专用章新友大学物理学第5章-恒定电流和电路

E A
B非
( 经电源）

dl
其中
A
B E dl UBA U AB
A
r j

r dl

Ir
B
18
一段含源电路的欧姆定律
A B
r E非
r dl

U
AB

Ir
U AB Ir
((经电源)
U AB IR
所谓一段含源电路：是指此段电路中包含有电源。
I(R r) 或 I
关系。
6
三、电流的连续方程 稳恒电流的闭合性条件
电流的连续方程
在导体内取任一闭合曲面 S，取其外法线方向为正，
根据电荷守恒定律，单位时间里由此面流出的电量
S j dS 等于在这段时间里 S 面内包含的电量的减少
（ dq ）。 dt

J

dS


dq
(S)
dt
此式称为连续性方程，它实际上是电荷守恒定律的一种数学表述。
第四章
恒定电流和电路
静电场中的导体处于静电平衡时，其内部的场强为零，内部 没有电荷作定向的宏观运动。
v
如果把导体接在电源的两极上，则 导体内任意两点之间将维持恒定的 电势差，在导体内维持一个电场， 导体内的电荷在电场力的作用下作 宏观的定向运动，形成电流。
U
1
§4-1 电流 电流密度
一、电流
1、形成电流的条件
3
②电流的方向与矢量的方向在本质上是不同的。 电流的方向只是表明电流的流向
③电流的大小和方向都不随时间而变化，则称为恒定 电流(steady current)或直流电（direct current ）。
④电流强度是宏观量，只能描述通过导体某一截面电 流的整体特性，不能说明截面上各点的情况.
当通过任一截面的电量不均匀时， 用电流强度来描述就不够用了，有 必要引入一个描述空间不同点电流 大小和方向的物理量。
①a，d两点间的电势差; ②b，c两点间的电势差。
解：由于b, c之间开路，
流经R5支路的电流为零，此 时电流只沿外闭合电路流动，
形成一个单回路电路。设电
流强度为I，方向沿逆时针
方向，则由闭合电路欧姆定
律的普遍形式，电流强度I
为
I
1 3
R1 R2 R3 R4 r1 r3

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电源外部在静电力的推动下形成由正极到负极的电 流。在电源内部，非静电力的作用使电流从内部由 负极回到正极，使电荷的流动形成闭合的循环。 电源电动势的定义为把单位正电荷从电源负极经内 部移到正极时，非静电力所作的功。即
r r
E dl （电源内）
电动势是标量，单位伏特。
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当电荷q通过电路时，电场力所做的功为
由 q It
A UIt
P A UI
t
单位时间内所做的功即电功率
A Uq
单位瓦特（W），千瓦（kw）。工程上用千瓦·小 时作电功的单位。
只含电阻的电路，电流所做的功全部转化成热。
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Q A UIt
Q I 2Rt
或写成 表示为功率形式
（选A→B为计算的顺序方向，沿此顺序方向 的电势降低，故取
“+”号，而内阻r上的电势Ir升高，所以前取“－”号。）
若外电路有分支，且外电路中还有多个电源，则含源电路的 欧姆定律写为：
U AB (i ) (Ii Ri )
这就是一段含源电路欧姆定律的普遍形式
式中的符号法则规定为：
• 在导体内有可以自由移动的电荷（载流子） 在半导体中是电子或空穴 在金属中是电子 在电解质溶液中是离子
• 在导体内要维持一个电场，或者说在导体两端要存在 有电势差
2、电流的方向
正电荷移动的方向定义为 电流的方向
电流的方向与自由电子移 动的方向是相反的。
S
I
2
3. 电流强度（简称电流）(electric current ) 定义:单位时间内通过导体任一截面的电量.
按能量守恒定律，电池A所消耗的化学能功率，应等 于电池B中转变为化学能的功率以及消耗在外电阻和 两电池内电阻上的热功率。
A =24V，内电阻rA=2Ω，电池B电动势B =12V ，内电
阻rB=1Ω ，外电阻R=3Ω 。试计算
（1）电路中的电流；
（2）电池A的端电压U12；
R I
3 B4
（3）电池B的端电压U34 ；
（4）电池A消耗的化学能功
I
率及所输出的有效功率；
A
（5）输入电池B的功率及转 变为化学能的功率；
I1
lim I
q dq
t0 t dt
单位：库仑/秒=安培 （CT 1） A
讨论：
常用毫安（mA）、微安（A）
①电流强度是标量,用 I 表示。 它是国际单位中的基本量。
I
正负电荷运动对电流的贡献具有等效性.习惯上常 规定正电荷流动的方向为电流的正方向。
在导体中，电流的方向总是沿着电场方向，指向电 势降落的方向.
2
（6）电阻R所产生的热功率 。
12
（1）电路中的电流；（2）电池A的端电压U12
解:（1）应用欧姆定律得
IR
3 B4
I

