商务数学61定积分的概念与性质

第六章定积分Definite Integral 定积分是积分学中另一个重要概念，它也是从大量实际问题中抽象出来的.定积分不仅在积分学中有着重要的地位，而且在科学技术及经济管理学等领域也有着广泛的应用.定积分与不定积分在概念上有着根本区别，但它们又有着密切的联系.本章主要介绍定积分的概念、性质、计算及其在几何学和经济学中的若干应用.§1 定积分的概念与性质1.1 引出定积分概念的两个例子1.1.1 曲边梯形的面积在生产实际中，有些问题的计算常常归结为要计算一个由曲线围成的图形的面积（area）.例如在设计船体时，需要计算水线面面积，即用水平面满载船体所得截面的面积.又如测量河流的流量，需要知道河床断面的面积，这些都需要讨论由曲线围成的图形的面积.从几何直观来看，由曲线围成的图形的面积，往往可以化为两个曲边梯形的面积之差.所谓曲边梯形（curved trapezoidal）是这样的图形，它有三条边是直线段，其中两条互相平行，第三条与前两条垂直（叫做底边[hemline]），第四条边是一条曲线弧（叫做曲边[curved]），这条曲边与任意一条垂直于底边的直线至多只交于一点.今后，称由连续曲线()x f y =，直线a x =，b x =及x 轴所围成的图形AabB 为曲边梯形（See Figure 6-1）.关于曲边梯形AabB 的面积的计算，我们一般采取如下方法：①用分点0x a =＜1x ＜2x ＜…＜1n x -＜b x n =将[]b ,a 分成n 个小区间[]10x ,x ，[]21x ,x ，…，[]n 1n x ,x -，它们的长度分别为：1i i i x x x --=∆，n ,,2,1i Λ=.过每个分点i x （n ,,2,1i Λ=）作x 轴的的垂线，把曲边梯形AabB 分成n 个小曲边梯形（See Figure 6-2）.若用S 表示AabB 的面积，i S ∆表示第i 个小曲边梯形的面积，则有∑==+++=n i in S S S S S 121∆∆∆∆Λ.②在每个小区间[]i 1i x x ,-（n 21i ,,,Λ=）任取一点i ξ，[]i 1i i x x ,-∈ξ，过i ξ作x 轴的垂线与曲边()x f y =交于点()()i i i f P ξξ,，以i x ∆为底，以()i f ξ为高作矩形，于是()i i i x f S ∆ξ∆≈，作总和()∑==n 1i ii n x f S ∆ξ，则n S 为S 的近似值.③用{}i x max x ∆∆=表示所有小区间中最大区间的长度，当分点数n 无限增大而0x →∆时，总和n S 的极限就定义为曲边梯形AabB 的面积S ，即()∑=→=n 1i i i 0x x f lim S ∆ξ∆.【Note 】上面这种求曲边梯形面积的方法，就是古希腊数学家安提芬（Antiphon ）、欧多克斯（Eudoxus ）、阿基米德（Archimedes ）等所用的穷竭法（method of exhaustion ）.1.1.2 变速直线运动的距离当物体作匀速直线运动时，其运动的距离等于速度乘以时间.现设物体运动的速度v 随时间t 变化，即v 是时间t 的函数()t v v =，求此物体在时间区间[]b ,a 内运动的距离S .①用分点0t a =＜1t ＜2t ＜…＜1n t -＜b t n =将[]b a ,分成n 个小区间[]10t t ,，[]21t t ,，…，[]n 1n t t ,-（See Figure 6-2）.它们的长度分别为：1i i i t t t --=∆，n ,,2,1i Λ=.②在每个小区间[]i 1i t t ,-（n 21i ,,,Λ=）任取一点i τ，[]i 1i i t t ,-∈τ，以()i i t v ∆τ作为物体在小时间区间[]i 1i t t ,-上运动的距离i S ∆的近似值，即()i i i t v S ∆τ∆≈，则物体在时间区间[]b a ,上运动的距离S 的近似值为()∑==n 1i i i n t v S ∆τ.③当分点数n 无限增大而小时间区间中最大一个的长度0t →∆时，总和n S 的极限就是物体以变速()t v 从时刻a 到时刻b 这段时间内运动的距离S ，即()∑=→=n 1i i i 0t t v lim S ∆τ∆.从以上两个实际例子可以看出，问题虽不相同，但解决问题的基本思想和方法是一致的，即都是求同一形式的极限问题.上述基本思想和方法的抽象与概括，就是定积分的概念.定积分就是从大量这样的积累问题（the problem of accumulate ）中提炼概括出来的.1.2 定积分的定义Definition 6.1（See p.134）若函数()x f 在区间[]b a ,上有定义，用点0x a =＜1x ＜2x ＜…＜1n x -＜b x n =将区间[]b ,a 分成n 个小区间[]i 1i x x ,-（n 21i ,,,Λ=），其长度为1i i i x x x --=∆，在每个小区间[]i 1i x x ,-上任取一点i ξ（[]i 1i i x x ,-∈ξ），作函数值()i f ξ与小区间长度i x ∆的乘积()i i x f ∆ξ，并求总和()∑==n 1i ii n x f S ∆ξ.如果当n 无限增大，而i x ∆中最大者0x →∆（{}i x max x ∆∆=）时，总和的极限存在，且此极限与[]b ,a 的分法及i ξ的取法无关，则称函数()x f 在区间[]b ,a 上是可积的（integrable ），并称此极限值为函数在区间[]b ,a 上的定积分（definite integral ），记作()⎰ba dx x f ，即()()∑⎰=→=n 1i i i 0x ba x f lim dx x f ∆ξ∆.