离散数学24谓词演算的推理理论
离散数学第四章谓词演算的推理理论归结推理系统
证明(续)
则已知知识可以翻译为： （1） ∀x(P(x) →(W(x) → D(x))) （2） ∀x(P(x) →(D(x) ∨ R(x))) （3） ∃x(P(x) ∧ R(x)) 结论为：
例 设有 P(x，g(a))Q(y) P(z，g(a))Q(z)
可得归结式如下：
Q(y) Q(z)
{ z/x}
Q(y) Q(x) P(x，g(a))P(z，g(a))
{ x/z} { z/y}
归结反演系统——产生式系统
子句集看作为一个综合数据库， 而规则表就是归结，表中的规则用到数据库中的
子句对，产生一个新的子句，把新子句加入数据 库中产生新的数据库，形成新的归结，重复此过 程，观察数据库中是否含有空子句。
三、归结反演算系统的应用
在人工智能领域中的规划生成问题。
例(p48)给机器人r 编制一程序，使它能够登 上一只椅子c以取下挂在房顶的香蕉b。
4.3.3 霍恩子句逻辑程序
一、子句的蕴含表示形式 二、霍恩子句逻辑程序
超逻辑的控制信息
许多人工智能系统中使用的知识是由一般的蕴 含表达式来表示的。如果把蕴含式
(PQ)R 化为等价的析取式
P Q R ， 往往会丢失可能包含在蕴含式中的重要的超逻 辑的控制信息。
基于规则的演绎系统
将知识分为两类：
一类是规则，其由蕴含式表示，它表达了有关领
域的一般知识，且可作为产生式规则来使用；
另一类是事实，其由不包含蕴含式的陈述组成，
它们用来表达某一领域专门的知识。
{ a/x1} (3)(1)归结 { a/x2} (4)(2)归结 { a/y} (5)(6)归结
精品文档-离散数学(第二版)(武波)-第2章
第2章 谓词逻辑
例如， “x是偶数”可以用谓词P(x)表示， P(2)、 P(3) 分别表示“2是偶数”、 “3是偶数”。 “x小于y”可以用 谓词Q(x， y)表示， Q(5， 7)、 Q(6， 5)分别表示“5小于 7”、 “6小于5”。 “x在y和z之间”可以用谓词R(x, y, z)表示， R(a, b, c)表示“a在b和c之间”。
第2章 谓词逻辑
定义2.3.3 设A是谓词公式， 如果对于任何赋值， A的 真值都为真， 则称谓词公式A是永真式； 如果对于任何赋值， A的真值都为假， 则称谓词公式A是永假式； 若存在一种赋 值， 使得A的真值为真， 则称谓词公式A是可满足式。
由定义可知， 对于任意谓词公式A， 若A是永真式， 则 A在特定论域E上永真； 若A是永假式， 则A在特定论域E上永 假； 若A在特定论域E上可满足， 则A是可满足式。
…… n元谓词用于刻画n个个体之间的关系， 由一个表示n个 个体关系的大写字母(称为n元谓词符、 n元关系符)和n个个 体常元或变元组成的表达式表示， 如R(a1, a2, …, an)、 R(x1, x2, …, xn )等。 根据以上约定， 谓词就可以简单地描述为是由一个谓词 符和若干具有有固定次序的个体常元或变元组成的表达式。 带有 n(n≥0)个个体的谓词称为n 元谓词。
所有命题， 如“所有的人都要呼吸”、 “有些有理数是自然
数”等。 为了刻画这类表示全称判断或特称判断的命题， 需
要引入量词( quantifier )。
1.
