商务数学61定积分的概念与性质

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商务数学61__定积分的概念与性质

商务数学61__定积分的概念与性质

第六章定积分Definite Integral定积分是积分学中另一个重要概念,它也是从大量实际问题中抽象出来的.定积分不仅在积分学中有着重要的地位,而且在科学技术及经济管理学等领域也有着广泛的应用.定积分与不定积分在概念上有着根本区别,但它们又有着密切的联系.本章主要介绍定积分的概念、性质、计算及其在几何学和经济学中的若干应用.§1 定积分的概念与性质1.1 引出定积分概念的两个例子1.1.1 曲边梯形的面积在生产实际中,有些问题的计算常常归结为要计算一个由曲线围成的图形的面积(area).例如在设计船体时,需要计算水线面面积(waterplane area),即用水平面满载船体所得截面的面积.又如测量河流的流量,需要知道河床断面面积(riverbed cross sectionarea ),这些都需要讨论由曲线围成的图形的面积.从几何直观来看,由曲线围成的图形的面积,往往可以化为两个曲边梯形的面积之差.所谓曲边梯形(curved trapezoidal )是这样的图形,它有三条边是直线段,其中两条互相平行,第三条与前两条垂直(叫做底边[hemline ]),第四条边是一条曲线弧(叫做曲边[curved ]),这条曲边与任意一条垂直于底边的直线至多只交于一点.今后,称由连续曲线()x f y =,直线a x =,b x =及x 轴所围成的图形AabB 为曲边梯形(See Figure 6-1).关于曲边梯形AabB 的面积的计算,我们一般采取如下方法:①用分点0x a =<1x <2x <…<1n x -<b x n =将[]b ,a 分成n 个小区间[]10x ,x ,[]21x ,x ,…,[]n 1n x ,x -,它们的长度分别为:1i i i x x x --=∆,n ,,2,1i =.过每个分点i x (n ,,2,1i =)作x 轴的的垂线,把曲边梯形AabB 分成n 个小曲边梯形(See Figure 6-2).若用S 表示AabB 的面积,i S ∆表示第i 个小曲边梯形的面积,则有n 21S S S S ∆∆∆+++= ∑=∆=n 1i iS .②在每个小区间[]i 1i x x ,-(n 21i ,,, =)任取一点i ξ,[]i 1i i x x ,-∈ξ,过i ξ作x 轴的垂线与曲边()x f y =交于点()()i i i f P ξξ,,以i x ∆为底,以()i f ξ为高作矩形,于是()i i i x f S ∆∆ξ≈,作总和()∑=∆=n 1i ii n x f S ξ,则n S 为S 的近似值.③用{}i x max x ∆∆=表示所有小区间中最大区间的长度,当分点数n 无限增大而0x →∆时,总和n S 的极限就定义为曲边梯形AabB 的面积S ,即()∑=→∆∆=n 1i i i 0x x f lim S ξ. 【Note 】上面这种求曲边梯形面积的方法,就是古希腊数学家安提芬(Antiphon )、欧多克斯(Eudoxus )、阿基米德(Archimedes )等所用的穷竭法(method of exhaustion ).1.1.2 变速直线运动的距离当物体作匀速直线运动时,其运动的距离等于速度乘以时间.现设物体运动的速度v 随时间t 变化,即v 是时间t 的函数()t v v =,求此物体在时间区间[]b ,a 内运动的距离S .①用分点0t a =<1t <2t <…<1n t -<b t n =将[]b a ,分成n 个小区间[]10t t ,,[]21t t ,,…,[]n 1n t t ,-(See Figure 6-2).它们的长度分别为:1i i i t t t --=∆,n ,,2,1i =.②在每个小区间[]i 1i t t ,-(n 21i ,,, =)任取一点i τ,[]i 1i i t t ,-∈τ,以()i i t v ∆τ作为物体在小时间区间[]i 1i t t ,-上运动的距离i S ∆的近似值,即()i i i t v S ∆≈∆τ,则物体在时间区间[]b a ,上运动的距离S 的近似值为()∑=∆=n 1i i i n t v S τ.③当分点数n 无限增大而小时间区间中最大一个的长度0t →∆时,总和n S 的极限就是物体以变速()t v 从时刻a 到时刻b 这段时间内运动的距离S ,即()∑=→∆∆=n1i i i 0t t v lim S τ. 从以上两个实际例子可以看出,问题虽不相同,但解决问题的基本思想和方法是一致的,即都是求同一形式的极限问题.上述基本思想和方法的抽象与概括,就是定积分的概念.定积分就是从大量这样的积累问题(theproblem of accumulate )中提炼概括出来的.1.2 定积分的定义Definition 6.1(See p.134)若函数()x f 在区间[]b a ,上有定义,用点0x a =<1x <2x <…<1n x -<b x n =将区间[]b ,a 分成n 个小区间[]i 1i x x ,-(n 21i ,,, =),其长度为1i i i x x x --=∆,在每个小区间[]i 1i x x ,-上任取一点i ξ([]i 1i i x x ,-∈ξ),作函数值()i f ξ与小区间长度i x ∆的乘积()i i x f ∆ξ,并求总和()∑=∆=n 1i ii n x f S ξ.如果当n 无限增大,而i x ∆中最大者0x →∆({}i x max x ∆=∆)时,总和的极限存在,且此极限与[]b ,a 的分法及i ξ的取法无关,则称函数()x f 在区间[]b ,a 上是可积的(integrable ),并称此极限值为函数在区间[]b ,a 上的定积分(definite integral ),记作()⎰ba dx x f ,即()()∑⎰=→∆∆=n1i i i 0x b a x f lim dx x f ξ.其中()x f 称为被积函数(integrand ),()dx x f 称为被积表达式(integralexpression ),x 称为积分变量(variableof integration ),[]b a ,成为积分区间(integral interval ),a 和b 分别称为积分下限(lower limits of integration )和积分上限(upper limits of integration ),a 与b 可以统称为积分限(limits of integration 或bound of integration ).由定积分定义,本章开头的两个例子可用定积分表示:①曲边梯形面积是曲线函数()x f y =在区间[]b ,a 上的定积分,即()⎰b a dx x f .反之,定积分()⎰b a dx x f 的几何意义,就是在[]b ,a 上,当()x f ≥0时,由曲线()x f y =,直线a x =和b x =及x 轴所围成的曲边梯形面积.②物体作变速直线运动,从时刻a 到时刻b 所经过的路程就是速度函数()t v v =在时间区间[]b ,a 上的定积分,即()⎰ba dt t v .【Note 】①Definition 6.1中的 “被积函数”、“被积表达式”、“积分变量”等说法是与不定积分相似的.不仅如此,二者的记号也十分相似:②定积分()⎰ba dx x f 是一个乘积和的极限.具体说,它是对被积函数()x f 在积分区间[]b ,a 上经过如下四个步骤而得到: 分割,得到n 个小区间长度i x ∆(n ,,2,1i =);❖代替,得到n 个小区间上任取的某一点的函数值与对应小区间长度的乘积()i i x f ∆ξ(n ,,2,1i =);♦求和,得到乘积和(法国数学家达布[Darboux ]最早提出,一般称为达布和[Darboux sum ])()∑=∆n 1i ii x f ξ;⌧取极限,得到当0x →∆时的极限()∑=→∆∆n1i i i 0x x f lim ξ.③显然,它是无穷多个无穷小的和的极限,所以定积分是无穷小的求和,正由于此,积分的符号用“和”(sum )的第一个字母“s ”的变形 “⎰”来表示.④定积分是一个固定的数(正因为此,它才称为定积分),这个数与被积函数()x f及积分区间[]b ,a 有关,而与区间[]b ,a 的分割方法及每个小区间上的点i ξ的取法无关.⑤正因为定积分只与被积函数及积分区间有关,所以与积分变量用什么字母表示是无关的,即: ()()()() ====⎰⎰⎰⎰ba b a b a b a d f du u f dt t f dx x f ξξ.