抽样的基本概念

一个特殊平均数，设总体单位总数目是 N，总体中有该特征的单位数是 N1 。设 X 是 0、1 变量，即：总体单位有该特征，则 X 取 1，否则取 0，则有：
p N1 X N
(4.8)
现从总体中抽出 n 个单位，如果其中有相应特征的单位数是 n1 ，则样本成数是：
P n1 n
P 也是一个随机变量，利用样本平均数分布性质的结论，有：
第4章 抽样估计
第一节 抽样的基本概念 第二节 抽样分布与中心极限定理 第三节 总体参数估计 第四节 抽样方案的设计与实施*
统计推断的过程
总体
样
样本统计量，
本
如样本均值、
样本比例、样
本标准差等
检验一批灯泡的使用寿命 节目的收视率 水库中的鱼苗数
• 抽样估计包括抽样调查和抽样推断两个部分 。
• 抽样调查是一种非全面的调查方法，是从总 体中按照随机原则抽取样本单位进行调查
16个样本的均值
第一个
第二个观察值
观察值 1
2
3
4
1 1.0 1.5 2.0 2.5
2 1.5 2.0 2.5 3.0
3 2.0 2.5 3.0 3.5
4 2.5 3.0 3.5 4.0
.3 P ( x ) .2 .1 0
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 x
样本均值的抽样分布
样本均值的分布与总体分布的比较 （图示）
和方差，则对于充分大的抽样单位数n，可以 几乎趋近于1的概率，来期望抽样平均数与总 体平均数的绝对离差为任意小。 大数定律对于抽样推断的意义：
从理论上解释了样本与总体之间的内在 联系，即随着抽样单位数n的增加，抽样平均 数有接近于总体平均数的趋势。
三、中心极限定理及其重要意义
• 大数定律论证了抽样平均数趋近于总体平 均数的趋势，这为抽样推断提供了重要依 据。但是：
有均等的被抽中机会
什么是抽样推断？
例1: 一汽车轮胎制造商生产一种被认为寿命更长的新型轮胎。
120个 样本
测试
平均里程： 36,500公里
推断
新轮胎 平均寿命
例2：某党派想支持某一候选人参选美国某州议员，为了决定 是否支持该候选人，该党派领导需要估计支持该候选人的民众 占全部登记投票人总数的比例。由于时间及财力的限制：
设总体中 N 个总体单位某项标志的标志值分别
为 X1, X 2 , X N ，其中具有某种属性的有 N1个 单位，不具有某种属性的有 N0个单位，则
⒈ 总体平均数（又叫总体均值）： ⒉ 总体标准差： ⒊ 总体方差：
⒋ 总体比例： ⒌ 是非标志总体的标准差：
P P1 P 当P 0.5时， P有最大值
3.小于总体标准差 4.与样本容量的关系
抽样分布
更大样本 容量的抽 样分布
某个样本 容量的抽 样分布
x
n
X
P119例4-5
某班组有5个工人，他们的单位工时工资分别是4、6、8、10 、12元，总体服从于正态分布。现用重复抽样方式从5个工 人中抽出2人，计算样本的平均工时工资的抽样平均误差。
解：总体分布的平均数与方差分别是：
• 抽样推断是利用样本信息推断总体的数量特 征。
• 抽样估计不论在统计调查还是在统计分析中 都有广泛的应用。
抽样调查的概念
• 广义：凡是抽取一部分单位进行观察， 并根据观察结果来推断全体的都是抽样 调查，其中又可分为非随机抽样和随机 抽样两种。
• 狭义：根据大数定律的要求，在抽取调 查单位时应保证总体中的各个单位都有 同等的中选可能性。
x 4 6 8 10 12 8(元)
N
5
2
x 2 (4 8)2 (6 8)2 (8 8)2 (10 8)2 (12 8)2
N
5
8元
抽样平均误差为：
X
n
8 2元
2
样本成数分布
总体成数 P 是指具有某种特征的单位在总体中的比重。在前面我们已经知道，成数是
练习：计算样本比例的抽样平均误差
1、某县人口10万人，用简单随机不重复抽样 方法抽取1/10的人口进行调查，得知男性 人口比重为51%，求男性人口比重的抽样平 均误差。
2、对某乡进行简单随机重复抽样调查，抽出 100个农户进行调查，得知年收入在1800元 以上的占95%，求农户年收入在1800元以上 比重的抽样平均误差。
不可能进行全面调查时
对于具有破坏性的产品质量检测只 能进行抽样调查
对某些现象进行全面调查，在经济 上不合算，在资料上未必能保证，也只 能采用抽样调查。