A－ B
R＋RiA RiB
I
24 12 A 2 A 3 21
电流的指向如图中箭头所示的方向I 。 1
A 2
（2）设所选定的积分路径自1经过电池A 而到2，
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稳恒条件
稳恒电流：是指电流场不随时间变化。电荷产生的
电场是稳恒电场，即静电场。在稳恒条件下，对于
任意闭合曲面S，面内的电量不随时间变化，即
dq 0 也即
J dS 0
dt
(S)
电流的稳恒条件
en
j
en

通过S面一侧流入的电量等于从
j S
另一侧流出的电量。稳恒电流
12 8
=0.4 A
2 2 2 2 11
所以
Uad IR2 3 Ir3 IR4 10 V
Ubc Uad 2 = 10-9 = 1 V
这里应该注意：b，c开路， ε2上虽无电流，但ε2 对b，c之间的电压是有贡献的，在计算电压时，千
万不可遗忘。
例题2 在图所示的电路中，已知电池A电动势
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二、电流密度
1、引入电流密度的必 要性：
描述电流分布的物理量 ——电流密度。

P vdt
ds

J设q>v0
2、定义：
电流密度矢量的方向为空间某点处正电荷的运动
方向J ,它d的dSI大 小d等I于单J位 d截S 面 上Jd电S流co强s度的P大d小S 。en
j
单位：安培／米2。
电源两端的电压叫做路端电压，一般情况路端电压不
等于其电动势。按定义，路端电压是静电场力把单位
正电荷从正极移到负极所作的功，
U




E
dl

由欧姆定律的微分形式J (E非 E )，
得

A B
( 经电源）
J
dl


E A
B

dl

应用一段含源电路的欧姆定律得
U12 V1－V2 A IrA
24 2 2 20V
计算结果表示1处的电势V1高于2处的电势V2 。
现在再从1342这一积分路径来计算1、2之间的电势差。 得 U12 V1－V2 IR B IrB
2 3 112 20V
的电流线永远是闭合曲线。
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由一束电流线围成的管状区叫 做电流管。在稳恒条件下，通 过同一电流管各截面的电流强 度都相等。
S2 j
在稳恒电路中，在一段没有分支
的电路里，通过各截面的电流强 度必定相等。稳恒电路必须是闭
S1
合的。
恒定电流场中的线是既无起点又无终点的连续闭合曲 线。这个性质叫做恒定电流的闭合性。所以恒定电流 流通的路径是一个闭合路径。
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4.2.1 电路
§4-2 直流电路
根据一定的目的，用导线把电源、用电器（又称负 载）以及可能存在的中间环节（如开关）连接起来 的电流通路叫做电路。
4.2.2 直流电路
（1）直流电路中同一支路的各个截面有相同的电流 I。
（2）流进直流电路任一节点的电流等于从该节点流 出的电流。(称为基尔霍夫第一定律）
4.4.2.电动势 全电路欧姆定律
提供非静电力的装置称为电源。
在电源的外部只有静电场 E ，而在电
源的内部，除了静电场之外，还有非
静电场
E
非
，
E
与
E
非
的方向相反。
普遍的欧姆定律的微分形式应是

