离散数学--第九章--作业答案
离散数学(刘任任版)第9章答案
d
abcdea = c 1 ,Q c1 = 5(奇数) ∴至少要用3种颜色
由对称性可考虑 3种色的任一种方案, 如图.于是联结内外两 个回路的五条边(af , bg , ch, di, ej )也就随之确定了它们的颜 色, 如图。从而必有if着α色, 而fg不能着α、β和γ .故只有着 颜色δ .
2011-5-27 10
p2 k ≥ 2 p − 2q
2
2011-5-27
2. 证明： χ ( K 1 ) = 1 ，且 χ ( K 1 − v ) = 0 < 1 。故 K 1 是 1 临 (1) 界图。反之 , 设 G 是 1临界图 , 若 | V ( G ) |> 1，则 G 是零图。 但 χ ( G − V ) = χ ( G ) = 1, 即 G 不是临界图，故 从而 | V ( G ) |= 1，故 G = K 1 ( 2 ) χ ( K 2 ) = 2，且 χ ( K 2 − v ) = 1 < χ ( K 2 ). 故 K 2 是 2临界图 .。 反之，设 G 是 2临界图，即 χ ( G ) = 2。于是可划分 成两个极大独立集 V 1 和 V 2 ( 二分图 )。若 | V 1 |> 1，则任 | V 2 |= 1。 取 u ∈ V ，有 χ ( G − u ) = 2 = χ ( G )。此与 G 是 2临界图矛盾， 故 | V 1 |= 1。同理可证 设 V 1 = {u }, V 2 = { v }，显然 uv ∈ E ( G )，故 G = K 2。
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= t (t − 3t + 2)(t − 4t + 5)
2 2
= (t 5 − 3t 2 + 2t )(t 2 − 4t + 5) = t − 4t + 5t − 3t + 12t − 15t + 2t − 8t + 10t
离散数学形成性考核作业9参考答案
离散数学形成性考核作业9参考答案离散数学作业9姓名：学号：得分：教师签名：离散数学数理逻辑部分形成性考核书面作业本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。
本次形考书面作业是第三次作业，大家要认真及时地完成数理逻辑部分的综合练习作业。
要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成并上交任课教师（不收电子稿）。
并在09任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分。
一、单项选择题1．设P：我将去市里，Q：我有时间．命题“我将去市里，仅当我有时间时”符号化为( B )．A．Q?P B．P?Q C．P?Q D．?P??Q2．设命题公式G：?P?(Q?R)，则使公式G取真值为1的P，Q，R赋值分别是 (D )．A．0, 0, 0 B．0, 0, 1 C．0, 1, 0 D．1, 0, 03．下列命题公式成立的为( C )．A．?P??Q?P?Q B．?B?A ? A?B C．P ? Q ?Q D．?A? (A?B) ?B4．下列公式 ( C )为重言式．A．P?Q ??P?Q B．(B?(A?B)) ?(?A?(A?B))C．?(P?Q)??P??Q D．A??B?A?B 5．命题公式?(P?Q)的析取范式是( A )．A．P??Q B?P?Q C．?P?Q D．P??Q 6．设C(x)：x是国家级运动员，G(x)：x是健壮的，则命题“没有一个国家级运动员不是健壮的”可符号化为(D )．A．??x(C(x)??G(x)) B．??x(C(x)??G(x))C．??x(C(x)??G(x)) D．??x(C(x)??G(x))7．表达式?x(P(x,y)?Q(z))??y(R(x,y)??zQ(z))中?x的辖域是( B )． A．P(x, y) B．P(x, y)?Q(z) C．R(x, y) D．P(x, y)?R(x, y)8．谓词公式?xP(x)?(?x?Q(x)???xQ(x))的类型是( A )．1 / 6A．永真式 B．永假式 C．非永真的可满足式 D．蕴含式二、填空题1．命题公式P?(Q?P)的真值是 1 ．2．设P：他生病了，Q：他出差了．R：我同意他不参加学习. 则命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为(P∨Q)→R ．3．设A，B为任意命题公式，C为重言式，若A?C?B?C，那么A?B是言重式式(重言式、矛盾式或可满足式) ．4．含有三个命题变项P，Q，R的命题公式P?Q的主析取范式是（P∧ Q∧R）∧（P∧ Q ∧?R）．5．设P(x)：x是人，Q(x)：x去上课，则命题“有人去上课．”为(?χ)(PCχ)→Q(χ)) ．6．设个体域D＝{a, b},那么谓词公式?xA(x)??yB(y)消去量词后的等值式为(A(a)∨A(b))∨(B(a)∧B(b)) ．7．设个体域D＝{1, 2, 3, 4}，A(x)为“x小于3”，则谓词公式(?x)A(x) 的真值为．8．谓词命题公式(?x)(P(x)→Q(x)∨R(x，y))中的约束变元为χ．三、公式翻译题1．请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式．解: 设P: 今天晴天则命题公式为P2．请将语句“如果明天天下雪，我就去市里”翻译成命题公式．解: 设P:天下雨. Q我明天去市里.则命题公式为P→Q3．请将语句“除非你去，否则我不去”翻译成命题公式．解: 设P:你去.Q我去.则命题公式为��P→��Q或Q→P2 / 64．请将语句“我去书店，仅当天不下雨”翻译成命题公式．解: 设P:我去书店. Q天不下雨则命题公式为P→Q5．请将语句“有人不去工作”翻译成谓词公式．解: 设P(χ): χ是人. Q(χ): χ去工作 .则谓词公式为(?χ)(P (χ)∧?Q(χ))6．请将语句“所有人都努力工作．”翻译成谓词公式．解: 设P(χ): χ是人. Q(χ): χ努力工作 . 则谓词公式为(?χ)(P (χ)→Q(χ))四、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）1．命题公式┐P∧P的真值是1．2．命题公式┐P∧（P→┐Q）∨P为永真式．答：正确┐P∧（P→┐Q）∨P是由┐P∧（P→┐Q）与P组成的析取式如果P的值为真，则┐P∧（P→┐Q）∨P为真如果P的值为假，则┐P与P→┐Q为真，即┐P∧（P→┐Q）为真也即┐P∧（P→┐Q）∨P为真。
离散数学答案版(全)
1.2.4
0 0 1 1 条件联结词→
P
0 1 0 1
Q
0 1 1 1
P Q
0 0 1 1 1.2.5 双条件联结词
P
0 1 0 1
Q
1 1 0 1
P Q
1.2.6
0 0 1 1 与非联结词↑
P
0 1 0 1
Q
1 0 0 1
PQ
1 1 1 0
0 0 1 1
0 1 0 1
性质： （1） P↑P ﹁（P∧P） ﹁P； （2） （P↑Q）↑（P↑Q） ﹁（P↑Q） P∧Q； （3） （P↑P）↑（Q↑Q） ﹁P↑﹁Q P∨Q。 1.2.7 或非联结词↓
P
Q
PQ
1 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
性质： （1）P↓P ﹁（P∨Q） ﹁P； （2） （P↓Q）↓（P↓Q） ﹁（P↓Q） P∨Q； （3） （P↓P）↓（Q↓Q） ﹁P↓﹁Q ﹁（﹁P∨﹁Q） P∧Q。
石材加工 红提采摘 2 金刚石磨头
1.5
对偶与范式
1.5.1 对偶 定义 在仅含有联结词 Ø、∧、∨的命题公式 A 中，将联结词∧换成∨，将 ∨换成∧，如果 A 中含有特殊变元 0 或 1，就将 0 换成 1，1 换成 0，所得的命题 公式 A*称为 A 的对偶式。 例：公式（ P∨Q）∧（P∨ Q） 的对偶式为： （ P∧Q）∨（P∧ Q） 定理 设 A 和 A*互为对偶式，P1，P2，…，Pn 是出现在 A 和 A*中的所有原子
P
Q
P Q
( P Q)
( P Q) Q
0 0 1 1
0 1 0 1
1 1 0 1
离散数学(双语) - 第九章答案(高辉)
9.1:P595Ex2: a) Simple graph b) Multigraph c) PseudographEx20:Team four beat the vertices to which there are edges from team four, namely only team three. The other teams —team one, team two, team five and team six —all beat team four.9.2:P608Ex4 For the graph in exercise 1 the sum is 12, there are 6 edges; For the pseudograph in exercise 2, the sum is 26, there are 13 edges; For the pseudograph in exercise 3, the sum is 24, there are 12 edges;Ex8: in this directed multigraph there are 4 vertices and 8 edges. The degrees are deg -(a)=2,deg +(a)=2; deg -(b)=3,deg +(b)=4; deg -(c)=2,deg +(c)=1; deg -(d)=1,deg +(d)=1;Ex20 f) We take two copies of Q3 and joining corresponding vertices.Ex22: This graph is bipartite, with bipartition {a,c} and {b,d,e}9.3:P618Ex2: the list is as followsVertex adjacent verticesa b,db a,d,ec d,ed a,b,ce b,cEx80101010111011001000100101⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦Ex16: Because of the numbers larger than 1, we need multiple edges in this graph.Ex36: These graphs are not isomorphic. The second has a vertex of degree 4, whereas the first9.4:P629Ex2: a) a path of length 4; b) a path of length 4; c) not a path; d) not a pathEx12 b) Notice that the sequence a,b,c,d,e,f,a provides a path from every vertex to every other vertex , so this graph is strongly connected.Ex20: The two graphs are isomorphic: u1↔v2, u2↔v1, u3↔v3, u4↔v4, u5↔v8, u6↔v7, u7↔v5,u8↔v6.Ex24(a) to find the number of paths of length 2, we need to look at A 2, which is312122141322213031130312223141221213⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦Since the (3,4)th entry is 0, so there are no paths of length 2.9.5:P643Ex4: The graph has no Euler circuit, since the degree of vertex c is odd. There is an Euler path between the two vertices of odd degree. One such path is f,a,b,c,d,e,f,b,d,a,e,cEx30:This graph can have no Hamilton circuit because of the cut edge {c,f}.9.6:P655Ex2: the length of a shortest path is 7.Ex12: In theory, we can use Dijkstra ’s algorithm.a) the path through Chicago is the fastest.b) The path via New York is the cheapest.c) The path via Denver (or the path Via Los Angeles) is the fastest.d) The path via Dallas( or the path via Chicago) is the fastest.Ex14:Here we simply assign the weight of 1 to each edge.9.7:P665Ex5: This is K 3,3，with parts {a,d,f} and {b,c,e}, therefore it is not planar.Ex20: this graph is not homeomorphic to K 3,3, since by rerouting the edge between a and h we see that it is planar.Ex8: Since there is a triangle, at least 3 colors are needed. The coloring in which b and c are blue, a and f are red, and d and e are green shows that 3 colors suffice.。
离散数学答案 第九章 特殊代数系统
第九章 特殊的代数系统习题9.11．解 ⑴是半群。
显然，二元运算“ ”在N 上是封闭的， 所以，>< ,N 是一个代数系统， 另一方面，,,,N c b a ∈∀有(){}{}c b a c b a c b a ,,max ,max == ，而(){}{}c b a c b a c b a ,,m ax ,m ax == ，因此，()()c b a c b a =，所以，运算“ ”满足结合律的，故>< ,N 是半群；⑵是半群。
显然，二元运算“ ”在N 上是封闭的， 所以，>< ,N 是一个代数系统， 另一方面，N c b a ∈∀,,，有()c c b c b a == ，而()c c a c b a == ，则()()c b a c b a =，所以，运算“ ”满足结合律，故><,N 是半群；⑶是半群。
显然，二元运算“ ”在N 上是封闭的， 所以，>< ,N 是一个代数系统， 另一方面，N c b a ∈∀,,，有()abc c ab c ab c b a 4)2(2)2(=== ，()()abc bc a bc a c b a 422)2(=== ，即()()c b a c b a = ，所以，运算“ ”满足结合律，故>< ,N 是半群。
⑷不是半群。
虽然，二元运算“ ”在N 上是封闭的，即>< ,N 是一个代数系统，但是 对于5，3，6，因为，()4635635635=--=-= ，而2635635)63(5=--=-= ，即())63(5635 ≠，所以，运算“ ”不满足结合律，故>< ,N 不是半群。
2．解 ⑴正确。
因为，运算显然封闭。
⑵正确。
abc bc ac ab c b a c ab b a c b a ++++++=++= )()(， bc ac ab c b a bc c b a c b a +++++=++=)()( ，即是()()c b a c b a =，所以︒满足结合律。
离散数学课后答案
离散数学课后答案1. 集合论1.1. 集合的基本概念•问题1：什么是集合？如何表示一个集合？集合是由一些确定的元素构成的整体。
可以使用以下方式表示一个集合：–列举法：将集合的所有元素逐一列举出来，并用大括号{}包括起来。
–描述法：使用一种公式或条件来描述集合中的元素的特点，并用大括号{}包括起来。
–空集：不包含任何元素的集合，用符号∅表示。
•问题2：集合的关系有哪些？集合的关系有以下几种：–包含关系（⊆）：集合A的所有元素都属于集合B，则称集合A是集合B的子集，表示为A⊆B。
–真包含关系（⊂）：集合A是集合B的子集，且A≠B，则称集合A是集合B的真子集，表示为A⊂B。
–并集（∪）：将两个集合中的所有元素合并在一起，去除重复元素。
–交集（∩）：将两个集合中共有的元素提取出来。
–差集（-）：从一个集合中去掉与另一个集合中相同的元素。
–互斥关系：两个集合没有共同的元素，即交集为空集。
1.2. 集合的运算•问题1：集合的运算有哪些？集合的运算有以下几种：–并集运算（∪）：将两个集合中的所有元素合并在一起，去除重复元素。
–交集运算（∩）：将两个集合中共有的元素提取出来。
–差集运算（-）：从一个集合中去掉与另一个集合中相同的元素。
–补集运算（C）：对于给定的全集U，集合A 在U中的补集就是U中除去集合A中的所有元素所构成的集合，表示为A’。
–笛卡尔积（×）：将两个集合的元素按照有序对的形式进行组合，构成一个新的集合。
•问题2：集合运算的性质有哪些？集合运算的性质有以下几种：–交换律：A∪B = B∪A，A∩B = B∩A。
–结合律：(A∪B)∪C = A∪(B∪C)，(A∩B)∩C = A∩(B∩C)。
–分配律：A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)。
–吸收律：A∪(A∩B) = A，A∩(A∪B) = A。
–互补律：A∪A’ = U，A∩A’ = ∅。
离散数学答案版(全)
Q
P Q
( P Q)
( P Q) Q
0 0 1 1
0 1 0 1
1 1 0 1
0 0 1 0
0 0 0 0
1.4.2 命题公式的分类 定义 设 G 为公式： （1）如果 G 在所有解释下取值均为真，则称 G 是永真式 或重言式； （2）如果 G 在所有解释下取值均为假，则称 G 是永假式或矛盾式； （3） 如果至少存在一种解释使公式 G 取值为真，则称 G 是可满足式。 1.4.3 等价公式 定义 设 A 和 B 是两个命题公式，如果 A 和 B 在任意赋值情况下都具有相同 的真值，则称 A 和 B 是等价公式。记为 A B。 性质定理 设 A、B、C 是公式，则 （1）A A （2）若 A B 则 B A （3）若 A B 且 B C 则 A C 定理 设 A、B、C 是公式，则下述等价公式成立： A A （1）双重否定律 （2）等幂律 A∧A A ； A∨A A （3）交换律 A∧B B∧A ； A∨B B∨A （4）结合律 （A∧B）∧C A∧（B∧C） （A∨B）∨C A∨（B∨C） （5）分配律 （A∧B）∨C （A∨C）∧（B∨C） （A∨B）∧C （A∧C）∨（B∧C） （A∨B） A∧ B （6）德·摩根律 （A∧B） A∨ B （7）吸收律 A∨（A∧B） A；A∧（A∨B） A （8）零一律 A∨1 1 ； A∧0 0 （9）同一律 A∨0 A ； A∧1 A （10）排中律 A∨ A 1 （11）矛盾律 A∧ A 0 （12）蕴涵等值式 A→B A∨B （13）假言易位 A→B B→ A （14）等价等值式 A B （A→B）∧（B→A）