x表示“对于所有的x”、 “对于任一x”或“对于每
一个x”，
(universal
quantifier)，x是量词 的作用变元(指导变元)。
第2章 谓词逻辑
离散数学24谓词演算的推理理论
谓词演算的推理理论在谓词逻辑中，除了命题逻辑中的推理规则继续有效外，还有以下四条规则。
设前提Г= {A 1,A 2,…,A k }.1. 全称指定规则（全称量词消去规则）US ：例1 取个体域为实数域，F(x, y): x>y, P(x)=(∃y) F(x,y), 则(∀x)P(x) ⇒P(z)=(∃y) F(z,y).而不能(∀x) P(x) ⇒P(y)=(∃y) F(y,y).其中x,y 是个体变项符号，c 为任意的个体常量.或 (∀x ) P (x ) ∴ P (y ) (∀x) P (x )∴ P (c )2 . 全称推广规则（全称量词引入规则） UG：P(x)∴ (∀x)P(x)其中x是个体变项符号，且不在前提的任何公式中自由出现.3. 存在指定规则（存在量词消去规则） ES：(∃x)P(x)∴ P(c)1)c是使P(x)为真的特定的个体常量，不是任意的.2)c不在前提中或者先前推导公式中出现或自由出现，换句话说，此c是在该推导之前从未使用过的.4. 存在推广规则（存在量词引入规则) EG：P(c)∴ ( x)P(x)其中x是个体变项符号, c是个体常项符号.谓词逻辑的推理理论由下列要素构成.1. 等价公式2. 蕴含式3. 推理规则：(1) 前提引入规则 (2) 结论引入规则(3) CP推理规则 (4)归谬论(5) US规则 (6) UG规则(7) ES规则 (8) EG规则1)在推导的过程中，可以引用命题演算中的规则P、规则T、规则CP .2)为了在推导过程中消去量词，可以引用规则US和规则ES来消去量词.3)当所要求的结论可能被定量时，此时可引用规则UG和规则EG将其量词加入.4)证明时可采用如命题演算中的直接证明方法和间接证明方法.5)在推导过程中，对消去量词的公式或公式中没含量词的子公式，完全可以引用命题演算中的基本等价公式和基本蕴涵公式.6)在推导过程中，对含有量词的公式可以引用谓词中的基本等价公式和基本蕴涵公式.7)在推导过程中，如既要使用规则US又要使用规则ES消去公式中的量词(只要有可能，我们总是先使用规则ES，再使用规则US)。
《谓词演算推理理论》课件
3
前向链归结和向前式归结
研究前向链归结和向前式归结的思想和实践。
归结推理的优化策略
1 归结定理和完备性定理
深入了解归结定理和完备性定理，以及其在 优化策略中的应用。
Hale Waihona Puke 2 应用领域探索归结推理在人工智能等领域中的实际应 用，如自动定理证明。
谓词演算推理的拓展研究
谓词演算与基因组学的应用
探索谓词演算在基因组学研究中的应用，如基因表达分析。
谓词演算与知识表示的联系
研究谓词演算与知识表示技术的联系和互动。
谓词演算在数据分析和挖掘中的应用
了解谓词演算在数据分析和挖掘领域中的实际应用。
1
一阶谓词演算的语法和语义
学习一阶谓词演算的基本语法和语义，掌握谓词符号和项的使用。
2
一阶谓词演算的规则
了解一阶谓词演算的推理规则，包括合一、替换和归结等。
归结推理的基本思想和步骤
1
特征集归结和集合论归结
探索特征集归结和集合论归结的基本思想和步骤。
2
树剖归结和深度优先归结
了解树剖归结和深度优先归结的原理和应用。
《谓词演算推理理论》 PPT课件
本PPT课件将介绍谓词演算推理理论的基本概念和方法，以及其在人工智能、 基因组学、计算机科学等领域中的重要性和应用。
什么是谓词演算推理理论
1 基本概念
了解谓词演算推理理论的起源、定义和基本 原理。
2 形式和语义
探讨谓词逻辑公式的形式和语义，以及其在 推理中的作用。
谓词演算推理的基本方法
离散数学-谓词演算的推理规则
xG(x) y p(y) R(y, x)
20
例2、将下列命题译成自然语言，并确定其真值。
(个体域为 Z ) (1) xyG(x, y) ，其中G(x, y) : xy y 解：对任意正整数 x ，存在正整数 y，
F(x),G(x, y) 中的 x 是约束变元， G(x, y) 中的 y是自由变元； y 的辖域是F( y) ， F( y) 中的 y 是约束变元； R(x, y, z)中的 x, y, z 都是自由变元。
