高二数学圆的一般方程 人教版

高二数学圆的一般方程人教版(1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径、掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件、(2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程、(3)理解并能初步应用圆系的知识去处理问题、教学重点和难点重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F、难点：圆系的理解和应用、教学过程设计(一)教师讲授：请同学们看出圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2=r2，圆心(a，b)，半径r、把圆的标准方程展开，并整理：x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2=0、我们把它看成下面的形式：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0 ①这个方程是圆的方程、反过来给出一个形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0的方程，它表示的曲线是圆、②(配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆？(1)当D2＋E2－4F＞0时，方程②表示(2)当D2＋E2－4F=0时，方程②表示(3)当D2＋E2－4F＜0时，方程②不表示任何图形∴当D2＋E2－4F＞0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0、做圆的一般方程、现在我们来看圆的一般方程的特点：(启发学生归纳)(1)①x2和y2的系数相同，不等于0、②没有xy这样的二次项、同学们不难发现，x2和y2的系数相同，不等于0、且没有xy 这样的二次项，是方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的必要条件、但不是充分条件、(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了、(二)研究问题1，求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标、[解法一]设所求圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0、把已知三点的坐标代入，得三个方程，解这三个方程组成的方程组∴所求圆的方程为x2＋y2－8x＋6y=0、[解法二]先求OM1和OM2的中垂线：y－1=(－2)(x－2)2x＋y=5∴所求圆的方程为，(x－4)2＋(y＋3)2=25、[分析]设动点M(x，y)，|MO|、|MA|都可表示出、解设曲线上的动点为M(x，y)、化简得 x2＋y2＋2x－3=0配方 (x＋1)2＋y2=4、∴所求的轨迹是以C(－1，0)为圆心，2为半径的圆、研究问题3，自P0(x0，y0)作圆x2＋y2=r2的两切线，切点分别为P1、P2，求证：P1P2所在直线的方程为x0x＋y0y=r2、[分析]自P0(x0，y0)作图x2＋y2=r2的两切线，切点分别为P1、P2如具体去求P1、P2的坐标，则运动量是非常大的、为此我们要研究较简单的办法、P0P1、P0P2是圆O的两条切线，∠OP1P0=∠OP2P0=90，则O、P1、P0、P2四点共圆，P1、P2为两个圆的交点，为此我们从两个圆的交点入手、即 x2＋y2－x0x－y0y=0、把(2)代入(1)：x0x＋y0y=r2、∴P1P2所在直线的方程为x0x＋y0y=r2、这里同学们可能有点不太明白，为什么由方程(1)和(2)变出的关系式x0x＋y0y=r2就是过两圆交点的直线、请同学们回忆一下，我们在前面研究两条曲线交点的有关问题时，研究过这样一个定理、(课本复习题七，24题)“两条曲线的方程是f1(x，y)=0，和f2(x，y)=0，它们的交点是P(x0，y0)、求证：方程f1(x，y)＋λf2(x，y)=0的曲线也经过点P，这里λ是任意实数”、根据这一定理，(x2＋y2－x0x－y0y)＋λ(x2＋y2－r2)=0、表示过两圆交点的曲线，为了消去x2，y2项，我们取λ=－1，得曲线方程，x0x＋y0y=r2，实际上是直线x0x＋y0y=r2、就是说，直线x0x＋y0y=r2过两圆的交点、通过这个题，我们有