⑥在Definition 6.1中,我们实际已假定了a <b ,所以在定积分中有两个重要的规定(stipulation ):◆若b <a ,则 ()()dx x f dx x f ab b a ⎰⎰-=(积分上下限互换时,积分变号.此规定可简记为⎰⎰-=b a a b );❖若b a =,则()0dx x f aa =⎰(积分上下限相等时,积分为零.此规定可简记为⎰=a a 0).⑦函数可积的必要条件:可积函数一定是有界函数.⑧函数可积的充分条件:◆闭区间上的连续函数是可积的;❖有限区间上只有有限个间断点的有界函数是可积的.Example 6.1.1 求dx x 102⎰.解 因为被积函数()2x x f =在积分区间[]1,0上连续,而连续函数是可积的,所以积分与区间[]1,0的分法及i ξ的取法无关.因此,为了便于计算,不妨把区间[]1,0分成n 等份,分点为ni x i =(1n ,,2,1i -= );这样,每个小区间[]i 1i x ,x -的长度为n1x i =∆(n ,,2,1i =);我们取ni x i i ==ξ(n ,,2,1i =),于是得到Darboux 和()i n 1i 2i n 1i i i x x f ∆=∆∑∑==ξξ ()()1n 21n n 61n 1i n 1n 1n i 3n 1i 23n 1i 2++⋅==⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑== ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n 12n 1161.当{}0n1x max x i →=∆=∆即∞→n 时,取极限,由定积分定义,即得所求的积分为dx x 102⎰ ()31n 12n 1161lim x f lim n i n 1i i 0x =⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+==∞→=→∑∆ξ∆. 【Note 】在解题中,我们是取ni i =ξ(n ,,2,1i =),即每个小区间的右端点.由于积分与i ξ的取法无关,我们也可以选其他取法.比如,取每个小区间的左端点n1i i -=ξ(n ,,2,1i =),则Darboux 和为()i n 1i 2i n 1i i i x x f ∆=∆∑∑==ξξ ()∑∑∑∑-=====⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∆=∆1n 1i 23n 1i 2i n 1i 2i n 1i i i i n 1n 1n 1i x x f ξξ ()()[]()[]⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-+--⋅=n 12n 116111n 211n 1n 61n 13.当{}0n1x max x i →=∆=∆即∞→n 时,取极限,即得所求的积分()in1i i 0x 102x f lim dx x ∆=∑⎰=→∆ξ 31n 12n 1161lim n =⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→.我们也可以取每个小区间的中点⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n i n 1i 21i ξn21i 2-=(n ,,2,1i =),则Darboux 和为()n 1n 21i 2x x f n 1i 2i n 1i 2i n 1i i i ⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∆=∆∑∑∑===ξξ ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⋅=-=∑=223n 1i 23n 141211n 4n 31n 411i 2n 41.当{}0n 1x max x i →=∆=∆即∞→n 时,取极限,即得所求的积分⎰102dx x ()31n 14121lim x f lim 2n i n 1i i 0x =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∆=∞→=→∆∑ξ.1.3 定积分的性质Properties 1(See p.135) 常数因子可以提到积分号前,即()()⎰⎰=b a b a dx x f k dx x kf (其中k 为常数).Properties 2(See p.135) 两个函数代数和的积分等于积分的代数和,即()()[]()()⎰⎰⎰±=±b a b a ba dx x g dx x f dx x g x f . 此性质可以推广到有限多个函数的代数和,即()()⎰∑⎰∑==⎥⎦⎤⎢⎣⎡±=⎥⎦⎤⎢⎣⎡±ba n 1ib a i n 1i i dx x f dx x f . Properties 3(See p.135) 如果积分区间[]b ,a 被点c 分成两个小区间[]c ,a 与[]b ,c ,即a <c <b ,则函数在[]b ,a 上的积分等于在[]c ,a 与[]b ,c 上的积分之和,即()()()⎰⎰⎰+=b a c a bc dx x f dx x f dx x f .【Note 】此性质称为积分的区间可加性(additivity of intervals ),特别是分段函数(piecewise function )的积分常要用到这个性质来计算.另外,如果a <b <c 或c <a <b ,甚至a c =<b 或a <c b =,Properties 3中的等式()()()⎰⎰⎰+=b a c a bc dx x f dx x f dx x f 依然成立(可简记为⎰⎰⎰+=b a c a bc ).Properties 4(See p.135) 如果函数()x f 与()x g 在区间[]b ,a 上满足条件()x f ≤()x g ,则()dx x f b a ⎰≤()dx x g b a ⎰. 【Note 】此性质称为积分的保号性(preserving sign property ).Properties 5(See p.135) 1的积分等于积分区间的长度,即若被积函数为()1x f =,则a b dx ba -=⎰. Corollary()a b k kdx b a -=⎰(其中k 为常数).在区间[]b ,a 上的最大值与最小值分别为M 与m ,则有()a b m -≤()dx x f ba ⎰≤()ab M -. 【Note 】事实上,由m ≤()x f ≤M 及积分的保号性知⎰b a mdx ≤()⎰ba dx x f ≤⎰ba Mdx ,再由Properties 5之Corollary便知()a b m -≤()⎰b a dx x f ≤()a b M -.此性质的几何定义是:由()x f y =,a x =,b x =及x 轴围成的曲边梯形面积,介于以区间[]b ,a 的长度为底,以最大值M ,最小值m 为高的两矩形面积之间(See Figure 6-4).在区间[]b ,a 上连续,则在()b ,a 内至少存在一点ξ,使得()()()a b f dx x f ba -=⎰ξ(()b ,a ∈ξ).【Note 】事实上,由Properties 6知()a b m -≤()⎰b a dx x f ≤()a b M -,各式除以a b -得m ≤()⎰-ba dx x f ab 1≤M ,即()⎰-=b adx x f a b 1c 为介于m 与M 之间的实数.据Chapter 2 §4之Properties 3(介值定理)可知,()b ,a ∈∃ξ,使得()()⎰-=b adx x f a b 1f ξ,即()()()a b f dx x f b a -=⎰ξ.此性质一般称为积分中值定理(mean value theorem of integrals ),而ξ点的函数值()()⎰-=ba dx x f ab 1f ξ称为函数()x f 在区间[]b ,a 上的平均值(average value 或mean value ).它的几何意义是:由()x f y =,a x =,b x =及x 轴围成的曲边梯形面积,等于以区间[]b ,a 的长度为底,以这区间的某一点ξ相应的曲线上点的纵坐标()ξf 为高的矩形面积(See Figure 6-5).。