24
例5、 设个体域为 A a,b,c将下面谓词公式中的
量词消除，写出与之等值的命题公式。 (1) xP(x) xR(x) 解 xP(x) xR(x)
§2.3 谓词演算的推理规则
重点： 全称指定规则（US）（Universal Specification） 存在指定规则（ES）（Existential Specification） 全称推广规则（UG）（Universal Generalization） 存在推广规则（EG）（Existential Specification）
3
3、全称推广规则（UG）
A( y) xA(x) 要求：（1）y是个体域中任一个体，且都有A( y)为真。
4、存在推广规则（EG）
A( y) xA(x)
要求：(1) y 是个体常元或变元，
(2)在公式A(y)中，y不出现在量词 x或x
的辖域内。
4
注：考察以下推理过程
① xyP x, y
②
yP(c, y)
谓词公式；辖域，约束变项，自由变项； 代换实例；重言式， 矛盾式，可满足式。 2、应用。 (1) 求某些公式在给定解释下的真值。 (2) 判断某些简单公式的类型。
离散数学逻辑公式大全化简
离散数学逻辑公式大全化简
离散数学逻辑公式大全：
一、对称表达式
1. 对立矛盾：P∧(¬P)，这就意味着，实际上什么都不是真。
2. 波尔定理：(P→Q)∨(Q→P)，即P和Q之一必定是另一个的条件。
3. 谓词逻辑：∀xPx，表明了P是对任意x是真的。
二、蕴涵表达式
1. 因果关系：P→Q，其中P是因，Q是果。
2. 排中律：P∨(Q∧R)≡(P∨Q)∧(P∨R)，即P既支持Q和R的同时满足，也支持Q和R的分别满足。
3. 简单蕴涵：P→Q，Q即P的蕴涵结果。
三、命题逻辑
1. 范式：¬(P∨Q)即¬P∧¬Q，这表明,若P和Q两者成立其一，则结果
为假。
2. 合取范式：P ∨ Q，表示只要PQ其一成立，结果即成立。
3. 否定范式：P→Q，表示只有当P成立，Q才会成立，否则结果为假。
四、可辩证表达式
1. 含义性质：P→Q，表明当P为真时，Q也可能为真，但可能有证据
表明P为假时，Q也可能为假。
2. 对抗性质：¬P∧Q，表明当P（或Q）被否定时，另一方会加强对这个变量的认可。
3. 不可满足性：P∧¬P，表明两个性质之间存在矛盾，因此，这种形式无法同时满足。
《离散数学》谓词逻辑
内容导航
CONTENTS
第 3章 谓词逻辑
7
1 历史人物 学习要求
3.1 自然语言的谓词符号化 3.2 谓词公式与解释 3.3 谓词公式的标准型——前束范式 3.4 谓词逻辑的推理理论 3.5 谓词逻辑的应用 3.6 作业
3.1 自然语言的谓词符号化
第 3章 谓词逻辑
8
命题是具有真假意义的陈述句，从语法上分析，一个陈述句由主语和谓语两部分组成。
学习要求
重点
1 自然语言的谓词符号化 2 谓词公式的解释 3 特性谓词识别与翻译 4 基本等价规律 5 量词去掉/添加规则 6 谓词逻辑的推理
第 3章 谓词逻辑
6
难点
1 自然语言的谓词符号化 2 谓词逻辑与命题逻辑的联系与区别 3 谓词翻译的两条原则 4 合式公式的解释 5 量词去掉/添加规则的正确使用
历史人物
第 3章 谓词逻辑
4
1848-1923，德国数学家、 逻辑学家和哲学家
1906-1978，美籍奥地利数学家、逻 辑学家和哲学家，二十世纪最伟大的 逻辑学家之一
内容导航
CONTENTS
第 3章 谓词逻辑
5
1 历史人物 学习要求
3.1 自然语言的谓词符号化 3.2 谓词公式与解释 3.3 谓词公式的标准型——前束范式 3.4 谓词逻辑的推理理论 3.5 谓词逻辑的应用 3.6 作业
(x)(P(x)∧C(x))
谓词符号
变量符号
提出问题
第 3章 谓词逻辑
22
符号化“李兰的母亲是高级工程师”
设M(x,y)：x是y的母亲，
设g(x)：x的母亲；
P(x)：x是高级工程师；
P(x)：x是高级工程师；
概率论-第七讲 谓词演算的推理规则
(8) ¬∀xP( x ) → ∃xQ( x )
CP规则
11
二、谓词演算中的推理规则
