[],αβ上连续，且22()()t t φψ''+2()0t ω'+≠，则(,,)f x y z ds Γ⎰[ (), (), ()f t t t βαφψω=⎰注意 化对弧长的曲线积分为定积分时,定积分的上限一定比下限大．（2）对坐标的曲线积分(1) 设函数),(),,(y x Q y x P 在有向曲线L 上连续，L 的参数方程为:),(),(t y t x ψϕ==βα→:t ，即α为有向曲线L 的始点对应的参数值，β为其终点对应的参数值．且)(),(t t ψϕ''在以βα,为端点的区间上连续，22()()0t t φψ''+≠，则(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰[] ( (), ())()( (), ()) ()P t t t Q t t t dtβαφψφφψψ''=+⎰(2) 若L 是由方程 ()y x φ=给出,L 的始点的横坐标为a ,终点的横坐标为b ,)( x ϕ具有一阶连续导数,则(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰[] (, ())(, ())()baP x x Q x x x dxφφφ'=+⎰(3) 类似地,对于空间曲线:(),(),()x t y t z t φψωΓ===(,,)(,,)(,,)P x y z dx Q x y z dy R x y z dzΓ++⎰[][] (), (), ()() (), (), ()()P t t t t dt Q t t t t dtββααφψωφφψωψ''=+⎰⎰ [](), (), ()()R t t t t d t βαφψωω'+⎰ α为有向曲线Γ的始点对应的参数值，β为其终点对应的参数值．（3）二元函数的全微分求积设函数),(y x P ,),(y x Q 在单连通域G 内有连续的一阶偏导数,且xQy P ∂∂=∂∂，则Qd y P d x +在G 内为某一函数),(y x u 的全微分，且有0 (,)(,)(,)x yx y u x y P x y dx Q x y dy =+⎰⎰，(如图 (a))或 dx y x P dy y x Q y x u xx yy ⎰⎰+=00),(),(),(，(如图 (b))．3、曲线积分的有关定理定理1 (格林公式) 设闭区域D 是由分段光滑的曲线L 围成,函数),(),,(y x Q y x P 在D 上具有连续的一阶偏导数，则有dxdy y P x Q Qdy Pdx L D ⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=+其中L 是D 的取正向的边界曲线．定理2 (平面上曲线积分与路径无关的条件) 设函数),(y x P ,),(y x Q 在单连通域G 内有连续的一阶偏导数,则以下四个条件等价①LPdx Qdy +⎰与路径无关,即LPdx Qdy +=⎰1L Pdx Qdy +⎰,其中L 、1L 为G 内具有相同始点和终点任意曲线；②⎰=+LQdy Pdx 0,其中L 为G 内的任意闭曲线;③P Q y x∂∂=∂∂在G 内恒成立; ④ (,)Pdx Qdy du x y +=,即Pdx Qdy +在G 内为某一函数(,)u x y 的全微分．4、曲面积分的基本概念与性质（1）对面积的曲面积分（又称第一类曲面积分）定义 设(,,)f x y z 在光滑曲面∑上有界.1(,,)lim (,,)niiiii f x y z dS f S λξηζ→=∑=∆∑⎰⎰(极限存在时)．物理意义 设曲面∑的面密度为(,,)x y z ρ，则其质量为(,,)M x y z dS ρ∑=⎰⎰．性质 设曲面12,(1,2,,)k i i k ∑=∑+∑++∑∑=都是光滑的,则12(,,)(,,)(,,)f x y z dS f x y z dS f x y z dS∑∑∑=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(,,)kf x y z dS ∑++⎰⎰（2）对坐标的曲面积分（又称第二类曲面积分）指定了侧的曲面称为有向曲面．定义 设(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z 在有向光滑曲面∑上有界.1(,,)lim (,,)()niiii yzi P x y z dydz P S λξηζ→=∑=∆∑⎰⎰(极限存在时)1(,,)lim (,,)()niiii zxi Q x y z dzdx Q S λξηζ→=∑=∆∑⎰⎰(极限存在时)1(,,)lim (,,)()niiii xyi R x y z dxdy R S λξηζ→=∑=∆∑⎰⎰(极限存在时)其中(,,)i i i ξηζ是任意分割有向曲面∑为n 片小曲面后,所得到的第i 片小曲面i S ∆上的任意一点,(),(),()i xy i yz i zx S S S ∆∆∆分别为i S ∆在三个坐标面上的投影.λ为n 片小曲面i S ∆(1,2,)i n =的直径中的最大者．曲面∑在点(,,)i i i ξηζ处的单位法向量为cos cos cos i i i n i j k αβγ=++()cos ,()cos ,()cos .i yz i i i zx i i i xy i i S S S S S S αβγ∆≈∆∆≈∆∆≈∆物理意义 稳定流动的不可压缩的流体（密度1=ρ），如果在点),,(z y x 处的流速是(,,) (,,)(,,)v P x y z i Q x y z j R x y z k =++,则单位时间内流过曲面∑一侧的流量为Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑Φ=++⎰⎰．