气体动理论-2
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4－4 能量按自由度均分 理想气体的内能
一、自由度: 确定一个物体的空间位置所需的独立坐标数
1.质点的自由度： 三维：3个 （x，y，z） 二维：2个 一维：1个 2.刚体的自由度： 刚体有六个自由度：三个平动自由度和三个转动自由度。 当刚体的运动受到限制时，自由度会减少。如定轴转动 只有一个自由度.
当快速水分子携带着能量离开水面时，通过从外界传入 能量保持着剩余的水的温度。其他快速分子（在特别有利的 碰撞中产生的分子）迅速占据那些离开了的分子的地位，保 持了速率分布。
☻不同气体, 不同温度下的速率分布曲线比较 由于曲线下的面积恒为1,因此:
2kT 2RT p m M
① m 一定,T 越大, v p 越大, 这时曲线向右移动 ② T 一定, m 越大, v f ( v)
p
越小, 这时曲线向左移动 f ( v)
T1
T2(> T1)
m2(> m1) m1
O
v p1 v p2
v O
v p2 v p1
v
例1 氦气的速率分布曲线如图所示. 求 (1) 试在图上画出同温度下氢分子速率分布曲线的大致情况; (2) 氢气在该温度时的最概然速率和方均根速率
2 RT 解 (2) v p M
3）在v1~v2 区间内,曲线下的面积
v
N f (v )dv N
表示速率分布在v1~v2 之间的 分子数与总分子数的比率.
4）曲线下面的总面积 等于分布在整个速 率范围内所有各个 速率间隔中的分子
f(v) T
数与总分子数的比 率的总和
O
v
0
f (v )dv 1
p
曲线下面积恒为1
5）最概然速率v
2. 麦克斯韦速率分布曲线
1）气体中速率很小和很 大的分子数都很少,也就 是说具有中等速率的分 子数较多。 2）在dv 间隔内, 曲线下 的面积 O
f(v)
T
·· v v1 v＋ vd 2v
( 速率分布曲线 )
v
dN f (v )dv N
v2
1
表示速率分布在v～v+ dv 中的分 子数与总分子数的比率.
p kT
4.5 麦克斯韦速率分布律
气体由大量分子组成， 而分子的速率通过碰撞不断地改变
◆分子速率可以是0→∞的任何值。 ◆平衡态分子整体，速率分布应该遵从一定的统计规律。
一. 速率分布函数 f(v)
1) 将速率从0 →∞分割成很多相等的速率区间v→v+Δv 例如速率间隔取100m/s , 整个速率分为0—100；100—200；…等区间。 2) 设总分子数为 N
2RT 1000 m/s 3 4 10
f (v )
2 RT 2 RT (v p ) H 2 M H2 2 103
2 10 m/s
3
He
H2
O
( v )H2
2
3RT M H2
1000
v ( m/s )
3 103 m/s
三. 分子速率的三种统计平均值
v v vp
av v 0 0 v v 0 f (v ) a 0
求 (1) 作速率分布曲线并求常数 a
v 0 v 2v 0 v 2v 0
(2) 速率大于v0 和速率小于v0 的粒子数
解 (1) 由归一化条件
v0
1 v 0a v 0a 1 2
0 av v dv
0 0
f (v )dv 1
4) 缩小速率间隔Δv → dv ， 该区间内分子数为dN
dN f (v ) dv N
dN f (v ) Ndv
速率分布 函数
dN 速率分布函数 f (v ) Ndv
物理意义: 表示平衡态下气体分布在速率v 附近单位速 率间隔内的分子数与总分子数的比率。 ●对单个分子而言,速率分布函数表示该气体分子出现在 速率v 附近单位速率区间内的概率。 表示平衡态下， 分子速率在v～v+ dv dN f (v ) dv 区间内分子数占总分子数的比率. N
i k t r kT 2
3 单原子 k kT 2
5 双原子 k kT 2
6 多原子 k kT 2
三、理想气体内能 (刚性分子)
i i E N k N kT RT 2 2
单原子分子气体
3 E RT 2
双原子分子气体 多原子分子气体
1 2 且 3
2 x 2 y 2 z
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 m x m y m z ( m ) kT 2 2 2 3 2 2
此式表明，分子沿x，y，z 三个方向运动的平均平动动能 完全相同，大小为kT/2，推广到转动自由度，每个自由度 也储存kT/2的能量，所以对理想气体刚性分子来说，一个 分子具有的平均总动能为：
f(v) 出现极大值时, 所对应的速率称为最概然速率 .
