角的表示方法和角的度量

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角的度量与表示

角的度量与表示 1、角的概念：1）角可以看成是由两条有共同端点的射线组成的图形。

两条射线叫角的边，共同的端点叫角的顶点。

2）角还可以看成是一条射线绕着他的端点旋转所成的图形。

2、角的表示方法：角用“∠”符号表示1）分别用两条边上的两个点和顶点来表示（顶点必须在中间） 2）在角的内部写上阿拉伯数字，然后用这个阿拉伯数字来表示角。

3）角的内部写上小写的希腊字母，然后用这个希腊字母来表示角。

4）直接用一个大写英文字母来表示。

3、角的度量：会用量角器来度量角的大小。

4角的单位：角的单位有度、分、秒，用°、′、″表示，角的单位是60进制与时间单位是类似的度分秒的换算1°=601′=60″。

5、锐角、直角、钝角、平角、周角的概念和大小 1）平角：角的两边成一条直线时，这个角叫平角。

2）周角：角的一边旋转一周，与另一边重合时这个角叫周角。

6、画两个角的和，以及画两个角的差（1）用量角器量出要画的两个角的大小，再用量角器来画。

（2）三角板的每个角的度数，30°、60°、90°、45°。

7、角的平分线从角的顶点出发将一个角分成两个相等的角的射线叫角的平分线。

若BD 是∠ABC 的平分线，则有：∠ABD=∠CBD=21∠ABC ；∠ABC=2∠ABD=2∠CBD 8、角的计算。

【典型例题】例1. 试用适当的方式分别表示图中的每一个角.例2.①已知,αβ都是钝角，甲、乙、丙、丁四人计算1()6αβ+的结果依次为28°，48°，88°，60°.其中只有一个结果正确，那么算得正确结果的是（） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁②有四人在同一地点观察同一建筑物时所报出的方位角分别如下,其中表述正确的是( )A.西偏南︒20 B ．北偏西︒110C ．南偏西︒70D ．东偏南︒160例 3.（1）3.62°=（2）=)25.25('（3）34.8=(4) 2512'=例4.计算（1） 4859'+5738'（2）78 -4734'56″（3） 12 34'×5 （4） 25.5÷4例5．时钟在8点半时,它的时针和分针所成的锐角是______ 度例6.（1）如图，已知OM BOC AOB ,30,90︒=∠︒=∠平分ON AOC ,∠平分BOC ∠．求M O N∠的度数．（2）如果（1）中α=∠AOB，其它条件不变，求MON∠的度数．（3）如果（1）中β=∠B O C （β为锐角），其它条件不变，求MON∠的度数．（4）以（1）、（2）、（3）的结果中能得出什么结论？例7.如图，∠AOC=∠COD=∠DOE=∠EOB=α，若以OA ，OC ，OD ，OE 为始边的各角之和等于380°，求∠AOB.AOCN B MAOBDE C例8.以AOB∠的顶点O为端点引射线OC，使4:5:=∠∠B O C A O C .（1）若=∠A O B 15°，求AOC ∠与BOC ∠的度数；（2）若AO B ∠=m °，求AOC ∠与BOC∠的度数.* 例9.如图，是一个3×3方格，试求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＋∠8＋∠9的度数.【初试锋芒】 1、判断题：（1）由两条射线组成的图形叫角.2）角的大小与边的长短有关. 3）一个钝角减去一个直角，其差必为一个锐角. 4）一个钝角减去一个锐角，其差必为一个直角.2.下列4个图形中,能用∠1,∠AOB,∠O 三种方法表示同一角的图形是( )3．如图，以O 为顶点且小于180º的角有（） A ．7个 B ．8个 C ．9个 D ．10个4.如右图,在A 、B 两处观测到的C 处的方位角分别是( ) A.北偏东60°,北偏西40° B.北偏东60°,北偏西50° C.北偏东30°,北偏西40° D.北偏东30°,北偏西50°5.（2004湖北省）如右图,将一幅三角板叠放在一起,使直角的顶点重合于O,则DOBAOC∠+∠的度数为_____________度.6．如右图所示，∠AOB=21°12′，∠B0C=31°42′，求∠C0D 是多少度？7.飞机在飞行时,飞行方向是用飞机路线与实际的南或北方向线之间的夹角大小来表示的,如图,用AN(南北线), 与飞机路线之间顺时针方向的夹角作为飞行方向角,从A 到B 的飞行方向角为35°,从A 到C 的飞行方向角为60°,从A 到D 的飞行方向角为145°,试求AB 与AC 之间的夹角为多少度?AD 与AC 之间的夹角为多少度?并画出从A 飞出且方向角为105°的飞行路线.* 8. 如图，图中共有多少个角【大展身手】1. 0.25°= ′= ″； 2700″= ′=2. ∠α+∠β=90°,且∠α=2∠β,则∠α=___，∠β=____.3.下列关于角的说法正确的个数是( )①角是由两条射线组成的图形;②角的边越长,角越大; ③在角一边延长线上取一点D;④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.如图，下列说法错误的是（） A ．∠B 也可以表示为∠ABC B ．∠BAC 也可以表示为∠A C ∠1也可以表示为∠CD 以C 为顶点且小于180º的角有3个ABCOD1 4 72 5 8369AB CDOA BCODAA1B O BA1B ODA 1BODCABOC 1 CA DBN西东1A2A3A4A 5A O (1)1A 2A2000A (5.(2001宁夏)学校、电影院、公园在平面图上的标点分别是A 、B 、C, 电影院在学校的正东方向,公园在学校的南偏西25°方向,那么平面图上的∠CAB 等于( )A.115°B.155°C.25°D.65°6.(哈尔滨市)如图,∠AOB=∠COD=90°,∠AOD=146°,则∠BOC=___.7. 如图,AB 、CD 相交于点O,OB 平分∠DOE,若∠DOE=60°, 则∠AOC 的度数是_ _. 8．计算下列各题. （1）把83.43°化成度、分、秒. （2）56°32′－30°55′55″’（3）45°27′7″+ 25°55′55（4）把53°12′40″化成度.9．如图所示，指出OA 是表示什么方向的一条线，并画出表示下列方向的射线：（1）南偏东60°；（2）北偏西70°；（3）西南方向（即南偏西45°）.10.怎样利用三角板画15°,135°的角,请与同伴交流,利用三角板你还能画出哪些角?11.如图,已知O 是直线AD 上的点,∠AOB,∠BOC,∠COD, 三个角从小到大依次相差25度,求这三个角的度数.12.两个相等的钝角有一公共顶点和一条公共边, 并且两个角的另一边所成的角为90°,画出该图形,并求出钝角的大小. 13.过直线MN 上一点引射线OA 和OB ，使OA 、OB 在MN 同侧，已知AOBMOA ∠=∠2，BON ∠比AOB ∠小12，求这三个角的度数.14．时钟在3点半时,它的时针和分针所成的锐角是多少度?再过多少分钟，分针和时针第一次重合？ 15.已知40=∠AOB ，向O点引射线OC，若A O C ∠:COB ∠=2:3，求:OC 与AOB ∠的平分线所成角的度数．一、填空题1、如图2，∠AOC=∠COD=∠BOD ，则OD 平分____， OC 平分______，32∠AOB =______=______.2、把一根小棒OA 一端钉在点O ，旋转小木棒，使它落在不同的位置上形成不同的角，其中∠AOC 为____， ∠AOD 为____，∠AOE 为____，木棒转到OB 时形成的角为__回答钝角、锐角、直角、平角)3、时间为三点半时，钟表时针和分针所成的角为__由2点到7点半，时针转过的角度为____4∠2，则∠1+∠3=______.5、已知五角星的五个顶点在同一圆上，且均匀分布，五角星的中心是这个圆的圆心，则圆心与两个相邻顶点的连线，构成的角度为6、如图5,AOB 为一直线，OC 、OD 、OE 是射线则图中大于0°小于180°的角有___个.7如果一个角的度数为n ，则它的补角为__，余角为______ 8、 ∠α的补角为125°，∠β的余角为37°，则α、β的大小关60° 东南西北AOCADBOC AD B第6OC AE DB 第7题图4系为α___β. 二、选择题9、一个角等于它的补角的5倍，那么这个角的补角的余角是（） A.30° B.60°C.45°D.150°10、两个锐角的和（）A.一定是锐角B.一定是钝C.一定是直角D.以上三种情况都有可能 11、互为补角的两个角度比是3∶2，这两个角是A.108 72B.95 85°C.108°80°D.110°70°12、下列各角中是钝角的为（）A.41周角B.65平角C.32直角D.31直角13、如图15，图形表示的是（） A.直线B.射线C.平角D.周角14、船的航向从正北按顺时针方向转到正南方向，它转了（） A.135° B.225° C.180° D.90°15、有两个角，它们的比为7∶3，它们的差为72°，则这两个角的关系是（） A.互为余角 B.互为补角 C.相等D.以上答案都不对三、解答题16、四个角的和是180°，其中有三个角相等，且都是第四个角的32，求这四个角.17、如图19，已知∠AOC=∠BOD=75°，∠BOC=30°，求∠AOD.图19 图20 18、如图20，已知O 是直线AB 上的点，OD 是∠AOC 的平分线，OE 是∠COB 的平分线，求∠DOE 的度数.19、已知一条射线OA,如果从点O 再引两条射线OB 和OC,使∠AOB=60°, ∠BOC=20°,求∠AOC 的度数.20、如图,如果∠1=65°15′,∠2=78°30′,求∠3是多少度?31221、如图,∠AOD=∠BOC=90°,∠COD=42°,求∠AOC 、∠AOB 的度数.。

