正弦定理和余弦定理的应用

第二节应用举例题型一 测量距离问题A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是55m, 51=∠BAC , 75=∠ACB .求A 、B 两点间的距离（精确到1.0m ）.分析 所求的边AB 的对角是已知的，又已知三角形的一边AC ，根据三角形内角和定理可计算出AC 的对角，根据正弦定理，可以计算出边AB .解答 根据正弦定理，得ABCACACB AB ∠=∠sin sin ABCACBABC ACB AC AB ∠∠=∠∠=sin sin 55sin sin 76554sin 75sin 55)7551180sin(75sin 55⋅≈=--=(m) 点拨 本题是测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决。

本题型的解题关键在于明确：（1）测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决。

（2）测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化ABC为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题。

衍生1★★ 如图所示，客轮以速度v 2由A 至B 再到C 匀速航行，货轮从AC 的中点D 出发，以速度V 沿直线匀速航行，将货物送达客轮，已知BC AB ⊥，且50=-BC AB 海里。

若两船同时启航出发，则两船相遇之处距C 点 海里。

（结果精确到小数点后1位）解析 AB DB 2<∴两船相遇点在BC 上，可设为E ，设x CE =，则VBEAB DE 22+=故 V x x 45cos 2252)225(22⨯⨯-+V x 2)50(50-+=得 350002=x ，∴8.40≈x 答案 8.40点拨 本题考查了测量距离问题。

衍生2★★★如图所示，B A ,两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量B A ,两点间距离的方法。

分析 可以先计算出河的这一岸的一点C 到对岸两点的距离，再测ABCD αβAγδ出BCA ∠的大小，借助余弦定理可以计算出B A ,两点间距离。

解答 法一：测量者可以在河岸边选定两点C 、D ，测得,a CD = 并且在C 、D 两点分别测得.,,,δγβα=∠=∠=∠=∠BDA CDB ACD BCA 在ADC ∆和BDC ∆中，应用正弦定理得)](180sin[)sin(δγβδγ++-+=a AC )sin()sin(δγβδγ+++=a)](180sin[sin γβαγ++-=a BC .)sin(sin γβαγ++=a 计算出AC 和BC 后，再在ABC ∆中，应用余弦定理计算出AB 两点间的距离。

αcos 222BC AC BC AC AB ⨯-+=αγβαγδγβδγγβαγδγβδγcos .)sin(sin .)sin()sin(2)(sin sin )(sin )(sin 222222+++++⨯-++++++=a a a a)sin()sin(cos sin )sin(2)(sin sin )(sin )(sin 2222γβαδγβαγδγγβαγδγβδγ+++++⋅-++++++=a 法二：本题也可以在河的这一岸选定C 、D ，测出,2a CD =取CD 中点E ,因此要求AB ,构造AEB ∆,需要求出BE 、AE 及AEB ∠所以要测出,,,,γθβα=∠=∠=∠=∠AED BCE ADE BCE再分别在BCE ∆、AED ∆中用余弦定理就可求出BE 、AE 求解过程如下：在BCE ∆中，)sin(sin )sin(sin )](180sin[sin .θααθααθαα+=+=+-=a CE CE BE在AED ∆中，)sin(sin )(180sin[sin γββγββ+=+-=a ED AE在AEB ∆中，)](180cos[222γθ+-⋅-+= BE AE BE AE AB)cos()sin(sin )sin(sin 2)(sin sin )(sin sin 222222γθθααγββθααγββ+⋅+⋅+⋅++++=a a a a)sin()sin()cos(sin sin 2)(sin sin )(sin sin 2222θαγβγθβαθααγββ+++⋅++++=a 点拨 求解三角形中的基本元素，应由确定三角形的条件个数，选择合适的三角形求解，如本题法一选择的是ADC ∆和BDC ∆. 衍生3★★★ 如图，隔河看两目标A 、B ，但不能到达，在岸边选取相距3千米的两点，并测得,45,75 =∠=∠BCD ACB ,30 =∠ADC45=∠ADB (A 、B 、C 、D 在同一平面内)求两目标A 、B 之间的距离。

分析 要求出A 、B 之间的距离,可在ABC ∆(或)ADB ∆中去找关系,但不管在哪个三角形中,)(BD AC 、)(AD BC 这些量都是未知的,需要在三角形中找出合适的关系,求出它们的值,剩下的只需解三角形了。

解答 在ACD ∆中，,120,30 =∠=∠ACD ADC∴.3,30==∴=∠CD AC CAD在BDC ∆中，,607545180 =--=∠CBDABCD由正弦定理，可得 .22660sin 75sin 3+==BC 由余弦定理，可得BCA BC AC BC AC AB ∠⋅⋅-+=cos 2222.575cos )226(32)226()3(222=⨯+⨯⨯-++=∴ AB 5=∴AB （千米），即两目标A 、B 之间的距离为5千米。

点拨 若首先解ACD ∆求出AD ,再求BD ,最后解ABD ∆,则其计算量就比上述解法要大，因此当问题有多种解决途径时，我们应该用价值的观念来审视每种解法，从而探索到最优解法。

在ABC ∆中，若已知两角及任一边，一般用正弦定理求解，但要注意实际问题是否为一些特殊三角形，如正三角形、直角三角形、等腰三角形等.题型二 测量高度问题PO 的高度，但不能到达铁塔的底部，在只能使用简单的测量工具的前提下，你能设计出哪些测量方法？并提供每种方法的计算公式。

