正弦定理和余弦定理的应用

第二节应用举例

题型一 测量距离问题

A 、

B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点

C ，测出

AC 的距离是55m, 51=∠BAC , 75=∠ACB .求A 、B 两点间的距离（精

确到1.0m ）.

分析 所求的边AB 的对角是已知的，又已知三角形的一边AC ，根

据三角形内角和定理可计算出AC 的对角，根据正弦定理，可以计算出边AB .

解答 根据正弦定理，得

ABC

AC

ACB AB ∠=

∠sin sin ABC

ACB

ABC ACB AC AB ∠∠=

∠∠=sin sin 55sin sin 76554

sin 75sin 55)7551180sin(75sin 55⋅≈=--=

(m) 点拨 本题是测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决。

本题型的解题关键在于明确：（1）测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决。（2）测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化

A

B

C

为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题。

衍生1★★ 如图所示，客轮以速度v 2由A 至B 再到C 匀速航行，货轮从AC 的中点D 出发，以速度V 沿直线匀速航行，将货物送达客轮，已知BC AB ⊥，且50=-BC AB 海里。若两船同时启航出发，则两船相遇之处距C 点 海里。（结果精确到小数点后1位）

解析 AB DB 2<

∴两船相遇点在BC 上，可设为E ，设x CE =，则

V

BE

AB DE 22+=

故 V x x 45cos 2252)225(22⨯⨯-+V x 2)50(50-+=

得 3

5000

2=

x ，∴8.40≈x 答案 8.40

点拨 本题考查了测量距离问题。

衍生2★★★如图所示，B A ,两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量B A ,

两点间距离的方法。

分析 可以先计算出河的这一岸的一点C 到对岸两点的距离，

再测

A

B

C

D α

β

A

γ

δ

出BCA ∠的大小，借助余弦定理可以计算出B A ,两点间距离。 解答 法一：测量者可以在河岸边选定两点C 、D ，测得,a CD = 并且在C 、D 两点分别测得.,,,δγβα=∠=∠=∠=∠BDA CDB ACD BCA 在ADC ∆和BDC ∆中，应用正弦定理得

)](180sin[)sin(δγβδγ++-+=

a AC )sin()

sin(δγβδγ+++=a

)](180sin[sin γβαγ++-=

a BC .)

sin(sin γβαγ

++=a 计算出AC 和BC 后，再在ABC ∆中，应用余弦定理计算出AB 两点间的距离。

αcos 222BC AC BC AC AB ⨯-+=

αγβαγδγβδγγβαγδγβδγcos .)sin(sin .)sin()sin(2)(sin sin )(sin )(sin 222222+++++⨯-++++++=a a a a

)sin()sin(cos sin )sin(2)

(sin sin )(sin )(sin 2

222γβαδγβα

γδγγβαγδγβδγ+++++⋅-++++++=a 法二：本题也可以在河的这一岸选定C 、D ，测出,2a CD =取CD 中点E ,

因此要求AB ,构造AEB ∆,需要求出BE 、AE 及AEB ∠所以要测出

,,,,γθβα=∠=∠=∠=∠AED BCE ADE BCE

再分别在BCE ∆、AED ∆中用余弦定理就可求出BE 、AE 求解过程如下：在BCE ∆中，

)

sin(sin )sin(sin )](180sin[sin .θαα

θααθαα+=+=+-=

a CE CE BE

在AED ∆中，

)sin(sin )

(180sin[sin γββ

γββ+=+-=

a ED AE

在AEB ∆中，

)](180cos[222γθ+-⋅-+= BE AE BE AE AB

)

cos()sin(sin )sin(sin 2)(sin sin )(sin sin 222222γθθαα

γββθααγββ+⋅+⋅+⋅++++=a a a a

)sin()sin()

cos(sin sin 2)

(sin sin )(sin sin 2

222θαγβγθβαθααγββ+++⋅++++=a 点拨 求解三角形中的基本元素，应由确定三角形的条件个数，选择合适的三角形求解，如本题法一选择的是ADC ∆和BDC ∆. 衍生3★★★ 如图，隔河看两目标A 、B ，但不能到达，在岸边选取相距3千米的两点，并测得,45,75 =∠=∠BCD ACB ,30 =∠ADC

45=∠ADB (A 、B 、C 、D 在同一平面内)求两目标A 、B 之间的距

离。

分析 要求出A 、B 之间的距离,可在ABC ∆(或)ADB ∆中去找关系,但不管在哪个三角形中,)(BD AC 、)(AD BC 这些量都是未知的,需要在三角形中找出合适的关系,求出它们的值,剩下的只需解三角形了。 解答 在ACD ∆中，,120,30 =∠=∠ACD ADC

∴.3,30==∴=∠CD AC CAD

在BDC ∆中，,607545180 =--=∠CBD

A

B

C

D