四年级数学角的度量知识点

四年级数学角的度量知识点在小学数学中，角的概念和度量是一个比较重要的知识点。

在四年级数学中，学生需要学会如何理解角的概念、如何用度量单位度量角、以及角的度数如何进行加减运算等知识点。

本文将介绍四年级数学角的度量知识点。

角的概念我们可以把运动过程中两条直线有着公共端点且没有交点的部分称为角。

公共端点称做角的顶点，两条直线分别称作角的两条边。

如下图所示：A*/ \\/ \\/ \\/_______\\B C在图中，点 A 是角的顶点，线段 AB 和线段 AC 分别是角的两条边。

我们可以用一个大写字母来表示角，比如这个角就可以表示为∠BAC。

在数学中，有四个角的类型，包括锐角、钝角、直角和全角。

当一个角的度数小于 90 度时，它被称为锐角；当一个角的度数大于90 度时，它被称为钝角。

当一个角的度数为90 度时，它被称为直角。

全角的度数是 360 度。

角的度量我们知道，一周有 7 天、一天有 24 小时、一小时有 60 分钟，那么一个角的度量是如何表示的呢？我们可以用度作为角的度量单位。

一个完整的角被定义为 360 度。

这意味着正好有 360 个单位角度在一个完整的圆周中。

为了让学生更好的理解角的度量，我们还可以通过图像来帮助理解。

如下图所示：上图中画了一个圆，圆的中心点为 O，圆的边缘为圆周。

将圆周按 360 度分为360 个部分，每个部分的度数即为一个单位角度。

用角度度量角我们已经知道了角的概念和度量，那么如何用角度来度量角呢？请看下面的例子：A*/ \\ 40°/ \\/ \\/_______\\B C在上图中，∠BAC 角的度数是 40 度。