定积分知识点总结

定积分知识点总结

定积分知识点总结什么是定积分?定积分是微积分中的重要概念之一,用于求解曲线下面的面积或曲线与坐标轴所围成的图形的面积。

定积分的基本思想是将区间划分成无限小的小区间,然后对每个小区间内的函数值进行求和,最终得到曲线下的面积或图形的面积。

定积分的符号表示定积分的符号表示为∫f(x)dx,其中∫ 表示积分符号,f(x)表示被积函数,dx表示积分变量。

∫ f(x)dx的结果是一个数值,表示积分区间上的面积。

定积分的计算步骤计算定积分的一般步骤如下:1.确定积分区间:确定被积函数的积分区间,一般用[a, b] 表示。

其中,a 表示下限,b 表示上限。

2.对被积函数进行积分:根据被积函数的形式,进行积分运算。

如果被积函数是简单函数,可以直接对其进行积分。

如果被积函数比较复杂,可以利用积分的基本公式或积分的性质来进行换元、分部积分等操作。

3.计算积分结果:对积分结果进行计算,得到最终的数值结果。

定积分的性质定积分具有以下几个重要的性质:1.线性性质:定积分具有线性性质,即对于任意的常数 a 和 b,有∫(af(x) + bf(y))dx = a∫f(x)dx+ b∫f(y)dy。

2.区间可加性:如果有一个函数在区间 [a, b] 上可积分,而在 [b, c] 上也可积分,则在整个区间 [a, c] 上也可积分,并且有∫[a,c]f(x)dx = ∫[a,b]f(x)dx + ∫[b,c]f(x)dx。

3.积分与求导的关系:定积分与原函数之间存在着积分与求导的关系。

如果函数 F(x) 在区间 [a, b] 上可导,并且导函数 f(x) 连续,则有∫[a,b]f(x)dx = F(b) - F(a)。

定积分的应用定积分在科学和工程领域有着广泛的应用,下面介绍一些常见的应用场景:1.几何应用:定积分可以用于计算平面图形的面积和曲线的弧长。

例如,可以通过计算曲线所围成的面积来求解不规则图形的面积。

2.物理学应用:定积分在物理学中的应用非常广泛。

定积分的概念、性质

定积分的概念、性质
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三、定积分的性质
§5.1 定积分的概念与性质
一、定积分问题举例
演讲人姓名
二、定积分定义
一、定积分问题举例
曲边梯形 设函数yf(x)在区间[a, b]上非负、连续. 由直线xa、xb、y0及曲线yf (x)所围成的图形称为 曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边.
曲边梯形的面积
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观察与思考
定积分的定义
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二、定积分定义
例1 用定积分表示极限 解 定积分的定义
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二、定积分定义
定积分的定义
注: 设f (x)在[0, 1]上连续, 则有
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定积分的几何意义
这是因为 曲边梯形面积 曲边梯形面积的负值
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定积分的几何意义
各部分面积的代数和 曲边梯形面积 曲边梯形面积的负值
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例2
在曲边梯形内摆满小的矩形, 当小矩形的宽度减少时, 小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化? 怎样求曲边梯形的面积?
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(2)近似代替:
求曲边梯形的面积
(1)分割:
ax0< x1< x2< < xn1< xn b, Dxi=xi-xi1;
小曲边梯形的面积近似为f(xi)Dxi (xi1<xi<xi);
如果在区间[a b]上 f (x)g(x) 则
如果在区间[a b]上 f (x)0 则
性质5
推论2
性质6
设M及m分别是函数f(x)在区间[a b]上的最大值及最小值 则
例4 试证:
证明 设 则在 上, 有 即 故 即
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性质7(定积分中值定理)
如果函数f(x)在闭区间[a b]上连 续 则在积分区间[a b]上至少存在一个点x 使下式成立 这是因为, 由性质6 ——积分中值公式 由介值定理, 至少存在一点x[a, b], 使 两端乘以ba即得积分中值公式.

掌握定积分概念及基本性质

掌握定积分概念及基本性质

供需关系研究
通过定积分,可以研究市 场供需关系的变化。
投资回报分析
在金融领域,定积分可以 用来分析投资回报率的变 化。
05
掌握定积分的重要性
在数学中的地位
连接微积分两大核心概念
定积分与微积分息息相关,是微积分理论体系的重要组成部分, 掌握了定积分,就等于掌握了微积分的一半。
深化对极限概念的理解
定积分与极限概念紧密相连,掌握定积分有助于更深入地理解极限 的内涵和应用。
详细描述
牛顿-莱布尼兹公式是计算定积分的核心公式,它表示为∫baf(t)dt=F(b)-F(a),其中∫baf(t)dt表示函数f(t) 在区间[a, b]上的定积分,F(x)表示f(t)的原函数,即满足F'(x)=f(x)的函数。该公式通过选取合适的分割和 近似方式,将定积分转化为一系列小矩形面积之和,最后求和得到定积分的值。
为后续课程奠定基础
定积分是学习复变函数、实变函数等后续课程的基础,对于数学专 业的学生来说至关重要。
在其他学科中的应用价值
物理学中的应用
在物理学中,定积分常用于计算 面积分,例如在计算电磁场、引
力场等物理量的分布时。
工程学科中的应用
在工程学科中,定积分常用于解 决与几何形状、物理量分布等有 关的实际问题,如机械工程、土
定积分的几何意义
定积分的几何意义是函数图像与x轴所夹的面积。具体来说,将定积分表示的函 数图像与x轴围成的面积,即为定积分的值。
定积分的几何意义还可以理解为曲线与x轴所夹的“曲边梯形”的面积。这个曲 边梯形的高就是函数值,底就是x轴上的区间。
定积分的物理意义
定积分的物理意义是表示某个物理量在某个时间段或某个 区间内的累积效应。例如,物体的质量分布不均匀,其质 心位置可以通过对质量分布函数进行定积分来求解。

定积分的概念和性质

定积分的概念和性质
n
2
1 1 1 1 2 , 6 n n
0 n
2 2 x dx lim x i xi 0
1
n
0 i 1
1 1 1 1 lim 1 2 . n 6 n n 3 例2:利用几何意义求定积 分
1 小区间[ x i 1 , x i ]的长度x i ,(i 1,2, , n ) n
取x i x i ,(i 1,2,, n )

i 1
n
f (x i )xi x i xi xi2xi ,
2 i 1
i 1
n
n
1 n 2 1 n( n 1)(2n 1) i 1 3 i 3 n n i 1 n 6 i 1 n
1) x dx
1 1
2)
2
0
4 x 2 dx
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定积分的性质
对定积分的补充规定:
(1)当a b 时,
(2)当 a b 时,
b
a f ( x )dx 0;
a
b
a f ( x )dx b
f ( x )dx .
说明 在下面的性质中,假定定积分都存在,且不 考虑积分上下限的大小.
怎样的分法, 也不论在小区间[ xi 1 , x i ]上
只要当 点x i 怎样的取法,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0时,和 S 总趋于 确定的极限 I , 我们称这个极限 I 为函数 f ( x ) 在区间[a , b]上的定积分, 记为
积分上限
积分和式
b
积分下限
f (x i )x i a f ( x )dx I lim 0 i 1