其中()x f 称为被积函数（integrand ），()dx x f 称为被积表达式（integralexpression ），x 称为积分变量（variableof integration ），[]b a ,成为积分区间（integral interval ），a 称为积分下限（lower limits of integration ），b 称为积分上限（upper limits of integration ），a 与b 可以统称为积分限（limits of integration 或bound of integration ）.由定积分定义，本章开头的两个例子可用定积分表示：①曲边梯形面积是曲线函数()x f y =在区间[]b ,a 上的定积分，即()⎰b a dx x f .反之，定积分()⎰ba dx x f 的几何意义，就是在[]b ,a 上，当()x f ≥0时，由曲线()x f y =，直线a x =和b x =及x 轴所围成的曲边梯形面积.②物体作变速直线运动，从时刻a 到时刻b 所经过的路程就是速度函数()t v v =在时间区间[]b ,a 上的定积分，即()⎰b a dt t v .【Note 】①Definition 6.1中的 “被积函数”、“被积表达式”、“积分变量”等说法是与不定积分相似的.②定积分()⎰b a dx x f 是一个乘积和的极限.具体说，它是对被积函数()x f 在积分区间[]b ,a 上经过如下四个步骤而得到：◆分割，得到n 个小区间长度i x ∆（n ,,2,1i Λ=）；❖代替，得到n 个小区间上任取的某一点的函数值与对应小区间长度的乘积()i i x f ∆ξ（n ,,2,1i Λ=）；♦求和，得到乘积和（一般称为达布和[Darboux’s sum ]）()∑=n 1i ii x f ∆ξ；⌧取极限，得到当0x →∆时的极限()∑=→n1i i i 0x x f lim ∆ξ∆.③显然，它是无穷多个无穷小的和的极限，所以定积分是无穷小的求和，正由于此，积分的符号用“和”（sum ）的第一个字母“s ”的变形 “⎰”来表示.④定积分是一个固定的数（正因为此，它才称为定积分），这个数与被积函数()x f 及积分区间[]b ,a 有关，而与区间[]b ,a 的分割方法及每个小区间上的点i ξ的取法无关.⑤正因为定积分只与被积函数及积分区间有关，所以与积分变量用什么字母表示是无关的，即： ()()()()Λ====⎰⎰⎰⎰ba b a b a b a d f du u f dt t f dx x f ξξ.⑥在Definition 6.1中，我们实际已假定了a ＜b ，所以在定积分中有两个重要的规定（stipulation ）： 若b ＜a ，则 ()()dx x f dx x f ab b a ⎰⎰-=（积分上下限互换时，积分变号.此规定可简记为⎰⎰-=b a a b ）；❖若b a =，则()0dx x f a a=⎰（积分上下限相等时，积分为零.此规定可简记为⎰=a a 0）.⑦函数可积的必要条件：可积函数一定是有界函数.⑧函数可积的充分条件：◆闭区间上的连续函数是可积的；❖有限区间上只有有限个间断点的有界函数是可积的.Example 6.1.1 求dx x 102⎰.解 因为被积函数()2x x f =在积分区间[]1,0上连续，而连续函数是可积的，所以积分与区间[]1,0的分法及i ξ的取法无关.因此，为了便于计算，不妨把区间[]1,0分成n 等份，分点为ni x i =（1n ,,2,1i -=Λ）；这样，每个小区间[]i 1i x ,x -的长度为n1x i =∆（n ,,2,1i Λ=）；我们取ni x i i ==ξ（n ,,2,1i Λ=），于是得到Darboux 和()i n 1i 2i n 1i ii x x f ∆ξ∆ξ∑∑===()()1n 21n n 61n 1i n 1n 1n i 3n 1i 23n 1i 2++⋅==⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑== ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n 12n 1161.当{}0n1x max x i →==∆∆即∞→n 时,取极限，由定积分定义，即得所求的积分为dx x 102⎰ ()31n 12n 1161lim x f lim n i n 1i i 0x =⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+==∞→=→∑∆ξ∆.【Note 】在解题中,我们是取ni i =ξ（n ,,2,1i Λ=）,即每个小区间的右端点.由于积分与i ξ的取法无关,我们也可以选其他取法.比如,取每个小区间的左端点n 1i i -=ξ（n ,,2,1i Λ=）,则Darboux 和为()i n 1i 2i n 1i i i x x f ∆ξ∆ξ∑∑=== ()∑∑∑∑-=====⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-==1n 1i 23n 1i 2i n 1i 2i n 1i i i i n 1n 1n 1i x x f ∆ξ∆ξ ()()[]()[]⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-+--⋅=n 12n 116111n 211n 1n 61n 13.