当角的度数小于 90 度时，我们可以用一个小于号“<”来表示它。

例如：∠BAC < 90°。

当角的度数为 90 度时，我们可以用一个等于号“=”来表示它。

例如：∠BAC = 90°。

当角的度数大于 90 度时，我们可以用一个大于号“>”来表示它。

《角的表示与度量》教案

《角的表示与度量》教案第一章：角的概念1.1 学习目标了解角的基本概念，理解角是由一点引出的两条射线所围成的图形。

掌握角的表示方法，包括用符号“∠”表示角，以及用度、分、秒表示角的度量。

1.2 教学内容角的概念：介绍角是由一点引出的两条射线所围成的图形，强调角的顶点和两条边的特点。

角的表示方法：讲解如何用符号“∠”表示角，以及如何用度、分、秒表示角的度量。

1.3 教学活动角的概念引入：通过实物演示或者图片展示，引导学生观察和描述角的特点。

角的表示方法讲解：通过示例讲解如何用符号“∠”表示角，以及如何用度、分、秒表示角的度量。

练习题：提供一些练习题，让学生练习用符号表示角，以及将角的度量转换为不同的单位。

第二章：角的度量2.1 学习目标学会使用量角器测量角的度量。

掌握角的度量单位，包括度、分、秒。

2.2 教学内容角的度量工具：介绍量角器的作用和使用方法，讲解如何通过量角器来测量角的度量。

角的度量单位：讲解角的度量单位，包括度、分、秒的定义和转换关系。

2.3 教学活动角的度量工具介绍：展示量角器，讲解其作用和使用方法。

角的度量单位讲解：讲解角的度量单位，包括度、分、秒的定义和转换关系。

实践操作：让学生分组进行实践操作，使用量角器测量不同角的度量，并进行记录和交流。

第三章：角的计算3.1 学习目标学会计算角的度量，包括加减乘除等运算。

能够解决实际问题，运用角的度量进行计算。

3.2 教学内容角的度量计算：讲解如何进行角的度量的加减乘除等运算，包括同单位之间的运算和不同单位之间的换算。

实际问题解决：讲解如何运用角的度量进行实际问题的计算，例如计算角度的变化、计算图形的面积等。

3.3 教学活动角的度量计算讲解：讲解如何进行角的度量的加减乘除等运算，以及同单位之间的运算和不同单位之间的换算。

实际问题解决讲解：讲解如何运用角的度量进行实际问题的计算。

练习题：提供一些练习题，让学生练习角的度量的计算和实际问题的解决。

七年级上册角的初步认识重点

七年级上册角的初步认识重点
一、角的基本概念
1. 角的概念：角是由两条射线或线段在一个平面内相交而形成的几何图形。

2. 角的性质：角的大小与边的长短无关，只与两条射线或线段间的夹角有关。

二、角的度量单位
1. 度量单位：度是常用的角量度单位，此外还有弧度和角度等。

2. 度量方法：使用量角器或直接利用直角三角板进行度量。

三、角的表示方法
1. 几何符号：用∠表示一个角，用∠1、∠2等表示两个不同的角。

2. 数字符号：用数字或字母表示一个具体的角。

四、角的画法
1. 使用量角器画角：定度数、定点、连线。

2. 使用直角三角板画角：定第一条边、定第二条边、画直角。

五、角的分类
1. 锐角：小于90度的角。

2. 直角：等于90度的角。

3. 钝角：大于90度但小于180度的角。

4. 平角：等于180度的角。

5. 优角：大于180度但小于360度的角。

6. 周角：等于360度的角。

六、角的应用
1. 在几何学中，角是重要的几何图形之一，其在各种几何图形中的应用广泛。

2. 在日常生活中，角的应用也非常广泛，如角度测量、建筑设计、机械制造等。

七、角的变化
1. 角的大小可以变化，可以通过移动射线或线段来改变角的大小。

2. 通过旋转，一个角可以围绕其顶点旋转任意角度，从而形成不同的角。

七年级下册数学角的知识点

七年级下册数学角的知识点在七年级下册数学的学习中，角是重要的概念之一。

在这篇文章中，我们将系统地讲解七年级下册数学中与角相关的所有知识点。

一、基本概念一个角是由两条射线共同端点构成的图形条件，端点称为角的顶点，两条射线称为角的边。

两条射线不重合的角是尖角，两条射线在端点处的角是直角，两条射线之间的角大于直角但小于两个直角的角是钝角。

二、角的表示方法角可以用如下三种方式表示：1. 角符号：用“∠”表示角。

2. 顶点符号：位于角顶点上方的字母或记号表示角。

3. 三点表示法：三个点按照顺序标在一起，中间点作为角的顶点，另外两个点分别作为角的两条边。

三、角的度量在学习角的度量前，先要了解弧、圆心角和弧度的概念。

1. 弧：圆周上两点之间的部分。

2. 圆心角：其顶点为圆心，两条边所对的弧为整个圆周的角。

3. 弧度：角的度量单位，用符号“rad”表示。

1弧度表示圆周上弧长等于半径的圆心角。

知道了弧、圆心角和弧度的概念，接下来我们看看角的度量方式：1. 角度制：一个圆被等分为360份，每一份被称为“一度”，用符号“°”表示。

一个角所夹圆心角的度数称为角的度数。

2. 弧度制：1弧度等于圆的半径长上的圆周所对的圆心角。

弧度制中，将圆周等分为 $2\pi$ 份，每1份为1弧度。

将一个角所夹圆心角的弧长等分成半径长上的360分，这样的1份被称为“1度”，用符号“°”表示，把角度值乘以$\frac{\pi}{180}$ 即为弧度值。

四、锐角、直角和钝角锐角、直角和钝角是角的三种分类。

1. 锐角：角的度数小于90°的角。

2. 直角：角的度数等于90°的角。

3. 钝角：角的度数大于90°小于180°的角。

五、角的种类角的种类根据度数的不同分为下列3种类型：1. 锐角：角的度数小于90°。

2. 直角：角的度数等于90°。

3. 钝角：角的度数大于90°小于180°。

角的认识和角的度量

角的认识和角的度量角是平面上由两条射线共同起点所组成的图形。

在几何学中，我们常常会遇到各种各样的角，了解和认识角的性质对于解决几何问题非常重要。

同时，我们也需要学会如何度量角的大小，以便更好地应用角的概念。

一、角的认识角可以分为两类：锐角和钝角。

锐角是小于90度的角，而钝角则是大于90度但小于180度的角。

我们可以通过比较角的大小来判断它是锐角还是钝角。

此外，还有一个特殊的角叫做直角。

直角是一个度数为90度的角，它由两条相互垂直的直线所形成。

直角的特点是其两边相互垂直，形成了一个正方形的两个直角。

二、角的度量方法度量角的大小主要使用角度来表示。

角度是用度数来度量角的大小的单位，用符号°表示。

1.度度是角度的基本单位，一个完整的圆总共有360度。

当我们使用度来度量角的大小时，可以根据角所占据的圆的弧长来确定。

2.弧度弧度是另一种常用的度量角的方式，用符号rad表示。

一个完整的圆一共有2π弧度，其中π是一个无理数，约等于3.14159。

根据角所占据的圆的弧长与半径的比值，可以计算出角的弧度大小。

在实际问题中，有时我们也会使用百分度来度量角的大小。

百分度把一个完整的圆分为100等分，其中每个等分被称为“百分度”。

三、角的性质和应用角的性质和用途在几何学中应用广泛。

下面介绍几个常见的角的性质和应用：1. 对顶角对顶角指的是由两个相交的直线所形成的两对相对角，它们的度数相等。

通过对顶角的概念，我们可以解决很多关于平行线和交叉线的问题。

2. 互补角和补角互补角是指两个角的度数之和等于90度，而补角则是两个角的度数之和等于180度。

互补角和补角的概念常用于解决角的度量问题。

3. 三角函数三角函数是描述角度和边长之间关系的函数。

其中最常见的三角函数有正弦、余弦和正切函数。

