气体动理论-2
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气体动理论
（答案：前者是由于分子碰撞次数增加导致,后者是由于运动 加剧导致）
2.两种不同种类的理想气体,压强相同,温度相同,体积不同, 试
问单位体积内的分子数是否相同?
（答案:相同）
3.两瓶不同种类的气体,分子平均平动动能相同,但气体的分 子数密度不同,试问他们的压强是否相同? （答案:不同）
4.两瓶不同种类的气体,体积不同,但温度和压强相同,问气体 分子的平均平动动能是否相同?单位体积中的分子的总平动 动能是否相同?方均根速率是否相同？（答案:相同,相同,不同）
2. 理想气体的内能包括哪些？ 理想气体的内能=所有气体分子动能量的总和;
3. 内能与机械能有什么区别？
机械能可以为零，而内能永不为零。
一摩尔理想气体的内能:
Emol N
i KT i RT
2
2
M千克理想气体的内能: E M i RT i vRT
M mol 2
2
问题：
1.三个容器内分别储有1mol氦气(He),1mol氢气(H2),1mol氨 气(NH3)( 三种气体均 视为刚性分子的理想气体),若它们的 温度都升高 1K , 则三种气体内能的增加分别是多少？ (答案:12.5J, 20.8J, 24.9J) 2.写出下列各量的表达式：
(2) 分子沿各个方向运动的机会是均等的，没有任何一个 方向上气体分子的运动比其它方向更占优势。即沿着各 个方向运动的平均分子数应该相等;
(3) 分子速度在各个方向的分量的各种平均值相等。
五、气体动理论的统计方法 (statistical metheds)
用对大量分子的平均性质的了解代替个别分子的 真实性质。对个别分子（或原子）运用牛顿定律求 出其微观量，如:质量、速度、能量等，再用统计的 方法，求出大量分子关于微观量的统计平均值，并 用来解释在实验中直接观测到的物体的宏观性质， 如:温度、压强、热容等。
2.两种不同种类的理想气体,压强相同,温度相同,体积不同, 试
问单位体积内的分子数是否相同?
（答案:相同）
3.两瓶不同种类的气体,分子平均平动动能相同,但气体的分 子数密度不同,试问他们的压强是否相同? （答案:不同）
4.两瓶不同种类的气体,体积不同,但温度和压强相同,问气体 分子的平均平动动能是否相同?单位体积中的分子的总平动 动能是否相同?方均根速率是否相同？（答案:相同,相同,不同）
2. 理想气体的内能包括哪些？ 理想气体的内能=所有气体分子动能量的总和;
3. 内能与机械能有什么区别？
机械能可以为零，而内能永不为零。
一摩尔理想气体的内能:
Emol N
i KT i RT
2
2
M千克理想气体的内能: E M i RT i vRT
M mol 2
2
问题：
1.三个容器内分别储有1mol氦气(He),1mol氢气(H2),1mol氨 气(NH3)( 三种气体均 视为刚性分子的理想气体),若它们的 温度都升高 1K , 则三种气体内能的增加分别是多少？ (答案:12.5J, 20.8J, 24.9J) 2.写出下列各量的表达式：
(2) 分子沿各个方向运动的机会是均等的，没有任何一个 方向上气体分子的运动比其它方向更占优势。即沿着各 个方向运动的平均分子数应该相等;
(3) 分子速度在各个方向的分量的各种平均值相等。
五、气体动理论的统计方法 (statistical metheds)
用对大量分子的平均性质的了解代替个别分子的 真实性质。对个别分子（或原子）运用牛顿定律求 出其微观量，如:质量、速度、能量等，再用统计的 方法，求出大量分子关于微观量的统计平均值，并 用来解释在实验中直接观测到的物体的宏观性质， 如:温度、压强、热容等。
空气动力学原理2
λ = λm = 5.5
u0 λ = = 5. 5 v1
u0 = 5.5 • v1 = 5.5 × 8 m s = 44 m s
u0 =
πDn
60
60u0 60 × 44 m s n= = = 300 r s πD 3.14 × 1.4m
nD = nm Dm
2
2
D2 nm = n • 2 = 500 r min × (4.7) 2 = 11045 r min Dm
D ∆ m1 = ≠ Dm ∆m
式中
∆ ——表面粗糙度。
然而，对于风力机来讲，表面粗糙度的相似与否影响 不大，所以一般情况下不考虑。
• 2.运动相似 2.运动相似 • 空气流经几何相似的模型与原型机时，其
对应点的速度方向相同、比值保持常数， 称为运动相似，即满足以下条件：
ω0 u0 v1 v2 v u = = = = = = mv v1m v m v 2 m ω 0 m u 0 m u m
叶片叶素： • 叶素理论的基本出发点是将风轮叶片沿展 向分成许多微段，称这些微段为叶素，如 前面所述，多个圆环，半径r，径向宽δr。 前面所述，多个圆环，半径r，径向宽δr。 在每个叶素上作用的气流相互之间没有干 扰，作用在叶片上的力可分解为升力和阻 力二维模型，作用在每个叶素单元的合成 流速与叶片平面的夹角为攻角。翼型特征 系数CL和CD随攻角的改变而改变。 系数CL和CD随攻角的改变而改变。
• 以下研究的是满足几何相似与运动相似的
惯性力以及黏性力是否也满足动力相似的 条件，以表示长度尺寸的量，由于加速度 的尺寸大小等同于：v 2 l • 根据理论力学能够得到惯性力：
dA = ma = ρv ldS l = ρv dS
《气体动理论》课件
理想气体和非理想气体
理想气体特点
非理想气体行为
介绍理想气体的定义及数学模型， 并讨论实际情况下的限制。
讨论非理想气体的行为和模型， 广泛应用于现实世界中的工作流 程。
气液相变
深入介绍气体液化过程，重点解 析液化温度、压力的变化以及转 化过程对气体状态的影响。
气体的状态方程
1
理想气体状态方程
推导理想气体状态方程，让大家更深刻地认识理想气体。
Brownian运动及其应用
1
Brownian运动的定义
深入解析Brownian运动的概念以及相关特征，探究这一运动常见于哪些实际场 合。
2
Brownian运动在物理、化学和生物学领域中的应用
说明Brownian运动在物理、化学和生物学领域中的具体场合和应用方式。
3
Brownmann分布
深入探究Maxwell-Boltzmann速度分布函数的计 算方法和理论分析。
气体状态参数的统计分布
温度的分布
