2019届江苏省高考数学二轮复习微专题3.平面向量问题的“基底法”和“坐标法”
高考数学(文)《平面向量》专题复习
第1节 平面向量的概念及线性运算、 平面向量基本定理
600分基础 考点&考法
❖考点29 平面向量的基本概念及线性运算 ❖考点30 平面向量的坐标运算
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考点29 平面向量的基本概念及线性运算
❖考法1 平面向量的有关概念 ❖考法2 平面向量的线性运算
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考点29 平面向量的基本概念及线性运算
【注意】①向量数乘的特殊情况:当λ=0时,λa=0;当a=0时,λa=0.②实数和向量可 以求积,但不能求和、求差.③正确区分向量数量积与向量数乘的运算律.
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考法2 平面向量的线性运算
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考点30 平面向量的坐标运算
❖考法3 平面向量基本定理的应用 ❖考法4 平面向量的共线问题 ❖考法5 平面向量的坐标表示与运算
1.向量的有关概念
2.向量的线性运算
考法1 平面向量的有关概念
解决平面向量的有关概念的问题时,应注意以下两点: 1.应正确理解向量的概念 ①向量既有大小,又有方向,任意两个向量不能比较大小,只可以 判断它们是否相等,但它们的模可以比较大小;②大小与方向是向 量的两个要素,分别是向量的代数特征与几何特征;③向量可以自 由平移,任一组平行向量都可以移到同一直线上. 2.正确理解共线向量与平行向量 共线向量就是平行向量,其要求是几个非零向量的方向相同或相反, 当然向量所在直线可以平行,也可以重合,其中“共线”的含义不 同于平面几何中“共线”的含义.
(2)b在a方向上的投影是 一个数量,当0°≤θ< 90°时为正;当90°<θ ≤180°时为负;当θ= 90°时为0.
考点31 平面向量的数量积
【注意】x1y2-x2y1=0与x1x2+y1y2=0不同,前者是两向量a=(x1,y1), b=(x2,y2)共线的充要条件,后者是它们垂直的充要条件.
2019江苏高考数学二轮专题攻略课件:微专题2 平面向量数量积问题的常用处理策略
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3-1 (2017苏锡常镇四市调研)在△ABC中,已知AB=1,AC=2,∠A=60°,若点P
AP = AB +λ CP =1,则实数λ的值为 BP· AC ,且 满足
.
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答案
解析
1 1或- 4
取BC的中点D,连接PD,由AB=1,AC=2,∠A=60°,得BC= 3 ,∠ABC=90°,
25 15 1 1 1 2 5 25 ,则 +λBC = +λ = - λ∈ BA BA · BA · BA BA · BP = BC , . 4 2 2 4 4 8 4
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BC · 1-3 在△ABC中,AB=4,AC=3,点P是边BC的垂直平分线上任意一点,则
1 2 BE = AE · AF 的值为 DC ,则 BC ,DF= 线段BC和DC上,且 高考导航 6 3
.
答案
29 18
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2-3 如图,在△ABC中,已知AB=3,AC=2,∠BAC=120°,D为边BC的中点.若
EB· EC的值为 CE⊥AD,垂足为E,则
.
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答案 解析
27 - 7
AB方向为x轴正方向,建立平面直角坐标系,则B(3, 以点A为坐标原点,
2 3 3 3 EB 0),C(-1, 3 ),D 1, ,AD:y= x与CE:2x+ 3 y-1=0联立解得E , ,则 7 7 2 2
2
6
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【方法归纳】
(江苏专用)高考数学总复习 第四章第2课时 平面向量基本定理与坐标运算课件
思考探究 任意两个向量可否作为一组基底? 提示:零向量不能作基底,两个非零向 量共线时不能作基底,平面内任意两个
不共线的向量都可以作基底,一旦选择
了一组基底,则定向量沿基底的分解是
惟一的.
3.平面向量共线的坐标表示 若 a= (x1, y1), b= (x2, y2), 则 a∥ b⇔x1y2 = x2y1. 4.模长公式 若 a= (x, y),则 |a|= x2+ y2.
m+ 2n= 1, 由 解得 4m+ n= 1,
3 n=7,
1 m= , 7
所以
3 → 1 OM= a+ b. 7 7
考点2
向量的坐标表示及运算
首先区分清楚向量的坐标与点的坐标之 间的区别及联系,其次要熟练掌握向量
加法、减法与数乘的坐标运算规则.
例2
已知a=(1,1),b=(x,1),u=a+
故 3×k= 3× 3,解得 k=1.
答案:1
→ → → 4.已知向量AB=(6,1),BC=(2,5),CD → = (-2,-3),则AD = ________.
答案:(6,3)
考点探究 • 讲练互动
考点突破
考点1 平面向量基本定理及其应用 1.以平面内任意两个不共线的向量为
一组基底,该平面内的任意一个向量都
课前热身 1.下列关于基底的说法正确的序号是 ________.
