2019届浙江省杭十四中高三月考数学学科问卷(4月)试卷
2019届浙江省杭州市高三下学期4月第二次模拟数学试题解析
绝密★启用前2019届浙江省杭州市高三下学期4月第二次模拟数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．设集合{}{}21,|4A x x B x x =>=≤，则A B =I ( ) A ．()1,2 B ．(]1,2C ．(]0,2 D ．()1,+∞答案：B首先求解集合B ，然后求A B I . 解：24x ≤，解得22x -≤≤，所以{}22B x x =-≤≤， 所以{}12A B x x ⋂=<≤. 故选：B 点评：本题考查集合的交集，重点考查不等式的解法，属于基础题型.2．已知复数1z i =+（i 是虚数单位），则211z z -=+( )A ．iB ．i -C ．1i +D ．1i -答案：A根据完全平方和除法计算公式计算结果. 解：原式()()()()()211212215112225i i i i ii i i i i +----=====++++-.故选：A 点评：本题考查复数的化简求值，属于基础计算题型.3．二项式612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项为( )A ．20B ．-20C ．160D ．-160答案：D首先写出二项式的通项公式()6621612rrr r r T C x --+=-⋅⋅，然后令3r =求常数项.解：()()66621661212rrr rrr r r T C x C x x ---+⎛⎫=⋅⋅-=-⋅⋅ ⎪⎝⎭当620r -=时，3r = ，所以二项式的常数项为()333612160C -⋅=-.故选：D 点评：本题考查二项式定理指定项的求法，重点考查通项公式，属于基础题型. 4．“a b >”是“a a b b >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件答案：C首先判断y x x =的单调性，再根据单调性判断充分必要条件. 解：22,0,0x x y x x x x ⎧≥==⎨-<⎩，函数是奇函数，并且在R 上单调递增，所以a b >时，a a b b >，反过来，若满足a a b b >时，根据函数y x x =是单调递增函数，所以a b >， 所以a b >”是“a a b b >”的充要条件. 故选：C 点评：本题考查充分必要条件，重点考查函数单调性的判断方法，转化与化归的思想，属于基础题型.5．《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍（音meng ，底面为矩形的屋脊状的几何体），下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何.已知该刍甍的三视图如图所示，则此刍甍的体积等于( )A ．3B ．5C ．6D ．12答案：B首先由三视图还原几何体，再将刍甍分为三部分求解体积，最后计算求得刍甍的体积. 解：由三视图换元为如图所示的几何体，该几何体分为三部分，中间一部分是直棱柱，两侧是相同的三棱锥，并且三棱锥的体积113113⨯⨯⨯=， 中间棱柱的体积131232V =⨯⨯⨯= , 所以该刍甍的体积是1235⨯+=. 故选：B 点评：本题考查组合体的体积，重点考查空间想象能力和计算能力，属于中档题型. 6．函数()()212x y x x e =--（其中e 为自然对数的底数）的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．答案：A首先判断函数零点，并判断零点左右的正负，排除选项，得到正确答案. 解：由函数可知函数有两个零点，1,x =和2x =，当2x >时，0y >，2x <且1x ≠时，0y < ，故排除B,C,D. 满足条件的是A. 故选：A 点评：本题考查函数图象的识别，重点考查函数性质的灵活应用，属于基础题型，一般函数图象的识别，首先考查函数的定义域，零点，单调性，极值，特殊值等，一般都是排除选项，得到正确答案.7．已知a c ≠，随机变量ξ，η的分布列如表所示.ξ1 2 3Pabcη1 2 3Pc b a命题p ：=E E ξη，命题q ：D D ξη=，则( ) A ．p 真q 真 B ．p 真q 假C ．p 假q 真D ．p 假q 假答案：C首先分别求E ξ和E η，然后比较，利用公式()()22D EE ξξξ=-，利用公式1a b c ++=，计算D D ξη-的值.解：12323E a b c a b c ξ=⨯+⨯+⨯=++ 12332E c b a a b c η=⨯+⨯+⨯=++ ，()2E E c a ξη-=- a c ≠Q ，E E ξη∴≠，所以命题p 是假命题，()249E a b c ξ=++，()()2223E a b c ξ=++，所以()()24923D a b c a b c ξ=++-++()294E a b c η=++，()()2232E a b c η=++，()()()()2229432D E E a b c a b c ηηη=-=++-++ ，()()()()()2283223D D c a a b c a b c ξη-=-+++-++()()()822444c a a c a b c =-+-++ ， 1a b c ++=Q ，所以()()()()880D D c a a c ξη-=-+-=， 即()()D D ξη=,所以命题q 是真命题. 综上可知p 假q 真. 故选：C 点评：本题考查离散型分布列的期望方差，属于重点题型，本题使用的关键公式是()()22D E E ξξξ=-，比较大小的关键是利用1a b c ++=. 8．设函数()111222xxf x ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则函数()()y f f x =( )A ．是偶函数也是周期函数B ．是偶函数但不是周期函数C ．不是偶函数是周期函数D ．既不是偶函数也不是周期函数答案：A首先去绝对值，得到分段函数()y f x =，判断函数的奇偶性，然后根据()f x 的值域，求函数()()y f f x =，判断函数的周期性.解：当1x >时，1122x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以()1111122222x xx f x -⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，当1x ≤时，11,122x⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()11112222xxf x ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以()112122x f x -⎧-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩ 11x x ≤> ，函数满足()()f x f x -= ， 所以函数()f x 是偶函数， 那么()()()()ff x f f x -=，所以函数()()y f f x =是偶函数，1x >时，10x -<，所以1021x -<<，11112222x --<-<，所以函数()f x 的值域是11,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭， 所以()12f f x =-⎡⎤⎣⎦， 所以()()y ff x =是常函数，所以是周期函数，综上可知，函数()()y f f x =是偶函数，也是周期函数.故选：A 点评：本题考查含绝对值函数，判断函数的奇偶性和周期，重点考查函数解析式和性质的灵活运用，属于中档题型，本题的关键是求函数()y f x =. 9．已知数列{}n a 满足112(,2)n n n a a a n n *-+∈≥N ≤＋，则（ ） A ．52143a a a ≤- B ．2736a a a a +≤+ C ．76633()a a a a -≥- D ．2367a a a a +≥+答案：C由112n n n a a a -+≤＋可知11n n n n a a a a -+-≤-，再根据这个不等关系判断选项正误． 解：由题得11n n n n a a a a -+-≤-，则有。
2019年4月浙江省普通高中学业水平考试数学试题 (含解析)
2019年4月浙江省普通高中学业水平考试数学试题 (含解析)1.函数y=log_3(x-2)的定义域为{x|x>2}，因为要使函数有意义，x-2>0，解得x>2.2.直线y=-2x+6的斜率为-2.3.将A、B、C、D四个选项代入不等式3x+2y-6>0中，可得(1,2)点在不等式所表示的平面区域内。
4.设{a_n}为等差数列，若a_2=2，a_3=3，则a_5=5.设等差数列{a_n}的首项为a_1，公差为d，由题意可得a_1+d=2，a_1+2d=3，解得a_1=1，d=1，因此a_5=a_1+4d=5.5.若α为锐角，sinα=3/5，则cosα=-4/5.由勾股定理可得cosα=-4/5.6.椭圆x^2/2+y^2/1=1右焦点的坐标为(1,0)。
由椭圆的标准方程可知，a^2=2，b^2=1，因此c=sqrt(a^2-b^2)=1，右焦点的坐标为(a+c,0)=(1,0)。
7.删除该题，因为题目内容缺失。
8.在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，且PD=DB。
若M为线段PB的中点，则直线DM与平面ABCD所成的角为45°。
连接BD的中点O，由题意可知，PO=OD，且∠POD=90°。
因此三角形POD为等腰直角三角形，∠ODP=45°。
又因为PM=MB，所以∠DPM=∠MPB=45°。
因此直线DM与平面ABCD的法线向量分别为DP和DA，它们的夹角为45°。
因此直线DM与平面ABCD所成的角为45°。
n则下列结论正确的是（）A.①②③④中至少有两个数列的前n项和相等B.①②③④中至少有两个数列的前n项积相等C.①②③④中至少有两个数列的前n项项和相等D.①②③④中至少有两个数列的前n项项积相等答案】D解析】由等比数列的通项公式可知，{2an和{an都是等比数列，{2n}和{log2an都是等差数列。
且它们的公比或公差之间存在一定的关系。
浙江省杭州市十四中2019届高三数学4月月考试卷
第1页，总17页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………浙江省杭州市十四中2019届高三数学4月月考试卷考试时间：**分钟 满分：**分姓名：____________班级：____________学号：___________题号 一 二 三 总分 核分人 得分注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 15 分钟收取答题卡第Ⅰ卷 客观题第Ⅰ卷的注释评卷人 得分一、单选题（共10题)1. 已知全集U=AUB={x∈Z|0≤x≤6}，A∩(C U B)={1,3,5}，则B=( ) A . {2,4,6} B . {1,3,5} C . {0,2,4,6} D . {x∈Z|0≤x≤6}2. 已知双曲线-y 2=1的一条渐近线方程是y=x ，则双曲线的离心率为（ ）A .B .C .D .3. 某空间几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为1的圆，则该几何体的体积（ ）A . πB . πC . πD .答案第2页，总17页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………4. 把复数z 的共轭复数记作 ，若（1+i)z=1-i ，i 为虚数单位，则 =（ ） A . i B . -i C . 1-i D . 1+i5. 函数y=4cosx -e |x|(e 为自然对数的底数）的图象可能是（ ）A .B .C .D .6. 已知平面a ，β和直线l 1 ， l 2 ， 且a∩β=l 2 ， 则“l 1∈l 2,”是“l 1∈a ，且l 1∈β”的（ ） A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件7. 已知函数f(x ）=（x 2+a ）e x 有最小值，则函数g （x)=x 2-x+a 的零点个数为（ ）A . 0B . 1C . 2D . 取决于a 的值8. 任取0，1，2，3，4，5六个数字中的3个组成能被3整除的三位数，则这样的三位数的个数有（ ） A . 27 B . 30 C . 36 D . 409. 已知 =1（a>b>0）与直线l 1：y= ，l 2：y=，过椭圆上一点P 作l 1 ， l 2的平行线，分别交l 1 ， l 2于M ，N 两点。
浙江省杭州第十四中学2019-2020学年高考数学全真模拟密押卷含解析《含高考15套》
浙江省杭州第十四中学2019-2020学年高考数学全真模拟密押卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()()1,,2,A a B b --，且3sin22cos αα=，则a b -=（ ）A ．22B ．2C ．322D ．22．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且280a a +=，1133S =，则公差d 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．若a=log 312，b=log 39.1，c=20.8，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．a c b <<D ．c a b <<4．已知直线：交双曲线：于，两点，过作直线的垂线交双曲线于点．若，则双曲线的离心率为( ) A ．B ．C ．D ．5．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为（ ）A ．4B ．642+C ．42+D ．26．设复数21iz i=+ （其中i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限7．设集合{}2|20A x x x =--<，集合{}|11B x x =-<≤，则A B =I （ ）A ．[]1,1-B ．(]1,1-C ．()1,2-D ．[)1,28．要得到函数233sin cos 2y x x x =+-的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（ ）A．向左平移12π个单位 B ．向右平移12π个单位C ．向左平移6π个单位D ．向右平移6π个单位9．设函数()32341f x x x x =-+-，x ∈R ,若当02πθ<<当时,不等式()()sin 42f m f m θ+->恒成立,则实数m 的取值范围是（ ） A ．[]1,2-B ．()4,4-C ．[)2,+∞ D ．(],2-∞10．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.现有一如图所示的堑堵，AC BC ⊥，若12A A AB ==，则堑堵111ABC A B C -的外接球的体积为（ ）A ．162π B ．8π C ．82π D ．43π 11．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为（ ）A 1725B 1729C 17210D ．217221012．设函数2,1(),12x x f x x x -⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则满足()()2f f a f a =⎡⎤⎣⎦的a 的取值范围是（ ）A ．(],0-∞ B ．[]0,2C ．[)2,+∞ D ．(][),02,-∞⋃+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
浙江省杭州市第十四高中2019-2020学年高三数学文月考试题含解析