5）最概然速率v p 由
f ( )
m 2 3 m 2 kT 4 ( ) 2 2e 2kT
df (v ) 0 令 dv v v p
得
f ( v)
T
2kT 2RT p m M
O
vp
v
vp 意义：在平衡态条件下，理想气体分子速率分布在最
3. 理想气体的分子（视为刚性分子）自由度
分子种类 单原子分子 平动自由度 t 3 转动自由度r 0 总自由度i=t+r 3
刚性双原子分子
刚性多原子分子
3
3
2
3
5
6
真实气体：
低温：只有平动；
室温：平动和转动；
高温：平动、转动和振动。
二、能量按自由度均分定理
3 1 1 1 1 2 2 2 t kT m m x m y m z2 2 2 2 2 2
概然速率vp附近单位速率间隔中的分子数最多。 或者说，分子出现在vp附近单位速率间隔中的概率最大.
即：一个分子更可能具有最概 然速率. 但我们应感谢曲线尾部 那些少而高速的分子，因为它 们使云和雨成为可能。
云和雨：在夏季的温度下， 一个水池中的水分子的速率 分布可近似由麦克斯韦速率 分布律曲线表示，大多数分 子几乎没有足够的动能从水 中逃出。然而少数远在曲线 尾巴中的具有很高速率的分 子能逃出。正是这些水分子 的蒸发，形成云和雨。
adv 1
f (v )
2v 0
a
v0
2 a 3v 0
O
或直接由曲线下总面积为1求得.
v0
2v 0 v
(2) 求速率大于v0 和速率小于 v0的粒子数
v v 0 的分子数与总分子数的比率即为如图阴影部分面积
2 2 N v 0a v 0 3v 0 3 N
同理 v<v0 的分子数为 ( N/3 )
v→v+Δv 区间内的分子数为ΔN
ΔN/N 表示在该速率间隔内分子数占总分子数的百分比。
速率区间
分子数按速率 的分布 分子数比率 按速率的分布
0～v1
ΔN1
ΔN1/N
v1～v2
Δ N2
ΔN2/N
…
… …
v～ v+Δv
ΔN
… … …
ΔN/N
3)
N N
与 v 有关，不同 v 附近ΔN/N不同 与Δv 有关，速率间隔大分子数多
2
v
2
N
ห้องสมุดไป่ตู้
2 v Nf (v )dv
N
0
3kT 3 RT v f (v )dv m M
2
说明
f(v)
2
v v vp
三种速率用途各不相同 ●讨论速率分布一般用v p
●讨论分子的碰撞时用v ●讨论分子的平均平动动 能用 O
T
vp v
v
v
2
v2
例2 有N 个粒子，其速率分布函数为
2
♣ 最概然速率 2kT 2RT 1.41 RT p m M M ♣ 平均速率
dN
N
dN N 0 f ( )d
8kT m
8 RT RT 1.60 M M
♣ 方均根速率
2 v dN
3kT 3RT RT v 1.73 m M M
氦气为单原子气体，i =3，10克氦气的内能为
m i 10 3 E RT 8.31 300 9.35 103 J M 2 4 2
例：容器中贮存氧气，设压强为p，温度为T， 试求：
n
