二元一次方程组思维导图超全
8二元一次方程组知识结构图-教师版
例： 有大小两辆货车， 两辆大车与 3 辆小车一次可以支货 15.50 吨，5 辆大车与 6 辆小车一次可以支货 35 吨，求 3 辆大车 与 5 辆小车一次可以运货多少吨？ 解：设每辆大车和每辆小车一次运货量分别为 x,y 吨，则
把 y = －3 代入(2), 得
6x 5 (3) 17 解得, x 1 3 1 x 3 y 3
二元一次方程： 举例：2x＋4y=94 用代入消元法解：
解方程组：
3 x y z 4, 2 x 3 y z 12, x y z 6.
解：①+②得 5x 2 y 16, 三 元 一 次 方 程 组 ③+②得 3x 4 y 18,
解：由①，得 x＝y＋3。③ 把③代入②， 得 3(y 十 3)一 8y=14。 解这个方程，得 y＝一 1。 把 y=－l 代入③，得 x＝2 解二 元一 次方 程组 方程组的解是 二元一次 方程组
解得
x 2, 代入③得 z 1. y 3.
用加减消元法解：
解决实际问题：
x 2, 所以方程组的解是 y 3, z 1.
6x 7y 19 (1) 6x 5y 17 (2)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解：(1)－(2), 得 解得 y ＝－3 12y ＝－36
2 x 3 y 15.5 5 x 6 y 35
3x 5 y 24.5
解得
x 4 y 2.5
答：3 辆大车与 5 辆小车一次可以运货 24.5 吨
2020-2021学年七年级数学下册《 二元一次方程》
二元一次方程（组）【思维导图】【知识要点】知识点一 二元一次方程（组）有关概念二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。
【注意】1） 二元：含有两个未知数；2）一次：所含未知数的项的次数都是1。
例如：xy=1，xy 的次数是二，属于二元二次方程。
2） 方程：方程的左右两边必须都是整式（分母不能出现未知数）。
二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．【注意】1） 在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以求出另一个未知数的值。
2） 二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解。
二元一次方程组的概念：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组．【注意】1）二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数，如⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝0，x ＋2y ＝2也是二元一次方程组。
这两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个一次方程必须一共含有两个未知数。
3） 方程组中的各个方程中，相同字母必须代表同一未知量。
4） 二元一次方程组中的各个方程应是整式方程。
二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
【注意】1）二元一次方程组的解是方程中每个方程的解。
2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的，但是有的方程组有无数个解或无解。
如：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝5，4x ＋4y ＝20.有的方程组无解，如：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝5，x ＋y ＝2.【典型例题】考查题型一 利用二元一次方程组有关概念解决相关问题典例1下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）A ．4237x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．2311546a b b c -=⎧⎨-=⎩C ．292x y x ⎧=⎨=⎩D ．284x y x y +=⎧⎨-=⎩变式1-1下列各组数值符合二元一次方程x ﹣3y ＝4的解的是（ ）A ．11x y =⎧⎨=-⎩B ．21x y =⎧⎨=⎩C ．12x y =-⎧⎨=-⎩D ．41x y =⎧⎨=-⎩ 变式1-2二元一次方程2x +y ＝5的正整数解有（ ）A ．一组B ．2组C ．3组D ．无数组变式1-3方程(m －2 016)x |m|－2 015＋(n ＋4)y |n|－3＝2 018是关于x 、y 的二元一次方程，则( )A ．m ＝±2 016；n ＝±4B ．m ＝2 016，n ＝4C ．m ＝－2 016，n ＝－4D ．m ＝－2 016，n ＝4 变式1-4方程组10216x y x y +=⎧⎨+=⎩的解是（ ） A ．64x y =⎧⎨=⎩ B ．56x y =⎧⎨=⎩ C ．36x y =⎧⎨=⎩ D ．28x y =⎧⎨=⎩知识点二 解二元一次方程组消元的思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为熟悉的一元一次方程，即可先求出一个未知数，然后再求另一个未知数。
8二元一次方程组知识结构图-教师版
8二元一次方程组知识结构图-教师版
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二元一次方程组
二元一次方程： 举例：2x ＋4y=94
解二元一次方程组
解决实际问题：
例：有大小两辆货车，两辆大车与3辆小车一次可以支货15.50吨，5辆大车与6辆小车一次可以支货35吨，求3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨？
解：设每辆大车和每辆小车一次运货量分别为x,y 吨，则
⎩⎨⎧=+=+35655.1532y x y x
解得⎩⎨
⎧==5.24
y x 5.2453=+y x
答：3辆大车与5辆小车一次可以运货24.5吨
三元一次方程组
解方程组：
34,2312,6.x y z x y z x y z -+=⎧⎪
+-=⎨⎪++=⎩
解：①+②得5216,x y +=
③+②得3418,x y +=
解得2,
3.
