高中数学竞赛讲义(五)──数列
(完整版)高中数学竞赛讲义(五)──数列
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高中数学竞赛讲义(五)──数列一、基础知识定义1 数列,按顺序给出的一列数,例如1,2,3,…,n,…. 数列分有穷数列和无穷数列两种,数列{a n}的一般形式通常记作a1, a2, a3,…,a n或a1, a2, a3,…,a n…。
其中a1叫做数列的首项,a n是关于n的具体表达式,称为数列的通项。
定理1 若S n表示{a n}的前n项和,则S1=a1, 当n>1时,a n=S n-S n-1.定义2 等差数列,如果对任意的正整数n,都有a n+1-a n=d(常数),则{a n}称为等差数列,d叫做公差。
若三个数a, b, c成等差数列,即2b=a+c,则称b为a和c的等差中项,若公差为d, 则a=b-d, c=b+d.定理2 等差数列的性质:1)通项公式a n=a1+(n-1)d;2)前n项和公式:S n=;3)a n-a m=(n-m)d,其中n, m为正整数;4)若n+m=p+q,则a n+a m=a p+a q;5)对任意正整数p, q,恒有a p-a q=(p-q)(a2-a1);6)若A,B至少有一个不为零,则{a n}是等差数列的充要条件是S n=An2+Bn.定义3 等比数列,若对任意的正整数n,都有,则{a n}称为等比数列,q叫做公比。
定理3 等比数列的性质:1)a n=a1q n-1;2)前n项和S n,当q1时,S n=;当q=1时,S n=na1;3)如果a, b, c成等比数列,即b2=ac(b0),则b叫做a, c的等比中项;4)若m+n=p+q,则a m a n=a p a q。
定义4 极限,给定数列{a n}和实数A,若对任意的>0,存在M,对任意的n>M(n∈N),都有|a n-A|<,则称A为n→+∞时数列{a n}的极限,记作定义5 无穷递缩等比数列,若等比数列{a n}的公比q满足|q|<1,则称之为无穷递增等比数列,其前n项和S n的极限(即其所有项的和)为(由极限的定义可得)。
高中数学数列讲义
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(2)切勿忽视n=1的情形。
类型四:用递推公式求数列的通项公式
7.数列 中,满足 ,求数列{an}的通项公式;
8.数列 中,满足 ,求数列{an}的通项公式;
类型五:数列与函数的结合
9.已知函数 ,设
(1)求证: ;
(2){an}是递增数列还是递减数列?为什么?
(2) 最值的求法:①若已知 ,可用二次函数最值的求法( );②若已知 ,则 最值时 的值( )可如下确定 或 。
2. 例题
1.在等差数列{an}中,a2+a5+a8=9,a3a5a7= -21,求通项an.
2.在等差数列{an}中,S10=310,S20=1220,求Sn与通项an.
3.a3,a15是方程x2-6x-1=0的两个根,求a7+a8+a9+a10+a11=.
二
1. 等差数列
等差数列定义:一般地,如果一个数列从第 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 表示。用递推公式表示为 或 。
等差数列的通项公式: ;
说明:等差数列(通常可称为 数列)的单调性: 为递增数列, 为常数列, 为递减数列。
8.等差数列{an}共有2n-1项,所有奇数项的和为132,所有偶数项的和为120,则n=.
9.在等差数列{an}中, 则前n项和 的最小值为()
A.-80 B.-76 C.-75 D.-74
10.已知等差数列 , 是其前n项和,且 ,则下列结论错误的是()
A.d< 0B. C. D. 与 均为 的最大值.
等差中项的概念:
高中数学讲义 第五章 数列 (超级详细)
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(3)由函数 f (x) x2 8x 5 的单调性: (, 4) 是减区间, (4, ) 是增区间,
所以当 n 4 时, an 最小,即 a4 最小。
点评:该题考察数列通项的定义,会判断数列项的归属,要注重函数与数列之间的联系,用函数的观点解 决数列的问题有时非常方便。
①
2[(b1 b2 ... bn bn1) (n 1)] (n 1)bn1.
②;
②-①,得 2(bn1 1) (n 1)bn1 nbn , 即 (n 1)bn1 nbn 2 0, ③
∴ nbn2 (n 1)bn1 2 0. ④
③-④,得 nbn2 2nbn1 nbn 0, 即
数列的比较简单的数列进行化归与转化. 4.一些简单特殊数列的求通项与求和问题,应注重通性通法的复习.如错位相减法、迭加法、迭乘法等. 5.增强用数学的意识,会针对有关应用问题,建立数学模型,并求出其解.
