55-6 7 相对稳定 频率与时域性能指标
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101 10s Gs s1 100s 1 0.2s
由图知
wc 1s 1
wc arctan10 900 arctan100 arctan0.2 106.440
1800 wc 73.560 00
ess 1 0.1 Kv
90 180
wg
0
w
180 (wc )
最小相位系统相位裕量：
270
A
负相位裕量
当γ<0时，相位裕量为负，系统不稳定。
例1：已知一单位反馈系统的开环传递函数 1)Ｋ=1时系统的相位裕量和增益裕量；
G( s)
K s(1 0.2s )(1 0.05s )
1. 当[s]平面虚轴上有开环极点时，奈氏路径要从其右边绕出半径为 无穷小的圆弧；[G]平面对应要补充大圆弧；
2. N 的最小单位为二分之一。
2/27
《自动控制理论》
网址：Zdkz.cjlu.edu.cn
§5.6 相对稳定性分析
为了使控制系统能可靠地工作，不但要求它能稳定，而且还希望有足够
的稳定裕量（相对稳定性）。对开环稳定的系统，度量其闭环系统相对稳定 性的方法是通过开环频率特性线 G( jw ) H ( jw ) 与点 ( 1, j 0) 接近程度来表征。
1 wg Kg G( jwg )
2 2 wg 22 w g 102
w g 4.47
100
2.4 (7.6 dB)
(2.2)将G(jw)分解为实部、虚部形式
100 1200 w j100(20 w 2 ) G( jw ) G X jGY jw ( 2 jw )(10 jw ) w (4 w 2 )(100 w 2 )
1 G( jwg )
12/27
《自动控制理论》
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谢 谢
13/27
பைடு நூலகம்
例题5-３ 已知一单位反馈控制系统的开环对数幅频特性如图
所示（最小相位系统） ：
试求：1）写出系统的开环传递函数； 2）判别该系统的稳定性； 3）如果系统是稳定的，求 r(t)=t时的稳态误差。
101 10 jw G jw jw 1 100 jw 1 0.2 jw
2
5 当 w 13
G jw
K 1 0.5w 1 10w
2
2
0.167K
因为
P 1
所以，若系统稳定，则要求奈氏曲线逆时针围绕（-1， j0） 点转1圈，即 N=-1。 即 G jw
K 1 0.5w 1 10w
2 2
0.167K 1
K 6
三、相对稳定性与对数幅频特性中中频段斜率的关系
一般而言
L(ωc)处的斜率为－20dB/dec时，系统稳定。
L(ωc)处的斜率为－40dB/dec时，系统可能稳定，也可能不 稳定，即使稳定， γ也很小。
L(ωc)处的斜率为－60dB/dec时，系统肯定不稳定。
为了使系统具有一定的稳定裕量， L(ω)在ωc处的斜率为 －20dB/dec。
Kg 1 G( jwg )
, K g 的几何意义 , K g 的物理意义
系统在 Kg
一般要求 相角 方面的稳定储备量 幅值
40 Kg 2
Im
[GH ]
L(w )
dB
负增益裕量 Kg 0
负相位裕量
B B
0
1
wc
A
1
B
Re
w
1 Kg
(w )
负增益裕量
G( jw )
K g。
解法I：由幅相曲线求 , K g。
(1)令
G( jωc ) 1
100
w c w c2 2 2 w c2 10 2
wc2[wc4 104wc2 400] 10000
试根得
wc 2.9
2.9 2.9 180 G( jwc ) 180 (2.9) 180 90 arctan arctan 2 10 90 55.4 16.1 18.5 wg wg w g 4.47 (2.1)令 (w g ) 180 90 arctan arctan 2 10
180 (w c ) 76
2)由题意得Kg=10，即 | G( jw g ) | 0.1。在 w g 10 处的对数幅频为
20 lg K 20 lg 10 20 lg 1 ( 10 2 10 ) 20 lg 1 ( )2 20 lg 0.1 5 20
Kg 1 G( jwg )
相位交界频率ωg G( jωg ) 180 幅值裕度K g
稳定裕度的意义 稳定裕度计算方法
, K g 的几何意义 , K g 的物理意义
L(w )=1 wc 180 (wc )
(w) 180 wg K g
《自动控制理论》
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小结
频率特性是线性系统（或部件）在正弦输入信号 作用下的稳态输出与输入复数之比。 传递函数的极点和零点均位于S左半平面的系统 称为最小相位系统。 最小相位系统其幅频特性和相频特性之间有着唯 一的对应关系，因而只要根据他的对数幅频特性 曲线就能写出对应系统的传递函数。
上式简化后为
20 lg
K 20 lg 0.1 10 2.236 1.118
解之得，K=2.5。 所以，K<=2.5。
G( s)
K s(1 0.2s )(1 0.05s )
根据 40 的要求，则得
(w c ) 90 arctan 0.2w c arctan 0.05w c 140
即
20 lg