J (E非 E)
E 外电路 电源 E
E非
在电源的内部，非静电场由负极指向正极。
(1)若电阻中的电流方向与绕行方向相同，则电势降
落，电压取+IR ；反之取-IR ，对电源内阻r亦相同。
(2)若电动势的方向(负极指向正极)与绕行方面相同，
则电势升高，取-ε；反之，取+ε。
I
I
A , Ri C R B
电源放电
端电压UAC 小于电动势
A , Ri C R B
电源充电
端电压UAC 大于电动势
（5）输入电池B的功率及转变为化学能的功率；
（5）输入电池B的功率：P4=IU34=142W=28W ， 其中变化为化学能的功率：P5=IB=122W=24W ， 消耗于内阻的功率：P5= P4 - P5 =I 2rB=4W。
(6）电阻R所产生的热功率
（6）电阻R上的热功率： P7=I 2R=43W=12W。
所得结果与前相同。
（3）电池B的端电压U34 （3）设所选定的积分顺序方向自3经过电池B 而到4，
仍应用一段含源电路的欧姆定律得 U34 V3－V4 B IrB 12 21 14V
（4）电池A消耗的化学能功率及所输出的有效功率；
电池A所消耗的化学能功率：P1=IA=224W=48W， 而其输出功率：P2=IU12=220W=40W ， 消耗于内阻的功率：P3=I 2rA=42W=8W。
5
导体中各点 j 有不同的数值和方 向，这就构成一个矢量场，即电 流场。电流场可用电流线来描绘。 电流线是这样一簇曲线，其上每
dS

en j
点的切线方向都和该点的电流密
度矢量方向一致。

I与 J 的关系为

I J dS J cosdS
(S)
(S)
可见，J 和 I 的关系，就是一个矢量场和它的通量的
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§4.3 欧姆定律和焦耳定律
4.3.1 欧姆定律的微分形式
在导体的电流场内取长l 垂直截面为S 的一小电流
管，根据欧姆定律有
I U / R JS
实验表明，导体中的场强
E
与电流
密度
j
方向处处一致，场强的方向

l
J
S
E
也是沿电流管的，从而
U El
11
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电流管部分导体的电阻为
Q U2t R
P I2R U2 R
焦耳定律
注意，IU 表示输入到用电器的总功率，如果用电器 是电动机，则这部分功率部分转化为机械功率，部 分转变为热功率，此时后者与输入的总功率并不相 等。
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§4.4 电动势和全电路欧姆定律
4.4.1 非静电力
稳恒电流线必然是闭合的。然而仅有静电场不可能 实现稳恒电流。因为静电场的一个重要性质是

E dl 0
L
由于导体存在电阻，电场移动电荷所做的功转化为 电阻上消耗的焦耳热，这就不可能使电荷再返回电 势能较高的原来位置，即电流线不可能是闭合的。 结果引起电荷堆积，破坏稳恒条件。
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要维持稳值电流，必须有非静电力。非静电力作功， 将其他形式的能量补充给电路，使电荷能够逆着电 场力的方向运动，返回电势能较高的原来位置，从 而维持电流线的闭合性。
R r
上式就是全电路欧姆定律。
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计算电势差U AB 就是沿A→B计算电 势降落：选A→B为计算的顺序方 A ε r 向，沿此顺序方向“一段电路两
RI B
端的电势差等于该电路上各分段 电势降落的代数和”
绕行方向
注意：电流方向指向电势降落方向
U AB Ir IR
这是最简单的含源电路的欧姆定律
若I=0，则UAC =ε 电路断开，端电压等于电动势。
下图所示的电路，如果选定方向为A→B，则电势差
I1
A
R1
R3 I3
I2
ε1,r1 C ε2,r2
B
R2 ε3,r3
UAB I1R1 1 I1r1 2 I2r2 I2R2 3 I2r3
例题1:电路如图所示，R1=R2=R3=R4=2Ω，R5=3Ω， ε1=12V，ε2=9V，ε3=8V，r1=r2=r3=1Ω，试求：
R l
S

l
j
S
E
为导体的电阻率，单位 m。 I U / R JS
电阻率的倒数称电导率 1
U El
单位1 m1（西门子）。
由此可得 矢量式为
J E
J E
欧姆定律的 微分形式
12
4.3.3 焦耳定律
电流通过一段电路时，电场力对电荷做功，电势能 转化成其他形式的能量。