空间杆系有限元法也称空间桁架位移法.

整体坐标
图3.25 杆件在整体坐标中
设杆件ij （即 轴）与整体坐标x，y，z轴夹 角的余弦分别为l，m，n。由图25所示的几何关 系可以得出
式中lij——ij杆的长度
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令 分别表示杆件ij在整体 坐标系中的节点力，节点位移和单元刚度矩阵。 在整体坐标系中ij杆节点力和节点位移间的关 系力为：
3E c I cx 3 H
{Fi} ，{Fj}——分别为杆件ij在整体坐标系下 i，j点的杆端力列阵； {δi}，{δj}——分别为杆件ij在整体坐标系 下i，j点的位移列阵； [Kij]，[Kjj]——分别为杆件ij在i端，j端发 生单位位移时，在i端，j端产生的内力； [Kij]，[Kjj]——分别为杆件ij在j端，i端发 生单位位移时，在i端，j端产生的内力。
无侧移铰接支座，支承节点在竖向，边界线切线 和法向都无位移。 单向可侧移支座，竖向和边界切线方向位移为零， 而边界法向为自由。 双向可侧移的铰接支座，只有竖向位移为零，两 个水平方向都为自由。 在网架的四角处，至少一个角上的支座必须是无 侧移的，相邻的两角可以是单向可侧移的，相对 的角可以是双向可侧移的。 这种做法既防止网架的刚体移动，又提供了不少 于6根的约束链杆数。在工程实践中，如果温度 应力不大，也可考虑四角都用无侧移铰支座。
对称面内节点荷载亦应按相同原则取值。在对 称荷载作用下，对称面内网架节点的反对称位 移为零，计算时应在相应方向予以约束。 与对称面相交的杆件，分析时可将该交点作为 一个节点，并在三个方向予以约束。 交叉腹杆或人字形腹杆的交叉点，位于对称面 时，亦应作为一个节点，并在两个水平方向予 以约束。 在反对称荷载作用下，对称面内网架节点的对 称位移应取为零。
3.4.4总刚矩阵中边界条件的处理方法 未引入边界条件前，总刚矩阵[K]是奇异的，不 能进行求解。引入结构边界条件消除刚体位移 后，总刚矩阵为正定矩阵。 位移为零
处理方法
弹性约束 指定位移
3.4.5网架的边界条件及对称性利用 (1)对称性利用 当网架结构(包括支座)和外荷载有n个对称面时， 可利用对称条件只分析网架的1／2n。 计算时，对称面内各杆件的截面积应取原截面 面积的一半，n个对称面交线上的中心竖杆，其 截面面积应取原截面面积的1／2n。
基本单元
单元刚度矩阵
节点平衡及变形协调条件
总刚度矩阵
总刚度方程
引入边界条件
节点位移值
单元内力与节点位移间关系
杆件内力
3.4.1网架计算基本假定 网架的节点为空间铰接节点，杆件只承受轴力； 结构材料为完全弹性，在荷载作用下网架变形很 小，符合小变形理论。
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3.4.2单元刚度矩阵
当网架支承在独立柱上时，由于它的弯曲刚度 不是很大，在采用无侧移铰支座时除竖向仍然 看作无位移外，两个水平方向应看成弹性支承， 支承的弹簧刚度由悬臂柱的挠度公式得出：
K cx
3Ec I cy H
3
K cy
Ec——支承柱的材料弹性模量； Icy、Icx——分别为支承柱绕截面y、x轴的截面惯 性矩； H——支承悬臂柱长度。
整理得：
上式就是节点3得内外力平衡方程，对网架中得 所有节点，逐点列出平衡方程，联立起来便为 结构踪刚度方程，表达式为：
对于本例，总刚度矩阵中的第7行至第9行的元 素表示如下：
总刚矩阵具有下列特点： 矩阵具有对称性，计算时不必将所有元素列出， 只列出上三角或下三角即可。 矩阵具有稀疏性。 网架结构每一节点所连杆件数量有限，总刚矩 阵中除主对角及其附近元素为非零元素外，其 余均为零元素。 非零元素集中在主对角线两旁的带状区域内， 计算机存贮时，按一维变带宽存放，可有效节 省计算机容量，带宽大小与网架节点编号有关Fra Baidu bibliotek 进行网架节点编号时，应尽可能使各相关节点 号差值缩小。
以图26所示的空间桁 架节点 3 为例，说 明总刚矩阵及总刚方 程的建立。该桁架共 有9个单元，5个节点， 单元及节点编号如图 示。相交于节点3的 杆件有⑥⑦⑧⑨。
图3.26 单元及节点编号
变形协调条件为连于同一节点上的杆端位移相 等 ，即： 内外力平衡条件为汇交于同一节点的杆端内力 之和等于该节点上的外荷载，即： 连于节点3的杆端力与各节点位移关系为：
一等截面空间桁架杆件ij如图所示，设局部直角坐标 系为 x yz ， x 轴与ij杆平行。
局部直角 坐标下
图3.24 ij杆的杆端轴力和位移
杆端力向量为：
杆端位移向量为： 杆端力和位移的关系可写为
坐标转换
结构分析中为方便杆 端力和位移的叠加， 应采用统一坐标系， 即结构整体坐标xyz。 这样需对局部坐标系 下的单元刚度矩阵进 行坐标转换。
3.4空间杆系有限元法
空间杆系有限元法也称空间桁架位移法。 空间杆系有限元法是计算精度最高的一种方法， 适用于各种类型、各种平面形状、不同边界条 件的网架，静力荷载、地震作用、温度应力等 工况均可计算。 能考虑网架与下部支承结构的共同工作 。 计算程序见下表。
网架杆件
节点位移 基本未知量
(2)边界条件 有限元计算中，边界条件将对网架结构内力及 变形产生较大影响。 网架支承处的边界条件既和支座节点构造有关， 也和支承结构的刚度有关，支座可以是无侧移、 单向可侧移和双向可侧移的铰接支座，支承结 构(柱、梁等)可以是刚性或弹性的。 当支承结构刚度很大可忽略其变形时，边界条 件完全取决于支座构造。
两坐标系之间的转换关系为
式中[T]——坐标转换矩阵
坐标轴的旋转变换和几何关系可导出：
并注意到[T]-1=[T]T，得到整体坐标下ij杆节点 力和位移的关系为：
得到杆件ij在整体坐标系中的单刚矩阵 ：
3.4.3结构总刚度矩阵及总刚度方程 建立了杆件单元刚度矩阵之后，即可按照变形 协调及节点内外力平衡条件建立结构的总刚度 矩阵及相应的总刚度方程。 对公式变换为：