北京大学数学物理方法经典课件第二章——复变函数的积分
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复变函数的积分Cauchy积分定理PPT课件
L
L v(x, y)dx u(x, y)dy {v[x(t), y(t)]x(t) v[x(t), y(t)]y(t)}dt
故
L f (z)dz {u[x(t), y(t)] iv[x(t), y(t)][x(t) iy(t)]}dt
f [z(t)]z(t)dt
计算积分
zdz,(1)L
L
C1, (2)L
C2
C3.
分析:
y z0 1 i
（1）C1的方程为z=(1 i)x,x:0 1
1
zdz [(1 i)x (1 i)]dx 1
C1
0
C1
C3
（2）C2的方程为z=x,x:0 1,C3的方程为o z=1+iyC,2y:0z1 1 x
r n1 0
0
当n 1时， dz 0
C (z z0 )n
当n 1时,
C
dz (z z0 )n
2 i
曲线积分与曲面积分
5
结论 :
dz 2 i n 1
C (z z0 )n
0
n 1
曲线积分与曲面积分
6
例2:设C1是从原点到z0 =1+i的直线段,C2是从原 点到z1=1直线段,C3是从z1=1到z0 =1+i的直线段,
1 z
z
曲线积分与曲面积分
26
定义2
若在区域D中(z)=f(z),则称(z)是f(z)在单连通 域D中的一个原函数。
曲线积分与曲面积分
27
定义2
若在区域D中(z)=f(z),则称(z)是f(z)在单连通 域D中的一个原函数。
数学物理方法第二章复变函数的积分
d z b ln b ln a ln i Arg b Arg a az a
b
ln z ln(| z |e )
Arg z
此积分与路径有关系！因z = 0 是1/z的一个奇点。 如被积函数有奇点，则由不定积分给出的函数可能是 多值的。被积函数的奇点，可能是该函数的支点。
x d y y d x d d f ( z ) d z u v d t i u v d t l t d t t d t d t d t A A
t B t B
几个重要性质 1.常数因子可以移到积分号之外
c f ( z ) d z c f ( z ) d z
推广：若 f (z)在单连通域B上解析，在闭单连通 域 B 上连续，则沿 B 上任一分段光滑闭合曲 线 l (也可以是 B 的边界)，有
l
f (z)d z 0
（二）复连通域情形 如果区域内存在： (1)奇点 ；(2)不连续线段；(3)无定义区 为了把这些奇异部分排除在外，需要作适当的 围道 l1、l2、 l3 把它们分隔开来，形成带孔的区 域—复连通区域。
C 2
只要起点和终点固定不变，当积分路径连续变形时 （不跳过“孔”）时，函数的路积分值不变。
§2.3 不定积分（原函数）
根据 Cauchy 定理，若函数 f (z) 在单连通
区域B上解析， 则沿B上任一分段光滑曲线 l
的积分
l
f ( z) dz 只与起点和终点有关，而与
路径无关。因此如果固定起点 z0 而变化终点 z, 这个不定积分便定义了一个单值函数 F(z):
l
f (z)d z 0
George Green
数学物理方法 第二章 复变函数的积分
wuxia@
证明： 1 dz 1 f (α )dz (1)已知f (α ) = f (α ) ⋅ ∫l z − α = 2πi ∫l z − α 2πi 1 f ( z )dz 1 f ( z ) − f (α ) 与f (α ) = 比较，只需证明 ∫l z − α ∫l z − α dz = 0即可. 2πi 2πi f ( z ) − f (α ) (2)因为z = α为 的奇点，因此，以α为圆心，取任意小 z −α f ( z ) − f (α ) ε为半径做小圆Cε , 这样在l及Cε 所围复通区域上 单值解析。 z −α f ( z ) − f (α ) 1 f ( z ) − f (α ) 1 根据柯西定理， ∫ dz = ∫Cε z − α dz l 2πi z −α 2πi 对于Cε 上的z有：z − α = εe iϕ , dz = iεeiϕ dϕ 于是, 有： 1 f ( z ) − f (α ) 1 2π f ( z ) − f (α ) iϕ 1 iεe dϕ = iϕ ∫l z − α dz = 2πi ∫0 εe 2πi 2π