探究气体温度的分布规律，着重 讲解气体分子运动论的应用。
压强的统计分布
其他参数的分布
讲解气体状态下压强的统计分布 规律，为大家解析气体物理原理。
介绍气体其他状态参数的统计分 布规律，从宏观视角理解气体行 为。
气体动理论
欢迎来到《气体动理论》课件！本次课程将会深度探究气体动力学原理，从 理想气体以及状态方程到分子运动论等方面为大家进行详细讲解。
气体动理论的定义
1 定义
介绍气体动力学的含义，为后续课程奠定基础。
2 分子速度分布
讲解分子运动的速度分布规律，从微观层面理解气体特性。
3 压强与温度的关系
探究压力与温度的关系以及状态方程的推导。
气体动理论
压强是大量分子对器壁冲量的统计平均效果，单个 分子的压强没有意义。
17
§2.1.3理想气体的温度
1.宏观意义：冷热程度，是决定某一系统 与另一系统是否处于热平衡的宏观标志。
2.微观意义：由状态方程可得
pV = N RT NA
状态方程：
p=
N V
R NA
T = nkBT
波尔兹曼常数：
kB
=
R NA
= 1.38 10-23 J
K -1
18
温度的统计意义
p = 2 nω 3
p = nkT
ω = 3 kT 2
此式称为理想气体分子温度公式. 温度的统计意义：
（1）温度是分子平均平动动能的量度，反映无 规则热运动的剧烈程度；
（2）温度是大量分子集体表现，对个别分子 温度没有意义。
相等。
2.气体分子沿各方向运动的概率相等 即分子速度在各方向上分量的各种平均值相
等。
在直角坐标系中有： vx2 = vy2 = vz2
vx2 + vy2 + vz2 = v2
vx2
=
vy2
=
vz2
=
1 v2 3
11
§2.1.2理想气体的压强
1.产生
固体、液体的 ：重力原因 气体压强：大量分子不断碰撞的结果。
单个分子碰撞器壁的作用力是不 连续的、偶然的、不均匀的。从 总的效果上来看，分子碰撞对器 壁产生一个持续的平均作用力。
PA=F/SA
12
2 .理想气体压强公式的导出
公式导出 见图：
PA=F/SA
长方形容器内分子总数为N。
设分子质量为m，速率为vx、vy、vz；
17
§2.1.3理想气体的温度
1.宏观意义：冷热程度，是决定某一系统 与另一系统是否处于热平衡的宏观标志。
2.微观意义：由状态方程可得
pV = N RT NA
状态方程：
p=
N V
R NA
T = nkBT
波尔兹曼常数：
kB
=
R NA
= 1.38 10-23 J
K -1
18
温度的统计意义
p = 2 nω 3
p = nkT
ω = 3 kT 2
此式称为理想气体分子温度公式. 温度的统计意义：
（1）温度是分子平均平动动能的量度，反映无 规则热运动的剧烈程度；
（2）温度是大量分子集体表现，对个别分子 温度没有意义。
相等。
2.气体分子沿各方向运动的概率相等 即分子速度在各方向上分量的各种平均值相
等。
在直角坐标系中有： vx2 = vy2 = vz2
vx2 + vy2 + vz2 = v2
vx2
=
vy2
=
vz2
=
1 v2 3
11
§2.1.2理想气体的压强
1.产生
固体、液体的 ：重力原因 气体压强：大量分子不断碰撞的结果。
单个分子碰撞器壁的作用力是不 连续的、偶然的、不均匀的。从 总的效果上来看，分子碰撞对器 壁产生一个持续的平均作用力。
PA=F/SA
12
2 .理想气体压强公式的导出
公式导出 见图：
PA=F/SA
长方形容器内分子总数为N。
设分子质量为m，速率为vx、vy、vz；
气 体 动 理 论2
§1.6 麦克斯韦速率分布律 ( Maxwell
Speed Distribution Law )
引入 单个分子的速率是不可预知的，而大量分子的速 率分布却遵循统计规律。 将理想气体中不同速率的分子分组，速率相近的分为 一组。 例如：取v =10 m s，则 第一组：速率在0～10m s 之间的分子有N1个； 第二组：速率在10～20 m s 之间的分子有N2个； … 第i 组：速率在vi～vi+v m s 之间的分子有Ni 个； … 它们各自占总分子数的比率为： N1 N、N2 N、… Ni N … 则 从N 个分子中任取一个分子，其速率在vi～vi+v m s 之间的可能性(几率)为Ni N。
x z
y
y
3. 刚性多原子分子(刚体) i = 6 位置坐标3+方位坐标2+角度坐标1 角度坐标1 ——转动自由度。 x
o
y
二、能量均分定理 ( Theorem of Equipartition of Energy ) 1. 能量均分定理 理想气体在绝对温度 T 的平衡状态下，分子所具有 的平均动能(包括转动能和振动能)平均分配在每个 自由度上，每个自由度的能量都是 kT / 2。
二、能量均分定理 ( Theorem of Equipartition of Energy ) 2. 理想气体分子的平均动能
( average kinetic energy of ideal gases molecule )
i k kT 2
i 为分子的自由度数。
3 k kT 2 5 k kT 2 6 ε k kT 3kT 2
三、理想气体的内能 ( internal energy of ideal gases ) E i E ν RT 2 说明： （1）理想气体内能的改变量与过程无关; （2）温度一定时，1 摩尔任何单原子分子理想气体 的内能都相同，均为3RT / 2 。 双原子分子、多原子分子类推。 推论：各种理想气体的内能 3 E ν RT 单原子分子气体 2 5 E ν RT 刚性双原子分子气体 2 E 3ν RT 刚性多原子分子气体
《大学物理学》(网工)气体的动理论部分练习题(解答)
然 速 率 为 ___________ ； 氧 气 分 子 的 最 概 然 速 率 为
___________。
【 提 示 ： P 2RT 。 由 于 温 度 一 样 ， 而 P1 P2 ， ∴ O
M mol
2000
(m s1)
M1 M 2 ，可判明曲线Ⅰ是氧气、曲线Ⅱ是氢气，氢气的最概然速率为 (P )H2 2000 m / s ；
（A）氧分子的质量比氢分子大，所以氧气的压强一定大于氢气的压强；
（B）氧分子的质量比氢分子大，所以氧气的数密度一定大于氢气的数密度；
（C）氧分子的质量比氢分子大，所以氢分子的速率一定大于氧分子的速率；
（D）氧分子的质量比氢分子大，所以氢分子的方均根速率一定大于氧分子的方均根速率。