（1）单位体积内的分子数； p=nkT M mol 32103 26 5.3 10 （2）氧分子质量； m0 23 NA 6.0210 （3）氧气密度； =m/V=m0 N/V=nm0 3kT 3 RT （4）氧分子的方均根速率； v 2 m0 M （5）氧分子的平均平动动能。 1 3 2 t m0 v kT 2 2 要求能灵活运用公式。
5 E RT 2
6 E RT 2
理想气体的内能只是温度的函数，且与热力学温度成正比
例4.3 在室温300K下，1 mol 的氧气和1 mol氮气的内能是多少？
10克氦气的内能是多少？ 解 氧气和氮气均是双原子气体，i=5，它们的内能相同，均为
i 5 E RT 8.31 300 6.23 103 J 2 2
m0 2 kT
m0 3 f ( ) 4 ( ) 2 2e 2kT
分布在任一速率区间内的分子数占总分子数的比率为
dN
说明
m0 3 2 2 4 ( ) e N 2kT
m0 2
2 kT
d
(1) 从统计的概念来看讲速率恰好等于某一值的 分子数多少，是没有意义的。 (2) 在通常情况下实际气体分子的速率分布和麦克 斯韦速率分布能很好的符合。
2 N N 3
f (v )
a
O
v0
2v 0 v
作业:
126-130页
选择题3,5,6,8 填空题12,13，14
计算题17，19，21
1.气体速率分布的实验测定
(1) 能通过细槽到达检测器D 的金属分子所满足的条件
L v
选择速率v
v L
（2）通过改变角速度ω的大小，
(3) 通过细槽的宽度，选择不 同的速率区间
L v v 2
(4) 沉积在检测器上相应的金属层 厚度正比于相应速率的分子数
v
v2
1
N f (v )dv N
表示速率分布在v1~v2 之间 的分子数与总分子数的比率.
将速率区间扩大到0~∞, 所有的分子都在这个范围内,所以有
0
f (v )dv 1
(归一化条件)
二. 麦克斯韦速率分布律
1859年麦克斯韦从理论上预言了理想气体分子在平衡态下 的速率分布规律 2
一、自由度: 确定一个物体的空间位置所需的独立坐标数
1.质点的自由度： 三维：3个 （x，y，z） 二维：2个 一维：1个 2.刚体的自由度： 刚体有六个自由度：三个平动自由度和三个转动自由度。 当刚体的运动受到限制时，自由度会减少。如定轴转动 只有一个自由度.
当快速水分子携带着能量离开水面时，通过从外界传入 能量保持着剩余的水的温度。其他快速分子（在特别有利的 碰撞中产生的分子）迅速占据那些离开了的分子的地位，保 持了速率分布。
☻不同气体, 不同温度下的速率分布曲线比较 由于曲线下的面积恒为1,因此:
2kT 2RT p m M
① m 一定,T 越大, v p 越大, 这时曲线向右移动 ② T 一定, m 越大, v f ( v)
p
越小, 这时曲线向左移动 f ( v)
T1
T2(> T1)
m2(> m1) m1
O
v p1 v p2
v O
v p2 v p1
v
例1 氦气的速率分布曲线如图所示. 求 (1) 试在图上画出同温度下氢分子速率分布曲线的大致情况; (2) 氢气在该温度时的最概然速率和方均根速率
2 RT 解 (2) v p M
3）在v1~v2 区间内,曲线下的面积
v
N f (v )dv N
表示速率分布在v1~v2 之间的 分子数与总分子数的比率.