三角函数在计算角度大小、求解三角形边长等问题中起到重要作用。

4. 角的相等和相似当两个角的度数相等时，我们称它们是相等角。

相等角具有相同的性质和应用，可以互相替换。

角的认识与度量方法

角的认识与度量方法角是几何学中的重要概念之一，广泛应用于数学、物理和工程等领域。

角的认识和度量方法对于我们理解和解决问题具有重要意义。

本文将介绍角的定义、性质以及不同的度量方法，帮助读者更好地理解和运用角的概念。

一、角的定义与性质1. 定义：角是由两条射线以一个共同端点组成的图形，端点称为角的顶点，射线称为角的边。

常用的表示方法是用大写字母表示顶点，两个小写字母表示两条边，如∠ABC表示由线段AB和线段BC组成的角。

2. 性质：(1) 角的度量是无单位的，通常用角度或弧度表示。

角度是最常见的度量单位，用符号°表示，一周为360°。

弧度是物理学和数学中常用的度量单位，用符号rad表示，一周为2π rad。

(2) 根据角的大小，可以将角分为锐角、直角、钝角和平角四种类型。

锐角指角的度量小于90°，直角指角的度量等于90°，钝角指角的度量大于90°，平角指角的度量等于180°。

(3) 两个角互为互补角，如果它们的度量之和等于90°。

两个角互为补角，如果它们的度量之和等于180°。

二、角的度量方法1. 度度量方法度是最常见的角度度量方法，它以一周的等分作为基准，将一个圆周等分为360个等份，每个等份称为1度。

利用度的度量方法，可以直观地表示和比较角的大小。

例如，一个直角的度量为90°，一个钝角的度量为120°。

2. 弧度度量方法弧度是另一种常用的角度度量方法，它以圆周长度和半径之比来表示角的大小。

一个圆的周长等于2πr，其中r为半径，一周等分为2π个弧度。

利用弧度度量方法，可以更精确地描述和计算角的性质。

例如，一个直角的度量为π/2 rad，一个钝角的度量为2π/3 rad。

3. 百分度度量方法百分度是一种不常使用的角度度量方法，它以直角的度量作为参照，将一直角等分为100个等份，每个等份称为1百分度。

利用百分度度量方法，可以方便地进行科学计算和统计分析。

关于余角和补角的知识点

关于余角和补角的知识点1.什么是角度角度是指由两条射线相交形成的图形，一般用字母来表示，如∠A BC。

角度由两条射线的起点A、公共顶点B和终点C确定。

2.角的度量单位角的度量单位有两种常用表示方法：度（°）和弧度（ra d）。

其中，1弧度等于57.3°，1°等于π/180弧度。

在数学中，常用度作为角的度量单位。

3.余角和补角的概念余角指的是两个角的度数之和等于90°时，这两个角互为余角。

补角则是两个角的度数之和等于180°时，这两个角互为补角。

4.余角和补角的计算方法4.1余角的计算方法当已知角度α时，可以通过计算90°减去α得到其余角的度数。

例子：若角α的度数为60°，则其余角的度数为90°-60°=30°。

4.2补角的计算方法已知角度β时，可以通过计算180°减去β得到其补角的度数。

例子：若角β的度数为45°，则其补角的度数为180°-45°=135°。

5.余角和补角的性质5.1余角和补角的和等于90°（或180°）根据余角和补角的定义，两个互为余角的角的度数之和等于90°，而互为补角的角的度数之和等于180°。

例子：若角θ的余角的度数为40°，则角θ的补角的度数为90°-40°=50°。

5.2余角和补角的度数不唯一一个角的余角和补角的度数并不唯一，因为角的度数可以是任意实数。

例子：若角ω的度数为30°，则其余角的度数可以是60°、120°等，其补角的度数可以是150°、210°等。

结论余角和补角是角度的重要概念，它们不仅在几何图形的角度计算中有重要作用，而且在物理和工程问题中也具有广泛应用。

通过理解余角和补角的定义、计算方法和性质，我们能够更好地解决与角度相关的问题，并在实际应用中灵活运用。

角知识点归纳总结

角知识点归纳总结一、角的基本概念1. 角的定义：当两条射线有共同的起点时，它们所形成的图形叫做角。

起点称为角的顶点，两条射线分别称为角的边。

2. 角的表示方法：通常用字母如∠ABC或者∠B来表示角，其中顶点为B。

3. 角的度量单位：角可以用角度或弧度来度量。

角度是最常用的度量单位，通常用度（°）表示，360°为一周。

4. 角的分类：角根据大小可以分为锐角、直角、钝角和平角。

锐角小于90°，直角等于90°，钝角大于90°，平角等于180°。

二、角的性质1. 角的对顶角：如果两个角共享一个顶点且两边分别是另外两条边，则这两个角互为对顶角。

2. 角的合角和分角：如果一个角是由若干个角按一定顺序和方向拼凑在一起的，那么这个角叫做合角；而这个角内的每个小角叫做分角。

3. 角的平分线：如果一条直线将一个角分为两个相等的角，则这条直线叫做该角的平分线。

4. 角的邻角：如果两个角共享一个公共边，则这两个角互为邻角。

三、角的运算1. 角的加法：当两个角共享一个边时，它们的和为这个角的合角。

2. 角的减法：当一个角被另一个角分成两个分角时，这两个分角的差叫做这两个角的差。

3. 角的乘法：当两个角的和或差是已知的时候，要求这两个角的真实大小或真实差叫做角的乘法。

四、角的性质和定理1. 垂直角定理：如果两个角互为对顶角，那么它们互为垂直角。

2. 同位角定理：同位角是指两条平行线与一条直线相交所成的内角。

同位角相等，分别是内错角（对位角）。

3. 类似角的性质：同位角相等，对应角相等。

五、角的应用1. 角的测量：利用量角器或者直尺可以测量角的大小。

2. 角的运用：在几何图形问题中，常常需要用到角的性质来计算或推导出某些结论。

3. 角的工程应用：在土木工程、建筑设计、航空航天等领域，都会涉及到角的应用，如测量地平线倾斜度等。

六、角的相关概念1. 角的余角：如果一个角和另一个角的合角是一个直角，则这两个角互为余角。

七年级上册第二章几何图形的初步认识2-5角和角的度量新版冀教版

感悟新知
要点归纳
知3－讲
1. 角的度、分、秒是 60进制的，这和计量时间的时、分、
秒是一样的.
2. 把高级单位转化为低级单位要乘进率；把低级单位转
化为高级单位要除以进率.
3. 使用直角三角尺可以画出30°， 45°， 60°， 90°等
特殊角，使用量角器可以画出任何给定度数的角.
4. 使用量角器时，注意量角器的刻度的读数的旋转方向，
B.90°
C.150°
D.180°
感悟新知
知识点 2 角的表示方法
知2－讲
角的几何符号为“∠”，角的表示方法有以下几种
表示方法
用三个大写字母表示
用一个大写字母表示
示例
记法
方法解读
字母 O 表示顶点，要写在 ∠ AOB 或中间， A， B 分别表示角 ∠ BOA 的两边上的点，用该表示
法可以表示任何一个角
特别提醒 ◆用数字或希腊字母表示角时，要在角的内部，
靠近角的顶点处加上弧线表示角的范围，即从哪边到哪边 . ◆若无特殊说明，在初中阶段所说的角一般都是在 0°~180°之间.
感悟新知
知2－练
例2 [母题教材 P81 习题 T2] 如图 2.5-3，写出符合以下条件的角： (1) 能用一个大写字母表示的角； (2) 以 A 为顶点的角； (3) 小于平角的角 .
即选择内刻度的读数还是外刻度的读数 .
感悟新知
3. 角的换算 1 周角 =360° ， 1 平角 =180° . 1° =60′， 1′ =60″， 1′ = (610) ° ， 1″ = (610) ′ . 1° =60′ =3 600″， 1″ = (610) ′ =(3 6100)° .