定积分知识点总结[汇编]

定积分知识点总结[汇编]

定积分知识点总结[汇编]一、定积分定义定积分是一种数学概念,它表示函数在一定区间内的面积或体积。

如果将定积分定义为数学公式,则其表示为:∫abf(x)dx其中,a和b是定积分的区间,f(x)是积分被积函数,dx表示积分的自变量。

二、定积分的性质定积分具有以下性质:1. 定积分与区间无关性如果一个函数在a和b两个点之间积分结果相同,则称该函数在这个区间上有定积分。

换句话说,定积分与积分的区间无关。

2. 可积性如果一个函数在一个区间上是有限的,则称该函数是“可积的”。

在这种情况下,函数的积分是一个有限的数。

如果一个函数可积,则它的积分在区间上是可加的。

4. 积分中值定理如果一个函数f在一个区间[a,b]上连续,则在这个区间上有一个c,使得积分的平均值等于函数在这个点的值。

即,其中,c位于[a,b]范围内的某个点。

三、定积分的求解方法1. 不定积分求解定积分对于给定的被积函数f(x),可以通过求解它的不定积分F(x)来解决定积分的问题。

即,这种方法也被称为“牛顿-莱布尼茨公式”。

定积分可以通过几何方法求解。

即将定积分的积分区间分成若干小区间,计算每个小区间与x轴之间的面积,并将这些小区间的面积相加。

通过计算所有小区间的面积,可以得到整个函数曲线与x轴之间的面积。

如果无法使用解析方法求解定积分,则可以使用数值积分法来进行近似计算。

数值积分法基于面积法的原理,通过数值计算来估计定积分的值。

最常见的数值积分法包括梯形法、辛普森法和矩形法等。

定积分在数学和物理科学领域有广泛的应用。

例如:1. 确定函数之间的关系定积分可以用于确定函数之间的关系,例如求出两个函数之间的相关系数、协方差和提高回归模型。

2. 计算物体的体积通过找到物体的外形和切割平面之间的物体的截面积,可以使用定积分来计算物体的体积。

4. 计算电子包络通过使用定积分来计算电子包络的位置和波函数,可以推导出相关的量子力学方程。

定积分的概念及性质课件

定积分的概念及性质课件
度、磁场强度等;在弹性力学中,定积分可以用于求解应力和应变等问题。
06
定积分的进一步应用
积分变换
积分变换的定义
积分变换是一种将函数在某一区间内的行为转化为另一种函数的方法,常见的积分变换包括傅里叶变换和拉普拉斯变 换等。
积分变换的性质
积分变换具有一些重要的性质,例如线性性质、时间平移性质和微分性质等,这些性质在解决实际问题中具有广泛的 应用。
积分变换的应用
积分变换在信号处理、图像处理和控制系统等领域有着广泛的应用,通过积分变换可以将复杂的信号或 系统转换为易于分析和处理的函数形式。
傅里叶变换
傅里叶变换的定义
傅里叶变换是一种将时间域函数转换为频域函数的方法, 它可以将一个时间函数分解成一系列不同频率的正弦和余 弦函数的线性组合。
傅里叶变换的性质
傅里叶变换具有一些重要的性质,例如线性性质、对称性 质和微分性质等,这些性质在解决实际问题中具有广泛的 应用。
傅里叶变换的应用
傅里叶变换在信号处理、图像处理和控制系统等领域有着 广泛的应用,通过傅里叶变换可以将复杂的信号或系统转 换为易于分析和处理的频域函数形式。
反常积分
反常积分的定义
反常积分是一种在无穷区间上定 义的积分,它通常用于处理一些 在无穷远处收敛的函数。
符号的意义
定积分的符号表示一个函 数在一个区间上的总值, 其中“∫”表示积分号。
计算公式
定积分可以通过一个公式
来计算x,其中a和b
是区间的端点。
02
定积分的性质
连续函数的积分性质
积分区间可加性
对于任意两个不相交的区间[a,b]和[b,c],有$\int_{a}^{c}f(x)dx = \int_{a}^{b}f(x)dx + \int_{b}^{c}f(x)dx$。

定积分的基本概念与性质

定积分的基本概念与性质

定积分的基本概念与性质定积分是微积分的重要概念之一,它在数学和物理学等领域中有着广泛的应用。

本文将介绍定积分的基本概念、计算方法以及一些重要性质。

一、定积分的基本概念定积分是指在给定区间上某一函数的积分运算。

具体来说,设函数f(x)在区间[a, b]上有定义,将区间[a, b]划分成n个小区间,每个小区间的长度为Δx。

在每个小区间上取一个样本点ξi,并计算出该点的函数值f(ξi)。

然后,将每个小区间的函数值与对应的Δx乘积相加,得到Σf(ξi)Δx。

当其中的Δx趋近于0且取样本点数n趋向于无穷大时,得到的极限值即为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分,记为∫[a, b]f(x)dx。

二、定积分的计算计算定积分可以利用定积分的性质以及一些基本积分公式。

其中,常用的计算方法有:几何法、分部积分法、换元积分法等。

几何法是通过对定积分的几何意义进行理解来进行计算。

例如,计算函数f(x)=x在区间[a, b]上的定积分,可以将其表示为对应曲线下方的面积。

根据不同曲线形状,可以将区间划分成不同的几何图形,计算各个图形的面积,并将其相加得到结果。

分部积分法是利用积分运算的乘法规则,将待求的定积分转化为另一个不定积分的形式。

通过选择适当的u(x)和v(x),利用公式∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx,可以将原定积分转化为带有初等函数的不定积分。

换元积分法是通过引入新的变量进行变换,使得求解定积分问题简化。

假设有一个函数f(g(x)),利用链式法则可以得到d[f(g(x))]/dx =f'(g(x))*g'(x)。

通过令u=g(x),则有du=g'(x)dx,可以将定积分∫f(g(x))g'(x)dx 转换为∫f(u)du,此时就可以利用基本的不定积分公式进行计算。

三、定积分的性质定积分具有一些重要的性质,下面将介绍其中的几个性质。

定积分的概念及性质

定积分的概念及性质

一、定积分的概念及性质定积分是研究分布在某区间上的非均匀量的求和问题,必须通过“分割、近似、求和、求极限”四个步骤完成,它表示了一个与积分变量无关的常量。

牛顿—莱布尼兹公式揭示了定积分与原函数的关系,提供了解决定积分的一般方法。

要求解定积分,首先要找到被积函数的原函数,而求原函数是不定积分的内容,由此,大家也可以进一步体会上一章内容的重要性。

被积函数在积分区间有界是可积的必要条件,在积分区间连续是可积的充分条件。

定积分具有线性性质、比较性质以及中值定理等,这些性质在定积分的计算和理论研究上具有重要意义,希望大家认真领会。

二、定积分的计算定积分的计算主要依靠牛顿—莱布尼兹公式进行。

在被积函数连续的前提下,要计算定积分一般需要先计算不定积分(因而不定积分的计算方法在定积分的计算中仍然适用),找出被积函数的原函数,但在具体计算时,定积分又有它自身的特点。