性质1 设曲面12,k ∑=∑+∑++∑则1Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy∑∑++=++⎰⎰⎰⎰2.kPdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑∑+++++++⎰⎰⎰⎰性质2 设∑-表示与∑取相反侧的有向曲面，则Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy -∑∑++=-++⎰⎰⎰⎰（3）两类曲面积分之间的关系空间曲面∑上的两类曲面积分有如下关系(cos cos cos )Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dSαβγ∑∑++=++⎰⎰⎰⎰其中cos ,cos ,cos αβγ是有向曲面∑上点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦．5、曲面积分的计算公式 （1）对面积的曲面积分设光滑曲面∑的方程是∑=),,(y x z z 在坐标面xoy 上的投影区域为xy D ，则(,,)f x y z dS∑⎰⎰[],,(,)xyD f x y z x y =⎰⎰ 设光滑曲面∑的方程是∑=),,(z x y y 在坐标面xoz 上的投影区域为xz D ，则(,,)f x y z dS ∑⎰⎰[],(,),xzD f x y x z z =⎰⎰设光滑曲面∑的方程是∑=),,(z y x x 在坐标面yoz 上的投影区域为yz D ，则(,,)f x y z dS ∑⎰⎰[](,),,yzD f x y z y z =⎰⎰（2）对坐标的曲面积分设光滑曲面∑的方程是∑=),,(y x z z 在坐标面xoy 上的投影区域为xy D ，取上（下）侧，则[](,,),,(,)xyD R x y z dxdy R x y z x y dxdy∑=±⎰⎰⎰⎰其中，∑取上侧时为正，∑取下侧时为负．注意 当曲面∑是母线平行于z 轴的柱面0),(=y x F 时，∑上任意一点的法向量与z 轴的夹角的余弦cos cos02πγ==，则(,,)0R x y z dxdy ∑=⎰⎰．设光滑曲面∑的方程是∑=),,(z x y y 在坐标面xoz 上的投影区域为xz D ，则(,,)Q x y z d z d x∑⎰⎰[],(,),xzD Q x y x z z dzdx =±⎰⎰∑取右侧时为正，∑取左侧为负．设光滑曲面∑的方程是(,),x x y z =∑在坐标面yoz 上的投影区域为yz D ，则(,,)P x y z dydz∑⎰⎰[](,),,yzD P x y z y z dydz =±⎰⎰∑取前侧时为正，∑取后侧为负．6、曲面积分的有关定理定理1（高斯公式） 设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围成，函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在Ω上具有一阶连续偏导数，则有⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=++dxdydz z R y Q x P Rdxdy Qdzdx Pdydz或⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=++dxdydz z R y Q x P dS R Q P )cos cos cos (γβα其中∑是Ω的整个边界曲面的外侧，cos ,cos ,cos αβγ是∑上点),,(z y x 处的法向量的方向余弦．三、典型例题分析例1： 计算22x y Leds +⎰,其中L 为圆周222x y a +=,直线x y =及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界.分析 由于曲线L 分段光滑,所以先将L 分为若干光滑曲线段之和,再利用曲线积分的可加性计算曲线积分.解:22123x y LL L L eds +=++⎰⎰⎰⎰1L 的方程为 ,0y x x⎛⎫=≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭ds ==1L dx =⎰⎰)a d e ==⎰2L 的方程为：cos ,sin ,04x a t y a t t π⎛⎫==≤≤ ⎪⎝⎭ds adt ===24 04a a L aae dt e ππ==⎰⎰3L 的方程为 0,(0)y x a =≤≤，ds dx ==.301ax a L e dx e ==-⎰⎰所以22123x y LL L L eds +=++⎰⎰⎰⎰112244a a a a aa e e e e ππ⎛⎫=-++-=+- ⎪⎝⎭例 2 ：具有连续偏导数的函数(,)f x y 应满足怎样的条件才能使曲线积分(,)()Lf x y ydx xdy +⎰与积分路径无关。
大学高数第十章曲线积分与曲面积分课后参考答案及知识总结
，
原式=
注：利用二重积分的被积函数的奇偶性及积分区域的对称性有 .