角的度量与角的种类

角的度量与角的种类角是几何学中一个重要的概念，广泛应用于数学、物理和工程等领域。

角的度量是用来描述角的大小的方法，而角的种类指的是不同角的分类。

本文将深入探讨角的度量和角的种类。

一、角的度量角的度量是通过度数来描述角的大小。

角的度量通常使用角度作为单位，记作°。

一圈的角度等于360°。

有以下几种常见的度量方式：1. 度度是角度最常见的度量单位。

一个直角等于90°，一个平角等于180°。

度数越大，角的大小就越大。

2. 分在一度内，可以进一步细分为60分。

分度表示的是角度的更小单位。

3. 秒在一分内，每一分又可以进一步细分为60秒。

秒是度量角大小的最小单位。

二、角的种类根据角的大小和几何特征，可以将角分为以下几类：1. 锐角锐角指的是角的度数小于90°的角。

在锐角中，有以下几种特殊的锐角角度：（1）锐直角：角度等于90°的角，是一种特殊的锐角。

（2）锐钝角：角度大于0°但小于180°的锐角。

2. 直角直角指的是角的度数等于90°的角。

直角是一种特殊的角，具有以下几个特点：（1）直角的两条边互相垂直。

（2）直角所在的直线称为垂直线。

（3）直角的两条边长度相等。

3. 钝角钝角指的是角的度数大于90°但小于180°的角。

钝角也有一些特殊的角度：（1）钝直角：角度等于180°的角，是一种特殊的钝角。

（2）钝钝角：角度大于90°但小于180°的钝角。

4. 平角平角指的是角的度数等于180°的角。

平角具有以下特点：（1）平角的两条边平行。

（2）平角所在的两条直线相互平行。

5. 全角全角指的是角的度数等于360°的角。

全角也具有以下特点：（1）全角的两条边共线。

（2）全角所在的直线是一条射线。

（3）全角可以看作是几个直角的叠加。

结论角的度量和种类是几何学中的重要概念。

角的度量方法总结

角的度量方法总结角是几何学中常见的概念之一，它用于描述两条射线的相对位置和夹角大小。

角的度量是一个重要的数学概念，对于解决各种几何问题和应用学科具有重要意义。

本文将总结常见的角的度量方法，包括角度制和弧度制。

一、角度制角度制是最常见和最直观的角的度量方法。

角度制以圆为基准，将一个完整的圆分成360等份，每一等份称为一度（°），每一度等于1/360个圆周角。

在角度制中，角的度量以度为单位。

1. 角度的表示角度制中，角的表示形式包括：（1）度分秒表示法：一个度分为60分，一个分又分为60秒。

例如，一个角度可以表示为30°15'45"，读作“30度15分45秒”。

（2）小数表示法：将角的度数直接用小数表示。

例如，30°可以表示为30.0°，45'可以表示为0.75°。

2. 角度的加减在角度制中，两个角度的加减可以通过将它们的度数相加或相减得到。

例如，60°+30°=90°。

3. 角度的度数换算角度制中，角的度数可通过一些换算公式进行转换。

（1）度到分：1°=60'（2）度到秒：1°=3600"（3）分到秒：1'=60"（4）分到度：1'=1/60°（5）秒到度：1"=1/3600°例如，将45°转换为分和秒，可以得到45°=45'0"。

二、弧度制弧度制是数学中另一种常用角的度量方法，广泛应用在微积分、物理学和工程学等领域。

弧度制以圆周上一定弧长所对应的半径长度为单位，用弧长所对应的角大小作为度量。

1. 弧度的定义弧度制中，圆周角为360°，相应的一完整圆周对应的弧长为2π。

因此，弧度制的定义为一个角度对应的弧长占圆周的比例。

2. 弧度的换算在弧度制中，弧度的换算公式如下：（1）度到弧度：1°=π/180（2）弧度到度：1弧度=180/π°例如，将60°转换为弧度，可以得到60°=π/3弧度。