定积分计算的特点来自于定积分的性质,来自于被积函数在积分区间上的函数特性,因此有时定积分的计算比不定积分更简洁。

尽管定积分在求原函数的指导思想上与不定积分没有差别,但实际上它们又不完全一样。

例如用换元法来计算定积分⎰22cos sin πxdx x ,如果计算过程中出现了新的变元:x u sin =,则上下限应同时相应改变,微分同样如此,即⎰202cos sin πxdx x x u sin =313110312==⎰u du u 。

可以看出,在进行换元时的同时改变了积分的上下限,这样就无须象不定积分那样回代了。

但如果计算过程中不采用新变元,则无需换限,即=⎰202cos sin πxdx x 31sin 31sin sin 203202==⎰ππx x xd 。

在前一种方法(也称为定积分的第二换元法)中,一定要注意三个相应的变换:积分上、下限、微分,否则必然出现错误。

后一种方法(定积分的第一换元法)可以解决一些相对简单的积分,实际上是换元的过程可以利用凑微分来替代,由于没有出现新的变元,因而也就无须改变积分上下限及微分。

定积分知识点汇总

定积分知识点汇总

定积分知识点汇总在微积分学中,定积分是一个基本概念。

它是将一个区间上的函数的值乘以这个区间的长度进行求和的过程。

在这篇文章中,我们将详细介绍定积分的相关知识点,包括定义、性质、计算方法以及一些重要的定理。

一、定积分的定义定积分的定义是将一个连续函数$f(x)$在某个区间$[a, b]$上的面积或体积表示出来的过程。

这里我们主要探讨二维平面内的定积分。

在数学语言中,定积分的定义可以写作:$\int_a^bf(x)\,dx=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^nf(x_i)\Del ta x$其中$n$表示将区间$[a, b]$等分成$n$份,$\Delta x=\frac{b-a}{n}$表示每份长度。

$x_i$是第$i$份区间的中间点,即$a+(i-\frac{1}{2})\Delta x$。

$\sum_{i=1}^nf(x_i)\Delta x$表示的是矩形的面积之和,$\lim_{n\rightarrow\infty}$表示将矩形的数量趋近于无穷大。

最后的定积分即两个端点为$a$和$b$的函数$f(x)$的积分。

二、定积分的性质1. 线性性$\int_a^b[c_1f_1(x)+c_2f_2(x)]dx=c_1\int_a^bf_1(x)dx+c_2\int_a^ bf_2(x)dx$2. 区间可加性$\int_a^bf(x)dx+\int_b^cf(x)dx=\int_a^cf(x)dx$3. 积分中值定理如果$f(x)$在$[a, b]$上是连续的,则存在一个$c\in[a, b]$,使得$\int_a^bf(x)dx=f(c)(b-a)$。

其中$c$称为积分中值。

4. 牛顿-莱布尼茨公式$\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$,其中$F(x)$是$f(x)$的一个原函数(即$F'(x)=f(x)$)。

三、定积分的计算方法1. 分段函数对于分段函数$f(x)$,我们需要将其分段拆分并分别进行计算。

定积分的概念课件

定积分的概念课件

区间可加性
总结词
定积分的区间可加性是指定积分在区间上的 值等于该区间内各小区间的定积分之和。
详细描述
定积分的区间可加性表明,对于任意两个不 相交的区间$[a, b]$和$[c, d]$,有
$int_{a}^{b}f(x)dx+int_{c}^{d}f(x)dx=int_ {a}^{d}f(x)dx$。这意味着可以将一个大区 间分割成若干个小区间,然后求各小区间的 定积分,再将它们相加,得到整个大区间的
体积计算
规则体积
对于规则的立体图形,如长方体、圆柱体、圆锥体等 ,可以直接利用定积分的值来计算其体积。例如,对 于圆柱体,其体积可以通过定积分$int_{a}^{b} 2pi r(h) dr$来计算。
曲顶体积
对于曲顶的立体图形,如球、球缺等,也可以利用定 积分来计算其体积。通过将曲顶立体分割成若干小锥 体,然后求和这些小锥体的体积,最后利用极限思想 得到整个曲顶立体的体积。
定积分的性质
02
线性性质
总结词
定积分的线性性质是指定积分具有与加法和数乘运算类似的性质。
详细描述
定积分的线性性质允许我们将一个被积函数与常数相加或相乘,其结果等于将相应的常数加到或乘到 该函数的定积分上。即,对于两个函数的定积分,有$int (k_1f+k_2g) dx = k_1int f dx + k_2int g dx$,其中$k_1$和$k_2$是常数。
应用
无穷区间上的积分在解决一些实际问题时非常有用,例如 求某些物理量(如质量、面积等)的无穷累加和。
一致收敛性
定义
01
一致收敛性是函数序列的一种收敛性质,它描述了函数序列在
某个区间上的一致收敛性。

定积分的概念存在条件与性质

定积分的概念存在条件与性质
定积分的概念、存在条件 与性质
• 定积分的概念 • 定积分的存在条件 • 定积分的性质 • 定积分的应用
01
定积分的概念
定义与背景
定义
定积分是积分的一种,是函数在 区间上各点的定积分值相加的总 和。
背景
定积分是为了解决实际问题而产 生的数学工具,如计算曲线下面 积、变速直线运动的路程等。
定积分的几何意义
计算体积
通过微元法,可以将体积转化为定 积分,从而求出给定立体的体积。
微元法在物理学中的应用
计算做功
利用微元法,可以将力在物体上 做的功转化为定积分,从而求出 做功的值。
计算压力
在流体动力学中,利用微元法可 以将压力转化为定积分,从而求 出压力的值。
计算质心
在质点系中,利用微元法可以将 质心位置转化为定积分,从而求 出质心的位置。
详细描述
如果f(x)和g(x)在区间[a, b]上可积,那么对于任意实数k和l,函数k*f(x) + l*g(x)在区间[a, b]上也可积, 且
区间可加性
总结词
定积分的区间可加性是指对于任意分 割的两个子区间,其对应的定积分之 和等于原函数在整体区间上的定积分。
详细描述
如果[a, b]被分成两个子区间[a, c]和[c, b],那么∫(b, a)f(x) dx = ∫(b, c)f(x) dx + ∫(c, a)f(x) dx。
绝对收敛
如果定积分存在且其值小于等于某个正数,则该定积分是绝 对收敛的。
定积分存在的必要条件
区间不可分
如果闭区间不能被分成有限个开子区间,则该函数在该闭区间上不可积。
无界
如果函数在闭区间的任意子区间上都无界,则该函数在该闭区间上不可积。