下面一般的结论：如果圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1=0，和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2=0相交、(1)当λ≠－1时，方程(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)=0表示过圆C1与C2交点的圆、(2)当λ=－1时，方程(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)=0表示过圆C1和C2交点的直线、这点的证明留给同学们课后去思考，而这个结论同学们今后在解题中将会得到应用、应当注意的是：方程(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)=0中由于λ取值的不同，得到不同的圆，这无数个圆形成一个集合，这个集合我们把它叫做一个圆系、这个圆系就是经过两圆交点的所有圆的集合、(三)学生课堂练习1、课本练习题1(1)点(0，0)、2、课本练习题2、(1)圆心为(3，0)，半径为3；(2)圆心为(0，－b)，半径为|b|、3、课本练习题3、(四)作业习题7、75，6，7，8二教学目标1、讨论并掌握圆的一般方程的特点，并能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心的坐标和半径、2、通过对圆的一般方程的特点的讨论，培养学生严密的逻辑思维和严谨的科学态度；通过例题的分析讲解，培养学生分析问题的能力、教学重点与难点圆的一般方程的探求过程及其特点是教学重点；根据具体条件选用圆的方程为教学难点、教学过程一、复习并引入新课师：请大家说出圆心在点(a，b)，且半径是r的圆的方程、生：(x－a)2+(y－b)2=r2、师：以前学习过直线，直线方程有哪几种？生：直线方程有点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式、师：直线方程的一般式是Ax+By+C=0吗？生A：是的、生B：缺少条件A2+B3≠0、师：好！那么圆的方程有没有类似“直线方程的一般式”那样的“一般方程”呢？(书写课题：“圆的一般方程”的探求)二、新课师：圆是否有一般方程？这是个未解决的问题，我们来探求一下、大家知道，我们认识一般的东西，总是从特殊入手、如探求直线方程的一般形式就是通过把特殊的公式(点斜式，两点式……)展开整理而得到的、想求圆的一般方程，怎么办？生：可仿照直线方程试一试！把标准形式展开，整理得x2+y2－2ax－2by+a2+b2－r2=0、令D=－2a，E=－2b，F=a2+b2－r2，有：x2+y2+Dx+Ey+F=0、(*)师：从(*)式的得来过程可知，只要是圆的方程就可以写成(*)的形式、那么能否下结论：x2+y2+Dx+Ey+F=0就是圆的方程？生A：不一定、还得考虑：x2+y2+Dx+Ey+F=0能否写成标准形式、生B：也可以像直线方程一样，要有一定条件、师：那么考虑考虑怎样去寻找条件？生：配方、师；请大家动手做，看看能否配成标准形式？(放手让同学讨论，教师适当指导，然后由同学说，教师板书、)1、当D2+E2－4F＞0时，比较(△)式和圆的标准方程知：(*)式表示以3、当D2+E2－4F＜0时，(*)式没有实数解，因而它不表示任何图形、教师总结：当D2+E2－4F＞0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫圆的一般方程、师：圆的一般方程有什么特点？生A：是关于x、y的二元二次方程、师：刚才生A的说法对吗？生B：不全对、它是关于x、y的特殊的二元二次方程、师：特殊在什么地方？(通过争论与举反例后，由教师总结)师：1、x2，y2系数相同，且不等于零、2、没有xy这样的二次项、(追问)：这两个条件是“方程Ax2+By2+Dx+Ey+F=0表示圆”的什么条件？生：必要条件、师：还缺什么？生：D2+E2－4F＞0、练习：判断以下方程是否是圆的方程：①x2+y2－2x+4y－4=0②2x2+2y2－12x+4y=0③x2+2y2－6x+4y－1=0④x2+y2－12x+6y+50=0⑤x2+y2－3xy+2y+5y=0⑥x2+y2－12x+6y+F=0三、应用举例师：先请大家比较一下圆的标准方程(x－a)2+(y－b)2=r2与一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0在应用上各有什么优点？