二次函数距离与定值
二次函数-定值问题典型例题
二次函数-定值问题【例1】如图，直线y=kx+b（b＞0）与抛物线相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C，设△OCD的面积为S，且kS+32=0．（1）求b的值；（2）求证：点（y1，y2）在反比例函数的图象上；（3）求证：x1•OB+y2•OA=0．考点：二次函数综合题专题：压轴题．分析：（1）先求出直线y=kx+b与x轴正半轴交点D的坐标及与y轴交点C的坐标，得到△OCD的面积S=﹣，再根据kS+32=0，及b＞0即可求出b的值；（2）先由y=kx+8，得x=，再将x=代入y=x2，整理得y2﹣（16+8k2）y+64=0，然后由已知条件直线y=kx+8与抛物线相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，知y1，y2是方程y2﹣（16+8k2）y+64=0的两个根，根据一元二次方程根与系数的关系得到y1•y2=64，即点（y1，y2）在反比例函数的图象上；（3）先由勾股定理，得出OA2=+，OB2=+，AB2=（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2，由（2）得y1•y2=64，又易得x1•x2=﹣64，则OA2+OB2=AB2，根据勾股定理的逆定理得出∠AOB=90°．再过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，根据两角对应相等的两三角形相似证明△AEO∽△OFB，由相似三角形对应边成比例得到=，即可证明x1•OB+y2•OA=0．解答：（1）解：∵直线y=kx+b（b＞0）与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C，∴令x=0，得y=b；令y=0，x=﹣，∴△OCD的面积S=（﹣）•b=﹣．∵kS+32=0，∴k（﹣）+32=0，解得b=±8，∵b＞0，∴b=8；（2）证明：由（1）知，直线的解析式为y=kx+8，即x=，将x=代入y=x2，得y=（）2，整理，得y2﹣（16+8k2）y+64=0．∵直线y=kx+8与抛物线相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，∴y1，y2是方程y2﹣（16+8k2）y+64=0的两个根，∴y1•y2=64，∴点（y1，y2）在反比例函数的图象上；（3）证明：由勾股定理，得OA2=+，OB2=+，AB2=（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2，由（2）得y1•y2=64，同理，将y=kx+8代入y=x2，得kx+8=x2，即x2﹣8kx﹣64=0，∴x1•x2=﹣64，∴AB2=+++﹣2x1•x2﹣2y1•y2=+++，又∵OA2+OB2=+++，∴OA2+OB2=AB2，∴△OAB是直角三角形，∠AOB=90°．如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F．∵∠AOB=90°，∴∠AOE=90°﹣∠BOF=∠OBF，又∵∠AEO=∠OFB=90°，∴△AEO∽△OFB，∴=，∵OE=﹣x1，BF=y2，∴=，∴x1•OB+y2•OA=0．点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有二次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，一次函数与二次函数的交点，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定与性质，综合性较强，难度适中．求出△OCD的面积S是解第（1）问的关键；根据函数与方程的关系，得到y1，y2是方程y2﹣（16+8k2）y+64=0的两个根，进而得出y1•y2=64是解第（2）问的关键；根据函数与方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理及其逆定理得出∠AOB=90°，是解第（3）问的关键．【例2】如图①，在平面直角坐标系中，点P（0，m2）（m＞0）在y轴正半轴上，过点P作平行于x轴的直线，分别交抛物线C1：y=x2于点A、B，交抛物线C2：y=x2于点C、D．原点O关于直线AB的对称点为点Q，分别连接OA，OB，QC和QD．【猜想与证明】填表：m 1 2 3由上表猜想：对任意m（m＞0）均有= ．请证明你的猜想．【探究与应用】（1）利用上面的结论，可得△AOB与△CQD面积比为；（2）当△AOB和△CQD中有一个是等腰直角三角形时，求△CQD与△AOB面积之差；【联想与拓展】如图②过点A作y轴的平行线交抛物线C2于点E，过点D作y轴的平行线交抛物线C1于点F．