无穷小阶的比较
二、无穷小量阶的比较解读
(2) 可以类似地证明. 定理 3.12 告诉我们，在求极限时，乘积中的因子 可用等价无穷小量代替，这是一种很有用的方法.
arctan x . 例1 计算 lim x 0 sin 2 x
解 因为 arctan x ~ x , sin 2 x ~ 2 x ( x 0), 所以
( x x0 ) 表示 g( x ) 的所有高阶无穷小量的集合．
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“” . 也就是说，这里的 “=” 类似于 f ( x) 4. 若 lim 1, 则称 f ( x ) 与 g( x ) 为 x x0 时的 x x0 g ( x )
等价无穷小量，记作
f ( x ) ~ g( x ) ( x x0 ).
f x 1. 若 lim 0， 则称 x x0 时 f x 是关于 g x x x0 g x
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设当 x x0 时，f x , g x 均是无穷小量 .
的高阶无穷小量，记作
f ( x ) o( g( x )) ( x x0 ) .
2 x x 1 2 lim . 3 x 0 2 x
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三、无穷大量
定义2
U ( x0 ) 有定义, 若对于任给 设函数 f 在
x U ( x ; ) U ( x0 ) G > 0, 存在 > 0，使得当 0
时, 有
| f ( x) | G, 则称函数 f (x) 当 x x0 时为无穷大量, 记作
时，这两个无穷小量一定是同阶的. 例如: 当 x 0 时, 1 cos x 与 x 2是同阶无穷小量;
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1 当 x 0 时，x 与 x 2 sin x 是同阶无穷小量. f ( x) L, 3. 若两个无穷小量在 U ( x0 ) 内满足: g( x )
无穷小的比较
【例42】
二、 等价无穷小
【例43】
二、 等价无穷小
二、 等价无穷小
【例44】
试证明：如果α~β，则α－β是比α(或β)高阶的无穷小.反之， 如果α－β是比α(或β)高阶的无穷小，则α~β .
谢谢聆听
x~x,1 cos x~12x2,ln(1+x)~x,ex－1~x,ax －1~xln a,n1+x－1~1nx.
二、 等价无穷小
注
当x→0时，x为无穷小.在常用等价无穷小中，用任 意一个无穷小f(x)代替x后，上述等价关系依然成立.
例如，x→0时，有sinx3~x3, e－x2－1~－x2,ln (1+4x)~4x，等等.
一、 无穷小阶的定义
定义14
设α，β是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且α≠0. (1) limβα=0，则称β是比α高阶的无穷小，记为β=o(α). (2) limβα=∞，则称β是比α低阶的无穷小. (3) limβα=c(c≠0)，则称β与α是同阶无穷小 limβα=1，则称β与α是等价无穷小，记为α~β. (4) limβαk=c(c≠0,k>0)，则称β是α的k阶无穷小.
二、 等价无穷小
定理22
设α，α′，β，β′是自变量在同一变化过程中的无穷小，且 α~α′，β~β′，limβ′α′存在，则
定理22表明，在求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都 可以用等价无穷小代换.因此，若无穷小的代换运用得当，则可简 化极限的计算.
二、 等价无穷小
定理23
α与β β=α+o(α).
一、 无穷小阶的定义
例如，就前述三个无穷小x，x2， sin x(x→0)而言，x2是比x高阶的无穷 小，x是比x2低阶的无穷小，而sinx与x 是等价无穷小.
考研数学-专题4 无穷小量阶的比较
(k
f −
(x) 1) x k
−2
=
2
lim
x→0
(k
f ′(x) −1)(k − 2)xk
−3
= 2 f ′(0) ≠ 0 (k −1)(k − 2)
(k = 3)
故选（C）. 【解 2】排除法
【例 5】(2013 年 2,3) 当 x → 0 时,1 − cos x ⋅ cos 2x ⋅ cos3x 与 axn 为等价无穷小,求 n 与 a
（D） k = 3,c = −4.