第 1 课 数列的概念
【考点导读】 1. 了解数列(含等差数列、等比数列)的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式),了解 数列是一种特殊的函数; 2. 理解数列的通项公式的意义和一些基本量之间的关系;
∴ a1 an 60
(2)答案:2
因为前三项和为 12,∴a1+a2+a3=12,∴a2= S3 =4 3
又 a1·a2·a3=48, ∵a2=4,∴a1·a3=12,a1+a3=8, 把 a1,a3 作为方程的两根且 a1<a3, ∴x2-8x+12=0,x1=6,x2=2,∴a1=2,a3=6,∴选 B. 点评:本题考查了等差数列的通项公式及前 n 项和公式的运用和学生分析问题、解决问题的能力。
高中数学竞赛数列专题
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高中数学竞赛数列专题摘要:一、高中数学竞赛数列专题简介1.高中数学竞赛背景2.数列专题在竞赛中的重要性3.数列专题的主要内容二、等差数列与等比数列1.等差数列的概念与性质2.等差数列的通项公式与求和公式3.等比数列的概念与性质4.等比数列的通项公式与求和公式三、常见的数列类型1.质数数列2.斐波那契数列3.几何数列4.调和数列四、数列的性质与应用1.数列的递推关系2.数列的极限与无穷数列3.数列在实际问题中的应用五、高中数学竞赛数列专题的备考策略1.掌握基础知识2.熟练运用公式与性质3.分析与解决问题的方法与技巧4.模拟试题与真题训练正文:高中数学竞赛数列专题涵盖了丰富的知识点,旨在培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
为了更好地应对数列专题的挑战,我们需要对这一专题有全面的了解,包括基本概念、公式、性质以及实际应用等方面。
首先,高中数学竞赛的背景为选拔优秀的学生参加各类数学竞赛,如全国青少年数学竞赛、国际奥林匹克数学竞赛等。
在这些竞赛中,数列专题具有很高的出现频率和重要性,因此,对这一专题的掌握程度对竞赛成绩有着直接影响。
数列专题的主要内容包括等差数列与等比数列、常见的数列类型、数列的性质与应用等方面。
等差数列与等比数列是数列的基本类型,它们在数学竞赛中占据重要地位。
等差数列具有以下性质:任意两项之差相等;等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d,求和公式为Sn=n/2(2a1+(n-1)d)。
等比数列具有以下性质:任意两项之比相等;等比数列的通项公式为an=a1*q^(n-1),求和公式为Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)。
在高中数学竞赛中,还常遇到一些常见的数列类型,如质数数列、斐波那契数列、几何数列和调和数列等。
这些数列具有独特的性质和规律,需要我们熟练掌握其定义、公式和性质。
数列的性质与应用方面,我们需要了解数列的递推关系、极限与无穷数列,以及数列在实际问题中的应用。
递推关系是指数列的通项公式可以通过已知的前几项求得。
高中数学竞赛之数列 huangyuelong文档
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2、 若方程有两等根 A B, 则 a n (c1 nc 2 ) A 其中 c1 、 c 2 可由初始条件确定。
n
很明显,如果将以上结论作为此类问题的统一解法直接呈现出来,学生难以接受。 下面我们结合求一阶线性递推数列的参数法,探讨上述结论的“来源” 。 设 a n 1 ta n s ( a n ta n 1 ) ,则 a n 1 ( s t ) a n sta n 1 ,令 (1) 若方程组(*)有两组不同的解 ( s1 , t1 ), ( s 2 , t 2 ) , 则 a n 1 t1 a n s1 ( a n t1 a n 1 ) , a n 1 t 2 a n s 2 ( a n t 2 a n 1 ) , 由等比数列性质可得 a n 1 t1 a n ( a 2 t1 a1 ) s1
பைடு நூலகம்
所以
借助于辅助数列 {
例 6 已知数列 {an } 满足 a1 2 ,当 n 2 时, an
例 7 设数列 a n 满足 a1 2, a n 1
5a n 4 (我们通常也可以采用参数法,同学们 , 求a n 。 2a n 7
可以比较两种方法的不同数学思想) 解: 对等式两端同加参数 t 得
高中数学竞赛讲义
一. 知识归纳 1. k 阶递归式
第五章
数列(二)
对 于 数 列 {an } , 若 项 an k 与 项 an , an 1 ,..., an k 1 之 间 满 足 函 数 关 系 式 。由此 an k f (an k 1 , an k 2 ,..., an ) (n N ) ,则称此关系式为 k 阶递归式(又称递推式) 递归式和初始值 a1 , a2 ,..., ak 所确定的数列 {an } 称为 k 阶递归数列。数列的递归式分线性递 归式和非线性递归式两种情况。 2. an 1 an f ( n) 型递归式:利用累加法可得 an a1 3. an 1 f ( n) an 型递归式:利用累乘法可求。 4. an 1 pan q ( p 1) 型递归式:凑出一个等比辅助数列 5. an 1 pan q ( p 1) 型递归式:变形为
数学精品课高中数学竞赛辅导公开课解析数列与递推关系