浙江省杭州市第十四高中2019-2020学年高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知点，抛物线的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N.若，则a的值为（）A. B. C. 1 D. 4参考答案：D依题意点的坐标为，设在准线上的射影为，由抛物线的定义知，则，，求得，故选D.2. 已知集合，在区间上任取一实数，则“”的概率为（A）（B）（C）（D）参考答案：C略3. 命题“三角形ABC中，若cosA<0，则三角形ABC为钝角三角形”的逆否命题是A．三角形ABC中，若三角形ABC为钝角三角形，则cosA<0B．三角形ABC中，若三角形ABC为锐角三角形，则cosA≥0C．三角形ABC中，若三角形ABC为锐角三角形，则cosA <OD．三角形ABC中，若三角形ABC为锐角或直角三角形，则cosA≥O参考答案：D命题“三角形中，若，则三角形为钝角三角形”的逆否命题是“三角形中，若三角形为锐角或直角三角形，则”.4. “”是“曲线过坐标原点”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A略5. 若随机变量X服从正态分布N（4，1），则P（x＞6）的值为（）（参考数据：若随机变量X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜x＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜x＜μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜x＜μ+3σ）=0.9974）A．0.1587 B．0.0228 C．0.0013 D．0.4972参考答案：B【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据变量符合正态分布，和所给的μ和σ的值，根据3σ原则，得到P（2＜X≤6）=0.9544，又P（X＞6）=P（X≤2）=0.6826，即可得到结果．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，μ=4，σ=1，∴P（2＜X≤6）=0.9544，又因为P（X＞6）=P（X≤2）=（1﹣0.9544）=0.0228，故选：B6. 若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为（）．．．．参考答案：D圆的标准方程为，圆心为,因为点弦的中点，所以,AP的斜率为，所以直线的斜率为2，所以弦所在直线方程为，即，选D.7. 已知集合，则集合等于（）A. B. C. D.参考答案：C略8. 函数f（x）=lg（|x|+1）﹣sin2x的零点个数为( )A．9 B．10 C．11 D．12参考答案：D【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用．【分析】函数f（x）=lg（|x|+1）﹣sin2x的零点个数即y=lg（|x|+1）与y=sin2x的图象的交点的个数，作图并利用三角函数的图象特征求解．解：函数f（x）=lg（|x|+1）﹣sin2x的零点个数即y=lg（|x|+1）与y=sin2x的图象的交点的个数，作函数y=lg（|x|+1）与y=sin2x的图象如下，结合图象及三角函数的最值知，图象在y轴左侧有6个交点，在y轴右侧有5个交点，在y轴上有一个交点；故选D．【点评】本题考查了函数的图象的应用及函数的零点的个数的判断，属于基础题．9. 设函数，若，则的取值范围是（）（A）（，1）（B）（，）（C）（，）（0，）（D）（，）（1，）参考答案：答案：D10. 已知定义在R上的偶函数，满足，且在区间[0，2]上是增函数．那么是函数在区间[0，6]上有3个零点的（A）充要条件（B）充分而不必要的条件（C）必要而不充分的条件（D）既不充分也不必要的条件参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的最小值是．参考答案：1由题得当时，f(x),当时，f(x)∈[1,2]，所以函数的最小值为1.12. 某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为（用数字作答）.参考答案：略13. 设函数，且，表示不超过实数的最大整数，则函数的值域是_____▲_____.参考答案：略14. 设实数x，y满足约束条件，则的最大值为___________.参考答案：915. “0＜a＜b”是“（）a＞（）b”的条件．（填充分而不必要条件、必要而不充分件、充分条件、既不充分也不必要条件中一个）参考答案：充分不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】根据指数函数的性质先求出a＜b，再根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：由（）a＞（）b得：a＜b，故0＜a＜b是a＜b的充分不必要条件，故答案为：充分不必要．【点评】本题考查了充分必要条件，考查指数函数的性质，是一道基础题．16. 已知直线及直线截圆C所得的弦长均为10，则圆C的面积是▲ ．参考答案：略17. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为．在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，直线的方程为则与的交点个数为；参考答案：2略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2019年4月浙江省普通高中学业水平模拟考试数学仿真模拟试题 A(解析版)
2019年4月浙江省普通高中学业水平考试数学仿真模拟试题A ⋅解析版考生须知：1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分100分，考试时间80分钟。
2．考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。
3．选择题的答案须用2B 铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净。
4．非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用2B 铅笔，确定后须用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑，答案写在本试题卷上无效。
选择题部分一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．设集合{1,2,3,4}A =，{1,0,2,3}B =-，{|12}C x x =∈-≤<R ，则()A B C =A ．{1,0,1}-B ．{0,1}C ．{1,1}-D ．{2,3,4}2．已知函数()f x 的定义域为(2,2)-,则函数()(2)g x f x =A ．{|04}x x <<B ．{|410}x x -<<C ．{|01}x x <<D ．{|11}x x -<<3．已知双曲线22:1169y x C -=，则双曲线C 的焦点坐标为A ．(5,0)±B ．(C ．(0,5)±D ．(0,4．过点(1,3)-且垂直于直线250x y -+=的直线方程为A ．270x y --=B ．210x y ++=C ．270x y -+=D ．210x y +-=5．已知,m n 表示两条不同的直线，α表示平面，若m α⊥，则“n α⊥”是“m n ∥”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6=sin 1cos x x -，则x 的取值范围是A ．2π2ππ()k x k k <<+∈ZB ．2ππ2π2π()k x k k +<<+∈ZC ．ππ2π2π()22k x k k -<<+∈ZD ．π3π2π2π()22k x k k +<<+∈Z 7．在ABC △中，||1AB =，||2AC =，||||AB AC BC +=，则AC 在BC 方向上的投影是A ．B ．CD 8．等比数列{}n a 中，公比1q ≠，且484a a +=，则6a 的取值范围为A ．(0，2]B ．(0,2)C ．(2-，0)(0，2)D ．[2-，2] 9．若,,a b c ∈R 且a b >，则下列不等式中一定成立的是A ．ac bc >B ．2()0a b c ->C ．22a b <D ．3232c a c b -<-10．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知2b =，c =π4C =，则ABC △的面积为A ．4BC 1D 111．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．2π8+B ．π8+C ．2π83+ D ．π83+ 12．函数cos x y x=-的图象可能是 A ． B ．。
浙江省杭州市2019届高三4月教学质量检测(二模)数学试题(WORD版)
杭州市2019届高三教学质量检测（二模）数学试题 2019.4.22一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、设集合{}{}2|1,|4A x x B x x =>=≤，则AB =（ ）A ．()1,2B ．(]1,2C ．(]0,2D ．()1,+∞2、已知复数1z i =+（i 是虚数单位），则211z z -=+（ ）A ．iB ．i -C ．1i +D ．1i -3、二项式612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项为（ ）A ．20B ．-20C ．160D ．-1604、 “a b >”是“a a b b >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5、《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍（音meng ，底面为矩形的屋脊状的几何体），下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．已知该刍甍的三视图如图所示，则此刍甍的体积等于（ ）A ．3B ．5C ．6D ．126、函数()()212x y x x e =--（其中e 为自然对数的底数）的图象可能是（ ）DC A命题p ：=E E ξη，命题q ：D D ξη=，则（ ）A ．p 真q 真B ．p 真q 假C ．p 假q 真D ．p 假q 假8、设函数()111222xxf x ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则函数()()y f f x =（ ）A ．是偶函数也是周期函数B ．是偶函数但不是周期函数C ．不是偶函数是周期函数D ．既不是偶函数也不是周期函数9、已知数列{}n a 满足112n n n a a a -+≤+（*n N ∈，2n ≥），则（ ）A ．52143a a a ≤-B ．2736a a a a +≤+C ．()76633a a a a -≥-D ．2367a a a a +≥+10、已知椭圆()2222:10x y a b a b Γ+=>>，直线1x y +=与椭圆Γ交于,M N 两点，以线段MN 为直径的圆经过原点．若椭圆Γ，则a 的取值范围为（ ） A．(B．⎝ C．⎛ ⎝⎦D．⎛ ⎝⎦非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11、双曲线2214x y -=的焦距是 ，渐近线方程是 ．12、设函数()()()log 020a x x x f x x >⎧⎪=⎨≤⎪⎩，若1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则实数a = ，()()2f f = ． 13、在ABC △中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，已知1cos24C =-，则sin C = ；当2a =，2sin sin A C =时，则b = ．14、设实数x ,y 满足不等式组250,270,0,0.x y x y x y +-≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥≥⎩则2x y +的最小值是 ；设22d x y =+，则d 的最小值等于 ．15、已知集合{}1,3,5A =，{}0,2,4B =，分别从A ,B 中各取2个不同的数，能组成不同的能被3整除的四位偶数的个数是 （用数字作答）．16、已知向量()1,2a =，平面向量b 满足()25a b a b +⋅=，则()4b a b -⋅的最小值等于___________．17、如图，已知矩形ABCD ，AB =，1AD =，AF ⊥平面ABC ，且3AF =．E 为线段DC 上一点，沿直线AE 将△ADE 翻折成△D AE '，M 为BD '的中点，则三棱锥M BCF -体积的最小值是 ．EMC D'DF三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18、（本题满分14分）已知函数()22sin f x x x +．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）当,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域．19、（本题满分15分）如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，90BAF ∠=，2AD =，1AB AF ==，点P 在线段DF 上．（1）证明：AF ⊥平面ABCD ． （2）若二面角DF AP C --PF 的长度． PF EDC BA20、（本题满分15分）设等差数列{}n a 前n 项和为n A ，等比数列{}n b 前n 项和为n B ．若387n n B B +=+，12a b =，44a b =．（1）求n b 和n A ；（2）求数列{}n n b A -的最小项．21、（本题满分15分）如图，已知()1,1P 为抛物线2y x =上一点，斜率分别为k ，k -()2k >的直线P A ，PB 分别交抛物线于点A ，B （不与点P 重合）．（1）证明：直线AB 的斜率为定值； （2）若△ABP（i ）求△ABP 的周长（用k 表示）； （ii ）求直线AB 的方程．22、（本题满分15分）已知函数()()1x f x x e =-．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若方程()(),f x ax b a b R =+∈有非负实数解，求2+4a b 的最小值．。
2019届浙江省部分重点中学高三调研考试数学试题(解析版)