角的相关概念

同步课程˙角的相关概念一、角的定义：二、角平分线：一、角的表示方法① 利用三个大写字母来表示，如图1．1．∠AOB图1.1B注意：顶点一定要写在中间．也可记为BOA ∠，但不能写成BAO ∠或ABO ∠等． ② 利用一个大写字母来表示，如图1．2．∠A图1.2A角的相关概念知识回顾知识讲解同步课程˙角的相关概念注意：用一个大写字母来表示角的时候，这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角有且只有一个．③ 用数字来表示角，如图2．1．∠1图2.11④ 用希腊字母来表示角，如图2．2．∠α图2.2α二、单位换算1度＝60分（160︒=') 1分=60秒（160'="）三、角的度量（1）度量角的工具常用量角器用量角器注意：对中（顶点对中心）．重合（角的一边与量角器上的零刻度重合）．读数（读出角的另一边所在线的度数）（2）角的度量单位及其换算角的度量单位是度．分．秒．把平角分成180等份，每一份就是一度的角，记做1︒．把一度的角60等分，每一份叫做1分的角，记做1'．把一分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记做1''．角度之间的关系1周角=360︒ 1平角＝180︒ 1直角＝90︒ 1周角＝2平角 1平角＝2直角（3）角的分类：锐角α（090α<<︒），直角α（90α=︒），钝角α（90180α︒<<︒）．四、两角的和．差．倍．分（1）两角的和．差．倍．分的度数等于它们的度数的和．差．倍．分．（2）从一个角的顶点出发，把它分成两个相等角的射线叫做这个角的平分线．（3）角平分线的画法：①用量角器②用折叠法在一张透明纸上画一个角，记为∠PQR ，折线使射线QR 与射线QP 重合，把纸展开，以Q 为端点，沿折痕画一条射线，这条射线就是∠PQR 的平分线．说说为什么这条线平分∠PQR ？五、用尺规做已知角的平分线方法作法：（1）以O 点为圆心，以任意长为半径，交角的两边于A B 、两点；（2）分别以A ．B 两点为圆心，以大于12AB 长为半径画弧，画弧交于C 点；（3）过C 点作射线OC ．所以，射线OC 就是所求作的．OCBA六、余角、补角（1）如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角．简称“互补”．（2）如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角，简称“互余”．（3）补角．余角的性质：同角或等角的补角相等．同角或等角的余角相等．七、方位角方位角一般以正北．正南为基准，描述物体运动方向．即“北偏东⨯⨯度”．“北偏西⨯⨯度”．“南偏东⨯⨯度”．“南偏西⨯⨯度”，方位角α的取值范围0900≤≤α．“北偏东45度”为东北方向．“北偏西45度”西北方向．“南偏东45度”为东南方向．“南偏西45度”为西南方向．八、钟表角度问题时针12小时转动360度，每小时转动30度；分针60分钟转动360度，每分钟转动6度．秒针60秒钟转动360度，每秒钟转动6度．一、角的概念【例1】角是由有的两条射线组成的图形，两条射线的是这个角的顶点，角也可以看成是由一条射线．【例2】下列语句正确的是（）①角的大小与边的长短无关．②如果一个角能用一个大写字母A 表示，那么以A 为顶点的角只有一个 ③如果一个角能表示为1∠，那么以1∠顶点为顶点的角只有一个． ④两条射线组成的图形叫做角A ①．②B ①．③C ①．④D ②．③【例3】如图，角的顶点是，边是，用三种方法表示该角分别为．αBAO【变式练习】在右图中，角的表示方法正确的是（）A ．A ∠B ．B ∠C ．C ∠D ．D ∠ABC DEO【变式练习】如图，以B 为顶点的角共有几个?请把它们写出来，以D 为顶点的角呢?D CEBA同步练习【例4】下图中，以A为顶点的角是_________．有一边与射线FD在同一条直线上的角有__________个．HGFEDCBA【例5】判断（）一条射线绕它的端点旋转一周所成的角是平角．（）用2倍的放大镜看30︒的角，这个角就变成了60︒．（）由两条射线组成的图形叫做角．（）延长一个角的两边．（）平角就是一条直线；周角就是一条射线．二、角的分类【例6】下列语句正确的是（）A．平角就是一条直线B．周角就是一条射线C．小于平角的角是钝角D．一周角等于四个直角【例7】如图，图中包含小于平角的角的个数有（）D CBAA．4个B．5个C．6个D．7个【例8】如图，∠AOB是平角，则图中小于平角的角共有（）A．4个B．7个C．9个D．10个【例9】如图，必须用三个大写字母表示且小于180°的角共有（）A．10个B．15个C．20个D．25个H NMFGEDCBA【例10】如图，∠CAE=90°，锐角有（）个，钝角至少有（）个．A．4，3 B．3，2 C．6，3 D．4，2三、角度的换算及运算【例11】（1）32.43__________'''︒=︒（2）654312_____'''︒=︒【变式练习】（1）51492421________''︒+︒=；（2）39412445__________''︒-︒=；（3）2313423_________'''︒⨯=；（4）12134________'︒÷=．【例12】（1）2020'4______︒⨯=．（2）4437'3______︒÷=【变式练习】（1）77423445______''︒+︒=；（2）108185623_______''︒-︒=；（3）180(34542133)_______''︒-︒+︒=；（4）23295837______'''︒+︒=；（5）513932532______''''︒-︒=；（6）135********______''︒⨯+︒÷=（7）57.32_________'''︒=︒；（8）122342_______'''︒=︒【例13】在小于平角的范围内，用一对普通的三角板能画出确定度数的角有（）个A．4个B．7个C．11个D．16个【例14】如右图，AOB是直线，1:2:31:3:2∠∠∠=，求DOB∠的度数．123A BCDO四、余角和补角【例15】如图，OE AB ⊥于O ，OF OD ⊥，OB 平分DOC ∠，则图中与AOF ∠互余的角有______个；互补的角有_________对；FEDCB AO【例16】如下图，A ，O ，B 在一条直线上，AOC ∠是锐角，则AOC ∠的余角是（）A ．12BOC AOC ∠-∠B ．1322BOC AOC ∠-∠C ．1()2BOC AOC ∠-∠D ．1()3BOC AOC ∠+∠A CO【例17】一个角和它的余角的比是5:4，则这个角的补角是【例18】一个锐角的一半与这个锐角的余角及这个锐角的补角的和等于平角，求这个锐角的度数．【例19】如果一个角的补角与余角的和，比它的补角与余角的差大60︒，求这个角的余角度数．【变式练习】一个角a 与50︒角之和的17等于65︒角的余角，求a ．【变式练习】已知α的余角是β的补角的13，并且32βα=，试求αβ+的度数．【例20】已知两角互补，试说明：较小角的余角等于两角差的一半．五、角平分线【例21】从一个角的顶点出发，把它分成两个角的直线叫做这个角的平分线．（填“正确”或“错误”）【例22】如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠COB，若∠EOB=55°，则∠BOD的度数是（）A．35°B．55°C．70°D．110°【例23】如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，若∠BOC=80°，则∠AOE的度数是（）A．40°B．50°C．80°D．100°【例24】如图所示，将一张长方形纸的一角斜折过去，使顶点A落在A′处，BC为折痕，如果BD为∠ABE的平分线，则∠CBD=（）A．80°B．90°C．100°D．70°【例25】如图，BE 、CF 分别是∠ABC 、∠ACB 的角平分线，∠A=44°，那么∠BDC 的度数为（）A ．68°B ．112°C ．121°D ．136°【例26】下列说法正确的是（）A ．两点之间直线最短B ．用一个放大镜能够把一个图形放大，也能够把一个角的度数放大C ．将一个角分成两个角的射线叫角的平分线D ．直线l 经过点A ，那么点A 在直线l 上六、方位角【例27】下面图形中，表示北偏东60︒的是（）60︒A 东西北南60︒B 西北南60︒C 东西北南60︒D东西北南【例28】下列说法不正确的是（）A ．OA 方向是北偏东30︒B ．OB 方向是北偏西15︒C ．OC 方向是南偏西25︒D ．OD 方向是东南方向【例29】如图，平面内有两点A B ，（1）分别画出点A 处北偏东70︒的方向和点B 处北偏西40︒的方向．（2）点A 位于B 的什么方向（精确到1︒）BAO 东25︒75︒45︒30︒D CBA【例30】如图，A 、B 、C 、D 是北京奥运会场馆分布图，请结合图形回答问题．为了方便指明每个场馆的位置，以天安门为中心（即点O 的位置）建立了位置指示图，直线CODE 相交于O ，90COD ∠=︒，请按要求完成下列问题：①若在图上测得20mm OA =，54mm OB =，36BOC AOE ∠=∠=︒，则可知场馆B 的位置是北偏西36︒，据中心54mm ，可简记为（54mm ，北偏西36︒）．据此方法，场馆A 的位置可简记为（_________，________）． ②可求得BOA ∠=________；③在现有的图形中（不增加新的字母），AOD ∠与_____________是互补的角．EAO BD东西北C七、共定点角的相关计算【例31】如图，在直线AB 上取一点O ，在AB 同侧引射线OC ，OD ，OE ，OF 使COE ∠和BOE ∠互余，射线OF 和OD 分别平分COE ∠和BOE ∠，求证：3AOF BOD DOF ∠+∠=∠．ABC DEO 图2F E B【变式练习】如图，直线AB ，CD 相交于点O ，作DOE BOD ∠=∠，OF 平分AOE ∠，若28AOC ∠=︒，求EOF ∠．A BCDE FO同步课程˙角的相关概念【例32】如图所示，80AOB ∠=︒，OC 是AOB ∠内部的任意一条射线，若OD 平分BOC ∠，OE 平分AOC ∠，试求DOE ∠的度数．EDC BAO【例33】如图，ACB ∠是一个平角DCE ACD ∠-∠ECF DCE =∠-∠FCG ECF =∠-∠GCB FCG =∠-∠10=︒，求GCB ∠的度数．GABC D E 图2F【例34】已知：如图，OC 是AOB ∠外的一条射线，OE 平分AOC ∠．OF 平分BOC ∠．①若100AOC ∠=︒，40BOC ∠=︒，问：?EOF ∠=②若AOB n ∠=︒，求EOF ∠的度数并说明理由．OC FE BA同步课程˙角的相关概念【例35】BOC ∠为AOC ∠外的一个锐角，射线OM ．ON 分别平分AOC ∠．BOC ∠．（1）90AOB ∠=°，30BOC ∠=°，求MON ∠的度数；（2）AOB α∠=，30BOC ∠=°，求MON ∠的度数；（3）90AOB ∠=°，BOC β∠=，还能否求出MON ∠的度数吗？若能，求出其值，若不能，说明理由．（4）从前三问的结果你发现了什么规律？C NB MAO【例36】已知：OA ．OB ．OC 是从点O 引出的三条射线85AOB ∠=︒，4136'BOC ∠=︒，求AOC ∠．【例37】已知一条射线OA ，若从点O 再引两条射线OB 与OC ，使60AOB ∠=︒，20BOC ∠=︒，求AOC∠的度数．【例38】已知,αβ都是钝角，计算()1+6αβ，正确的结果只可能是（） A ．26︒ B ．40︒ C ．72︒ D ．90︒【变式练习】α．β．γ中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算1()15αβγ++的值时，有三位同学分别算出了23︒．24︒．25︒这三个不同的结果．其中确有一个是正确的答案，求αβγ++的值．【例39】在同一平面内有射线OA OB OC OD ，，，平分BOC ∠，AOC ∠的3倍比AOB ∠的2倍多5︒，10AOD ∠=︒，求AOC ∠的度数．【例40】以AOB ∠的顶点O 为端点引射线OC ，使得:5:4AOC BOC ∠∠=，且AOC ∠，BOC ∠均小于180︒，若30AOB ∠=︒，求AOC ∠的度数．八、钟表角度问题【例41】从3时到6时，钟表的时针旋转角的度数是（）A ．30B ．60°C ．90°D ．120°【例42】下午2点30分时（如图），时钟的分针与时针所成角的度数为（）A ．90°B ．105°C ．120°D ．135°【例43】由2点15分到2点30分，时钟的分针转过的角度是（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【例44】钟面上从2点到4点有几次时针与分针夹成60︒的角？分别是几点几分？【例45】钟表在12点钟时三针重合，经过x 分钟后，秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分，则x 的值是多少?【习题1】一个角的补角和它的余角的3倍的和等于周角的1112，求这个角．【习题2】下列图形中，表示南偏西60︒的是（）60︒A 东西北南60︒B 东西北南60︒C东西北南60︒D东西北南【习题3】下列说法中，正确的是（）A ．一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫做这个角的平分线B ．两个锐角的和为钝角C ．相等的角互为余角D ．钝角的补角一定是锐角【习题4】一个角的余角的2倍和它的补角的12互为补角，求这个角的度数．【习题5】已知一个角的补角等于这个角余角的6倍，那么这个角等于多少？【习题6】如图，OM 平分AOB ∠，ON 平分COD ∠，若50MON ∠=︒，10BOC ∠=︒，求AOD ∠的小．NMAB C DOAC D E图2图1F课后练习。