5
【解 4】（代入法）
【例 4】(1996 年 1,2)设 f (x) 有连续导数, f (0) = 0 , f ′(0) ≠ 0 ,
∫ F(x) =
x
(
x2
−
t
2
)
f
(t)dt
,且当
x
→
0
时,
F
′(x)
与
x
k
为同阶无穷小,则
k
等于（
）
0
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
7
⎧
⎪⎪⎪⎨b1 ⎪ ⎪ ⎪⎩
+ −
a 3
a=0 a =0 2
=k
故 a = −1,b = − 1 , k = − 1 .
2
3
【解 2】
【例 7】(2020 年 3)
已知 a,b 为常数，若 (1+
1 )n n
−
e
与
b na
在 n → ∞ 时是等价无穷小，求
a, b.
(1+ 1 )n 【解 1】1 = lim n
《无穷小阶的比较》课件
本课件将介绍无穷小阶的比较，为数学爱好者和学生提供帮助和指导。无穷 小阶的比较在微积分领域占有重要地位，也是计算数学的基础。让我们深入 探索吧！
无穷小的定义
形式化定义
当$x$趋近于$a$时，$f(x)$趋近于0。
无穷小的性质
一些与无穷小相关的性质和常用结论，包括加，减，积与复合运算等。
总结
1 概念
无穷小的定义、性质和微小量与大量的比较。
2 无穷小阶
无穷小阶的定义、性质和比较方法。
3 比较定理的应用
夹逼定理、比较判别法和较弱比较判别法等比较定理在实际问题中的应用举例。
参考文献
1. 微积分教程，姚士谋，高等教育出版社，2000. 2. 计算数学，朱光磊，科学出版社，2012. 3. Mathematicsfor the Nonmathematician，Morris Kline，Dover Publications，1985.
微小量与大量的比较
解释微小量的定义，与大量相对比较的方法，以及这种比较的一些重要应用。
无穷小阶的定义
正式定义
若 $lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=0$，则称 $f(x)$ 是 $g(x)$ 的高阶无穷小。
性质
关于高阶无穷小的性质和基本结 论。
无穷小阶的比较
无穷小阶的比较
小$o(1)$与$o(x^n)$的比较
探讨不同阶数的无穷小之间大小的比较关系。
特殊的无穷小阶
介绍与特定函数阶数相关的无穷小阶，如$\log x$，$e^x-1$和$x^\alpha\sin\frac{1}{x}$等。
$\sin(x)$ 的无穷小比较
无穷小阶的比较的讲授方法
无穷小阶的比较的讲授方法作者：曹志杰来源：《科技风》2018年第32期摘要：对无穷小和无穷小阶的比较的理解是掌握极限理论的关键对同一极限过程下的一组无穷小，抽象的阶的比较往往使初学者难以接受。
本文考虑在课堂上讲授这一部分时运用类比，力图将無穷小阶的比较过程形象地呈现出来。
这一类比也可用于对无穷大及其阶的比较的课堂讲授。
关键词：无穷小阶的比较；类比一、无穷小及其阶的比较无穷小量，即无穷小，指在自变量的某一变化过程下趋于零的函数。
在微积分的发展过程中，人们对无穷小量的认识经历了一个漫长的过程，这与极限理论的遭遇密切相关：无穷小是极限理论中最使人难以接受的部分，对当时的人们来说，它似乎带有某种“神秘气氛”，见[1]。
无穷小的定义是“如果一个量的绝对值能变得小于任意选定的无论怎样小的量，则说它能变为无穷小”，正是这个说法，引出了一般极限定义的ε.δ语言，毋庸讳言，”某量的绝对值小于任意选定的无论怎样小的量”表达成的数学语言（即无穷小的ε.δ定义）仍困扰着今天的初学者，而无穷小阶的比较，则是在自变量的某变化过程下，比较出不同无穷小趋于零的相对快慢。