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数学精品课高中数学竞赛辅导公开课解析数列与递推关系数列与递推关系是高中数学竞赛中的重要考点之一。
在这节数学精品课的辅导公开课中,我们将深入解析数列与递推关系,帮助同学们更好地掌握相关知识,并在竞赛中取得优异成绩。
一、数列的概念与分类1.1 数列的定义数列是按照一定的顺序排列的一组数字或对象。
通常用字母表示,如a₁、a₂、a₃,其中下标表示该数字或对象在数列中的位置。
1.2 数列的分类数列可以分为等差数列、等比数列和其他特殊数列。
1.2.1 等差数列等差数列是指数列中的相邻两项之差恒定的数列。
其通项公式为an = a₁ + (n-1)d,其中a₁为首项,d为公差,n为项数。
1.2.2 等比数列等比数列是指数列中的相邻两项之比恒定的数列。
其通项公式为an = a₁ * r^(n-1),其中a₁为首项,r为公比,n为项数。
1.2.3 其他特殊数列除了等差数列和等比数列,还存在其他特殊数列,如斐波那契数列、递增数列等。
二、递推关系的求解递推关系是数列中的一种重要性质,根据已知项与后一项的关系,可以推导出数列中的其他项。
2.1 递推关系的定义递推关系是指数列中每一项与前一项之间的关系。
通常用递推公式表示,如an = an-1 + d,其中an-1表示前一项,d为公差。
2.2 递推关系的求解方法求解递推关系需要根据已知的条件,逐步推导出数列的后续项。
常见的求解方法包括直接法、差分法和通项法等。
2.2.1 直接法直接法是通过观察数列中的规律,根据已知的条件得出数列的递推关系。
这种方法适用于递增或递减规律明显的数列。
2.2.2 差分法差分法是通过计算数列中相邻项之差来确定数列的递推关系。
通过多次差分,可以得出数列的递推公式。
2.2.3 通项法通项法是通过求解数列的通项公式,进而推导出数列的递推关系。
这种方法适用于等差数列和等比数列。
三、常见数列问题的解析在数学竞赛中,常常会出现与数列与递推关系相关的问题。
下面我们通过实例来解析一些常见的数列问题。
高中数学数列讲义
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. .. . .数列讲义授课教师:听课学生:2015-6-20Part I 基础达标 一、数列数列的基本概念及性质● 数列定义:按一定次序排列的一列数叫做数列;数列中的每个数都叫这个数列的项。
记作n a ,在数列第一个位置的项叫第1项(或首项),在第二个位置的叫第2项,……,序号为n 的项叫第n 项(也叫通项)记作n a ; 数列的一般形式:1a ,2a ,3a ,……,n a ,……,简记作 {}n a 。
● 通项公式的定义:如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式。
例如,数列①的通项公式是n a = n (n ≤7,n N +∈),数列②的通项公式是n a = 1n(n N +∈)。
注意:①{}n a 表示数列,n a 表示数列中的第n 项,n a = ()f n 表示数列的通项公式; ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。
例如,n a = (1)n-=1,21()1,2n k k Z n k-=-⎧∈⎨+=⎩;③不是每个数列都有通项公式。
例如,1,1.4,1.41,1.414,……● 数列的函数特征与图象表示:序号:1 2 3 4 5 6 项 :4 5 6 7 8 9上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。
从函数观点看,数列实质上是定义域为正整数集N +(或它的有限子集)的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……,()f n ,…….通常用n a 来代替()f n ,其图象是一群孤立点。
●数列分类:①按数列项数是有限还是无限分:有穷数列和无穷数列;②按数列项与项之间的大小关系分:单调数列(递增数列、递减数列)、常数列和摆动数列。
●递推公式定义:如果已知数列{}n a 的第1项(或前几项),且任一项n a 与它的前一项1n a -(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。
高中数学竞赛专题之数列
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高中数学竞赛专题之数列一、数列的性质等差数列与等比数列是中学阶段的两种重要数列,也是各年高考、竞赛的重点,现将它们的主要性质及内容对照讨论如下:性质1:若 ,,,,21n a a a 是等差(等比)数列,那么 ,,,,kj i j i i a a a ++仍是等差(等比)数列。
性质2:若}{n a 为等差数列,且∑∑===kl lk l l ji 11,那么∑∑===kl j k l i llaa 11(脚标和相同则对应的项的和相同);若}{n a 为等比数列,且∑∑===kl lkl lji 11,那么l l j kl i k l a a 11===ππ(脚标和相同则对应的项的积相同)。
性质3:若}{n a 为等差数列,记 ,,,,1)1(1211∑∑∑=-+=+====ki k m i m k i k i ki i a S a Sa S ,那么}{m S 仍为等差数列,}{n a 为等比数列,记 ,,,,)1(11211k m i kl m k i k l i k l a P a P a P -+=+=====πππ,那么}{m P 仍为等比数列。