2019届浙江省部分重点中学高三调研考试数学试题一、单选题1．已知集合{||1|2}A x x =-≤，{|04}B x x =<„，则()R A B =I ð（ ） A ．{|03}x x <≤ B ．{|34}x x -≤≤C ．{|34}x x <„D ．{|30}x x -<„【答案】C【解析】解绝对值不等式求出A R ð，再与集合B 取交集即可. 【详解】因为{||1|2}{|1R A x x x x =->=<-ð或3}x >，又集合{|04}B x x =<≤，所以(){|34}RA B x x ⋂=<„ð．故选：C 【点睛】本题主要考查集合的运算、绝对值不等式的解法，考查考生的运算求解能力，属于基础题．2．已知a R ∈，i 为虚数单位，且(1)(1)ai i ++为实数，则a =（ ） A ．1 B ．1-C ．2D ．2-【答案】B【解析】对(1)(1)ai i ++进行复数的乘法运算并化简为a bi +的形式，根据实数的虚部为0可列出方程求解a . 【详解】因为(1)(1)1(1)ai i a a i ++=-++为实数，所以10a +=，则1a =-. 故选：B 【点睛】本题主要考查复数的运算、实数的概念，考查考生的运算求解能力，属于基础题．3．设函数()ln ,1,1x x xf x e x ≤--⎧⎪=>-⎨⎪⎩，则()()2f f -的值为( )A ．1eB ．2eC ．12D ．2【答案】C【解析】由分段函数，先求()2f -=ln2，然后根据判断范围再由分段函数另一段求出值 【详解】21-≤-，()2f -=ln2，ln21>-，即()()()2ln2f f f -==1 2【点睛】本题主要考察分段函数求函数值，这类题目，需要判断自变量所在范围，然后带入相应的解析式解答即可4．若不等式组13220x y x y λλ⎧⎪⎨⎪-+-⎩„„…表示的平面区域经过四个象限，则实数λ的取值范围是（ ） A ．(,2)-∞ B ．[1,1]-C ．[1,2)-D ．(1,)+∞【答案】D【解析】由不等式组表示的平面区域经过四个象限，知(0,0)在平面区域内（不在边界上），则220λ->，解不等式即可. 【详解】由不等式组13220x y x y λλ⎧⎪⎨⎪-+-⎩„„…表示的平面区域经过四个象限，知(0,0)在平面区域内（不在边界上），所以220λ->，所以1λ>. 故选：D【点睛】本题主要考查线性规划知识的运用，考查考生的数形结合能力、运算求解能力，属于基础题.5．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．“对任意正整数n ，均有0n a >”是“{}n S 为递增数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】利用单调性的定义和举特例来判断两个条件的充分性和必要性关系. 【详解】当0n a >时，则()102,n n n S S a n n N *--=>≥∈，1n n S S -∴>，则“对任意正整数n ，均有0n a >”是“{}n S 为递增数列”的充分条件；如数列{}n a 为1-、1、2、3、4、L ，显然数列{}n S 是递增数列，但是n a 不一定大于零，还有可能小于或等于零，所以，“对任意正整数n ，均有0n a >”不是“{}n S 为递增数列”的必要条件， 因此，“对任意正整数n ，均有0n a >”是“{}n S 为递增数列”的充分不必要条件， 故选：A. 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，判断时可结合单调性的定义或特例来进行判断，考查推理能力，属于中等题.6．如图，已知双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的左焦点为F ，A 为虚轴的一端点.若以A 为圆心的圆与C 的一条渐近线相切于点B ，且AB tBF =u u u v u u u v()t R ∈，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B 5C 13+D 15+ 【答案】D【解析】【详解】由题得双曲线的第一、三象限的渐近线方程为0bx ay -=，所以点A到渐近线的距离ab AB c==，因为AB tBF =u u u v u u u v，所以A,B,F 三点共线.由题得ABO AFO ∆~∆,所以2222222||||||,()abOA AB AF b b c a b c c=⨯∴=∴=+ 222222422442()(2)30310c a c a c a c a c a e e ∴-=-∴-+=∴-+=22361()1242e e ++∴===∴=+，故选D. 7．正四面体ABCD ，E 为棱AD 的中点，过点A 作平面BCE 的平行平面，该平面与平面ABC 、平面ACD 的交线分别为12,l l ，则12,l l 所成角的正弦值为（ ） A．BC ．13D．2【答案】A【解析】由面面平行的性质可得1//l BC 、2//l CE ，则12,l l 所成的角等于BC 与CE 所成的角BCE ∠（或补角），利用余弦定理可求得cos BCE ∠，再由同角三角函数的平方关系可求得sin BCE ∠. 【详解】设所作的平面为α，则由//α平面BCE ，αI 平面1ABC l =， 平面BCE I 平面ABC BC =，得1//l BC ，同理可得2//l CE ， 所以12,l l 所成的角等于BC 与CE 所成的角，即BCE ∠（或补角）． 设正四面体ABCD 的棱长为2，则2BC =，CE BE ==在BCE V中由余弦定理，得222cos 3BCE ∠==，则sin 3BCE ∠==. 故选：A【点睛】本题主要考查空间平面与平面之间的平行关系、余弦定理的应用，考查考生的逻辑推理能力、空间想象能力、运算求解能力、化归与转化思想，属于中档题．8．已知向量,a b r r 满足||1a =r ，且对任意实数,,||x y a xb -r r 3||b ya -rr 的3||a b +=r r（ ）A 7B 523+C 73D 523+523-【答案】C【解析】不妨设向量(1,0),(,)a b m n ==r r ，求出a xb -r r 、b ya -rr 的坐标，2||a xb -r r 表示为关于x 的二次函数，根据二次函数的图象与性质可利用最小值列出等式，同理，2||b ya -r r 表示为关于y 的二次函数，利用最小值列出等式，两式联立求出m 、n ，即可求得向量 a b +r r的模.【详解】不妨设向量(1,0),(,)a b m n ==r r ，则(1,),(,)a xb xm xn b ya m y n -=---=-r r r r，()222222||(1)()21a xb mx xn m n x mx -=-+-=+-+r r ，又对任意实数x 有||a xb -r r 3()()2222224(2)34m n m m n +--=+⎝⎭，化简得223n m =． 222||()b ya m y n -=-+r r ，又对任意实数y 有||b ya -r r 3所以23n =，所以233m =，即1m =±．由(1,)a b m n +=+r r ，可得22222||(1)217a b m n m n m +=++=+++=r r 或3，故||7a b =+r r3【点睛】本题主要考查平面向量与二次函数最小值的综合问题，考查考生分析问题、解决问题的能力以及运算求解能力，属于中档题．本题求解的关键：一是设出向量,a b r r的坐标，有利于从“数”的角度加以分析；二是在“平方”变形的基础上，灵活运用二次函数的最小值． 9．已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，对任意大于2的正整数n ，记集合{}|,,,1ijx x a a i N j N i j n =+∈∈<剟的元素个数为nc，把{}n c 的各项摆成如图所示的三角形数阵，则数阵中第17行由左向右数第10个数为（ ）A ．291B ．292C ．293D ．294【答案】C【解析】设1(1)(0)n a a n d d =+-≠，则12(2)i j a a a i j d +=++-，分析出2i j +-可取的数从而求出n c 的表达式，第17行由左向右数第10个数为148c ，148n =代入n c 即可得解. 【详解】设1(1)(0)n a a n d d =+-≠，则12(2)i j a a a i j d +=++-，由题意知1i j n <剟，当1,2i j ==时，2i j +-取最小值1，当1i n =-，j n =时，2i j +-取最大值23n -，易知2i j +-可取遍1,2,3,,23n -L ，即23(3)n c n n =-…．数阵中前16行共有12316136++++=L （个）数，所以第17行由左向右数第10个数为14821483293c =⨯-=.故选：C 【点睛】本题主要考查等差数列、归纳推理等知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题． 10．已知函数()()34xf x ax b e-=+⋅，则（ ）A ．当0a b >>时，()f x 在()-0∞，单调递减B ．当0b a >>时，()f x 在()-0∞，C ．当0a b <<时，()f x 在()0+∞，单调递增D ．当0b a ≤<时，()f x 在()0+∞，单调递增 【答案】D【解析】求导()()32324'343x x b f x ax ax b e ae x x a --⎛⎫=-+-=-+ ⎪⎝⎭然后分析函数单调性，根据a ，b 取值情况，重点分析3243bx x a-+最值即可得出原函数的单调情况，从而得出结论. 【详解】()()32324'343x x b f x ax ax b e ae x x a --⎛⎫=-+-=-+ ⎪⎝⎭，当3232401,334b bb a x x x x a a≤<⇒≥-+≥-+， 令()3234h x x x =-+，则()2'36h x x x =-，所以()h x 在()0,2递减，()2,+∞递增，()h x 的最小值是()20h =， 所以()0h x ≥则 ()()'0f x f x >⇒在()0,+∞单调递增，选D 【点睛】本题考查了导数与函数单调性的关系，函数单调性的判断与应用，属于中档题．二、双空题11．在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的数表，表中除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数之和.利用这一性质，36C =__________，47C =__________．（用数字作答）【答案】20 35【解析】323434655766C C C 101020,C C C 20+15=35=+=+==+=,故填20，35.12．已知随机变量ξ的分布如表所示，则()E ξ=______，()D ξ=______．ξ1-1P m13【答案】13-89【解析】利用分布列求解m ，求出期望，利用方差公式求方差． 【详解】由随机变量ξ的分布可得113m +=，可得23m =， 所以()21111333E ξ=-⨯+⨯=-．()22121181133339D ξ⎛⎫⎛⎫=-+⨯++⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为：13-；89． 【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布和数学期望、方差等基础知识，熟记期望、方差的公式是解题的关键．13．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为_______,表面积为_______.【答案】13 3522++ 【解析】根据三视图画出其立体图形,由此计算出几何体的体积和表面积. 【详解】Q 根据其三视图可知其几何体是一个四棱锥,底面是边长为1正方形ABCD ,过E 向底面作垂线交AD 延长线于O ,根据其三视图可知1EO =,∴ 11111333E ABCD V S h -=⋅=⋅⋅=过O 作OF AB P 且OF AB =,则四边形OFBA 是边长为1正方形. 连接EF ,可得EF FB ⊥Q 在Rt EFO V 222EF EO OF =+∴ 2EF =故121222S EBC =⋅=V Q 1151522S EDC DC ED =⋅⋅=⋅=V 1121222S EAB AB EA =⋅⋅=⋅=V 11111222S EAD AD EO =⋅⋅=⋅⋅=V1S ABCD =Y其几何体表面积为:3522S ++=故答案为: 133522++. 【点睛】本小题主要考查了几何体体积和表面积的计算,解题关键是根据其三视图画出其立体图形.要注意三视图的三要素“高平齐,长对正,宽相等”,注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响,对简单组合体三视图问题,先看俯视图确定底面的形状,根据正视图和侧视图,确定几何体的形状.14．已知正数x ，y 满足22x y +=，则当x =__________时，1y x-取得最小值为__________．【答案】22 【解析】【详解】 由题得111(22)22,0y x x x x x x-=--=+->Q ，12222x x ∴+-≥=， 当且仅当012x x x>⎧⎪⎨=⎪⎩，即2x =时取等.故填（1）2（2）2.三、填空题15．已知正三角形ABC 的边长为4，O 是平面ABC 上的动点，且3AOB π∠=，则OC AB ⋅u u u v u u u v的最大值为_______．【答案】3【解析】【详解】以AB 所在的直线为x 轴，垂直平分线为y 轴建立直角坐标系,设(,),(20),(20),(0O x y A B C -则，，.由题得，022422tan 604122y yy x x y y x y x x --+-===+-+⋅+-，2204y +-=，即222+x y =（， 所以动点O的轨迹是圆222+x y =（，所以x ≤≤()(4,0)4OC AB x y x ⋅=-⋅=-u u u r u u u r，所以-4x的最大值为3.故答案为：163 3点睛:本题的难点在于想到利用解析法来解析,本题如果不用解析法解答,用其它方法,比较复杂,很难化简，但是利用解析法，先求出动点的轨迹，后面就简单了. 遇到正三角形、直角三角形、菱形等，可以尝试利用解析法解答.16．某翻译处有8名翻译，其中有小张等3名英语翻译，小李等3名日语翻译，另外2名既能翻译英语又能翻译日语，现需选取5名翻译参加翻译工作，3名翻译英语，2名翻译日语，且小张与小李恰有1人选中，则有____种不同选取方法.【答案】29【解析】据题意，对选出的3名英语教师分5种情况讨论：①若从只会英语的3人中选3人翻译英语，②若从只会英语的3人中选2人翻译英语，（包含小张），③若从只会英语的3人选小张翻译英语，④、若从只会英语的3人中选2人翻译英语，（不包含小张），⑤、若从只会英语的3人中选1人翻译英语，（不包含小张），每种情况中先分析其余教师的选择方法，由分步计数原理计算每种情况的安排方法数目，进而由分类计数原理，将其相加计算可得答案．【详解】根据题意，分5种情况讨论：①、若从只会英语的3人中选3人翻译英语，则需要从剩余的4人（不含小李）中选出2人翻译日语即可，则不同的安排方案有246C=种，②、若从只会英语的3人中选2人翻译英语，（包含小张）则先在既会英语又会日语的2人中选出1人翻译英语，再从剩余的3人（不含小李）中选出2人翻译日语即可，则不同的安排方案有11222312C C C⨯⨯=种，③、若从只会英语的3人选小张翻译英语，则先在既会英语又会日语的2人中选出2人翻译英语，再从剩余的2人（不含小李）中选出2人翻译日语即可，则不同的安排方案有22221C C ⨯=种，④、若从只会英语的3人中选2人翻译英语，（不包含小张）则先在既会英语又会日语的2人中选出1人翻译英语，再从剩余的4人（小李必选）中选出2人翻译日语即可，则不同的安排方案有2112236C C C ⨯⨯=种，⑤、若从只会英语的3人中选1人翻译英语，（不包含小张）则先在既会英语又会日语的2人中选出2人翻译英语，再从剩余的3人（小李必选）中选出2人翻译日语即可，则不同的安排方案有1212224C C C ⨯⨯=种，则不同的安排方法有61216429++++=种． 故答案为29． 【点睛】本题考查排列、组合的运用，注意根据题意对“既会英语又会日语”的教师的分析以及小张与小李恰有1人选中，是本题的难点所在．17．在锐角三角形ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若224sin 6b c bc A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则tan tan tan A B C ++的最小值是______．【答案】【解析】由余弦定理及所给等式可得22cos 4sin 6a bc A bc A π⎛⎫+=+⎪⎝⎭，化简得2sin a A =，然后利用正弦定理进行边化角可整理得tan tan tan B C B C +=，再由tan tan()A B C =-+可推出tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅，令tan tan 1(0)B C m m ⋅-=>将所求式子整理为关于m 的函数，利用基本不等式即可求得最小值. 【详解】由余弦定理，得2222cos b c a bc A +=+，则由224sin 6b c bc A π⎛⎫+=+⎪⎝⎭，得22cos 4sin 2cos )6a bc A bc A bc A A π⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，所以2sin a A =，由正弦定理，得2sin sin sin A B C A =⋅⋅，所以sin sin A B C =，所以sin()sin B C B C +=，sin cos cos sin sin B C B C B C +=，tan tan tan B C B C +=．因为tan tan tan tan()tan tan 1B CA B C B C +=-+=-，所以tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅， 则tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1B C B CA B C B C B CB C B C +++=⋅⋅=⋅⋅--．令tan tan 1B C m ⋅-=，而tan tan tan tan 1,0tan tan B CB C m A A⋅-=+∴> 则tan tan 1B C m ⋅=+，)221tan tan tan m m A B C m++++==122)m m ⎫=++=⎪⎭…当且仅当1m =时，等号成立，故tan tan tan A B C ++的最小值为故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，两角和的正弦公式、正切公式，基本不等式的应用，换元法的应用等，属于较难题．