生：标准方程的几何特征明显能看出圆心、半径；一般方程的优点是能从一般的二元二次方程中找出圆的方程、师：怎样判断用“一般方程”表示的圆的圆心、半径、生B：不用死记，配方即可、师：两种形式的方程各有特点，我们应对具体情况作具体分析、选择、例1 求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的圆的方程，并求圆心和半径、分析标准方程需定a，b，r；一般方程需定：Ｄ，E，F，显然在没有告诉半径或圆心的情况下选一般方程，解D，E，F时较为简单、解法：设出一般方程，用待定系数法、例2 一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两端点的坐标是(－4，0)和(4，0)，求它的外接圆方程、解法一设出一般方程，用待定系数法、(由三角形性质知：顶点为(0，5))解法二设出标准式x2+(y－b)2=r2、(由三角形性质知：顶点为(0，5)，且圆心在y轴上)、四、小结注意一般式的特点：1x2，y2系数相等且不为零；2没有xy 这样的项；3D2+E2－4F＞0、另外，大家考虑：D2+E2－4F有点像什么？像判别式，它正是方程x2+y2+Dx+Ey+F=0是否是圆的方程的判别式、如D、E确定了，则与F的变化有关、五、作业：1、求下列各圆的一般方程：①过点A(5，1)，圆心在点C(8，－3)；②过三点A(－1，5)，B(5，5)，C(6，－2)、2、求下列各圆的圆心坐标和半径：①x2+y2－2x－5=0②x2+y2+2x－4y－4=0③x2+y2+2ax＝0④x2+y2－2by－2b2＝03、求证：两圆x2+y2－4x－6y+9=0和x2+y2+12x+6y－19=0相外切、设计思想这是一节介绍新知识的课，而且这节课还非常有利于展现知识的形成过程、因此，在设计这节课时，力求“过程、结论并重；知识、能力、思想方法并重”、在展现知识的形成过程中，尽量避免学生被动接受，而采用讨论式，引导学生探索，重视探索过程、一方面，把直线一般方程探求过程进行回顾，类比，学生从中领会探求方法；另一方面，“把标准方程展开→认识一般方程”这一过程充分运用了“通过特殊认识一般”的科学思想方法、同时，通过类比进行条件的探求“D2+E2－4F”与“Δ”(判别式)类比、在整个探求过程中充分利用了“旧知识”及“旧知识的形成过程”，并用它探求新知识、这样的过程，既是学生获得新知识的过程，更是培养学生能力的过程、三一、教学目标(一)知识教学点使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程、(二)能力训练点使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的能力、(三)学科渗透点通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础、二、教材分析1、重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程、(解决办法：(1)要求学生不要死记配方结果，而要熟练掌握通过配方求圆心和半径的方法；(2)加强这方面题型训练、)2、难点：圆的一般方程的特点、(解决办法：引导学生分析得出圆的一般方程的特点，并加以记忆、)3、疑点：圆的一般方程中要加限制条件D2+E2-4F＞0、(解决办法：通过对方程配方分三种讨论易得限制条件、)三、活动设计讲授、提问、归纳、演板、小结、再讲授、再演板、四、教学过程(一)复习引入新课前面，我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，现将展开可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0、可见，任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+Ey+F=0、请大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题、复习引出课题为“圆的一般方程”、(二)圆的一般方程的定义1、分析方程x3+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左边配方得：(1)(1)当D2+E2-4F＞0时，方程(1)与标准方程比较，可以看出方程半径的圆；(3)当D2+E2-4F＜0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解，因而它不表示任何图形、这时，教师引导学生小结方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的轨迹分别是圆、法、2、圆的一般方程的定义当D2+E2-4F＞0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程、(三)圆的一般方程的特点请同学们分析下列问题：问题：比较二元二次方程的一般形式Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0、(2)与圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，(D2+E2-4F＞0)、(3)的系数可得出什么结论？