高等数学微积分课件--61定积分的概念与性质

高等数学微积分课件--61定积分的概念与性质
换元法的关键是选择合适的变量替换,使得积分过程简化,常用的换元方法有三角换元、倒代换等。
分部积分法
分部积分法是通过将两个函数的乘积 进行求导,然后将求导结果进行积分 ,从而得到原函数的一种方法。
VS
分部积分法的关键是选择合适的函数 进行乘积,使得求导和积分过程简化 ,常用的分部积分法有凑微分法和部 分分式法。
区间可加性的意义
区间可加性是定积分的一个重要性质,它表明定积分具有可加性,即函数的定积 分值只与区间的端点有关,而与区间的分割方式无关。这一性质在解决实际问题 时非常有用,因为它可以简化计算过程,提高计算的准确性。
函数值的积分性质
函数值的积分性质
如果函数f在区间[a, b]上的定积分等于该区间上任意一点的函数值与区间长度b-a的乘 积,即∫f dx = f(ξ)(b-a),其中ξ属于[a, b],则称f的定积分具有函数值的积分性质。
定积分的几何意义
1
定积分的值等于由曲线和x轴所夹的曲边梯形的 面积。
2
定积分的值等于数轴上一定区间内的一个区间所 对应的坐标原点处的值。
3
定积分的值等于函数图像在一定区间内与x轴之 间的面积。
02
定积分的性质
线性性质
线性性质
对于任意两个函数的和或差,其定积 分等于各自定积分的和或差。即,对 于任意函数f和g,以及常数a和b,有 ∫(a*f+b*g) dx = a * ∫f dx + b * ∫g dx。
定积分的计算方法
直接积分法
直接积分法是定积分的基本计算方法 ,通过将积分表达式进行不定积分, 然后求出原函数,再根据定积分的上 下限求出定积分的值。
直接积分法的关键是求出不定积分, 不定积分是微分学的逆运算,可以通 过凑微分、分部积分等方法求解。

定积分的性质与计算方法

定积分的性质与计算方法

定积分的性质与计算方法定积分是微积分中的一个重要概念,它可以用来计算曲线所夹面积、计算物体的体积、求解解析几何中的定性表达式等问题。

在本文中,我们将介绍定积分的性质和计算方法。

一、定积分的性质:1.若函数f(x)在区间[a,b]上连续,则定积分存在。

也就是说,连续函数一定可积。

2.定积分具有线性性质,即对于任意实数a和b,以及两个连续函数f(x)和g(x),有:∫[a,b](af(x)+bg(x))dx = a∫[a,b]f(x)dx + b∫[a,b]g(x)dx3.若函数f(x)在区间[a,b]上非负且可积,则定积分表示的是曲线f(x)与x轴之间的面积。

4. 定积分的取值与区间的选取无关。

即∫[a,b]f(x)dx =∫[c,d]f(x)dx,只要[a,b]和[c,d]的函数f(x)在二者都是可积函数。

5.若函数f(x)在[a,b]上连续,且在[a,b]内的每个子区间上f(x)的值都大于等于0,则在[a,b]上的定积分不小于0。

也就是说,不会出现整个区间上的定积分为负数的情况。

二、定积分的计算方法:1. 基本积分法:对于一些简单的函数,我们可以直接利用已知的基本积分公式进行计算。

比如∫x^n dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C。

2. 反向运用微积分定理:利用微积分基本定理,我们可以求取函数的原函数(也称为不定积分),然后通过减去两个边界条件的原函数,即可求得定积分的结果。

比如∫[a,b]f(x)dx = F(b) - F(a),其中F(x)是f(x)的原函数。

3.凑微分法:当函数难以直接积分时,我们可以通过凑微分来简化积分。

具体方法是,选取合适的函数和常数,使得被积函数可以表示为一个已知函数与该函数对应的导数的乘积。

然后利用换元法将积分转化为一个更容易求解的形式。

4. 分部积分法:分部积分法实质上是对乘积求导公式的反向运用。

对于乘积积分,我们可以利用分部积分法将其转化为两个函数分别求导和积分的问题。

定积分的概念和性质公式

定积分的概念和性质公式

定积分的概念和性质公式定积分是微积分的重要概念之一,用于计算曲线下面的面积或者曲线围成的面积,以及求解一些几何体的体积。

本文将介绍定积分的概念、性质以及相关的公式。

一、定积分的概念在数学中,定积分可以看作是无穷小量的累加,它的计算结果是一个数值。

定积分的概念可以通过求解函数和坐标轴之间的面积来解释。

设对于连续函数y=f(x)在区间[a,b]上,我们将它与x轴围成的平面区域分割成多个无穷小的矩形,其宽度为Δx。

我们分别计算每个矩形的面积,将这些面积相加,然后取极限得到的结果就是函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。

表示为:∫[a,b]f(x) dx = limΔx→0 Σf(x_i)Δx其中,Σ表示求和,f(x_i)表示在每个小矩形的高度,Δx表示每个小矩形的宽度。

二、定积分的性质1.线性性质:设函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上可积,k为常数,则有:∫[a,b](f(x)+g(x))dx = ∫[a,b]f(x)dx + ∫[a,b]g(x)dx∫[a,b]k*f(x)dx = k*∫[a,b]f(x)dx2.区间可加性质:设函数f(x)在区间[a,b]和[b,c]上可积,则:∫[a,c]f(x)dx = ∫[a,b]f(x)dx + ∫[b,c]f(x)dx3.估值性质:设f(x)在区间[a,b]上非负可积,c是[a,b]上的任意一点,则有:f(c)*(b-a) ≤ ∫[a,b]f(x)dx ≤ M*(b-a)其中,M为f(x)在[a,b]上的最大值。

4.小于等于零性质:设函数f(x)在区间[a,b]上非负可积并且在[a,b]上恒大于等于0,则有:∫[a,b]f(x)dx ≤ 0 当且仅当f(x)恒为零。

5.平均值定理:设函数f(x)在区间[a,b]上可积,则存在一个点c使得:∫[a,b]f(x)dx = f(c)*(b-a)三、定积分的计算公式1.基本积分法则:∫k dx = kx + C (k为常数)∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C (n≠-1)2.叠加性质:∫[a,b]f(x)dx = ∫[a,c]f(x)dx + ∫[c,b]f(x)dx3.替换法则:设F(x)在区间[a,b]上可导,f(g(x))g'(x)在区间[g(a),g(b)]上连续,则有:∫[a,b]f(g(x))g'(x)dx = ∫[g(a),g(b)]f(u)du ,其中u=g(x)4.分部积分法则:设u(x)和v(x)是具有连续导数的函数,则有:∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫u'(x)v(x)dx5.换元法则:设F(x)在区间[a,b]上可导,f(u)u'(x)在区间[u(a),u(b)]上连续,则有:∫[a,b]f(u(x))u'(x)dx = ∫[u(a),u(b)]f(u)du6.常用积分表:∫sin(x)dx = -cos(x) + C∫cos(x)dx = sin(x) + C∫1/(1+x^2)dx = arctan(x) + C∫1/√(1-x^2)dx = arcsin(x) + C∫e^x dx = e^x + C∫ln(x) dx = xln(x)-x + C总结:定积分是微积分的关键概念之一,通过对函数和坐标轴之间的面积进行累加,计算结果为一个数值。