wuxia@
∫
2π
0
[ f ( z ) − f (α )]dϕ
(3)现在需要对上式右端做估计 因为f ( z )连续，一定可以找到∆ > 0,当 | z − α |≤ ∆时， | f ( z ) − f (α ) |≤ ε ′ 因而有： 1 2π 1 2π 1 ∫0 [ f ( z ) − f (α )]dϕ ≤ 2π ∫0 | f ( z ) − f (α ) |⋅ | dϕ |< 2π 2π =ε 1 f ( z ) − f (α ) 1 f ( z) ∴ dz = 0, f (α ) = ∫l z − α ∫l z − α dz 2πi 2πi
证明： 1 dz 1 f (α )dz (1)已知f (α ) = f (α ) ⋅ ∫l z − α = 2πi ∫l z − α 2πi 1 f ( z )dz 1 f ( z ) − f (α ) 与f (α ) = 比较，只需证明 ∫l z − α ∫l z − α dz = 0即可. 2πi 2πi f ( z ) − f (α ) (2)因为z = α为 的奇点，因此，以α为圆心，取任意小 z −α f ( z ) − f (α ) ε为半径做小圆Cε , 这样在l及Cε 所围复通区域上 单值解析。 z −α f ( z ) − f (α ) 1 f ( z ) − f (α ) 1 根据柯西定理， ∫ dz = ∫Cε z − α dz l 2πi z −α 2πi 对于Cε 上的z有：z − α = εe iϕ , dz = iεeiϕ dϕ 于是, 有： 1 f ( z ) − f (α ) 1 2π f ( z ) − f (α ) iϕ 1 iεe dϕ = iϕ ∫l z − α dz = 2πi ∫0 εe 2πi 2π
wuxia@
∫
2π
0
[ f ( z ) − f (α )]dϕ
(3)现在需要对上式右端做估计 因为f ( z )连续，一定可以找到∆ > 0,当 | z − α |≤ ∆时， | f ( z ) − f (α ) |≤ ε ′ 因而有： 1 2π 1 2π 1 ∫0 [ f ( z ) − f (α )]dϕ ≤ 2π ∫0 | f ( z ) − f (α ) |⋅ | dϕ |< 2π 2π =ε 1 f ( z ) − f (α ) 1 f ( z) ∴ dz = 0, f (α ) = ∫l z − α ∫l z − α dz 2πi 2πi
复变函数的积分课件
C
2
例2
zdz
zdz 1
C1
C
C2 zdz 1 i
f (z)不满足C-R方程, 在复平面内处处不解 析.此时积分与路线有关.
例4
dz 2 i f (z)在以z0为中心的圆周内不是处处
解析的，z此z0 时r z z0
1 dz 2 虽i 然0.在除z0外的圆内处处解
析，但此区域已不c z是 z单0 连通域
Sn 有唯一极限, 那么称这极限值为函数
y
D
1 A
2
z1
z2
B
C zn1
k zk zk 1
f (z) 沿曲线 C 的积分, 记为
o
x
n
C
f
( z )dz
lim
n
k 1
f
( k ) zk
3
第三页，共79页。
关于定义的说明:
(1) 如果 C 是闭曲线, 那么沿此闭曲线的积分
记为 f (z)dz.
(0 t 1),
于是 Re(z) t, dz (1 2ti)dt,
Re(z)dz C
1
t(1 2it)dt
0
t2 2
2i 3
t3
1
0
1 2
2 3
i;
15
第十五页，共79页。
(3) 积分路径由两段直线段构成
y
i
1 i
x轴上直线段的参数方程为
z(t) t (0 t 1),
于是 Re(z) t, dz dt,
k 1
k 1
所以 C f (z)dz C f (z)ds ML.
[证毕]
18
第十八页，共79页。
例6 设 C 为从原点到点 3 4i 的直线段,
数学物理方法课件-2 复变积分
其中，M (R) max f (z) , n 1,2, z R
证：
f (n) ( )
n!
2i
(
f ( ) )n1
d
n!
2
M (R) R n 1
2R
n!M (R) Rn
即
f
(n) ( )
n!M R
(
n
R)
，得证.
整函数: 在整个复平面上解析的函数称为整函数.
49
1
0 1
z100 k 1 z 2k
98!!