★★4.利用曲线积分，求星形线 所围成图形的面积。
解：由公式
★★5.求双纽线 所围区域的面积。
解：双纽线的极坐标方程为：
由图形的对称性知：
★★6.计算 ，其中 为圆周 的顺时针方向。
解： 参数方程为： 变化从 到
原式
原式
法二： 线积分与路径无关。
原式 =
★★15.利用曲线积分，求下列微分表达式的原函数：
(1) ;
(2) ;
(3) .
解：(1) ,
是某函数的全微分
.
(2)
是某函数的全微分
.
(3)
是某函数的全微分
★★16.设有一变力在坐标轴上的投影为 ， ，改变力确了一个力场.
证明质点在此场内移动时，场力所作的功与路径无关.
(1)螺旋形弹簧关于 轴的转动惯量 ;
(2)螺旋形弹簧的重心.
解:
(1)
.
(2)
螺旋形弹簧关于 平面的静力矩分别为：
同法得：
.
,
.
提高题
★★★1.计算 ，其中 为正向圆周 ，直线 及 轴在第一项限内所围成的扇形的整个边界.
解： 与 在第一象限的交点为 .
如图：
;
; .
则原式
★★★★2.计算 ，其中 为圆柱面 与锥面 的交线.
解：摆线的参数方程为：
原式
★★5.计算曲线积分 ，其中 为螺旋线 上相应于 从 到 的一段弧。
解：
原式
★★6.计算曲线积分 ，其中 为折线 ,这里 , , , 依次为点 ， ， ， .
解：如图，原式=
曲线积分与曲面积分知识点
第十章 曲线积分与曲面积分一、 一、 重点两类曲面积分及两类曲面积分的计算和格林公式、高斯公式的应用 二、 二、 难点对曲面侧的理解，把对坐标的曲面积分化成二重积分，利用格林公式求非闭曲线上的第二类曲线积分，及利用高斯公式计算非闭曲面上的第二类曲面积分。
三、 三、 内容提要1． 1． 曲线（面）积分的定义：（1） （1） 第一类曲线积分∑⎰=→∆∆ni i i i LS f ds y x f 0),(lim ),(ηξλ（存在时）i S ∆表示第i 个小弧段的长度，（i i ηξ,）是i S ∆上的任一点小弧段的最大长度。
实际意义：当f(x,y)表示L 的线密度时，⎰Lds y x f ),(表示L 的质量；当f(x,y) ≡1时，⎰Lds表示L 的弧长，当f(x,y)表示位于L 上的柱面在点（x,y ）处的高时，⎰Lds y x f ),(表示此柱面的面积。
（2） （2） 第二类曲线积分]),(),([lim 1i i i ni iiiLy Q x P Qdy Pdx ∆+∆∆+∑⎰=→ηξηξλ(存在时)实际意义：设变力F =P(x,y) i +Q(x,y) j 将质点从点A 沿曲线L 移动到B 点，则F 作的功为：⎰⎰+=⋅=L L Qdy Pdx S d F W，其中S d =（dx,dy ）事实上，⎰L Pdx ，⎰L Qdy 分别是F在沿X 轴方向及Y 轴方向所作的功。
（3） （3） 第一类曲面积分∑⎰⎰=→∑∆∆ni i iiiS f ds z y x f 1),,(lim ),,(ζηξλ(存在时)i S ∆表示第i 个小块曲面的面积，（i i i ζηξ,,）为i S ∆上的任一点，λ是n 块小曲面的最大直径。
实际意义：当f(x,y ，z)表示曲面∑上点（x,y,z ）处的面密度时，⎰⎰∑ds z y x f ),,(表示曲面∑的质量，当f(x,y,z) ≡1时，⎰⎰∑ds 表示曲面∑的面积。
高数 第十章 曲线积分与曲面积分
计算
定积分
计算
Stokes公式 计算 曲面积分 Gauss公式
重积分
16
积分概念的联系
定积分
f ( M )d lim f ( M ) i , f ( M )点函数
0
i 1
n
当 R1上区间 a, b]时, f ( M )d f ( x )dx. [
5
基本问题： 如何熟练掌握各种积分的计算
首先判断准确要求的是哪一类积分 重要的是牢牢记住各种积分的计算方法
1、I
L
f ( x , y )ds 代入曲线的方程以及ds，从而化为定积分解之
2、I Pdx Qdy 代入曲线的方程，化为定积分解之 L