性质4:若}{n a 为等比数列,公比为q ,且|q|〈1,则qa S n n -=∞→1lim 1。
例1、若}{n a 、}{n b 为等差数列,其前n 项和分别为n n T S ,,若132+=n n T S n n , 则=∞→nn n b a lim( )A.1 B. 36 C. 32 D.94例2、等差数列}{n a 的前m 项和为30,前2m 项和为100,则它的前3m 项的和为( )A.130B. 170C. 210D.260例3、}{n a 、}{n b 为等差数列,其前n 项和分别为n n T S ,,若331313++=n n T S n n (1)求2828a b 的值, (2)求使n na b 为整数的所有正整数n 。
例4、在等差数列}{n a 中,若010=a ,则有等式),19(,192121N n n a a a a a a n n ∈<+++=+++- 成立,类比上述性质,相应地:在等比数列}{n b 中,若19=b ,则有等式 成立。
高二数学:数列(讲义)
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高二数学:数列(讲义)
数列是数学中极为重要的一个概念,它通常用来描述一组事物的性质,是数学上组织一系列数的有效方式。
它可以概括出许多数学性质,例如等差数列的等差性质。
数学中使用数列的许多应用,几乎无处不能被见,科学计算和大数据分析更是大量使用数列来完成商业活动中的任务。
通常情况下,数列可分为两类:等差数列和等比数列。
等差数列,又称等差级数,即每两项之差(公差)相等。
它大多数情况下是由某个初始数(首项)和某个常量公差组成的,每一个数的值都是比前面数要大的。
通常我们只需记录着数列的首项和公差就可以完成所有等差数列的计算。
等差数列的构成要素有三个:首项、公差、项数,因此,它又可分为等差等比数列。
许多数学性质可以作为数列的研究内容,如求和、等比数列的累加积、关于每一项的表达式以及关于每一项之和的表达式等。
数列在多方面涉及到数学研究,也提供了许多应用,例如计算机编程中使用数列来实现,统计学中使用数列推断,物理学中描述物质运动规律也可使用数列,数学中常涉及到数列的比较、计算等。
几乎在所有数学应用中,都可以看到数列的存在。
高中数学奥赛辅导专题-数列
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高中数学奥赛辅导专题——数列一 准备知识所谓数列,简单地说就是有规律的(有限或无限多个)数构成的一列数,常记作{a n },an n n n n -1有些数列不是用通项公式给出,而是用a n 与其前一项或前几项的关系来给出的,例如:a n +1=2a n +3,这样的公式称为数列的递推公式.由数列的递推公式我们可以求出其通项公式.数列问题中一个很重要的思想是把数列的通项公式或递推公式变形,然后将它看成新数列(通常是等差或等比数列)的通项公式或递推公式,最后用新数列的性质解决问题. 二 例题精讲例1.(裂项求和)求S n =222222)12()12(853283118+⨯-⨯++⨯⨯+⨯⨯n n n.解:因为a n =22)12()12(8+⨯-⨯n n n =22)12(1)12(1+--n n 所以S n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-222222)12(1)12(151313111n n =1-2)12(1+n 例2.(倒数法)已知数列{a n }中,a 1=53,a n +1=12+n n a a ,求{a n }的通项公式.解:211211+=+=+nn n n a a a a ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是以35为首项,公差为2的等差数列,即351=n a +2(n -1)=316-n ∴a n =163-n练习1.已知数列{a n }中,a 1=1,S n =1211+--n n S S ,求{a n }的通项公式.解:21121111+=+=---n n n n S S S S ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1是以1为首项,公差为2的等差数列. ∴n S 1=1+2(n -1)=2n -1,即S n =121-n . ∴a n =S n -S n -1=321121---n n =)32)(12(2---n n ∴a n =⎪⎩⎪⎨⎧---3211211n n )2()1(≥=n n例3.(求和法,利用公式a n =S n -S n -1,n ≥2)已知正数数列{a n }的前n 项和S n =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+n n a a 121,求{a n }的通项公式. 解:S 1=a 1=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+11121a a ,所以a 1=1. ∵a n =S n -S n -1 ∴2S n =S n -S n -1+11--n n S S∴S n +S n -1=11--n n S S ,即S n 2-S n -12=1∴{}2nS 是以1为首项,公差为1的等差数列.∴S n 2=n ,即S n =n∴a n =S n -S n -1=n -1-n (n ≥2) ∴a n =n -1-n .