§2.5 解析函数的高阶导数
1.高阶导数
2. 柯西不等式与刘维尔定理
柯西不等式：设f (z)在区域B上解析，为B内一点，以
为圆心作圆周： R，只要及其所包含区域均含于
B, 则有
f
(n) ( )
n!M (R) Rn
0 2i 2i 0 0
即
C
1 z2
z
dz
0
§2.3 不定积分
证:
B
§2.4 柯西公式
1.有界区域柯西公式
( )
证: 如图，根据复连通区域柯西定理有
1 f (z)
1 f (z)
dz
dz
2i C z
2i Cr z
欲证原式，即证
第二章 复变积分
§2.1 复变积分
性质:
例:
补:简单曲线 光滑曲线
1. 简单曲线
设曲线C的参数方程为 x x(t), y y(t), z z(t) (a t b)
其中，x(t), y(t), z(t)在[a, b]连续，当t1 t2 (a t1, t2 b)时, (x(t1), y(t1), z(t1)) (x(t2 ), y(t2 ), z(t2 ))
数学物理方法第2章复变函数积分-2016
49
50
【例2.3.2】试计算积分，
积分回路L为x2 + y2=2x 解 (1) 积分回路的形状： (x-1)2+y2=1
(2)被积函数的奇点．
方程z4+1=0有四个根：z=exp[i (p+2kp)/4]， k=0,1,2,3，因此，被积函数有四个奇点，但仅有 z1与z4位于积分回路之内
51
2. 复通区域的柯西公式
设f (z)在闭复通区域D中解析，a为D的内点， 则 式中积分沿D的内外边界线的正方向．
32
证明 为了应用单通区域的柯西定理，作割线把外边界线 L0与内边界线连接起来，将闭复通区域变成闭单通区域。
33
推论3 在f(z)的解析区域中，积分回路连 续变形时，其积分值不变．
证明 取变形前后的积分回路 作为复通区域 的内外边界 线，如图2.9所示．由式 (2.2.21a) 可得
移项后，改变l2的积分方向，即有
复变积分性质(5)及式(2.2.34)，可证
43
由于e可任意地小，(q2-q1)为常量，式
(2.2.35)表明
可任意地小根据极限的定义，可得
44
2. 大圆弧引理
若j(z)在无穷远点的无心邻域内连续，在大 圆弧CR(z=Reiq, R→∞,q1<q<q2 )上
这两个引理为计算沿圆弧的积分带来方便． 2.3节将分别用来证明单通区域及无界区域的 柯西公式．
(3)按复通区域的柯西定理及柯西公式计算以小圆周c1 和c2分别包围奇点z1和z4 ，则被积函数在外边界线l 与内边界线c1 ， c2 所围的复通区域解析。按复通区 域的柯西定理，沿l的积分等于沿C1与C2积分之和， 后两个积分可按柯西公式算出，即
数学物理方法1课件——第二章 复变函数的积分
y=x2
1) 沿着c1 的积分
I=−1 − i 32
O
x
2) 沿着c2 的积分
I = −1+1i 33
f (z) = x − y + ix2，即u = x − y, v = x2
∂u = 1, ∂u = −1, ∂v = 2x, ∂v = 0
∂x
∂y
∂x
∂y
一般来讲，复变函数的积分与以下三个要素有关：
v∫ ∫ ∫ ∫ z dz z−1=1 z −1
=
2π 1 + eiθ 0 eiθ
ieiθdθ
=
2π idθ +
0
2π ieiθ dθ
0
∫ = 2π i + 2π eiθ diθ = 2π i 0
v∫ 练习
z−2 =1 ( z
z2 − 2)3
dz
=
2π i ?
or
0?
