15刚体的基本运动
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绕水平轴O转动，轮缘上缠有 不可伸长的细绳，绳的一端 挂有物体A（如图），已知滑 轮 绕 轴 O 的 转 动 规 律
j =0.15 t3 ，其中t 以s计，j
以rad计，试求t = 2s 时轮缘
上 M点和物体 A的速度和加速
度。
解:首先求得它的角速度和角加速度
0.9t w j 0.45t ， j
v R w r sin w | ω r |
方向顺着角速度的转向。即： v ω r
由此也可以得出 dr ω r dt
加速度表示为: d v d( ω r ) d ω d r a r ω dt dt dt dt r ω v 不难证明 at r an ω v
三、 定轴转动的刚体上点的速度和加速度
除了刚体作平动的情况，刚体上各点的速度、 加速度一般各不相同，因此，不能笼统说：“刚体 的速度或加速度”，应该通过刚体作为整体的运动 来研究刚体上各点的速度或加速度。
已知转动刚体上各点都在垂直于转轴的平面内 作圆周运动，故研究刚体上点的运动用弧坐标比较 方便。
v1 v2
a1 a2
O2 r2
v1 v2
a1 a2
由于 v1 r1w1
于是可得 即
r1 w 2 w1 r2
v2 r2w 2 a1 r11 a2 r2 2
w1 1 r2 w2 2 r1
r1 2 1 r2
通常称主动轮与从动轮角速度或角加速度之比 为传动比，记为i12，由上例可知
解：由于荡木AB在运动中始 终平行于直线O1O2，在荡木 上任意作一直线，也保持与 原先的位置平行，故荡木作 平动。O1A作定轴转动。
π π π s j 0 l sin t , v lj 0 cos t 4 4 4 π2 π at lj 0 sin t , 16 4 π2 2 2 π an lj 0 cos t 16 4
w1 1 r2 i12 w 2 2 r1
即：相互啮合的两齿轮的角速度之比及角加速度之 比与它们节圆半径成反比。
由于齿轮齿数与其节圆半径成正比，故
w1 1 z2 i12 w 2 2 z1
即：相互啮合的两齿轮的角速度之比及角加速度之 比与它们的齿数成反比。
例 5 减速箱由四个齿轮构成，如图所示。齿轮 Ⅱ 和 III安装在同一轴上，与轴一起转动。各齿轮的齿数 分别为z1=36，z2=112 ，z3=32 和 z4=127 ，如主动轮 Ⅰ的转速n1=1450 r/min，试求从动轮Ⅳ的转速n4。
n与w 的关系为: 2πn πn w rad/s 60 30
2）角加速度:
Δ w dw d 2j lim 2 j Δ t 0 Δ t dt dt
( rad/s2 )
如果与w 同号，则为加速转动, 反之则为减速转动
下面讨论两种特殊情况。 (1) 匀速转动 当w = 常量, 为匀速转动时，有
解：用n1， n2 ， n3和n4分 别表示各齿轮的转速，且有 n2 n3 传动比i12，i34为 n1 z2 n3 z4 i12 , i34 n2 z1 n4 z3 n1n3 z2 z4 将两式相乘，得 n2 n4 z1 z3 因为n2= n3，于是从动轮Ⅰ到齿轮Ⅳ的传动比为
因此，刚体的平动可以简化为一个点的运动。
思1 直线运动与刚体的平动有无区别？ 思2 能否根据刚体上的一条直线判定该刚体是否作平 动？为什么？
二、 刚体的定轴转动
1、 基本概念
刚体在运动时，其 上某一直线上各点保持 不动，刚体的这种运动 称为定轴转动，简称转 动。其固定不动的直线 称为刚体的转轴。 刚体不在转轴上的各点作圆周运动。
作
业
P140：2、4、5、9Βιβλιοθήκη Baidu
谢
谢！
由于刚体上各点间的距离保持不变，因此各点 的运动不可能各不相关，在它们的轨迹、速度和加
速度之间必然存在一定的联系。研究刚体的运动，
就是要确定刚体作为整体的运动与其上各点的运动 之间的关系，这样才可能对机构的运动传递加以研 究。 刚体的运动可以有多种形式，但基本的形式有两 种，即本章将研究的平动和定轴转动。这是工程中常 见的运动，也是研究刚体复杂运动的基础。