在y轴上任取一点M，连接MA、ME、MD和MF，则△MAE与△MDF面积的比值为．考点：二次函数综合题分析：猜想与证明：把P点的纵坐标分别代入C1、C2的解析式就可以AB、CD的值，就可以求出结论，从而发现规律得出对任意m（m＞0）将y=m2代入两个二次函数的解析式就可以分别表示出AB与CD的值，从而得出均有=；探究与证明：（1）由条件可以得出△AOB与△CQD高相等，就可以得出面积之比等于底之比而得出结论；（2）分两种情况讨论，当△AOB为等腰直角三角形时，可以求出m的值就可以求出△AOB的面积，从而求出△CQD的面积，就可以求出其差，当△CQD为等腰直角三角形时，可以求出m的值就可以求出△CDQ的面积，进而可以求出结论；联想与拓展：由猜想与证明可以得知A、D的坐标，可以求出F、E的纵坐标，从而可以求出AE、DF的值，由三角形的面积公式分别表示出△MAE与△MDF面积，就可以求出其比值．解答：解：猜想与证明：当m=1时，1=x2，1=x2，∴x=±2，x=±3，∴AB=4，CD=6，∴；当m=2时，4=x2，4=x2，∴x=±4，x=±6，∴AB=8，CD=12，∴；当m=3时，9=x2，9=x2，∴x=±6，x=±9，∴AB=12，CD=18，∴；∴填表为m 1 2 3对任意m（m＞0）均有=．理由：将y=m2（m＞0）代入y=x2，得x=±2m，∴A（﹣2m，m2），B（2m，m2），∴AB=4m．将y=m2（m＞0）代入y=x2，得x=±3m，∴C（﹣3m，m2），D（3m，m2），∴CD=6m．∴，∴对任意m（m＞0）均有=；探究与运用：（1）∵O、Q关于直线CD对称，∴PQ=OP．∵CD∥x轴，∴∠DPQ=∠DPO=90°．∴△AOB与△CQD的高相等．∵=，∴AB=CD．∵S△AOB=AB•PO，S△CQD=CD•PQ，∴=，（2）当△AOB为等腰直角三角形时，如图3，∴PO=PB=m2，AB=2OP∴m2=m4，∴4m2=m4，∴m1=0，m2=﹣2，m3=2．∵m＞0，∴m=2，∴OP=4，AB=8，∴PD=6，CD=12．∴S△AOB==16∴S△CQD==24，∴S△CQD﹣S△AOB=24﹣16=8．当△CQD是等腰直角三角形时，如图4，∴PQ=PO=PD=m2，CD=2QP∴m2=m4，∴9m2=m4，∴m1=0，m2=﹣3，m3=3．∵m＞0，∴m=3，∴OP=6，AB=12，∴PQ=9，CD=18．∴S△AOB==54∴S△CQD==81，∴S△CQD﹣S△AOB=81﹣54=27；联想与拓展由猜想与证明可以得知A（﹣2m，m2），D（3m，m2），∵AE∥y轴，DF∥y轴，∴E点的横坐标为﹣2m，F点的横坐标为3m，∴y=（﹣2m）2，y=（3m）2，∴y=m2，y=m2，∴E（﹣2m，m2），F（3m，m2），∴AE=m2﹣m2=m2，DF=m2﹣m2=m2．S△AEM=×m2•2m=m3，S△DFM=m2•3m=m3．∴=．故答案为：；；．点评：本题考出了对称轴为y轴的抛物线的性质的运用，由特殊到一般的数学思想的运用，等腰直角三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，轴对称的性质的运用，在解答本题时运用两个抛物线上的点的特征不变建立方程求解是关键．【例3】已知抛物线C1的顶点为P（1，0），且过点（0，）．将抛物线C1向下平移h个单位（h＞0）得到抛物线C2．一条平行于x轴的直线与两条抛物线交于A、B、C、D四点（如图），且点A、C关于y轴对称，直线AB与x轴的距离是m2（m＞0）．[来（1）求抛物线C1的解析式的一般形式；（2）当m=2时，求h的值；（3）若抛物线C1的对称轴与直线AB交于点E，与抛物线C2交于点F．求证：tan∠EDF﹣tan∠ECP=．考点：二次函数综合题．专题：代数几何综合题．分析：（1）设抛物线C2，（a≠0），然后把点（0，）代入求出a的值，再化1的顶点式形式y=a（x﹣1）为一般形式即可；（2）先根据m的值求出直线AB与x轴的距离，从而得到点B、C的纵坐标，然后利用抛物线解析式求出点C的横坐标，再根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同求出点A的坐标，然后根据平移的性质设出抛物线C2的解析式，再把点A的坐标代入求出h的值即可；（3）先把直线AB与x轴的距离是m2代入抛物线C1的解析式求出C的坐标，从而求出CE，再表示出点A的坐标，根据抛物线的对称性表示出ED，根据平移的性质设出抛物线C2的解析式，把点A的坐标代入求出h的值，然后表示出EF，最后根据锐角的正切值等于对边比邻边列式整理即可得证．