§ 2.2 柯西定理
单连通区域：是指在该区域D中作任何简单的闭合围道，围道 内的点都属于该区域的点。 复连通区域：是指在该区域D内，只要有一个简单的闭合曲线， 其内有不属于D内的点，则区域D为复连通区域。
∫ ∫ ∫ ∫ 若c = c1 + c2 + ... + cn，则有 c f (z)dz =
f (z)dz +
c1
c2
f (z)dz + ... +
cn
f (z)dz
3）反转积分路径，积分改变符号：
∫ ∫ f (z)dz = − f (z)dz，其中，c−表示与c方向相反
c
c−
4）常系数可提到积分号外面：
k =1
k =1
复变函数的积分课件
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感谢观看
复数的几何解 释
01
02
03
平面坐标系
复数$z=a+bi$在复平面 内对应点$(a,b)$，实部为 $a$，虚部为$b$。
模长
复数$z=a+bi$的模长定 义为$sqrt{a^2+b^2}$， 表示点$(a,b)$到原点的距 离。
幅角
复数$z=a+bi$的幅角定 义为$arctan(frac{b}{a})$， 表示点$(a,b)$与正实轴之 间的夹角。
积分定理的证明
柯西积分公式
通过构造辅助函数，利用全纯函数的 性质和留数定理，证明柯西积分公式。
积分定理的推论
根据柯西积分公式和解析函数的积分 表示，推导出一些积分定理的推论。
解析函数的积分表示
利用柯西积分公式和全纯函数的性质， 证明解析函数的积分表示。
路径的选取原则
可达性原则
确保所选路径能够连接起 点和终点。
简单性原则
尽量选取简单的路径，以 简化计算。
唯一性原则
确保所选路径是唯一的， 避免出现歧义。
特殊路径的选取与应用
直线段路径
在复平面上选取直线段 作为路径，计算复变函
数的积分。
圆弧路径
在复平面上选取圆弧作 为路径，计算复变函数
的积分。
折线段路径
在复平面上选取折线段 作为路径，计算复变函
数的积分。
曲线段路径
柯西积分公式的应用
• 应用：柯西积分公式可以用来求解一些复杂的积分问题，特别 是与解析函数的奇点有关的问题。例如，如果函数$f(z)$在某 个点处不可导，那么这个点就是奇点，此时可以利用柯西积分 公式来求解该点的积分值。此外，柯西积分公式还可以用来求 解一些与解析函数的零点和极点有关的问题。
数学物理方法课件(北师大版)
sinhz 1 (ez ez), 2
cosz 1 (eiz eiz); 2
coshz 1 (ez ez); 2
注意：|sin z|和|cos z|可以大于1. 3. 根式函数：
根式函数 是多值函 数！
z
r cos
θ
2kπ 2
isin θ
2kπ 2
其中z reiθ reiθ2kπ, k 0,1, θ是主幅角。
r1r2exp[i(θ1 θ2)]
两个复数相乘等于它们的模相乘，幅角相加；
4. 除法运算：
z1 z2
x1x2 y1y2 x22 y22
i
x1y2 x22
x2y1 y22
r1 r2
cos(θ1
θ2) isin(θ1
θ2)
r1 r2
exp[i(θ1
θ2)]
两个复数相除等于它们的模相除，幅角相减；
• 平时成绩：30%
1. 课堂考勤15%：缺课一次扣1分。 2. 课后作业15%：缺交一次扣1分。
上篇 复变函数 下篇 数学物理方程
第一章 复变函数及其导数
§1.1 复数及运算 §1.2 复变函数 §1.3 复变函数的导数 §1.4 解析函数 §1.5 多值函数 §1.6 平面标量场
§1.1 复数及运算
lim f(z) A
zz0
2. 注意！由于z是复数，因此可以从复平面的不同方向 趋于z0 ，存在极限的定义表明他们使函数w趋于同一 个极限值A。如果极限值不同，则函数不存在极限！
例1.
求limzz z1
2z z z2 1
2的极限。
例2. 证明极限limz 不存在。 z0 z
• （二）复变函数的连续性
E
w=f(z) B
cosz 1 (eiz eiz); 2
coshz 1 (ez ez); 2
注意：|sin z|和|cos z|可以大于1. 3. 根式函数：
根式函数 是多值函 数！
z
r cos
θ
2kπ 2
isin θ
2kπ 2
其中z reiθ reiθ2kπ, k 0,1, θ是主幅角。
r1r2exp[i(θ1 θ2)]
两个复数相乘等于它们的模相乘，幅角相加；
4. 除法运算：
z1 z2
x1x2 y1y2 x22 y22
i
x1y2 x22
x2y1 y22
r1 r2
cos(θ1
θ2) isin(θ1
θ2)
r1 r2
exp[i(θ1
θ2)]
两个复数相除等于它们的模相除，幅角相减；
• 平时成绩：30%
1. 课堂考勤15%：缺课一次扣1分。 2. 课后作业15%：缺交一次扣1分。
上篇 复变函数 下篇 数学物理方程
第一章 复变函数及其导数
§1.1 复数及运算 §1.2 复变函数 §1.3 复变函数的导数 §1.4 解析函数 §1.5 多值函数 §1.6 平面标量场
§1.1 复数及运算
lim f(z) A
zz0
2. 注意！由于z是复数，因此可以从复平面的不同方向 趋于z0 ，存在极限的定义表明他们使函数w趋于同一 个极限值A。如果极限值不同，则函数不存在极限！
例1.