K 20 lg 1 4 1.28 1.02
求解上式得K=5.22。不难看出，K取小于2.5就能同时满足Kg和 的要求。
G( s) K s(1 0.2s )(1 0.05s )
例 2： G ( s )
5 s s s( 1)( 1) 2 10
100 s(s 2)(s 10) ，求 ,
系统稳定 稳定误差
例题5-6
一控制系统如图所示。当r(t)=t,要求系统的稳态误
差小于0.2，且增益裕量不小于6dB，试求增益K的取值范围。
wg 40
5 K 10
例题5-4 已知一控制系统的开环传递函数为
K 1 0.5s 1 s Gs H s 1 10s s 1
由L(w): G( jwc ) 1 得
wc
wc
2
1
10
w c2
wc 10 3.16 2.9
相频对称
180 G( jwc ) 180 (3.16)
3.16 3.16 180 90 arctan arctan 2 10
90 57.67 17.541 14.8 18.5
对上式取正切，得
0.2w g 0.05w g 1 0.2w g 0.05w g
则有 1 0.2w g 0.05w g 0 可求得
w g 10 。
p194
在 w g 处的开环对数幅值为
Ｋ=1
10 10 L(w g ) 20 lg 1 20 lg 10 20 lg 1 ( ) 2 20 lg 1 ( ) 2 5 20
20 lg 10 20 lg 2.236 20 lg 1.118 28 dB
则
20 lg K g L(w g ) 28dB
根据K=1时的开环传递函数，可知系统的 wc 1，据此得
(w c ) 90 arctan 0.2 arctan 0.05 104.17
w 0 , G jw K1800 ; w , G jw 0.05K00
w 1800 arctanw arctan10w arctan0.5w arctanw
w 0 , G jw K1800 ; w , G jw 0.05K00
1/27
《自动控制理论》
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课程回顾
奈奎斯特稳定判据
Z P N
Z:在右半s平面中的闭环极点个数；
0 闭环系统不稳定
Z 0 闭环系统稳定
0 有误！
注意问题
P:在右半s平面中的开环极点个数；
N:开环幅频曲线GH(jw)包围[G]平 面(-1,j0)点的圈数。
试求：
2)要求通过增益Ｋ的调整，使系统的增益裕量 20lg K g 20dB，相位裕量 40
解： 1)基于在w g 处开环频率特性的相角为
(w g ) 90 arctan 0.2w g arctan 0.05w g 180
即
arctan 0.2w g arctan 0.05w g 90
即
arctan 0.2wc arctan 0.05wc 50
0.25w c 1.2 1 0.2 0.05w c2
对上式求正切，得
解之，得 w c 4。于是有
4 4 L(w c ) 20 lg K 20 lg 4 20 lg 1 ( )2 20 lg 1 ( )2 20 lg 1 5 20
试绘制该系统的乃氏图，确定系统稳定时K的范围。 解： 该系统的频率特性为
K 1 0.5 jw 1 jw K 1 0.5w j w G jw 2 1 10 jw jw 1 1 10w
2
w 1800 arctanw arctan10w arctan0.5w arctanw
《自动控制理论》
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§5 频率响应法
§5.1 §5.2 §5.3 §5.4 §5.5 频率特性的基本概念 对数频率特性（Bode图） 幅相频率特性（Nyquist图） 用频率法辨识系统的数学模型 频域稳定判据（奈奎斯特）
§5.6
§5.7
相对稳定性分析
频率性能指标与时域性能指标的关系
21/27
网址： Zdkz.cjlu.edu.cn 乃氏稳定判据是根据开环频率特性曲线围绕（ -1 ， j0）点 的情况和开环传递函数在S右半平面的极点数来判别对应 闭环系统的稳定性。
系统动态性能 研究工具 时域（t）
稳定边界
虚轴
稳定程度
阻尼比 x
频域（w）
(-1,j0)
到(-1,j0)的距离
稳定裕度 (开环频率指标)
3/27
稳定裕度的定义
剪切频率 ωc
G( jωc ) 1
相位裕量
180 G( jwc )
相位交界频率ωg G( jωg ) 180 增益裕量 K g
w g 2 10 4.47
Kg 1 G( j 4.47)
1 2.4 0.4167
《自动控制理论》
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课程小结
稳定裕度的概念
(开环频率指标) 剪切频率 ωc
G( jωc ) 1
稳定裕度的定义
相角裕度
180 G( jwc )
令 得
Im[G( jw )] GY 0
w g 20 4.47
代入实部 GX (w g ) 0.4167
Kg
1 1 2.4 0.4167 G( jwg )
解法II：由Bode图求 , K g。
G( s) 5 s s s( 1)( 1) 2 10
5
10
当0 w 5 , arctan10w arctan0.5w 2 arctanw, w 1800 13