解答：（1）解：设抛物线C1的顶点式形式y=a（x﹣1）2，（a≠0），∵抛物线过点（0，），∴a（0﹣1）2=，解得a=，∴抛物线C1的解析式为y=（x﹣1）2，一般形式为y=x2﹣x+；（2）解：当m=2时，m2=4，∵BC∥x轴，∴点B、C的纵坐标为4，∴（x﹣1）2=4，解得x1=5，x2=﹣3，∴点B（﹣3，4），C（5，4），∵点A、C关于y轴对称，∴点A的坐标为（﹣5，4），设抛物线C2的解析式为y=（x﹣1）2﹣h，则（﹣5﹣1）2﹣h=4，解得h=5；（3）证明：∵直线AB与x轴的距离是m2，∴点B、C的纵坐标为m2，∴（x﹣1）2=m2，解得x1=1+2m，x2=1﹣2m，∴点C的坐标为（1+2m，m2），又∵抛物线C1的对称轴为直线x=1，∴CE=1+2m﹣1=2m，∵点A、C关于y轴对称，∴点A的坐标为（﹣1﹣2m，m2），∴AE=ED=1﹣（﹣1﹣2m）=2+2m，设抛物线C2的解析式为y=（x﹣1）2﹣h，则（﹣1﹣2m﹣1）2﹣h=m2，解得h=2m+1，∴EF=h+m2=m2+2m+1，∴tan∠EDF﹣tan∠ECP=﹣=﹣=﹣=，∴tan∠EDF﹣tan∠ECP=．点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与结合变换，关于y轴对称的点的坐标特征，抛物线上点的坐标特征，锐角的正切的定义，（3）用m表示出相应的线段是解题的关键，也是本题的难点．【例4】如图，抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N．（1）求此抛物线的解析式；（2）求证：AO=AM；（3）探究：①当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求出此时的值；②试说明无论k取何值，的值都等于同一个常数．考点：二次函数综合题．3718684专题：代数几何综合题．分析：（1）把点C、D的坐标代入抛物线解析式求出a、c，即可得解；（2）根据抛物线解析式设出点A的坐标，然后求出AO、AM的长，即可得证；（3）①k=0时，求出AM、BN的长，然后代入+计算即可得解；②设点A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），然后表示出+，再联立抛物线与直线解析式，消掉未知数y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出x1+x2，x1•2，并求出x12+x22，x12•x22，然后代入进行计算即可得解．解答：（1）解：∵抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1），∴，解得，所以，抛物线的解析式为y=x2﹣1；（2）证明：设点A的坐标为（m，m2﹣1），则AO==m2+1，∵直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，∴点M的纵坐标为﹣2，∴AM=m2﹣1﹣（﹣2）=m2+1，∴AO=AM；（3）解：①k=0时，直线y=kx与x轴重合，点A、B在x轴上，∴AM=BN=0﹣（﹣2）=2，∴+=+=1；②k取任何值时，设点A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），则+=+==，联立，消掉y得，x2﹣4kx﹣4=0，由根与系数的关系得，x1+x2=4k，x1•x2=﹣4，所以，x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=16k2+8，x12•x22=16，∴+===1，∴无论k取何值，+的值都等于同一个常数1．点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理以及点到直线的距离，根与系数的关系，根据抛物线上点的坐标特征设出点A、B的坐标，然后用含有k的式子表示出+是解题的关键，也是本题的难点，计算量较大，要认真仔细．【例5】. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，△OAB 的顶点Ａ的坐标为（10，0），顶点B 在第一象限内，且AB=35，sin ∠OAB=55. （1）若点C 是点B 关于x 轴的对称点，求经过O 、C 、A 三点的抛物线的函数表达式；（2）在(1)中，抛物线上是否存在一点P ，使以P 、O 、C 、A 为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若将点O 、点A 分别变换为点Q （ -2k ,0）、点R （5k ，0）（k>1的常数），设过Q 、R 两点，且以QR 的垂直平分线为对称轴的抛物线与y 轴的交点为N ，其顶点为M ，记△QNM 的面积为QMN S ∆，△QNR 的面积QNR S ∆，求QMN S ∆∶QNR S ∆的值.