【提示：氢气和氧气不同的是其摩尔质量， M O2 M H2 ，由公式 P nkT ，所以 PO2 PH2 ；某一分
M M mol
，m
M mol NA
，有A】
拓展题：若理想气体的体积为V，压强为P，温度为T，一个分子的质量为m，k为玻耳兹曼常
量，R为摩尔气体常量，则该理想气体的分子数为 ( B )
（A） PV / m ； （B） PV /(kT ) ； （C） PV /(RT ) ； （D） PV /(mT ) 。
5 ． 一 容 器 内 的 氧 气 的 压 强 为 1.01 105 P a ， 温 度 为 37℃ ， 则 气 体 分 子 的 数 密 度
，
M mol
RT
1.60
，
M mol
2
3RT
pV RT
M mol
，考虑到
M
M mol
气体动理论-2
对非刚性的双原子和多原子分子，还须考虑振动自 由度（视温度而定）。
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二、能量均分定理
分子的平均平动动能：
kt
1 2
m v2
1 2
m
vx2
1 2
m vy2
1 2
m
vz2
3 kT 2
vx2
v2y
vz2
1 v2 3
1 2
m vx2
1 2
m vy2
1 2
m vz2
1 2
kT
分子的平均平动动能 3kT/2 是均匀地分配在每个
§3-3 能量均分定理 理想气体的内能
一、分子的自由度
自由度 ( i )： 决定某物体在空间的位置所需要的 独立坐标数目。
质点: (x, y, z)
i=3
做直线运动的质点： 做平面运动的质点： 做空间运动的质点：
1个自由度 2个自由度 3个自由度
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运动刚体的自由度： 随质心的平动+绕过质心轴的转动 自由刚体有 6个自由度：
(t r 2s) 1 kT
2
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三、理想气体的内能
气体的内能：气体中所有分子的热运动能量和分 子间相互作用势能的总和。
理想气体内能：气体中所有分子的平均能量的总和。
1mol 理想气体的内能： （只考虑刚性分子）
Emol
NA
i 2
kT
i 2
RT
质量为m'，摩尔质量为M的理想气体内能：
E
率在 v 附近单位速率区间 的分子数占总
数的百分比 .
f (v)dv 的物理意义：
表示速率在v v dv区间的分 子数占总分子数的百分比.
速率在v v dv内分子数：dN Nf (v)dv
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二、能量均分定理
分子的平均平动动能：
kt
1 2
m v2
1 2
m
vx2
1 2
m vy2
1 2
m
vz2
3 kT 2
vx2
v2y
vz2
1 v2 3
1 2
m vx2
1 2
m vy2
1 2
m vz2
1 2
kT
分子的平均平动动能 3kT/2 是均匀地分配在每个
§3-3 能量均分定理 理想气体的内能
一、分子的自由度
自由度 ( i )： 决定某物体在空间的位置所需要的 独立坐标数目。
质点: (x, y, z)
i=3
做直线运动的质点： 做平面运动的质点： 做空间运动的质点：
1个自由度 2个自由度 3个自由度
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运动刚体的自由度： 随质心的平动+绕过质心轴的转动 自由刚体有 6个自由度：
(t r 2s) 1 kT
2
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三、理想气体的内能
气体的内能：气体中所有分子的热运动能量和分 子间相互作用势能的总和。
理想气体内能：气体中所有分子的平均能量的总和。
1mol 理想气体的内能： （只考虑刚性分子）
Emol
NA
i 2
kT
i 2
RT
质量为m'，摩尔质量为M的理想气体内能：
E
率在 v 附近单位速率区间 的分子数占总
数的百分比 .
f (v)dv 的物理意义：
表示速率在v v dv区间的分 子数占总分子数的百分比.
速率在v v dv内分子数：dN Nf (v)dv
第二章气体动理论
第二章气体动理论1-2-1选择题:1、处于平衡状态的一瓶氮气和一瓶氮气的分子数密度相同,分子的平均平动动能也相同,都处于平衡态。
以下说法正确的是：(A )它们的温度、压强均不相同。
(B )它们的温度相同，但氮气压强大于氮气压强。
(C)它们的温度、压强都相同。
(D)它们的温度相同，但氮气压强小于氮气压强。
2、三个容器A、B、C中装有同种理想气体其分子数密度n相同方均根速率之比J而:J冏:J冏 = 1:2:4 ,则其压强之比p A：p B： p c为:(A)1: 2 : 4 (B) 1: 4 : 8 (C) 1: 4 :16 (D) 4 : 2 :13、一走星的理想气体贮于某一容器中,温度为T.气体分子的质呈为m.根据理想气体的分子模型和统计假设,分子速度在x方向的分呈平方的平均值为:m4、关于温度的意义，有下列几种说法：(1)气体的温度是分子热运动平均平动动能的星度.(2)气体的温度是大呈气体分子热运动的集体表现,具有统计意义.(3)温度的高低反映物质内部分子热运动剧烈程度的不同.(4)从微观上看,气体的温度表示每个气体分子的冷热程度.上述说法中正确的是(A ) (1). (2)、(4) (B) (1). (2)、(3)(C) (2)、(3)、(4) (D)⑴、(3)、(4)5、两容器内分别盔有氢气和氮气，若它们的温度和质呈分别相等，则：(A) 两种气体分子的平均平动动能相等.(B) 两种气体分子的平均动能相等.(C) 两种气体分子的方均根速率相等.(D) 两种气体的内能相等.6、一容器内装有M 个单原子理想气体分子和M 个刚性双原子理想气体分子，当该系统处在温度为厂的平衡态7、有一截面均匀的封闭圆筒，中间被一光滑的活塞分割成两边，如果其中的一边装有0.1kg 某一温度的氢气， 为了使活塞停留在圆筒的正中央则另一边应装入同一温度的氧气质臺为：(A ) 丄 kg (B) 0.8 kg (C ) 1.6 kg (D) 3.2 kg16&若室内生火炉以后，温度从15°C 升高到27°C ,而室内的气压不变，则此时室内的分子数减少了 ：(A) 0.5% (B) 4% (C) 9% (D) 21%9、有容积不同的A x B 两个容器，A 中装有单原子分子理想气体，B 中装有双原子分子理想气体。
