二次函数距离与定值

定值与距离问题探究

主讲——周文春

【知识点拨】 1、 点与点距离 2、 点与直线距离

3、 讲线段与图形问题转化为距离问题

4、 熟记各种演化公式

【例1 二次函数与直线、距离、面积问题】 如图，已知直线与抛物线交于两点． （1）求两点的坐标；

（2）求线段的垂直平分线的解析式；

（3）如图2，取与线段等长的一根橡皮筋，端点分别固定在两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖在直线上方的抛物线上移动，动点将与构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时

12y x =-

21

64

y x =-+A B ，A B ，AB AB A B ，P AB P A B ，P 图2

图1

【变式练习.成都】

如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的A 、B 两个顶点在x 轴上，顶点C 在y 轴的负半轴上．已知|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，△ABC 的面积S △ABC =15，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）经过A 、B 、C 三点．

（1）求此抛物线的函数表达式；

（2）设E 是y 轴右侧抛物线上异于点B 的一个动点，过点E 作x 轴的平行线交抛物线于另一点F ，过点F 作FG 垂直于x 轴于点G ，再过点E 作EH 垂直于x 轴于点H ，得到矩形EFGH ．则在点E 的运动过程中，当矩形EFGH 为正方形时，求出该正方形的边长； （3）在抛物线上是否存在异于B 、C 的点M ，使△MBC 中BC 边上的高为？若存在，

求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

【例2二次函数中的线段面积最值问题】

如图，抛物线与x 轴交与A(1,0),B(-3，0)两点，顶点为D 。交Y 轴于C

(1)求该抛物线的解析式与△ABC 的面积。

(2)在抛物线第二象限图象上是否存在一点M ，使△MBC 是以∠BCM 为直角的直角三角形，若存在，求出点P 的坐标。若没有，请说明理由

(3)若E 为抛物线B 、C 两点间图象上的一个动点(不与A 、B 重合)，过E 作EF 与X 轴垂

直，交BC 于F ，设E 点横坐标为x.EF 的长度为L ，求L 关于X 的函数关系式？关写

出X 的取值范围？当E 运动到什么位置时，线段EF 的值最大，并求此时E 点的坐标？ (4)在（3）的情况下直线BC 与抛物线的对称轴交于点H 。当E 点运动到什么位置时,以点E 、F 、H 、D 为顶点的四边形为平行四边形？

(5)在（4）的情况下点E 运动到什么位置时，使三角形BCE 的面积最大？

c bx x y ++-=

2

【变式练习.雅安】

如图，已知二次函数c x ax y ++=22)0(>a 图像的顶点M 在反比例函数x

y 3

=上，且与x 轴交于AB 两点。

（1）若二次函数的对称轴为2

1

-

=x ，试求c a ,的值； （2）在（1）的条件下求AB 的长；

（3）若二次函数的对称轴与x 轴的交点为N ，当NO+MN 取最小值时，试求二次函数的解析式。

【例3 二次函数中比例的定值、最值问题】

【成都】如图，抛物线y=ax 2

+c （a ≠0）经过C （2，0），D （0，﹣1）两点，并与直线y=kx 交于A 、B 两点，直线l 过点E （0，﹣2）且平行于x 轴，过A 、B 两点分别作直线l 的垂线，垂足分别为点M 、N ．

（1）求此抛物线的解析式； （2）求证：AO=AM ； （3）探究： ①当k=0时，直线y=kx 与x 轴重合，求出此时

11

AM BN

+的值； ②试说明无论k 取何值，

11AM BN

+的值都等于同一个常数．

在平面直角坐标系中，已知抛物线2

12

y x bx c =-

++（,b c 为常数）的顶点为P ，等腰直角三角形ABC 的定点A 的坐标为(0,1)-，C 的坐标为(4,3)，直角顶点B 在第四象限. （1）如图，若该抛物线过 A ，B 两点，求该抛物线的函数表达式；

（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P 在直线AC 上滑动，且与AC 交于另一点Q . i ）若点M 在直线AC 下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M P Q 、、 三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M 的坐标； ii ）取BC 的中点N ，连接,NP BQ .试探究PQ

NP BQ

+是否存在最大值？若存在，求出该最

大值；若不存在，请说明理由.

如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数（m为常数）的图象与x轴交于点A

（﹣3，0），与y轴交于点C．以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过A，C两点，并与x轴的正半轴交于点B．

（1）求m的值及抛物线的函数表达式；

（2）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F．是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；

（3）若P是抛物线对称轴上使△ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M1（x1，y1），M2（x2，y2）两点，试探究是否为定值，并写出探究过程．