①平面内不共线的任意两个向量都可作
为一组基底;②基底中的向量可以是零 向量;③平面内的基底一旦确定,该平 面内的向量关于基底的线性分解形式也 是惟一确定的.
答案:①③
2. (2012· 镇江调研)已知向量 a= (x+3, → x - 3x - 4) 与 AB 相 等 ,其 中 A(1,2) ,
平面向量基底法解题
平面向量基底法解题
平面向量基底法是一种数学方法,用于解决空间的线性方程组,也是向量空间理论、线性代数的重要内容,其解法的思想是将空间向量分别投影到两个独立的平面(基底),并求解这两个平面上的向量投影,然后将这两个解重新组合起来,即可得到原问题的解。
2、应用
(1)求解空间点的位置:用平面向量基底法可以求解空间点的位置,并且可以在计算机系统中实现。
(2)求解几何图形及其变换:给定一个几何图形,可以用矢量的形式表示,矩阵变换又可以用矩阵形式表示,可以根据以上两种形式用平面向量基底法求解几何图形及其变换的方法。
(3)求解非线性方程:可以将非线性方程转化为一组线性方程,然后用平面向量基底法求解。
(4)建立一条最短路径:用平面向量基底法可以求解一条最短路径。
(5)解决空间机构运动学问题:空间机构是由连接组件构成的系统,最常见的机构是机械机构,它可以实现各个位置的运动。
用平面向量基底法可以解决空间机构的运动学问题。
- 1 -。
巧用基底法和坐标法解决平面向量数量积问题
每组轮流进行 ,要求不重复。 经过充分地交流与合作 ,最后可以达成正方体的平面
展开图共有11种的共识。
问题二 :请将这 11种平 面图形进行分类 ,你发现其 中 蕴含 的规 律 了吗 ?
学生在实验操作 中有分工 、有合作 ,人人参与活动,并 且通过 自己的思考 、实践以及与他人 的讨论 ,寻求合理 的 答案 ,使他们获得了数学活动的经验 ,体会到合作 的乐趣 , 提高了学生的参与机会。
五 、利用有 效 的评 价 。促 进学 生持 续 参与 有效的评价在学生学习过程 中能起到激励、调控和导 向的作用。应该在评价中关注以下四个方面 : 第一 ,学生参与活动的态度。包括对问题情景关注和 参 与 活动 积极 主 动 。 第二 ,学生参与活动的广度。注意考虑学生参与学习 活动的人数、活动的方式多样、活动的时间充分等。 第三 ,学生参与活动的深度。重点考虑学生能否提出 有意义的问题或能发表个人见解 、能否按要求正确操作 以 及能否倾听 、协作 、分享等因素。 第四,学生参与与他人的合作。从以下两点来进行评 价 :(1)学生参与小组学习时间、次数 ;(2)小组学 习和讨论 是实质性的交流 。. 附:有效参与的学生评价指标(0~5分 )
丁x/-Y ),接下 来 缺
向量并不具备上述条件 ,比如 :
M点坐标 了.
【学法指导 】
巧用基底法和坐标法解 决平 面向量数量积 问题
顾俊华
(江苏省吴县中学 ,江苏 吴县 215151)
摘要 :本文主要介绍 了在求平 面向量数量积时的两种 常用的方法 :基底法和坐标法 ,对这 两种方法的使用条件做 了
适 当的 阐述 ,并通过对比对这两种方法之间的差异和联 系进行 了适 当的分析.
苏教版学高中数学必修四平面向量平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算讲义
学习目标核心素养(教师独具)1.掌握向量的坐标表示.(重点)2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.(重点)3.正确理解向量坐标的概念,要把点的坐标与向量的坐标区分开来.(易混点)通过学习本节内容提升学生的数学运算核心素养.一、平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示:在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,对于平面上的向量a,由平面向量的基本定理知,有且只有一对有序实数x,y,使得a=x i+y j.我们把有序实数对(x,y)称为向量a的(直角)坐标,记作a=(x,y).思考1:如图,向量i,j是两个互相垂直的单位向量,向量a与i的夹角是30°,且|a|=4,以向量i,j为基底,如何表示向量a?[提示] a=2错误!i+2j.思考2:在平面直角坐标系内,给定点A的坐标为A(1,1),则A点位置确定了吗?给定向量a的坐标为a=(1,1),则向量a的位置确定了吗?[提示] 对于A点,若给定坐标为A(1,1),则A点位置确定.对于向量a,给定a的坐标为a=(1,1),此时给出了a的方向和大小,但因向量的位置由起点和终点确定,且向量可以任意平移,因此a的位置还与其起点有关.二、平面向量的坐标运算1.已知向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)和实数λ,那么a+b=(x1+x2,y1+y2),a—b =(x1—x2,y1—y2),λa=(λx1,λy1).2.已知A(x1,y1),B(x2,y2),O为坐标原点,则错误!=错误!—错误!=(x2,y2)—(x,y1)=(x2—x1,y2—y1),即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标.1思考3:设i、j是分别与x轴、y轴同向的两个单位向量,若设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a=x1i+y1j,b=x2i+y2j,根据向量的线性运算性质,向量a+b,a—b,λa(λ∈R)如何分别用基底i、j表示?