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第六章定积分Definite Integral 定积分是积分学中另一个重要概念,它也是从大量实际问题中抽象出来的.定积分不仅在积分学中有着重要的地位,而且在科学技术及经济管理学等领域也有着广泛的应用.定积分与不定积分在概念上有着根本区别,但它们又有着密切的联系.本章主要介绍定积分的概念、性质、计算及其在几何学和经济学中的若干应用.§1 定积分的概念与性质1.1 引出定积分概念的两个例子1.1.1 曲边梯形的面积在生产实际中,有些问题的计算常常归结为要计算一个由曲线围成的图形的面积(area).例如在设计船体时,需要计算水线面面积,即用水平面满载船体所得截面的面积.又如测量河流的流量,需要知道河床断面的面积,这些都需要讨论由曲线围成的图形的面积.从几何直观来看,由曲线围成的图形的面积,往往可以化为两个曲边梯形的面积之差.所谓曲边梯形(curved trapezoidal)是这样的图形,它有三条边是直线段,其中两条互相平行,第三条与前两条垂直(叫做底边[hemline]),第四条边是一条曲线弧(叫做曲边[curved]),这条曲边与任意一条垂直于底边的直线至多只交于一点.今后,称由连续曲线()x f y =,直线a x =,b x =及x 轴所围成的图形AabB 为曲边梯形(See Figure 6-1).关于曲边梯形AabB 的面积的计算,我们一般采取如下方法:①用分点0x a =<1x <2x <…<1n x -<b x n =将[]b ,a 分成n 个小区间[]10x ,x ,[]21x ,x ,…,[]n 1n x ,x -,它们的长度分别为:1i i i x x x --=∆,n ,,2,1i Λ=.过每个分点i x (n ,,2,1i Λ=)作x 轴的的垂线,把曲边梯形AabB 分成n 个小曲边梯形(See Figure 6-2).若用S 表示AabB 的面积,i S ∆表示第i 个小曲边梯形的面积,则有∑==+++=n i in S S S S S 121∆∆∆∆Λ.②在每个小区间[]i 1i x x ,-(n 21i ,,,Λ=)任取一点i ξ,[]i 1i i x x ,-∈ξ,过i ξ作x 轴的垂线与曲边()x f y =交于点()()i i i f P ξξ,,以i x ∆为底,以()i f ξ为高作矩形,于是()i i i x f S ∆ξ∆≈,作总和()∑==n 1i ii n x f S ∆ξ,则n S 为S 的近似值.③用{}i x max x ∆∆=表示所有小区间中最大区间的长度,当分点数n 无限增大而0x →∆时,总和n S 的极限就定义为曲边梯形AabB 的面积S ,即()∑=→=n 1i i i 0x x f lim S ∆ξ∆.【Note 】上面这种求曲边梯形面积的方法,就是古希腊数学家安提芬(Antiphon )、欧多克斯(Eudoxus )、阿基米德(Archimedes )等所用的穷竭法(method of exhaustion ).1.1.2 变速直线运动的距离当物体作匀速直线运动时,其运动的距离等于速度乘以时间.现设物体运动的速度v 随时间t 变化,即v 是时间t 的函数()t v v =,求此物体在时间区间[]b ,a 内运动的距离S .①用分点0t a =<1t <2t <…<1n t -<b t n =将[]b a ,分成n 个小区间[]10t t ,,[]21t t ,,…,[]n 1n t t ,-(See Figure 6-2).它们的长度分别为:1i i i t t t --=∆,n ,,2,1i Λ=.②在每个小区间[]i 1i t t ,-(n 21i ,,,Λ=)任取一点i τ,[]i 1i i t t ,-∈τ,以()i i t v ∆τ作为物体在小时间区间[]i 1i t t ,-上运动的距离i S ∆的近似值,即()i i i t v S ∆τ∆≈,则物体在时间区间[]b a ,上运动的距离S 的近似值为()∑==n 1i i i n t v S ∆τ.③当分点数n 无限增大而小时间区间中最大一个的长度0t →∆时,总和n S 的极限就是物体以变速()t v 从时刻a 到时刻b 这段时间内运动的距离S ,即()∑=→=n 1i i i 0t t v lim S ∆τ∆.从以上两个实际例子可以看出,问题虽不相同,但解决问题的基本思想和方法是一致的,即都是求同一形式的极限问题.上述基本思想和方法的抽象与概括,就是定积分的概念.定积分就是从大量这样的积累问题(the problem of accumulate )中提炼概括出来的.1.2 定积分的定义Definition 6.1(See p.134)若函数()x f 在区间[]b a ,上有定义,用点0x a =<1x <2x <…<1n x -<b x n =将区间[]b ,a 分成n 个小区间[]i 1i x x ,-(n 21i ,,,Λ=),其长度为1i i i x x x --=∆,在每个小区间[]i 1i x x ,-上任取一点i ξ([]i 1i i x x ,-∈ξ),作函数值()i f ξ与小区间长度i x ∆的乘积()i i x f ∆ξ,并求总和()∑==n 1i ii n x f S ∆ξ.如果当n 无限增大,而i x ∆中最大者0x →∆({}i x max x ∆∆=)时,总和的极限存在,且此极限与[]b ,a 的分法及i ξ的取法无关,则称函数()x f 在区间[]b ,a 上是可积的(integrable ),并称此极限值为函数在区间[]b ,a 上的定积分(definite integral ),记作()⎰ba dx x f ,即()()∑⎰=→=n 1i i i 0x ba x f lim dx x f ∆ξ∆.其中()x f 称为被积函数(integrand ),()dx x f 称为被积表达式(integralexpression ),x 称为积分变量(variableof integration ),[]b a ,成为积分区间(integral interval ),a 称为积分下限(lower limits of integration ),b 称为积分上限(upper limits of integration ),a 与b 可以统称为积分限(limits of integration 或bound of integration ).由定积分定义,本章开头的两个例子可用定积分表示:①曲边梯形面积是曲线函数()x f y =在区间[]b ,a 上的定积分,即()⎰b a dx x f .反之,定积分()⎰ba dx x f 的几何意义,就是在[]b ,a 上,当()x f ≥0时,由曲线()x f y =,直线a x =和b x =及x 轴所围成的曲边梯形面积.②物体作变速直线运动,从时刻a 到时刻b 所经过的路程就是速度函数()t v v =在时间区间[]b ,a 上的定积分,即()⎰b a dt t v .【Note 】①Definition 6.1中的 “被积函数”、“被积表达式”、“积分变量”等说法是与不定积分相似的.②定积分()⎰b a dx x f 是一个乘积和的极限.具体说,它是对被积函数()x f 在积分区间[]b ,a 上经过如下四个步骤而得到:◆分割,得到n 个小区间长度i x ∆(n ,,2,1i Λ=);❖代替,得到n 个小区间上任取的某一点的函数值与对应小区间长度的乘积()i i x f ∆ξ(n ,,2,1i Λ=);♦求和,得到乘积和(一般称为达布和[Darboux’s sum ])()∑=n 1i ii x f ∆ξ;⌧取极限,得到当0x →∆时的极限()∑=→n1i i i 0x x f lim ∆ξ∆.③显然,它是无穷多个无穷小的和的极限,所以定积分是无穷小的求和,正由于此,积分的符号用“和”(sum )的第一个字母“s ”的变形 “⎰”来表示.④定积分是一个固定的数(正因为此,它才称为定积分),这个数与被积函数()x f 及积分区间[]b ,a 有关,而与区间[]b ,a 的分割方法及每个小区间上的点i ξ的取法无关.⑤正因为定积分只与被积函数及积分区间有关,所以与积分变量用什么字母表示是无关的,即: ()()()()Λ====⎰⎰⎰⎰ba b a b a b a d f du u f dt t f dx x f ξξ.