4）曲线下面的总面积 等于分布在整个速 率范围内所有各个 速率间隔中的分子
f(v) T
数与总分子数的比 率的总和
O
v
0
f (v )dv 1
p
曲线下面积恒为1
5）最概然速率v
2. 麦克斯韦速率分布曲线
1）气体中速率很小和很 大的分子数都很少,也就 是说具有中等速率的分 子数较多。 2）在dv 间隔内, 曲线下 的面积 O
f(v)
T
·· v v1 v＋ vd 2v
( 速率分布曲线 )
v
dN f (v )dv N
v2
1
表示速率分布在v～v+ dv 中的分 子数与总分子数的比率.
p kT
4.5 麦克斯韦速率分布律
气体由大量分子组成， 而分子的速率通过碰撞不断地改变
◆分子速率可以是0→∞的任何值。 ◆平衡态分子整体，速率分布应该遵从一定的统计规律。
一. 速率分布函数 f(v)
1) 将速率从0 →∞分割成很多相等的速率区间v→v+Δv 例如速率间隔取100m/s , 整个速率分为0—100；100—200；…等区间。 2) 设总分子数为 N
2RT 1000 m/s 3 4 10
f (v )
2 RT 2 RT (v p ) H 2 M H2 2 103
2 10 m/s
3
He
H2
O
( v )H2
2
3RT M H2
1000
v ( m/s )
3 103 m/s
三. 分子速率的三种统计平均值
v v vp
av v 0 0 v v 0 f (v ) a 0
求 (1) 作速率分布曲线并求常数 a
v 0 v 2v 0 v 2v 0
(2) 速率大于v0 和速率小于v0 的粒子数
解 (1) 由归一化条件
v0
1 v 0a v 0a 1 2
0 av v dv
0 0
f (v )dv 1
4) 缩小速率间隔Δv → dv ， 该区间内分子数为dN
dN f (v ) dv N
dN f (v ) Ndv
速率分布 函数
dN 速率分布函数 f (v ) Ndv
物理意义: 表示平衡态下气体分布在速率v 附近单位速 率间隔内的分子数与总分子数的比率。 ●对单个分子而言,速率分布函数表示该气体分子出现在 速率v 附近单位速率区间内的概率。 表示平衡态下， 分子速率在v～v+ dv dN f (v ) dv 区间内分子数占总分子数的比率. N
i k t r kT 2
3 单原子 k kT 2
5 双原子 k kT 2
6 多原子 k kT 2
三、理想气体内能 (刚性分子)
i i E N k N kT RT 2 2
单原子分子气体
3 E RT 2
双原子分子气体 多原子分子气体
1 2 且 3
2 x 2 y 2 z
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 m x m y m z ( m ) kT 2 2 2 3 2 2
此式表明，分子沿x，y，z 三个方向运动的平均平动动能 完全相同，大小为kT/2，推广到转动自由度，每个自由度 也储存kT/2的能量，所以对理想气体刚性分子来说，一个 分子具有的平均总动能为：
f(v) 出现极大值时, 所对应的速率称为最概然速率 .
5）最概然速率v p 由
f ( )
m 2 3 m 2 kT 4 ( ) 2 2e 2kT
df (v ) 0 令 dv v v p
得
f ( v)
T
2kT 2RT p m M
O
vp
v
vp 意义：在平衡态条件下，理想气体分子速率分布在最
3. 理想气体的分子（视为刚性分子）自由度
分子种类 单原子分子 平动自由度 t 3 转动自由度r 0 总自由度i=t+r 3
刚性双原子分子
刚性多原子分子
3
3
2
3
5
6
真实气体：
低温：只有平动；
室温：平动和转动；
高温：平动、转动和振动。
二、能量按自由度均分定理
3 1 1 1 1 2 2 2 t kT m m x m y m z2 2 2 2 2 2
概然速率vp附近单位速率间隔中的分子数最多。 或者说，分子出现在vp附近单位速率间隔中的概率最大.