[提示] a+b=(x1+x2)i+(y1+y2)j,a—b=(x1—x2)i+(y1—y2)j,λa=λx1i+λy1j.1.思考辨析(1)两个向量的终点不同,则这两个向量的坐标一定不同.()(2)向量的坐标就是向量终点的坐标.()(3)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a±b=(x1±x2,y1±y2).()[答案] (1)×(2)×(3)√2.若A(2,—1),B(—1,3),则错误!的坐标是()A.(1,2)B.(—1,—2)C.(—3,4)D.(3,—4)[答案] C3.若a=(—1,2),b=(3,4),则a+b=________;a—b=________;3a=________;—5b =________.(2,6)(—4,—2)(—3,6)(—15,—20)[a+b=(2,6),a—b=(—4,—2),3a=(—3,6),—5b=(—15,—20).]平面向量的坐标表示【例1】在直角坐标系xOy中,向量a,b的位置如图,|a|=4,|b|=3,且∠AOx=45°,∠OAB=105°,分别求向量a,b的坐标.思路点拨:借助三角函数的定义求a,b的坐标.[解] 设a=(a1,a2),b=(b1,b2),由于向量a相对于x轴正方向的转角为45°,所以a1=|a|cos 45°=4×错误!=2错误!,a2=|a|sin 45°=4×错误!=2错误!.可以求得向量b相对于x轴正方向的转角为120°,所以b1=|b|cos 120°=3×错误!=—错误!,b2=|b|sin 120°=3×错误!=错误!.故a=(2错误!,2错误!),b=错误!.求向量的坐标一般转化为求点的坐标,解题时常常结合几何图形,利用三角函数的定义和性质进行计算.1.在直角坐标系xOy中,向量a,b,c的方向和长度如图所示,|a|=2,|b|=3,|c|=4,分别求它们的坐标.[解] 设a=(a1,a2),b=(b1,b2),c=(c1,c2),则a1=|a|cos 45°=2×错误!=错误!,a2=|a|sin 45°=2×错误!=错误!;b1=|b|cos 120°=3×错误!=—错误!,b2=|b|sin 120°=3×错误!=错误!;c1=|c|cos(—30°)=4×错误!=2错误!,c2=|c|sin(—30°)=4×错误!=—2.因此a=(错误!,错误!),b=错误!,c=(2错误!,—2).平面向量的坐标运算【例2】已知平面上三个点A(4,6),B(7,5),C(1,8),求错误!,错误!,错误!+错误!,2错误!+错误!错误!.思路点拨:直接利用平面向量的坐标运算求解.[解] ∵A(4,6),B(7,5),C(1,8),∴错误!=(3,—1),错误!=(—3,2),错误!+错误!=(0,1),2错误!+错误!错误!=(6,—2)+错误!=错误!.平面向量坐标的线性运算的方法:1若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.2若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算.3向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.2.已知A(—2,4),B(3,—1),C(—3,—4),且错误!=3错误!,错误!=2错误!,求M,N的坐标和错误!的坐标.[解] 因为A(—2,4),B(3,—1),C(—3,—4),所以错误!=(1,8),错误!=(6,3).设M(x,y),则错误!=(x+3,y+4).由错误!=3错误!得(x+3,y+4)=3(1,8),即错误!解得错误!即M(0,20).同理可得N(9,2),所以错误!=(9,—18).向量的坐标与点的坐标[探究问题]1.点的坐标与向量的坐标有何区别?提示:(1)向量a=(x,y)中间用等号连结,而点的坐标A(x,y)中间没有等号.(2)平面向量的坐标只有当起点在原点时,向量的坐标才与向量终点的坐标相同.(3)在平面直角坐标系中,符号(x,y)可表示一个点,也可表示一个向量,叙述中应指明点(x,y)或向量(x,y).2.向量与其终点坐标是一一对应关系吗?提示:不是一一对应关系,当且仅当向量的起点为坐标原点时,向量坐标与其终点的坐标是一一对应关系.【例3】已知点O(0,0),A(1,2),B(4,5)及错误!=错误!+t错误!,试问:(1)当t为何值时,P在x轴上?P在y轴上?(2)四边形OABP是否能成为平行四边形?若能,则求出t的值.若不能,说明理由.思路点拨:(1)由已知点的坐标表示出向量错误!,错误!的坐标,从而知道错误!的坐标,即点P的坐标,然后分类讨论即可.(2)若四边形OABP为平行四边形,则错误!=错误!.[解] (1)错误!=(3,3),错误!=错误!+t错误!=(1+3t,2+3t),则P(1+3t,2+3t).若P在x轴上,则2+3t=0,所以t=—错误!;若P在y轴上,则1+3t=0,所以t=—错误!.(2)因为错误!=(1,2),错误!=(3—3t,3—3t),若OABP是平行四边形,则错误!=错误!,所以错误!此方程组无解;故四边形OABP不可能是平行四边形.1.