怎样找二面角的平面角

6.怎样找二面角的平面角

一、当图中明显给出二面角的棱时

1、利用定义

在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，求平面BD A 1与平面BD C 1所成的二面角的余弦值。

2、利用三垂线定理和逆定理

当图中给出或能作出二面角的一个面内一点垂直于另一个面的直线时，则可通过垂足（或这点）作棱的垂线，连结所得垂足与前平面内的点（或前垂足），根据三垂线定理或其逆定理就可得出二面角的平面角。

在四棱锥P -ABCD 中，ABCD 是平行四边形，P A ⊥平面ABCD ， P A =AB =2， ∠ABC =30°，求二面角 P -BC -A 的大小。

3、借助垂直平面

通过作两个平面的公垂面得到交线，这时棱与公垂面垂直，从而两交线所成的角就是二面角的平面角

设在棱形ABCD 中，,3

A π

∠=P A ⊥平面ABCD ，且12

AP AB =

=，求二面角B -PC -D 的大小。

二、当图中未给出二面角的棱时

一、若给出了两个平面的公共点

①若能找到分别含在两个平面内的互相平行的直线，则可通过两个平面的公共点作上述两直线的平行线，此直线即为二面角的棱。从而转化为给出棱时的二面角的问题。

过正方形ABCD的顶点A，作线段P A 平面ABCD，若P A=AB。求平面ABP和平面CDP所成的二面角。

②若在二面角的两个面内找不到含在两个面内的两平行直线，可设法找这两个平面的另一个公共点。可分别在两个平面内找能相交于另一点的直线，这两条直线的交点与前一个公共点的连线即为二面角的棱。从而转化为给出二面角的棱时的二面角的问题。

已知正三棱柱ABC-A

1B

1

C

1

的侧棱BB

1

，CC

1

上分别有点D,E使EC=BC=2DB

求截面ADE与底面ABC所成的二面角的大小。

③补形法，其目的是使补形后两个平面有公共交线

在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，P A⊥平面ABCD，P A＝AB＝a，求平面PBA 与平面PDC所成二面角的大小。

④借助垂直平面

在∆ABC 中，AD ⊥BC 于D 。E 是线段AD 上的一点，且AE =

2

1

ED ，过E 作MN //BC ，且MN 交AB 于M ，交AC 于N 。以MN 为棱将∆ABC 折成二面角A 1-MN -D 。设此二面角为α（0<α<π）。连A 1B ,A 1D , A 1C 。求∆ A 1MN 与∆ A 1BC 所成二面角的余弦。

二、图中没有给出二面角的公共点时 ①.借助同位二面角或内错二面角 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设M ∈AA 1，且A 1M :MA =3:1。求截面B 1D 1M 与底面ABCD 所成锐二面角的正切。

②.借助垂直平面

设E ，F ，G 为正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1所在的棱B 1C 1，CC 1，C 1D 1的中点。求平面EFG 与底面ABCD 所成锐二面角的余弦。

(3)求二面角的通用方法

设平面M 与平面N 所成的锐二面角为，一封闭曲线C 在平面M 内。它在平面N 上的射影为曲线C 1，若曲线C ，C 1所围成的面积分别是S 原形，S 射影。则S 射影=S 原形cos 。该办法只解用于解选择题或填空题。

1．在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，取CC 1的中点E ，求平面DEB 1与底面A 1B 1C 1D 1

所成二面角的余弦

2．设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为AA 1上点，A 1M :MA =3:1,求截面B 1D 1M 与底面ABCD 所成二面角。

3. 设三角形ABC 的边长为a ，点A 在平面α内，AB 与平面α所成的角为3

π

，AC 与平面α

所成的角的正弦为

3

，求平面ABC 和平面α所成的二面角。

4．设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ,F 分别为DD 1 ,A 1D 1的中点，作截面EFB 1C ，令二面角E -B 1C -C 1的大小为θ，求cos θ的值.

θθ