庞皓《计量经济学》笔记和课后习题详解(分布滞后模型与自回归模型)【圣才出品】

第7章分布滞后模型与自回归模型
7.1 复习笔记
考点一：滞后效应与滞后变量模型★★★
1．经济活动中的滞后现象
一般来说，解释变量在作用于被解释变量的过程中存在着时间滞后，通常需要通过一段时间才能完成。

此外，经济活动存在惯性，一个经济指标过去的变化态势会对本期产生影响，从而使得被解释变量的当期变化与前期取值水平相关。

这种被解释变量受自身或其他经济变量过去值影响的现象就称为滞后效应。

2．滞后效应产生的原因（见表7-1）
表7-1 滞后效应产生的原因
3．滞后变量模型
（1）含义
滞后变量是指过去时期的、能影响当前被解释变量的变量。

滞后变量可分为滞后解释变量与滞后被解释变量两类。

包含滞后变量的回归模型称为滞后变量模型。

滞后变量模型的一般形式为：Y t＝α＋β0X t＋β1X t－1＋β2X t－2＋…＋βs X t－s＋γ1Y t－1＋γ2Y t－2＋…＋γq Y t－q＋u t。

其中，s、q分别为滞后解释变量和滞后被解释变量的滞后期长度。

若滞后期长度有限，则称模型为有限滞后变量模型；若滞后期长度无限，则称模型为无限滞后变量模型。

（2）类型
①分布滞后模型
分布滞后模型是指模型中没有滞后被解释变量的滞后变量模型，即：Y t＝α＋β0X t＋β1X t
＋β2X t－2＋…＋βs X t－s＋u t。

其中，s为滞后长度。

根据滞后长度s取值的有限和无限，－1
分布滞后模型又分为有限分布滞后模型和无限分布滞后模型。

在分布滞后模型中各系数说明了解释变量的各个滞后值对被解释变量的不同影响程度，即通常所说的乘数效应。

主要分为以下三种：
a．β0称为短期乘数或即期乘数，表示本期X变动一个单位对Y值的影响程度。

b．βi称为延迟乘数或动态乘数（i＝1，2，…，s），表示在过去的各个时期X变动一个单位对Y值的影响程度。

c．对βi（i＝0，1，2，…，s）累加所得到的结果，称为长期乘数或总分布乘数，表示X变动一个单位时，包括滞后效应而形成的对Y值总的影响。

②自回归模型
自回归模型是指滞后变量模型的解释变量仅包括自变量X的当期值和被解释变量的若干期滞后值，模型的形式为Y t＝α＋β0X t＋γ1Y t－1＋γ2Y t－2＋…＋γq Y t－q＋u t。

其中，q称为
自回归模型的阶数。

考点二：分布滞后模型的估计★★★★
1．分布滞后模型估计的困难
对于无限分布滞后模型，由于滞后项无限多而样本观测总是有限的，因此不能直接对其进行估计。

对于有限分布滞后模型，当随机扰动项满足古典假定时可以考虑用OLS估计，但此估计方法也存在一些缺陷。

有限分布滞后模型估计的困难见表7-2。

表7-2 有限分布滞后模型估计的困难
2．经验加权估计法
经验加权估计法，是根据实际经济问题的特点及经验判断，对解释变量的系数赋予一定的权数，形成各滞后变量的线性组合，从而构造出新的解释变量，然后再进行OLS估计。

模型的滞后结构类型会决定权数的分布，常见的滞后结构类型见表7-3。

表7-3 常见的滞后结构类型
经验加权法具有简单易行、自由度损失少、避免多重共线性干扰及参数估计具有一致性等优点。

缺点是设置权数时具有主观随意性，分析者必须对实际问题有足够的了解。

通常的做法是，根据先验信息确定几组权数分别估计多个模型，然后通过对模型可决系数、F检验值、t检验值、估计标准差以及DW值等多指标的衡量，从中选出最佳估计方程。

3．阿尔蒙法
阿尔蒙法的基本原理是：在有限分布滞后模型滞后长度s已知的情况下，将滞后项系数看作相应滞后期i的函数。

在以滞后期i为横轴、滞后期系数取值为纵轴的坐标系中，如果这些滞后系数落在一条光滑曲线上，或近似落在一条光滑曲线上，则可以用关于i的次数较低的m次多项式很好地逼近滞后参数的变化结构，即βi＝α0＋α1i＋α2i2＋…＋αm i m（i＝0，1，2，…，s；m＜s），上式称为阿尔蒙多项式变换。