(变条件)若P在第三象限,求t的取值范围.[解] 由本例解知,若P在第三象限,则错误!解得t<—错误!,所以t的取值范围为错误!.2.(变条件)t为何值时,P在函数y=—x的图象上?[解] 由P点坐标(1+3t,2+3t)在y=—x上,得2+3t=—1—3t,解得t=—错误!.即t=—错误!时,P在y=—x的图象上.已知含参的向量等式,依据某点的位置探求参数的问题,其本质是坐标运算的运用,用已知点的坐标和参数表示出该点的坐标,利用点的位置确定其横纵坐标满足的条件,建立关于参数的方程组或不等式组,求解即可.提醒:要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系,一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标.教师独具1.本节课的重点是平面向量的坐标表示及运算.2.本节课要重点掌握以下问题(1)向量的坐标表示.(2)向量的坐标运算.1.下列说法正确的是()1向量的坐标即此向量终点的坐标;2位置不同的向量其坐标可能相同;3一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标;4相等的向量坐标一定相同.A.13B.24C.14D.23B[向量是自由向量,位置不同,可能是相同的向量,同时相等的向量坐标一定相同.故正确的说法是24.]2.若a=(2,1),b=(1,0),则3a+2b的坐标是________.(8,3)[3a+2b=3(2,1)+2(1,0)=(6,3)+(2,0)=(8,3).]3.已知向量错误!=(3,—2),错误!=(—5,—1),则向量错误!错误!的坐标是________.错误![∵错误!=错误!—错误!=(—5,—1)—(3,—2)=(—8,1),∴错误!错误!=错误!.]4.已知点A(—1,2),B(2,8)及错误!=错误!错误!,错误!=—错误!错误!,求点C,D及错误!的坐标.[解] 设C(x1,y1),D(x2,y2),由题意可得错误!=(x1+1,y1—2),错误!=(3,6),错误!=(—1—x2,2—y2),错误!=(—3,—6).∵错误!=错误!错误!,错误!=—错误!错误!,∴(x1+1,y1—2)=错误!(3,6)=(1,2),(—1—x2,2—y2)=—错误!(—3,—6)=(1,2),则有错误!和错误!解得错误!和错误!∴C,D的坐标分别为(0,4)和(—2,0).因此错误!=(—2,—4).。
高三数学平面向量 平面向量的坐标运算苏教版(理)知识精讲
高三数学平面向量 平面向量的坐标运算苏教版(理)【本讲教育信息】一、教学内容:平面向量 平面向量的坐标运算二、本周教学目标: 高考要求:1、了解平面向量的基本定理理解平面向量的坐标的概念,会用坐标形式进行向量的加法、减法、数乘的运算,掌握向量坐标形式的平行的条件;2、掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件.3、学会使用分类讨论、函数与方程思想解决有关问题.三、本周知识要点:1、平面向量的坐标表示:一般地,对于向量a ,当其起点移至原点O 时,其终点的坐标(x,y )称为向量a 的直角坐标.记作在直角坐标系中,分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j 作为基底,则a xi yj =+.(1)相等的向量坐标相同,坐标相同的向量是相等的向量.(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关.2、平面向量的坐标运算:(1)若()()1122,,,a x y b x y ==,则()1212,a b x x y y ±=±± (2)若()()2211,,,y x B y x A ,则()2121,AB x x y y =-- (3)若a =(x,y ),则λa =(λx,λy )(4)若()()1122,,,a x y b x y ==,则1221//0a b x y x y ⇔-= (5)若()()1122,,,a x y b x y ==,则1212a b x x y y ⋅=⋅+⋅ 若a b ⊥,则02121=⋅+⋅y y x x3、向量的运算:运算类型 几何方法坐标方法运算性质向 量 的 加 法 1、平行四边形法则 2、三角形法则1212(,)a b x x y y +=++a b b a +=+ )()(c b a c b a ++=++ AB BC AC += 向 量三角形法则1212(,)a b x x y y -=--)(b a b a-+=-AB BA =-【典型例题】例1、平面内给定三个向量()()()3,2,1,2,4,1a b c ==-=,回答下列问题 (1)求满足a mb nc =+的实数m,n ; (2)若()()//2a kc b a +-,某某数k ;(3)若d 满足()()//d c a b -+,且5d c -=,求d 解:(1)由题意得()()()1,42,12,3n m +-=所以⎩⎨⎧=+=+-2234n m n m ,得⎪⎩⎪⎨⎧==9895n m (2)()()34,2,25,2a kc k k b a +=++-=-()()()1316,025432-=∴=+--+⨯∴k k k (3)()()4,1,2,4d c x y a b -=--+=由题意得()()()()⎩⎨⎧=-+-=---5140124422y x y x 得⎩⎨⎧-==13y x 或⎩⎨⎧==35y x例2、已知).1,2(),0,1(==b a (1)求|3|b a +;(2)当k 为何实数时,k -a b 与b a 3+平行,平行时它们是同向还是反向?