角与角的度量

∠1 ∠2 ∠3
∠BAC
∠4
∠5
∠BCE ∠BCA
∠BAD ∠ABC
B 5
4 D A
3
2 C
1
E
B
O
A
如果一个角的终边继续旋转，旋转到与始边成一条直线时，所成的角叫做平角
O
A （B）
当旋转到终边与始边重合时，所成的角叫做周角。
小试牛刀：
1.用适当方法分别表示下图中的每个角
B B
C
A
⑴
C
A
角的定义
角是由两条具有公共端点的射线组成的图形。
射线边
顶转所组成的图形。
此时，角的边就有了始边与终边之分
终边
顶点
始边
B
终边
O
A
顶点
始边
角是由两条有公共端点的射线所组成的图形。这个公共端点叫做这个角的顶点这两条射线叫做这个角的边角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的图形。起始位置的射线叫做这个角的始边。终止位置的射线叫做这个角的终边。
角的应用
还记得下图的八个方向吗?但在日常生活中，八个方向是不够用的，这只是一种大致的方向.如果要准确地表示方向，那就要借用角度的表示方式.
如图所示的角度不能用地理里面的八个方向来表示，借用角可以准确表示方向。如图叫做北偏东30°.
课后拓展
思考题：数一数下面一共有几个角？
D C
B
O
A
一共有 6个角
(3)∵35.564°=35°＋0.564°
=33.84′ 0.84′=60″×0.84 =50.4″≈50″
∴35.564°≈35°33′50″．
2 用度表示37°12′18″ 解：∵ 12′ 24″ = 12′+ 18″ =12×60 ″+18 ″=738 ″