例3：推理“每个学术会的成员都是专家。有些成员是青年 人，所以有的成员是青年专家。” 证： 设 F(x)：x是学术会成员； G(x)：x是专家； H(x)：x是青年。 前提：∀x(F( x ) → G ( x ))，∃x ( F( x ) ∧ H ( x )) 结论：∃x ( F( x ) ∧ G ( x ) ∧ H ( x )) (1) ∃x(F(x) ∧ H( x ) ) P ( 7 ) H ( c) T, (2), I 2
考察以下谓词公式: ∀ yP( y ) ∨ Q ( x) ∨ R ( z ) ∃ yP( x, y ) ∨ Q( x, y ) ∀ yP( y ) ∧ Q( x, y ) 为了强调这些谓词公式对自由变元x的依赖关系, 可以分别记为B(x) , C(x) , D(x)。 记法中省略了 其它自由变元。
定义：如果公式 A ( x )中， x 不出现在量词 ∀ y 或 ∃ y 的辖域之内，则称 A ( x ) 对 y 是自由的。
4
二、谓词演算中的推理规则
推理规则：E1~E24恒等式、I1~I9永真蕴含式、Q1~Q19谓词永 真式、P规则、T规则、CP规则及下面四个规则： US,UG,ES,EG。 1.全称指定规则 (Universal Specification)简记为US ∀ xA( x ) 条件：A(x)对于y必须是自由的。 ∴ A( y ) 意义：全称量词可以删除。 例： ∀x∃yB( x , y) 写成 ∃yB( y, y) × 如 B(x,y)：x<y ; x∈R; y∈R
(2) ∃x¬P( x )
T，), Q 4 (1
(3) ¬P(a ) T, (2), ES (4) ∀x(P(x) ∨ Q(x)) P
第四讲谓词演算的推理理论
谓词推理
例6 (x)P(x) (x)(P(x)∨Q(x) R(x)), (x)P(x),(x)Q(x) (x)(y)(R(x) ∧R(y)) (1)(x)P(x) P (2)(x)P(x) (x)(P(x)∨Q(x) R(x)) P (3)(x)(P(x)∨Q(x) R(x)) T(1)(2)I (4)P(a) ES(1) (5)P(a)∨Q(a) R(a) US(3) (6)P(a)∨Q(a) T(4)I (7)R(a) T(5)(6)I (8)(x)Q(x) P (9)Q(b) ES(8) (10) P(b)∨Q(b) R(b) US(3) (11) P(b)∨Q(b) T(9)I (12) R(b) T(10)(11)I (13) R(a) ∧R(b) T(7)(12)I (14) (y)(R(a) ∧R(y)) EG(13) (15) (x)(y)(R(x) ∧R(y)) EG(14)
例2 ： (1) 在座的成员都是大学生，并且正值青春年华。 (2) 有些成员是女性。 (3) 所以，有些成员是青年女大学生。 解：设M(x)：x是在座的成员 Y(x)：x正值青春年华 U(x)：x是大学生 W(x)：x是女性
( x)(M(x) (U(x)∧ Y(x))) , ( x)(M(x) ∧W(x)) ( x)(M(x) ∧ Y(x) ∧ W(x)∧U(x) )
T(6)(9)I T(10)E T(11)I T(7)(12)I P US(14) T(6)(15)I T(6)(15)I T(17)E T(18)I T(19)E T(13)(20)I T(6)(21)I EG(22)
思考题： ( x)( y)A(x, y) P
全称指定： ( y)A(a, y) P 等价式： P (y) A(a, y) 全称推广： P ( x) ( y) A(x, y) 作业: P79 逆否式： P ( x) ( y) A(x, y) (1)b, c (2)b, (3)c 注意：使用指定或推广规则时，量词的作用域必 须是整个谓词公式，而不是其中的一部分
离散数学谓词逻辑
法律中的谓词逻辑
法律推理
法律推理中广泛使用了谓词逻辑，通过 定义相关的谓词和关系，可以清晰地表 达法律条款和案例，并利用逻辑推理得 出结论。
VS
法律文本分析
法律文本分析中利用谓词逻辑对法律文本 进行语义分析和理解，提取关键信息，提 高法律工作的效率和准确性。
心理学中的谓词逻辑
认知心理学
认知心理学中利用谓词逻辑来描述和解释人 类的认知过程，例如概念形成、推理和判断 等。
存在量词消解
如果P(x)是一个存在命题，且Q(x)是一个全称命题，且P(x)和Q(x)之间存在某种关系，那么可以推断 出R(x)成立。