例4.(叠加法)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n -S n -2=3×(-21)n -1(n ≥3),且S 1=1,S 2=-23,求{a n }的通项公式. 解:先考虑偶数项有:S 2n -S 2n -2=-3·1221-⎪⎭⎫⎝⎛nS 2n -2-S 2n -4=-3·3221-⎪⎭⎫⎝⎛n……S 4-S 2=-3·321⎪⎭⎫⎝⎛将以上各式叠加得S 2n -S 2=-3×4114112113-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-n ,所以S 2n =-2+)1(2112≥⎪⎭⎫⎝⎛-n n .再考虑奇数项有:S 2n +1-S 2n -1=3·n221⎪⎭⎫⎝⎛S 2n -1-S 2n -3=3·2221-⎪⎭⎫⎝⎛n……S 3-S 1=3·221⎪⎭⎫⎝⎛将以上各式叠加得S 2n +1=2-)1(212≥⎪⎭⎫⎝⎛n n.所以a 2n +1=S 2n +1-S 2n =4-3×n221⎪⎭⎫ ⎝⎛,a 2n =S 2n -S 2n -1=-4+3×1221-⎪⎭⎫⎝⎛n .综上所述a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+-⎪⎭⎫⎝⎛⨯---为偶数,为奇数n n n n 112134,2134,即a n =(-1)n -1·⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯--12134n . 例5.(a n +1=pa n +r 类型数列)在数列{a n }中,a n +1=2a n -3,a 1=5,求{a n }的通项公式.解:∵a n +1-3=2(a n -3)∴{a n -3}是以2为首项,公比为2的等比数列. ∴a n -3=2n ∴a n =2n +3.练习2.在数列{a n }中,a 1=2,且a n +1=212+n a ,求{a n }的通项公式.解:a n +12=21a n 2+21 ∴a n +12-1=21(a n 2-1)∴{a n +12-1}是以3为首项,公比为21的等差数列. ∴a n +12-1=3×121-⎪⎭⎫⎝⎛n ,即a n =1231-+n例6(a n +1=pa n +f (n )类型)已知数列{a n }中,a 1=1,且a n =a n -1+3n -1,求{a n }的通项公式.解:(待定系数法)设a n +p ·3n =a n -1+p ·3n -1则a n =a n -1-2p ·3n -1,与a n =a n -1+3n-1比较可知p =-21. 所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧-23n n a 是常数列,且a 1-23=-21.所以23n n a -=-21,即a n =213-n .练习3.已知数列{a n }满足S n +a n =2n +1,其中S n 是{a n }的前n 项和,求{a n }的通项公式. 解:∵a n =S n -S n -1 ∴S n +S n -S n -1=2n +1 ∴2S n =S n -1+2n +1(待定系数法)设2(S n +pn +q )=S n -1+p (n -1)+q化简得:-pn -p -q =2n +1,所以⎩⎨⎧=+-=-12q p p ,即⎩⎨⎧=-=12q p∴2(S n -2n +1)=S n -2(n -1)+1,又∵S 1+a 1=2+1=3,∴S 1=23,S 1-2+1=21 ∴{S n -2n +1}是以21为公比,以21为首项的等比数列.∴S n -2n +1=n ⎪⎭⎫ ⎝⎛21,即S n =n ⎪⎭⎫ ⎝⎛21+2n -1,a n =2n +1-S n =2-n⎪⎭⎫⎝⎛21.例7.(a n +1=pa n r 型)(2005年江西高考题)已知数列{a n }各项为正数,且满足a 1=1,a n +1=)4(21n n a a -.(1)求证:a n <a n +1<2;(2)求{a n }的通项公式. 解:(1)略.(2)a n +1=-21(a n -2)2+2 ∴a n +1-2=-21(a n -2)2∴2-a n +1=21(2-a n )2∴由(1)知2-a n >0,所以log 2(2-a n +1)=log 221(2-a n )2=2·log 2(2-a n )-1 ∴log 2(2-a n +1)-1=2[log 2(2-a n )-1]即{log 2(2-a n )-1}是以―1为首项,公比为2的等比数列∴log 2(2-a n )-1=-1×2n -1 化简得a n =2-1212--n .练习4.(2006年广州二模)已知函数4444(1)(1)()(1)(1)x x f x x x ++-=+--(0x ≠).在数列{}n a 中,12a =,1()n n a f a +=(n *∈N ),求数列{}n a 的通项公式.解:4444114441(1)(1)1(1)1(1)(1)1(1)1n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a +++⎛⎫++-+++=⇒== ⎪+-----⎝⎭,从而有1111ln4ln 11n n n n a a a a ++++=--,由此及111lnln 301a a +=≠-知: 数列1ln 1n n a a ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是首项为ln 3,公比为4的等比数列,故有11141441131ln 4ln331131n n n n n n n n n a a a a a ----+++=⇒=⇒=---(n *∈N )。