2、刚体的转动方程 如图所示转角j，是固定面 A与固连在转动刚体上的动平 面B的夹角。j 确定了刚体的 位置，它的符号规定如下：从 z 轴正向看,逆时针为正，顺时 针为负。刚体转角j 与 t 的函 数关系： j = f ( t) 单位为弧度(rad) 上式称为刚体的转动方程。
位置角的变化称为角位移；
设研究转动刚体上一点M的运动。在Dt 时间内， M 点走过的弧长为
Ds = R Dj Δs 速度 v lim Δt 0 Δt RΔj dj lim R Δt 0 Δt dt Rw
切向加速度为 dv d dw at ( Rw ) R dt dt dt R , 法向加速度为
2
j =0.15 t3
代入 t =2 s， 得
w 1.8 rad / s ， 1.8 rad / s 2
r = 0.2 m 轮缘上 M 点在 t =2 s 时的速度为 v M rw 0.2m 1.8rad/s 0.36 m / s
r = 0.2 m w 1.8 rad / s ， 1.8 rad / s 2 加速度的两个分量:
j = j 0+ w t
式中j0 是 t = 0 时刚体的转角。
=0
(2) 匀变速转动 当 =常量, 为匀变速转动时。有
w w0 t 1 2 j j 0 w 0 t t 2 2 2 w w 0 2 (j j 0 )
式中j0和w0是t = 0时刚体的转角和角速度。
一、 刚体的平动
1、 基本概念 刚体在运动中,其上任意一条直线始终与它的 初始位置平行，这种运动称为平行移动，也简称 为平动。
注：平动可分为：直线平动和曲线平动；
2、平动的特点
如图所示，由刚体移 动的定义，rAB 常矢量 v B v A aB a A
由于点A和点B是刚体上的任意两点，因此可以 得出如下结论： 刚体作平动时，其上各点的轨迹相同，同一 瞬时各点有相同的速度和相同的加速度；
at r 0.2m 1.8rad/s 0 .36 m / s
2
2
an rw 2 0.2m (1.8 rad/s) 2 0.648 m / s 2
全加速度 aM 的大小和方向:
a M at an
2
2
0.362 0.6482 m/s 2 0.741 m / s 2
(2) 在同一瞬时，转动刚体内所有各点的全加速 度的方向与半径间的夹角 都相同。
速度分布图
加速度分布图
思3 试画出各图中转动刚体上A点和B点的速度和加
速度的方向。
思4 如果刚体上每一点的运动轨迹都是圆，则刚体 一定作定轴转动，对吗？
四、 以矢量表示角速度和角加速度
角速度和角加速度可以用矢量表示。角速度矢 w 的大小 dj | w || | dt 如取转轴为 z 轴，它的正方向的 单位矢量用 k 表示，则角速度矢 可表示为 ωw k dj w 其中 dt
3、定轴转动刚体的角速度和角加速度
Δj dj 1）角速度： w lim j Δt 0 Δt dt
角速度为代数量，其正负号的规 定为：从 z 轴的正端向负端看， 刚体逆时针转动为正，顺时针转 动为负。单位用rad/s(弧度/秒）。 工程中常用单位还有转速 n ，单 位为r /min（转/分)。
于是得 a at an
例1 荡木用两条等长的钢索平行吊起，如图所示。 钢索长为l，单位为m。当荡木在图示平面内摆动 π j j 0 sin t t 为时间， 时, 钢索的摆动规律为 ，其中 4 单位为s；转角j0的单位为rad，试求当t=0和 t=2s 时，荡木的中点M的轨迹、速度和加速度。
d ω dw k k dt dt 角速度矢和角加速度矢均为沿转轴自由滑动的矢量。 可用右手螺旋规则确定其指向。
转动刚体上点的速度是由刚体的角速度及点相对于 转轴的位置来确定的。如在转轴上任取一点 O 为原点， 点M 的矢径以 表示，则点 M 的速度可以表示为 r 大小
解：系统为匀变速转动，根据 v2 – v02 = 2as，得M点的速度
2 v 2as v0
2 4.9m/s 2 2m (4m/s) 2 5.96 m / s dv M点的切向加速度: at a 4.9m/s 2 dt M点的法向加速度:
2 2as v0 2 4.9m/s 2 2m (4m/s) 2 an R 0.2m
v2
177.6m/s 2
2 M点的全加速度: a at2 an 178 m / s 2