启发学生归纳结论、当二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0具有条件：(1)x2和y2的系数相同，不等于零，即A=C≠0；(2)没有xy项，即B=0；(3)D2+E2-4AF＞0、它才表示圆、条件(3)通过将方程同除以A或C配方不难得出、教师还要强调指出：(1)条件(1)、(2)是二元二次方程(2)表示圆的必要条件，但不是充分条件；(2)条件(1)、(2)和(3)合起来是二元二次方程(2)表示圆的充要条件、(四)应用与举例同圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2一样，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0也含有三个系数D、E、F，因此必具备三个独立的条件，才能确定一个圆、下面看一看它们的应用、例1 求下列圆的半径和圆心坐标：(1)x2+y2-8x+6y=0，(2)x2+y2+2by=0、此例由学生演板，教师纠错，并给出正确答案：(1)圆心为(4，-3)，半径为5；(2)圆心为(0，-b)，半径为|b|，注意半径不为b、同时强调：由圆的一般方程求圆心坐标和半径，一般用配方法，这要熟练掌握、例2 求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程、解：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由O、A、B在圆上，则有解得：D=-8，E=6，F=0，故所求圆的方程为x2+y2-8x+6=0、例2小结：1、用待定系数法求圆的方程的步骤：(1)根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式；(2)根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程；(3)解方程组，求出a、b、r或D、E、F的值，代入所设方程，就得要求的方程、2、关于何时设圆的标准方程，何时设圆的一般方程：一般说来，如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往往设圆的一般方程、再看下例：例3 求圆心在直线 l：x+y=0上，且过两圆C1∶x2+y2-2x+10y-24=0和C2∶x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程、(0，2)、设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，因为两点在所求圆上，且圆心在直线l 上所以得方程组为故所求圆的方程为：(x+3)2+(y-3)2=10、这时，教师指出：(1)由已知条件容易求圆心坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程、(2)此题也可以用圆系方程来解：设所求圆的方程为：x2+y2-2x+10y-24+λ(x2+y2+2x+2y-8)=0(λ≠-1)整理并配方得：由圆心在直线l上得λ=-2、将λ=-2代入所假设的方程便可得所求圆的方程为x2+y2+6x-6y+8=0、此法到圆与圆的位置关系中再介绍，此处为学生留下悬念、的轨迹，求这个曲线的方程，并画出曲线、此例请两位学生演板，教师巡视，并提示学生：(1)由于曲线表示的图形未知，所以只能用轨迹法求曲线方程，设曲线上任一点M(x，y)，由求曲线方程的一般步骤可求得；(2)应将圆的一般方程配方成标准方程，进而得出圆心坐标、半径，画出图形、(五)小结1、圆的一般方程的定义及特点；2、用配方法求出圆的圆心坐标和半径；3、用待定系数法，导出圆的方程、五、布置作业1、求下列各圆的一般方程：(1)过点A(5，1)，圆心在点C(8，-3)；(2)过三点A(-1，5)、B(5，5)、C(6，-2)