解：（1）如图，过点B 作BD OA ⊥于点D ． 在Rt ABD △中，35AB =5sin OAB ∠=5sin 3535BD AB OAB ∴=∠==． 又由勾股定理， 得2222(35)36AD AB BD =-=-=．1064OD OA AD ∴=-=-=．点B 在第一象限内，∴点B 的坐标为(43)，．y F P 3BEC D A P 2P 1O∴点B 关于x 轴对称的点C 的坐标为(43)-，． ················ 2分设经过(00)(43)(100)O C A -，，，，，三点的抛物线的函数表达式为2(0)y ax bx a =+≠．由11643810010054a ab a b b ⎧=⎪+=-⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=-⎪⎩，．∴经过O C A ，，三点的抛物线的函数表达式为21584y x x =-． ········· 2分 （2）假设在（1）中的抛物线上存在点P ，使以P O C A ，，，为顶点的四边形为梯形． ①点(43)C -，不是抛物线21584y x =-的顶点， ∴过点C 作直线OA 的平行线与抛物线交于点1P ．则直线1CP 的函数表达式为3y =-． 对于21584y x x =-，令34y x =-⇒=或6x =． 1143x y =⎧∴⎨=-⎩，；2263x y =⎧⎨=-⎩，． 而点(43)C -，，1(63)P ∴-，． 在四边形1P AOC 中，1CP OA ∥，显然1CP OA ≠．∴点1(63)P -，是符合要求的点． ······················· 1分 ②若2AP CO ∥．设直线CO 的函数表达式为1y k x =．将点(43)C -，代入，得143k =-．134k ∴=-． ∴直线CO 的函数表达式为34y x =-．于是可设直线2AP 的函数表达式为134y x b =-+． 将点(100)A ，代入，得131004b -⨯+=．1152b ∴=． ∴直线2AP 的函数表达式为31542y x =-+．由223154246001584y x x x y x x ⎧=-+⎪⎪⇒--=⎨⎪=-⎪⎩，即(10)(6)0x x -+=． 11100x y =⎧∴⎨=⎩，；22612x y =-⎧⎨=⎩，； 而点(100)A ，，2(612)P ∴-，． 过点2P 作2P E x ⊥轴于点E ，则212P E =． 在2Rt AP E △中，由勾股定理，得220AP ===．而5CO OB ==．∴在四边形2P OCA 中，2AP CO ∥，但2AP CO ≠．∴点2(612)P -，是符合要求的点．······················· 1分 ③若3OP CA ∥．设直线CA 的函数表达式为22y k x b =+．将点(100)(43)A C -，，，代入，得22222211002435k b k k b b ⎧+==⎧⎪⇒⎨⎨+=-⎩⎪=-⎩，．∴直线CA 的函数表达式为152y x =-． ∴直线3OP 的函数表达式为12y x =．由22121401584y x x x y x x ⎧=⎪⎪⇒-=⎨⎪=-⎪⎩，即(14)0x x -=． 1100x y =⎧∴⎨=⎩，；22147x y =⎧⎨=⎩，．而点(00)O ，，3(147)P ∴，． 过点3P 作3P F x ⊥轴于点F ，则37P F =． 在3Rt OP F △中，由勾股定理，得3OP ===而CA AB ==∴在四边形3P OCA 中，3OP CA ∥，但3OP CA ≠．∴点3(147)P ，是符合要求的点． ······················· 1分 综上可知，在（1）中的抛物线上存在点123(63)(612)(147)P P P --，，，，，， 使以P O C A ，，，为顶点的四边形为梯形． ·················· 1分 （3）由题知，抛物线的开口可能向上，也可能向下．①当抛物线开口向上时，则此抛物线与y 轴的负半轴交于点N ． 可设抛物线的函数表达式为(2)(5)(0)y a x k x k a =+->．即22310y ax akx ak =--2234924a x k ak ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．如图，过点M 作MG x ⊥轴于点G ．3(20)(50)02Q k R k G k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，，，，22349(010)24N ak M k ak ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，，，3||2||7||2QO k QR k OG k ∴===，，，22749||||10||24QG k ON ak MG ak ===，，．