气体动理论2
0 v0 v
求： 1）常量 a 和 v0 的关系 （ ）
（2）平均速率 ）
v
v 0 之间分子的平均速率 （3）速率在 0 ） v′ 2 ∞ （ ） 解： 1）归一化条件 ∫0 f (v ) d v = 1 3 a= 3 1 3 v0 ∞ v0 f (v ) d v = ∫0 av 2 d v = av 0 ∫0 3 11
T，m 一定 ，
d Nv f (v ) d v = N
2、在 dv 速率区间内分子 、 出现的概率 dN v dN v 0 v v dv v+△v f (v ) = f (v) dv = Ndv N 4、在f(v)~v整个曲线下的面 、 整个曲线下的面 3、在f(v)~v曲线下的 、 曲线下的 积为 1 ------ 归一化条件。 归一化条件。 面积为该速率区间内分 ∞ ∞ 子出现的概率： 子出现的概率： d Nv
9
规律：对任意 规律：对任意v 的函数 g(v)，全体分子的 ，全体分子的g(v)的 的 平均值,都可以用速率分布函数求得 平均值 都可以用速率分布函数求得
g(v) = ∫ g(v) f (v) d v
0
∞
利用此公式还可计算分子的方均根速率、 利用此公式还可计算分子的方均根速率、分子的 平均平动动能等。 平均平动动能等。 求速率v 区间分子的平均速率。 问：求速率 1→ v2区间分子的平均速率。
dNv m 2 mv2 2kT 2 v dv = 4π e N 2πkT
3 2
麦克斯韦速率分布函数
m mv2 2kT 2 f (v) = 4π v e 2πkT
4
讨论： 讨论： 1、 f(v)~v曲线 、 曲线 f(v)
v = 0时 f (v) = 0 v → ∞时 f (v) → 0
求： 1）常量 a 和 v0 的关系 （ ）
（2）平均速率 ）
v
v 0 之间分子的平均速率 （3）速率在 0 ） v′ 2 ∞ （ ） 解： 1）归一化条件 ∫0 f (v ) d v = 1 3 a= 3 1 3 v0 ∞ v0 f (v ) d v = ∫0 av 2 d v = av 0 ∫0 3 11
T，m 一定 ，
d Nv f (v ) d v = N
2、在 dv 速率区间内分子 、 出现的概率 dN v dN v 0 v v dv v+△v f (v ) = f (v) dv = Ndv N 4、在f(v)~v整个曲线下的面 、 整个曲线下的面 3、在f(v)~v曲线下的 、 曲线下的 积为 1 ------ 归一化条件。 归一化条件。 面积为该速率区间内分 ∞ ∞ 子出现的概率： 子出现的概率： d Nv
9
规律：对任意 规律：对任意v 的函数 g(v)，全体分子的 ，全体分子的g(v)的 的 平均值,都可以用速率分布函数求得 平均值 都可以用速率分布函数求得
g(v) = ∫ g(v) f (v) d v
0
∞
利用此公式还可计算分子的方均根速率、 利用此公式还可计算分子的方均根速率、分子的 平均平动动能等。 平均平动动能等。 求速率v 区间分子的平均速率。 问：求速率 1→ v2区间分子的平均速率。
dNv m 2 mv2 2kT 2 v dv = 4π e N 2πkT
3 2
麦克斯韦速率分布函数
m mv2 2kT 2 f (v) = 4π v e 2πkT
4
讨论： 讨论： 1、 f(v)~v曲线 、 曲线 f(v)
v = 0时 f (v) = 0 v → ∞时 f (v) → 0
第2章 气体动理论
按位置的分布是均匀的：
dN N n dV V
包含足够多分子 “宏观小微观大”
每个分子运动速度取向沿任意方向的概率都相等，即分 子速度平方按方向的分布是均匀的：
1 2 v v v v 3
2 x 2 y 2 z
v
2
2 2 2 vx v y vz
2 x
2 ix N i i
, vN 1, x , vN , x
第 i 组的Ni个分子具有相同的速度分量，记为vix： v N1 ,, Ni1 1x v N1 ,, Ni1 2x v N1 ,, Ni x vix 且有 N1 N2 Ni N 或
§2-1 理想气体的压强
道尔顿分压定律
设几种气体储于一密闭容器中，并处于平衡态， 且分子数密度分别为 n1 、n2 、 n3 、 … ， 则 混合气体的分子数密度为
n n1 n2
温度相同，故
1 2 ...
混合气体的压强为
p1 p2
2 2 2 p n n11 n2 2 3 3 3
定理——在温度为T 的平衡态下，气体分子每一个自由度
的平均动能都相等，且等于 1 kT。 2 一般地：
在温度 T 的平衡态下，分子能量表达式中任何 一个平方项的统计平均值都等于 1 kT 。 2
§2-3 能均分定理
一个分子的能量，总能写成关于坐标和速度 的平方项之和：
2 1 质心平动动能： m (v x v 2 v z2 ) y
第二章 气体动理论
Kinetic Theory of Gases
本章主要内容
§2-1 §2-2 §2-3 §2-4 §2-5 §2-6 §2-7 §2-8 §2-9 理想气体的压强 温度的微观意义 能均分定理 Maxwell速率分布律 Boltzmann分布律 实际气体等温线 Van der Waals方程 平均碰撞频率和平均自由程 输运过程
气体动理论
2 x
2 y
2 z
1 2
3
二、理想气体的压强公式
对压强的统计解释
气体的压强是由大量分子 在和器壁碰撞中不断给器 壁以力的作用所引起的， 压强是气体分子给容器壁 冲量的统计平均量。
例: 雨点对伞的持续作用。
压强公式的推导：
单位时间内分子a作用在A面上的作用力:
l3 l2 z
y
v a vx A
Fa 2mvx vx 2l
§1 气体的微观图像
一、原子（atom)
“假如在一次浩劫中所有的科学知识都被摧毁， 只剩下一句话留给后代，什么语句可用最少的 词包含最多的信息?我相信，这是原子假说，即 万物由原子(微小粒子)组成.”——费曼
道尔顿确立 了原子概念
原子是化学元素的基本单元
现代的仪器已可以观察和测量原子的大小 以及它们在物体中的排列情况, 例如 X 光 分析仪,电子显微镜, 扫描隧道显微镜等.