将阿尔蒙多项式变换具体列出来就是β0＝α0＋α10＋α202＋…＋αm0m，β1＝α0＋α11＋α212＋…＋αm1m，β2＝α0＋α12＋α222＋…＋αm2m，…，βm＝α0＋α1s＋α2s2＋…＋αm s m。

将βi代入模型，并整理各项，得到如下形式：
()
()
()
()01211232222123123 23 23 23t t t t t s t t t t s t t t t s m m m m t t t t s t
Y X X X X X X X sX X X X s X X X X s X u ααααα---------------=+++++++++++++++++++++L L L L
L
可简化为：Y t ＝α＋α0Z 0t ＋α1Z 1t ＋α2Z 2t ＋…＋αm Z mt ＋u t 。

式中Z 0t ＝X t ＋X t －1＋X t －2＋…＋X t －s ，其他项可以此类推。

它们都是滞后变量的线性组合变量。

对于式Y t ＝α＋α0Z 0t ＋α1Z 1t ＋…＋αm Z mt ＋u t ，在u t 满足古典假定的条件下，可用最小二乘法进行估计进而得到α∧0，α∧1，α∧2，…，α∧m ，然后代入到βj 的阿尔蒙多项式变换式中就可求出原分布滞后模型参数的估计值。

在实际应用中，阿尔蒙多项式的次数m 通常取得较低，一般取2或3，很少超过4，否则达不到减少变量个数的目的。

通过阿尔蒙多项式变换，自由度得到了保证，并在一定程度上缓解了多重共线性问题。

考点三：自回归模型的构建 ★★★★★
1．库伊克模型
无限分布滞后模型中滞后项无限多，而样本观测有限，因此不可能对其直接进行估计。

为了能够对模型进行估计，必须施加一些约束或假定条件，转化模型结构。

库伊克变换是比较具有代表性的方法。

库伊克认为对于无限分布滞后模型：Y t ＝α＋β0X t ＋β1X t －1＋β2X t －2＋…＋u t ，可以假定滞后解释变量X t －i 对被解释变量Y 的影响随滞后期i （i ＝0，1，2，…）的增加呈几何级数
衰减，即滞后系数的衰减服从某种公比小于1的几何级数：βi ＝β0λi ，0＜λ＜1，i ＝0，1，2，…。

其中，β0为常数；公比λ为待估参数。

λ值的大小决定了滞后衰减的速度，λ值越接近零，衰减速度越快，通常称λ为分布滞后衰减率，称1－λ为调整速度。

将βi 的表达式代入原方程中，可得：
()200102201200t t t t t
t t t t
i t i t
i Y X X X u X X X u X u αββλβλαβλλαβλ----∞-==+++++=+++++=++∑L L
将上式变量滞后一期，有：
1011
0101
1i t t i t i i t i t i Y X u X u αβλαβλ∞
----=∞---==++=++∑∑
将上述两个式子整理，可得：
()()
100101011i i t t t i t t i t i i t t t Y Y X u X u X u u λαβλλαβλλαλβλ∞∞----==-⎛⎫⎛⎫-=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=-++-∑∑
即Y t ＝α（1－λ）＋β0X t ＋λY t －1＋（u t －λu t －1），这就是库伊克模型，上述变换过程也称为库伊克变换。

令α*＝α（1－λ），β0*＝β0，β1*＝λ，u t *＝u t －λu t －1，则库伊克模型式变为Y t ＝α*＋β0*X t ＋β1*Y t －1＋u t *。

由此可见，利用库伊克变换将一个无限分布滞后模型变成只有一个本期解释变量X t 和滞后一期被解释变量Y t －1的一阶自回归模型。