对于时效性要求较高的某些调查
对全面调查资料进行补充修正时
抽样估计的一般步骤
设 计 抽 样 方 案
抽 取 样 本 单 位
收 集 样 本 数 据
E(P) p
(4.9) （4.10）
(P)
p(1 p)
p(1 p)
n
n
（4.11）
P120例4-6
已知一批产品的合格率为90%，现采用重复抽样方式从 中取出400件，求样本合格率的抽样平均误差。
解： E(P) p 90%
(P) p(1 p) 0.9 0.1 1.5%
n
400
由于样本容量大，样本成数的平均误差就大大减小。
• 一般所讲的抽样调查，大多数是指这种 随机调查，即狭义的抽样调查。
按照随机抽样原则 抽取总体中的部分
单位进行调查，用部分单位的指标数值 作为代表，对总体的指标数值作出具有 一定可靠程度的估计与推断，从而认识 总体的一种统计方法。
指样本单位的抽取不受主 观因素及其他系统性因素 的影响，每个总体单位都
1.25
现从总体中抽取n＝2的简单随机样本，在重复 抽样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果 如下表：
所有可能的n = 2 的样本（共16个）
第一个
第二个观察值
观察值
1
2
3
4
1
1,1
1,2
1,3
1,4
2
2,1
2,2
2,3
2,4
3
3,1
3,2
3,3
3,4
4
4,1
4,2
4,3
4,4
计算出各样本的均值，如下表。并给出样本 均值的抽样分布
全及总体中所包括的单位数一般用N 表示。
1、有限总体
2、无限总体
样本总体
按随机原则从全及总体中抽取一 部分单位组成的集合体，又叫样 本总体。
样本总体中所包括的单位数叫样本容量， 一般用n 表示 1、大样本（n≥30） 2、小样本(n<30）
全及指标
指被估计的总体指标，又被称为
总体参数。（确定的、未知的）
抽样方法 不重复抽样
又被称作不重置抽样、不放 回抽样
抽出 个体
登记 特征
继续 抽取
特点
同一总体中每个单位被抽中的机会并 不均等，在连续抽取时，每次抽取都 不是独立进行
是最为常用的抽样方法，用于无限总 体和许多有限总体样本单位的抽样。
第4章 抽样估计
第一节 抽样的基本概念 第二节 抽样分布与中心极限定理 第三节 总体参数估计 第四节 抽样方案的设计与实施*
⒍ 是非标志总体的方差：
P2 P1 P
指根据样本单位的标志值计算的用
样本指标 以估计和推断相应总体指标的综合
指标，又被称为估计量或统计量。
设样本中 n 个样本单位某项标志的标志值
分别为 x1, x2 , xn ，其中具有和不具有某
种属性的样本单位数目分别为 n1和 n0 个，则
n
⒈ 样本平均数（又叫样本均值）： xi x i 1 n
⒉ 样本单位标志值的标准差：s
n
1 1
xx
2
⒊
样本单位标志值的方差：
s2
n
1 1
2
xx
当样本容量很大时，1/n,与1/(n-1)相差不大， 样本方差的公式，可以直接除以n,此时与总 体的方差计算公式一致。
sx
1 n 1
x x 2 n很大 s 1 n
2
xx
⒋ 样本成数：p n1 , q n0 1 p
样本足够大（ n≥30 ），样本平均数的分布也趋
近于正态分布。 第三，样本平均数分布的平均数，等于总体的平 均数。
中心极限定理的重要意义
• 第四，样本分布的标准差为： • 这是在有限总体场合下使用的公式，其中：
N n
N 1 ，称为修正因子。 • 当N趋向于无穷大时，其值趋近于1，在允许重
复抽样的条件下，总体在任何时候都成为无限总 体，这时：
计 算 样 本 统 计 量
推 断 总 体 参 数
第六章 抽样与参数估计
第一节 第二节 第三节 第四节
抽样调查的含义 抽样调查的基本概念 抽样调查的数理基础 抽样推断的方法
第二节 抽样调查的基本概念
★• 一、全及总体和样本总体 • 二、全及指标和样本指标 • 三、抽样方法和样本可能数目
全及总体
研究对象的全体，即第一章中学 过的总体。
练习
1、对某乡进行简单重复抽样调查，抽出100个 农户，户均年收入2000元，年收入标准差 100元。
（1）求抽样平均误差。 （2）若抽取的是200户，则抽样平均误差是多
少? （3）若要使抽样平均误差降低为原来（1）的