P Q 闭合 y x 非闭
( y 2 z 2 ) dS; I z
( x 2 y 2 ) dS
曲面质心： 曲面形心：
x
x
dS ; y
S
;y
ydS ydS
dS ; z
S
;z
dS S
dS zzdS
15
（二）各种积分之间的联系
积分是
P cos Q cos R cos ds
，其中， ，为有向曲面上点
x, y, z 处的
法方向 的方向角。
20
2.选择以下各题中给出的四个结论中一个正确的结论：
(1)设曲面是上半球面 : x 2 y 2 z 2 R 2 , z 0, 曲面 1 是 曲面在第一卦限中的部分 , 则有 C .
条 件 等
高等数学第十章《曲线积分与曲面积分》
第十章 曲线积分与曲面积分一．曲线积分的计算 （1）基本计算1.第一类：对弧长线积分的计算(,)Lf x y ds ⎰关键是用曲线L:(),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩()t αβ≤≤做变量替换（被积函数，积分变元，积分范围）(,)[(),(,()Lf x y ds f t t βαϕψαβ=<⎰⎰例 L 为圆周221,x y +=则22xy Le ds +=⎰2e π 参数方程，曲线代入解 cos :(02)sin x L y θθπθ=⎧≤≤⎨=⎩ds d θθ==22x y Leds +=⎰202ed e πθπ=⎰例 计算2⎰L x ds ，其中2222:(0)0⎧++=>⎨-=⎩x y z a L a x y . (8分)解 由于 22222222::00⎧⎧++=+=⇒⎨⎨-=-=⎩⎩x y z a x z a L L x y x y 所以L 的参数方程可表示为:(02)sin θθπθ⎧=⎪⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪=⎪⎩x L y t z a (3分)θθ==ds ad (2分) 故23222cos 22ππθθ==⎰⎰La a x ds ad(3分) 【例10.22】求⎰,式中L 为圆周22(0)x y ax a +=>解 L 的极坐标方程为:,(),cos 22L ds ad r a θθππθθθθ=⎧-≤≤==⎨=⎩则222cos 2a ad a ππθθ-=⋅=⎰⎰第二类：对坐标的线积分的计算 关键是用曲线L:(),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩(:)t αβ→做变量替换（被积函数，积分变元，积分范围）''(,)(,){[(),()]()[(),()]()}LP x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt βαϕψϕϕψψ+=+⎰⎰例 设L 为抛物线2y x =从点()0,0到()2,4一段弧，则()22Lx y dx -=⎰5615-注意微元，及参数方程的形式【例10.17】 求2L ydx xdy x +⎰，其中L 是曲线ln y x =上从点(1,0)到点(,1)e 的一段弧. 解 由ln y x =得1,ydx dy x e x==，故原式=1121002()|y y ydy e dy y e e +=+=⎰⎰⑵ 基本技巧① 利用对称性简化计算；对弧长的线积分，对称性同二重积分 例 计算3222(),Lx y ds L x y R 其中：++=⎰解：33()LLLx y ds xds y ds =+=0+⎰⎰⎰ 第一个L 关于y 对称，第二个L 关于x 对称【例10.15】 求yL xe ds ⎰，其中L 是由cos (0)sin x a ta y a t =⎧>⎨=⎩所表示的曲线上相应于233t ππ≤≤的一段弧.解 （法一）ds adt ==,故 原式=22sin sin 3333cos |0a ta ta t e adt aeππππ⋅⋅==⎰.