23117103522QNR S QR ON k ak ak ∴==⨯⨯=△．QNM QNO QMG ONMG S S S S =+-△△△梯形111()222QO ON ON GM OG QG GM =++- 2222114931749210102242224k ak ak ak k k ak ⎛⎫=⨯⨯+⨯+⨯-⨯⨯ ⎪⎝⎭ 3314949212015372884ak ak ⎛⎫=++⨯-⨯= ⎪⎝⎭．3321::(35)3:204QNM QNR S S ak ak ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭△△． ················ 2分②当抛物线开口向下时，则此抛物线与y 轴的正半轴交于点N ．同理，可得:3:20QNM QNR S S =△△． ····················· 1分 综上可知，:QNM QNR S S △△的值为3:20．【例6】、 如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数54y x m =+ (m 为常数)的图象与x 轴交于点A(3-，0)，与y 轴交于点C ．以直线x=1为对称轴的抛物线2y ax bx c =++ (a b c ，， 为常数，且a ≠0)经过A ，C 两点，并与x 轴的正半轴交于点B ． （1）求m 的值及抛物线的函数表达式；（2）设E 是y 轴右侧抛物线上一点，过点E 作直线AC 的平行线交x 轴于点F ．是否存在这样的点E ，使得以A ，C ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E 的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；（3）若P 是抛物线对称轴上使△ACP 的周长取得最小值的点，过点P 任意作一条与y 轴不平行的直线交抛物线于111M ()x y ， ，222M ()x y ，两点，试探究2112P PM M M M ⋅ 是否为定值，并写出探究过程．考点：二次函数综合题。
方法必备07二次函数中定值、定点问题(8类题型)原卷版
方法必备07二次函数中定值、定点问题（8类题型）题型一面积（面积比）定值题型二线段（线段比）定值题型三线段和差倍定值题型四线段乘积为定值题型五横（纵）坐标定值题型六其它定值问题题型七结合韦达定理求定点题型八直线过定点题型一面积（面积比）定值1．（2023•花都区二模）已知，抛物线22(22)2y x m x m m =-+++与x 轴交于A ，B 两点(A 在B 的左侧）．（1）当0m =时，求点A ，B 坐标；（2）若直线y x b =-+经过点A ，且与抛物线交于另一点C ，连接AC ，BC ，试判断ABC ∆的面积是否发生变化？若不变，请求出ABC ∆的面积；若发生变化，请说明理由；（3）当5221m x m --时，若抛物线在该范围内的最高点为M ，最低点为N ，直线MN 与x 轴交于点D ，且3MD ND=，求此时抛物线的解析式．2．（2023•兴化市一模）已知抛物线2(0)y ax a =>经过第二象限的点A ，过点A 作//AB x 轴交抛物线于点B ，第一象限的点C 为直线AB 上方抛物线上的一个动点．过点C 作CE AB ⊥于E ，连接AC 、BC ．（1）如图1，若点(1,1)A -，1CE =．①求a 的值；②求证：ACE CBE ∆∆∽．（2）如图2，点D 在线段AB 下方的抛物线上运动（不与A 、B 重合），过点D 作AB 的垂线，分别交AB 、AC 于点F 、G ，连接AD 、BD ．若90ADB ∠=︒，求DF 的值（用含有a 的代数式表示）．（3）在（2）的条件下，连接BG 、DE ，试判断BGF DBES S ∆∆的值是否随点D 的变化而变化？如果不变，求出S BGF S DBE ∆∆的值，如果变化，请说明理由．题型二线段（线段比）定值3．（2023•绵阳）如图，抛物线经过AOD ∆的三个顶点，其中O 为原点，(2,4)A ，(6,0)D ，点F 在线段AD 上运动，点G 在直线AD 上方的抛物线上，//GF AO ，GE DO ⊥于点E ，交AD 于点I ，AH 平分OAD ∠，(2,4)C --，AH CH ⊥于点H ，连接FH ．（1）求抛物线的解析式及AOD ∆的面积；（2）当点F 运动至抛物线的对称轴上时，求AFH ∆的面积；（3）试探究FG GI 的值是否为定值？如果为定值，求出该定值；不为定值，请说明理由．