求limzz z1
2z z z2 1
2的极限。
例2. 证明极限limz 不存在。 z0 z
• （二）复变函数的连续性
E
w=f(z) B
数学物理方法第二章
积分 Cf(z)dz一定.存在
证 设光滑曲 C由线参数方程给出
zz(t)x(t)i y(t), t
正方向为参数增加的方向,
参数 及 对应A 于 及起 终 B , 点 点
数学物理方法第二章
6
并 z ( t) 且 0 , t,
如f(果 z) u (x ,y) iv(x ,y)在 D 内处 , 处 那u 么 (x,y)和 v(x,y)在 D内均为连 , 续函
n
n
f(k)zk [u(k,k)xkv(k,k)yk]
k1
k1
n
i[v(k,k)xku(k,k)yk]
k1
C f(z)dz CudxvdyiCvdxudy
数学物理方法第二章
9
公式 C f(z)dz CudxvdyiCvdxudy
在形式上可以看成是
f(z)uiv与 dzdxidy相乘后求 : 积
f(z)dzf ( z ) d z f ( z ) d z f ( z ) d z .
C
C 1
C 2
C n
在今后讨论的积分中, 总假定被积函数是连续的, 曲线 C 是按段光滑的.
数学物理方法第二章
12
性质：
设L是简单逐段光滑曲线，f,g在L上连续，则
(1)f(z)dz f(z)d;z反转积分路径，积分反号
z2
z2
f(z)dzudxvdyivdxudy
z1
z1
z1
因此可得到复变函数的积分与路径无关的充要条件
数学物理方法第二章
24
单连通区域柯西定理：
如果函数f (z)在闭单连通域B 上解析，则沿B上任一分段光滑 闭曲线l（也可以是B的边界）， 有
f (z)dz 0
证 设光滑曲 C由线参数方程给出
zz(t)x(t)i y(t), t
正方向为参数增加的方向,
参数 及 对应A 于 及起 终 B , 点 点
数学物理方法第二章
6
并 z ( t) 且 0 , t,
如f(果 z) u (x ,y) iv(x ,y)在 D 内处 , 处 那u 么 (x,y)和 v(x,y)在 D内均为连 , 续函
n
n
f(k)zk [u(k,k)xkv(k,k)yk]
k1
k1
n
i[v(k,k)xku(k,k)yk]
k1
C f(z)dz CudxvdyiCvdxudy
数学物理方法第二章
9
公式 C f(z)dz CudxvdyiCvdxudy
在形式上可以看成是
f(z)uiv与 dzdxidy相乘后求 : 积
f(z)dzf ( z ) d z f ( z ) d z f ( z ) d z .
C
C 1
C 2
C n
在今后讨论的积分中, 总假定被积函数是连续的, 曲线 C 是按段光滑的.