这个比较过程，在教科书中是考虑这些无穷小量的比值在自变量的该变化过程下的极限（可参见任一本微积分教材，如文献[2]）：二、用类比法讲授“无穷小量阶的比较”过程极限理论对初学者往往较难理解，这源于极限概念（ε.δ语言）的抽象性和高度的动态性：据说这是一个有四个逻辑层次的杂逻辑结构，[3]而中学的数学对象多是静态的，即使略显抽象，也可在数次”亲密”接触后形成印象.但对于ε.δ语言，即使靠”死记硬背闯关了”，理解起来仍无所适从，基于此，人们曾改造极限概念的表达方式，提出所谓非ε语言定义来代替ε.δ语言，[3]这种做法，不会降低学生的理解难度，甚至可以说，有意绕开极限理论的精髓反而加大了以后学习的难度，最终还是要返回去重新理解ε.δ语言。
那么，怎样才能让初学者对ε.δ语言形成一个基本印象呢？由前述的极限定义的ε.δ语言和无穷小之间的关联，即正是无穷小的定义，引出了极限定义的ε.δ语言，笔者认为，讲授这一部分时，通过对某一动态过程的类比考察，形象的再现无穷小及其阶的比较经过，对于初步理解极限定义的ε.δ语言大有裨益。
无穷小量的比较
则当 x 0 时, 有 u 0,
ex 1 u lim lim lim u 0 x 0 u 0 ln(1 u ) x
u 0
1 ln(1 u)
1 u
1 lim ln(1 u)
1 u
1 1. ln e
当x 0时， e x 1 ~ x.
解
令 (1 x) 1 y,于是 ln(1 x) ln(1 y),
第五节 无穷小量的比较
A.
ห้องสมุดไป่ตู้
无穷小量的阶：
高阶、低阶、同阶(等价)、k阶无穷小
B.
利用等价无穷小量计算极限
A.无穷小量的阶
引例：当 x 0时， 3 x , x 2 , sin x 都是无穷小, 但 它们趋于零的速度不同：
x 0, lim x 0 3 x
2
sin x 1 lim , x 0 3 x 3
tan 2 x . 例3 求 lim x 0 1 cos x
1 2 解 当x 0时, 1 cos x ~ x , tan 2 x ~ 2 x . 2 2 (2 x ) 原式 lim 8. x 0 1 x2 2
2
例4 解
e 1 求 lim . x 0 x
x
令 e x 1 u, 即 x ln(1 u),
例. 当
时, 比较无穷小
与
的阶.
ln x 解: 因 lim x 1 ( x 1) 2 ln[1 ( x 1)] lim 2 x 1 ( x 1) x 1 lim x 1 ( x 1) 2 1 lim x 1 x 1
故 是比
x 0 时, ln(1 x) ～ x ,
1.7 无穷小的比较
β −α β β lim =lim( −1) =lim −1=0 , α α α 所以β –α=o(α). . 充分性: 设β=α +o(α), 则 充分性 , α +o(α) β o(α) =lim[1+ lim =lim ] 1, ]= α α α 因此 α ~β.
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7
β 若 lim k = C ≠ 0, 则称 β 是关于 α 的 k 阶无穷小; α β 若 lim =1, 则称 β 是 α 的等价无穷小, 记作 α ~ β α 或 β ~α
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4
2. 无穷小阶的比较举例
3x2 = 0 例1 因为lim , x→0 x 所以当x→ 时 是比x 高阶的无穷小 所以当 →0时, 3x2是比 高阶的无穷小, 即3x2=o(x)(x→0). 的无穷小, → .