式中每一个析取项都是 P1，P2，…，Pn 的一个极大项，则称该合取范式为 G 的主 合取范式。通常，主合取范式用↕表示。重言式的主合取范式中不含任何极大项， 用 1 表示。 定理 任意的命题公式都存在一个唯一的与之等价的主合取范式。
离散数学第四版课后答案(第9章)
第9章 习题解答9.1 有5片树叶.分析 设T 有x 个1度顶点(即树叶).则T 的顶点数Tx x n ,523+=++=的边数.41x n m +=-=由握手定理得方程.∑=+=⋅+⨯+⨯==+=ni ix x vd x m 1.1312233)()4(22由方程解出.5=x所求无向树T 的度数列为1,1,1,1,1,2,2,3,3,3.由这个度数列可以画多棵非同构的无向树,图9.6给出的4棵都具有上述度数列,且它们是非同构的.9.2 T 中有5个3度顶点.分析 设T 中有x 个3度顶点,则T 中的顶点数,7x n +=边数x n m +=-=61,由握手定理得方程.∑=+==+=ni ix v d x m 173)(2122由方程解出x=5.所求无向树T 的度数列为1,1,1,1,1,2,2,3,3,3.由这个度数列可以画多棵非同构的无向树,图9.6给出的4棵都具有上述度数列,且它们是非同构的.9.2 T 中有5个3度顶点.要析 设T 中有x 个3度顶点,则T 中的顶点数x n +=7,边数x n m +=-=61,由握手定理得方程.∑=+==+=ni ix v d x m 173)(2122.由此解出5=x ,即T 中有5个3度顶.T 的度数列为1,1,1,1,1,1,1,3,3,3,3,3.由于T 中只有树叶和3度顶点,因而3度顶点可依次相邻,见图9.7所示. 还有一棵与它非同构的树,请读者自己画出.9.3 加1-k 条新边才能使所得图为无向树.分析 设具有k 个连通分支的森林为G,则G 有k 个连通分支i K T T TT ,,,21全为树,.,,2,1k i =加新边不能在i T 内部加,否则必产生回路.因而必须在不同的小树之间加新边. 每加一条新边后,所得到的森林就减少一个连通分支. 恰好加1-k 条新边,就使得图连通且无回路,因而是树.在加边过程中,只需注意,不在同一人连通分支中加边. 下面给出一种加边方法,取iv 为iT 中顶点,加新边1,,2,1),(1-=+k i vv i i,则所得图为树,见图9.8 给出的一个特例.图中虚线边为新加的边.9.4 不一定.分析 n 阶无向树T 具有1-n 条边,这是无向树T 的必要条件,但不是充公条件.例如, 阶圈(即1-n 个顶点的初级回路)和一个孤立点组成无向简单图具有1-n 条边, 但它显然不是树.9.5 非同构的无向树共有2棵,如图 9.9所示.分析由度数列1,1,1,1,2,2,4不难看出，唯一的4度顶点必须与2度顶点相邻，它与1个2度顶点相邻，还是与两个2度顶点都相邻，所得树是非同构的，再没有其他情况.因而是两棵非同构的树.9.6 有两棵非同构的生成树,见图9.10所示.分析图9.10 是5阶图(5个顶点的图), 5阶非同构的无向树只有3棵,理由如下. 5阶无向树中,顶点数5=n,边数4=m,各顶点度数之和为8,度数分配方案有3种,分别为①1,1,1,1,4;②1,1,1,2,3;③1,1,2,2.2.每种方案只有一棵非同构的树.图9.10所示的5阶图的非同构的生成树的度数列不能超出以上3种,也就是说,它至多有3棵非同构的生成树, 但由于图中无4度顶点,所示,不可能有度数列为①的生成树,于是该图最多有两棵非同构的生成树. 但在图9.10 中已经找出了两个非同构的生成树,其中(1)的度数列为③,(2) 的度数列为②,因而该图准确地有两棵非同构的生成树.9.7 基本回路为: .,,,hfab C gfa C ead C cbad C h g e c====基本回路系统为}.,,,{h g e cC C C C基本割集为:},,{},,{},,,{},,,,,{h g f Sc ed S h c b S h g ce a S fd b a ====基本回路系统为},,,{f d b aS S S S.分析 1°注意基本回路用边的序列表示,而基本割集用边的集合表示.2° 基本回路中,只含一条弦,其余的边全为树枝,其求法是这样的: 设弦),(j iv ve =,则jiv v,在生成树T 中,且在T 中,ji v v ,之间存在唯一的路径ji ,Γ与),(j iv ve =组成的回路为G 中对应弦e 的基本回路.3° 基本割集中,只含一条树枝,其余的边都是弦,其求法是这样的:设树枝),(j iv ve =,则e 为T 中桥,于是eT-(将e 从T中支掉),产生两棵小树1T 和2T ,则}|{21'''中和的两端点分别在中且在T T e G e e S e =e S 为树枝e 对应的基本割集. 显然ee S S e ,∈中另外的边全是弦. 注意,两棵小树1T 和2T ,中很可能有平凡的树(一个顶点).aT -得两棵小树如图9.11中(1) 所示. G 中一个端点在i T 中,另一个端点在2T 中的边为a(树枝), h g c e ,,,,它们全是弦,于是},,,,{h g c e a Sa=bT - 得两棵小树如图9.11中(2) 所示, 其中有一棵为平凡树. G 中一个端点在1T 中,另一个端点在2T 中的边数除树枝b 外,还有弦,,h c 所以, },,{h c b Sb=dT -产生的两棵小树如图9.11中(3) 所示 . G 中一个端点在1T 中,另中一个端点在2T 中的边,除树枝d 外,还有两条弦e c ,,所示, },,{e c d Sd=fT -产生的两棵小树如图9.11中(4) 所示. 由它产生的基本割集为},,{h g f Sf=9.8 按Kruskal 求最小生成树的算法,求出的图9.3(1)的最小生成树T 为图9.12中(1) 所示, 其7)(=T W .(2) 的最小生成树T 为图9.12中(2)所示,其.11)(=T W9.9 421,,B B B为前缀码.分析 在421,,B B B中任何符号串都不是另外符号串的前串,因而它们都是前缀码.而在3B 中, 1是11,101的前缀,因而3B不是前缀码. 在5B 中,,a 是ac aa ,等的前缀,因而5B 也不是前缀码.9.10 由图9.4 (1) 给出的2元前缀码.}11,011,01010,0100,00{1=B由(2) 给出的3元前缀码为.}.2,1,022,0202,0201,0200,01,00{2=B分析 1B 是2元树产生的2元前缀码(因为码中的符号串由两个符号0,1组成),类似地,2B 是由3元树产生的3元前缀码(因为码中符号串由3个符号0,1,2组成).一般地,由r 元树产生r 元前缀码.9.11 (1) 算式的表达式为ji h g f e d c b a *)*()()*)*((((++÷-+.由于使其成为因而可以省去一些括号优先于,,,*,-+÷ji h g f e d c b a **)()*)*((++÷-+.(2) 算式的波兰符号法表达式为.****hij fg bcde a ++-÷+(3) 算式的逆波兰符号法表达式为.****+÷+-+jI hi fg e d abc9.12 答案 A:①; B ②; C:④; D:⑨.分析 对于每种情况都先求出非同构的无向树,然后求出每棵非同构的无向树派生出来的所有非同构的根树.图9.13 中,(1),(2),(3),(4)分别画出了2阶,3阶,4阶,5阶所有非同构的无向树,分别为1棵,1棵,2棵和3棵无向树.2阶无向树只有1棵,它有两个1度顶点,见图9.13中(1)所示,以1个顶点为树根,1个顶点为树叶,得到1棵根树.3阶非同的无向树也只有1棵,见图9.13中(2)所示.它有两个1度顶点,1个2度顶点,以1度顶点为根的根树与以2度顶点为根的树显然是非同构的根树,所以2个阶非同构的根树有两棵.4阶非同构的无向树有两棵,见图9.13中(3)所示. 第一棵树有3片树叶,1个3度顶点, 以树叶为根的根树与以3度顶点为根的树非同构.所以,由第一棵树能生成两个非同构的根树, 见图9.14 中(1)所示. 第二棵树有两片树叶,两个2度顶点,由对称性,以树叶为根的根树与2度顶点为根的根树非同构,见图9.14中(2) 所示. 所以,4阶非同构的根树有4棵.5阶非同构的无向树有3棵,见图9.13中(4)所示. 由第一棵能派生两棵非同构的根树, 由第二棵能派生4棵非同构的根树,由第三棵能派生3棵非同构的根树,所以,5阶非同构的根树共有9棵,请读者将它们都画出来.9.13 答案 A:②; B:②; C:③; D:③; E:③;F:④; G: ④; H:③.分析 将所有频率都乘100,所得结果按从小到大顺序排列:.35,20,15,10,10,5,5=======a b c d e f g w w w w w w w以以上各数为权,用Huffman 算法求一棵最优树,见图9.15所示.对照各个权可知各字母的前缀码如下:a ——10，b ——01，c ——111，d ——110，e ——001，f ——0001，g ——0000.于是，a,b 的码长为e d c ,,,2的码长为g f ,,3的码长为4. W(T)=255(各分支点的权之和),W(T)是传输100按给定频率出现的字母所用的二进制数字,因则传输104个按上述频率出现的字母要用25500⨯个二进制数字..24=1055最后还应指出一点,在画最优树叶, 由于顶点位置的不同,所得缀码可能不同,即有些字母的码子在不同的最优树中可能不同,但一般说来码长不改变.特别是,不同的最优树,它们的权是固定不变的.9.14 答案 A:②; B:④分析用2元有序正则树表示算式,树叶表示参加运算的数,分支点上放运算符,并将被减数(被除数)放在左子树上,所得2元树如图9.16所示.用前序行遍法访问此树,得波兰符号表示法为abc-++de-*.**ghf用后序行遍法访问此树,得逆波兰符号表示法为dec*fghab--++**。
《离散数学》第9—11章 习题详解!