《高中数学竞赛》数列讲课稿
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竞赛辅导
数列 ( 等差数列与等比数列 )
数列是高中数学中的一个重要课题,也是数学竞赛中经常出现的
问题。数列最基本的是等差数列与等比数列。
所谓数列,就是按一定次序排列的一列数。如果数列 {a n} 的第 n 项 an 与项数 (下标 )n 之间的函数关系可以用一个公式 an=f(n) 来表示,这 个公式就叫做这个数列的通项公式。
解 : 3a 8 5a13
3( a1 7d) 5(a1 12d )故
an a1 ( n 1) d a1 2a1 ( n 1) a1 (40 2n)
39
39
令 an 0,则 : n 20,当 n 20时 an 0
所以 :S19=S20 最大,选 (C)
注:也可用二次函数求最值
例 6.设等差数列的首项及公差均为非负整数,项数不少于 的和为 972,则这样的数列共有 ( )
如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常 数,这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差常 用字母 d 表示。 等差数列 {an} 的通项公式为: an a1 (n 1)d (1)
前 n 项和公式为: Sn
n(a1 an )
n(n 1)d
na1
( 2)
2
2
从(1)式可以看出, an 是 n 的一次数函 ( d 0 )或常数函数 ( d 0 ), ( n,an )排在一条直线上,由 (2)式知, Sn 是 n 的二次函数 ( d 0 )或一次函 数 ( d 0, a1 0 ),且常数项为 0。在等差数列 { an } 中,等差中项: an 1 a n a n 2 且任意两项 a m , an 的关系为: a n am (n m)d
高中数学竞赛5数列部分
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全国高中数学联赛试题分类汇编5.数列部分2019B 8. 设等差数列{}n a 的各项均为整数,首项12019a =,且对任意正整数n ,总存在正整数m ,使得12n m a a a a +++=.这样的数列{}n a 的个数为 .2019B 二、(本题满分40分)求满足以下条件的所有正整数n :(1) n 至少有 4 个正约数; (2) 若12k d d d <<<是n 的所有正约数,则21321,,,k k d d d d d d ----构成等比数列。
2018A 8、设整数数列1021,,,a a a 满足1103a a =,5822a a a =+,且{}i i i a a a ++∈+2,11,9,,2,1 =i ,则这样的数列的个数为2018A 一、(本题满分40分)设n 是正整数,n a a a ,,,21 ,n b b b ,,,21 ,B A ,均为正实数,满足:i i b a ≤,A a i ≤,n i ,,2,1 =,且ABa a ab b b n n ≤ 2121。
证明:11)1()1)(1()1()1)(1(2121++≤++++++A B a a a b b b n n 。
2018B 4、在平面直角坐标系xOy 中,直线l 通过原点,)1,3(=n 是l 的一个法向量.已知数列满足:对任意正整数,点),(1n n a a +均在l 上.若62=a ,则54321a a a a a 的值为2017A 8、设两个严格递增的正整数数列{}n a ,{}n b 满足,对任意正整数,有n n n a a a +=++12,n n b b 21=+ ,则11b a +的所有可能值为2017B1、在等比数列{}n a 中,22=a ,333=a ,则2017720111a a a a ++为2018A 10、(本题满分20分)已知实数列 321,,a a a 满足:对任意正整数n ,有1)2(=-n n n a S a ,其中n S 表示数列的前n 项和。
2021年最新高中数学竞赛教材讲义第五章数列教师版
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x0 成立,则称 x0 为 f ( x) 的
定理 1 设 f ( x) ax b( a 0,1) ,且 x0 为 f (x) 的不动点, { an } 满足递推关系 an f ( an 1) ,
n 2,3, ,证明 { an x0} 是公比为 a 的等比数列。 例 1 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn n 5a n 85 , n N *
an 与前 n 项和 Sn 是确定次数的多项式 (关于 n 的 ),先设出多项
(3) 裂项相消法:其出发点是 an 能写成 an=f(n+1)-f(n) (4) 化归法:把高阶等差数列的问题转化为易求的同阶等差数列或低阶等差数列的问题,达到简化的目的
例 1.数列 { an} 的二阶差数列的各项均为 16,且 a63=a89=10,求 a51
例 2.一个三阶等差数列 { an} 的前 4 项依次为 30,72,140,240,求其通项公式
