两直线之间的位置关系

课题：7.3两条直线的位置关系（二）垂直

教学目的：

1．熟练掌握两条直线垂直的条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．

2．通过研究两直线垂直的条件的讨论，培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及学生的数形结合能力．

3．通过对两直线垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，激发学生学习的兴趣．

教学重点：两条直线垂直的条件

教学难点：两直线的垂直问题转化与两直线的斜率的关系问题

教学过程：

一、复习引入：

1、在平面几何中，两条直线垂直垂直的判定定理与性质定理是怎么描述的？

2、问题：在直角坐标系中，怎样根据直线方程的特征判断两条直线垂直？

二、讲解新课：

问题：如果两条直线的斜率分别是

1

k和

2

k，则这两条直线垂直时斜率之间有怎样的关系？

用倾斜角的关系推导：如果

2

1

l

l⊥，这时

2

1

α

α≠，否则两直线平行设2

1

α

α>，甲图的特征是

1

l与

2

l的交点在x轴上方；乙图的特征是

1

l与

2

l的交

点在x轴下方；丙图的特征是

1

l与

2

l的交点在x轴上，无论哪种情况下都有2

1

90α

α+

=．因为

1

l和

2

l的斜率为

1

k和

2

k，即0

1

90

≠

α，所以0

2

≠

α

2

2

1tan

1

)

90

tan(

tan

α

α

α-

=

+

=，即

2

1

1

k

k-

=或1

2

1

-

=

k

k

反过来，如果2

11k k -=或121-=k k ⇒20190αα+=⇒21l l ⊥． 两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直，即

21l l ⊥⇔2

11k k -=⇔121-=k k 一般性结论：21l l ⊥⇔121-=k k 或一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为0

特殊情况下的两直线垂直．

当两条直线中有一条直线没有斜率时：当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直

一般性结论：21l l ⊥⇔121-=k k 或一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为0

三、例题讲解：

例1 判断下列两直线是否垂直，并说明理由：

（1）121:42,:5;4

l y x l y x =+=-+ （2）1:536,:355;l x y l x y +=-=

（3）12:5,:8.l y l x ==

例2 求过点A （3，2）且垂直于直线4580x y +-=的直线方程

例3 已知直线03)1()2(=--++y a x a 与02)32()1(=+++-y a x a 互相垂直，求a 的值．

解 ： ∵21+=a A ，12-=a A ，a B -=11，322+=a B 且两直线互相垂直

∴0)32)(1()1)(2(=+-+-+a a a a ，解之得1±=a

注意：若用斜率来解，则需讨论

四、【练习】 求过点)1,2(A ，且与直线0102=-+y x 垂直的直线l 的方程．

分析：一般地，由于与直线0=++C By Ax 垂直的直线的斜率互为负倒数，故可得其方程为0=+-λAy Bx ，这是常常用到的解题技巧（直线系方程）

解：设与直线0102=-+y x 垂足的直线方程为02=+-λy x

∵直线l 经过点)1,2(A ，∴0122=+⨯-λ，解得0=λ

故所求的方程为02=-y x

4．已知直线1l ：022=--+a ay x ，2l ：01=--+a y ax

(ⅰ)若1l ∥2l ，试求a 的值；(ⅱ) 若1l ⊥2l ，试求a 的值

五、小结 ：1．本节知识重点是掌握两条直线垂直的判断条件，并能熟练地判断；难点是对斜率的讨论，即利用斜率判定两直线垂直时，要注意考虑斜率不存在时是否满足题意，以防漏解

六、课后作业：P77 5（2）（3）（5）

七、板书设计（略） 八、课后记：