第九章 代 数 系 统
９．１ 内 容 提 要
1．二元运算与一元运算 二元运算 设 S 为集合，函数 f：S ×S→S 称为 S 上的二元运算．这时也称 S 对 f 是封闭的． 一元运算 设 S 为集合，函数 f：S→S 称为 S 上的一元运算．这时也称 S 对 f 是封闭的． 二元与一元运算的算符 ，倡，· ，◇，Δ等 二元与一元运算的表示法 表达式或者运算表 2．二元运算的性质 （１） 涉及一个二元运算的算律
定理 9．3 如果 ｜S ｜＞１，则单位元不等于零元． 定理 9．4 对于可结合的二元运算，可逆元素 x 只有惟一的逆元 x －１ ．
3．代数系统
代数系统 非空集合 S 与 S 上的 k 个一元或二元运算 f１ ，f２ ，…，fk 组成的系统，记作 ＜S，f１ ，
f２ ，…，fk ＞． 同类型的代数系统与同种的代数系统
称 V ＝＜A ×B，· 重要结果：
＜a１ ，b１ ＞· ＜a２ ，b２ ＞＝＜a１ a２ ，b１ 倡b２ ＞ ＞为 V１ 与 V２ 的积代数，记作 V１ ×V２ ．这时也称 V１ 和 V２ 为 V 的因子代数．
任何代数系统 V 都存在子代数，V 是 V 的平凡子代数．
V 的子代数与 V 不仅是同类型的，也是同种的．
９．２ 基 本 要 求
１．会判断给定函数 f 是否为集合 S 上的二元或一元运算． ２．会判断或者证明二元运算的性质．
第九章 代 数 系 统
177
３．会求二元运算的特异元素． ４．掌握子代数的概念． ５．掌握积代数的定义及其性质 ６．能够判断函数是否为同态并分析同态的性质．
９．３ 习 题 课
本章的习题主要有以下题型． 题型一 判断运算是否封闭（ 集合与运算是否构成代数系统） ，并对封闭的运算确定其性质 及特异元素
离散数学课后习题答案 (邱学绍)
离散数学课后习题答案 (邱学绍)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：第一章 命题逻辑习题1.11．解 ⑴不是陈述句，所以不是命题。
⑵x 取值不确定，所以不是命题。
⑶问句，不是陈述句，所以不是命题。
⑷惊叹句，不是陈述句，所以不是命题。
⑸是命题，真值由具体情况确定。
⑹是命题，真值由具体情况确定。
⑺是真命题。
⑻是悖论，所以不是命题。
⑼是假命题。
2．解 ⑴是复合命题。
设p ：他们明天去百货公司；q ：他们后天去百货公司。
命题符号化为q p ∨。
⑵是疑问句，所以不是命题。
⑶是悖论，所以不是命题。
⑷是原子命题。
⑸是复合命题。
设p ：王海在学习；q ：李春在学习。
命题符号化为p ∧q 。
⑹是复合命题。
设p ：你努力学习；q ：你一定能取得优异成绩。
p →q 。
⑺不是命题。
⑻不是命题⑼。
是复合命题。
设p ：王海是女孩子。
命题符号化为：⌝p 。
3．解 ⑴如果李春迟到了，那么他错过考试。
⑵要么李春迟到了，要么李春错过了考试，要么李春通过了考试。
⑶李春错过考试当且仅当他迟到了。
⑷如果李春迟到了并且错过了考试，那么他没有通过考试。
4．解 ⑴⌝p →(q ∨r )。
⑵p →q 。
⑶q →p 。
⑷q → p 。
习题1.21．解 ⑴是1层公式。
⑵不是公式。
⑶一层： p ∨q ，⌝p二层：⌝p ↔q所以，)()(q p q p ↔⌝→∨是3层公式。
⑷不是公式。
⑸(p →q )∧⌝(⌝q ↔( q →⌝r ))是5层公式，这是因为 一层：p →q ，⌝q ，⌝r 二层：q →⌝r 三层：⌝q ↔( q →⌝r ) 四层：⌝(⌝q ↔( q →⌝r ))2．解 ⑴A =(p ∨q )∧q 是2层公式。
真值表如表2-1所示：表2-1p q q p ∨A0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1111⑵p q p q A →→∧=)(是3层公式。
离散数学第9章习题答案
习题91. 设G 是一个(n ，m)简单图。
证明：，等号成立当且仅当G 是完全图。
证明：（1）先证结论：因为G 是简单图，所以G 的结点度上限 max(d(v)) ≤ n-1, G 图的总点度上限为 max(Σ(d(v)) ≤ n ﹒max(d(v)) ≤ n(n-1) 。
根据握手定理，G 图边的上限为 max(m) ≤ n(n-1)/2,所以。
（2） =〉G 是完全图 因为G 具有上限边数，假设有结点的点度小于n-1,那么G 的总度数就小于上限值，边数就小于上限值，与条件矛盾。
所以，G 的每个结点的点度都为n-1，G 为完全图。
G 是完全图 =〉 因为G 是完全图，所以每个结点的点度为n-1, 总度数为n(n-1)，根据握手定理，图G 的边数 。
■2. 设G 是一个（n ，n +1）的无向图，证明G 中存在顶点u ，d （u ）≥3。
证明：反证法，假设,则G 的总点度上限为max(Σ(d(u)) ≤2 n ，根据握手定理，图边的上限为max(m) ≤ 2n/2=n 。
与题设m = n+1，矛盾。
因此，G 中存在顶点u ，d （u ）≥3。
■3．确定下面的序列中哪些是图的序列，若是图的序列，画出一个对应的图来: （1）（3，2，0，1，5）； （2）（6，3，3，2，2） （3）（4，4，2，2，4）； （4）（7，6，8，3，9，5）解：除序列（1）不是图序列外，其余的都是图序列。
因为在（1）中，总和为奇数，不满足图总度数为偶数的握手定理。
可以按如下方法构造满足要求的图：序列中每个数字ai 对应一个点，如果序列数字是偶数，那么就在对应的点上画ai/2个环，如果序列是奇数，那么在对应的点上画(ai-1)/2个环。
最后，将奇数序列对应的点两两一组，添加连线即可。
下面以（2）为例说明：(6 , 3, 3, 2, 2 ) 对应图G 的点集合V= { v 1,v 2,v 3,v 4,v 5}每个结点对应的环数(6/2, (3-1)/2, (3-1)/2, 2/2,2/2) = (3,1,1,1,1)将奇数3，3 对应的结点v 2,v 3一组，画一条连线其他序列可以类式作图，当然大家也可以画图其它不同的图形。
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(精华版)国家开放大学电大本科《离散数学》网络课形考网考作业及答案(精华版)国家开放大学电大本科《离散数学》网络课形考网考作业及答案 100%通过考试说明：2020年秋期电大把该网络课纳入到“国开平台”进行考核，该课程共有5个形考任务，针对该门课程，本人汇总了该科所有的题，形成一个完整的标准题库，并且以后会不断更新，对考生的复习、作业和考试起着非常重要的作用，会给您节省大量的时间。