、2、求经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程、3、等腰三角形的顶点是A(4，2)，底边一个端点是B(3，5)，求另一个端点的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么、4、A、B、C为已知直线上的三个定点，动点P不在此直线上，且使∠APB=∠BPC，求动点P的轨迹、作业答案：1、(1)x2+y2-16x+6y+48=0(2)x2+y2-4x-2y-20=02、x2+y2-x+7y-32=03、所求的轨迹方程为x2+y2-8x-4y+10=0(x≠3，x≠5)，轨迹是以4、以B为原点，直线ABC为x轴建立直角坐标系，令A(-a，0)，C(c，0)(a＞0，c＞0)，P(x，y)，可得方程为：(a2-c2)x2+(a2-c2)y2-2ac(a+c)x=0、当a=c时，则得x=0(y≠0)，即y轴去掉原点；当a≠c时，则得(x-与x轴的两个交点、六、板书设计四教学目标(1)了解曲线的参数方程的含义，参数方程和普通方程的区别、(2)掌握圆的参数方程，能根据参数方程确定圆的圆心和半径，在解题中灵活运用、会把圆的参数方程与普通方程进行互化、(3)掌握确定点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系的判别方法、教学重点和难点重点：圆的参数方程，圆的参数方程与普通方程的互化、利用距离判断点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系、难点：参数方程的理解、点与圆、直线与圆、圆与圆位置的判断、教学过程设计(一)学生阅读课本、(P973、圆的参数方程到P98例6前)、(二)导入新课，设圆O的圆心在原点，半径是r、根据三角函数的定义：P点的横坐标x，纵坐标y都是Q的函数、我们把这个方程叫做圆心为原点，半径为r的圆的参数方程、如果圆的圆心为O1(a，b)，半径为r，我们可以看成是由圆心在原点O，半径为r的圆按向量V=(a，b)平移而得到、即(x，y)=(rcosθ，rsinθ)＋(a，b)=(a＋rcosθ，b＋rsinθ)这个方程表示圆心在(a，b)点，半径为r的圆、消去参数就得到圆的标准方程、(x－a)2＋(y－b)2=r2、相对于参数方程来说，我们前面学过的方程叫曲线的普通方程、例1 如图，已知点P是圆x2＋y2=16上的一个动点，点A是X轴上的定点，坐标为(12，0)，当点P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹是什么？[分析] 这个问题符合我们前面学过的用“转化法”求轨迹的特征，我们先用“转化法”作一下、然后再考虑其它方法、[解法一] 设动点M的坐标为(x，y)，P点的坐标为(x′，y′)、则(2x－12)2＋(2y)2=16、(x－6)2＋y2=4、∴M点的轨迹是圆心为(6，0)点，半径是2的圆、[解法二] P点在圆x2＋y2=16上，P点的坐标为(4cosθ，4sinθ)设动点M(x，y)则由此可知，M点的轨迹是圆心为(6，0)点，半径是2的圆、显然用参数方程表示出P的坐标，直接把圆的条件用进去，使解法简化、例2 经过圆x2＋y2=4上任一点P作X轴的垂线，垂足为Q，求线段PQ中点轨迹的普通方程、于是Q点的坐标为(2cosθ，0)、(三)新课堂练习、2、课本练习题2、(1)(x－1)2＋(y＋3)2=4，(2)(x－2)2＋(y－2)2=1、(四)教师讲授、我们已经研究了圆的三种形式的方程，现在我们来研究圆与点，圆与直线，圆与圆的位置关系、M3(1，0)与圆C的位置关系、把圆C的参数方程化为普通方程，(x－1)2＋(y－2)2=4、即x2＋y2－2x－4y＋1=0、∴M1在圆C的外部、把M2(2，1)代入圆的一般式的左边，x2＋y2－2x－4y＋1=－2＜0、∴M2在圆C的内部、把M3(1，0)代入圆的一般式的左边，x2＋y2－2x－4y＋1=0、∴M3在圆上、小结：由上面我们得出判断一个点在圆内、圆外、圆上的基本方法；即把这点M(x0，y0)代入圆的一般式f(x，y)=0的左边，f(x0，y0)＞0点M(x0，y0)在圆外；f(x0，y0)=0点M(x0，y0)在圆上；f(x0，y0)＜点M(x0，y0)在圆内、同学们想想，这是为什么？