x y =⎧⎨
=⎩代入③得 1.z =
所以方程组的解是2,3,1.x y z =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
用代入消元法解：
解：由①，得x ＝y ＋3。
③ 把③代入②，得3(y 十3)一8y=14。
解这个方程，得y ＝一1。
把y=－l 代入③，得x ＝2
方程组的解是
用加减消元法解： (2)
1756(1)
1976⎩⎨
⎧=--=+y x y x 解：(1)－(2), 得 12y ＝－36 解得 y ＝－3 把y = －3代入(2), 得
31
,17
)3(56==-⨯-x x 解得
⎪⎩⎪⎨
⎧-==∴3
31y x。
初中数学《二元一次方程组》单元教学设计以及思维导图
二元一次方程组单元主题设计组及平面解析几何等知识的基础.也可以说本单元的知识是整个初中数学知识体系中数与式部分的必备基础知识．主题单元规划思维导图主题单元学习目标知识与技能：1．以含有多个未知数的实际问题为背景，经历“分析数量关系，设未知数，列方程组，解方程组和检验结果”的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数的问题的数学模型.2．了解二元一次方程组及其相关概念，能设两个未知数，并列方程组表示实际问题中的两种相关的等量关系．3．了解解二元一次方程组的基本目标：使方程组逐步转化为x=a，专题问题设计问题1：什么是二元一次方程？观察方程组和一元一次方程2x+(22-x)=40有什么关系？问题2：怎样解方程组这两个方程中x，y的系数有什么样的关系？能不能发现新的消元方法？问题3：李明和妈妈买了18元的苹果和梨共5千克，1千克苹果售价4元，1千克梨售价3元，李明和妈妈买苹果和梨各多少千克？问题4：根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g）两种产品的销售数量（按瓶计算）比2：5.某厂每天生产这种消毒液22.5吨.这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？问题5：观察方程组中的两个方程：这两个方程中y的系数有什么样的关系？能不能发现新的消元方法？问题6：2台大收割机和5台小收割机工作2小时收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机工作5小时收割小麦8公顷，1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦多少公顷？问题7：怎样解下面的二元一次方程组呢？所需教学环境和教学资源活动3：归纳总结代入消元法的概念【活动步骤】（1）讨论如何把二元转化为一元（2）伙伴共同探究什么是消元（3）师生总结定义第二课时：消元—解二元一次方程组活动1：解方程组,【活动步骤】（1）分组解方程组，看哪组又对又快（2）讨论这个方程组中未知数的系数有什么特点？（3）探究根据这一特点可以采用什么办法活动2：联系上面的解法，想一想应怎样解方程组【活动步骤】（1）分组探究解法，一部分用代入法，一部分用上一题的方法。
导图系列(3-4)：八年级数学(北师大版)各章知识点思维导图集合
第三章 图形的平移与旋转
第四章 因式分解 第五章 分式与分式方程
第六章 平行四边形
任它本身；负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0。（反之，若 5 绝对值
性质 |a|=a，则 a≥0；若|a|=-a，则 a≤0。）
互为相反数的两个数的绝对值相等。
两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个的相反数，也称这两个数互
性质 负数。
一般地，形如 的代数式叫做二次根式，a 叫做被开方数。
二次根 一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式的二次根式叫最简二次根式。
11
式
·
（ ， ），
（，）
第三章 位置与坐标
序号 1
知识点 确定位置
第三章 位置与坐标
内容 在平面内，确定一个物体的位置一般需要 2 个数据。 在平面内，两条互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系。通常，两条 数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。水平 的数轴叫做 x 轴或横轴，垂直的数轴叫做 y 轴或纵轴，x 轴和 y 轴统称为坐标轴，它们的 公共原点 O 称为直角坐标系的原点。建立了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一组有 序实数对（a，b）来表示了。 在平面直角坐标系中，两条坐标轴将坐标平面分成了四部分，右上方的部分叫做第一 象限，其它三部分按逆时针方向依次叫做第二、三、四象限。坐标轴上的点不在任何一个 象限内。
性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是 0；负数没有平方根。
算数 定义 一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a, ，那么这个正数 x 就叫做 a 的算数平方根。 9
平方根 性质 一个正数的算数平方根是正数；0 的算数平方根是 0；负数没有算数平方根。
人教版七年级下册数学：第八章 二元一次方程组
4.了解三元一次方程ห้องสมุดไป่ตู้及其解法，进一步体会 “消元”思想，能根据三元一次方程组的具体 形式选择适当的解法。
• 小组展示一
1.本章学习了哪些内容？ （列举全面） 每一个内容都举例说明.