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课程总成绩 = 形成性考核×30% + 终结性考试×70% 形考任务1 单项选择题题目1 若集合A＝{ a，{a}，{1，2}}，则下列表述正确的是（）．选择一项：题目2 若集合A＝{2，a，{ a }，4}，则下列表述正确的是( )．选择一项：题目3 设集合A={1 , 2 , 3 , 4}上的二元关系R={<1, 1>，<2, 2>，<2, 3>，<4, 4>}，S={<1, 1>，<2, 2>，<2, 3>，<3, 2>，<4, 4>}，则S是R的（）闭包．选择一项：B. 对称题目4 设集合A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，C={5, 6, 7}，则A∪B–C=( )．选择一项：D. {1, 2, 3, 4} 题目5 如果R1和R2是A上的自反关系，则R1∪R2，R1∩R2，R1-R2中自反关系有（）个．选择一项：C. 2 题目6 集合A={1, 2, 3, 4}上的关系R={<x，y>|x=y且x, y∈A}，则R的性质为（）．选择一项：D. 传递的题目7 若集合A={1，2}，B={1，2，{1，2}}，则下列表述正确的是( )．选择一项：题目8 设A={a，b，c}，B={1，2}，作f：A→B，则不同的函数个数为（）．选择一项：C. 8 题目9 设A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R是A上的整除关系，B={2, 4, 6}，则集合B的最大元、最小元、上界、下界依次为 ( )．选择一项：B. 无、2、无、2 题目10 设集合A ={1 , 2, 3}上的函数分别为：f = {<1, 2>，<2, 1>，<3, 3>}，g = {<1, 3>，<2, 2>，<3, 2>}，h = {<1, 3>，<2,1>，<3, 1>}，则h =（）．选择一项：D. f◦g 判断题题目11 设A={1, 2}上的二元关系为R={<x, y>|xA，yA, x+y =10}，则R的自反闭包为{<1, 1>, <2, 2>}．（）选择一项：对题目12 空集的幂集是空集．（）选择一项：错题目13 设A={a, b}，B={1, 2}，C={a, b}，从A到B的函数f={<a, 1>, <b, 2>}，从B到C的函数g={<1, b>, <2, a >}，则g° f ={<1，2 >, <2，1 >}．（）选择一项：错题目14 设集合A={1, 2, 3, 4}，B={2, 4, 6, 8}，下列关系f = {<1, 8>, <2, 6>,<3, 4>, <4, 2,>}可以构成函数f：．（）选择一项：对题目15 设集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，C={3, 4, 5}，则A∩(C-B )= {1, 2, 3, 5}．（）选择一项：错题目16 如果R1和R2是A上的自反关系，则、R1∪R2、R1∩R2是自反的．（）选择一项：对题目17 设集合A=｛a, b, c, d｝，A上的二元关系R={<a, b>, <b, a>, <b, c>, <c, d>}，则R具有反自反性质．（）选择一项：对题目18 设集合A={1, 2, 3}，B={1, 2}，则P(A)-P(B )={{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}}．（）选择一项：对题目19 若集合A = {1，2，3}上的二元关系R={<1, 1>，<1, 2>，<3, 3>}，则R是对称的关系．（）选择一项：错题目20 设集合A={1, 2, 3, 4 }，B={6, 8, 12}， A到B的二元关系R＝那么R－1＝{<6, 3>，<8,4>}．（）选择一项：对形考任务2 单项选择题题目1 无向完全图K4是（）．选择一项：C. 汉密尔顿图题目2 已知一棵无向树T中有8个顶点，4度、3度、2度的分支点各一个，T的树叶数为( )．选择一项：D. 5 题目3 设无向图G的邻接矩阵为则G的边数为( )．选择一项：A. 7 题目4 如图一所示，以下说法正确的是 ( ) ．选择一项：C. {(d, e)}是边割集题目5 以下结论正确的是( )．选择一项：C. 树的每条边都是割边题目6 若G是一个欧拉图，则G一定是( )．选择一项：B. 连通图题目7 设图G＝<V, E>，v∈V，则下列结论成立的是 ( ) ．选择一项：题目8 图G如图三所示，以下说法正确的是 ( )．选择一项：C. {b, c}是点割集题目9 设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如图五所示，则下列结论成立的是( )．选择一项：A. （a）是强连通的题目10 设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如图六所示，则下列结论成立的是( )．选择一项：D. （d）只是弱连通的判断题题目11 设图G是有6个结点的连通图，结点的总度数为18，则可从G中删去4条边后使之变成树．( ) 选择一项：对题目12 汉密尔顿图一定是欧拉图．( ) 选择一项：错题目13 设连通平面图G的结点数为5，边数为6，则面数为4．( ) 选择一项：错题目14 设G是一个有7个结点16条边的连通图，则G为平面图．( ) 选择一项：错题目15 如图八所示的图G存在一条欧拉回路．( ) 选择一项：错题目16 设图G如图七所示，则图G的点割集是{f}．( ) 选择一项：错题目17 设G是一个图，结点集合为V，边集合为E，则( ) 选择一项：对题目18 设图G是有5个结点的连通图，结点度数总和为10，则可从G中删去6条边后使之变成树．( ) 选择一项：错题目19 如图九所示的图G不是欧拉图而是汉密尔顿图．( ) 选择一项：对题目20 若图G=<V, E>，其中V={ a, b, c, d }，E={ (a, b), (a, d),(b, c), (b, d)}，则该图中的割边为(b, c)．( ) 选择一项：对形考任务3 单项选择题题目1 命题公式的主合取范式是( )．选择一项：题目2 设P：我将去打球，Q：我有时间．命题“我将去打球，仅当我有时间时”符号化为( )．选择一项：题目3 命题公式的主析取范式是( )．选择一项：题目4 下列公式成立的为( )．选择一项：题目5 设A（x）：x是书，B（x）：x是数学书，则命题“不是所有书都是数学书”可符号化为（）．选择一项：题目6 前提条件的有效结论是( )．选择一项：B. ┐Q 题目7 命题公式(P∨Q)→R的析取范式是 ( )．选择一项：D. (┐P∧┐Q)∨R 题目8 下列等价公式成立的为( )．选择一项：题目9 下列等价公式成立的为( )．选择一项：题目10 下列公式中 ( )为永真式．选择一项：C. ┐A∧┐B ↔ ┐(A∨B) 判断题题目11 设个体域D＝{1, 2, 3}，A(x)为“x小于3”，则谓词公式(∃x)A(x) 的真值为T．( ) 选择一项：对题目12 设P：小王来学校， Q：他会参加比赛．那么命题“如果小王来学校，则他会参加比赛”符号化的结果为P→Q．( ) 选择一项：对题目13 下面的推理是否正确．( ) (1) (∀x)A(x)→B(x) 前提引入(2) A(y)→B(y) US (1) 选择一项：错题目14 含有三个命题变项P，Q，R的命题公式P∧Q的主析取范式(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧┐R)．( ) 选择一项：对题目15 命题公式P→(Q∨P)的真值是T．( ) 选择一项：对题目16 命题公式┐P∧P的真值是T．( ) 选择一项：错题目17 谓词公式┐(∀x)P(x)(∃x)┐P(x)成立．( ) 选择一项：对题目18 命题公式┐(P→Q)的主析取范式是P∨┐Q．( ) 选择一项：错题目19 设个体域D＝{a, b}，则谓词公式(∀x)(A(x)∧B(x))消去量词后的等值式为(A(a)∧B(a))∧(A(b)∧B(b))．( ) 选择一项：对题目20 设个体域D＝{a, b},那么谓词公式(∃x)A(x)∨(∀y)B(y)消去量词后的等值式为A(a)∨B(b)．( ) 选择一项：错形考任务4 要求：学生提交作业有以下三种方式可供选择：1. 可将此次作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成作业后交给辅导教师批阅． 2. 在线提交word文档. 3. 自备答题纸张，将答题过程手工书写，并拍照上传形考任务 5 网上学习行为（学生无需提交作业，占形考总分的10%）附：元宇宙（新兴概念、新型虚实相融的互联网应用和社会形态）元宇宙（Metaverse）是整合了多种新技术而产生的新型虚实相融的互联网应用和社会形态，通过利用科技手段进行链接与创造的，与现实世界映射与交互的虚拟世界，具备新型社会体系的数字生活空间。