根据条件中边和角的关系求解三角形的相关问题的一般方法：（1）利用正弦定理将边化为角，然后利用三角函数的知识及其他知识求解；（2）利用正弦定理或余弦定理将角化为边，然后利用代数知识求解．四、解答题18．函数()2sin()10,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=++><<⎪⎝⎭的图象过点14π⎛⎫+⎪⎝⎭，且相邻两个最高点与最低点的距离为2．（1）求函数()f x 的解析式和单调增区间； （2）若将函数()f x 图象上所有的点向左平移38π个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的12，得到函数()g x 的图象，求()g x 在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．【答案】（1）()2sin 214π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭f x x ；3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）[1]- 【解析】（1）根据相邻两个最高点和最低点的距离，建立方程，求出ω，利用已知点，求出ϕ，可得函数的解析式，利用正弦函数的单调增区间，可得结论；（2）根据三角函数图象变换规则求出()g x 的解析式，根据角的范围，利用正弦函数的性质即可得出结论． 【详解】（1）相邻两个最高点和最低点的距离为2=，解得2ω=，()2sin(2)1f x x ϕ=++，14π⎛⎫⎪⎝⎭Q 在函数图象上，2sin 11sin cos 4222f πππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++=⇒+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0,24ππϕϕ<<∴=Q ，()2sin 214f x x π⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭．由222,242k x k k Z πππππ-+++∈剟，得3,88k x k k Z ππππ-++∈剟， ()f x ∴的单调增区间为3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦． （2）()f x 向左平移38π个单位长度得32sin[2()]2sin(2)12sin 2184y x x x πππ=++=++=-+， 2sin 21y x =-+图象上所有点的横坐标变为原来的12得()2sin 41g x x =-+，当123xππ剟时，4433x ππ≤≤，3sin 41x -剟， 1()31g x ∴-+剟，()g x ∴在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[1,31]-+．【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，三角函数图像变换规则，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，属于中档题．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AB CD ，4CD =，2PA AB BC AD ====，Q 为棱PC 上的一点，且13PQ PC =．(Ⅰ)证明：平面QBD ⊥平面ABCD ； (Ⅱ)求直线QD 与平面PBC 所成角的正弦值．【答案】(Ⅰ)见证明；（2）(Ⅱ)32114. 【解析】(Ⅰ)连结AC BD 、，交于点O ，推导出//QO PA ，QO ⊥平面ABCD ，由此能证明平面QBD ⊥平面ABCD ；(Ⅱ)过D 作平面P BC 的垂线，垂足为H ，则DQH ∠即为直线QD 与平面PBC 所成角，设为θ，设DH h =，由Q BCD D BCQ V V --=，求出421h =，由此能求出直线QD 与平面PBC 所成角的正弦值． 【详解】(Ⅰ)连结AC ，BD ，交于点O ，则由ABO V ∽CDO V ，得13AO AC =， 13PQ PC =Q ，//QO PA ∴，PA Q ⊥平面ABCD ，QO ∴⊥平面ABCD ，又QO ⊂平面QBD ，∴平面QBD ⊥平面ABCD ．(Ⅱ)过D 作平面PBC 的垂线，垂足为H ，则DQH ∠即为直线QD 与平面PBC 所成角，设为θ， 设DH h =，Q BCD D BCQ V V --=Q ，1133BCD BCQ S QO S h ∴⋅=⋅V V ， 即14122373333h ⨯⨯=⨯⨯， 解得421h =， 22283QD QO OD =+=Q ，∴直线QD 与平面PBC 所成角的正弦值321sin h DQ θ==． 【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查数形结合思想与空间想象能力，是中档题．求线面角的方法：1、传统法：根据图形正确作出线面角是解决问题的关键，这要求学生必须具有较强的空间想象能力，同时还应写出必要的作、证、算过程；2、向量法：对于特殊的几何体，如长方体、正方体等当比较容易建立空间直角坐标系时，也可采用向量法求解. 20．已知数列的前项和为，且满足（且）Ⅰ当，时，求数列的前项和：Ⅱ若是等比数列，证明：．【答案】Ⅰ;Ⅱ证明见解析.【解析】Ⅰ当，时，，运用分组求和方法，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和；Ⅱ可得，时，，运用等比数列的通项公式，可得，的值，进而得到，利用裂项相消法求和，结合放缩法即可得证．【详解】Ⅰ当，时，，前n项和；Ⅱ可得，时，，由是等比数列，可得，且，即，，，则，则，．【点睛】本题考查数列的求和方法：分组求和和裂项相消求和，考查等差数列与等比数列的求和公式的运用，考查化简运算能力，属于中档题．利用“分组求和法”求数列前项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减.21．已知椭圆M：22221x ya b+=(0)a b>>3A，B分别为M的右顶点和上顶点，且5AB=（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）若C ，D 分别是x 轴负半轴，y 轴负半轴上的点，且四边形ABCD 的面积为2，设直线BC 和AD 的交点为P ，求点P 到直线AB 的距离的最大值.【答案】(1) 2214x y += (2)5105【解析】试题分析：（1）第（Ⅰ）问，根据题意得到关于,,a b c 的方程组，解方程组即可. (2)第（Ⅱ）问，先转化四边形ABCD 的面积为2，得到点P 的轨迹，再结合点P 的轨迹球点P 到AB 的距离的最大值. 试题解析：（Ⅰ）由32c a =得2a b =. 又225AB a b =+=1b =，2a =.所以椭圆M 的方程为2214x y +=.（Ⅱ）设()00,P x y ，(),0C s ，()0,D t ，其中0s <，0t <.因为()2,0A ，()0,1B ， 所以0022y tx =--，0011y x s --=，得0022y t x =--，001x s y =--. 又四边形ABCD 的面积为2，得()()214s t --=，代入得0000221412x y y x ⎛⎫⎛⎫++= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭，即()20022x y +- ()()00421x y =--，整理得220044x y +=.可知，点P 在第三象限的椭圆弧上. 设与AB 平行的直线12y x m =-+ (0)m <与椭圆M 相切. 由224412x y y x m⎧+=⎪⎨=-+⎪⎩消去y 得222220x mx m -+-=，2840m ∆=-=，2m =-.所以点P 到直线AB 的距离的最大值为21114++252105+=.点睛：本题的难点在于转化条件得到动点P 的轨迹，对于四边形ABCD 的面积为2的转化，最好是把这个四边形分成两个三角形的面积来求解. 22．设函数3()(1)f x x ax b =---，x ∈R ，其中a,b ∈R. （Ⅰ）求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若f （x ）存在极值点x 0，且f （x 1）= f （x 0），其中x 1≠x 0，求证：x 1+2x 0=3； （Ⅲ）设a ＞0,函数g （x ）= |f （x ）|,求证：g （x ）在区间[0,2]上的最大值不小于14. 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）先求函数的导数'()f x ，再根据导函数零点是否存在，分类讨论；（Ⅱ）由题意得，计算可得00(32)()f x f x -=.再由及单调性可得结论；（Ⅲ）实质研究函数最大值：主要比较(1),(1)f f -，33(,()33a a f f -的大小即可，可分三种情况研究：①3a ≥；②334a ≤<；③304a <<. 试题解析：（Ⅰ）解：由，可得.下面分两种情况讨论： （1）当时，有恒成立，所以的单调递增区间为.（2）当时，令，解得313a x =+，或31ax =-. 当变化时，，的变化情况如下表：3(,1)3a-∞-313a -33(1,1)33a a -+313a+3(1,)3a++∞＋0 －0 ＋单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以的单调递减区间为33(1,1)33a a-+，单调递增区间为3(,1)3a-∞-，3(1,)3a++∞.（Ⅱ）证明：因为存在极值点，所以由（Ⅰ）知，且，由题意，得，即，进而.又，且，由题意及（Ⅰ）知，存在唯一实数1x满足，且，因此，所以.（Ⅲ）证明：设在区间上的最大值为，表示两数的最大值.下面分三种情况讨论：（1）当时，331021a a-≤<≤+，由（Ⅰ）知，在区间上单调递减，所以在区间上的取值范围为，因此{}{}max(2),(0)max12,1M f fa b b==----， 所以.（2）当时，2333231011213333a a a a -≤<-<+<≤+，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，233(0)(1)(1)33a a f f f ≥-=+，233(2)(1)(1)33a a f f f ≤+=-， 所以在区间上的取值范围为33[(1),(1)]33a a f f +-，因此 3322max (1),(1)max 3,33399a a a a M f f a a b a a b ⎧⎫⎧⎫⎪⎪=+-=-----⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭.（3）当时，2323011233a a <-<+<，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知， 233(0)(1)(1)a a f f f <-=+，233(2)(1)(1)a a f f f >+=-， 所以在区间上的取值范围为，因此.综上所述，当时，在区间上的最大值不小于.【考点】导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式【名师点睛】1．求可导函数单调区间的一般步骤：（1）确定函数f （x ）的定义域（定义域优先）；（2）求导函数f ′（x）；（3）在函数f（x）的定义域内求不等式f ′（x）＞0或f ′（x）＜0的解集；（4）由f ′（x）＞0（f ′（x）＜0）的解集确定函数f（x）的单调增（减）区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．2．由函数f（x）在（a，b）上的单调性，求参数范围问题，可转化为f ′（x）≥0（或f ′（x）≤0）恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．。
浙江省杭州第十四中学2019届高三9月月考试数学试题(解析版)
浙江省杭州第十四中学2019届高三9月月考试数学试题本试卷满分150分，考试时间120分钟参考公式：台体的体积公式：(其中分别表示台体的上、下底面积，表示台体高)柱体的体积公式：(其中表示柱体的底面积，表示柱体的高)锥体的体积公式：(其中表示锥体的底面积，表示锥体的高)球的表面积公式：，球的体积公式：(其中表示球的半径)选择题部分(共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集，集合，，则 ( )A. [－1,0)B. (0,5]C. [－1,0]D. [0,5]【答案】C【解析】【分析】先由题，分别解不等式，求出集合A和集合B，再利用集合的运算求得结果即可.【详解】由题，解得集合=集合=故[－1,0]故选C【点睛】本题考查了集合的混合运算，求解不等式是解题的关键，属于基础题.2.分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，且，则的周长为（）A. 15B. 16C. 17D. 18【答案】D【解析】由双曲线的方程可知：，则，据此可知的周长为.本题选择D选项.点睛：双曲线定义的集合语言：P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a,0＜2a＜|F1F2|}是解决与焦点三角形有关的计算问题的关键，切记对所求结果进行必要的检验3.如图是某几何体的三视图（单位：cm），则该几何体的体积是( )cm3A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据三视图，判断出几何体是三棱锥，然后再利用体积公式求得体积即可.【详解】由几何体的三视图可知，该几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面面积故体积故选B【点睛】本题考查了三棱锥的体积，解题的关键是能否由三视图判断出几何体的原型，属于较为基础题.4.设复数满足（是虚数单位），则的共轭复数（）A. B. C. D.【答案】A【解析】,,，故选A.5.已知锐角的终边上一点，则锐角=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由题意，∴锐角=，故选C考点：本题考查了三角函数的概念及诱导公式点评：熟练掌握三角函数的概念及诱导公式是解决此类问题的关键，属基础题6.函数的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】试题分析：由题意得，可排除B,D,当时，，故排除C所以答案为A考点：函数的图像7.已知，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先由判断是否能推出，再由判断是否能推出，即可得出结果.【详解】已知充分性：若因为，所以,所以,所以；必要性：若，则当时，，所以必要性不成立；因此“”是“”的充分不必要条件.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件，属于基础题型.8.已知正数满足，则的最小值是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用不等式进行变型，转化为，所以原式变化成关于z的函数，然后求导进行求最值即可得到答案. 【详解】(当且紧当时取等号)又因为已知正数满足，所以即故令此时函数递增；此时函数递减；故故选B【点睛】本题主要考查了不等式综合，利用基本不等式进行变型，然后还考查了导函数的应用，利用单调性求最值，属于较难题.9.已知共面向量满足且.若对每一个确定的向量，记的最小值为，则当变化时, 的最大值为 ( )A. B. C. 8 D.【答案】C【解析】【分析】先固定向量，则向量分别在以(4,0)为圆心，r为半径的圆上的直径两端运动，得知点B的坐标，利用OB=BC，得，然后利用平面向量的几何意义的最小值为，，然后求得答案即可.【详解】如图，固定向量，则向量分别在以(4,0)为圆心，r为半径的圆上的直径两端运动，其中易知点B的坐标因为所以OB=BC，即整理可得，所以而的最小值为，即将，当时取最大值，此时故的最大值为8故选C【点睛】本题主要考查了平面向量与平面几何的综合知识，利用圆的性质，平面向量的几何意义，是一道综合性较强的题目，属于难题.10.已知数列中，，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据题意，对原式进行化简可得，然后利用累加法求得，然后不等式恒成立转化为恒成立，再利用函数性质解不等式即可得出答案.