解:(1)因为).1,2(),0,1(==b a所以3(7,3)a b +=则22|3|7358a b +=+=(2)k -a b(2,1)k =--,b a 3+(7,3)=因为k -a b 与b a3+平行所以3(2)70k -+=即得13k =-此时k -a b7(2,1)(,1)3k =--=--,b a 3+(7,3)=则b a 3+3()ka b =--,即此时向量b a3+与ka b -方向相反例3、已知点)5,4(),2,1(),0,0(B A O 及OP OA t AB =+⋅,试问: (1)当t 为何值时,P 在x 轴上?P 在y 轴上?P 在第三象限?(2)四边形OABP 是否能成为平行四边形?若能,则求出t 的值若不能,说明理由.解:(1)(13,23)OP OA t AB t t =+=++,则(13,23)P t t ++若P 在x 轴上,则230t +=,所以23t =-; 若P 在y 轴上,则0t 31=+,所以13t =-;若P 在第三象限,则⎩⎨⎧<+<+0t 320t 31,所以32t -<(2)因为(1,2),(33,33)OA PB t t ==-- 若OABP 是平行四边形,则OA PB = 所以331332t t -=⎧⎨-=⎩此方程组无解;故四边形OABP 不可能是平行四边形.例4、如图,设抛物线y 2=2px (p>0)的焦点为F 经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点,点C 在抛物线的准线上,且BC ∥x 轴,证明直线AC 经过原点O .解法一:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),F (2p ,0),则C (,2p -y 2) 则)y ,2p(OC ),y ,x (OA ),y ,2p x (FB ),y ,2p x (FA 2112211-==-=-=→--→--→--→--∵→--FA 与→--FB 共线 ∴0y )2px (y )2p x (1221=---即2211y )2p x (y )2p x (-=- (*) 而p2y x ,p 2y x 222211== 代入(*)式整理得,y 1·y 2=-p 2因为212121221211y y y y y py )2p (p 2y )2p (x ==-=-=- ∴→--OA 与→--OC 是共线向量,即A 、O 、C 三点共线,也就是说直线AC 经过原点O解法二:设A (x 1,y 1),C (2p-,y 2),B (x 2,y 2)欲证A 、O 、C 共线,只需且仅需OC OA k k =,即2p yx y 211-=又p2y x 211=∴ 只需且仅需y 1y 2=-p 2,用韦达定理易证明.点评:两向量共线的应用非常广泛,它可以处理线段(直线)平行,三点共线(多点共线)问题,使用向量的有关知识和运算方法,往往可以避免繁杂的运算,降低计算量,不仅方法新颖,而且简单明了.例5、已知向量(,)u x y =与(,2)v y y x =-的对应关系用()v f u =表示.(1)证明:对于任意向量,a b 及常数m ,n 恒有()()()f ma nb mf a nf b +=+成立; (2)设(1,1),(1,0)a b ==,求向量()f a 及()f b 的坐标; (3)求使()(,)f c p q =,(p ,q 为常数)的向量c 的坐标. 解:(1)设1212(,),(,)a a a b b b ==,则1122(,)ma nb ma nb ma nb +=++,故222211()(,22)f ma nb ma nb ma nb ma nb +=++-- )2,()2,(122122b b b n a a a m -+-=,∴()()()f ma nb mf a nf b +=+(2)由已知得()f a =(1,1),()f b =(0,-1) (3)设c =(x ,y ),则()(,2)(,)f c y y x p q =-=, ∴y=p ,x=2p -q ,即c =(2p -q ,p )例6、平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点A (3,1),B (-1,3),若点C 满足OC OA OB αβ=+,其中R ∈βα,且1=+βα,则点C 的轨迹方程为( )()()511.22=-+-y x A 01123.=-+y x B 02.=-y x C 052.=-+y x D解法一:设()y x C ,,则()()(),,3,1,1,3OC x y OA OB ===-由OC OA OB αβ=+得()()()()βαβαββαα3,33,,3,+-=-+=y x于是⎪⎩⎪⎨⎧=++=-=133βαβαβαy x先消去β,由αβ-=1得⎩⎨⎧-=-=αα2314y x再消去α得052=-+y x 所以选取D .解法二:由平面向量共线定理,当OC OA OB αβ=+,1=+βα时,A 、B 、C 共线.