无穷小阶的比较

x2 sin x ~ x, tan x ~ x, 1 cos x ~ , 2 x n arcsin x ~ x, arctan x ~ x, 1 x 1 ~ , n ln(1 x) ~ x, e x 1 ~ x.
tan x ln(1 x) 例： lim 2 x 0 sin x
sin x 例：lim 1 x 0 x
tan x lim 1 x0 x
sin x ~ x
tan x ~ x
同理： sin 2 x ~ 2 x
sin x 2 ~ x 2
二、利用等价无穷小代换求极限 1.定理：设 , 1 , , 1 是无穷小量，且 ~ 1 , ~ 1 ，则有：
§1.8 无穷小的阶
mn 0 a0 a0 x m a1 x m1 am1 x am lim mn 回忆： n n 1 x b0 x b1 x bn1 x bn b0 mn 其实是比较分子分母趋于无穷大的速度快慢。 一、无穷小阶的比较 当x0时，2x，3x，x2都是无穷小，但它们趋于0的 速度却不一样。观察：
x
1
0.5
0.1
0.01
0.001
…… 0
2x 3x x2
2 3 1
1 1.5 0.25
0.2 0.3 0.01
0.02 0.03 0.0001
0.002 0.003 0.000001
…… 0 …… 0 …… 0
是在同一变化过程中的无穷小量: 1.定义：设 ，
lim
o( ) 比 高阶无穷小 ，记为： 比 低阶无穷小 C ( 0) 与 同阶无穷小
0
~ 当C =1时，称Байду номын сангаас 与 等价无穷小，记为：
例：当x 1时，x 2 2 x 1 与 x 2 1 比较是（ 高阶） 无穷小。 例：当 x 0 时，无穷小量 2 x 2， 1 1 2 x 2 的关 系是（ C ） A.高阶 B.低阶 C.同阶但不等价 D.等价
(1) lim f ( x) lim1 f ( x),
例： lim sin x x 0 x 2 3 x
tan 2 x lim x 0 tan 5 x
1 (2) lim lim 1
注：等价无穷小代换，仅限于乘除运算。 （对加减项的无穷小不适用）
注：常用的等价无穷小( x 0 )：