【详解】由题，即由累加法可得：即对于任意的，不等式恒成立即令可得且即可得或故选B【点睛】本题主要考查了数列的通项的求法以及函数的性质的运用，属于综合性较强的题目，解题的关键是能够由递推数列求出通项公式和后面的转化函数，属于难题.非选择题部分(共110分)二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11.已知随机变量的分布列如下表，且，则=______,________.【答案】(1). (2).【解析】【分析】(1)由概率之和为1直接求出p的值即可；(2)先由题求出a的值，再求出D(x)，再利用公式求出即可.【详解】(1)由题，(2)由期望公式：故故答案为(1). (2).【点睛】本题主要考查了离散随机变量分布列的性质、期望、方差运算性质，属于基础题.12.若变量满足约束条件，则的最大值为__________，最小值为__________．【答案】(1). (2).【解析】【分析】由题画出约束条件的可行域，然后求得交点，代入求得最大最小值.【详解】变量满足约束条件，可行域如图所示：易知直线过B取最大，过点D取最小联立解得B(2,0)联立解得D(-4,-3)所以z的最大值为：最小值：【点睛】本题考查了线性规划，画图是关键，属于基础题.13.在中，角，，的对边分别为．若，，，则__________，__________．【答案】(1). 2(2).【解析】∵，由正弦定理可得：，∴，，∴．14.的展开式中，项的系数为14，则_____，展开式各项系数之和为______．【答案】(1). (2).【解析】【分析】由题，得出的展开式通项为，然后求得a的值，再令x=1，求得各项系数之和. 【详解】由题，的展开式通项为令，此时所以原式为，令，得各项系数之和为故答案为、1【点睛】本题考查了二项式定理及其应用，考查运算求解能力，属于较为基础题.15.由组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，且4不在第四位，则这样的六位数共有________个. (用数字作答)【答案】120【解析】试题分析：先排3个偶数，从左到右有4个空，如排1,2,3个空，由于4不在第四位，共有种，若排1，2,4个空，共有，若排1,3,4则4不会在第四位，共有种，若排2,3,4个空，则4不会在第四位，共有，因此共有24+24+36+36=120种，故答案为120种.考点：排列组合的综合应用.16.已知函数若函数恰有4个不同的零点，则的取值范围为_________.【答案】【解析】【分析】由题，得知在上单调递减，当在上有唯一实数解，设，当有唯一零点0，要使有4个零点，则有两解以及有两解，即有一解，然后求得答案.【详解】由题，当时，，所以在上单调递减，当在上有唯一实数解，设.当有唯一零点0，设，要使有4个零点，则有两解以及有两解，则，又因为为在的解，所以有一解，且，即成立.因为，所以在是递增的，故最小值为，所以综上所述，t的取值为故答案为【点睛】本题考查了分段函数的零点，利用导函数研究函数的性质，考查运算求解能力，数形结合思想，意在让少数考生得分，属于难题.17.已知椭圆的左，右焦点分别为，点是椭圆上异于长轴端点的任意一点，若是线段上一点，且满足，则椭圆离心率的取值范围为______________.【答案】【解析】试题分析：由题意得，设，取的中点，由，则，解得点，又，所以，由三角形的中位线可知，即，整理得，所以点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆上，所以使得圆与椭圆有公共点，则，所以椭圆的离心率为．考点：椭圆的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，属于中档试题，着重考查了转化与化归思想和函数方程思想的应用，同时考查了推理运算能力，本题的解答中设出点的坐标，取的中点，可转化为，代入点的坐标，可得点的轨迹方程，只需使得圆与椭圆有交点即可得到的关系，求解椭圆离心率的取值范围.三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．18.已知函数．(Ⅰ)求的最小正周期及对称轴；(Ⅱ)求函数在区间[0,]上的值域．【答案】（I），对称轴；（II）.【解析】【分析】（I）由题将进行化简易得，可得周期和对称轴；(Ⅱ) 因为，所以，易得求得值域.【详解】（Ⅰ）所以对称轴即（Ⅱ）由（Ⅰ）得因为，所以，所以，因此所以f(x)的值域．【点睛】本题考查了三角恒等变化以及性质，属于基础题.19.如图，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC， PA＝1，AB＝AC＝，D为BC的中点，过点D作DQ平行于AP,且DQ＝1.连接QB, QC, QP.(Ⅰ)证明：AQ⊥平面PBC；(Ⅱ)求直线BC与平面ABQ所成角的余弦值.【答案】（I）详见解析；（II）.【解析】【分析】（I）由题，用线面垂直的性质以及勾股定理逆定理证得AQ⊥PD和BC⊥AQ，得证；(Ⅱ) （向量法）建立如图所示直角坐标系，求得平面ABQ的的法向量再用线面角的公式求得答案；（几何法）利用等体积法求得 C点到平面ABQ的距离，然后可得直线BC与平面ABQ 所成角的余弦值.【详解】(Ⅰ)连接AD,PD,由PA⊥平面ABC得PA⊥AD,因为PA//DQ且PA=DQ，即四边形ADQP为矩形，又AB=AC＝，AB⊥AC，则AD＝1=AP,所以四边形ADQP为正方形，AQ⊥PD且BC⊥AD, BC⊥DQ,则BC⊥平面ADQ,即BC⊥AQ故AQ⊥平面PBC.(Ⅱ)（向量法）建立如图所示直角坐标系，则，则设平面ABQ的的法向量为于是（几何法）由于，且,则于是C点到平面ABQ的距离所以【点睛】本题考查了立体几何线面垂直以及线面角的综合问题，熟悉证明方法以及利用空间向量解决立体几何的线面角是解题的关键，属于中档题.20.已知正项等比数列满足成等差数列，且.(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)若，，求成立的正整数n的最小值.【答案】（I）；（II）.【解析】【分析】(Ⅰ)由题易知，求得公比q，，求得首项，得出通项公式；（II）将代入求得，然后利用错位相减求和求得，由题解得结果.【详解】(Ⅰ)设数列的公比为q,则，所以数列的通项公式为.(Ⅱ),则①②①－②得：.所以．由得.由于时，；时，.故使成立的正整数的最小值为.【点睛】本题考查了数列的综合，熟悉等差等比中项以及错位相减求和是解题的关键，属于中档题.21.已知椭圆C :的左右焦点分别是，焦距为，以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;(Ⅱ)设椭圆E: ,P为椭圆E上的任一点，过点P的直线交椭圆C于A,B两点，射线PO 交椭圆C于点Q，求面积的最大值．【答案】（I）；（II）.【解析】【分析】（I）由题，根据焦距为，以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，，求得标准方程.（II）联立椭圆E与直线，由得，再联立椭圆C与直线，表示出，然后得到面积，然后求得最值即可.【详解】(1)由已知：即椭圆C的标准方程为.(2)设，当直线OP斜率不存在时，; 当直线OP斜率存在时，设直线OP方程为，则，则，即.由(1)得椭圆E: ，由直线过椭圆E上点P，联立方程组，则, 由得. (*)由，则，由得 (**)，设直线交椭圆C的交点则，由，则由(*)(*)可得：，则，即【点睛】本题主要考查了圆锥曲线的综合，直线与圆锥曲线的相交问题，属于难题.直线与圆锥曲线解题步骤：(1)设出点和直线的方程（考虑斜率的存在）；（2）联立方程，化简为一元二次方程（考虑判别式），利用韦达定理；（3）转化，由题已知转化为数学公式；（4）计算，细心计算.22.已知函数其中(Ⅰ)若，且当时，总成立，求实数m的取值范围；(Ⅱ)若，存在两个极值点，求证：【答案】（I）；（II）详见解析.【解析】【分析】（I）由题，得知则然后讨论时函数的单调性求最值，可得答案；（II）由题，存在两个极值点，易知的两根，然后求得，此时，再利用单调性可证. 【详解】(Ⅰ) 若，且当时，总成立，则当所以当即在上单调递减，在上单调递增，舍去，综上所述：(Ⅱ)若因为存在两个极值点，则令，即，则所以，即因为所以上述另法：要证即证设则令，即在单调递增，单调递减，则，所以得证.【点睛】本题主要考查了导函数的应用，单调性，极值以及不等式的证明综合问题，能否进行转化是解题的关键所在，属于极难题型.。
浙江省杭州市2019届高三4月教学质量检测(二模)数学试题(WORD版)
杭州市2019届高三教学质量检测（二模）数学试题 2019.4.22一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、设集合{}{}2|1,|4A x x B x x =>=≤，则AB =（ ）A ．()1,2B ．(]1,2C ．(]0,2D ．()1,+∞2、已知复数1z i =+（i 是虚数单位），则211z z -=+（ ）A ．iB ．i -C ．1i +D ．1i -3、二项式612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项为（ ）A ．20B ．-20C ．160D ．-1604、 “a b >”是“a a b b >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5、《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍（音meng ，底面为矩形的屋脊状的几何体），下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．已知该刍甍的三视图如图所示，则此刍甍的体积等于（ ）A ．3B ．5C ．6D ．126、函数()()212x y x x e =--（其中e 为自然对数的底数）的图象可能是（ ）DC A命题p ：=E E ξη，命题q ：D D ξη=，则（ ）A ．p 真q 真B ．p 真q 假C ．p 假q 真D ．p 假q 假8、设函数()111222xxf x ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则函数()()y f f x =（ ）A ．是偶函数也是周期函数B ．是偶函数但不是周期函数C ．不是偶函数是周期函数D ．既不是偶函数也不是周期函数9、已知数列{}n a 满足112n n n a a a -+≤+（*n N ∈，2n ≥），则（ ）A ．52143a a a ≤-B ．2736a a a a +≤+C ．()76633a a a a -≥-D ．2367a a a a +≥+10、已知椭圆()2222:10x y a b a bΓ+=>>，直线1x y +=与椭圆Γ交于,M N 两点，以线段MN 为直径的圆经过原点．若椭圆Γ，则a 的取值范围为（ ） A．(B．⎝ C．⎛ ⎝⎦D．⎛ ⎝⎦非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11、双曲线2214x y -=的焦距是 ，渐近线方程是 ．12、设函数()()()log 020a x x x f x x >⎧⎪=⎨≤⎪⎩，若1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则实数a = ，()()2f f = ． 13、在ABC △中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，已知1cos24C =-，则sin C = ；当2a =，2sin sin A C =时，则b = ．14、设实数x ,y 满足不等式组250,270,0,0.x y x y x y +-≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥≥⎩则2x y +的最小值是 ；设22d x y =+，则d 的最小值等于 ．15、已知集合{}1,3,5A =，{}0,2,4B =，分别从A ,B 中各取2个不同的数，能组成不同的能被3整除的四位偶数的个数是 （用数字作答）．16、已知向量()1,2a =，平面向量b 满足()25a b a b +⋅=，则()4b a b -⋅的最小值等于___________．17、如图，已知矩形ABCD ，AB =，1AD =，AF ⊥平面ABC ，且3AF =．E 为线段DC 上一点，沿直线AE 将△ADE 翻折成△D AE '，M 为BD '的中点，则三棱锥M BCF -体积的最小值是 ．EMC A D'DF三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18、（本题满分14分）已知函数()222sin f x x x =+．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）当,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域．19、（本题满分15分）如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，90BAF ∠=，2AD =，1AB AF ==，点P 在线段DF 上．（1）证明：AF ⊥平面ABCD ． （2）若二面角DF AP C --PF 的长度． PF EDC BA20、（本题满分15分）设等差数列{}n a 前n 项和为n A ，等比数列{}n b 前n 项和为n B ．若387n n B B +=+，12a b =，44a b =．（1）求n b 和n A ；（2）求数列{}n n b A -的最小项．21、（本题满分15分）如图，已知()1,1P 为抛物线2y x =上一点，斜率分别为k ，k -()2k >的直线P A ，PB 分别交抛物线于点A ，B （不与点P 重合）．（1）证明：直线AB 的斜率为定值； （2）若△ABP（i ）求△ABP 的周长（用k 表示）； （ii ）求直线AB 的方程．22、（本题满分15分）已知函数()()1x f x x e =-．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若方程()(),f x ax b a b R =+∈有非负实数解，求2+4a b 的最小值．。
浙江省杭州市2024届高三下学期4月教学质量检测数学试题含答案