解:由性质 (2), an 是 n 的三次多项式,可设
A B C D 30
A1
8 A 4 B 2C D 72
B7
解得
27 A 9 B 3 C D 140
C 14
64 A 16 B 4 C D 240
D8
(3) 如果数列 {an} 是 p 阶等差数列,则其前 n 项和 Sn 是关于 n 的 p+1 次多项式
5.高阶等差数列中最重要也最常见的问题是求通项和前
n 项和,更深层次的问题是差分方程的求解,解决问题的基
本方法有:
(1)逐差法:其出发点是
n1
an=a1+ (ak 1 ak )
k1
(2) 待定系数法:在已知阶数的等差数列中,其通项 式的系数,再代入已知条件解方程组即得
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高中数学竞赛讲义(五)──数列一、基础知识定义1 数列,按顺序给出的一列数,例如1,2,3,…,n,…. 数列分有穷数列和无穷数列两种,数列{a n}的一般形式通常记作a1, a2,a3,…,a n或a1, a2, a3,…,a n…。
其中a1叫做数列的首项,a n是关于n的具体表达式,称为数列的通项。
定理1 若S n表示{a n}的前n项和,则S1=a1, 当n>1时,a n=S n-S n-1.定义2 等差数列,如果对任意的正整数n,都有a n+1-a n=d(常数),则{a n}称为等差数列,d叫做公差。
若三个数a, b, c成等差数列,即2b=a+c,则称b为a和c的等差中项,若公差为d, 则a=b-d, c=b+d.定理2 等差数列的性质:1)通项公式a n=a1+(n-1)d;2)前n项和公式:S n=;3)a n-a m=(n-m)d,其中n, m 为正整数;4)若n+m=p+q,则a n+a m=a p+a q;5)对任意正整数p, q,恒有a p-a q=(p-q)(a2-a1);6)若A,B 至少有一个不为零,则{a n}是等差数列的充要条件是S n=An2+Bn.定义3 等比数列,若对任意的正整数n,都有,则{a n}称为等比数列,q叫做公比。
定理3 等比数列的性质:1)a n=a1q n-1;2)前n项和S n,当q1时,S n=;当q=1时,S n=na1;3)如果a, b, c成等比数列,即b2=ac(b0),则b叫做a, c的等比中项;4)若m+n=p+q,则a m a n=a p a q。
定义4 极限,给定数列{a n}和实数A,若对任意的>0,存在M,对任意的n>M(n∈N),都有|a n-A|<,则称A为n→+∞时数列{a n}的极限,记作定义5 无穷递缩等比数列,若等比数列{a n}的公比q满足|q|<1,则称之为无穷递增等比数列,其前n项和S n的极限(即其所有项的和)为(由极限的定义可得)。
定理3 第一数学归纳法:给定命题p(n),若:(1)p(n0)成立;(2)当p(n)时n=k成立时能推出p(n)对n=k+1成立,则由(1),(2)可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。
竞赛常用定理定理4 第二数学归纳法:给定命题p(n),若:(1)p(n0)成立;(2)当p(n)对一切n ≤k的自然数n都成立时(k≥n0)可推出p(k+1)成立,则由(1),(2)可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。
定理5 对于齐次二阶线性递归数列x n=ax n-1+bx n-2,设它的特征方程x2=ax+b的两个根为α,β:(1)若αβ,则x n=c1a n-1+c2βn-1,其中c1, c2由初始条件x1, x2的值确定;(2)若α=β,则x n=(c1n+c2) αn-1,其中c1, c2的值由x1, x2的值确定。
二、方法与例题1.不完全归纳法。
这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律,当然结论未必都是正确的,但却是人类探索未知世界的普遍方式。
通常解题方式为:特殊→猜想→数学归纳法证明。
例1 试给出以下几个数列的通项(不要求证明);1)0,3,8,15,24,35, (2)1,5,19,65,…;3)-1,0,3,8,15,…。
【解】1)a n=n2-1;2)a n=3n-2n;3)a n=n2-2n.例2 已知数列{a n}满足a1=,a1+a2+…+a n=n2a n, n≥1,求通项a n.【解】因为a1=,又a1+a2=22·a2,所以a2=,a3=,猜想(n≥1).证明;1)当n=1时,a1=,猜想正确。
2)假设当n≤k时猜想成立。
当n=k+1时,由归纳假设及题设,a1+ a1+…+a1=[(k+1)2-1] a k+1,,所以=k(k+2)a k+1,即=k(k+2)a k+1,所以=k(k+2)a k+1,所以a k+1=由数学归纳法可得猜想成立,所以例3 设0<a<1,数列{a n}满足a n=1+a, a n-1=a+,求证:对任意n∈N+,有a n>1.【证明】证明更强的结论:1<a n≤1+a.1)当n=1时,1<a1=1+a,①式成立;2)假设n=k时,①式成立,即1<a n≤1+a,则当n=k+1时,有由数学归纳法可得①式成立,所以原命题得证。
2.迭代法。
数列的通项a n或前n项和S n中的n通常是对任意n∈N成立,因此可将其中的n换成n+1或n-1等,这种办法通常称迭代或递推。