引言
气体动理论是从气体分子热运动的观点出发， 运用统计方法研究大量气体分子的宏观性质和统 计规律的科学，它是统计物理学最基本的内容。 本章将根据气体分子模型，研究气体的压强与温 度等宏观性质和分子速率分布规律与能量分布规 律等统计规律，从微观角度揭示这些性质和规律 的本质，同时穿插介绍这些理论的一些应用.
2 x
2 y
2 z
v y
o
vv x
2
2 x
2 y
2 z
v z
12
2 1x
12y
12z
22
2 2x
22y
2 2z
……
N112 N112x N112y N112z N222 N222x N222y N222z
……
第2章气体动理论
第2章气体动理论◆本章学习目标了解：玻耳兹曼分布率；范德瓦耳斯方程和输运过程。
理解：理想气体的压强，温度的微观意义；能量均分定理，麦克斯韦速率分布律及其统计意义；麦克斯韦速率分布律的实验验证，实际气体等温线；气体分子的平均自由程的概念。
掌握：理想气体的压强，能量均分定理，麦克斯韦速率分布律及其统计意义；实际气体等温线；气体分子的平均自由程的概念。
◆本章教学内容1、理想气体压强公式2、温度的微观意义3、能量均分定理4、麦克斯韦速率分布律5、麦克斯韦速率分布律的实验验证*6、玻尔兹曼分布率◆本章重点压强和温度的微观实质和意义、理想气体的内能、速率分布函数以及理想气体平衡态的特征速率等。
◆本章难点压强和温度的微观实质和意义。
速率分布函数的物理意义以及相关的计算。
2.1 理想气体的压强一、理想气体模型1. 关于单个分子的力学性质的假设在宏观上我们知道，理想气体是一种在任何情况下都遵守玻意耳定律、盖-吕萨克定律和查理定律的气体。
但从微观上看什么样的分子组成的气体才具有这种宏观特性呢？气体分子的运动是肉眼看不见的，所以理想气体的微观模型是通过对宏观实验结果的分析和综合提出的一个假说。
通过这个假说得到的结论与宏观实验结果进行比较来判断模型的正确性。
通过前人多年的努力，我们现在知道理想气体的微观模型具有以下特征：（1）分子与容器壁和分子与分子之间只有在碰撞的瞬间才由相互作用，其它时候的相互作用可以忽略不计。
（2）分子本身的体积在气体中可以忽略不计，即对分子可采用质点模型。
（3）而分子与容器壁以及分子与分子之间的碰撞属于牛顿力学中的完全弹性碰撞。
实验证明，实际气体中分子本身占的体积约只占气体体积的千分之一，在气体中分子之间的平均距离远大于分子的几何尺寸，所以将分子看成质点是完全合理的。
从另一个方面看，对已达到平衡态的气体如果没有外界影响，其温度、压强等态参量都不会因分子与容器壁以及分子与分子之间的碰撞而发生改变，气体分子的速度分布也保持不变，因而分子与容器壁以及分子与分子之间的碰撞是完全弹性碰撞也是理所当然的。
大学物理-气体动理论-(2)
21~22 1000 10%
例如气体分子按速率的分布
速率
v1 ～ v2 v2 ～ v3
…
vi ～ vi +Δv
…
分子数按速率
的分布
ΔN1
ΔN2
…
ΔNi
…
分子数比率按 速率的分布
ΔN1/N
ΔN2/N
…
ΔNi/N
…
｛ ΔNi ｝就是分子数按速率的分布
二. 速率分布函数 f(v) 设某系统处于平衡态下， 总分子数为 N ，则在v～v+ dv 区间内分子数的
v0 av dv 2v0 adv 1
0 v0
v0
1v 2
0
a
v0a
1
a 2 3v 0
f (v ) a
O
v0
2v 0 v
(2) 因为速率分布曲线下的面积代表一定速率区间内的分 与总分子数的比率，所以
v v0 的分子数与总分子数的比率为
N N
v0a v0
2 3v 0
2 3
因此，v>v0 的分子数为 ( 2N/3 )
p =2.58×104 Pa 。
求 (1) 分子的平均平动动能； (2) 混合气体的温度
解 (1) 由压强公式 , 有
3p3
p
9.681021 J
2 n 2 (N1 N2 ) V
(2) 由理想气体的状态方程得
T p
p
nk
N1
V
N2
k
467K
§12.5 麦克斯韦速率分布定律
一. 分布的概念
2π kT
式中μ为分子质量，T 为气体热力学温度， k 为玻耳兹曼常量
k = 1.38×10-23 J / K
大学物理气体动理论
f（v）
v v+dv
v
在平衡态下, 设分子总数为N, 速率在v~v+dv区间的 分子数为dN个, 那么 表dN示：
N
——速率在v~v+dv区间的分子数占总分子数的比率。
或一个分子速率处于v~v+dv区间的概率。
dN ~ dv N ~ v f (v)
即 dN f (v)dv N
由 dN f (v)dv N
总之, 理想气体可看作是一群彼此间无相互作用 的无规运动的弹性质点的集合。
二、平衡态的统计假设——等几率原理
1、理想气体处于平衡态时, 分子出现在容器内 各处的几率相等。即分子数密度处处相等, 具 有分布的空间均匀性。
2、分子朝各个方向运动的几率相等, 具有运动 的各向同性。
v 0, vx vy vz 0
（4）粒子的平均速率、方均根速率和最概然速率。
解 (1) 按图所示的速率分布曲线形状, 应有
kv
f
(v)
0
(v v0 ) (v v0 )
由速率分布函数的归一化条件, 可得
f (v)dv
0
v0 0
kvdv
1 2
kv 02
1
故速率分布函数为
2v
f
(v)
v02 0
(v v0 ) (v v0 )
f（v）
得
f (v) dN
Ndv
v v+dv
v
f (v) 称为分子的速率分布函数。
其物理意义是：在速率v附近, 单位速率区间内的分子 数占总分子数的比率。
或一个分子速率出现在v附近单位速率区间内的概率。
所以 f (v) 也称为分子速率分布的概率密度。
3、关于速率分布函数的几点重要讨论：
v v+dv
v