• 小组展示二
2.本章有哪些数学思想方法比较常用？ 举例说明.
• 小组展示三 3. 绘制《二元一次方程组》思维导图.
• 本章学习要求：
1.了解二元一次方程及其概念；
2.能设两个未知数列出二元一次方程组解决实际 问题，在此过程中体会方程组是重要的数学模 型；
第八章 二元一次方程组
（构建知识体系）
• 自我梳理总结
参照目录和第110页本章《小结》 1.本章学习了哪些内容？ （列举全面）
每一个内容都举例说明. 2.本章有哪些数学思想方法比较常用？
举例说明. 3.本章经典题型有哪些？（搜集你见到过的） 4.本章易错点在哪里？（搜集以往自己的） 5. 绘制《二元一次方程组》思维导图.
8二元一次方程组知识结构图-教师版
二元一次方程组
二元一次方程： 举例：2x ＋4y=94
解二元一次方程组
解决实际问题：
例：有大小两辆货车，两辆大车与3辆小车一次可以支货吨，5辆大车与6辆小车一次可以支货35吨，求3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨
解：设每辆大车和每辆小车一次运货量分别为x,y 吨，则
⎩⎨⎧=+=+35655.1532y x y x
解得⎩⎨
⎧==5.24
y x 5.2453=+y x
答：3辆大车与5辆小车一次可以运货吨
三元一次方程组
解方程组：
34,
2312,6.x y z x y z x y z -+=⎧⎪
+-=⎨⎪++=⎩
解：①+②得5216,x y +=
③+②得3418,x y +=
解得2,
3.
x y =⎧⎨
=⎩代入③得 1.z =
所以方程组的解是2,3,1.x y z =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
用代入消元法解：
解：由①，得x ＝y ＋3。
③ 把③代入②，得3(y 十3)一8y=14。
解这个方程，得y ＝一1。
把y=－l 代入③，得x ＝2
方程组的解是
用加减消元法解： (2)
1756(1)
1976⎩⎨
⎧=--=+y x y x 解：(1)－(2), 得 12y ＝－36 解得 y ＝－3 把y = －3代入(2), 得
31
,17
)3(56==-⨯-x x 解得
⎪⎩⎪⎨
⎧-==∴3
31y x。
初中数学《二元一次方程组》单元教学设计以及思维导图
初中数学《二元一次方程组》单元教学设计以及思维导图1.培养学生对数学的兴趣和热爱，认识数学在现实生活中的应用和重要性。
2.培养学生的思维能力和解决问题的能力，提高学生的自信心和创造力。
3.培养学生的团队合作意识和沟通能力，鼓励学生互相研究和帮助。
4.培养学生的责任感和积极性，鼓励学生勇于尝试和探索新的知识和方法。
本单元的研究目标包括知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个方面。
学生将学会利用二元一次方程组解决实际问题，了解二元一次方程组及其相关概念，掌握解二元一次方程组的代入法和加减法，以及了解三元一次方程组及其解法。
同时，学生将培养类比思维、应用意识、团队合作和创造力等方面的能力，提高自信心和责任感。
本单元的研究将为今后研究不等式组、线性方程组及平面解析几何等知识奠定基础，是整个初中数学知识体系中数与式部分的必备基础知识。
1.研究二元一次方程组的应用价值，感受数学文化。
2.培养学生的方程意识，渗透方程思想。
3.在解决实际问题的过程中，体验数学的实用性，提高研究数学的兴趣。
同时，敢于发表自己的见解，理解他人的看法并与他人交流。
根据课标，本单元旨在通过实际问题，让学生体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数的问题的数学模型，研究二元一次方程组及其解法和应用，提高分析问题、解决问题的能力。
在专题一中，学生已经熟悉了一元一次方程的解法，本节课将介绍二元一次方程组的概念。
学生可以通过分别考虑两个等量关系，分别列出两个方程的方式来列二元一次方程组。