形式化证明
前提条件
证明一个命题需要基于其他命题或公理。
01
推导步骤
使用推理规则将前提条件转化为结论。
02
03
证明结构
由一组前提条件、推导步骤和结论组 成的结构。
04
谓词逻辑的应用
人工智能中的谓词逻辑
推理和决策
人工智能在推理和决策方面应用了谓词逻辑，例如在专家系统中使 用谓词逻辑来表示和推理知识。
自然语言处理
自然语言处理中的语义分析部分广泛使用了谓词逻辑，通过将自然 语言转换为谓词逻辑表示，可以进行更准确的理解和推理。
机器学习
机器学习算法可以利用谓词逻辑进行特征提取和分类，提高学习效率 和准确性。
离散数学谓词逻辑
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目 录
• 离散数学概述 • 谓词逻辑基础 • 谓词逻辑的推理规则 • 谓词逻辑的应用 • 离散数学的其他分支 • 离散数学与计算机科学的关系
01
离散数学概述
定义与特点
定义
离散数学是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科。它包括许多分支，如数理逻辑、图论、组合数学、代数 结构等。
离散数学---谓词逻辑推理
结论：P(c)S(c)，
推理举例(续)
西 华 大 学
前提：x(P(x)(Q(x)S(x)))、 x(P(x)T(x))、Q(c)T(c) 结论：P(c)S(c)， 证明: (1). x(P(x)(Q(x)S(x))) P规则 (2). P(c)(Q(c)S(c)) 全称量词消除规则 (3). P(c) CP规则 (4). Q(c)S(c) (2)(3)I (5). Q(c)T(c) P规则 (6). Q(c) (5)I (7). S(c) (4)和(6) I
在证明的任何步骤上一阶公式中的任何子公式都可用与之等值的公式置换得到证明的公式序列的另一公式证明的公式序列的另公式
第二章 谓词逻辑
西 华 大 学
第3节 一阶逻辑推理理论
推理的定义
西 华 大 学
称蕴涵式(A1A2…Ak)B为推理的形式结构， A1, A2, …, Ak为推理的前提，B为推理的结论。 若(A1A2…Ak)B为永真式，则称从前提A1,
// 前提
(2). P(a)Q(a) // 全称量词消除规则
举例：全称量词消除规则
西 华 B 大 学
指出下列推导中的错误，并加以改正： (1). x P(x)Q(x) // 前提 (2). P(y)Q(y) // 全称量词消除规则
量词 x 的辖域为 P(x) ，而非 P(x)Q(x) ，所以不 能直接使用全称量词消除规则。
举例：全称量词消除规则
西 华 A 大 学
指出下列推导中的错误，并加以改正： (1). (x)(P(x)Q(x))// 前提 (2). P(a)Q(b) // 全称量词消除规则
计算机数学基础—离散数学谓词逻辑
第2章谓词逻辑一、教学要求1. 理解谓词、量词、个体词、个体域、原子公式、谓词公式和变元等概念。
会将不太复杂的命题符号化。
2. 掌握在有限个体域下求公式的真值和某些公式在给定解释下真值的方法，判别公式类型(永真式、永假式和可满足式)的方法。
3. 掌握谓词演算的等值式和重言蕴含式(六种情况：(1)命题公式的推广；(2)量词否定式的等值式；(3)量词辖域扩张和收缩的等值式；(4)量词与联结词∨，∧，→的等值式；(5)量词与联结词的重言蕴含式；(6)两个量词公式间的等值式与重言蕴含式)。
会进行谓词公式的等值演算。
4. 了解前束范式的概念，会求公式的前束范式。
5. 了解谓词逻辑推理的规则：全量词消去规则(US规则)；全量词附加规则(UG规则)；存在量词消去规则(ES规则)；存在量词附加规则(EG规则)本章重点：谓词与量词，公式与解释，前束范式，谓词逻辑推理证明。
二、学习辅导在命题逻辑中，我们把原子命题作为基本研究单位，对原子命题不再进行分解，只有复合命题才可以分解，揭示了一些有效的推理过程. 但是进一步研究发现，仅有命题逻辑是无法把一些常见的推理形式包括进去. 例如“凡人要死，张三是人，张三要死”显然是正确推理. 用命题逻辑解释三段式. 设P：人要死；Q张三是人；R：张三要死。
表示成复合命题有P∧Q→R这不是重言式，即R不是前提P，Q的有效结论. 这反映了命题逻辑的局限性，其原因是把本来有内在联系的命题P，Q，R，视为独立的命题。
