数学归纳法(专题)

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1
用数学归纳法证明：1 2
1 23
1 n(n 1)
n (n N ) n 1
证明：
（1）当n 1时，左边 1 ，右边 1 ，左边 右边，等式成立；
2
2
（2）假设当n k时等式成立，即
第二步的证明没有
1 1 1 1 k
1 2 23 3 4
k(k 1) k 1
用上归纳假设!
1 1 1 1 1 2 k 1 ,
23
k k 1
k 1
2 k 1 (2 k 1 ) 2( k 1 k ) 1
k 1
k 1
2
2
0.
k 1 k k 1 k 1
2 k 1 2 k 1.
k 1
故:1 1 1 1
23
k
1 2 k 1. k 1
即当n=k+1时,不等式也成立.
问题 3：教师根据成绩单，逐一核实后下结论：“全班及格”
请问：以上三个结论正确吗？为什么? ❖得出以上结论所用的方法有什么共同点和什么不同点
1、错
2、对
3、对
❖ 共同点：均用了归纳法得出结论；不同点：问题1、2是用的不完全
归纳法，问题3是用的完全归纳法。
问题情境二法：国数的数学学家家费费马（马Pie运rre用de 不Fer完mat全） 归纳法得出十七费(世16纪马01最年猜卓～越1想6的6数5的年学)事家。之例一，
根据(1)、(2)可知,原不等式对一切正整数都 成立.
例4、求证:
1
1 22
1 32
1 n2
2
1 (n N , n 2). n
证:(1)当n=2时,左边= 1
1 22
5,右边=
4
2
1 2
3 2
,由于
5 4
3 2
,故不等式成立.
(2)假设n=k( k N, k 2 )时命题成立,即
1
1 22
验证n=n0时命 题成立
若当n=k(knБайду номын сангаас )时命题成立, 证明当n=k+1时命题也成立
命题对从n0开始的所 有正整数n都成立。
问题情境三
多 米 诺 骨 牌 课 件 演 示
3、数学归纳法
思考题：
（1）数学归纳法能证明什么样类型的命题？ （2）数学归纳法有几个步骤？每个步骤说明什么问题？ （3）为什么这些步骤缺一不可？ （4）数学归纳法是完全归纳法还是不完全归纳法？
如何寻找一种严格推理的归纳法？
题
二、挖掘内涵、形成概念：
证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法来
证明它们的正确性:
(1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立,
【归纳奠基】
(2)证假明设当当nn==kk+(1k时N命* 题，也k成n0立)时【命题归成纳立递,推】
完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所 有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。
即当n=k+1时,不等式也成立.
由(1)、(2)原不等式对一切 n N, n 2 都成立.
例3、证明不等式: 1 1 1 1 2 n(n N*).
23
n
证:(1)当n=1时,左边=1,右边=2, 不等式显然成立.
(2)假设当n=k时不等式成立,即有:
1 1 1 1 2 k,
23
k
则当n=k+1时,我们有:
(2)假设当n=k时,结论成立,即ak k 上k归纳1. 假设!
则当n=k+1时,
1 11
1
Sk 2 (ak ak ) 2 ( k
k 1
k
) k 1
k.
ak 1
S k 1
Sk
1 2 (ak1
1 ) ak 1
k ak21 2
k ak1 1 0
ak1 k 1 k ( ak1 0).
题型二 用数学归纳法证明不等式问题
【例 1】 用数学归纳法证明：对一切大于 1 的自然数 n，不等式(1＋31)(1＋51)…(1＋
1 2n－1)>
2n2＋1成立．
证明：①当 n＝2 时，左＝1＋31＝34，右＝ 25，左>右，不等式成立．
②假设当 n＝k(k≥2 且 k∈N*)时，不等式成立，即
1、归纳法定义： 对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可
能情况，归纳出一般结论的推理方法，叫归纳法。
2、归纳法分类：
完全归纳法
归纳法 不完全归纳法
想一想：
由两种归纳法得出的结论一定正确吗？
说 （1）不完全归纳法有利于发现问题，但结论
明：
不一定正确。 （2）完全归纳法结论可靠，但一一核对困难。
提
出 问
数学归纳法的应用
题型一 用数学归纳法证明等式问题 题型二 用数学归纳法证明不等式问题 题型三 用数学归纳法证明整除问题 题型四 用数学归纳法证明几何问题 题型五 用数学归纳法解决探究性问题
例1.用数学归纳法证明
12 22 32 n2 n(n 1)(2n 1)
6
证明：1、当n=1时,左=12=1，右= 1(1 1)(2 1第)二步1 的证明要用
∴n=1时，等式成立
6
上归纳假设!