例4 数列{a n}满足a n+pa n-1+qa n-2=0, n≥3,q0,求证:存在常数c,使得·a n+【证明】·a n+1+(pa n+1+a n+2)+=a n+2·(-qa n)+=+a n(pq n+1+qa n)]=q().若=0,则对任意n, +=0,取c=0即可.若0,则{+}是首项为,公式为q的等比数列。
所以+=·q n.取·即可.综上,结论成立。
例5 已知a1=0, a n+1=5a n+,求证:a n都是整数,n∈N+.【证明】因为a1=0, a2=1,所以由题设知当n≥1时a n+1>a n.又由a n+1=5a n+移项、平方得①当n≥2时,把①式中的n换成n-1得,即②因为a n-1<a n+1,所以①式和②式说明a n-1, a n+1是方程x2-10a n x+-1=0的两个不等根。
由韦达定理得a n+1+ a n-1=10a n(n≥2).再由a1=0, a2=1及③式可知,当n∈N+时,a n都是整数。
3.数列求和法。
数列求和法主要有倒写相加、裂项求和法、错项相消法等。
例6 已知a n=(n=1, 2, …),求S99=a1+a2+…+a99.【解】因为a n+a100-n=+=,所以S99=例7 求和:+…+【解】一般地,,所以S n=例8 已知数列{a n}满足a1=a2=1,a n+2=a n+1+a n, S n为数列的前n项和,求证:S n<2。
【证明】由递推公式可知,数列{a n}前几项为1,1,2,3,5,8,13。
因为,①所以。
②由①-②得,所以。
又因为S n-2<S n且>0,所以S n, 所以,所以S n<2,得证。
4.特征方程法。
例9 已知数列{a n}满足a1=3, a2=6, a n+2=4n+1-4a n,求a n.【解】由特征方程x2=4x-4得x1=x2=2.故设a n=(α+βn)·2n-1,其中,所以α=3,β=0,所以a n=3·2n-1.例10 已知数列{a n}满足a1=3, a2=6, a n+2=2a n+1+3a n,求通项a n.【解】由特征方程x2=2x+3得x1=3, x2=-1,所以a n=α·3n+β·(-1)n,其中,解得α=,β,所以·3]。
5.构造等差或等比数列。
例11 正数列a0,a1,…,a n,…满足=2a n-1(n≥2)且a0=a1=1,求通项。
【解】由得=1,即令b n=+1,则{b n}是首项为+1=2,公比为2的等比数列,所以b n=+1=2n,所以=(2n-1)2,所以a n= 0注:C1·C2·…·C n.例12 已知数列{x n}满足x1=2, x n+1=,n∈N+, 求通项。
【解】考虑函数f(x)=的不动点,由=x得x=因为x1=2, x n+1=,可知{x n}的每项均为正数。
又+2≥,所以x n+1≥(n≥1)。
又X n+1-==, ①X n+1+==, ②由①÷②得。
③又>0,由③可知对任意n∈N+,>0且,所以是首项为,公比为2的等比数列。
所以·,所以,解得·。
注:本例解法是借助于不动点,具有普遍意义。
三、基础训练题1.数列{x n}满足x1=2, x n+1=S n+(n+1),其中S n为{x n}前n项和,当n≥2时,x n=_________.2. 数列{x n}满足x1=,x n+1=,则{x n}的通项x n=_________.3. 数列{x n}满足x1=1,x n=+2n-1(n≥2),则{x n}的通项x n=_________.4. 等差数列{a n}满足3a8=5a13,且a1>0, S n为前n项之和,则当S n最大时,n=_________.5. 等比数列{a n}前n项之和记为S n,若S10=10,S30=70,则S40=_________.6. 数列{x n}满足x n+1=x n-x n-1(n≥2),x1=a, x2=b, S n=x1+x2+…+ x n,则S100=_________.7. 数列{a n}中,S n=a1+a2+…+a n=n2-4n+1则|a1|+|a2|+…+|a10|=_________.8. 若,并且x1+x2+…+ x n=8,则x1=_________.9. 等差数列{a n},{b n}的前n项和分别为S n和T n,若,则=_________.10. 若n!=n(n-1)…2·1, 则=_________.11.若{a n}是无穷等比数列,a n为正整数,且满足a5+a6=48, log2a2·log2a3+ log2a2·log2a5+ log2a2·log2a6+ log2a5·log2a6=36,求的通项。
12.已知数列{a n}是公差不为零的等差数列,数列{}是公比为q的等比数列,且b1=1, b2=5, b3=17, 求:(1)q的值;(2)数列{b n}的前n项和S n。
四、高考水平训练题1.已知函数f(x)=,若数列{a n}满足a1=,a n+1=f(a n)(n∈N+),则a2006=_____________.2.已知数列{a n}满足a1=1, a n=a1+2a2+3a3+…+(n-1)a n-1(n≥2),则{a n}的通项a n=.3. 若a n=n2+, 且{a n}是递增数列,则实数的取值范围是__________.4. 设正项等比数列{a n}的首项a1=, 前n项和为S n, 且210S30-(210+1)S20+S10=0,则a n=_____________.5. 已知,则a的取值范围是______________.6.数列{a n}满足a n+1=3a n+n(n∈N+) ,存在_________个a1值,使{a n}成等差数列;存在________个a1值,使{a n}成等比数列。