离散数学第8,9章课后习题答案
第8章 习题参考答案1. 在一次10周年同学聚会上，想统计所有人握手的次数之和，应该如何建立该问题的图论模型？解：将每个同学分别作为一个节点，如果两个人握过一次手就在相应的两个节点之间画一条无向边，于是得到一个无向图。
一个人握手的次数就是这个节点与其他节点所连接的边的条数，进而可得出所有人握手的次数之和。
2. 在一个地方有3户人家，并且有3口井供他们使用。
由于土质和气候的关系，有些井中的水常常干枯，因此各户人家要到有水的井去打水。
不久，这3户人家成了冤家，于是决定各自修一条路通往水井，打算使得他们在去水井的路上不会相遇。
试建立解决此问题的图论模型。
解：将3户人家分别看做3个节点且将3口井分别看做另外3个节点，若1户人家与1口井之间有一条路，则在该户人家与该口井对应的节点之间连一条无向边，这样就得到一个无向图。
3. 某人挑一担菜并带一条狼和一只羊要从河的一岸到对岸去。
由于船太小，只能带狼、菜、羊中的一种过河。
由于明显的原因，当人不在场时，狼要吃羊，羊要吃菜。
通过建立图论模型给出问题答案。
解：不妨认为从北岸到南岸，则在北岸可能出现的状态为24=16种，其中安全状态有下面10种：（人，狼，羊，菜），（人，狼，羊），（人，狼，菜），（人，羊，菜），（Φ），（人，羊），（菜），（羊），（狼），（狼，菜）；不安全的状态有下面6种：（人）（人，菜）（人，狼）（狼，羊，菜）（狼，羊）（羊，菜）。
线将北岸的10种安全状态看做10个节点，而渡河的过程则是状态之间的转移，这样就得到一个无向图，如图8-1所示。
图8-1从上述无向图可以得出安全的渡河方案有两种：第1种：（人，狼，羊，菜）→（狼，菜）→（人，狼，菜）→（狼）→（人，狼，羊）→（羊）→（人，羊）→（Φ）。
(人，狼，羊，菜)(人，狼，羊)(人，狼，菜)(人，羊，菜)(人，羊) (狼，菜) (羊) (狼) (菜) (Φ)第2中：（人，狼，羊，菜）→（狼，菜）→（人，狼，菜）→（菜）→（人，羊，菜）→（羊）→（人，羊）→（Φ）。
华东师范大学离散数学章炯民课后习题第9章答案
大部分学生错答为 2n 2. 一个碗里有 10 个红球和 10 个篮球。一个女士不看着球而随机地选取。 （1）她必须选多少个球才能保证至少有 3 个球是同色的？ （2）她必须选多少个球才能保证至少有 3 个球是蓝色的？
解：
(1) 5 个 (2) 13 个
正确
3. 在(x1+x2+…+xm)n 的展开式中，合并同类项以后有多少个不同的项？ 解：
1. 写出序列{1,0,1,0,1,0,…}的生成函数。
2. 计算广义二项式系数
和
的值。
3. 一钱罐里有大量 1 角、2 角、3 角和 5 角的硬币，从中任取 r 个。请给出不同取法数
的生成函数，并求取 5 个硬币的方法数。
4. 某计算机系统用八进制数字串作为码字，若数字串中含有的 0、2、4、6 的个数为奇数，
1! 3!
0! 2!
2
2
28
组合又相当于 3 元多重集的 15 组合，因此有 C(15+3-1,15) ＝C(17,15)=136 个。 (2) 满足条件的解相当于下面的 3 元多重集的 16 组合：第一种元素至少有 2 个，第二
种元素至少有 2 个，第三种元素至少有 2 个，这种组合又相当于 3 元多重集的 10 组合，因此有 C(10+3-1,10) =C(12,10)=66 个。 (3) 满足条件的解相当于下面的 3 元多重集的 16 组合：x3≥2，第三种元素至少有 2 个， 这种组合又相当于 3 元多重集的 14 组合，因此有 C(14+3-1,14)个。x3≥11，第三种 元素至少有 11 个，这种组合又相当于 3 元多重集的 5 组合，因此有 C(5+3-1,5) 个， 满足 10≥x3≥2 条件的个数为 C(14+3-1,14)- C(5+3-1,5)=C(16,14)-C(7,5)=99. 基本正确。部分学生第三题错。少数学生计算错误。 27. 某学校有 2504 个计算机科学专业的学生，其中 1876 人选修了 C 语言，999 人选修 了 Fortran 语言，345 人选修了 JAVA，876 人选修了 C 语言和 Fortran 语言，231 人选修了 Fortran 和 JAVA，290 人选修了 C 和 JAVA，189 个学生同时选了 C、Fortran 和 JAVA。问没有选这 3 门程序设计语言课中的任何一门的学生有多少个？ 解： A 表示选修了 C 语言，B 表示选修了 Fortran 语言，C 表示选修了 JAVA
离散数学第8,9章课后习题答案
第8章 习题参考答案1. 在一次10周年同学聚会上，想统计所有人握手的次数之和，应该如何建立该问题的图论模型？解：将每个同学分别作为一个节点，如果两个人握过一次手就在相应的两个节点之间画一条无向边，于是得到一个无向图。
一个人握手的次数就是这个节点与其他节点所连接的边的条数，进而可得出所有人握手的次数之和。
2. 在一个地方有3户人家，并且有3口井供他们使用。
由于土质和气候的关系，有些井中的水常常干枯，因此各户人家要到有水的井去打水。
不久，这3户人家成了冤家，于是决定各自修一条路通往水井，打算使得他们在去水井的路上不会相遇。
试建立解决此问题的图论模型。
解：将3户人家分别看做3个节点且将3口井分别看做另外3个节点，若1户人家与1口井之间有一条路，则在该户人家与该口井对应的节点之间连一条无向边，这样就得到一个无向图。
3. 某人挑一担菜并带一条狼和一只羊要从河的一岸到对岸去。
由于船太小，只能带狼、菜、羊中的一种过河。
由于明显的原因，当人不在场时，狼要吃羊，羊要吃菜。
通过建立图论模型给出问题答案。
解：不妨认为从北岸到南岸，则在北岸可能出现的状态为24=16种，其中安全状态有下面10种：（人，狼，羊，菜），（人，狼，羊），（人，狼，菜），（人，羊，菜），（Φ），（人，羊），（菜），（羊），（狼），（狼，菜）；不安全的状态有下面6种：（人）（人，菜）（人，狼）（狼，羊，菜）（狼，羊）（羊，菜）。
线将北岸的10种安全状态看做10个节点，而渡河的过程则是状态之间的转移，这样就得到一个无向图，如图8-1所示。
图8-1从上述无向图可以得出安全的渡河方案有两种：第1种：（人，狼，羊，菜）→（狼，菜）→（人，狼，菜）→（狼）→（人，狼，羊）→（羊）→（人，羊）→（Φ）。
(人，狼，羊，菜)(人，狼，羊)(人，狼，菜)(人，羊，菜)(人，羊) (狼，菜) (羊) (狼) (菜) (Φ)第2中：（人，狼，羊，菜）→（狼，菜）→（人，狼，菜）→（菜）→（人，羊，菜）→（羊）→（人，羊）→（Φ）。
离散数学习题答案1-2-6-7-8-9章-2009-12-17
习题1：1. 解 （1）{2，3，5，7，11，13，17，19}（2）{x|x=20*k,k 是自然数}（3）{2，-1}2. 解 （1）{2，4}（2）{1，2，3，4，5}（3）{1，3}（4）{1，3，5}3. 解 （1）{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}（2）φ（3）全体自然数（4）{0，2，4，6，8，10，12，14，16，18，20}（5）1，3，5，7，9，11，13，15，17，19}4. 解 （1）正确（2）正确（3）错误（4）正确5. 解 （1）A={1}，B={{1}}，C={{1}}（2）A={1}，B={{1}}，C={{{1}}}6. 解 （1）正确。