（法二）容易看出积分弧段关于y 轴对称，而被积函数是关于变量x 的奇函数，故0y Lxe ds =⎰【例10.18】 求2()Lx y ds +⎰，其中L 为圆周222x y a +=.解 由对称性得0Lxyds =⎰，故22222()(2)()2LLLLx y ds x xy y ds x y ds xyds +=++=++⎰⎰⎰⎰2223022LLa ds a ds a a a ππ=+==⋅=⎰⎰对坐标的线积分，对称性为，当平面曲线L 是分段光滑的，关于x 对称，L 在上半平面与下半平面部分的走向相反时，若P 对y 为偶函数，则，0LPdx =⎰奇函数，则12LL Pdx Pdx =⎰⎰。
《高等数学》第十章曲线积分与曲面积分 第五节
G
B( x , y )
C ( x , y0 )
o
u( x , y ) x P ( x , y0 )dx y Q( x , y )dy
0 0
x
x
y
AC CB
或 u( x , y ) y Q( x0 , y )dy x P ( x , y )dx
一重积分中,牛顿—莱布尼茨公式
f(x)积分区间[a , b]
y
y f x
b
a
f ( x )dx F (b) F (a )
二重积分中, 格林公式
o a
y
b x
D
f(x, y)积分区域D
x y dxdy L Pdx Qdy . D P Q
o
三重积分中, 高斯公式和斯托克斯公式
2
设 P ( x , y ) x 2 2 xy , Q( x , y ) x 2 y 4 .
则 P，Q 在全平面上有连续的 一阶偏导数，且
1
y
B
1
P 2 x , y
Q 2 x. x
o
x
Q P 即 . 全平面是单连通域。 y x
因此，积分与路径无关。
10
P 2 x , y
( x, y)
D
0 , y0 )
P ( x , y )dx Q( x , y )dy
0
x
当起点A( x , y )固定时，
0
O
积分的值取决于终点 B( x , y ), 因此，它是 x , y的函数，
定义 u( x , y )
( x, y)
( x0 , y0 )
高数课件第十章 曲线积分与曲面积分
Σ: x−y+z = 在第四卦限部分的上侧 1 在第四卦限部分的上侧.
解： (c sα,c sβ,c sγ) = 1 ( ,− ,1 o o o 1 1) 3 1 I =∫∫ [f (x y z)+x−2f (x y z)−y+f (x y z)+z]dS , , , , , , ∑ 3 1 =∫∫ [x−y+z]dS ∑ 3 1 1 3 1 =∫∫ dS= . = ∑ 3 3 2 2
+∫ ( x y−3 y2 +y2) d 32 x y u(x y =∫ 5x d , ) x 0
4 0
x
y
32 2 3 1 3 =x + x y −xy + y 3 2 因此方程的通解为 5 3 2 2 3 1 3 x + x y −xy + y =C 2 3
5
y
(x y , )
o (x0 x ,)
2π R 2 2 2
π
+ ∫ dθ ∫π dϕ ∫
2 0 3
2π
π
2 R cos ϕ
0
r cos ϕ ⋅ r sin ϕ dr
2 2 2
第十章 曲线积分与曲面积分
1. 第一类曲线积分 物质曲线质量） （物质曲线质量） 2. 第二类曲线积分 变力作功） （变力作功） 3. 第一类曲面积分 曲面薄板质量） （曲面薄板质量） 4. 第二类曲面积分 通量） （通量）
曲线积分
曲面积分
1. 第一类曲线积分的计算
(1)利用参数方程化为定积分 利用参数方程化为定积分 • 对光滑曲线弧
f (x y d =∫ f[ ( )ψ( ) φ 2( )+ ′2( )dt ∫ , ) s α φt , t ] ′ t ψ t L
(完整版)高等数学科学出版社下册课后答案第十章曲线积分与曲面积分习题简答
1若球面上每一点的密度等于该点到球的某一定直径的距离的平方，求球面的质量。）
解：
。
2设某流体的流速为 ，求单位时间内从圆柱 ： （ ）的内部流向外侧的流量（通量）。
解：0.