1 例4 齿轮传动是工程上常见 w1 的一种传动方式，可用来改 O1 变转速和转向。如图，已知: r1 r1 、 r2 、w1 、 1，求w 2、 2 。 解：因啮合点无相对滑动，所以
w2 2
由上式可求得两瞬时A点(亦即点M)的 速度和加速度，计算结果列表如下： t (s) j (rad) 0 2 0 v (m/s)
π lj 0（水平向右） 4
at (m/s2) 0
π2 j0 l 16
an (m/s2)
π2 2 j 0 l (铅直向上） 16
j0
0
0
例2 滑轮的半径r =0.2m，可
1.8 tan 2 2 0.556, 29 w 1.8
因为物体A与轮缘上M点的 运动不同，前者作直线移动， 而后者随滑轮作圆周运动，因 此，两者的速度和加速度都不 完全相同。由于细绳不能伸长， 物体A与M点的速度大小相等， A的加速度与M点切向加速度的 大小也相等，于是有
n1 z2 z4 112 128 i14 12.4 n4 z1 z3 36 32
由图可见，从动轮Ⅳ和主动轮Ⅰ的转向相同。 最后，求得从动轮Ⅳ的转速为
n1 n4 i14 1450 r / min 117 r / min 12.4
例6 一定轴转动的刚体,在初瞬时的角速度 w0＝20rad/s，刚体上一点的运动规律为s=t+t3， 单位为米、秒。求t=1s时刚体的w和，以及点与 转轴的距离。
( Rw ) an Rw 2 R v
2 2
全加速度大小为 a an 2 at 2 R 2 w 4 方向为
| at | | |R | | tan 2 2 an w R w
结论: (1) 在同一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加 速度的大小，分别与这些点到转轴的距离成正比。
v A v M 0.36 m / s a A at 0.36 m / s 2 它们的方向铅直向下。
例3 半径R=0.2m的滑轮可绕水平 轴O 转动，轮缘上绕有不能伸长 的细绳，绳的一端与滑轮固连， 另一端则系有物块 A ，设物块 A 从位置B出发，以匀加速度 a=4.9m/s2 向 下 降 落 ， 初 速 v0=4m/s，求当物块落下距离 s=2m时轮缘上一点 M 的速度和 加速度。
j =0.15 t3 ，其中t 以s计，j
以rad计，试求t = 2s 时轮缘
上 M点和物体 A的速度和加速
度。
解:首先求得它的角速度和角加速度
0.9t w j 0.45t ， j
v R w r sin w | ω r |
方向顺着角速度的转向。即： v ω r
由此也可以得出 dr ω r dt
加速度表示为: d v d( ω r ) d ω d r a r ω dt dt dt dt r ω v 不难证明 at r an ω v
三、 定轴转动的刚体上点的速度和加速度
除了刚体作平动的情况，刚体上各点的速度、 加速度一般各不相同，因此，不能笼统说：“刚体 的速度或加速度”，应该通过刚体作为整体的运动 来研究刚体上各点的速度或加速度。
已知转动刚体上各点都在垂直于转轴的平面内 作圆周运动，故研究刚体上点的运动用弧坐标比较 方便。
v1 v2
a1 a2
O2 r2
v1 v2
a1 a2
由于 v1 r1w1
于是可得 即
r1 w 2 w1 r2
v2 r2w 2 a1 r11 a2 r2 2
w1 1 r2 w2 2 r1
r1 2 1 r2
通常称主动轮与从动轮角速度或角加速度之比 为传动比，记为i12，由上例可知
解：由于荡木AB在运动中始 终平行于直线O1O2，在荡木 上任意作一直线，也保持与 原先的位置平行，故荡木作 平动。O1A作定轴转动。
π π π s j 0 l sin t , v lj 0 cos t 4 4 4 π2 π at lj 0 sin t , 16 4 π2 2 2 π an lj 0 cos t 16 4
w1 1 r2 i12 w 2 2 r1
即：相互啮合的两齿轮的角速度之比及角加速度之 比与它们节圆半径成反比。
由于齿轮齿数与其节圆半径成正比，故
w1 1 z2 i12 w 2 2 z1
即：相互啮合的两齿轮的角速度之比及角加速度之 比与它们的齿数成反比。