经过研究大家发现，(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2，(x0－a)2＋(y0－b)2－r2＞0，∴f(x0，y0)＞0、类似地可推出M点在圆上，圆内的情况、问题2、K为怎样的值时，圆(x－1)2＋y2=1与直线y=Kx＋2(1)相切，(2)相交，(3)相离圆(x－1)2＋y2=1的圆心为(1，0)，半径为r=1、有些同学通过交点的个数去判断、Δ=(4K－2)2－16(1＋K2)=(－4)(4K＋3)小结：通过以上研究，给我们提供了判断圆与直线位置关系的两条途径、1、从距离考虑：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，d=r，圆与直线相切；d＜r，圆与直线相交；d＞r圆与直线相离、2、从交点考虑：设圆与直线组成方程组，得出一个一元二次方程，其判别式为Δ、Δ=0，圆与直线相切；Δ＞0圆与直线相交；Δ＜0圆与直线相离、这两种办法中，方法1更为普遍、而方法2有时计算量过大，应用起来不方便、问题3、a为何值时，圆x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－9=0与圆x2＋y2=4(1)外切，(2)内切，(3)相交，(4)外离，(5)内含、根据平面几何中两圆位置关系的研究，我们应从两圆连心线的距离与两圆半径间的关系去判断两圆的位置关系、圆x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－9=0的圆心(－a，2a)，半径R= 3、圆x2＋y2=4的圆心(0，0)，半径r=2、小结：通过上例我们可知，两圆的位置关系，可以由两圆连心线的长度d，与两圆半径R与r(R＞r)的数量关系去判断、(五)作业、习题7、79、10、11、圆的方程及应用教学目标1、使学生掌握圆的标准方程，能根据所给有关圆心和半径的具体条件，准确写出圆的标准方程，并能由所给圆的方程正确地求出圆心和半径，通过圆的标准方程的推导，培养学生分析问题和解决问题的能力、2、掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心坐标和圆的半径、3、理解掌握圆与直线及其它圆锥曲线图形与方程之间的关系，能根据图形特点，写出曲线方程之间的关系；能根据代数方程，画出曲线与曲线之间的各种图形，有利于问题的简化，达到解题的目的、4、努力学会充分利用平面几何中有关圆的性质和定理解题，要充分利用数形结合的思想和方程的思想，由图形来探索解题的方法、重点难点1、圆的标准方程和一般方程的特点，根据具体题目条件，选用圆的一般方程解决问题、2、直线和圆的各种位置关系，重点掌握直线与圆相切的有关问题、3、难点是如何适当的利用平面几何中圆的有关性质和定理解题、虽然解析几何中讨论圆的问题主要是利用代数方程，但灵活应用平面几何中的有关定理在有些时候对解题会有很大的帮助，这一点在复习圆及有关问题时应予以足够的重视、教学过程圆是大家很熟悉的特殊的二次曲线，用坐标法，从圆的特征性质导出圆的方程，再通过圆的方程来研究与圆有关的问题、由于圆的特殊性和其广泛的应用，所以在复习圆的过程中应着重掌握好以下几个方面的问题、1、圆的方程的各种情况及其应用；2、圆的切线方程；3、有关圆的轨迹问题；4、直线与圆结合的应用问题、例题部分例1 求圆心在直线4x+y=0上，且与直线x+y-1=0切于点P(3，-2)的圆的方程、分析由于已知条件涉及到圆的圆心和半径，所以设所求圆的方程为：(x-a)2+(y-b)2=R2，根据题意，则有以下方程组成立评述这是一道典型的例题，它充分体现了点在曲线上，点的坐标满足曲线方程的主导思想；圆的半径由点到切线的距离来描述，圆心由它所适合的方程组来决定，本题实际上给出了确定圆的方程的基本方法、前面已经提到了复习圆这一节时要充分利用圆的有关平面几何的性质和定理，如能考虑到这一点，本题的解法则可能会更简单：如图1，设所求圆的圆心为C，则PC垂直于直线x+y-1=0，例2 已知经过点A(0，1)和点B(4，a)，且与x轴相切的圆只有一个，求此时a的值及相应的圆的方程、分析因为该圆与x轴相切，故圆心纵坐标的绝对值即为该圆的半径，所以用圆的标准方程解本题、解因为所求圆与x轴相切、所以可设所求圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=y02、因为A(0，1)，B(4，a)在圆上，所以消去y0，得(x0-4)2+a2=a(x02+1)即(1-a)x02-8x0+(a2-a+16)=0、③ (2)当a≠1时，若适合题意的圆只有一个，方程③必须有二等根，即有Δ=b2-4ac=0、得64+4(a-1)(a2-a+16)=0，整理该方程有a[(a-1)2+16]=0，评述本题的特点是由数形结合的思想出发，画出草图，做出定量分析，在此基础上建立与题意相适应的代数方程，并通过解方程组使问题得到解决、例3 