3求向量场 的散度。
解 v 。
4求向量场A i j k（ 为常数）沿有向闭曲线 （从 轴的正向看 依逆时针方向）的环流量。
解： 。
第十章曲线积分与曲面积分习题简答
1计算下列对弧长的曲线积分：
（1） ，其中 是圆 中 到 之间的一段劣弧；
解: ．
（2） ，其中 是顶点为 及 所成三角形的边界；
解: ．
（3） ，其中 为圆周 ；
解: ．
（4） ，其中 为折线段 ，这里 ，
；
解: ．
2求八分之一球面 的边界曲线的重心，设曲线的密度 。
解 。
（5） ，其中 为从点 到点 的直线段 ；
解 。
（6） ， 为椭圆周 且从 轴正方向看去， 取顺时针方向。
解: 。
1.利用曲线积分求下列平面曲线所围成图形的面积:
(1)星形线 ( )；）
解: 。
(2)圆 ，（ ）；
解: 。
2利用格林公式计算下列曲线积分:
(1) ，其中 是圆 ，方向是逆时针方向；
。
2计算曲面积分 ，其中 是
（1）锥面 及平面 所围成的区域的整个边界曲面；
解 。
（2） 面上的直线段 绕 轴旋转一周所得到的旋转曲面。
解 。
3计算下列曲面积分:
(1) ，其中 是抛物面在 面上方的部分： , ；
解： .
(2) ，其中 是上半球面 , ；
解： .
（3） ，其中 为平面 在第一卦限的部分；
高数第十章曲线积分与曲面积分
第十章 曲线积分与曲面积分一、对弧长的曲线积分（又称第一类曲线积分） 1、定义ini iiLs f ds y x f ∆ηξλ∑⎰=→=1),(lim),(， i ni i i i s f ds z y x f ∆=∑⎰=→Γ1),,(lim ),,(ζηξλ2、物理意义 线密度为),(y x ρ的曲线L 质量为ds y x M L⎰=),(ρ线密度为),,(z y x f 的曲线Γ质量为ds z y x f M ⎰Γ= ),,(3、几何意义 曲线L 的弧长=s ds L⎰，曲线Γ的弧长ds s ⎰Γ=4、若L ：k y x f =),(（常数），则ks ds k ds k ds y x f LLL===⎰⎰⎰),(5、计算（上限大于下限）（1）,(t) ,(t) :ψϕ==y x L ()βα≤≤t ，则[][][]dt t t t t f ds y x f L22)()()( ),( ),(ψϕψϕβα'+'=⎰⎰（2）L ：0()()y x x x X ψ=≤≤，则0(,)[,(XLx f x y ds f x x ψ=⎰⎰（3）L ：0()()x y y y Y ϕ=≤≤，则0(,)[(),.Y Ly f x y ds f y y ϕ=⎰⎰（4）)().(),(),(:βαωψϕ≤≤===Γt t z t y t x ，则(,,)[(),(),(()f x y z ds f t t t βαϕψωαβΓ=<⎰⎰二、对坐标的曲线积分 1、定义dy y x Q dx y x P L),(),( +⎰[]∑=→+=ni i i i iiiy Q xP 1),(),(lim∆ηξ∆ηξλdz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(++⎰Γ[]∑=→++=n i i i i i i i i i ii iiz R y Q x P 1),,(),,(),,(lim ∆ζηξ∆ζηξ∆ζηξλ2、计算（下限对应起点，上限对应终点）（1）,(t) ,(t) :ψϕ==y x L ()βα→:t ，则(,)(,){[(),()]()[(),()]()}LP x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt βαϕψϕϕψψ''+=+⎰⎰（2）L ：()y x ψ=()X x t →0:，则{[,()][,()]()}bLa Pdx Qdy P x x Q x x x dx ψψψ'+=+⎰⎰（3）L ：()x y ϕ=()Y y t →0:，则{[(),]()[(),]}dLcPdx Qdy P y y y Q y y dy ϕϕϕ'+=+⎰⎰（4）):().(),(),(:βαωψϕ→===Γt t z t y t x ，则(,,)(,,)(,,)P x y z dx Q x y z dy R x y z dz Γ++⎰ {[(),(),()]()[(),(),()]()[(),(),()]()}P t t t t Q t t t t R t t t t dt βαϕψωϕϕψωψϕψωω'''=++⎰ 3、两类曲线积分之间的联系(cos cos )LLPdx Qdy P Q ds αβ+=+⎰⎰其中，(,),(,)x y x y αβ为有向曲线弧L 上点(,)x y 处的切线向量的方向角。