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10
β β′ β′ 若α~α′, β~β′, 且lim 存在, 则lim =lim . α α′ α′
p59-3例7
求lim tan 2x . x→0 sin 5x 解 当x→0时, tan 2x~ 2x , sin 5x~5x , 所以 → 时 lim tan 2x = lim 2x = 2 . x→0 sin 5x x→0 5x 5
当x → 0时, 时
arctan x ~ x ,
arcsin x ~ x , tan x ~ x ,
x
1 2 e − 1 ~ x , 1 − cos x ~ x , (1 + x )α − 1 ~ αx . 2
e sin x − 1 例12 求 lim . x → 0 ln(1 + 3 x )
无穷小的比较公式
无穷小的比较公式无穷小比较是微积分中的一个重要概念，用来比较无穷小的大小。
在学习微积分时，我们经常会遇到一些涉及到无穷小的极限问题，而比较无穷小的大小关系就成为解决这些问题的关键。
首先，我们来回顾下无穷小的定义。
如果一个数列{a_n}对于任意正实数ε，都存在正整数N，使得当n>N时，有，a_n，<ε成立，则称该数列{a_n}为无穷小。
换句话说，数列的极限为零时，我们称它为无穷小。
对于无穷小的比较，我们有以下几个基本的比较原则：1.同类无穷小的比较：如果{a_n}和{b_n}是两个无穷小数列，并且对于任意正实数ε，存在正整数N，当n>N时，有，a_n，<，b_n，<ε成立，则称{a_n}的无穷小阶比{b_n}的无穷小阶低。
2.常数和无穷小的比较：对于任意确定的有限实数a ≠ 0，若 {b_n} 是一个无穷小数列，那么 ab_n (n > N) 是一个相对于 {b_n} 的同类无穷小，其无穷小阶相同。
3.多项式和无穷小的比较：对于一个n次多项式P(x)和一个无穷小数列{a_n}，如果存在正整数N和正实数M，使得当n>N时，有，a_n，<M*，P(x)，成立，则称{a_n}为P(x)的更高阶无穷小。
使用这些比较原则，我们可以解决一些与无穷小相关的极限问题。
下面举几个例子来说明。
例子1：求极限 lim(n -> ∞) (e^n / n^2)解：首先，我们可以将极限中的分子e^n和分母n^2分别表示为无穷小的形式。
因为e^n是指数函数，其增长速度远大于任何多项式函数，所以e^n是比n^2更高阶无穷小。
所以我们可以得到以下关系：n^2是比1更高阶无穷小，而e^n是比n^2更高阶无穷小。
根据比较原则3，当n->∞时，e^n/n^2是一个相对于n^2的同类无穷小，其无穷小阶比n^2的无穷小阶低。
因为n^2是一个正实数，所以当n->∞时，e^n/n^2的极限为零。
无穷小的比较公式
无穷小的比较公式在数学中，无穷小是一种特殊的数值概念，它可以用来描述接近于零的量。
无穷小的比较公式是用来比较两个无穷小的大小关系的公式。
在本文中，将详细介绍无穷小的比较公式，并给出一些具体的例子。
1.高阶无穷小比低阶无穷小大2.函数与它的微分比无穷小大3.无穷小的乘积是无穷小4.极限运算首先来看第一种形式，即高阶无穷小比低阶无穷小大。
假设有两个无穷小量a和b，如果当x趋近于其中一点时，a/x和b/x的极限都为零，且a/x的阶数高于b/x的阶数，则有a比b大。
举个例子，考虑函数f(x)=x和g(x)=x^2，当x趋近于零时，f(x)/x 的极限为1，g(x)/x的极限为0，因为x^2的阶数比x的阶数高，所以可以得出x^2是一个比x大的无穷小。
第二个形式是函数与它的微分比无穷小大。
如果函数f(x)在其中一点处可微分，且其微分f'(x)在该点处不为零，那么当x趋近于该点时，f(x)与f'(x)的比值趋近于零，即f(x)/f'(x)的极限为零。
举个例子，考虑函数f(x)=x^2，它在x=0处可微分，且其导数f'(x)=2x在该点处不为零。
当x趋近于零时，f(x)/f'(x)=x^2/(2x)=x/2的极限为零。
因此，x^2是一个比2x大的无穷小。
第三个形式是无穷小的乘积是无穷小。
如果a是一个无穷小，b是一个有界函数，那么a乘以b也是一个无穷小。
考虑两个无穷小量a和b，其中a是一个无穷小，b是一个有界函数。
当x趋近于其中一点时，a的极限为零，而b的取值在一些区间内有限。
因此，a乘以b的极限仍为零，即a乘以b也是一个无穷小。
最后一个形式是极限运算。
如果有两个无穷小量a和b，且a比b大，那么a和b之间的任何有限运算后的结果仍然是一个无穷小。
举个例子，考虑两个无穷小量a=x，b=x^2、根据前面的分析，x^2是一个比x大的无穷小。
那么，无论我们对a和b进行加法、减法、乘法或除法，结果仍然是一个无穷小。
2-6无穷小的比较 无穷小的阶
cos(a 2
b)
,
x
1
1
cos(a 2
b) ,
x
1
四、1、 cos(a bx), x 1 ；
2、a 2k ( k 0, 1, ) ,b 0.