在平衡态下, 设分子总数为N, 速率在v~v+dv区间的 分子数为dN个, 那么 表dN示：
N
——速率在v~v+dv区间的分子数占总分子数的比率。
或一个分子速率处于v~v+dv区间的概率。
dN ~ dv N ~ v f (v)
即 dN f (v)dv N
由 dN f (v)dv N
总之, 理想气体可看作是一群彼此间无相互作用 的无规运动的弹性质点的集合。
二、平衡态的统计假设——等几率原理
1、理想气体处于平衡态时, 分子出现在容器内 各处的几率相等。即分子数密度处处相等, 具 有分布的空间均匀性。
2、分子朝各个方向运动的几率相等, 具有运动 的各向同性。
v 0, vx vy vz 0
（4）粒子的平均速率、方均根速率和最概然速率。
解 (1) 按图所示的速率分布曲线形状, 应有
kv
f
(v)
0
(v v0 ) (v v0 )
由速率分布函数的归一化条件, 可得
f (v)dv
0
v0 0
kvdv
1 2
kv 02
1
故速率分布函数为
2v
f
(v)
v02 0
(v v0 ) (v v0 )
f（v）
得
f (v) dN
Ndv
v v+dv
v
f (v) 称为分子的速率分布函数。
其物理意义是：在速率v附近, 单位速率区间内的分子 数占总分子数的比率。
或一个分子速率出现在v附近单位速率区间内的概率。
所以 f (v) 也称为分子速率分布的概率密度。
3、关于速率分布函数的几点重要讨论：
《应用物理》课件第2章
力为
Fi
Pi t
2mix 2L ix
mi2x
L
(2-5)
第2章 气体动理论
容器内有大量分子，这些分子不断地与A1面碰撞，因 而使A1面受到一个持续的作用力。把容器中N个分子对器壁 的作用都考虑进去，则A1面受到各个分子的平均冲力之和 为
F F1 F2 FN
N
Fi
m12x
L
m22x
L
m
2 Nx
统是天文的、化学的、生物的或其它系统，也其涉及的现
象是力学的、电磁的、天体的或其它现象，只要与热运动
第2章 气体动理论
有关就应遵循热力学规律。然而，这种方法不能揭示宏观规 律的微观本质。所谓微观方法，也称分子运动理论方法或统 计力学方法，是指从系统由大量微观粒子组成的前提出发， 根据一些微观结构知识，把宏观性质视为微观粒子热运动的 统计平均效果，运用统计的方法，找出宏观量和微观量的关 系，确定宏观规律的本质。比较这两种研究方法可知，宏观 方法和微观方法分别从两个不同的角度研究物质的热运动性 质和规律，它们彼此密切联系，相辅相成，使热学成为联系
P
F S
1 L2
N L
m
2 x
nm
2 x
(2-9)
第2章 气体动理论
式中 n N 表示单位体积内的分子数，它也是统计平均值。
由于分子L速3 率的平方可表示为i2
2 ix
2 iy
2 iz
，所以，N
个分子的速率均方值为
N
N
N
N
2 i
2 ix
2 iy
2 iz
2 i1
N
i1 N
i1 N
i1 N
第2章 气体动理论
大学物理气体动理论
19
1 1 1 1 1 2 1 3 1 2 2 2 mvx = mvy = mvz = ( mv ) = ( kT) = kT 2 2 2 3 2 3 2 2
气体分子沿X,Y,Z三个方向运动的平均平动 三个方向运动的平均平动 气体分子沿
推 广
动能完全相等， 动能完全相等，可以认为分子的平均平动动 3 均匀分配在每个平动自由度上。 能 kT 均匀分配在每个平动自由度上。 2
） 第二篇 热学（Heat）
热学是研究与热现象有关的规律的科学。 热学是研究与热现象有关的规律的科学。 热现象是物质中大量分子无规则运动的集体表现。 热现象是物质中大量分子无规则运动的集体表现。 大量分子的无规则运动称为热运动。 大量分子的无规则运动称为热运动。 热学的研究方法： 热学的研究方法： 1.宏观法 宏观法. 宏观法 最基本的实验规律→逻辑推理(运用数学 运用数学) 最基本的实验规律→逻辑推理 运用数学 -----称为热力学。 称为热力学。 优点：可靠、普遍。 缺点：未揭示微观本质。 优点：可靠、普遍。 缺点：未揭示微观本质。 2.微观法 微观法. 微观法 物质的微观结构 + 统计方法 ——称为统计力学 称为统计力学 其初级理论称为气体分子运动论(气体动理论 气体动理论) 其初级理论称为气体分子运动论 气体动理论 优点：揭示了热现象的微观本质。 缺点：可靠性、 优点：揭示了热现象的微观本质。 缺点：可靠性、 普遍性差。 普遍性差。 1
PV =
M
µ
RT
理想气体的分子可视为弹性的、自由运动的质点。 理想气体的分子可视为弹性的、自由运动的质点。 10
二．理想气体的压强公式的推导 气体对器壁的压强应该是大量分子对 容器不断碰撞的统计平均结果。 容器不断碰撞的统计平均结果。
气体动理论(二)
气体动理论(二)1.将密闭在一容器内的某种理想气体的温度升高为原来的两倍，则分子的平均动能和压强均变为原来的2倍。
2.当气体的温度变为原来的4倍时，则方均根速率变为原来的2倍。
解: ∵ T 2=4T 1 , μ1213RT v =∴2111222232433v RT T R RT v==⨯==μμμ3.在温度为127℃，1mol 氧气中具有分子平动总动能为4986J ，分子转动总动能为3324J 。
