离散数学24谓词演算的推理理论

谓词演算的

推理理论

在谓词逻辑中，除了命题逻辑中的推理规则继续有效外，还有以下四条规则。设前提Г= {A 1,A 2,…,A k }.

1. 全称指定规则（全称量词消去规则）US ：

例1 取个体域为实数域，F(x, y): x>y, P(x)=(∃y) F(x,y), 则(∀x)P(x) ⇒P(z)=(∃y) F(z,y).

而不能(∀x) P(x) ⇒P(y)=(∃y) F(y,y).

其中x,y 是个体变项符号，c 为任意的个体常量.

或 (∀x ) P (x ) ∴ P (y ) (∀x) P (x )

∴ P (c )

2 . 全称推广规则（全称量词引入规则） UG：

P(x)

∴ (∀x)P(x)

其中x是个体变项符号，且不在前提的任何公式中

自由出现.

3. 存在指定规则（存在量词消去规则） ES：

(∃x)P(x)

∴ P(c)

1)c是使P(x)为真的特定的个体常量，不是任意的.

2)c不在前提中或者先前推导公式中出现或自由出现，

换句话说，此c是在该推导之前从未使用过的.

4. 存在推广规则（存在量词引入规则) EG：

P(c)

∴ ( x)P(x)

其中x是个体变项符号, c是个体常项符号.

谓词逻辑的推理理论由下列要素构成.

1. 等价公式

2. 蕴含式

3. 推理规则：

(1) 前提引入规则 (2) 结论引入规则

(3) CP推理规则 (4)归谬论

(5) US规则 (6) UG规则

(7) ES规则 (8) EG规则

1)在推导的过程中，可以引用命题演算中的规则P、规则T、

规则CP .

2)为了在推导过程中消去量词，可以引用规则US和规则ES来

消去量词.

3)当所要求的结论可能被定量时，此时可引用规则UG和规则

EG将其量词加入.

4)证明时可采用如命题演算中的直接证明方法和间接证明方法.

5)在推导过程中，对消去量词的公式或公式中没含量词的子公

式，完全可以引用命题演算中的基本等价公式和基本蕴涵公式.

6)在推导过程中，对含有量词的公式可以引用谓词中的基本等

价公式和基本蕴涵公式.

7)在推导过程中，如既要使用规则US又要使用规则ES消去公

式中的量词(只要有可能，我们总是先使用规则ES，再使用规则US)。然后再使用命题演算中的推理规则，最后使用规则 UG或规则EG引入量词，得到所要的结论.

8) 如一个变量是用规则ES消去量词,对该变量在添加量词时,则

只能使用规则EG,而不能使用规则UG;如使用规则US消去量词, 对该变量在添加量词时,则可使用规则EG和规则UG.

9)如有两个含有存在量词的公式，当用规则ES消去量词时，不

能选用同样的一个常量符号来取代两个公式中的变元，而应用不同的常量符号来取代它们.

9)在用规则US和规则ES消去量词时，此量词必须位于整个公

式的最前端.

10)在添加的量词(∃x)、(∀x)时，所选用的x不能在公式P(c)中以

任何约束出现.

解：设H(x)：x 是人；M(x)：x 是要死的；s ：苏格拉底。则符号化为：

(∀x)(H(x)→M(x))，H(s)⇒M(s)

例1 证明 “所有的人都是要死的；苏格拉底是人。所以苏格拉底是要死的。”

证明：(1)(∀x)(H(x)→M(x)) P (2)H(x)→M(x) US(1) (3)H(s) P (4)M(s) T(2),(3) 证明：(1) (∀x)(H(x)→M(x)) P (2) H(s)→M(s) US(1) (3) H(s) P (4) M(s) T(2),(3)

错了！ 正确的为：

例2 证明:

(∀x)(P(x)→Q(x))，(∃x)P(x)⇒(∃x)Q(x) 证明1 ：

(1)(∀X)(P(X)→Q(X)) P

(2)(P(X)→Q(X)) US(1)

(3)(∃X)P(X) P

(4)P(X) ES

(5)Q(X) T(2),(4),I

(6)(∃X)Q(X) EG(5)

错误，使用了US ES ,要用特定个体变量。