已知抛物线y2=2px(p＞0)的内接三角形的一个顶点在原点，三边上的高线都通过焦点F，求此三角形的外接圆方程、分析先求三角形另两个顶点A，B的坐标，再求过O，A，B三点的圆的方程、解如图(2)所示，设△OAB为抛物线y2=2px的内接三角形，AD，因为OA⊥BE，所以KOAKBE=-1，即例4 求过点P(2，4)向圆(x-1)2+(y+3)2=1所引的切线方程、解因为(2-1)2+(4+3)2=50＞1，所以点P(2，4)在圆(x-1)2+(y+3)2=1的外部、4=k(x-2)、①把①代入圆的方程得(x-1)2+[k(x-2)+4+3]2=1，即(1+k2)x2-(4k2-14k+2)x+4k2-28k+49=0，其判别式Δ=56k-192、的一条切线的方程、因为圆心(1，-3)到该直线的距离d=1，所以x=2是所求的另一条切线方程、综合(1)、(2)，所求的两条切线方程是x=2和24x-7y-20=0、评述在解决这类问题的时候，一定要注意两点，第一是先判断点P(2，4)与圆的位置关系，点P(2，4)必须在圆上或圆外才有解，第二要考虑斜率k不存在的情况，以免漏解、这样考虑问题较细致，但计算量相应较大，如能利用平面几何中圆的切线定义，根据圆心到切线的距离等于圆的半径这一点，则计算量相应减少，解法简化、由圆心为(1，-3)，半径R=1，将切线方程改写成直线的一般形式在的特殊情况x=2，这样就可得两条切线方程、例5 求经过点A(4，-1)，且与已知圆C：(x+1)2+(y-3)2=5相外切于点B(1，2)的圆的方程、解如图3，设所求的圆C′的方程为(x-a)2+(y-b)2=R2、因为C′既在弦AB的垂直平分线上，又在直线BC上，AB 中垂线方程为3x-y-6=0，BC所在直线的方程为x+2y-5=0，所以圆心C′的坐标应满足方程组解得a=3，b=1、因为所求圆C′过点A(4，-1)，所以(4-3)2+(-1-1)2=R2=5、所以所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=5、评述确定一个圆的方程主要是两个数据：圆心和半径、本题解决的关键是要确定圆心C′的位置，C′一确定，半径即为|C′A|、由已知条件得出C′满足的条件有两个，一是C′在线段AB的垂直平分线上；二是圆C和C′相外切，C′一定在直线CB上，由此建立(a，b)所满足的方程组，问题即可得解、例6已知与圆C：x2+y2-2x-2y+1=0，相切的直线l交x轴、y轴分别于A，B点，设O为原点，|OA|=a，|OB|=b(a＞2，b＞2)、(1)求证圆C与直线l相切的充要条件是(a-2)(b-2)=2；(2)求线段AB中点的轨迹方程；(3)求△AOB面积的最小值、解 (1)因为l与圆心相切，且a＞2，b＞2，所以可设直线l的方评述讲解本题的目的，是为了锻炼学生解决综合题的能力，其中第(1)小题被反复应用多次，特别是(3)建立在(1)的基础上的恒等变形技巧值得借鉴、例7 AB为定圆的直径，C为该圆上异于A，B的任一点，l为过C点的圆的切线，过B引BP⊥l，且交AC的延长线于P，求点P的轨迹、解法一如图4所示，以圆心O为原点，AB 所在的直线为x轴，建立坐标系，则定圆方程为x2+y2=r2、(因为C是动点，点P因点C动而动，故可)设P点坐标为(x，y)，C点坐标为(x1，y1)、(P点是直线AC，BP的交点，所以P点受直线AP和BP的制约，因此建立直线AP与BP的方程，来确定P点与C点坐标之间的关系式、)因为C点不与点A，B重合，所以y1≠0，由过C点的切线l的方程为x1x+y1y=r2，直线BP⊥l，所以y1x-x1y-y1r=0①，点P在直线AC=r2，即(x-r)2+y2=4r2(y≠0)即为所求P点的轨迹方程，其轨迹要除去x轴上的两个点、评述本题特点是动点P随着相关点C的运动而运动，如果能用动点P的坐标(x，y)，表示相关点C的坐标(x1，y1)，则按照相关点C所满足的条件列出方程，就能得动点P的轨迹方程、这种方法通常称为相关点法，在解析几何中经常用到，应给予足够的重视、解法二因为BP⊥l，OC⊥l，所以OC∥BP、因此|BP|=2|OC|=2r、这说明当点C运动时，动点P距定点B的距离总等于常数2r、根据定义可得到：P点轨迹是以点B(r，0)为圆心，以2r为半径的圆、因为C点不与A，B点重合，所以y≠0，所以点P的轨迹方程为(x-r)2+y2=4r2(y≠0)、例8 从直线x=-2上一动点P向圆x2+y2=1引两条切线，求以两切点为端点的弦AB的中点M的轨迹方程、分析如图5，本题解决的思路是如何建立起切点弦AB所在直线的方程、如图所示，OP⊥AB，。