解: 已知 T = 400K , R =8.31J 〃mol -1〃K -1 )(49862323J RT kT N w N E AA t ====,211kT i k =ε解: 222 kT i k =ε2 12T T = 111222)2(2)2(22 k k kT i T k i kT i εε====∴ ,23 11kT w =2223 kT w =2 12T T =若111222)23(2)2(2323 w kT T k kT w ====则1122112)2(3232 , 32 P w n w n P w n P ===∴=)(332422J RT kT NN E Ar A r ====ε4.当双原子气体的分子结构为非刚性时，分子的平均能量为：( A )(A)7kT/2 (B)6kT/2(C)5kT/2 (D)3kT/2解: 对非刚性双原子分子, t =3, r =2, s =1kTkT s r t 27)1223(21)2(21=⨯++=++=ε5.两瓶不同种类的理想气体，它们的分子的平均平动动能相同，但单位积内的分子数不同，两气体的：( D )(A)内能一定相同 (B)分子的平均动能一定相同 (C)压强一定相同 (D)温度一定相同 解: 由kTw 23=可得6.两容器分别盛有两种不同的双原子理想气体，若它们的压强和体积相同，则两气体：( A )(A) 内能一定相同(B) 内能不等，因为它们的温度可能不同 (C) 内能不等，因为它们的质量可能不同 (D) 内能不等，因为它们的分子数可能不同 解: 由 ,1111RT V P ν= 2222RT V P ν= 和2121,V V P P ==得2211V P V P = 即 2211RT RT νν=显然;,2121T T ==时νν 2121,T T ≠≠时νν由内能公式22211125,25RT E RT E νν==和2211RT RT νν=得E 1=E 2 (内能相同)7.储有氧气的容器以速度V ＝100m 〃s -1运动，假设该容器突然停止，全部定向运动的动能都变为气体分子热运动的动能，问容器中的氧气的温度将会上升多少？8．氢气分子的质量为3.32×10-27kg ，如果每秒内有1.0×1023个氢分子，以与墙面法线成45°角的方向、1.0×105cm 〃s -1的速率撞击在面积为2.0cm 2的墙面上，试求这些氢气分子作用在墙面上的压强。
热力学-2.气体分子动理论
分子间势能曲线：
分子间距离改变dr时，分子间势能的增 量就等于分子力做的功：
dE p Fdr
取r=∞时势能为零：
r
r
Ep
Fdr
(rs
rt
)dr
'
r s1
'
r t 1
分子碰撞有效直径d
d随温度升高将如何变化？
承认分子固有体积的存在 就是承认存在分子间排斥 力？
p
1 3
nmv 2
p
2 3
n(
1 2
mv 2 )
2 3
n k
•理想气体的压强正比于气体分子的数密度 和分子的平均平动动能； •理想气体的压强公式揭示了宏观量与微观 量统计平均值之间的关系。
分析：
p 2 n
3
系统总粒子数增高
碰撞频率增高
体系压强增高。
粒子平均动能增高
运动速率增高
碰撞频率增高 冲量增高，
气体分子在不停地运动着。
液体分子在不停地运动着。
• 有人做过这样一个实验，把磨得很光滑 的铅片和金片紧压在一起，在室温下过 了5年，铅片和金片就结合在一起了，切 开后发现铅和金相互渗透了约1mm深。
• 固体分子在不停地运动着。
固体、液体、气体都存在扩散现象。 扩散现象说明了： 一切物体的分子都在不停地做无规则的运动。
v12 m2
v22
m1
•当温度T=0时，气体的平均平动动能为零，这时气体分子的热
运动将停止。然而事实上是绝对零度是不可到达的(热力学第 三定律)，因而分子的运动是永不停息的。
温度1000ºC及0ºC时气体分子的平均动能。
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av v 0 0 v v 0 f (v ) a 0
求 (1) 作速率分布曲线并求常数 a
v 0 v 2v 0 v 2v 0
(2) 速率大于v0 和速率小于v0 的粒子数
解 (1) 由归一化条件
v0
1 v 0a v 0a 1 2
0 av v dv
0 0
f (v )dv 1
i k t r kT 2
3 单原子 k kT 2
5 双原子 k kT 2
6 多原子 k kT 2
三、理想气体内能 (刚性分子)
i i E N k N kT RT 2 2
单原子分子气体
3 E RT 2
双原子分子气体 多原子分子气体
4) 缩小速率间隔Δv → dv ， 该区间内分子数为dN
dN f (v ) dv N
dN f (v ) Ndv
速率分布 函数
dN 速率分布函数 f (v ) Ndv
物理意义: 表示平衡态下气体分布在速率v 附近单位速 率间隔内的分子数与总分子数的比率。 ●对单个分子而言,速率分布函数表示该气体分子出现在 速率v 附近单位速率区间内的概率。 表示平衡态下， 分子速率在v～v+ dv dN f (v ) dv 区间内分子数占总分子数的比率. N
3）在v1~v2 区间内,曲线下的面积
v
N f (v )dv N
表示速率分布在v1~v2 之间的 分子数与总分子数的比率.
4）曲线下面的总面积 等于分布在整个速 率范围内所有各个 速率间隔中的分子
f(v) T
数与总分子数的比 率的总和
O
v
0
f (v )dv 1
p
曲线下面积恒为1
5）最概然速率v
v→v+Δv 区间内的分子数为ΔN
ΔN/N 表示在该速率间隔内分子数占总分子数的百分比。
速率区间
分子数按速率 的分布 分子数比率 按速率的分布
0～v1
ΔN1
ΔN1/N
v1～v2
Δ N2
ΔN2/N
…
… …
v～ v+Δv
ΔN
… … …
ΔN/N
3)
N N
与 v 有关，不同 v 附近ΔN/N不同 与Δv 有关，速率间隔大分子数多
2 N N 3
f (v )
a
O
v0
2v 0 v
作业:
126-130页
选择题3,5,6,8 填空题12,13，14
计算题17，19，21
v
v2
1
N f (v )dv N
表示速率分布在v1~v2 之间 的分子数与总分子数的比率.