2023学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测数学试题卷（答案在最后）考生须知：1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分150分，考试时间120分钟.2．请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的作答无效！3．考试结束，只需上交答题卡.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数()sin f x x=的最小正周期是A.4πB.2πC.πD.2π【答案】C 【解析】【详解】sin x 的图象是将sin x 的图象在x 轴下方的部分对称翻折上来所得，所以周期是sin x 周期的一半，即周期为π.2.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是A.若//,//,m n αα则//m n B.若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C.若m α⊥，m n ⊥，则//n α D.若//m α，m n ⊥，则n α⊥【答案】B 【解析】【详解】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B 正确.考点：空间点线面位置关系．3.已知,a b 是两个单位向量，若向量a 在向量b 上的投影向量为12b，则向量a 与向量a b - 的夹角为（）A.30°B.60°C.90°D.120°【答案】B【解析】【分析】由条件结合投影向量的定义可求,a b，再根据向量夹角余弦公式求结论.【详解】因为向量a 在向量b 上的投影向量为12b ，,a b是两个单位向量，所以1cos ,2a a b b b ⋅= ，所以1cos ,2a b = ，又[],0,πa b ∈ ，所以π,3a b = ，所以()21111122a ab a a b ⋅-=-⋅=-⨯⨯=，又11a a b =-=== ，，所以()1cos ,2a ab a a b a a b ⋅--==⋅- ，又[],0,πa a b -∈ ，所以向量a 与向量a b - 的夹角为π3，即60 .故选：B.4.设甲：“函数()2sin f x x ω=在ππ,34⎡⎤-⎢⎣⎦单调递增”，乙：“02ω<≤”，则甲是乙的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据函数单调性求出ω的范围，即可判断答案.【详解】若“函数()2sin f x x ω=在ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增”，则0ω>，由ππ22x ω-≤≤得ππ22x ωω-≤≤，则ππ23ππ24ωω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，解得302ω<≤，所以，甲是乙的充分不必要条件.故选：A5.设数列{}{},n n a b 满足11111,2,2nn n n n a b a b n a b ++==+=+=．设n S 为数列{}n n a b +的前n 项的和，则7S =（）A.110B.120C.288D.306【答案】A 【解析】【分析】利用分组求和法，结合已知，可得答案.【详解】711223344556677S a b a b a b a b a b a b a b =+++++++++++++()()()()()()11232345456767a b a b b a a b b a a b b a =+++++++++++++246112222422622448161264110=++⨯++⨯++⨯+=++++++=.故选：A.6.将5名志愿者分配到三个社区协助开展活动，每个志愿者至少去一个社区，每个社区至少1名，则不同的分配方法数是（）A.300B.240C.150D.50【答案】C 【解析】【分析】先分组，人员构成可能为1、1、3或1、2、2，再将3组全排列即可得.【详解】先将5名志愿者分成3组，若这三组的人员构成为1、1、3，则共有35C 种分组方案，若这三组的人员构成为1、2、2，则共有225322C C A 种分组方案，再将这3组志愿者随机分配到三个社区，共有33A 种分配方案，故共有2233535322C C 103C +A 106150A 2⎛⎫⨯⎛⎫⋅=+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭种分配方法.故选：C.7.设集合{1,1}M =-，{|0N x x =>且1}x ≠，函数()xxf x a a λ-=+（0a >且1a ≠），则（）A.(),,M a f x λ∀∈∃∈N 为增函数B.(),,M a f x λ∃∈∀∈N 为减函数C.(),,M a f x λ∀∈∃∈N 为奇函数D.(),,M a f x λ∃∈∀∈N 为偶函数【答案】D 【解析】【分析】结合指数函数的单调性与奇偶性检验各选项即可.【详解】当1λ=时，()x xf x a a -=+，1a >时，()f x 在(,0)-∞上不是增函数，故A 不正确；当1λ=-时，()xxf x a a-=-，1a >时，()f x 在(0,)+∞上为增函数，B 不正确；当1λ=时，()x xf x a a -=+，()()x x f x a a f x --=+=，()f x 为偶函数，故C 不正确；当1λ=时，()x xf x a a -=+，()()x x f x a a f x --=+=，()f x 为偶函数，故D 正确；故选：D.8.在ABC 中，已知sin cos sin ,cos sin cos A A n C n C B B ==．若πtan 34A ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则n =（）A.无解B.2C.3D.4【答案】A 【解析】【分析】由πtan 34A ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭可得tan 2A =，进而得到tan tan tan 2A B C =⋅=，借助三角形内角和与两角和的正切公式可得tan tan 2B C +=，设tan B t =，有2220t t -+=，可得该方程无解，故不存在这样的n .【详解】由π1tan tan 341tan AA A+⎛⎫+==- ⎪-⎝⎭，即tan 2A =，则cos 0A ≠，由sin cos sin ,cos sin cos A An C n C B B ==，知cos 0C ≠，则tan tan tan AC B=，则tan tan tan 2A B C =⋅=，又()()tan tan tan tan πtan tan tan 1tan tan B CA B C B C B C B C+=--=-+=-=+-⋅，故tan tan 2B C +=，设tan B t =，则tan 2C t =-，有()22t t -=，即2220t t -+=，4840∆=-=-<，即该方程无解，故不存在这样三角形，即n 无解.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知关于x 的方程210(22)x tx t ++=-<<的两根为1z 和2z ，则（）A.12z z =B.121z z ⋅=C.12=z zD.1122z z z z ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】ABC 【解析】【分析】求出方程的两根，即可判断A ，利用韦达定理判断B ，计算出两根的模，即可判断C ，利用复数代数形式的除法运算及B 项的结论化简12z z ，即可判断D.【详解】关于x 的方程210(22)x tx t ++=-<<，则240t ∆=-<，4i 2t x -±∴=，不妨设1422t z =-+，24i 22t z =--，12z z ∴=，故A 正确；由韦达定理可得121z z =，故B正确；121z z ==，故C 正确；121z z = ，∴2222111212222z z t t z z z z ⎛⎫-===-+=- ⎪ ⎪⎝⎭，则21222z t z ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，当0t ≠时，12R z z ∉，此时1122z z z z ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，故D 错误．故选：ABC ．10.已知函数()f x 对任意实数x 均满足()()2211f x f x +-=，则（）A.()()f x f x -=B.1f=C.()113f -=D.函数()f x在区间上不单调【答案】ACD 【解析】【分析】令x 等价于x -，则()()2211f x f x -+-=，可推导出()()f x f x -=，进而可判断A ，利用赋值法可判断B ,C ；先算出满足21x x =-的x 值，由此可得1123f f ⎛⎫+==⎪⎪⎝⎭，即可判断D .【详解】对于A ，令x 等价于x -，则()()2211f x f x -+-=，所以()()()2112f x f x f x ---==，故A 正确；对于B ，令1x =，则()()2101f f +=，令0x =，则()()2011f f +=，解得：()()1013f f ==，令x =，()211ff +=，则13f =，故B 错误；对于C ，由A 知，()()f x f x -=，所以()()1113f f -==，故C 正确；对于D ，令21x x =-，所以210x x --=，解得：12x ±=，令12x =，则112122ff ⎛⎫⎛+++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以15123f ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，因为152+∈，15123f f⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在区间上不单调，故D 正确.故选：ACD .11.过点()2,0P 的直线与抛物线C ：24y x =交于,A B 两点．抛物线C 在点A 处的切线与直线2x =-交于点N ，作NM AP ⊥交AB 于点M ，则（）A.直线NB 与抛物线C 有2个公共点B.直线MN 恒过定点C.点M 的轨迹方程是()()22110x y x -+=≠D.3MNAB的最小值为【答案】BCD 【解析】【分析】设出直线AB 的方程为2x ty =+，代入24y x =，然后写出切线方程，结合韦达定理可判断AB ；根据B 可得M 的轨迹方程，从而判断C ；利用弦长公式及点到直线的距离公式表示出3MN AB，然后利用导数的知识求出最值进而判断D.【详解】设直线AB 的方程为2x ty =+，221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭联立224x ty y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得2480y ty --=，则12124,8y y t y y +==-，对于A ：抛物线C 在点A 处的切线为21124y y y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当2x =-时得12112144282222y y y y y yty -=-=+=-=，即()2,2N t -，所以直线NB 的方程为1221222242424y y y y y y x y --⎛⎫-=- ⎪⎝⎭--，整理得1144y y x y =--，联立112444y y x y y x ⎧=--⎪⎨⎪=⎩，消去x 的122116604y y y y ++=，解得18y y =-，即直线NB 与抛物线C 相切，A 错误；对于B ：直线MN 的方程为()122x y t t +=--，整理得y x t=-，此时直线MN 恒过定点()0,0，B 正确；对于C ：又选项B 可得点M 在以线段OP 为直径的圆上，点O 除外，故点M 的轨迹方程是()()22110x y x -+=≠，C 正确；对于D：222t MN +==，AB ===则()()3253222222221t t MN AB t ⎛⎫++==+，,m m =≥则()352221MN m ABm =-，设()()5222,1m f m m m=≥-则()()()()()()()2426242244221018121511m m m m m m mf m m m -----'==--，当>m 时，()0f m '>，()f mm <<时，()0f m '<，()f m 单调递减，所以()()2min 25255851f m f ===-，D 错误.故选：BC.【点睛】方法点睛：直线与抛物线联立问题第一步：设直线方程：有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，都可由点斜式设出直线方程．第二步：联立方程：把所设直线方程与抛物线方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程．第三步：求解判别式Δ：计算一元二次方程根的判别式Δ＞0.第四步：写出根之间的关系，由根与系数的关系可写出．第五步：根据题设条件求解问题中的结论．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.写出与圆221x y +=相切且方向向量为(的一条直线的方程______．【答案】2y =+或2y =-（写出一个即可）【解析】【分析】由条件可设直线方程为y b =+，结合条件列方程求b 即可得结论.【详解】因为切线的方向向量为(，故可设切线方程为y b =+，因为直线y b =+与圆221x y +=相切，又圆221x y +=的圆心坐标为()0,0，半径为1，圆心()0,0到直线y b =+2b =，所以12b =，所以2b =或2b =-，所以与圆221x y +=相切且方向向量为(的直线为2y =+或2y =-，故答案为：2y =+或2y =-（写出一个即可）.13.函数()2f x=______．【答案】【解析】【分析】借助换元法令t =，可得()()325f x h t t t t==-+-，借助导数求取函数()h t 的单调性后，即可得解.【详解】令0t =>，则21x t =-，故()()()2223321125f tt t x t t t-++==-+---，令()()3250h t t t t t=-+->，则()()(242222231235235t t t t t t th t t t '++--++=-++==-，当(t ∈时，()0h t '>，当)t ∈+∞时，()0h t '<，则()h t在(上单调递增，在)+∞时单调递减，故()35h t h≤=-+⨯即函数()2f x =.故答案为：.14.机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为12cm ，开口直径为8cm ．旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，椭圆的离心率等于______．【答案】17【解析】【分析】依题意，利用等腰三角形ABC 求得cos α,再由余弦定理求出椭圆长轴长，作出圆锥的轴截面交椭圆于点,P Q ，建立坐标系，利用三角形重心性质和相似三角形求出点P 坐标，代入椭圆方程即可求得半短轴长，利用离心率定义计算即得.【详解】如图，设BCD α∠=,因12,8AB AC BC ===,故41cos 123α==，又6CD =,由余弦定理，22212cos 3664268683BD CD BC CD BC α=+-⋅=+-⨯⨯⨯=，即BD =,设椭圆中心为O ,作圆锥的轴截面AMN ,与底面直径BC 交于E ，与椭圆交于,P Q ，连AE 交BD 于G ，以点O 为原点，DB 为x 轴，建立直角坐标系.则23AG AE =,又由APQ AMN 得216,33PQ MN ==133DG DB ==,从而33OG =-=则得8(,)33P -,不妨设椭圆方程为22221x y a b+=，把a =和点P坐标代入方程，解得b =，则3c ==，故.17c e a ===故答案为：31717.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*4224,21n n S S a a n ==+∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足13b =，令21n n n n a b a b ++⋅=⋅，求证：192nk k b =<∑．【答案】（1）()21n a n n *=-∈N （2）证明见解析【解析】【分析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由题意可得()()11114684212211a d a da n d a n d +=+⎧⎨+-=+-+⎩，解方程求出1,a d ，即可求出数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得12123n n b n b n +-=+，由累乘法可求出{}n b 的通项公式，再由裂项相消法求解即可.【小问1详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ．由4224,21n n S S a a ==+，得()()11114684212211a d a da n d a n d +=+⎧⎨+-=+-+⎩，解得：1a 1,d 2==，所以()()12121n a n n n *=+-=-∈N ．【小问2详解】由（1）知，()()12123n n n b n b +-=+，即12123n n b n b n +-=+，12321n n b n b n --=+，122521n n b n b n ---=-，……，322151,75b b b b ==，利用累乘法可得：1211212325313212175n n n n n b b b n n b b b b b n n -----=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-，12311nkn nk bb b b b b -==+++++∑ ()()9911212122121n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭9111111112335572121n n ⎡⎤⎛⎫=-+-+-++- ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎣⎦ 911221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭所以191912212nk k b n =⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭∑．16.已知函数()()()21ln 22f x a x x a =+-∈R ．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个极值点，（ⅰ）求实数a 的取值范围；（ⅱ）证明：函数()f x 有且只有一个零点．【答案】（1）答案见解析；（2）（ⅰ）10a -<<；（ⅱ）证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，再分1a ≤-、10a -<<、0a ≥三种情况，分别求出函数的单调区间；（2）（ⅰ）由（1）直接解得；（ⅱ）结合函数的最值与零点存在性定理证明即可.【小问1详解】函数()()()21ln 22f x a x x a =+-∈R 的定义域为()2,-+∞，且()()21122x a a f x x x x -+++='=-++，当1a ≤-时，()0f x '≤恒成立，所以()f x 在()2,-+∞单调递减；当10a -<<时，令()0f x '=，即()2110x a -+++=，解得11x =，21x =，因为10a -<<，所以011a <+<，则211-<<-，所以当()2,1x ∈-时()0f x '<，当()1x ∈时()0f x ¢>，当)1,x ∈+∞时()0f x '<，所以()f x 在()2,1--上单调递减，在()1上单调递增，在)1,-+∞上单调递减；当0a ≥时，此时12≤-，所以()1x ∈-时()0f x ¢>，当)1,x ∈+∞时()0f x '<，所以()f x 在()1--上单调递增，在)1,-+∞上单调递减．综上可得：当1a ≤-时()f x 在()2,-+∞单调递减；当10a -<<时()f x 在()2,1-上单调递减，在()1-上单调递增，在)1,-+∞上单调递减；当0a ≥时()f x 在()1--上单调递增，在)1,-+∞上单调递减．【小问2详解】（ⅰ）由（1）可知10a -<<．（ⅱ）由（1）()f x 在()2,1-上单调递减，在()1-上单调递增，在)1,-+∞上单调递减，所以()f x 在1x =-处取得极大值，在1x =-处取得极小值，又10a -<<，所以011a <+<，则112<<，又())))211ln1102f x fa =-=+-<极大值，又())110f f<<，所以()f x 在()1,+∞上没有零点，又10a -<<，则44a<-，则440e e a -<<，442e 2e 2a --<-<-，则240e 24a ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭，所以2441e 24e 202a af ⎛⎫⎛⎫-=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在()2,1--上存在一个零点，综上可得函数()f x 有且只有一个零点．17.如图，在多面体ABCDPQ 中，底面ABCD 是平行四边形，60,244,DAB BC PQ AB M ∠=︒===为BC 的中点，,,PQ BC PD DC QB MD ⊥⊥∥．（1）证明：90ABQ ∠=︒；（2）若多面体ABCDPQ 的体积为152，求平面PCD 与平面QAB 夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）10．【解析】【分析】（1）根据余弦定理求解DM =，即可求证DM DC ⊥，进而根据线线垂直可证明线面垂直，即可得线线垂直，（2）根据体积公式，结合棱柱与棱锥的体积关系，结合等体积法可得PM h ==坐标系，求解法向量求解.【小问1详解】在DCM △中，由余弦定理可得DM =，所以222DM DC CM +=，所以90MDC ∠=︒，所以DMDC ⊥．又因为DC PD ⊥，,,DM PD D DM DP ⋂=⊂平面PDM ,所以DC ⊥平面PDM ,PM ⊂平面PDM ．所以DC PM ⊥．由于//,2PQ BM PQ BM ==,所以四边形PQBM 为平行四边形，所以PM QB ∥．又AB DC ，所以AB BQ ⊥，所以90ABQ ∠=︒．【小问2详解】因为QB MD ⊥，所以PM MD ⊥，又PM CD ⊥，,,DC MD D DC MD ⋂=⊂平面ABCD ,所以PM ⊥平面ABCD ．取AD 中点E ，连接PE ，设PM h =．设多面体ABCDPQ 的体积为V ，则33P CDEM A PEM P CDEM P AEM P CDEM ABQ PEM V V V V V V V ------=+=+=+三棱柱四棱锥四棱锥四棱锥112π152212551sin 333323AEM AEM AEM AEM CDEM S h S h S h S h S h h =⨯+⨯=⨯+⨯=⨯=⨯⨯⨯⨯=△△△△四边形．解得PM h ==建立如图所示的空间直角坐标系，则()())2,0,,1,0A B C-，)(((),,,0,0,0DP Q M ．则平面QAB 的一个法向量()1,0,0n =．所以()0,1,0,CD PD ==-，设平面PCD 的一个法向量(),,m x y z =，则0,0,m CD n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0,y =⎧⎪-=取()3,0,1m = ．所以cos 10m n m n θ⋅==⋅ ．所以平面PAD 与平面PMD夹角的余弦值为10．18.已知,A B 是椭圆22:14xE y +=的左，右顶点，点()(),00M m m >与椭圆上的点的距离的最小值为1.（1）求点M 的坐标.（2）过点M 作直线l 交椭圆E 于,C D 两点（与,A B 不重合），连接AC ，BD 交于点G .（ⅰ）证明：点G 在定直线上；（ⅱ）是否存在点G 使得CG DG ⊥，若存在，求出直线l 的斜率；若不存在，请说明理由.【答案】（1）()3,0；（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）存在，4525±【解析】【分析】（1）设()00,P x y，利用两点距离距离得PM =，然后根据330,22m m ≤分类讨论求解即可；（2）（ⅰ）设直线()()1122:3,,,,l x ty C x y D x y =+，与椭圆方程联立方程，结合韦达定理得121265y y ty y +=-，写出直线AC ，BD 的方程，进而求解即可；（ⅱ）由题意点G 在以AB为直径的圆上，代入圆的方程求得4,33G ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭，写出直线AC 的方程，与椭圆联立，求得点C 的坐标，进而可得答案.【小问1详解】设()00,P x y 是椭圆上一点，则220044x y +=，因为()022PM x ==-≤≤，①若min30,12m PM <≤==，解得0m =（舍去），②若min3,12m PM >==，解得1m =（舍去）或3m =，所以M 点的坐标位()3,0.【小问2详解】（ⅰ）设直线()()1122:3,,,,l x ty C x y D x y =+，由22314x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()224650t y ty +++=，所以12122265,44t y y y y t t +=-=++，所以121265y y ty y +=-，①由216800t ∆=->，得t>或t <，易知直线AC 的方程为()1122y y x x =++，②直线BD 的方程为()2222y y x x =+-，③联立②③，消去y ，得()()()()121212221211212552221x y ty y ty y y x x x y ty y ty y y ++++===--++，④联立①④，消去12ty y ，则()()12212155265526y y y x x y y y-+++==---++，解得43x =，即点G 在直线43x =上；（ⅱ）由图可知，CG DG ⊥，即AG BG ⊥，所以点G 在以AB 为直径的圆上，设4,3G n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则22443n ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以253n =±，即425,33G ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭.故直线AC 的方程为()25y x =±+，直线AC 的方程与椭圆方程联立，得291640x x +-=，解得2A x =-,所以412929C x =-⋅-=，所以9C y =±,故25l MC k k ==±.19.在概率统计中，常常用频率估计概率．已知袋中有若干个红球和白球，有放回地随机摸球n 次，红球出现m 次．假设每次摸出红球的概率为p ，根据频率估计概率的思想，则每次摸出红球的概率p 的估计值为p m n=．（1）若袋中这两种颜色球的个数之比为1:3，不知道哪种颜色的球多．有放回地随机摸取3个球，设摸出的球为红球的次数为Y ，则()3,Y B p ～．注：()p P Y k =表示当每次摸出红球的概率为p 时，摸出红球次数为k 的概率）（ⅰ）完成下表；k0123()14P Y k =2764164()34P Y k =9642764（ⅱ）在统计理论中，把使得．．()p P Y k =的取值达到最大时的．．．．．．．．p ，作为p 的估计值，记为 p ，请写出 p 的值．（2）把（1）中“使得()p P Y k =的取值达到最大时的p 作为p 的估计值 p ”的思想称为最大似然原理．基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计．具体步骤：先对参数θ构建对数似然函数()l θ，再对其关于参数θ求导，得到似然方程()0l θ'=，最后求解参数θ的估计值．已知(),Y B n p ～的参数p 的对数似然函数为()11()ln 1ln(1)nnii i i l p Xp X p ===+--∑∑，其中0,1,i i X i ⎧=⎨⎩第次摸出白球第次摸出红球．求参数p 的估计值，并且说明频率估计概率的合理性．【答案】（1）（ⅰ）表格见解析；（ⅱ）1,0,143,2,3ˆ4y p y ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩；（2）11ni i X n =∑，答案见解析【解析】【分析】（1）（ⅰ）分14p =与34p =计算即可得；（ⅱ）结合题意与所得表格即可得解；（2）求取函数()11()ln 1ln(1)nnii i i l p Xp X p ===+--∑∑的导数，借助导数得到函数的最大值点，即可得解.【小问1详解】因为袋中这两种颜色球的个数之比为1:3，且()3,Y B p ～，所以p 的值为14或34；（ⅰ）当14p =时，()()211134271C 164P Y p p ==-=，()()2213492C 164P Y p p ==-=，当34p =时，()()30033410C 164P Y p p ==-=，()()22334272C 164P Y p p ==-=，表格如下k0123()14P Y k =27642764964164()34P Y k =16496427642764（ⅱ）由上表可知()()33C 1kk kp P Y k p p -==-．当0y =或1时，参数14p =的概率最大；当2y =或3时，参数34p =的概率最大．所以1,0,143,2,3ˆ4y p y ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩；【小问2详解】由()11()ln 1ln(1)nnii i i l p Xp X p ===+--∑∑，则()()111111n ni i i i l p X X p p =='=---∑∑，令()1111101n n i i i i X X p p ==--=-∑∑，即()11111111nniii i nnniiii i i X n X pnpXXX=====---===-∑∑∑∑∑，故11n i i p X n ==∑，即当110,n i i X n p =⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∑时，()0l p '>，当11,1n i i p X n =⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∑时，()0l p '<，故()l p 在110,n i i X n =⎛⎫ ⎪⎝⎭∑上单调递增，在11,1n i i X n =⎛⎫⎪⎝⎭∑上单调递减，即当11n i i p X n ==∑时，()l p 取最大值，故11ˆni i pX n ==∑，因此，用最大似然估计的参数 p 与频率估计概率的 p 是一致的，故用频率估计概率是合理的．【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助导数求取函数()l p 取最大值时的p ，得到11ˆni i pX n ==∑.。
2019届浙江省杭州市高三4月教学质量检测(二模)数学试卷【含答案及解析】
2019届浙江省杭州市高三4月教学质量检测（二模）数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 设，集合，则（）A. B. C. D.2. 设（为虚数单位），则（）A. B. C. D. 23. 设，是两个不同的平面，是一条直线，给出下列命题：①若，，则；②若，，则 .则（）A. ①②都是假命题________B. ①是真命题，②是假命题C. ①是假命题，②是真命题________D. ①②都是真命题4. 设，分别是两条直线，的斜率，则“ ”是“ ”的（）A. 充分不必要条件________B. 必要不充分条件C. 充分必要条件________D. 既不充分也不必要条件5. 设方程（，为自然对数的底数），则（）A. 当时，方程没有实数根________B. 当时，方程有一个实数根C. 当时，方程有三个实数根________D. 当时，方程有两个实数根6. 若实数，，，满足对任意实数，有，则（）A. 的最小值为2B. 的最小值为-4C. 的最大值为4D. 的最大值为67. 设倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，与抛物线交于，两点，设点在轴上方，点在轴下方.若，则的值为（）A. B. C. D.8. 设是等差数列，为其前项和.若正整数，，，满足，则（）A. B. C. D.9. 设函数的两个零点为，，若，则（）A. B. C. D.10. 在等腰直角中，，，为中点，为中点，为边上一个动点，沿翻折使，点在面上的投影为点，当点在上运动时，以下说法错误的是（）A. 线段为定长________B.C. D. 点的轨迹是圆弧二、填空题11. 双曲线的渐近线方程为 __________ ；离心率等于 __________ ．12. 若的展开式中所有二项式系数和为64，则 __________ ；展开式中的常数项是 __________ ．13. 已知随机变量的概率分布列为：则 __________ ， __________ .14. 若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是 __________，表面积是 __________ .15. 设为所在平面上一点，且满足 .若的面积为8，则的面积为 __________ .16. 设，，分别为三内角，，的对边，面积 .若，则的最大值是 __________ .17. 设函数，若 |对任意实数都成立，则的最小值为 __________ .三、解答题18. 设函数 .（1）求函数的周期和单调递增区间；（2）当时，求函数的最大值.19. 如图，已知是矩形，，分别为边，的中点，与交于点，沿将矩形折起，设，，二面角的大小为 .（1）当时，求的值；（2）点时，点是线段上一点，直线与平面所成角为 .若，求线段的长.20. 设函数 .（1）求函数的值域；（2）当实数，证明： .21. 如图，设点，，分别为椭圆的左顶点和左，右焦点，过点作斜率为的直线交椭圆于另一点，连接并延长交椭圆于点 .（1）求点的坐标（用表示）；（2）若，求的值.22. 已知数列的各项均为非负数，其前项和为，且对任意的，都有 .（1）若，，求的最大值；（2）若对任意，都有，求证： .参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。
2019年4月浙江省杭州市高三年级教学质量检测-数学试卷
渊用数字作答冤.