因此,点C 的轨迹为直线AB ,由两点式直线方程得052=-+y x 即选D . 小结:1、熟练运用向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则进行运算.2、两个向量平行的坐标表示.3、运用向量的坐标表示,使向量的运算完全代数化,将数与形有机的结合.【模拟试题】(答题时间:30分钟)1、若向量()3,2-=x a与向量()2,1+=y b 相等,则( )A 、x=1,y=3B 、x=3,y=1C 、x=1,y= -5D 、x=5,y= -1 2、点B 的坐标为(1,2),AB 的坐标为(m,n ),则点A 的坐标为( ) A 、()n m --2,1B 、()2,1--n m C 、()n m ++2,1D 、()m n ++2,13、已知向量()3,x a = ,()1,3-=b , 且a 与b共线,则x 等于( ) A 、1- B 、9 C 、9- D 、14、已知()5,2-=a ,︱b ︱=︱a2︱,若b 与a 反向,则b 等于( )A 、(-4,10)B 、(4,-10)C 、(-1 , 25)D 、(1,25-)5、向量AB =(2,-1),AC =(-4,1) 则BC = ( )A 、(-2,0)B 、(6,-2)C 、(-6,2)D 、(-2,2)6、设向量()11,y x a = 、()22,y x b = ,0 ≠a ,则“a ∥b ”是“x 1y 2=x 2y 1”的( )A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、不充分不必要条件 7、平行四边形ABCD 的三个顶点为A (-2,1)、B (-1,3)、C (3,4),则点D 的坐标是( ) A 、(2,1) B 、(2,2) C 、(1,2) D 、(2,3)8、与向量()5,12=d不.平行的向量是 A 、()5,12--B 、⎪⎭⎫⎝⎛135,1312C 、()5,12- D 、()10,24 9、已知向量()1,2-=a,()3,1-=b ,则b a 32-的坐标是10、已知点O 是平行四边形ABCD 的对角线交点,AD =(2,5),AB =(-2,3),则CD 坐标为,DO 坐标为,CO 的坐标为.11、已知OA =(x 1,y 1),OB =(x 2,y 2),线段AB 的中点为C,则OC 的坐标为.12、已知A (-1,-2),B (4,8),C (5,x ),如果A ,B ,C 三点共线,则x 的值为. 13、已知向量()2,3=a ,()1,1-=b ,向量m 与b a 23-平行,︱m ︱=4137求向量m 的坐标.试题答案1、B2、A3、C4、B5、C6、C7、B8、C9、()11,7- 10、()3,2-;()1,2--;()4,0-11、⎪⎭⎫⎝⎛++2,22121y y x x12、1013、()16,44=m 或()16,44--=m。
解决向量问题的方法
.
A
1- a
1- b
N
1- ab 1- ab
B
C
由AD=5知,a2+t2=25
A (o)
B
x
基底法和坐标法
练习:y 如图在边长为2的正三角形ABC中,点P为平面ABC内一点,
则 PA PB PC 的最小值= B ,并指出点P位置.
A
P A -2 B - 3 C - 4 D -1
2
3
B
o
C
坐标法 x 如图以BC中点为原点,BC所在直线为
x轴建立直角坐标系。则A(0, 3),B (-1,0),C(1,0).设P(x,y)
.
D
P
C 法1:基底法 以 AB、AD 为基底
A
B
基底法和坐标法
例2、 如图在平行四边形ABCD中,AB=8,AD=5,CP 3PD ,
APy BP 2 ,则 AB AD
.
D
P
法2:坐标法
如图以A为原点,AB所在直线为x
C
轴建立直角坐标系。则A(0,0), B(8,0),D(a,t),C(a+8,t)
五.常用结论
A
1、三角形中中线向量公式
AM 1(AB AC) 2
B
M
c
2、三点共线
O
(1)对于平面内任意三点A、B、C,O为不同于A、B、C
的任意一点,设 OC OA OB ,若实数 和 满
足 1 ,则A、B、C三点共线。
(2)若平面内三点A、B、C共线,O为不同于A、B、C的
任意一点,设 OC OA OB,则存在实数和 使
CD上,若AB AF 2 ,则 AE BF =
.
高考数学专题二 微专题19 平面向量的数量积及最值与范围问题
微专题19
平面向量的数量积 及最值与范围问题
考情分析
平面向量的数量积有关的最值和范围问题是高考的热点之一, 其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值,比如向 量的模、数量积、夹角、系数的范围等.解决思路是建立目标 函数的解析式,转化为求函数(二次函数、三角函数)等的最值 或应用基本不等式.同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份, 所以还有一种思路是数形结合,应用图形的几何性质.一般难 度较大.
=x-322+(y-2)2-245.
又x-322+(y-2)2 表示圆 x2+y2=1 上一点到点32,2距离的平方,圆 心(0,0)到点32,2的距离为52, 所以P→A·P→B∈52-12-245,52+12-245, 即P→A·P→B∈[-4,6].