分析 要测量铁塔的高度，只能在铁塔底部所在的平面上选取两点，量出两点间的距离，再测量有关角，从而构造三角形求解。

解答 测量方法1、如右图所示，在地面上引一条基线AB ,这条基线和塔底在同一水平面上，且AB 不过点O ，测出AB 的长，)(θAOB ∠及B A ,对塔顶P 的仰角βα,，则可求出铁塔PO 的高。

在POA Rt ∆中，αcot ⋅=PO AO ，BAOαβP在POB Rt ∆中，βcot ⋅=PO BO ，在AOB ∆中，由余弦定理得，222cos 2AB OB OA OB OA =⋅⋅-+θθβαβαcos cot cot 2cot cot 22⋅⋅-+=∴ABPO测量方法2、在地面上引一条基线AB ,这条基线和塔底在同一水平面上，并使O B A ,,三点在一条直线上，测出AB 的长和B A ,对塔顶P 的仰角βα,，则可求出铁塔PO 的高。

计算方法如下：如右图所示， 在PAB ∆中，由正弦定理得)sin(sin sin )sin(βαβββα-⋅=⋅-=AB AB PA ，在POA Rt ∆中，αsin ⋅=PA PO ，)sin(sin sin βαβα-⋅⋅=∴AB PO测量方法3、在地面上引一条基线AB ,这条基线和塔底在同一水平面上，且延长后不过塔底，测出AB 的长，用经纬仪测出角γβ,和A 对塔顶P 的仰角α的大小，则可求出铁塔PO 的高。

计算方法如下： 如右图所示，在ABO ∆中，由正弦定理得AOααBPβAαγPβOB)sin(sin )](180sin[sin γβγγβγ+⋅=+-⋅=AB AB AO在PAO Rt ∆中，αtan ⋅=AO PO)sin(tan sin γβαγ+⋅⋅=∴AB PO点拨 本题是个开放性的题目，灵活构造三角形解题是一大特点。

本题型的解题思路：（1）测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题。

（2）对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可。

衍生1 ★★ 如图，B A ,是水平面上的两个点，相距800m,在A 点测得山顶C 的仰角为 25 ， 110=∠BAD ,又在B 点测得 40=∠ABD ，其中D 是点C 在水平面上的垂足，则山高 CD 为 .（精确到1m ） 解析 在ABD ∆中， 3040110180=--=∠ADB ,由正弦定理，得sin sin =∠⋅=ADB B AB AD 在ACD Rt ∆中,25tan ≈⋅= AD CD ∴山高约为480（m ）.答案 480点拨 测量高度问题常利用解一个直角三角形和一个斜三角形来解决，解斜三角形一般用正弦定理。

衍生2 ★★★ 某人在塔的正东沿着南偏西 60的方向前进40m 后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为 30，求塔高。

分析 依题意画图，某人在C 处，AB 为塔高， 他沿CD 前进，40=CD 米，此时 45=∠DBF ， 从C 到D 沿途测塔的仰角，只有B 到测试点的 距离最短时，仰角才最大，这是因为BEABAEB =∠tan ，AB 为定值，BE 最小时， 仰角最大。

要求出塔高AB 必须先求BE ，而要求BE 须先求BD 或（BC ）. 解答 在BCD ∆中，,135,30,40 =∠=∠=DBC BCD CD 由正弦定理，得BCDBDDBC CD ∠=∠sin sin .220135sin 30sin 40==∴BD在BED Rt ∆中，1530135180=--=∠BDE )13(1042622015sin -=-⨯==∴ DB BE 在ABE Rt ∆中，,30 =∠AEB)33(31030tan -==∴ BE AB （米）. 故所求的塔高为)33(310-米.点拨 在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念。

仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角。

当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角。

AB F 045DCE030060衍生3 ★★★在某一山顶观测山下两村庄A 、B ，测得A 的俯角为 30，B 的俯角为 40，观测A 、B 两村庄的视角为 50，已知A 、B 在同一海平面上且相距1000米，求山的高度.(精确到1米)分析 画出立体图形的直观图，由余弦定理列出方程，解方程可求得山高.解答 设山顶为C ，山高 x CD =，由题意，得 .50,40,30 =∠=∠=∠ACB CBD CAD在ADC Rt ∆中， x CDAC 230sin ==， 在BDC Rt ∆中， .40sin 40sinxCD BC == 在ABC ∆中，由余弦定理知米）(64340sin 1000,50cos 40sin 440sin 41000cos 2222222222≈⋅=∴-+=∴∠⋅-+=x x x x ACB BC AC BC AC AB 故山高约为643米.点拨 把问题抽象概括为在空间解三角形问题，画出直观图是解题的关键，设出未知量可把已知量转移到同一个三角形中，由正、余弦定理列出方程可解决问题. 衍生4★★★★ 如图，在某点B 处测得建筑物AE 的顶端A 的仰角为θ，沿BE 方向前进30m，ABCDEθ θ 2θθθ2θ4至点C 处测得顶端A 的仰角为θ2，再继续前进310m 至D 点，测得顶端A 的仰角为θ4，求θ的大小和建筑物AE 的高。