高等数学 第十章 曲线积分与曲面积分 第三节 格林公式及其应用
y
(1) 当( =0 由格林公式知 ∫L 2 2 x +y
(2) 当( 0,0) ∈ D 时,
o
x
作位于 D 内圆周 l : x + y = r ,
2 2 2
y
L
D1
记 D1 由 L 和 l 所围成,
应用格林公式,得
o
l
r
x
∫
L+ l −
xdy − ydx =0 2 2 x +y
N
1 0 a = ∫a x ( − 1)dx − ( ax − x )dx 2 2 ax
a a 1 2 = ∫0 xdx = 6 a . 4
x2 y2 例5 计算椭圆 D = {( x , y ) : 2 + 2 ≤ 1}的面积。 a b y 1 L 解 A = ∫ xdy − ydx ， x 2L O L : x = a cos t , t : 0 → 2π y = b sin t ,
D = {( x , y ) ϕ 1 ( x ) ≤ y ≤ ϕ 2 ( x ), a ≤ x ≤ b} D = {( x , y )ψ 1 ( y ) ≤ x ≤ ψ 2 ( y ), c ≤ y ≤ d }
d ψ ( y ) ∂Q ∂Q ∫∫ ∂x dxdy = ∫c dy ∫ψ ( y ) ∂x dx D
2 1
= ∫c Q(ψ 2 ( y ), y )dy − ∫c Q(ψ 1 ( y ), y )dy
d d
y
=
∫
CBE
Q( x , y )dy − ∫
CAE
Q( x , y )dy
d
x = ψ 1( y)
E D B
x = ψ 2 ( y)
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10.7.2 旋度的定义及其物理意义
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实际上，我们常常碰到的曲面是双侧曲面，但单侧 曲面也存在，最有名的单侧曲面是拓扑学中的莫比乌斯 带，如图10.28所示.它的产生是将长方形纸条ABCD 先 扭转一次，然后使B与D，及A与C粘合起来构成的一个 非闭的环带.若想象一只蚂蚁从环带上一侧的某一点出发， 蚂蚁可以不用跨越环带的边界而到达环带的另一侧，然 后再回到起点；或者用一种颜色涂这个环带，不用越过 边界，可以涂满环带的两侧.显然这是双侧曲面不可能出 现的现象
第10章 曲线积分与曲面积分
解决许多几何、物理以及其他实际问题时，不仅需 要用到重积分，而且还需要将积分区域推广到一段曲线 弧或一片曲面上，这样推广后的积分称为曲线积分和曲 面积分.本章还将介绍格林公式、高斯公式及斯托克斯公 式，这三个公式刻画了不同类型的积分之间的内在联系， 并且在微积分、场论及其他学科中有着广泛的应用。
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10.4 第一型曲面积分
通过讨论非均匀密度的空间曲面壳质量这一物理问 题，本节引入第一型曲面积分的概念并研究了相关性质。 10.4.1 实例 质量分布在可求面积的曲面壳上，曲面壳占有空间 曲面Σ，其密度函数为ρ（x，y，z），求曲面壳的质量.
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10.2.3 向量值函数在有向曲线上的积分的计算法 设向量值函数F（x，y，z）=P（x，y，z）i+Q（x， y，z）j+R（x，y，z）k在有向曲线Γ上有定义且连续， 有向曲线弧Γ为简单曲线，它的参数方程为
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10.3.1 格林①公式（Green公式） 设平面封闭区域 为其边界曲线， 的正向 定义如下：当观察者沿边界曲线 行走，区域 总在 的左边，那么人走的方向就是 的正向； 的负 向记为 ，如图10.14所示.