例 5 减速箱由四个齿轮构成，如图所示。齿轮 Ⅱ 和 III安装在同一轴上，与轴一起转动。各齿轮的齿数 分别为z1=36，z2=112 ，z3=32 和 z4=127 ，如主动轮 Ⅰ的转速n1=1450 r/min，试求从动轮Ⅳ的转速n4。
n与w 的关系为: 2πn πn w rad/s 60 30
2）角加速度:
Δ w dw d 2j lim 2 j Δ t 0 Δ t dt dt
( rad/s2 )
如果与w 同号，则为加速转动, 反之则为减速转动
下面讨论两种特殊情况。 (1) 匀速转动 当w = 常量, 为匀速转动时，有
解：用n1， n2 ， n3和n4分 别表示各齿轮的转速，且有 n2 n3 传动比i12，i34为 n1 z2 n3 z4 i12 , i34 n2 z1 n4 z3 n1n3 z2 z4 将两式相乘，得 n2 n4 z1 z3 因为n2= n3，于是从动轮Ⅰ到齿轮Ⅳ的传动比为
因此，刚体的平动可以简化为一个点的运动。
思1 直线运动与刚体的平动有无区别？ 思2 能否根据刚体上的一条直线判定该刚体是否作平 动？为什么？
二、 刚体的定轴转动
1、 基本概念
刚体在运动时，其 上某一直线上各点保持 不动，刚体的这种运动 称为定轴转动，简称转 动。其固定不动的直线 称为刚体的转轴。 刚体不在转轴上的各点作圆周运动。
作
业
P140：2、4、5、9Βιβλιοθήκη Baidu
谢
谢！
由于刚体上各点间的距离保持不变，因此各点 的运动不可能各不相关，在它们的轨迹、速度和加
速度之间必然存在一定的联系。研究刚体的运动，
就是要确定刚体作为整体的运动与其上各点的运动 之间的关系，这样才可能对机构的运动传递加以研 究。 刚体的运动可以有多种形式，但基本的形式有两 种，即本章将研究的平动和定轴转动。这是工程中常 见的运动，也是研究刚体复杂运动的基础。
2、刚体的转动方程 如图所示转角j，是固定面 A与固连在转动刚体上的动平 面B的夹角。j 确定了刚体的 位置，它的符号规定如下：从 z 轴正向看,逆时针为正，顺时 针为负。刚体转角j 与 t 的函 数关系： j = f ( t) 单位为弧度(rad) 上式称为刚体的转动方程。
位置角的变化称为角位移；
设研究转动刚体上一点M的运动。在Dt 时间内， M 点走过的弧长为
Ds = R Dj Δs 速度 v lim Δt 0 Δt RΔj dj lim R Δt 0 Δt dt Rw
切向加速度为 dv d dw at ( Rw ) R dt dt dt R , 法向加速度为
2
j =0.15 t3
代入 t =2 s， 得
w 1.8 rad / s ， 1.8 rad / s 2
r = 0.2 m 轮缘上 M 点在 t =2 s 时的速度为 v M rw 0.2m 1.8rad/s 0.36 m / s
r = 0.2 m w 1.8 rad / s ， 1.8 rad / s 2 加速度的两个分量:
j = j 0+ w t
式中j0 是 t = 0 时刚体的转角。
=0
(2) 匀变速转动 当 =常量, 为匀变速转动时。有
w w0 t 1 2 j j 0 w 0 t t 2 2 2 w w 0 2 (j j 0 )
式中j0和w0是t = 0时刚体的转角和角速度。
一、 刚体的平动
1、 基本概念 刚体在运动中,其上任意一条直线始终与它的 初始位置平行，这种运动称为平行移动，也简称 为平动。
注：平动可分为：直线平动和曲线平动；
2、平动的特点
如图所示，由刚体移 动的定义，rAB 常矢量 v B v A aB a A
由于点A和点B是刚体上的任意两点，因此可以 得出如下结论： 刚体作平动时，其上各点的轨迹相同，同一 瞬时各点有相同的速度和相同的加速度；
at r 0.2m 1.8rad/s 0 .36 m / s
2
2
an rw 2 0.2m (1.8 rad/s) 2 0.648 m / s 2
全加速度 aM 的大小和方向:
a M at an
2
2
0.362 0.6482 m/s 2 0.741 m / s 2
(2) 在同一瞬时，转动刚体内所有各点的全加速 度的方向与半径间的夹角 都相同。
速度分布图
加速度分布图