由子集的定义。
（2） 不一定。
如：A={1}，B={{1}}，C={{1}}。
（3）不一定。
如：A={1}，B={1，2}，C={{1，2}}（4）不一定。
如：A={1}，B={1，2}，C={{1，2}}。
7. 解 A={1，2}，B={1}，C={2}，有B A ≠，但是C B C A =成立。
A={1，2}，B={1}，C={1}，有B A ≠，但是C B C A =成立。
8. 解 （1）φ（2）{φ}（3）{{φ}}（4）{φ，{φ}}9. 解 （1）{1,2,3,4,5,6,7,8,9}（2）{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}（3）{0,3,6,7,8,9}10. 解 33311. 解 2512. 解（1）454（2）124（3）22013. 解 （1）{φ}（2）{φ，{a}}（3）{φ，{φ}，{a}，{φ,a}}（4）{φ，{φ}，{{φ}}，{{φ},φ}}（5）{φ，{{φ}}，{φ}，{a}，{{φ},φ}，{{φ},a}，{φ,a}，{{φ},φ,a}}14. 证明：假设B ≠C ，则至少存在一元素x ∈B 且x ∉C 。
离散数学第9章习题解答
第9章习题解答9.1 有5片树叶.分析设T有x个1度顶点(即树叶).则T的顶点数的边数由握手定理得方程.由方程解出所求无向树T的度数列为1,1,1,1,1,2,2,3,3,3.由这个度数列可以画多棵非同构的无向树,图9.6给出的4棵都具有上述度数列,且它们是非同构的.9.2 T中有5个3度顶点.分析设T中有个3度顶点,则T中的顶点数边数,由握手定理得方程.由方程解出x=5.所求无向树T的度数列为1,1,1,1,1,2,2,3,3,3.由这个度数列可以画多棵非同构的无向树,图9.6给出的4棵都具有上述度数列,且它们是非同构的.9.2 T中有5个3度顶点.要析设T中有x个3度顶点,则T中的顶点数,边数,由握手定理得方程..由此解出,即T中有5个3度顶.T的度数列为1,1,1,1,1,1,1,3,3,3,3,3.由于T中只有树叶和3度顶点,因而3度顶点可依次相邻,见图9.7所示. 还有一棵与它非同构的树,请读者自己画出.9.3 加条新边才能使所得图为无向树.分析设具有个连通分支的森林为G,则G有个连通分支全为树,加新边不能在内部加,否则必产生回路.因而必须在不同的小树之间加新边. 每加一条新边后,所得到的森林就减少一个连通分支. 恰好加条新边,就使得图连通且无回路,因而是树.在加边过程中,只需注意,不在同一人连通分支中加边. 下面给出一种加边方法,取为中顶点,加新边,则所得图为树,见图9.8 给出的一个特例.图中虚线边为新加的边.9.4 不一定.分析 n阶无向树T具有条边,这是无向树T的必要条件,但不是充公条件.例如, 阶圈(即个顶点的初级回路)和一个孤立点组成无向简单图具有条边, 但它显然不是树.9.5 非同构的无向树共有2棵,如图 9.9所示.分析由度数列1,1,1,1,2,2,4不难看出，唯一的4度顶点必须与2度顶点相邻，它与1个2度顶点相邻，还是与两个2度顶点都相邻，所得树是非同构的，再没有其他情况.因而是两棵非同构的树.9.6 有两棵非同构的生成树,见图9.10所示.分析图9.10 是5阶图(5个顶点的图), 5阶非同构的无向树只有3棵,理由如下. 5阶无向树中,顶点数,边数,各顶点度数之和为8,度数分配方案有3种,分别为①1,1,1,1,4;②1,1,1,2,3;③1,1,2,2.2.每种方案只有一棵非同构的树.图9.10所示的5阶图的非同构的生成树的度数列不能超出以上3种,也就是说,它至多有3棵非同构的生成树, 但由于图中无4度顶点,所示,不可能有度数列为①的生成树,于是该图最多有两棵非同构的生成树. 但在图9.10 中已经找出了两个非同构的生成树,其中(1)的度数列为③,(2) 的度数列为②,因而该图准确地有两棵非同构的生成树.9.7 基本回路为:基本回路系统为基本割集为:基本回路系统为.分析1°注意基本回路用边的序列表示,而基本割集用边的集合表示.2° 基本回路中,只含一条弦,其余的边全为树枝,其求法是这样的: 设弦,则在生成树T中,且在T中,之间存在唯一的路径与组成的回路为G中对应弦的基本回路.3° 基本割集中,只含一条树枝,其余的边都是弦,其求法是这样的:设树枝,则为T中桥,于是(将从T中支掉),产生两棵小树和,则为树枝对应的基本割集. 显然中另外的边全是弦. 注意,两棵小树和,中很可能有平凡的树(一个顶点).得两棵小树如图9.11中(1) 所示. G中一个端点在中,另一个端点在中的边为(树枝),,它们全是弦,于是得两棵小树如图9.11中(2) 所示, 其中有一棵为平凡树. G中一个端点在中,另一个端点在中的边数除树枝外,还有弦所以,产生的两棵小树如图9.11中(3) 所示 . G中一个端点在中,另中一个端点在中的边,除树枝外,还有两条弦,所示,产生的两棵小树如图9.11中(4) 所示. 由它产生的基本割集为.9.8 按Kruskal求最小生成树的算法,求出的图9.3(1)的最小生成树T为图9.12中(1) 所示, 其.(2) 的最小生成树T为图9.12中(2)所示,其9.9为前缀码.分析在中任何符号串都不是另外符号串的前串,因而它们都是前缀码.而在中, 1是11,101的前缀,因而不是前缀码. 在中,是等的前缀,因而也不是前缀码.9.10 由图9.4 (1) 给出的2元前缀码.由(2) 给出的3元前缀码为.分析是2元树产生的2元前缀码(因为码中的符号串由两个符号0,1组成),类似地,是由3元树产生的3元前缀码(因为码中符号串由3个符号0,1,2组成).一般地,由元树产生元前缀码.9.11 (1) 算式的表达式为.由于.(2) 算式的波兰符号法表达式为(3) 算式的逆波兰符号法表达式为9.12 答案A:①; B②; C:④; D:⑨.分析对于每种情况都先求出非同构的无向树,然后求出每棵非同构的无向树派生出来的所有非同构的根树.图9.13 中,(1),(2),(3),(4)分别画出了2阶,3阶,4阶,5阶所有非同构的无向树,分别为1棵,1棵,2棵和3棵无向树.2阶无向树只有1棵,它有两个1度顶点,见图9.13中(1)所示,以1个顶点为树根,1个顶点为树叶,得到1棵根树.3阶非同的无向树也只有1棵,见图9.13中(2)所示.它有两个1度顶点,1个2度顶点,以1度顶点为根的根树与以2度顶点为根的树显然是非同构的根树,所以2个阶非同构的根树有两棵.4阶非同构的无向树有两棵,见图9.13中(3)所示. 第一棵树有3片树叶,1个3度顶点, 以树叶为根的根树与以3度顶点为根的树非同构.所以,由第一棵树能生成两个非同构的根树, 见图9.14 中(1)所示. 第二棵树有两片树叶,两个2度顶点,由对称性,以树叶为根的根树与2度顶点为根的根树非同构,见图9.14中(2) 所示. 所以,4阶非同构的根树有4棵.5阶非同构的无向树有3棵,见图9.13中(4)所示. 由第一棵能派生两棵非同构的根树, 由第二棵能派生4棵非同构的根树,由第三棵能派生3棵非同构的根树,所以,5阶非同构的根树共有9棵,请读者将它们都画出来.9.13 答案A:②; B:②; C:③; D:③; E:③;F:④; G: ④; H:③.分析将所有频率都乘100,所得结果按从小到大顺序排列:以以上各数为权,用Huffman算法求一棵最优树,见图9.15所示.对照各个权可知各字母的前缀码如下:a——10， b——01， c——111， d——110，e——001， f——0001，g——0000.于是，a,b的码长为的码长为的码长为4.W(T)=255(各分支点的权之和),W(T)是传输100按给定频率出现的字母所用的二进制数字,因则传输104个按上述频率出现的字母要用个二进制数字.最后还应指出一点,在画最优树叶, 由于顶点位置的不同,所得缀码可能不同,即有些字母的码子在不同的最优树中可能不同,但一般说来码长不改变.特别是,不同的最优树,它们的权是固定不变的.9.14 答案 A:②; B:④分析用2元有序正则树表示算式,树叶表示参加运算的数,分支点上放运算符,并将被减数(被除数)放在左子树上,所得2元树如图9.16所示.用前序行遍法访问此树,得波兰符号表示法为用后序行遍法访问此树,得逆波兰符号表示法为。