但是，由于方程中出现两个未知数，因此如何解方程组成为新问题。
本节课的重点问题是如何用一个未知数表示另一个未知数。
这为后面研究消元法解二元一次方程组做好铺垫。
通过学生对实际例子的分析，实现对二元一次方程的把握，从而提高利用二元一次方程解决实际问题的能力。
在本节教学中，应对列检验二元一次方程（组）的解以及用一个未知数表示另一个未知数进行充分的指导和训练，让学生列方程解应用题，进行分组讨论。
初中数学《二元一次方程(组)》单元教学设计以及思维导图
知识技能：
1、通过与一元一次方程的比较，能说出二元一次方程的概念，并会辨别一个方程是不是二元一次方程；
2、通过探索交流，会辨别一个解是不是二元一次方程的解，能写出给定的二元一次方程的解，了解方程解的不唯一性；
3、会将一个二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式。
过程与方法：
3、对于数量关系你会怎样用？
所需教学材料和资源
信息ห้องสมุดไป่ตู้资源
多媒体投影实物投影
常规资源
常用学具
教学支撑环境
多媒体教室
其他
纸笔等
思考：这个问题中，有几个未知数？能列一元一次方程求解吗？
如果设黄卡取x张，蓝卡取y张，你能列出方程吗？
3、在高速公路上，一辆轿车行驶2时的路程比一辆卡车行驶3时的路程还多20千米。如果设轿车的速度是a千米/时，卡车的速度是b千米/时，你能列出怎样的方程？
二、活动2
1、引导学生观察所列的方程：5x+2y=22，2a+3b=20，这两个方程有哪些共同特征？这些特征与一元一次方程比较，哪些是相同的，哪些是不同的？你能给它们取个名字吗？
二元一次方程（组）
适用年级
七年级
所需时间
课内10课时，课外2课时
主题单元学习概述
本章主要内容包括：本章主要内容包括：二元一次方程组及其相关概念，二元一次方程组的解法，利用二元一次方程组分析和解决实际问题。分析实际问题中的数量关系并用二元一次方程组表示是始终贯穿这些内容的主线，而且始终渗透着“数学建模”和“化归”的思想方法。通过丰富实例，从算式到方程建立二元一次方程组，展开方程是刻划现实生活的有效数学模型；通过观察、归纳引出不等式的两条性质，为进一步讨论较复杂的二元一次方程组的解法准备理论依据；从实际问题出发，运用等式的性质解方程，归纳“加减消元”、“代入消元”、等法则，逐步展现求解方程的一般步骤；运用方程解决实际问题，通过探究活动，加强数学建模思想，提高学生分析问题和解决问题的能力。
8二元一次方程组知识结构图-教师版
二元一次方程组
二元一次方程： 举例：2x ＋4y=94
解二元一次方程组
解决实际问题：
例：有大小两辆货车，两辆大车与3辆小车一次可以支货15.50吨，5辆大车与6辆小车一次可以支货35吨，求3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨？
解：设每辆大车和每辆小车一次运货量分别为x,y 吨，则
⎩⎨⎧=+=+35655.1532y x y x
解得⎩⎨
⎧==5.24
y x 5.2453=+y x
答：3辆大车与5辆小车一次可以运货24.5吨
三元一次方程组
解方程组：
34,
2312,6.x y z x y z x y z -+=⎧⎪
+-=⎨⎪++=⎩
解：①+②得5216,x y +=
③+②得3418,x y +=
解得2,
3.
x y =⎧⎨
=⎩代入③得 1.z =
所以方程组的解是2,3,1.x y z =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
用代入消元法解：
解：由①，得x ＝y ＋3。
③ 把③代入②，得3(y 十3)一8y=14。
解这个方程，得y ＝一1。
把y=－l 代入③，得x ＝2
方程组的解是
用加减消元法解： (2)
1756(1)
1976⎩⎨
⎧=--=+y x y x 解：(1)－(2), 得 12y ＝－36 解得 y ＝－3 把y = －3代入(2), 得
3
1,17)3(56==-⨯-x x 解得
⎪⎩⎪⎨
⎧-==∴3
31y x。