2、假设n=k时，等式成立，即
12 22 32 k 2 k(k 1)(2k 1)
那么，当n=k+1时
6
左=12+22+…+k2+(k+1)2= k(k 1)(2k 1) (k 1)2 6
k(k 1)(2k 1) 6(k 1)2 (k 1)(k 2)(2k 3)
则当n=k+1时,我们有:
1 1 1 1 1
(k 1) 1 (k 1) 2
2k 2k 1 2k 2
1 1 1 ( 1 1 1 )
k 1 k 2
2k 2k 1 2k 2 k 1
13 ( 1 1 ) 13
1
13 .
24 2k 1 2k 2 24 (2k 1)(2k 2) 24
例5、已知x> 1，且x0，nN，n2． 求证：(1+x)n>1+nx.
证明： （1）当n=2时，左＝(1＋x)2=1+2x+x2 ∵ x0，∴ 1+2x+x2>1+2x=右 ∴n=1时不等式成立
（2）假设n=k时，不等式成立，即 (1+x)k>1+kx 当n=k+1时，因为x> 1 ，所以1+x>0，于是 左边=(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)>(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2； 右边=1+(k+1)x． 因为kx2＞0，所以左边＞右边，即(1+x)k+1>1+(k+1)x． 这就是说，原不等式当n=k+1时也成立． 根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立.
由（1）（2）可知，对一切正整数，等式均成立。 k 1 右边 k2
例3、已知正数数列{an}中,前n项和为sn,且2Sn
用数学归纳法证明: an n n 1.
an
1 an
.
证:(1)当n=1时, a1 S1 =1,结论成立.
1 2
(a1
1 a1
)
a12
1 a1 1, 1 11 第二步的证明要用
第二步的证明要用
即(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k×1×3×5×…×(2k－1)成立．上归纳假设!
那么 n＝k＋1 时，
(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)
＝2(k＋1)(k＋2)(k＋3)×…×(k＋k)(2k＋1)
＝2k＋1×1×3×5×…×(2k－1)[2(k＋1)－1]
故当n=k+1时,结论也成立.
根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论都成立.
证明中的几个注意问题：
(1)在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到 n=k命题成立这一归纳假设,否则就打破数学 归纳法步骤之间的逻辑严密关系,造成推理无 效.
(2)在第一步中的初始值不一定从1取起，证明时 应根据具体情况而定.
即 n＝k＋1 时等式成立．
由(1)、(2)可知，对任何 n∈N*等式均成立．
①用数学归纳法证明与正整数有关的等式，关键在于“先看项”，弄清等
式两边的构成规律，等式两边有多少项，项的多少与 n 的取值是否有关，由 n＝k 到 n＝k＋ 1 时等式两边会增加多少项，增加怎样的项．
②在步骤(2)的证明过程中，突出两个“凑”字：一凑假设，二凑结论，关键是明确 n＝ k＋1 时证明的目标，充分考虑由 n＝k 到 n＝k＋1 时，命题形式之间的区别和联系．
(1＋13)(1＋15)…(1＋2k1－1)> 2k2＋1，
在用数学归纳法证明不等式时， 往往需要综合运用不等式证明的其他方法，
那么当 n＝k＋1 时，
如比较法、配方法、分析法、综合法、重要
(1＋13)(1＋15)…(1＋2k1－1)[1＋2k＋11－1] 不等式法、放缩法(特别注意放缩要有“度”)等．
例2、用数学归纳法证明:
1 1 1 13 (n 2, n N*). n 1 n 2 2n 24
证:(1)当n=2时, 成立.
左边=
1 21
2
1
2
1 3
1 4
14 24
13 24
,
不等式
(2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即有:
1 1 1 13 , k 1 k 2 2k 24
他在数学许多领域中都有极大的贡献， 因为他的本行是专业的律师， 为了表彰他的数学造诣，