要反映这种内在联系，就要对命题逻辑进行分析，分析出其中的个体词、谓词和量词，再研究它们之间的逻辑关系，总结出正确的推理形式和规则，这就是谓词逻辑的研究内容。
1. 谓词与量词学习这一部分要反复理解谓词和量词引入的意义，概念的含义。
在谓词逻辑中，原子命题分解成个体词和谓词。
个体词是可以独立存在的客体，它可以是具体事物或抽象的概念，如小张，房子，南京，大米，思想，实数2等等。
谓词是用来刻划个体词的性质或事物之间的关系的词。
离散数学自考第二章
定义 1.辖域（作用域）：紧接在量词后面括号内的谓词公式。 辖域（ 辖域 作用域）
例： ∀xP(x) , ∃x(P(x) ∧Q(x)) 。 若量词后括号内为原子谓词公式，则括号可以省去。
2.指导变元（作用变元）：紧接在量词后面括号内的X。 指导变元（作用变元） 指导变元 3.约束变元：在量词的辖域内，且与量词下标相同的变元。 约束变元： 约束变元 4.自由变元：当且仅当不受量词的约束。 自由变元： 自由变元
例：张华是学生，李明是学生。则可把它表示成： H:表示“是学生”，j:表示“张华”，m:表示“李明”，则可用下 列符号表示上述二个命题：H(j)，H(m)。
1. 命题函数
客体在谓词表达式中可以是任意的名词。 例：C—“总是要死的。” j：张三；t：老虎；e：桌子。 则C(j), C(t), C(e)均表达了命题。 在上面的例子中，C：表示“总是要死的”；x：表示变元（客 体变元），则C(x)表示“x总是要死的”，则称C(x)为命题 函数。 定义》 《定义》由一个谓词字母和一个非空的客体变元的集合所组成 的表达式，称为命题函数。
2.区别是命题还是命题函数的方法 （a）若谓词公式中出现自由变元，则该公式为命题函数； （b）若谓词公式中的变元均为约束出现，则该公式为命题。
例： ∀xP(x,y,z)是二元谓词， ∃y∀xP(x,y,z)是一元谓词， 而谓词公式中如果没有自由变元出现，则该公式是一个命题。
3.代入规则：对公式中的自由变元的更改叫做代入。 代入规则： 代入规则 (a)对公式中出现该自由变元的每一处进行代入， (b)用以代入的变元与原公式中所有变元的名称不 能相同。
∃x (A(x) ∨B(x)) ⇔ ∃xA(x) ∨ ∃xB(x) ∀x(A(x)∧B(x)) ⇔ ∀xA(x)∧ ∀xB(x) (∃x (A(x) → B(x)) ⇔ ∀xA(x) → ∃xB(x) ∀xA(x) ∨ ∀xB(x) ⇒ ∀x(A(x) ∨ B(x)) x(A(x) ∧ B(x)) ⇒ ∃ x（A(x) ∧ B(x)） ∃xA(x) → ∀xB(x) ⇒ ∀x(A(x) → B(x))
谓词演算的推理理论
南京信息工程大学数理学院
4
NUIST
2. ES规则(存在指定规则)
xA(x)A(c) ——如果个体域D中存在具有性质A的个体，
则D中必有某一个个体c（个体常元）具有该性质A。
该式成立的条件是： ⑴ x是A(x)中自由出现的个体变元。 ⑵ c是使A(c)为真的特定的个体常元，且此c在该推导前
结论： D(a)
推理的形式结构：x( M(x)→D(x) )∧M(a)→D(a)
证明: (1) x( M(x)→D(x) ) 规则P
(2) M(a)→D(a)
(1)US规则，规则T
(3) M(a)
规则P
(4) D(a)
(2)(3)假言推理，规则T
南京信息工程大学数理学院
11
NUIST
例1-8-2 同事之间总是有工作矛盾的。
A(y) xA(x) ——如果个体域D中每一个个体都具有性质A，
则D中所有的个体都具有该性质A。
该式成立的条件是： ⑴ y是A(y)中自由个体变元，且y取个体域D中的任何值时，
A(y)均为真。 ⑵ 取代y的x不能是A(y)中的约束变元，否则也会产生错误。
注：使用本规则时，事先必须已经验证了对个体域中的每一个
（二）谓词逻辑中特有的推理规则
1. 谓词演算中与量词有关的基本的永真蕴含式和逻辑等价式。
2. 量词的消去或添加规则
在谓词演算的推理中，某些前提或结论会受到量词的限制， 为了使用命题演算中的等价式和蕴含式，必须有消去或添加
量词的规则。
南京信息工程大学数理学院
2
消去规则(指定规则)
NUIST
1. US规则(全称指定规则)