当w 5 , arctan10w arctan0.5w 2 arctanw, w 1800 13
K 1 0.5 jw 1 jw K 1 0.5w j w G jw 2 1 10 jw jw 1 1 10w
由图知
wc 1s 1
wc arctan10 900 arctan100 arctan0.2 106.440
1800 wc 73.560 00
ess 1 0.1 Kv
90 180
wg
0
w
180 (wc )
最小相位系统相位裕量：
270
A
负相位裕量
当γ<0时，相位裕量为负，系统不稳定。
例1：已知一单位反馈系统的开环传递函数 1)Ｋ=1时系统的相位裕量和增益裕量；
G( s)
K s(1 0.2s )(1 0.05s )
1. 当[s]平面虚轴上有开环极点时，奈氏路径要从其右边绕出半径为 无穷小的圆弧；[G]平面对应要补充大圆弧；
2. N 的最小单位为二分之一。
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§5.6 相对稳定性分析
为了使控制系统能可靠地工作，不但要求它能稳定，而且还希望有足够
的稳定裕量（相对稳定性）。对开环稳定的系统，度量其闭环系统相对稳定 性的方法是通过开环频率特性线 G( jw ) H ( jw ) 与点 ( 1, j 0) 接近程度来表征。
1 wg Kg G( jwg )
2 2 wg 22 w g 102
w g 4.47
100
2.4 (7.6 dB)
(2.2)将G(jw)分解为实部、虚部形式
100 1200 w j100(20 w 2 ) G( jw ) G X jGY jw ( 2 jw )(10 jw ) w (4 w 2 )(100 w 2 )
1 G( jwg )
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例题5-３ 已知一单位反馈控制系统的开环对数幅频特性如图
所示（最小相位系统） ：
试求：1）写出系统的开环传递函数； 2）判别该系统的稳定性； 3）如果系统是稳定的，求 r(t)=t时的稳态误差。
101 10 jw G jw jw 1 100 jw 1 0.2 jw
2
5 当 w 13
G jw
K 1 0.5w 1 10w
2
2
0.167K
因为
P 1
所以，若系统稳定，则要求奈氏曲线逆时针围绕（-1， j0） 点转1圈，即 N=-1。 即 G jw
K 1 0.5w 1 10w
2 2
0.167K 1
K 6
三、相对稳定性与对数幅频特性中中频段斜率的关系
一般而言
L(ωc)处的斜率为－20dB/dec时，系统稳定。
L(ωc)处的斜率为－40dB/dec时，系统可能稳定，也可能不 稳定，即使稳定， γ也很小。
L(ωc)处的斜率为－60dB/dec时，系统肯定不稳定。
为了使系统具有一定的稳定裕量， L(ω)在ωc处的斜率为 －20dB/dec。
Kg 1 G( jwg )
, K g 的几何意义 , K g 的物理意义
系统在 Kg
一般要求 相角 方面的稳定储备量 幅值
40 Kg 2
Im
[GH ]
L(w )
dB
负增益裕量 Kg 0
负相位裕量
B B
0
1
wc
A
1
B
Re
w
1 Kg
(w )
负增益裕量
G( jw )
K g。
解法I：由幅相曲线求 , K g。
(1)令
G( jωc ) 1
100
w c w c2 2 2 w c2 10 2
wc2[wc4 104wc2 400] 10000
试根得
wc 2.9
2.9 2.9 180 G( jwc ) 180 (2.9) 180 90 arctan arctan 2 10 90 55.4 16.1 18.5 wg wg w g 4.47 (2.1)令 (w g ) 180 90 arctan arctan 2 10
180 (w c ) 76
2)由题意得Kg=10，即 | G( jw g ) | 0.1。在 w g 10 处的对数幅频为
20 lg K 20 lg 10 20 lg 1 ( 10 2 10 ) 20 lg 1 ( )2 20 lg 0.1 5 20
Kg 1 G( jwg )
相位交界频率ωg G( jωg ) 180 幅值裕度K g
稳定裕度的意义 稳定裕度计算方法
, K g 的几何意义 , K g 的物理意义
L(w )=1 wc 180 (wc )
(w) 180 wg K g
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小结
频率特性是线性系统（或部件）在正弦输入信号 作用下的稳态输出与输入复数之比。 传递函数的极点和零点均位于S左半平面的系统 称为最小相位系统。 最小相位系统其幅频特性和相频特性之间有着唯 一的对应关系，因而只要根据他的对数幅频特性 曲线就能写出对应系统的传递函数。
上式简化后为
20 lg
K 20 lg 0.1 10 2.236 1.118
解之得，K=2.5。 所以，K<=2.5。
G( s)
K s(1 0.2s )(1 0.05s )
根据 40 的要求，则得
(w c ) 90 arctan 0.2w c arctan 0.05w c 140
即
20 lg
K 20 lg 1 4 1.28 1.02
