多元函数积分的计算方法技巧

第10章 多元函数积分的计算方法与技巧

一、二重积分的计算法

1、利用直角坐标计算二重积分

假定积分区域可用不等式 表示,

其中, 在上连续.

这个先对, 后对的二次积分也常记作

如果积分区域可以用下述不等式

表示,且函数,在上连续,在上连续,则

(2)

D a x b x y x ≤≤≤≤ϕϕ12()()ϕ1()x ϕ2()x [,]a

b y x f x y d dx f x y dy D

a

b

x x (,)(,)()

()σϕϕ⎰⎰⎰⎰=12D c y d y x y ≤≤≤≤,()()φφ12φ1()y φ2()y [,]c d f x y (,)D f x y d f x y dx dy dy f x y dx D y y c d

c d y y (,)(,)(,)()()()()σφφφφ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=⎡⎣⎢⎢⎤

⎦

⎥⎥=1212

显然,(2)式是先对,后对的二次积分.

积分限的确定

几何法.画出积分区域的图形(假设的图形如下 )

在上任取一点,过作平行于轴的直线,该直线穿过区域,与区域的边界有两个交点与,

这里的、

就是将,看作常数而对积分时的下限和上限；又因是在区间上任意取的,所以再将看作变量而对积分时,积分的下限为、上限为.

例1计算, 其中是由抛物线及直线所围成的区域.

x y

D ],[b a x x y D D ))(,(1x x ϕ))(,(2x x ϕ)(1x ϕ)(2x ϕx y x [,]a b x x a b xyd D

⎰⎰σD y x 2=y x =-

2

2.利用极坐标计算二重积分 1、就是极坐标中的面积元素.

2、极坐标系中的二重积分, 可以化归为二次积分来计算.

其中函数, 在上连续.

则

注:本题不能利用直角坐标下二重积分计算法来求其精确值.

D y y x y :,-≤≤≤≤+1222xyd dy xydx x y dy D y y y y σ⎰⎰⎰⎰⎰==⎡⎣⎢⎤

⎦⎥-+-+12

2

212

2

2

212[]

=+-=-⎰12

245

8

2512y y y dy ()rdrd θr →cos θ

r →sin θrdrd →θ

f x y dxdy

D

(,)⎰⎰f r r rdrd D

(cos ,sin )θθθ⎰⎰αθβϕθϕθ≤≤≤≤12()()r ϕθ1()ϕθ2()[,]αβf r r rdrd d f r r rdr

D

(cos ,sin )(cos ,sin )()

()

θθθθθθα

β

ϕθϕθ⎰⎰⎰⎰=12

3、使用极坐标变换计算二重积分的原则

(1)、积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )；

(2)、被积函数表示式用极坐标变量表示较简单( 含, 为实数 ). 例6计算

解此积分区域为

该区域在极坐标下的表示形式为

二、三重积分的计算 1、积分区域可表示成

则

这就是三重积分的计算公式, 它将三重积分化成先对积

()x y 22+ααI dx

dy

x y a x y a a

x

a a x =+⋅-+>⎰⎰

--+-022*******

()

()D x a x y a a x :,022≤≤-≤≤-+-D r a :,sin -

≤≤≤≤-π

θθ4002I rdrd r a r

d dr

a r r a d D

a a =-=-=⎡

⎣

⎢⎤⎦⎥

⎰⎰

⎰⎰

⎰----θ

θ

θ

πθθ

π4422

2

4

0220

2024

sin sin arcsin =-=-=

--⎰()θθθππ

πd 4

024

2

1232Ωa x b y x y y x z x y z z x y ≤≤≤≤≤≤,()(),(,)(,)1212f x y z dv dx dy

f x y z dz a

b

y x y x z x y z x y (,,)(,,)()()

(,)

(,)Ω

⎰⎰⎰⎰⎰⎰=1212

分变量, 次对,最后对的三次积分.

例1计算, 其中为球面及三坐

标面所围成的位于第一卦限的立体. 解 在面上的投影区域为

确定另一积分变量的变化范围

选择一种次序,化三重积分为三次积分

z y x xyzdxdydz Ω

⎰⎰⎰Ωx y z 2221++=Ωxoy D x y x y xy :,,22100+≤≥≥0122≤≤--z x y ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰----Ω--==2

2

22

10

221

010

10

1

0)1(21

x y x x dy

y x xy dx xyzdz

dy dx

xdydz

xyzd dx

x x x x x x dx xy y x xy dy

xy y x xy dx x x

⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤

⎢⎣⎡-----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=--=--1

022232101

0423210

3

310)1(81)1(41)1(4

181414

1)212121(2

2

48

12462481246224124241cos sin 8

1cos sin 41cos sin 41cos cos sin 81cos sin 41cos sin 4

12

05203

332

02

042

32=⋅⋅⋅⋅

-⋅⋅⋅⋅-⋅⋅=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰⎰⎰⎰π

ππ

π

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