数学物理方法第二章
12
性质：
设L是简单逐段光滑曲线，f,g在L上连续，则
(1)f(z)dz f(z)d;z反转积分路径，积分反号
z2
z2
f(z)dzudxvdyivdxudy
z1
z1
z1
因此可得到复变函数的积分与路径无关的充要条件
数学物理方法第二章
24
单连通区域柯西定理：
如果函数f (z)在闭单连通域B 上解析，则沿B上任一分段光滑 闭曲线l（也可以是B的边界）， 有
f (z)dz 0
北京大学数学物理方法(上)课件_3 复变积分
Example 3.2 Solution
计算积分
b a
z n dz , n 为整数
设 f (z ) = z n 的原函数为 Φ, 则 Φ(z ) =
1 n+1 n+1 z
ln z
n = −1 n = −1
n ≥ 0时, 原函数为整个复平面上的解析函数, 因此对于z 平面上任意一条积分路线, 均有
b
3.2
单连通区域的 Cauchy 定理
围道积分
a
如图, 如果积分路线的起点和终点重合, 积分路线为一闭合曲线, 这时复变积分称为围道积分, 记为 f (z )dz
C
显然, 如果 f (z ) 在区域 G 内原函数存在, 则 G 中任何一条闭合围道积分 (∀a ∈ C )
a
f (z )dz =
C a
f (z )dz = Φ(a) − Φ(a) = 0
3
3.1
复变积分
复变积分
如图, 设 C 是分段光滑曲线1 ,
复变积分
复变函数积分定义为两个实变线积分的组合 f (z )dz ≡
C C
(u + iv )(dx + idy ) (udx − v dy ) + i+ udy )
(1)
可 知, 复 变 函 数 积 分 的 实 部 和 虚 部都 是 第 二 型 曲 线 积 分. 根 据 实 变 线 积 分 的 知 识, 可 以 知 道: 如 果 f (z ) 是 C 上的连续函数, 则复变积分一定存在. 复变积分性质可由实变线积分的性质得到: 1. 若 C = C1 + C2 + · · · + Cn , 则 f (z )dz +
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l
f ( z )dz =
l
l1
f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz
l2 ln
l2
l3
l1
B
19
e 例2 计算积分 dz , 为正向圆周 z = 2 和负 z y = 1 所组成 . 向圆周 z l
1
z
解 l1 和 l2 围成一个圆环域,
例3 求
l
1 n 1 dz , l 为以 z0 为中心 , r 为半 ( z z0 )
y
径的正向圆周, n 为整数 . 解
z
积分路径的参数方程为
z0
o
r
l : z = z0 re i
(0 2π),
x
l
i 2π 1 ire dz = 0 n1 i ( n1) d n1 r e ( z z0 ) i 2π in = n e d , r 0
a
a
l1
x
1 l l 1 为边界的复连通域 n1 在以 (z a)
内处处解析 ,
21
由复合闭路定理,
1 1 ( z a)n1 dz = ( z a)n1 dz l l1
小圆的参数方程:
i
y
l
a
l1
z = a e 0 此结论非常重要, 闭曲线x 2 π, 不必 in i 2π ie 1 2π 是圆, a也不必是圆的圆心, ie dz = d d = 0 n ( z a )n1 0 ( e只要a在简单闭曲线内即可. i n 1 ) l1
11
当 n = 0 时,
y
z
l
1 2π dz = i d = 2i; 0 ( z z0 )
o
z0
r
当 n 0 时,
x
l
1 i 2π dz = n (cos n i sin n )d = 0; n1 r 0 ( z z0 )
2i , 1 所以 dz = n1 ( z z0 ) 0, z z0 = r
n = 0, n 0.
重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.
12
2.2 柯西定理 (一)单连通区域柯西定理 讨论复变函数积分值与积分路径的关系 定理1：单连通区域柯西定理
如果函数f (z)在闭单连通域 B上解析，则沿B上任一分段光 滑闭曲线l（也可以是B的边界）， 有
l
B
f (z)dz = 0
Cf ( z )dz = C
l
f ( z )dz , 其中C为复常数
(4)函数的和的积分等于各函数积分之和
f ( z ) g( z ) dz =
l
l
f ( z )dz g ( z )dz;
l
(5)积分不等式
l
f ( z )d z
l
f ( z) d z
特别地，若在l上有 f ( z) M ，l的长记为l，则 性质(5)成为
l
f ( z )dz = f ( z )dz
k =1 lk
n
其中 l 是由 l 1 , l 2 , L, l
n
等光滑曲线依次
7
相互连接所组成的按段 光滑曲线.
(2)若l和l-是同线段但走向相反,则
l
l
f ( z )dz = f ( z )dz;
l
(3)常数因子可以移到积分号外
l l
6
积分的计算法2:参数方程法 设路径l的方程（参数方程）为: z=z(t) (α≤t≤β) 由求导法则， dz=z’(t) dt, 则有
f ( z )dz =
l
f [ z ( t )]z ( t )dt
(三)性质： 设l是简单逐段光滑曲线，f,g在l上连续，则
(1)全路径上的积分等于各段上积分之和
l
13
证明： (z)dz = l u( x, y)dx v( x, y)dy i l v( x, y)dx u( x, y)dy f
l
格林公式
Pdx Qdy = (
l S
Q P )dxdy x y
积分值的实部:由格林公式化成面积分
l
b
f ( k ) zk . a
n k =1
n
1 2
z1 z2
k z k zk 1
zn1
o
x
4
关于定义的说明: (1) 如果 l 是闭曲线, 那么沿此闭曲线的积分 记为 f ( z )dz .