离散数学数理逻辑基础知识
离散数学数理逻辑基础知识离散数学是计算机科学的基础，数理逻辑是离散数学中最重要的分支之一。
它们提供了描述和分析计算机科学中的问题所需的工具和方法。
本文将介绍离散数学和数理逻辑的基础知识。
一、集合论集合是离散数学的基础概念之一。
集合是由一些确定的对象组成的整体。
用大写字母表示集合，用小写字母表示集合的元素。
集合之间可以进行交集、并集、差集等运算。
例如，设集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∩B={2, 3}表示A和B的交集，A∪B={1, 2, 3, 4}表示A和B的并集。
二、命题逻辑命题逻辑是研究命题及其逻辑关系的数理逻辑分支。
命题是陈述句，可以判断为真或者为假。
常见的逻辑关系有与、或、非，分别用∧、∨、¬表示。
例如，如果P表示"今天是星期一"，Q表示"明天是星期二"，则P∧Q表示"今天是星期一并且明天是星期二"，P∨Q表示"今天是星期一或者明天是星期二"。
三、谓词逻辑谓词逻辑是一种扩展的命题逻辑，它引入了谓词和量词。
谓词是陈述句中的关系词，描述了对象之间的关系。
量词则用来说明集合中的元素是否满足某个条件。
谓词逻辑的语句可以用∀表示全称量词，表示对于集合中的所有元素都成立；用∃表示存在量词，表示存在至少一个元素使语句成立。
四、关系和函数关系是用来描述元素之间的联系的数学工具。
关系可以是二元的，也可以是多元的。
例如，设A={1, 2, 3}，则可以定义一个关系R={(1, 2), (2, 3)}，表示元素1与元素2之间存在关系，元素2与元素3之间也存在关系。
函数是一种特殊的关系，它对于集合中的每一个元素，都有唯一对应的输出。
函数可以表示为f: A→B，表示定义在集合A上的函数f，其输出是集合B中的元素。
例如，设集合A={1, 2, 3}，集合B={4, 5}，则可以定义一个函数f={(1, 4), (2, 5)}，表示元素1映射到4，元素2映射到5。
谓词演算 公理
谓词演算1. 简介谓词演算（Predicate Calculus），也称为一阶逻辑（First-order Logic），是数理逻辑中的一种形式化的推理系统。
它用于描述和推理关于对象和关系的陈述，是人工智能、计算机科学和哲学等领域的基础。
谓词演算包含两个基本要素：谓词和量词。
谓词是用来描述关系或性质的符号，比如“是父母关系”、“是红色的”等。
量词则用来描述对象的数量，包括全称量词（∀，表示“对于所有的”）和存在量词（∃，表示“存在一个”）。
2. 语法和符号谓词演算的语法包括常量、变量、谓词、逻辑连接词和量词。
常量是指具体的对象，比如“John”、“Mary”等；变量是用来代表任意对象的符号，比如“x”、“y”等；谓词是描述关系或性质的符号，比如“父母关系”、“红色”等；逻辑连接词包括逻辑与（∧）、逻辑或（∨）、逻辑非（¬）等；量词包括全称量词（∀）和存在量词（∃）。
谓词演算的公式可以使用一组符号来表示，包括谓词符号、变量符号、逻辑连接词和量词符号。
例如，公式∀x P(x) 表示“对于所有的x，P(x)成立”。
其中，∀是全称量词符号，x是变量符号，P是谓词符号。
3. 公理和推理规则谓词演算的推理过程基于一组公理和推理规则。
公理是被认为是真实的陈述，推理规则则是从已知的真实陈述推导出新的真实陈述。
谓词演算的常见公理包括等价律、同一律、排中律等。
等价律指出如果两个公式在所有情况下都具有相同的真值，则它们是等价的。
同一律指出对于任何公式P，P∨⊥等价于P。
排中律指出对于任何公式P，P∨¬P成立。
推理规则包括假言推理、全称推理、存在推理等。
假言推理指出如果有一个条件为真的陈述，则可以得出结果为真的结论。
全称推理指出如果一个全称陈述为真，则可以将变量替换为任意对象得出新的真实陈述。
存在推理指出如果一个存在陈述为真，则可以将变量替换为一个特定对象得出新的真实陈述。
4. 示例为了更好地理解谓词演算，我们可以通过一个简单的例子来说明。
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谓词演算的
推理理论
在谓词逻辑中，除了命题逻辑中的推理规则继续有效外，还有以下四条规则。
设前提Г= {A 1,A 2,…,A k }.