⑥在Definition 6.1中,我们实际已假定了a <b ,所以在定积分中有两个重要的规定(stipulation ): 若b <a ,则 ()()dx x f dx x f ab b a ⎰⎰-=(积分上下限互换时,积分变号.此规定可简记为⎰⎰-=b a a b );❖若b a =,则()0dx x f a a=⎰(积分上下限相等时,积分为零.此规定可简记为⎰=a a 0).⑦函数可积的必要条件:可积函数一定是有界函数.⑧函数可积的充分条件:◆闭区间上的连续函数是可积的;❖有限区间上只有有限个间断点的有界函数是可积的.Example 6.1.1 求dx x 102⎰.解 因为被积函数()2x x f =在积分区间[]1,0上连续,而连续函数是可积的,所以积分与区间[]1,0的分法及i ξ的取法无关.因此,为了便于计算,不妨把区间[]1,0分成n 等份,分点为ni x i =(1n ,,2,1i -=Λ);这样,每个小区间[]i 1i x ,x -的长度为n1x i =∆(n ,,2,1i Λ=);我们取ni x i i ==ξ(n ,,2,1i Λ=),于是得到Darboux 和()i n 1i 2i n 1i ii x x f ∆ξ∆ξ∑∑===()()1n 21n n 61n 1i n 1n 1n i 3n 1i 23n 1i 2++⋅==⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑== ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n 12n 1161.当{}0n1x max x i →==∆∆即∞→n 时,取极限,由定积分定义,即得所求的积分为dx x 102⎰ ()31n 12n 1161lim x f lim n i n 1i i 0x =⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+==∞→=→∑∆ξ∆.【Note 】在解题中,我们是取ni i =ξ(n ,,2,1i Λ=),即每个小区间的右端点.由于积分与i ξ的取法无关,我们也可以选其他取法.比如,取每个小区间的左端点n 1i i -=ξ(n ,,2,1i Λ=),则Darboux 和为()i n 1i 2i n 1i i i x x f ∆ξ∆ξ∑∑=== ()∑∑∑∑-=====⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-==1n 1i 23n 1i 2i n 1i 2i n 1i i i i n 1n 1n 1i x x f ∆ξ∆ξ ()()[]()[]⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-+--⋅=n 12n 116111n 211n 1n 61n 13.当{}0n 1x max x i →==∆∆即∞→n 时,取极限,即得所求的积分()i n 1i i 0x 102x f lim dx x ∆ξ∆∑⎰=→= 31n 12n 1161lim n =⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→.我们也可以取每个小区间的中点n21i 2n i n 1i 21i -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=ξ(n ,,2,1i Λ=),则Darboux 和为()()∑∑∑∑====-=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-==n 1i 23n 1i 2i n 1i 2i n 1i i i 1i 2n 41n 1n 21i 2x x f ∆ξ∆ξ()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⋅=223n 141211n 4n 31n 41.当{}i x max x ∆∆= 0n1→=即∞→n 时,取极限,即得所求的积分()⎪⎭⎫ ⎝⎛-==∞→=→∑⎰2n i n 1i i 0x 102n 14121lim x f lim dx x ∆ξ∆ 31=. 1.3 定积分的性质Properties 1(See p.135)常数因子可以提到积分号前,即()()⎰⎰=ba b a dxx f k dx x kf (其中k 为常数).Properties 2(See p.135)两个函数代数和的积分等于积分的代数和,即()()[]()()⎰⎰⎰±=±b a b a ba dx x g dx x f dx x g x f . 此性质可以推广到有限多个函数的代数和,即()()⎰∑⎰∑==⎥⎦⎤⎢⎣⎡±=⎥⎦⎤⎢⎣⎡±ba n 1ib a i n 1i i dx x f dx x f . Properties 3(See p.135)如果积分区间[]b ,a 被点c 分成两个小区间[]c ,a 与[]b ,c ,即a <c <b ,则函数在[]b ,a 上的积分等于在[]c ,a 与[]b ,c 上的积分之和,即()()()⎰⎰⎰+=b a c a bc dx x f dx x f dx x f .【Note 】此性质称为积分的区间可加性(additivity of intervals ),特别是分段函数(piecewise function )的积分常要用到这个性质来计算.另外,如果a <b <c 或c <a <b 甚至a c =<b 或a <c b =,Properties 3中的等式()()()⎰⎰⎰+=b a c a bc dx x f dx x f dx x f 依然成立(可简记为⎰⎰⎰+=b a c a bc ).Properties 4(See p.135) 如果函数()x f 与()x g 在区间[]b ,a 上满足条件()x f ≤()x g ,则()dx x f b a ⎰≤()dx x g b a ⎰. 【Note 】此性质称为积分的保号性. Properties 5(See p.135) 1的积分等于积分区间的长度,即若被积函数为()1x f =,则a b dx ba -=⎰. Corollary()a b k kdx b a -=⎰(其中k 为常数). Properties 6(See p.135) 如果函数()x f在区间[]b ,a 上的最大值与最小值分别为M 与m ,则有()a b m -≤()dx x f ba ⎰≤()ab M -. 【Note 】事实上,由m ≤()x f ≤M 及积分的保号性知⎰b a mdx ≤()⎰ba dx x f ≤⎰ba Mdx ,再由Properties 5之Corollary便知()a b m -≤()⎰b a dx x f ≤()a b M -.此性质的几何定义是:由()x f y =,a x =,b x =及x 轴围成的曲边梯形面积,介于以区间[]b ,a 的长度为底,以最大值M ,最小值m 为高的两矩形面积之间(See Figure 6-4).Properties 7(See p.136)如果函数()x f 在区间[]b ,a 上连续,则在()b ,a 内至少存在一点ξ,使得()()()a b f dx x f ba -=⎰ξ(()b ,a ∈ξ).【Note 】事实上,由Properties 6知()a b m -≤()⎰b a dx x f ≤()a b M -,各式除以a b -得m ≤()⎰-ba dx x f ab 1≤M ,即()⎰-=b adx x f a b 1c 为介于m 与M 之间的实数.据Chapter 2 §4之Properties 3(介值定理)可知,()b ,a ∈∃ξ,使得()()⎰-=b a dx x f ab 1f ξ,即()()()a b f dx x f b a -=⎰ξ.此性质称为积分中值定理(mean value theorem of integrals ),而()()⎰-=b adx x f a b 1f ξ称为函数()x f 在区间[]b ,a 上的平均值(average value 或mean value ).它的几何意义是:由()x f y =,a x =,b x =及x 轴围成的曲边梯形面积,等于以区间[]b ,a 的长度为底,以这区间的某一点ξ相应的曲线上点的纵坐标()ξf 为高的矩形面积(See Figure 6-5).。

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