跟踪训练2 (1)如图,已知 AOB 是半径为 4,圆心角为π2的扇形,点 E,
(2)已知向量 a,b 满足a-b=3,a=2b,设 a-b 与 a+b 的夹角为 θ, 则 cos θ 的最小值为
A.45
√B.35
C.13
D.25
令b2=t,则a2=4b2=4t, 则a-b2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=9,2a·b=5t-9, 由 5t-9=2a·b≤2ab=4t 得 t≤9, 由 5t-9=2a·b≥-2ab=-4t 得 t≥1, 所以 1≤t≤9,a+b= a+b2= a2+2a·b+b2= 10t-9, 所以 cos θ=aa++bb·aa--bb= 1a02t--b92×3= 10tt-9= 10tt-2 9, 令 y=10tt-2 9,显然 y>0,t2-10yt+9y=0,
解得1≤z≤3,所以z的最大值是3,即λ+μ的最大值是3.
微专题3平面向量问题的“基底法”和“坐标法”(含答案)
微专题3 平面向量问题的“基底法”与“坐标法”例1 如图,在等腰梯形ABCD 中,已知AB ∥DC ,AB =2,BC =1,∠ABC =60°,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上.若BE →=λBC →,D F →=19λDC →,则 AE →·A F →的最小值为________.(例1)变式1 在△ABC 中,已知AB =10,AC =15,∠BAC =π3,点M 是边AB 的中点,点N 在直线AC 上,且AC →=3AN →,直线CM 与BN 相交于点P ,则线段AP 的长为________.变式2若a ,b ,c 均为单位向量,且a ·b =0,(a -c )·(b -c )≤0,则|a +b -c |的最大值为________.处理平面向量问题一般可以从两个角度进行:切入点一:“恰当选择基底”.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,再用该基底表示向量,其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算.切入点二:“坐标运算”.坐标运算能把学生从复杂的化简中解放出来,快速简捷地达成解题的目标.对于条件中包含向量夹角与长度的问题,都可以考虑建立适当的坐标系,应用坐标法来统一表示向量,达到转化问题,简单求解的目的.1. 设E ,F 分别是Rt △ABC 的斜边BC 上的两个三等分点,已知AB =3,AC =6,则AE →·A F→=________.2. 如图,在矩形ABCD 中,AB =2,BC =2,点E 为BC 的中点,点F 在边CD 上,若AB →·A F →=2,则AE →·B F →=________.3. 如图,在平行四边形ABCD 中,AD =1,∠BAD =60°,E 为CD 的中点.若AC →·BE→=3332,则AB 的长为________.(第2题) (第3题) (第4题) 4. 如图,在2×4的方格纸中,若a 和b 是起点和终点均在格点上的向量,则向量2a +b 与a -b 夹角的余弦值是________.5. 已知向量OA →与OB →的夹角为60°,且|OA →|=3,|OB →|=2,若OC →=mOA →+nOB →,且OC→⊥AB →,则实数m n=________. 6. 已知△ABC 是边长为3的等边三角形,点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点,点Q 满足AQ →=23AP →+13AC →,则|BQ →|的最小值是________. 7. 如图,在Rt △ABC 中,P 是斜边BC 上一点,且满足BP →=12PC →,点M ,N 在过点P 的直线上,若AM →=λAB →,AN →=μAC →,λ,μ>0,则λ+2μ的最小值为________.(第7题) (第8题) (第9题) 8. 如图,在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 相交于点O ,E 为线段AO 的中点.若BE→=λBA →+μBD →(λ,μ∈R ),则λ+μ=________.9. 如图,在直角梯形ABCD 中,若AB ∥CD ,∠DAB =90°,AD =AB =4,CD =1,动点P 在边BC 上,且满足AP →=mAB →+nAD →(m ,n 均为正实数),则1m +1n的最小值为________. 10. 已知三点A(1,-1),B(3,0),C(2,1),P 为平面ABC 上的一点,AP →=λAB →+μAC→且AP →·AB →=0,AP →·AC →=3.(1) 求AB →·AC →的值;(2) 求λ+μ的值.微专题。
江苏省2019高考数学二轮复习第3讲平面向量课件
=-3或22 ,
3
3
当
AB
·AC
=22
时不满足x,y>0,舍去,故AB
·AC
=-3.
3
(2)以点O为坐标原点,OA所在直线为x轴,OB所在直线为y轴建立平面直角坐
标系,则A(1,0),B(0,1).设P(cos
α,sin
α),α∈
0,
2
,直线AB的方程为x+y-1=0,则点
P关于直线AB的对称点Q(1-sin α,1-cos α),则OP·OQ =cos α(1-sin α)+sin α(1-cos
1-1 (2018江苏南通中学高三考前冲刺)如图,在梯形ABCD中, AB∥CD, AB=3
CD,点E是B
C的中点.若 AC=x AE +y AD,其中x,y∈R,则x+y的值为
.
答案 5
4
解析 2 AE = AB+ AC=3DC + AC=3
AD
,则x+y=
1
+
3
=
5
.
244
AC - AD
+ AC=4
+2≤2+ 2 ,当且仅当α= +2kπ,k∈Z时取等号,故(a+b+2c)·c的最大值为2+
4
4
2.
3.若向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),且|a+b|≤2a·b,则cos(α-β)=
.