当{}0n 1x max x i →==∆∆即∞→n 时,取极限，即得所求的积分()i n 1i i 0x 102x f lim dx x ∆ξ∆∑⎰=→= 31n 12n 1161lim n =⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→.我们也可以取每个小区间的中点n21i 2n i n 1i 21i -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=ξ（n ,,2,1i Λ=）,则Darboux 和为()()∑∑∑∑====-=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-==n 1i 23n 1i 2i n 1i 2i n 1i i i 1i 2n 41n 1n 21i 2x x f ∆ξ∆ξ()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⋅=223n 141211n 4n 31n 41.当{}i x max x ∆∆= 0n1→=即∞→n 时,取极限，即得所求的积分()⎪⎭⎫ ⎝⎛-==∞→=→∑⎰2n i n 1i i 0x 102n 14121lim x f lim dx x ∆ξ∆ 31=. 1.3 定积分的性质Properties 1（See p.135）常数因子可以提到积分号前，即()()⎰⎰=ba b a dxx f k dx x kf （其中k 为常数）.Properties 2（See p.135）两个函数代数和的积分等于积分的代数和，即()()[]()()⎰⎰⎰±=±b a b a ba dx x g dx x f dx x g x f . 此性质可以推广到有限多个函数的代数和，即()()⎰∑⎰∑==⎥⎦⎤⎢⎣⎡±=⎥⎦⎤⎢⎣⎡±ba n 1ib a i n 1i i dx x f dx x f . Properties 3（See p.135）如果积分区间[]b ,a 被点c 分成两个小区间[]c ,a 与[]b ,c ，即a ＜c ＜b ，则函数在[]b ,a 上的积分等于在[]c ,a 与[]b ,c 上的积分之和，即()()()⎰⎰⎰+=b a c a bc dx x f dx x f dx x f .【Note 】此性质称为积分的区间可加性（additivity of intervals ），特别是分段函数（piecewise function ）的积分常要用到这个性质来计算.另外，如果a ＜b ＜c 或c ＜a ＜b 甚至a c =＜b 或a ＜c b =，Properties 3中的等式()()()⎰⎰⎰+=b a c a bc dx x f dx x f dx x f 依然成立（可简记为⎰⎰⎰+=b a c a bc ）.Properties 4（See p.135） 如果函数()x f 与()x g 在区间[]b ,a 上满足条件()x f ≤()x g ，则()dx x f b a ⎰≤()dx x g b a ⎰. 【Note 】此性质称为积分的保号性. Properties 5（See p.135） 1的积分等于积分区间的长度，即若被积函数为()1x f =，则a b dx ba -=⎰. Corollary()a b k kdx b a -=⎰（其中k 为常数）. Properties 6（See p.135） 如果函数()x f在区间[]b ,a 上的最大值与最小值分别为M 与m ，则有()a b m -≤()dx x f ba ⎰≤()ab M -. 【Note 】事实上，由m ≤()x f ≤M 及积分的保号性知⎰b a mdx ≤()⎰ba dx x f ≤⎰ba Mdx ，再由Properties 5之Corollary便知()a b m -≤()⎰b a dx x f ≤()a b M -.此性质的几何定义是：由()x f y =，a x =，b x =及x 轴围成的曲边梯形面积，介于以区间[]b ,a 的长度为底，以最大值M ，最小值m 为高的两矩形面积之间（See Figure 6-4）.Properties 7（See p.136）如果函数()x f 在区间[]b ,a 上连续，则在()b ,a 内至少存在一点ξ，使得()()()a b f dx x f ba -=⎰ξ（()b ,a ∈ξ）.【Note 】事实上，由Properties 6知()a b m -≤()⎰b a dx x f ≤()a b M -，各式除以a b -得m ≤()⎰-ba dx x f ab 1≤M ，即()⎰-=b adx x f a b 1c 为介于m 与M 之间的实数.据Chapter 2 §4之Properties 3（介值定理）可知，()b ,a ∈∃ξ，使得()()⎰-=b a dx x f ab 1f ξ，即()()()a b f dx x f b a -=⎰ξ.此性质称为积分中值定理（mean value theorem of integrals ），而()()⎰-=b adx x f a b 1f ξ称为函数()x f 在区间[]b ,a 上的平均值（average value 或mean value ）.它的几何意义是：由()x f y =，a x =，b x =及x 轴围成的曲边梯形面积，等于以区间[]b ,a 的长度为底，以这区间的某一点ξ相应的曲线上点的纵坐标()ξf 为高的矩形面积（See Figure 6-5）.。