x0
x2
2
1
lim(cos x)ln(1x2 )
e . 1 2
x0
练习 求 lim ex ex ,( ,且不同时为零) x0 sinx sin x
解
原式
lim
x0
2
sin
ex 1
x
1 cos
ex
x
2
2
ex 1
1 ex
x0
x
三、 证明：若 , 是无穷小，则
~ 0( ).
x2n1 sin x cos(a bx)
四、设 f(x)=lim n
2 x2n 1
求：1、 f (x) 的表达式 .
2、确定 a,b 的值,使得
lim f ( x) f (1)， lim f ( x) f (1) .
x f ( x) x
不存在且不为无穷大
故当 x 函数 f ( x)和g( x)不能
比较.
练习题
一、填空题：
1、lim tan 3x ________; x0 sin 2 x
2、
arcsin xm
lim
x0
(sin x)n
_______;
3、 lim ln(1 2x) ________;
lim(
无穷小的比较
1
1
x0 x
ax 1
lim
1
x0 x ln a
(5) lim 1 cos x 1
x0 1 x2 2
x 0时sin x ~ x x 0时arcsinx ~ x
x 0时 ln(1 x) ~ x
x 0时ex 1 ~ x
x 0时ax 1 ~ x ln a x 0时1 cos x ~ 1 x2
4、利用等价无穷小计算下列极限:
例4 求 lim tan2 2x . x0 1 cos x
解 当x 0时, 1 cos x ~ 1 x2 , 2
原式
lim x0
(2 x )2 1 x2
8.
2
tan 2x ~ 2x.
等价无穷小量只能在乘除中替换,在加减中不能替换
例5 求 lim tan x sin x . x0 sin3 2 x
A(A
0)
f(x)与g(x)为同阶无穷小.
1 称f(x)与g(x)等价无穷小,记f(x) ~ g(x)
若 lim f ( x) 不存在, 称f ( x)与g( x)不能比较的无穷小量. xX g( x)
例1 :当x 0时, x 1000x3与x相比是(C )无穷小.
(A)高 阶; (B)低 阶; (C)等 价; (D)同 阶.
2.等价无穷小的替换:
求极限的又一种方法, 注意适用条件.
数列极限
函数极限
lim
n
xn
a
lim f ( x) A
x
lim f ( x) A
x x0
无穷大
lim f (x)
两者的 关系
极限存在的 充要条件
左右极限 无穷小的比较
无穷小
无穷小阶的比较
无穷小阶的比较————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：242 / 51.6 无穷小阶的比较1 无穷小的比较设α,β是自变量的同一变化过程中的两个无穷小.。
(1) 如果0lim0x x βα→=，则称β是比α高阶的无穷小，记为()o βα=；也说α是比β低阶的无穷小。
(2) 如果0lim x x c βα→=(c 是不为0的常数)，则称β是与α同阶的无穷小。
(3) 如果0lim 1x x βα→=，则称β与α是等价无穷小，记作βα:或αβ:。
(4) 如果0lim k x x c βα→=(0k >，c 是不为0的常数)，则称β是关于α的k 阶无穷小。
例如 0x →时，23()x o x =，sin x x :，1cos x -与2x 是同阶无穷小，同时1cos x - 也是关于x 的二阶无穷小。
注意并不是所有的无穷小都能进行比较，x →∞时，1()f x x =，sin ()x g x x=都是无穷小。
由于()1lim lim ()sin x x f x g x x →∞→∞=和()lim lim sin ()x x g x x f x →∞→∞=都不存在，因此，1()f x x =与sin ()x g x x=不能进行阶的比较。
例1 0x →时，比较1cos x -与2x 的阶。
解 2222000022sin 2sin sin 1cos 111222lim lim lim lim 12224()22x x x x x x x x x x x x →→→→⎛⎫ ⎪-====⋅= ⎪ ⎪⎝⎭ 。
0x →时，1cos x -与212x 是等价无穷小。
定理 1.5.1 设α,β是自变量的同一变化过程中的两个无穷小，则βα:()o βαα⇔=+。
例如 0x →时，211cos 2x x -:，故 2211cos ()2x x o x -=+，即221cos 1()2x x o x =-+，于是在0x =的小邻域内可以用2112x -近似代替cos x 。
无穷小阶的比较
一.无穷小阶旳比较 二.等价无穷小替代原理
一.无穷小阶旳比较
虽然无穷小量都是趋于零旳变量，但是不同旳无穷小量 趋于零旳速度却不一定相同. 为了反应不同旳无穷小趋于零 旳快慢程度，我们引入无穷小旳阶旳比较.