曰设 d=x2+y2袁则 d
F
16. 已知向量 a=渊1袁2冤袁平面向量 b 满足渊2a+b冤窑a= 姨 5 b 袁则渊b-
4a冤窑b 的最小值等于
.
17. 如图袁已知矩形 A BCD袁A B= 姨 3 袁A D=1袁A F彝平面 A BC袁且 A F=3.
D忆
D
EM C
E 为线段 DC 上的一点袁沿直线 A E 将吟DA E 翻折成吟D忆A E袁M 为
渊冤
A. 渊1袁2冤
B. 渊1袁2]
C. 渊0袁2]
D. 渊1袁+肄冤
2.
已知复数
z=1+i渊i
是虚数单位冤袁则
z2-1 z+1
=
渊冤
A. i
B. -i
C. 1+i
D. 1-i
3.
二项式渊2x-
1 x
冤6 的展开式的常数项为
渊冤
A. 20
B. -20
C. 160
D. -160
4. 野a跃b冶是野a a 跃b b 冶的
圆经过原点.
若椭圆祝的离心率不大于
姨3 2
袁则 a 的取值范围为
渊冤
A. 渊0袁姨10 ]
B.
渊
姨2 2
袁姨10 ]
C.
渊1袁
姨5 2
]
D.
渊1袁
姨10 2
]
第域卷渊非选择题 共 110 分冤
二尧填空题渊本大题共 7 小题袁多空题每小题 6 分袁单空题每小题 4 分袁共 36 分冤
11.
双曲线
x2 4
2018 学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测窑数学 第 4 页渊共 4 页冤
浙江省杭州市十四中2019届高三数学4月月考试卷
，展开式中的常数项是
．
4. 给定区域 D：
，令点集 T={（x0 ， y0）∈D|x0 ， y0∈Z,(x0,y0)是 z=x+y 在 D 上取得最大值或
最小值的点}，则 z 的最小值为
，且 T 中的点共确定
条不同的直线．
5. 1202 年，意大利数学家斐波那契在《算盘之书》中，提出了一个关于兔子繁殖的问题，得到著名的
则实数 k 的最小值为
．
，若存在实数 a，使得对于任意实数 x，都有|f(x)-a|<k 成立，
评卷人 得分
二、解答题（共 5 题)
8. 已知 2sinatana=3，且 0<a<π． （Ⅰ)求 a 的值；
（Ⅱ)求函数 f(x)=4cosx cos（x-a)在[0， ]上的值域。
9. 如图，三棱柱 ABC-A1B1C1 所有的棱长均为 2，A1B= ，A1B⊥AC．
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 姓名：____________班级：____________学号：___________
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
浙江省杭州市十四中 2019 届高三数学 4 月月考试卷
斐波那契数列{an}:1，1，2，3，5，8…，满足 a1=a2=1,an+2=an+1+an(n∈N*),
那么 a1+a3+a5+a7+a9+…+a2017,是斐波那契数列中的第
项．
6. 已知向量 a，b 满足|b|=1，a2- a·b+1=0，则 b·（2a+b)的取值范围是
(晨鸟)浙江省杭州市2019届高三4月教学质量检测(二模)数学试题(WORD版)
x2 11、双曲线
y2 1 的焦距是
4
，渐近线方程是
4 分，共 36 分． ．
12、设函数 f x
log a x x
x
0 ，若 f
1
1 ，则实数 a
，f f 2
．
2x0
22
13、在 △ABC 中，角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ，已知 cos2C
2sin A sin C 时，则 b
（ 1）证明：直线 AB 的斜率为定值； （ 2）若△ ABP 的内切圆半径为 26 5 ，
（ i）求△ ABP 的周长（用 k 表示）； （ ii）求直线 AB 的方程．
y B
A
P
x
O
22、（本题满分 15 分）已知函数 f x x 1 ex ． （ 1）求函数 f x 的单调递增区间； （ 2）若方程 f x ax b a,b R 有非负实数解，求 a2 +4b 的最小值．
O
O
A
B
C
D
7、已知 a c ，随机变量
1
2
P
a
b
， 的分布列如下表所示． 3 c
1
2
P
c
b
命题 p ： E =E ，命题 q ： D D ，则
A ．p 真 q 真
B． p 真 q 假
C． p 假 q 真
x
x
8、设函数 f x
1
1 1 ，则函数 y f f x （
）
2
22
3 a
（） D．p 假 q 假
．
14、设实数 x, y 满足不等式组
x 2 y 5 0, 2 x y 7 0, 则 x 2 y 的最小值是 x 0, y 0.
浙江省杭州市第十四中学2019届高三4月月考数学答案
2018-2019学年杭州第十四中学4月考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
题号12345678910答案CDAAABCDCD二、填空题：本大题共7小题，11到14每空3分，15到17每空4分，共36分。
11.____lg 2________,______lg(lg 2)________.12.1或2;334S =或332S =.13.6;240.14.1;6.15.2018.16._____5[,7]3_________.17._____12_________.三、解答题：本大题共5小题，共74分。
18．解：（Ⅰ）由已知得ααcos 3sin 22=，则02cos 3cos 22=-+αα…………2分所以21cos =α或2cos -=α（舍）……………………………………2分又因为πα<<0所以3πα=……………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得)3cos(cos 4)(π-=x x x f )sin 23cos 21(cos 4x x x +=……………………………8分x x x cos sin 32cos 22+=xx 2sin 32cos 1++=)62sin(21π++=x ……………………………………10分由40π≤≤x 得32626πππ≤+≤x …………………………………………11分所以当0=x 时，)(x f 取得最小值2)0(=f 当6π=x 时，)(x f 取得最大值3)6(=πf ……………………………13分所以函数)(x f 在4,0[π上的值域为]3,2[…………………………………14分19．解：（I ）证明：取AC 中点O ，连接BO O A ,1，ACBO ⊥∴……………………………………………2分BO A BO BO A B A B BO B A AC B A 11111,,,面面⊆⊆=⊥ BOA AC 1面⊥∴………………………………………4分连接1AB 交1A B 于点M ，连接OM ，则1B C OM 又1 O OM A B ⊆面，AC OM ∴⊥.…………………………………6分11AC AC ，111A C B C ∴⊥；…………………………………8分法2：证明：连接11，AB BC ，11 是菱形A ABB ，11∴⊥A B AB ，……………………2分11,⊥= 又A B AC AB AC A ，11∴⊥平面A B AB C ………………4分11∴⊥A B B C111∴⊥ 1又是菱形BC B BCC B C …………………6分111∴⊥平面B C A BC 111∴⊥B C AC ………………………………………8分（II ）11111 A B AB A B AC A B AB C ⊥⊥∴⊥,面，111AB C ABB A ∴⊥面面.…………………10分1111 AB C ABB A AB =面面，111AC ABB A AB ∴在平面的射影为，1B AC ∴∠为直线AC 和平面11ABB A 所成的角.…………………………………………12分2212210 AB AM AB BM ==-=，∴在1Rt ACB ∆中，11210cos 510AC B AC AB ∠===.∴直线AC 和平面11ABB A 所成角的余弦值为105.……………………………………15分法2：如图建立直角坐标系，则(0,1,0)A -，(0,1,0)C ，(3,0,0)B ，1(0,0,3)A ，则向量(0,2,0)AC = ，向量(3,1,0)BA =--，向量1(3,0,3)BA =-设面11ABB A 1的法向量(,,)n x y z =，则30330x y x z ⎧--=⎪⎨-+=⎪⎩所以取(1,3,1)n =-所以15sin θ=，所以10cos θ=.20．解：（Ⅰ）由()12n n n S a+=得()1122n n n S a+++=，所以()()1112122n n n n nn n a S S a a+++++=-=-………………4分所以11n n a a n n +=+，故n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是常数列．………………6分所以n a n =.………………7分（Ⅱ）一方面，由()1122121n n n a b a b a b n +++=-⋅+ 知当2n ≥时()()1112222n n n n nb n n n --=-⋅--⋅=⋅，解得12n n b -=而111a b ⋅=，所以11b =，适合上式故对n ∈N *有12n n b -=………………10分另一方面，令()22n nn S n n f n b +==，则()()()()222111121222n n n n n n n n n f n f n ++++++-+++-=-=………………13分所以()()()321f f f =>，且()()()()345f f f f n >>>>>故数列n n S b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最大项为()2f 或()3f ，即为32．………………15分21．解：（I ）()0,1F ，所以4MN =2C 的方程为()(]()22141,3x y y +-=∈()00,P x y ，001PF y k x -=，所以001l xk y =--所以直线l 的方程为()00001x y x x y y =--+-因为()22014x y +-=，故22000000000031111x x y y x y y x +-+=-+=-+----（II ）联立000023114x y y x y y xy +⎧=-+⎪--⎪⎨⎪=⎪⎩得2000030411x x y x y y ++-=--所以()0120012041431x x x y y x x y -⎧+=⎪-⎪⎨-+⎪=⎪-⎩，故120x x -=又直线l 在y 轴上的截距为0031y y+-故00001321OAB y S y ∆+=⋅=--(t =∈，则()()222431OAB t t S t ∆⋅+=-故()()()()()222324212121412212'1t t t t t tS t +⋅--+⋅-⋅=-()()()()()()()22242424322413314124123011t t t t t t t tt⎡⎤-+⋅--+---⎣⎦==<--所以()S t 单调递减，故())S t ⎡∈+∞⎣.22.解：（1）()'2af x x ax b=++由题意知()11f =，()'11f =，解得1a =-，2b =（2）()2f x x x ≤+即()ln ax b x +≤令()()ln g x ax b x=+-当0a <时，定义域为b x x a ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭显然当x →-∞时，()ln ax b x +-→+∞，故()0g x ≤不可能恒成立（可以取点说明：111ln 110b bb a a a e b e b b bg e a a a a ---⎛⎫-- ⎪=->-+=> ⎪ ⎪⎝⎭，不取点用极限说明不扣分）当0a >时，定义域为b xx a ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭，()()'1a b x ax a b a a g x a ax b ax b ax b -⎛⎫- ⎪-+-⎝⎭=-==-⋅+++所以当,1b b x a a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()'0g x >，故()g x 单调递增当1,b x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()'0g x <，故()g x 单调递减所以()max 1ln 10b b g x g a a a ⎛⎫⎛⎫=-=--≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得ln b a a a ≤-所以22ln ab a a a≤-令()()21ln h a a a =-，则()()'12ln h a a a =-当(a ∈时，()'0h a >，故()h a 单调递增当)x ∈+∞时，()'0h a <，故()h a 单调递减所以()max 2e h a h==，故ab 的最大值为2e。
2019学浙江杭州高三数学年第二学期4月阶段性检测试题卷
D. )
D. 12 5
7. 设 0 p 1 ，随机变量 的分布列是： 则当 p 在 (0 ，1) 内增大时( )
0
1
2
P
p 1 p
p
3
26
A． E( ) 减小， D( ) 减小 C． E( ) 增大， D( ) 减小
B． E( ) 减小， D( ) 增大 D． E( ) 增大， D( ) 增大
A1B 的三等分点（靠近于 C1 、 A1 处）.
(1)求证： MN∥平面 ABC ；
(2)求直线 A1E 与平面 BMN 所成线面角的正弦值.
高三数学试题卷第 4 页，共 6 页
20.(本题满分
15
分)设数列 an
满足
a1
3 2
，
an1 =an2 +an
4
nN
.
(1)证明： an1 5an 0 ；
A. y 3 x 5
B. y 5 x 3
C. y 4 x 3
3. 设 a＞0 ， b＞0 ，则“ 1 1 4 ”是“ ab 1 ”的(
)
ab
4
D. y 3 x 4
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
4.
函数
y
cos
x+
3π 2
ln
x
的图象可能是(
D.既不充分也不必要条件 )
12.
已知二项式
3
x
2 x2
6
的展开式中有
项有理项，且这些有理项的系数之和为
.
13. 在平面直角坐标系 xOy 中，动圆 C : x 32 y b 2 r 2（其中 r2 b2＜9 ）.若圆 C 与 y 轴相切，且被 x