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10.6 高斯公式
格林公式给出了平面区域上的二重积分与围成该区 域的闭曲线上的曲线积分之间的联系.高斯公式是格林公 式在三维空间的推广，它给出了三维空间体上的三重积 分与围成该体边界的闭曲面上的曲面积分之间的联系。 10.6.1 高斯①公式（Gauss公式） 10.6.2 散度的定义及其物理意义 10.6.3 沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件
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10.5.2 实例：流体流向曲面一侧的流量 10.5.3 第二型曲面积分（也称为向量值函数在有向 曲面上的积分）的定义及性质 （1）第二型曲面积分的定义 定义1 （2）第二型曲面积分的性质 1）线性性质 2）积分区域的可加性 3）方向性
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10.5.4 第二型曲面积分的计算法 （1）分面投影法 （2）合一投影法
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10.7 斯托克斯公式
高斯公式是格林公式在三维空间的推广，而格林公 式还可以从另一方面推广，就是将曲面Σ上的曲面积分 与沿该曲面Σ的边界的闭曲线Σ的曲线积分联系起来。 10.7.1 斯托克斯公式 如图10.39所示，设有光滑曲面块Σ，其边界是空间 闭曲线 .取定Σ的一侧为正侧，规定闭曲线 的正向 按右手法则，即当右手除拇指外的四指依 的正向绕 行时，大拇指所指方向刚好是Σ的侧的方向.根据右手法 则，由曲面Σ的正侧（或法线的正向）就决定了闭曲线 的正向，反之亦然.
1
10.1 第一型曲线积分
第一型曲线积分的定义和前面的重积分定义类似， 都是按照分割、近似、作和与求极限步骤定义的.下面首 先来看曲线形构件的质量。 10.1.1 实例 （1）曲线形构件的质量 在生活中我们常常遇到曲线形的构件，为了合理使 用材料，在设计曲线形构件时，工程师往往根据构件各 部分受力情况的不同来设计构件各部分的疏密程度，所 以构件单位长度的质量，即构件的线密度是变量。
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10.3 格林公式
上册的定积分基本公式 指出， 函数f′（x）在区间的［a，b］的定积分等于被积函数f′ （x）的原函数f（x）在区间端点（或边界上）上的值的 差.本节的格林公式说明，在平面闭区域D上的二重积分 可以由沿着闭区域 D 的边界曲线的第二型曲线积分来表 示.从这个意义上说，格林公式是定积分基本公式在二维 空间的推广。
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10.5 第二型曲面积分
由穿过有向曲面的流量这一物理背景，本节给出了 第二型曲面积分的定义，并研究了第二型曲面积分的计 算方法。 10.5.1 基本概念 如图10.27所示，在光滑曲面Σ上任取一点M0，过点 M0的法线有两个方向，选定一个方向为正向.当点M0在 曲面Σ上连续变动（不越过曲面的边界）时，法线也连 续变动.当动点M从点M0出发沿着曲面Σ上任意一条闭曲 线又回到点M0时，如果法线的正向与出发时的法线正向 相同，称曲面Σ是双侧的，否则称曲面Σ是单侧的.
2
设曲线形构件所占位置在空间一条以 A，B为端点 的光滑曲线 Γ 上，它的密度函数为 ρ（x，y，z），求该 构件的质量.
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（2）空间柱面的表面积
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10.1.2 第一型曲线积分的定义及性质
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10.2 第二型曲线积分
当涉及向量场中的一些非均匀量的求和时，如计算 沿一曲线路径移动一物体克服变阻力所做的功或求一温 度场中沿场内一边界曲线热量的流失程度，将用到本节 所讨论的第二型曲线积分.该类积分还可用于计算流体沿 着闭曲线的环流量。 10.2.1 实例：变力沿曲线所做的功 我们知道，若质点在常力F（大小与方向都不变） 的作用下从点A沿直线移动到点B，如图10.8所示，则常 力F所做的功W 是F与位移 的内积，即