2019届普陀区高三一模数学理

2019学年普陀区第一学期高三数学质量抽测试卷（理）
一． 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，要求直接将结果填写在答题纸的
对应的空格，每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分．
1.函数()2
2sin
cos 22
x x
f x =-的最小正周期是 ． 2.二项式6
1x x ⎛
⎫- ⎪⎝⎭
的展开式中的常数项是 ．（请用数值作答）
3.
函数
y =
的定义域是 ．
4.设1e 与2e 是两个不共线的向量，已知1212122,3,2AB e ke CB e e CD e e =+=+=-，则当,,A B D 三点共线时，k = ．
5.已知各项均为正数的等比数列{}n a
中，131,1a a ==则此数列的各项和
S = ．
6.已知直线l 的方程为230x y --=，点()1,4A 与点B 关于直线l 对称，则点B 的坐标为 ．
7.如图，该框图所对应的程序运行后输出的结果的值为 ． 8.若双曲线的渐近线方程为3y x =±
，它的一个焦点的坐标为)
，则该双曲线的
标准方程为 ．
9.如图，需在一张纸上印上两幅大小完全相同，面积都是2
32cm 的照片，排版设计为纸上左右留空各3cm ，上下留空各2.5cm ，图间留空为1cm ，照此设计，则这张纸的最
小面积是 2
cm ．
10.给出问题：已知ABC ∆满足cos cos a A b B ⋅=⋅，试判断ABC ∆的形状，某学生的解答如下：
()()()()()22222222222222
2222222222
22b c a a c b a b bc ac a b c a b a c b a b c a b a b c a b +-+-⋅=⋅
⇔+-=+-⇔-⋅=-+⇔=+
故ABC ∆事直角三角形．
（ii ）设ABC ∆外接圆半径为R ，由正弦定理可得，原式等价于
2sin cos 2sin cos sin 2sin 2R A A R B B
A B A B
=⇔=⇔=
故ABC ∆是等腰三角形．
综上可知，ABC ∆是等腰直角三角形．
请问：该学生的解答是否正确？若正确，请在下面横线中写出解题过程中主要用到的思想方法；若不正确，请在下面横线中写出你认为本题正确的结果 ．
11.已知数列{}n a 是等比数列，其前n 项和为n S ，若1020
20,60,S S ==则
30
10
S S = ． 12.
若一个底面边长为，
的正六棱柱的所有顶点都在一
个球面上，则此球的体积为 ．
13.用红、黄、蓝三种颜色分别去涂图中标号为1,2,3,…9的个9小正方形（如右图），需满足任意相邻（有公共边的）小正方形涂颜色都不相同，且标号“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法中，恰好满足“1、3、5、7、9”为同一颜色，“2、4、6、8”为同一颜色的概率为 ．
14.设*
,n n N a ∈表示关于x 的不等式12)45(log log 1
44-≥-⨯--n x x n 的正整数解的
个数，则数列{}n a 的通项公式n a = ．
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中，每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个（无论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分．
15.“lg ,lg ,lg x y z 成等差数列”是“2
y xz =”成立的 （ ） A ．充分非必要条件； B.必要非充分条件； C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 16.设θ是直线l 的倾斜角，且cos 0a θ=<，则θ的值为（ ）
A ．arccos a π-； B. arccos a C. arccos a - D. arccos a π+
17.设全集为R ，集合22|14x M x y ⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭
3
,|
01x N x x -⎧⎫
=≤⎨⎬+⎩⎭
，则集合2
2
31|24x x y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫++=⎨⎬ ⎪
⎝⎭⎪⎪⎩⎭
可表示为 （ ） A 、M N ⋃ B 、M N ⋂ C 、R C M N ⋂ D 、
R M C N ⋂
18、对于平面αβγ、、和直线a 、b 、m 、n ，下列命题中真命题是（ ）
A 、若,,a m a n ⊥⊥,m n αα≠≠⊂⊂，则a α⊥；
B 、若//,,a b b α≠
⊂则//a α； C 、若,,//,//a b a b ββαα≠≠
⊂⊂，则//a β； D 、//,,,a a b βαγβγ⋂=⋂=则//a b ．
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤．
19、（本题满分12分）已知函数()2,0f x kx k =+≠的图像分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两
点，且22AB i j =+，函数()2
6g x x x =--．当满足不等式()()f x g x >时，求函数
()()
1
g x y f x +=
的最小值．
20、（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）
如图，已知圆锥体SO 的侧面积为15π，底面半径OA 和OB 互相垂直，且3OA =，P 是母线BS 的中点．
（1） 求圆锥体的体积；
（2） 异面直线SO 与PA 所成角的大小（结果用反三角函数表示）
21、（本大题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分） 已知ABC ∆中，1AC =，23
ABC π
∠=
，设,BAC x ∠=计()f x AB BC =⋅ （1） 求()f x 的解析式及定义域；
（2） 设()()61g x m f x =⋅+，是否存在实数m ，使函数()g x 的值域为31,2
⎛⎤ ⎥⎝⎦
？所存在，
求出m 的值；若不存在，请说明理由．
22、（本大题满分16分，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分）
已知数列{}n a 是首项为2的等比数列，且满足12()n n n a pa n N *+=+∈ （1） 求常数p 的值和数列{}n a 的通项公式；
（2） 若抽去数列中的第一项、第四项、第七项、．．．．．．．第32n -项，．．．．．．，余下的项
按原来的顺序组成一个新的数列{}n b ，试写出数列{}n b 的通项公式；
（3） 在（2）的条件下，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，是否存在正整数n ，使得
111
3
n n T T +=？若存在，试求所有满足条件的正整数n 的值，若不存在，请说明理由。

23、（本大题满分20分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分10分） 设点F 是抛物线2
:2(0)L y px p =>的焦点，12n P P P ，，，是抛物线L 上的n 个不同的点(3,)n n n N ≥∈*
（1） 当2p =时，试写出抛物线L 上三点1P 、2P 、3P 的坐标，时期满足
1236FP FP FP ++=；
（2） 当3n ≥时，若12...0n FP FP FP +++=，求证：12...n FP FP FP np +++=； （3） 当3n >时，某同学对（2）的逆命题，即：“若12...n FP FP FP np
+++=，则
12...0n FP FP FP +++=”开展了研究并发现其为假命题.
请你就此从以下三个研究方向中任选一个开展研究：
① 试构造一个说明该命题确实是假命题的反例（本研究方向最高得4分）；
② 对任意给定的大于3的正整数n ，试构造该假命题反例的一般形式，并说明你的理由（本研究方向最高得8分）；
③ 如果补充一个条件后能使该命题为真，请写出你认为需要补充的一个条件，并说明加上该条件后，能使该逆命题为真命题的理由（本研究方向最高得10分） 【评分说明】本小题若选择不止一个研究方向，则以实得分最高的一个研究方向的得分作为该小题的最终得分。