思3 试画出各图中转动刚体上A点和B点的速度和加
速度的方向。
思4 如果刚体上每一点的运动轨迹都是圆，则刚体 一定作定轴转动，对吗？
四、 以矢量表示角速度和角加速度
角速度和角加速度可以用矢量表示。角速度矢 w 的大小 dj | w || | dt 如取转轴为 z 轴，它的正方向的 单位矢量用 k 表示，则角速度矢 可表示为 ωw k dj w 其中 dt
3、定轴转动刚体的角速度和角加速度
Δj dj 1）角速度： w lim j Δt 0 Δt dt
角速度为代数量，其正负号的规 定为：从 z 轴的正端向负端看， 刚体逆时针转动为正，顺时针转 动为负。单位用rad/s(弧度/秒）。 工程中常用单位还有转速 n ，单 位为r /min（转/分)。
于是得 a at an
例1 荡木用两条等长的钢索平行吊起，如图所示。 钢索长为l，单位为m。当荡木在图示平面内摆动 π j j 0 sin t t 为时间， 时, 钢索的摆动规律为 ，其中 4 单位为s；转角j0的单位为rad，试求当t=0和 t=2s 时，荡木的中点M的轨迹、速度和加速度。
d ω dw k k dt dt 角速度矢和角加速度矢均为沿转轴自由滑动的矢量。 可用右手螺旋规则确定其指向。
转动刚体上点的速度是由刚体的角速度及点相对于 转轴的位置来确定的。如在转轴上任取一点 O 为原点， 点M 的矢径以 表示，则点 M 的速度可以表示为 r 大小
解：系统为匀变速转动，根据 v2 – v02 = 2as，得M点的速度
2 v 2as v0
2 4.9m/s 2 2m (4m/s) 2 5.96 m / s dv M点的切向加速度: at a 4.9m/s 2 dt M点的法向加速度:
2 2as v0 2 4.9m/s 2 2m (4m/s) 2 an R 0.2m
v2
177.6m/s 2
2 M点的全加速度: a at2 an 178 m / s 2
1 例4 齿轮传动是工程上常见 w1 的一种传动方式，可用来改 O1 变转速和转向。如图，已知: r1 r1 、 r2 、w1 、 1，求w 2、 2 。 解：因啮合点无相对滑动，所以
w2 2
由上式可求得两瞬时A点(亦即点M)的 速度和加速度，计算结果列表如下： t (s) j (rad) 0 2 0 v (m/s)
π lj 0（水平向右） 4
at (m/s2) 0
π2 j0 l 16
an (m/s2)
π2 2 j 0 l (铅直向上） 16
j0
0
0
例2 滑轮的半径r =0.2m，可
1.8 tan 2 2 0.556, 29 w 1.8
因为物体A与轮缘上M点的 运动不同，前者作直线移动， 而后者随滑轮作圆周运动，因 此，两者的速度和加速度都不 完全相同。由于细绳不能伸长， 物体A与M点的速度大小相等， A的加速度与M点切向加速度的 大小也相等，于是有
n1 z2 z4 112 128 i14 12.4 n4 z1 z3 36 32
由图可见，从动轮Ⅳ和主动轮Ⅰ的转向相同。 最后，求得从动轮Ⅳ的转速为
n1 n4 i14 1450 r / min 117 r / min 12.4
例6 一定轴转动的刚体,在初瞬时的角速度 w0＝20rad/s，刚体上一点的运动规律为s=t+t3， 单位为米、秒。求t=1s时刚体的w和，以及点与 转轴的距离。
( Rw ) an Rw 2 R v
2 2
全加速度大小为 a an 2 at 2 R 2 w 4 方向为
| at | | |R | | tan 2 2 an w R w
结论: (1) 在同一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加 速度的大小，分别与这些点到转轴的距离成正比。
v A v M 0.36 m / s a A at 0.36 m / s 2 它们的方向铅直向下。
例3 半径R=0.2m的滑轮可绕水平 轴O 转动，轮缘上绕有不能伸长 的细绳，绳的一端与滑轮固连， 另一端则系有物块 A ，设物块 A 从位置B出发，以匀加速度 a=4.9m/s2 向 下 降 落 ， 初 速 v0=4m/s，求当物块落下距离 s=2m时轮缘上一点 M 的速度和 加速度。