即：一个分子更可能具有最概 然速率. 但我们应感谢曲线尾部 那些少而高速的分子，因为它 们使云和雨成为可能。
云和雨：在夏季的温度下， 一个水池中的水分子的速率 分布可近似由麦克斯韦速率 分布律曲线表示，大多数分 子几乎没有足够的动能从水 中逃出。然而少数远在曲线 尾巴中的具有很高速率的分 子能逃出。正是这些水分子 的蒸发，形成云和雨。
adv 1
f (v )
2v 0
a
v0
2 a 3v 0
O
或直接由曲线下总面积为1求得.
v0
2v 0 v
(2) 求速率大于v0 和速率小于 v0的粒子数
v v 0 的分子数与总分子数的比率即为如图阴影部分面积
2 2 N v 0a v 0 3v 0 3 N
同理 v<v0 的分子数为 ( N/3 )
v→v+Δv 区间内的分子数为ΔN
ΔN/N 表示在该速率间隔内分子数占总分子数的百分比。
速率区间
分子数按速率 的分布 分子数比率 按速率的分布
0～v1
ΔN1
ΔN1/N
v1～v2
Δ N2
ΔN2/N
…
… …
v～ v+Δv
ΔN
… … …
ΔN/N
3)
N N
与 v 有关，不同 v 附近ΔN/N不同 与Δv 有关，速率间隔大分子数多
2
v
2
N
ห้องสมุดไป่ตู้
2 v Nf (v )dv
N
0
3kT 3 RT v f (v )dv m M
2
说明
f(v)
2
v v vp
三种速率用途各不相同 ●讨论速率分布一般用v p
●讨论分子的碰撞时用v ●讨论分子的平均平动动 能用 O
T
vp v
v
v
2
v2
例2 有N 个粒子，其速率分布函数为
2
♣ 最概然速率 2kT 2RT 1.41 RT p m M M ♣ 平均速率
dN
N
dN N 0 f ( )d
8kT m
8 RT RT 1.60 M M
♣ 方均根速率
2 v dN
3kT 3RT RT v 1.73 m M M
氦气为单原子气体，i =3，10克氦气的内能为
m i 10 3 E RT 8.31 300 9.35 103 J M 2 4 2
例：容器中贮存氧气，设压强为p，温度为T， 试求：
n
（1）单位体积内的分子数； p=nkT M mol 32103 26 5.3 10 （2）氧分子质量； m0 23 NA 6.0210 （3）氧气密度； =m/V=m0 N/V=nm0 3kT 3 RT （4）氧分子的方均根速率； v 2 m0 M （5）氧分子的平均平动动能。 1 3 2 t m0 v kT 2 2 要求能灵活运用公式。
5 E RT 2
6 E RT 2
理想气体的内能只是温度的函数，且与热力学温度成正比
例4.3 在室温300K下，1 mol 的氧气和1 mol氮气的内能是多少？
10克氦气的内能是多少？ 解 氧气和氮气均是双原子气体，i=5，它们的内能相同，均为
i 5 E RT 8.31 300 6.23 103 J 2 2
m0 2 kT
m0 3 f ( ) 4 ( ) 2 2e 2kT
分布在任一速率区间内的分子数占总分子数的比率为
dN
说明
m0 3 2 2 4 ( ) e N 2kT
m0 2
2 kT
d
(1) 从统计的概念来看讲速率恰好等于某一值的 分子数多少，是没有意义的。 (2) 在通常情况下实际气体分子的速率分布和麦克 斯韦速率分布能很好的符合。
2 N N 3
f (v )
a
O
v0
2v 0 v
作业:
126-130页
选择题3,5,6,8 填空题12,13，14
计算题17，19，21
1.气体速率分布的实验测定
(1) 能通过细槽到达检测器D 的金属分子所满足的条件
L v
选择速率v
v L
（2）通过改变角速度ω的大小，
(3) 通过细槽的宽度，选择不 同的速率区间
L v v 2
(4) 沉积在检测器上相应的金属层 厚度正比于相应速率的分子数
v
v2
1
N f (v )dv N
表示速率分布在v1~v2 之间 的分子数与总分子数的比率.
将速率区间扩大到0~∞, 所有的分子都在这个范围内,所以有
0
f (v )dv 1
(归一化条件)
二. 麦克斯韦速率分布律
1859年麦克斯韦从理论上预言了理想气体分子在平衡态下 的速率分布规律 2