求解上式得K=5.22。不难看出，K取小于2.5就能同时满足Kg和 的要求。
G( s) K s(1 0.2s )(1 0.05s )
例 2： G ( s )
5 s s s( 1)( 1) 2 10
100 s(s 2)(s 10) ，求 ,
系统稳定 稳定误差
例题5-6
一控制系统如图所示。当r(t)=t,要求系统的稳态误
差小于0.2，且增益裕量不小于6dB，试求增益K的取值范围。
wg 40
5 K 10
例题5-4 已知一控制系统的开环传递函数为
K 1 0.5s 1 s Gs H s 1 10s s 1
由L(w): G( jwc ) 1 得
wc
wc
2
1
10
w c2
wc 10 3.16 2.9
相频对称
180 G( jwc ) 180 (3.16)
3.16 3.16 180 90 arctan arctan 2 10
90 57.67 17.541 14.8 18.5
对上式取正切，得
0.2w g 0.05w g 1 0.2w g 0.05w g
则有 1 0.2w g 0.05w g 0 可求得
w g 10 。
p194
在 w g 处的开环对数幅值为
Ｋ=1
10 10 L(w g ) 20 lg 1 20 lg 10 20 lg 1 ( ) 2 20 lg 1 ( ) 2 5 20
20 lg 10 20 lg 2.236 20 lg 1.118 28 dB
则
20 lg K g L(w g ) 28dB
根据K=1时的开环传递函数，可知系统的 wc 1，据此得
(w c ) 90 arctan 0.2 arctan 0.05 104.17
w 0 , G jw K1800 ; w , G jw 0.05K00
w 1800 arctanw arctan10w arctan0.5w arctanw
w 0 , G jw K1800 ; w , G jw 0.05K00
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Z:在右半s平面中的闭环极点个数；
0 闭环系统不稳定
Z 0 闭环系统稳定
0 有误！
注意问题
P:在右半s平面中的开环极点个数；
N:开环幅频曲线GH(jw)包围[G]平 面(-1,j0)点的圈数。
试求：
2)要求通过增益Ｋ的调整，使系统的增益裕量 20lg K g 20dB，相位裕量 40
解： 1)基于在w g 处开环频率特性的相角为
(w g ) 90 arctan 0.2w g arctan 0.05w g 180
即
arctan 0.2w g arctan 0.05w g 90
即
arctan 0.2wc arctan 0.05wc 50
0.25w c 1.2 1 0.2 0.05w c2
对上式求正切，得
解之，得 w c 4。于是有
4 4 L(w c ) 20 lg K 20 lg 4 20 lg 1 ( )2 20 lg 1 ( )2 20 lg 1 5 20
试绘制该系统的乃氏图，确定系统稳定时K的范围。 解： 该系统的频率特性为
K 1 0.5 jw 1 jw K 1 0.5w j w G jw 2 1 10 jw jw 1 1 10w
2
w 1800 arctanw arctan10w arctan0.5w arctanw
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§5 频率响应法
§5.1 §5.2 §5.3 §5.4 §5.5 频率特性的基本概念 对数频率特性（Bode图） 幅相频率特性（Nyquist图） 用频率法辨识系统的数学模型 频域稳定判据（奈奎斯特）
§5.6
§5.7
相对稳定性分析
频率性能指标与时域性能指标的关系
21/27
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系统动态性能 研究工具 时域（t）
稳定边界
虚轴
稳定程度
阻尼比 x
频域（w）
(-1,j0)
到(-1,j0)的距离
稳定裕度 (开环频率指标)
3/27
稳定裕度的定义
剪切频率 ωc
G( jωc ) 1
相位裕量
180 G( jwc )
相位交界频率ωg G( jωg ) 180 增益裕量 K g
w g 2 10 4.47
Kg 1 G( j 4.47)
1 2.4 0.4167
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稳定裕度的概念
(开环频率指标) 剪切频率 ωc
G( jωc ) 1
稳定裕度的定义
相角裕度
180 G( jwc )
令 得
Im[G( jw )] GY 0
w g 20 4.47
代入实部 GX (w g ) 0.4167
Kg
1 1 2.4 0.4167 G( jwg )
解法II：由Bode图求 , K g。
G( s) 5 s s s( 1)( 1) 2 10
5
10
当0 w 5 , arctan10w arctan0.5w 2 arctanw, w 1800 13
当w 5 , arctan10w arctan0.5w 2 arctanw, w 1800 13
K 1 0.5 jw 1 jw K 1 0.5w j w G jw 2 1 10 jw jw 1 1 10w