答案 1
解析 由|a+b|≤2a·b两边平方得|a|2+2a·b+|b|2≤4(a·b)2.又a·b=cos(α-β)≥0,所 以4cos2(α-β)-2cos(α-β)-2≥0,[2cos(α-β)+1][cos(α-β)-1]≥0,则cos(α-β)≥1.又-1 ≤cos(α-β)≤1,则cos(α-β)=1.
高中数学第2章平面向量2.3-2.3.2平面向量的坐标运算课件苏教版必修4
题型 1 平面向量的坐标表示
[典例 1] 如图所示,已知边长为 1 的正方形 ABCD 中,AB 与 x 轴正半轴成 30°角. 求点 B、点 D、A→B与A→D的坐标.
一、平面向量的坐标表示
对于向量 a,当它的起点移至原点 O 时,其终点的坐 标(x,y)称为向量 a 的(直角)坐标,记作 a=(x,y).
若分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i,j 作为基底,则 a=xi+yj.
对平面向量的坐标表示的理解: (1)向量 a 与有序实数对(x,y)一一对应.
(2)向量 a 的坐标与表示该向量的有向线段的起点、 终点的具体位置没有关系,只与其相对位置有关系.如右 图所示,A→1B1是表示 a 的有向线段, A1,B1 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 则向量 a 的坐标为 x=x2-x1,y=y2-y1, 即 a 的坐标为(x2-x1,y2-y1).
第2章 平面向量
1.平面向量的坐标表示. (1)基底:在平面直角坐标系中,分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i,j 作为基底. (2)坐标:对于平面内的一个向量 a,有且仅有一对实 数 x,y,使得 a=xj+y i,则有序实数对(x,y)叫作向量 a 的坐标.记作 a=(x,y).
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微专题3 平面向量问题的“基底法”与“坐标法”
例1 如图,在等腰梯形ABCD 中,已知AB ∥DC ,AB =2,BC =1,∠ABC =60°,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上.若BE →=λBC →,D F →=19λDC →,则 AE →·A F →
的最小值为
________.
(例1)
变式1 在△ABC 中,已知AB =10,AC =15,∠BAC =π
3,点M 是边AB 的中点,
点N 在直线AC 上,且AC →=3AN →
,直线CM 与BN 相交于点P ,则线段AP 的长为________.
变式2若a ,b ,c 均为单位向量,且a ·b =0,(a -c )·(b -c )≤0,则|a +b -c |的最大值为________.
处理平面向量问题一般可以从两个角度进行:
切入点一:“恰当选择基底”.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,再用该基底表示向量,其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算.
切入点二:“坐标运算”.坐标运算能把学生从复杂的化简中解放出来,快速简捷地达成解题的目标.对于条件中包含向量夹角与长度的问题,都可以考虑建立适当的坐标系,应用坐标法来统一表示向量,达到转化问题,简单求解的目的.
1. 设E ,F 分别是Rt △ABC 的斜边BC 上的两个三等分点,已知AB =3,AC =6,则AE →·A F →
=________.
2. 如图,在矩形ABCD 中,AB =2,BC =2,点E 为BC 的中点,点F 在边CD 上,若AB →·A F →=2,则AE →·B F →
=________.
3. 如图,在平行四边形ABCD 中,AD =1,∠BAD =60°,E 为CD 的中点.若AC →·BE →
=33
32
,则AB 的长为________.
(第2题) (第3题) (第4题)
4. 如图,在2×4的方格纸中,若a 和b 是起点和终点均在格点上的向量,则向量2a +b 与a -b 夹角的余弦值是________.
5. 已知向量OA →与OB →的夹角为60°,且|OA →|=3,|OB →|=2,若OC →=mOA →+nOB →,且OC
→
⊥AB →
,则实数m n
=________.
6. 已知△ABC 是边长为3的等边三角形,点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点,点Q 满足AQ →=23AP →+13
AC →,则|BQ →
|的最小值是________.
7. 如图,在Rt △ABC 中,P 是斜边BC 上一点,且满足BP →=12
PC →
,点M ,N 在过点P
的直线上,若AM →=λAB →,AN →=μAC →
,λ,μ>0,则λ+2μ的最小值为________.
(第7题) (第8题) (第9题)
8. 如图,在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 相交于点O ,E 为线段AO 的中点.若BE →
=λBA →+μBD →
(λ,μ∈R ),则λ+μ=________.
9. 如图,在直角梯形ABCD 中,若AB ∥CD ,∠DAB =90°,AD =AB =4,CD =1,
动点P 在边BC 上,且满足AP →=mAB →+nAD →
(m ,n 均为正实数),则1m +1n
的最小值为________.
10. 已知三点A(1,-1),B(3,0),C(2,1),P 为平面ABC 上的一点,AP →=λAB →+μAC →
且AP →·AB →=0,AP →·AC →
=3.
(1) 求AB →·AC →
的值; (2) 求λ+μ的值.。