一半，则应抽多少户。
2、对某县人口用不重复抽样方法按1/10比例抽 出1万人进行调查，得知样本平均年龄40岁 ，年龄标准差20岁，求抽样平均误差。
一、抽样分布举例：
【例】设一个总体，含有4个元素（个体），即总体单
位数N=4。4 个个体分别为X1=1、X2=2、X3=3 、X4=4
。总体的均值、方差及分布如下:
总体分布
.3
总体平均数：X μ 1 2 3 4 2.5 4
.2
.1 0
1
234
总体标准差：σx2
(X X )2 N
(1 2.5)2 (2 2.5)2 (3 2.5)2 (4 2.5)2 4
4.1
2.5 4.1
34.7 38.8
54
5
4.1
4.1
43.0
样本二：50.26 55
10
8ຫໍສະໝຸດ Baidu3
56
1
.8
8.3 .8
51.2 52.1
样本三：53.19 57
2
1.7
58
2
1.7
1.7 1.7
53.7 55.4
59
1
.8
.8
56.2
60
19
15.7
15.7
71.9
61
62
63
真 65
66
…13
12
n
n
⒌ 样本单位是非标志的标准差：sp =
p (1 - p )
⒍ 样本单位是非标志的方差：s p 2 = p (1 - p )
Valid
体重
Valid
Cumulative
Frequency
Percent
Percent
Percent
25
1
.8
.8
.8
40 从全部3学生中2.5随机抽2.5取
3.3
41
1
.8
.8
4.1
20人组成样本并计算平 43
3
2.5
2.5
45
5
4.1
4.1
6.6 10.7
46 47
均体重： 1
.8
2
1.7
.8 1.7
11.6 13.2
48
1
.8
.8
14.0
49
3
2.5
2.5
16.5
50
16
13.2
13.2
29.8
51
3
2.5
2.5
32.2
样本一：52.35 52
3
2.5
53
5
中心极限定理
（图示）
中心极限定理：设从均值为，方差为 2的一个任意总
体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽 样分布近似服从正态分布。
一个任意分 布的总体
当样本容量足够 大时(n >30) ， 样本均值的抽样 分布逐渐趋于正 态分布
X
抽样平均误差
1.重复抽样条件下，记算公式为： 2.不重复抽样条件下，计算公式为:
总体分布
.3
.2
.1 0
1
23
总体平均数：μ 2.5 总体标准差：σ 1.25
.3 P ( x )
抽样分布
.2
.1
0
4
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 x
样本平均数的平均数：E(x) 2.5
样本平均数的标准差： 1.25
x
2
n
不重复抽样分布，自学
二、大数定律
大数定律表明： 如果随机变量总体存在着有限的平均数
10.7 9.9
2
1.7
值:51.18 4
3.3
1
.8
10.7 9.9 1.7 3.3 .8
82.6 92.6 94.2 97.5 98.3
67
2
1.7
1.7
100.0
Total
121
100.0
100.0
抽样方法
重复抽样 又被称作重置抽样、有放回抽样
抽出 个体
登记 特征
放回 总体
继续 抽取
特点 同一总体单位有可能被重复抽中， 而且每次抽取都是独立进行
400个 样本
支持人数： 160
推断
支持该候选人 的选民占全部
选民的比例
抽样调查的基本特点：
非全面调查
目的是推断总体的数量特征，抽样 推断结果具有一定的可靠程度
抽样调查中的抽样误差是不可避免 的，但在事先是可以计算并加以控制 的
节省调查费 调查速度快 调查结果准确可靠 应用范围广
抽样调查的作用，书P112-113
抽样平均数和总体平均数的离差究竟有多大？ 离差不超过一定范围的概率究竟有多少? 离差的分布状况怎样？
• 大数定律和正态分布没有给出任何这方面 的信息。
中心极限定理的重要意义
中心极限定理研究的是变量和的分布和 变量平均数的分布。
它论证了以下几点：
第一，如果总体很大，而且服从正态分布，则样 本平均数的分布也服从正态分布； 第二，如果总体很大，但不服从正态分布，只要