离散数学课后答案
离散数学课后答案第一章离散数学基础题目1问题：证明集合A和集合B的笛卡尔积的基数等于集合A 和集合B的基数的乘积。
答案：设集合A的基数为|A|，集合B的基数为|B|。
我们要证明集合A和集合B的笛卡尔积的基数等于集合A和集合B的基数的乘积，即|(A x B)| = |A| * |B|。
首先，我们可以将集合A x B表示为{(a, b) | a∈A, b∈B}。
由于A和B是两个集合，集合A x B中的元素可以看作是将A 中每个元素与B中每个元素组成的有序对。
因此，集合A x B 中的元素个数等于A中元素的个数乘以B中元素的个数，即|(A x B)| = |A| * |B|。
题目2问题：对任意两个集合A和B，证明A∩(A∪B) = A。
答案：要证明A∩(A∪B) = A，首先我们需要理解集合的交和并的定义。
- 集合的交：集合A∩B表示同时属于集合A和集合B的元素组成的集合。
- 集合的并：集合A∪B表示属于集合A或集合B的元素组成的集合。
现在，我们开始证明。
首先，根据集合的并的定义，A∪B 表示属于集合A或集合B的元素组成的集合。
因此，任意属于集合A的元素也一定属于A∪B，即A⊆A∪B。
其次，根据集合的交的定义，A∩(A∪B)表示同时属于集合A和集合A∪B的元素组成的集合。
由于A⊆A∪B，所以A中的元素一定属于A∪B，因此A∩(A∪B) = A。
综上所述，对任意两个集合A和B，A∩(A∪B) = A成立。
第二章命题逻辑题目1问题：证明合取命题的真值表达式。
答案：合取命题的真值表达式表示命题P和命题Q同时为真时合取命题为真，否则为假。
假设命题P和命题Q的真值分别为真（T）或假（F），那么合取命题的真值可以通过以下真值表得出：P Q P∧QT T TT F FF T FF F F从上述真值表可以看出，只有P和Q都为真时，合取命题才为真。
如果其中一个或两个命题为假，则合取命题为假。
题目2问题：证明命题的等价关系。
离散数学答案 屈婉玲版 第二版 高等教育出版社课后答案,DOC
离散数学答案屈婉玲版第二版高等教育出版社课后答案第一章部分课后习题参考答案16设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。
（1）p∨(q∧r)⇔0∨(0∧1)⇔0（2）（p?r）∧(﹁q∨s)⇔（0?1）∧(1∨1)⇔0∧1⇔0.（3）（⌝(4)（176能被2q:3r:2s:619（4）(p（5）(p（6）((p答：（pqp→q⌝0011111011011110010011110011所以公式类型为永真式（5）公式类型为可满足式（方法如上例）（6）公式类型为永真式（方法如上例）第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.(1)⌝(p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)⇔(⌝p∨(p∨q))∨(⌝p∨r)⇔⌝p∨p∨q∨r⇔1所以公式类型为永真式(3)P qrp∨qp∧r（p∨q）→(p∧r)0000010010014.(2)(p→(4)(p∧证明（2（45.(1)(⌝p→q)→(⌝q∨p)(2)⌝(p→q)∧q∧r(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)解：（1）主析取范式(⌝p→q)→(⌝q∨p)⇔⌝(p∨q)∨(⌝q∨p)⇔(⌝p∧⌝q)∨(⌝q∨p)⇔(⌝p∧⌝q)∨(⌝q∧p)∨(⌝q∧⌝p)∨(p∧q)∨(p∧⌝q)⇔(⌝p∧⌝q)∨(p∧⌝q)∨(p∧q)⇔∑(0,2,3)主合取范式：(⌝p→q)→(⌝q∨p)⇔⌝(p∨q)∨(⌝q∨p)⇔(⌝p∧⌝q)∨(⌝q∨p)⇔(⌝p⇔1∧(p⇔(p∨⇔∏(2)⌝(p→q)⇔(p∧(3)⇔⌝⇔1∧1⇔1所以该式为永真式.永真式的主合取范式为1主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14.在自然推理系统P中构造下面推理的证明：(2)前提：p→q,⌝(q∧r),r结论：⌝p(4)前提：q→p,q↔s,s↔t,t∧r结论：p∧q证明：（2）①⌝(q∧r)前提引入②⌝q∨⌝r①置换③q→⌝r②蕴含等值式④r⑤⌝q⑥p→q⑦￢p（3证明（4①t②t③q④s⑤q⑥（⑦（⑧q⑨q⑩p15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理：(1)前提：p→(q→r),s→p,q结论：s→r证明①s附加前提引入②s→p前提引入③p①②假言推理④p→(q→r)前提引入⑤q→r③④假言推理⑥q前提引入⑦r⑤⑥假言推理16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：(1)前提：p→⌝q,⌝r∨q,r∧⌝s结论：⌝p证明：①p②p③﹁④￢⑤￢⑥r⑦r⑧r3.:(1)均有2=(x+)(x).(2)其中(a)(b)解：F(x):2=(x+)(x).G(x):x+5=9.(1)在两个个体域中都解释为)(x∀，在（a）中为假命题，在(b)中为真命题。
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习题9 1-7
1、
答、运算表如下表所示：
2、
答、（1），；，；，；，（2）、运算标如下表：
3、
答、（1）可以，
（2）不可以
4、
答、（1）封闭
（2）不封闭
（3）加法、乘法都封闭
（4）加法不封闭，乘法封闭
（5）不封闭
（6）加法、乘法都封闭
（7）封闭
（8）加法不封闭，乘法封闭
（9）加法不封闭，乘法封闭
（10）加法不封闭，乘法封闭
5、
答、（1）没有交换律、结合律，对于一个运算不能考虑分配率
（3）加法满足交换律、结合律，乘法满足结合律，乘法对加法满足分配率
（4）乘法满足结合律
（6）加法和乘法都满足交换律、结合律，乘法对加法满足分配率
（7）满足结合律
（8）乘法满足交换律、结合律
（9）乘法满足交换律、结合律
（10）乘法满足交换律、结合律
6、
答、（1）没有单位元、零元，没有可逆元素
（3）n阶全0矩阵是加法单位元，也是乘法的零元；n阶单位矩阵是乘法单位元；加法没有零元。
任意n阶矩阵M对于加法都是可逆元素，其逆元为-M；只有n阶可你矩阵（行列式不为0）对乘法是可逆元素，其逆元为
（4）乘法单位元为n阶单位矩阵，没有零元。
每个矩阵M都是逆元
（6）加法单位元0，没有零元，每个元素x都可逆，其逆元是它的相反数-x，当n=1时，乘法有单位元1，只有两个可逆元素：，。
当＞时乘法没有单位元和可逆元素。
（7）没有单位元和零元，也没有可逆元素
（8）乘法单位元为1，只有1是可逆元素，
（9）乘法单位元为1，只有1是可逆元素，，乘法零元是0
（10）乘法没有单位元、零元以及可逆元素
7、
答、（1）4*6=4,7*3=3
（2）满足交换律、结合律、幂等律
（3）没有单位元，1是零元，没有可逆元素。