定义2.6.1 设 α，β是在自变量同一变化过程中旳两个无
穷小，且 α ≠ 0，则 (1) 假如 lim 0 ,则称 是 旳高阶无穷小, 记做 o( )
利用等价无穷小旳代换, 有
lim cos x(esin x 1)2 lim cos x sin2 x 1
x0
tan2 x
x0
x2
例7 解
求 lim
x0
tan x sin x
lim
x0
x3
.
tan x sin x
x3
lim x0
sin
x( 1 cos x3
x
1)
sin x (1 cos x) lim
定理 α与β 是等价无穷小旳充分必要条件为
o( ) 证明 必要性 设 ~ , 则
lim lim( 1) lim 1 0
所以 o( ), 即 o( )
充分性 设 o( ), 则
lim lim o( ) lim(1 o( )) 1 即 ~
x0 x x2 cos x
x2
lim
x0
2x2
cos
x
1 lim x0 2 cos x
1 2
注
tan x sin x
x x
lim
x0
x3
lim x0
x3
.
1
例8 求 lim(1 sin x2 )1cos x . x0
解
第4周：无穷小阶的比较、连续性、导数概念1
x x0
⑶
lim
xx0
f (x)
f (x0 )
.
x0
函数在x0无定义
a b
a b
x0
函数在x0有定义 、无极限
a
x0
x0
函数在x0的函数值与 函数在x0的函数值与极限值
极限值不相等
相等
1.定义：如果函数 y f ( x) 满足：
⑴ 在 x x0 有定义;
⑵ lim f (x) 存在；
如： lim f (x) lim f (x)
g(x)
g(x) 1
注：常用的等价无穷小( x 0 )：
sin x ~ x,
tan x ~ x, 1 cos x ~ x2 ,
2
arcsinx ~ x, arctan x ~ x, n 1 x 1 ~ x , n
ln(1 x) ~ x, ex 1 ~ x.