4．（2023•金东区三模）如图，一次函数(0,0)b y x b a b a=-+>>与坐标轴交于A ，B 两点，以A 为顶点的抛物线过点B ，过点B 作y 轴的垂线交该抛物线于另一点D ，以AB ，AD 为边构造ABCD ，延长BC 交抛物线于点E ．（1）若2a b ==，如图1．①求该抛物线的表达式．②求点E 的坐标．（2）如图2，请问BE AB是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．5．（2023•黑龙江一模）已知，抛物线2y ax bx c =++经过(1,0)A -、(3,0)B 、(0,3)C 三点，点P 是抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P 位于第四象限时，连接AC ，BC ，PC ，若PCB ACO ∠=∠，求直线PC 的解析式；（3）如图2，当点P 位于第二象限时，过P 点作直线AP ，BP 分别交y 轴于E ，F 两点，请问CE CF的值是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．题型三线段和差倍定值6．（2023•红桥区三模）已知抛物线22(y ax bx a =++，b 为常数，0)a ≠经过点(1,0)A -，(3,0)B ，与y 轴相交于点C ，其对称轴与x 轴相交于点E ．（1）求该抛物线的解析式；（2）连接BC ，在该抛物线上是否存在点P ，使PCB ABC ∠=∠？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）Q 为x 轴上方抛物线上的动点，过点Q 作直线AQ ，BQ ，分别交抛物线的对称轴于点M ，N ，点Q 在运动过程中，EM EN +的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．7．（2023•呼和浩特）探究函数22||4||y x x =-+的图象和性质，探究过程如下：（1）自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值列表如下：x ⋯52-2-32-1-12-012132252⋯y ⋯52-032m 32032232052-⋯其中，m =.根据如表数据，在图1所示的平面直角坐标系中，通过描点画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．观察图象，写出该函数的一条性质；（2）点F 是函数22||4||y x x =-+图象上的一动点，点(2,0)A ，点(2,0)B -，当3FAB S ∆=时，请直接写出所有满足条件的点F 的坐标；（3）在图2中，当x 在一切实数范围内时，抛物线224y x x =-+交x 轴于O ，A 两点（点O 在点A 的左边），点P 是点(1,0)Q 关于抛物线顶点的对称点，不平行y 轴的直线l 分别交线段OP ，AP （不含端点）于M ，N 两点．当直线l 与抛物线只有一个公共点时，PM 与PN 的和是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．8．（2023•平遥县一模）综合与探究．如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数224233y x x =-++的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接BC ．（1）求A ，B ，C 三点的坐标，并直接写出直线BC 的函数表达式；（2）点P 是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点P 使PCB ABC ∠=∠？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，作出该二次函数图象的对称轴直线l ，交x 轴于点D ．若点M 是二次函数图象上一动点，且点M 始终位于x 轴上方，作直线AM ，BM ，分别交l 于点E ，F ，在点M 的运动过程中，DE DF +的值是否为定值？若是，请直接写出该定值；若不是，请说明理由．9．（2023•广元）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数24y ax bx =++的图象与x 轴交于点(2,0)A -，(4,0)B ，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）已知E 为抛物线上一点，F 为抛物线对称轴l 上一点，以B ，E ，F 为顶点的三角形是等腰直角三角形，且90BFE ∠=︒，求出点F 的坐标；（3）如图2，P 为第一象限内抛物线上一点，连接AP 交y 轴于点M ，连接BP 并延长交y 轴于点N ，在点P 运动过程中，12OM ON +是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．