l
注:闭曲线是有向曲线,并定义区域总是在观察者 左侧的曲线为正 (2) 如果 l 是 x 轴上的区间 a x b, 而 f ( z ) = u( x ), 这个积分定义就是一元 实变函数
l1 l2
z0
例1 计算积分
z =1
1 dz . 2z 3
y
解
1 函数 在 z 1内解析 , 2z 3 根据柯西定理, 有 1 z = 1 2 z 3 d z = 0.
·
o r =1
15
x
（二）复连通域柯西定理 下图表示一个由边界L和l1 构成的闭二连通区域B. 设f(z)在B内解析,在闭区域边界上连续.
定积分的定义 .
5
(二).积分的计算法
积分的计算法1:化为二元实函数的第二型曲线积分
注意到：
f z = u x, y iv x, y ; dz = dx idy
代入积分定义有：
f ( z )dz = u iv dx idy
l l
= udx vdy i udx vdy
在l上， f z = z = (3 4i )t ,
dz = ( 3 4i )dt ,
y
4i
l
zdz = (3 4i ) 2 tdt
1 0
= ( 3 4 i ) 2 td t
0
1
3,4
·
( 3 4i )2 = . 2
o
3
x
9
例2 计算 l z dz , 其中 l 为 : 圆周 z = 2. 解 积分路径(圆心在原点圆)的参数方程为
o
y
l
b
a
1 2
z1 z2
k z k zk 1
zn1
x
3
作和式 S n = f ( k ) ( zk zk 1 ) = f ( k ) zk ,
k =1 k =1
n
n
这里 zk = zk zk 1 , 当 n 无限增加 , 如果不论对 l 的分法及 k 的取法如何 , Sn 有唯 一极限 , 那么称这极限值为 函数 f ( z ) 沿曲线 l 的积分 , y 记为
a
2 i , n = 0 1 = 故 n 1 dz a) n 0. 0, l (z
22
（五）柯西定理小结
1. 单通区域上的解析函数沿区域内任一条光滑闭曲 线的积分为零。 2. 闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方 向的积分和为零。
3. 闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时针方向 的积分等于沿所有内境界线逆时针方向的积分的 和。 固定起点和终点，积分路径的连续形变不改变积分
l : z = 2e i
i
(0 2π),
y
f z = z = 2e , dz = 2ie i d
l
z dz = 2 2ie i d
0
2π
( 因为 z = 2 )
= 4i (cos i sin )d
0 2π
f z = z
o
r
= 0.
x
10
z = z e i
l
f ( z )dz Ml
8
例1 计算 zdz , l : 从原点到点 3 4i 的直线段 . l 解:采用参数方程方法 y=3x/4,令x=t. x = 3t , 直线的参数方程: 0 t 1, y = 4t ,
l方程 : z =x +iy=(3 4i )t ,
18
(多连通域柯西定理) 设B是以 C = l l1 ln
边为界的n+1闭连通区域，其中l1，l2，…，ln是简单光滑 闭曲线l内部互相分离的n条简单光滑闭曲线。若f (z)在 B 边界上连续，在B内解析，则有
C
f ( z )dz = 0
其中C取关于区域B的正向，或写为：
B B
l
Sl
R
CR
A
23
A
思考题
复函数 f ( z ) 的积分定义式 f ( z )dz 与一元 函数定积分是否一致?
l
答:
若 l 是实轴上区间 [ , ], 则
f ( z )dz =
l
f ( x )dx ,
如果 f ( x ) 是实值的, 即为一元实函数的定积分.
一般不能把起点为 , 终点为 的函数 f ( z ) 的积分 记作 f ( z )dz , 因为这是一个线积分, 要受积分路
v u l u( x, y)dx v( x, y)dy = Sl ( x y )dxdy
u v , y x
连续，且
l
u( x, y)dx v ( x, y)dy = 0
同理
u v , v y
v u u u ( ) ( ) = 0 u v = x y y y x y