量 x ,则函数相应的改变量 y f (x0 x) f (x0 ) ，
若：lim y x0
0
,
则f(x)称在x=x0处连续。
例：用等价定义判断f ( x ) 3 x 2 1 在x=1处的连续性。
三、连续函数与连续区间 1.定义：如果一个函数在某个区间上的每一点都 连续，则称这个函数为该区间上的连续函数，并 把相应区间称为函数的连续区间。
与f(b)异号，则在(a, b)内至少存在一点 ，使得:
f ( ) 0
(零点定理常用于判断方程根的存在性)
例：证明方程 x3 3x 1 在(1, 2) 内至少有一个根。
注：由lim x x0
f (x)
f (x0)
f ( lim x) x x0
无穷小比阶的原则
无穷小比阶的原则1. 引言无穷小比阶的原则是微积分中一个重要的概念，它用于比较两个无穷小的大小关系。
在微积分中，我们常常需要研究函数在某个极限点处的性质，而无穷小比阶的原则为我们提供了一种有效的工具。
2. 无穷小的定义在微积分中，我们将函数f(x)在x=a处的极限为零的情况称为无穷小。
即当x趋近于a时，f(x)趋近于零。
形式化地表示为：f(x)=0limx→a3. 无穷小比阶的定义的极限存在且不为设f(x)和g(x)是在x=a处的无穷小，如果当x趋近于a时，f(x)g(x)零，则称f(x)是g(x)的高阶无穷小，记作f(x)=o(g(x))。
4. 无穷小比阶的性质4.1 传递性如果f(x)=o(g(x))且g(x)=o(ℎ(x))，则f(x)=o(ℎ(x))。
传递性是无穷小比阶的一个重要性质，它可以帮助我们比较不同阶的无穷小之间的大小关系。
4.2 加法性如果f(x)=o(g(x))且ℎ(x)=o(g(x))，则f(x)+ℎ(x)=o(g(x))。
加法性是无穷小比阶的另一个重要性质，它告诉我们如果两个无穷小的比阶相同，它们的和仍然是同一阶的无穷小。
4.3 乘法性如果f(x)=o(g(x))且ℎ(x)是有界函数，则f(x)⋅ℎ(x)=o(g(x))。
乘法性是无穷小比阶的最后一个性质，它告诉我们如果一个无穷小与一个有界函数相乘，它们的比阶不变。
5. 无穷小比阶的应用无穷小比阶的原则在微积分中有广泛的应用，特别是在极限的计算和函数的性质研究中。
5.1 极限的计算无穷小比阶的原则可以帮助我们计算一些复杂的极限。
例如，当我们需要计算以下极限时：lim x→0sin(x) x我们可以使用无穷小比阶的原则，将sin(x)和x都展开为无穷小的形式，然后比较它们的比阶。
通过比较可得到：lim x→0sin(x)x=15.2 函数的性质研究无穷小比阶的原则也可以帮助我们研究函数的性质。
例如，当我们需要证明一个函数在某个点处的极限存在时，可以利用无穷小比阶的原则来进行推导。
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0
~ 当C =1时，称 与 等价无穷小，记为：
例：当x 1时，x 2 2 x 1 与 x 2 1 比较是（ 高阶） 无穷小。 例：当 x 0 时，无穷小量 2 x 2， 1 1 2 x 2 的关 系是（ C ） A.高阶 B.低阶 C.同阶但不等价 D.等价
x
1
0.5
0.1
0.01
0.001
…… 0
2x 3x x2
2 3 1
1 1.5 0.25
0.2 0.3 0.01
0.02 0.03 0.0001
0.002 0.003 0.000001
…… 0 …… 0 …… 0
是在同一变化过程中的无穷小量: 1.定义：设 ，
lim
x2 sin x ~ x, tan x ~ x, 1 cos x ~ , 2 x n arcsin x ~ x, arctan x ~ x, 1 x 1 ~ , n ln(1 x) ~ x, e x 1 ~ x.
tan x ln(1 x) 例： lim 2 x 0 sin x
(1) lim f ( x) lim1 f ( x),
例： lim sin x x 0 x 2 3 x
tan 2 x lim x 0 tan 5 x
1 (2) lim lim 1
注：等价无穷小代换，仅限于乘除运算。 （对加减项的无穷小不适用）
注：常用的等价无穷小( x 0 )：
sin x 例：lim 1 x 0 xБайду номын сангаас
tan x lim 1 x0 x
sin x ~ x
tan x ~ x
同理： sin 2 x ~ 2 x
sin x 2 ~ x 2
二、利用等价无穷小代换求极限 1.定理：设 , 1 , , 1 是无穷小量，且 ~ 1 , ~ 1 ，则有：
§1.8 无穷小的阶
mn 0 a0 a0 x m a1 x m1 am1 x am lim mn 回忆： n n 1 x b0 x b1 x bn1 x bn b0 mn 其实是比较分子分母趋于无穷大的速度快慢。 一、无穷小阶的比较 当x0时，2x，3x，x2都是无穷小，但它们趋于0的 速度却不一样。观察：