1. 全称指定规则（全称量词消去规则）US ：
例1 取个体域为实数域，F(x, y): x>y, P(x)=(∃y) F(x,y), 则(∀x)P(x) ⇒P(z)=(∃y) F(z,y).
而不能(∀x) P(x) ⇒P(y)=(∃y) F(y,y).
其中x,y 是个体变项符号，c 为任意的个体常量.
或 (∀x ) P (x ) ∴ P (y ) (∀x) P (x )
∴ P (c )
2 . 全称推广规则（全称量词引入规则） UG：
P(x)
∴ (∀x)P(x)
其中x是个体变项符号，且不在前提的任何公式中
自由出现.
3. 存在指定规则（存在量词消去规则） ES：
(∃x)P(x)
∴ P(c)
1)c是使P(x)为真的特定的个体常量，不是任意的.
2)c不在前提中或者先前推导公式中出现或自由出现，
换句话说，此c是在该推导之前从未使用过的.
4. 存在推广规则（存在量词引入规则) EG：
P(c)
∴ ( x)P(x)
其中x是个体变项符号, c是个体常项符号.
谓词逻辑的推理理论由下列要素构成.
1. 等价公式
2. 蕴含式
3. 推理规则：
(1) 前提引入规则 (2) 结论引入规则
(3) CP推理规则 (4)归谬论
(5) US规则 (6) UG规则
(7) ES规则 (8) EG规则
1)在推导的过程中，可以引用命题演算中的规则P、规则T、
规则CP .
2)为了在推导过程中消去量词，可以引用规则US和规则ES来
消去量词.
3)当所要求的结论可能被定量时，此时可引用规则UG和规则
EG将其量词加入.
4)证明时可采用如命题演算中的直接证明方法和间接证明方法.
5)在推导过程中，对消去量词的公式或公式中没含量词的子公
式，完全可以引用命题演算中的基本等价公式和基本蕴涵公式.
6)在推导过程中，对含有量词的公式可以引用谓词中的基本等
价公式和基本蕴涵公式.
7)在推导过程中，如既要使用规则US又要使用规则ES消去公
式中的量词(只要有可能，我们总是先使用规则ES，再使用规则US)。
然后再使用命题演算中的推理规则，最后使用规则 UG或规则EG引入量词，得到所要的结论.
8) 如一个变量是用规则ES消去量词,对该变量在添加量词时,则
只能使用规则EG,而不能使用规则UG;如使用规则US消去量词, 对该变量在添加量词时,则可使用规则EG和规则UG.
9)如有两个含有存在量词的公式，当用规则ES消去量词时，不
能选用同样的一个常量符号来取代两个公式中的变元，而应用不同的常量符号来取代它们.
9)在用规则US和规则ES消去量词时，此量词必须位于整个公
式的最前端.
10)在添加的量词(∃x)、(∀x)时，所选用的x不能在公式P(c)中以
任何约束出现.
解：设H(x)：x 是人；M(x)：x 是要死的；s ：苏格拉底。
则符号化为：
(∀x)(H(x)→M(x))，H(s)⇒M(s)
例1 证明 “所有的人都是要死的；苏格拉底是人。
所以苏格拉底是要死的。
”
证明：(1)(∀x)(H(x)→M(x)) P (2)H(x)→M(x) US(1) (3)H(s) P (4)M(s) T(2),(3) 证明：(1) (∀x)(H(x)→M(x)) P (2) H(s)→M(s) US(1) (3) H(s) P (4) M(s) T(2),(3)
错了！ 正确的为：
例2 证明:
(∀x)(P(x)→Q(x))，(∃x)P(x)⇒(∃x)Q(x) 证明1 ：
(1)(∀X)(P(X)→Q(X)) P
(2)(P(X)→Q(X)) US(1)
(3)(∃X)P(X) P
(4)P(X) ES
(5)Q(X) T(2),(4),I
(6)(∃X)Q(X) EG(5)
错误，使用了US ES ,要用特定个体变量。