角(基础)知识讲解

角（基础）知识讲解责编：康红梅【学习目标】1．掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的换算及运算； 2. 掌握借助三角尺或量角器画角的方法，并熟悉角大小的比较方法； 3. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算；5. 掌握余角、补角及对顶角的概念及性质，会用其性质进行有关计算； 6．了解方位角、钟表上有关角，并能解决一些实际问题．【要点梳理】要点一、角的概念及表示 1．角的定义：（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O ，边是射线OA 、OB ．（2）定义二：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA 绕它的端点O 旋转到OB 的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA 是角的始边，终止位置OB 是角的终边．要点诠释：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．（2）平角与周角：如图1所示射线OA 绕点O 旋转，当终止位置OB 和起始位置OA 成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB 和OA 重合时，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：图1图2要点诠释：在表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，再注上相应数字或字母．3.角的画法（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．要点二、角的比较与运算1.角度制及其换算角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的160为1分，记作“1′”，1′的160为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．要点诠释：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位．2.角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．3.角的和、差关系如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1＋∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．要点诠释：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．4.角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC ＝12∠AOB．要点诠释：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．要点三、余角、补角、对顶角1.余角与补角（1）定义：一般地，如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角，简称互余，其中一个角叫做另一个角的余角．类似地，如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫做另一个角的补角．（2）性质：同角（等角）的余角相等．同角（等角）的补角相等．要点诠释：(1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关．(2)一个锐角的补角比它的余角大90°．2.对顶角（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角．要点诠释：(1)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.(2)只有两条直线相交时，才能产生对顶角．两条直线相交时，除了产生对顶角外，还会产生邻补角，邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边，另一边互为反向延长线.（2）性质：对顶角相等．要点四、方位角在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．要点诠释：（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示；（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”；（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向；（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．要点五、钟表上有关角问题钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．【典型例题】类型一、角的概念及表示1.下列语句正确的是()A．两条直线相交，组成的图形叫做角．B．两条具有公共端点的线段组成的图形叫做角．C．两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角．D．过同一点的两条射线组成的图形叫做角．【答案】C【解析】根据角的定义判断【总结升华】角不能仅仅看作是有公共端点的两条射线，角的两种描述中都隐含了组成角的一个重要元素，即两条射线间的相对位置关系，这是角与“有公共端点的两条射线”的重要区别．举一反三：【变式】写出图中(1)能用一个字母表示的角；(2)以B为顶点的角；(3)图中共有几个角(小于180°).【答案】解：(1)能用一个字母表示的角∠A、∠C．(2)以B为顶点的角∠ABE、∠ABC、∠CBE．(3)图中共有7个角．类型二、角度制的换算2. 把25.72°用度、分、秒表示； (2)把45°12′30″化成度（精确到百分位）．【思路点拨】第(1)题中25.72°中含有两部分25°和0.72°，只要把0.72°化成分、秒即可．第(2)题中，45°12′30″含有三部分45°，12′和30″，其中45°已经是度，只要把12′和30″化成度即可．【答案与解析】解：(1)0.72°＝0.72×60′＝43.2′，0.2′＝0.2×60″＝12″，所以25.72°＝25°43′12″．(2)130300.560'⎛⎫'''=⨯= ⎪⎝⎭，112.512.50.2160⎛⎫'=⨯ ⎪⎝⎭°≈° 所以45°12′30″≈45.21°．【总结升华】无论由高级单位向低级化还是由低级单位向高级化，都必须逐级进行，“越级”化单位容易出错．举一反三：【变式】 (1)把26.29°转化为度、分、秒表示的形式； (2)把33°24′36″转化成度表示的形式．【答案】 (1)26.29°＝26°＋0.29°＝26°＋0.29×60′＝26°＋17.4′＝26°＋17′＋0.4×60″＝26°17′＋24″＝26°17′24″(2)33°24′36″＝33°＋24′＋36×160'⎛⎫ ⎪⎝⎭＝33°＋24′＋0.6′＝33°＋24.6′＝33°＋24.6×160⎛⎫⎪⎝⎭°＝33.41° 【总结升华】在角度的和、差运算中应先统一单位，都化成度或分、秒表示，然后再进行计算.类型三、角的比较与运算3.不用量角器，比较图1和图2中角的大小．(用“＞”连接)【思路点拨】图1中两角∠α、∠β均为锐角，因此，在不能测量的情形下，我们可以将图中的∠α向∠β平移，让∠α与∠β始边重合，观察终边的位置来比较角的大小．图2中的三个角按角的分类，∠1为锐角，∠2为直角，∠3为钝角，因此按照各自的范围就可以将它们的大小比较出来．【答案与解析】解：(1)如图所示，将∠α平移使∠α的始边与∠β的始边重合，发现∠α落在∠β内部，因此∠β＞∠α．(2)由图可知∠1是锐角，∠1＜90°，∠2是直角，即∠2＝90°，∠3是钝角，即90°<∠3＜180°，因此∠3＞∠2＞∠1．【总结升华】本例给出的两题是在不用量角器测量角的情况下比较角的大小，一种方法是叠合比较法，另外一种方法则是根据角的分类，由图形观察角的不同分类，按照常见的锐角＜直角＜钝角＜平角＜周角来比较大小．举一反三：【变式】已知∠AOB(如图所示)，画一个角等于这个角．【答案】作法：如图，(1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；(2)画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧l，交O′A′于点C′；(3)以点C′为圆心，CD长为半径画弧，交弧l于点D′；(4)过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．4.如图所示，已知OC平分∠BOD，且∠BOC＝20°，OB是∠AOD的平分线，求∠AOD的度数．【答案与解析】解：因为OC平分∠BOD，且∠BOC＝20°，所以∠BOD＝2∠BOC=2×20°＝40°．又因为OB是∠AOD的平分线，所以∠AOD＝2∠BOD＝2×40°＝80°．【总结升华】应用角的平分线的定义时根据两点：若OB是∠AOC的平分线，则①∠AOB＝∠BOC＝12∠AOC；②∠AOC＝2∠AOB＝2∠BOC，在解题时要学会灵活应用．【高清课堂：角397364 角的有关计算例3】举一反三：【变式】已知：如图，OM是∠AOB的平分线，ON是∠BOC的平分线，∠AOC=80︒，求：∠MON.【答案】解：∵OM平分∠AOB，ON平分∠COB，∴∠MOB=12∠AOB，∠BON=12∠BOC.(角平分线的定义)∴∠MON=∠MOB＋∠BON=12∠AOB＋12∠BOC=12(∠AOB＋∠BOC)=12∠AOC=12×80︒=40︒ .即∠MON=40︒.类型四、余角、补角、对顶角5.如图所示，直线AB、CD相交于点O，∠EOD＝90°，∠FOB＝90°，若∠AOC ＝40°，求∠BOE、∠COE和∠COF的度数 .【思路点拨】根据对顶角的性质，可求得∠BOD的度数；由垂直关系或互余求∠DOE的度数；和∠COF的度数.【答案与解析】解：因为AOC和∠BOD是对顶角，所以∠BOD＝∠AOC＝40°.因为∠EOD＝90°，所以∠BOD和∠BOE互余，∠COE和∠DOE互补，即∠BOE＝50°，∠COE＝∠DOE＝90°.因为∠FOB＝90°，∠EOD＝90°，所以∠DOF＝∠BOE＝50°（同角的余角相等）.因为∠COF和∠DOF互补，所以∠COF＝180°－∠DOF＝180°－50°＝130°.【总结升华】当已知图中某一个角的度数，可根据其它角与这个角的关系，运用互余、互补、对顶角的性质求相关角的度数.举一反三：【变式】（2015•崇左）下列各图中，∠1与∠2互为余角的是（）A． B．C．D．【答案】C．解：四个选项中，只有选项C满足∠1+∠2=90°，即选项C中，∠1与∠2互为余角．类型五、方位角及钟表上有关角问题6.（2015•浦东新区三模）已知小岛A位于基地O的东南方向，货船B位于基地O的北偏东50°方向，那么∠AOB的度数等于．【答案】85°．【解析】解：如图：∵∠2=50°，∴∠3=40°，∵∠1=45°，∴∠AOB=∠1+∠3=45°+40°=85°，故答案为：85°．【总结升华】本题主要考查了方位角的概念，根据方位角的概念，画图正确表示出A，B的方位，注意东南方向是45度是解答此题的关键．7.计算：4时15分时针与分针的夹角.【答案与解析】解法一：如下图，设4时15分时针与分针的夹角为∠α(注：夹角指小于180°的角)，时针转过的角度为：30°×4＋0.5°×15，分针转过的角度为：6°×15，所以∠α＝30°×4＋0.5°×15-6°×15＝37.5°．解法二：如上图，∠AOC＝30°×1＝30°，∠BOC＝0.5°×15＝7.5°．所以∠AOB＝37.5°．即4时15分时针与分针的夹角为37.5°．【总结升华】求钟表中时针与分针的夹角有两种方法：第一种方法利用时针与分针的每分钟转速求解，比如解法一；第二种方法直接根据图形求夹角，如解法二．。

角的概念和角度的度量

角的概念和角度的度量一、角的概念1.定义：由一点引出的两条射线所围成的图形，叫做角。

2.元素：顶点、边、邻补角、对顶角、内角、外角等。

3.分类：锐角、直角、钝角、平角、周角。

a.角的大小与边的长短无关，只与开口的大小有关。

b.角的度量单位是度，用符号“°”表示。

c.角的度量工具是量角器。

二、角度的度量1.度、分、秒：1度等于60分，1分等于60秒。

2.度量方法：a.用量角器量取角的度数，使量角器的中心点与角的顶点重合，0刻度线与角的一条边重合，另一条边在量角器上的刻度即为角的度数。

b.读数时，先读度数，再读分，最后读秒。

3.特殊角的度量：a.30°角：量角器的中心点与角的顶点重合，0刻度线与角的一条边重合，另一条边在量角器上的刻度为30°。

b.45°角：量角器的中心点与角的顶点重合，0刻度线与角的一条边重合，另一条边在量角器上的刻度为45°。

c.60°角：量角器的中心点与角的顶点重合，0刻度线与角的一条边重合，另一条边在量角器上的刻度为60°。

4.角度的补角和余角：a.补角：两个角的和为90°，则这两个角互为补角。

b.余角：两个角的和为180°，则这两个角互为余角。

三、角的计算1.角的和与差：a.角的和：将两个角的度数相加即可得到它们的和。

b.角的差：用减法计算两个角的度数差。

2.角的倍数与分角：a.角的倍数：将角的度数乘以整数倍，得到的角度即为该角的倍数。

b.角的分角：将角的度数除以整数，得到的角度即为该角的分角。

四、实际应用1.计算日常生活中的角度：如门的开启角度、眼镜的度数等。

2.几何图形的制作：如制作直角三角形、等腰三角形等。

3.测量物体的大小：如测量物体的高度、宽度等。

以上就是关于角的概念和角度的度量的知识点总结，希望对你有所帮助。

在学习过程中，要注意理论联系实际，加强练习，提高自己的解题能力。

习题及方法：定义角的概念，并画出一个直角。