将速率区间扩大到0~∞, 所有的分子都在这个范围内,所以有
0
f (v )dv 1
(归一化条件)
二. 麦克斯韦速率分布律
1859年麦克斯韦从理论上预言了理想气体分子在平衡态下 的速率分布规律 2
p kT
4.5 麦克斯韦速率分布律
气体由大量分子组成， 而分子的速率通过碰撞不断地改变
◆分子速率可以是0→∞的任何值。 ◆平衡态分子整体，速率分布应该遵从一定的统计规律。
一. 速率分布函数 f(v)
1) 将速率从0 →∞分割成很多相等的速率区间v→v+Δv 例如速率间隔取100m/s , 整个速率分为0—100；100—200；…等区间。 2) 设总分子数为 N
氦气为单原子气体，i =3，10克氦气的内能为
m i 10 3 E RT 8.31 300 9.35 103 J M 2 4 2
例：容器中贮存氧气，设压强为p，温度为T， 试求：
n
（1）单位体积内的分子数； p=nkT M mol 32103 26 5.3 10 （2）氧分子质量； m0 23 NA 6.0210 （3）氧气密度； =m/V=m0 N/V=nm0 3kT 3 RT （4）氧分子的方均根速率； v 2 m0 M （5）氧分子的平均平动动能。 1 3 2 t m0 v kT 2 2 要求能灵活运用公式。
2
v
2
N
2 v Nf (v )dv
N
0
3kT 3 RT v f (v )dv m M
2
说明
f(v)
2
v v vp
三种速率用途各不相同 ●讨论速率分布一般用v p
●讨论分子的碰撞时用v ●讨论分子的平均平动动 能用 O
T
vp v
v
v
2
v2
例2 有N 个粒子，其速率分布函数为
概然速率vp附近单位速率间隔中的分子数最多。 或者说，分子出现在vp附近单位速率间隔中的概率最大.
即：一个分子更可能具有最概 然速率. 但我们应感谢曲线尾部 那些少而高速的分子，因为它 们使云和雨成为可能。
云和雨：在夏季的温度下， 一个水池中的水分子的速率 分布可近似由麦克斯韦速率 分布律曲线表示，大多数分 子几乎没有足够的动能从水 中逃出。然而少数远在曲线 尾巴中的具有很高速率的分 子能逃出。正是这些水分子 的蒸发，形成云和雨。
当快速水分子携带着能量离开水面时，通过从外界传入 能量保持着剩余的水的温度。其他快速分子（在特别有利的 碰撞中产生的分子）迅速占据那些离开了的分子的地位，保 持了速率分布。
☻不同气体, 不同温度下的速率分布曲线比较 由于曲线下的面积恒为1,因此:
2kT 2RT p m M
① m 一定,T 越大, v p 越大, 这时曲线向右移动 ② T 一定, m 越大, v f ( v)
2. 麦克斯韦速率分布曲线
1）气体中速率很小和很 大的分子数都很少,也就 是说具有中等速率的分 子数较多。 2）在dv 间隔内, 曲线下 的面积 O
f(v)
T
Hale Waihona Puke ·· v v1 v＋ vd 2v
( 速率分布曲线 )
v
dN f (v )dv N
v2
1
表示速率分布在v～v+ dv 中的分 子数与总分子数的比率.
1.气体速率分布的实验测定
(1) 能通过细槽到达检测器D 的金属分子所满足的条件
L v
选择速率v
v L
（2）通过改变角速度ω的大小，
(3) 通过细槽的宽度，选择不 同的速率区间
L v v 2
(4) 沉积在检测器上相应的金属层 厚度正比于相应速率的分子数
4－4 能量按自由度均分 理想气体的内能
一、自由度: 确定一个物体的空间位置所需的独立坐标数
1.质点的自由度： 三维：3个 （x，y，z） 二维：2个 一维：1个 2.刚体的自由度： 刚体有六个自由度：三个平动自由度和三个转动自由度。 当刚体的运动受到限制时，自由度会减少。如定轴转动 只有一个自由度.
1 2 且 3
2 x 2 y 2 z
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 m x m y m z ( m ) kT 2 2 2 3 2 2
此式表明，分子沿x，y，z 三个方向运动的平均平动动能 完全相同，大小为kT/2，推广到转动自由度，每个自由度 也储存kT/2的能量，所以对理想气体刚性分子来说，一个 分子具有的平均总动能为：
adv 1
f (v )
2v 0
a
v0
2 a 3v 0
O
或直接由曲线下总面积为1求得.
v0
2v 0 v
(2) 求速率大于v0 和速率小于 v0的粒子数
v v 0 的分子数与总分子数的比率即为如图阴影部分面积
2 2 N v 0a v 0 3v 0 3 N
同理 v<v0 的分子数为 ( N/3 )
f(v) 出现极大值时, 所对应的速率称为最概然速率 .
5）最概然速率v p 由
f ( )
m 2 3 m 2 kT 4 ( ) 2 2e 2kT
df (v ) 0 令 dv v v p
得
f ( v)
T
2kT 2RT p m M
O
vp
v
vp 意义：在平衡态条件下，理想气体分子速率分布在最
2
♣ 最概然速率 2kT 2RT 1.41 RT p m M M ♣ 平均速率
dN
N
dN N 0 f ( )d
8kT m
8 RT RT 1.60 M M
♣ 方均根速率
2 v dN
3kT 3RT RT v 1.73 m M M
3. 理想气体的分子（视为刚性分子）自由度
分子种类 单原子分子 平动自由度 t 3 转动自由度r 0 总自由度i=t+r 3
刚性双原子分子
刚性多原子分子
3
3
2
3
5
6
真实气体：
低温：只有平动；
室温：平动和转动；
高温：平动、转动和振动。
二、能量按自由度均分定理
3 1 1 1 1 2 2 2 t kT m m x m y m z2 2 2 2 2 2
5 E RT 2
6 E RT 2
理想气体的内能只是温度的函数，且与热力学温度成正比
例4.3 在室温300K下，1 mol 的氧气和1 mol氮气的内能是多少？
10克氦气的内能是多少？ 解 氧气和氮气均是双原子气体，i=5，它们的内能相同，均为
i 5 E RT 8.31 300 6.23 103 J 2 2
m0 2 kT
m0 3 f ( ) 4 ( ) 2 2e 2kT
分布在任一速率区间内的分子数占总分子数的比率为