10.（2023•扬州）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在y 轴正半轴上．（1）如果四个点(0,0)、(0,2)、(1,1)、(1,1)-中恰有三个点在二次函数2(y ax a =为常数，且0)a ≠的图象上．①a =；②如图1，已知菱形ABCD 的顶点B 、C 、D 在该二次函数的图象上，且AD y ⊥轴，求菱形的边长；③如图2，已知正方形ABCD 的顶点B 、D 在该二次函数的图象上，点B 、D 在y 轴的同侧，且点B 在点D 的左侧，设点B 、D 的横坐标分别为m 、n ，试探究n m -是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．（2）已知正方形ABCD 的顶点B 、D 在二次函数2(y ax a =为常数，且0)a >的图象上，点B 在点D 的左侧，设点B 、D 的横坐标分别为m 、n ，直接写出m 、n 满足的等量关系式．11．（2023•长汀县模拟）在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =++>经过(2,0)A -，(0,2)B -两点．（1）用含a 的式子表示b ；（2）当2a =时，如图1，点C 是直线AB 下方抛物线上的一个动点，求点C 到直线AB 距离的最大值．（3）当1a =时，如图2，过点1(2P -，2)-的直线交抛物线2(0)y ax bx c a =++>于M ，N ．①若//MN x 轴，计算11PM PN +=．②若MN 与x 轴不平行，请你探索11PM PN+是否定值？请说明理由．12．（2023•宿豫区三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数15544y x =+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，对称轴为直线2x =的抛物线22(0)y ax bx c a =++≠也经过点A 、点C ，并与x 轴正半轴交于点B ．（1）求抛物线22(0)y ax bx c a =++≠的函数表达式；（2）设点25(0,)12E ，点F 在抛物线22(0)y ax bx c a =++≠对称轴上，并使得AEF ∆的周长最小，过点F 任意作一条与y 轴不平行的直线交此抛物线于1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y 两点，试探究11FP FQ +的值是否为定值？说明理由；（3）将抛物线22(0)y ax bx c a =++≠适当平移后，得到抛物线23()(1)y a x h h =->，若当1x m <时，3y x -恒成立，求m的最大值．13．（2023•武侯区校级模拟）如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴分别交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，若(1,0)A -且3OC OA =．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图1，点P 是第四象限内抛物线上的一个点且位于对称轴右侧，分别连接BC 、AP 相交于点G ，当12PBG ABG S S ∆∆=时，求点P 的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，AP 交y 轴于点M ，过M 点的直线l 与线段AB ，AC 分别交于E ，F ，当直线l 绕点M 旋转时，m n AE AF+为定值3，请求出m 和n 的值．14．（2023•丹阳市二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴相交于点A 、B ，与y 轴相交于点C ，其中B 点的坐标为(3,0)，点M 为抛物线上的一个动点．（1）二次函数图象的对称轴为直线1x =．①求二次函数的表达式；②若点M 与点C 关于对称轴对称，则点M 的坐标是；③在②的条件下，连接OM ，在OM 上任意取一点P ，过点P 作x 轴的平行线，与抛物线对称轴左侧的图象交于点Q ，求线段PQ 的最大值．（2）过点M 作BC 的平行线，交抛物线于点N ，设点M 、N 的横坐标为m 、n ，在点M 运动的过程中，试问m n +的值是否会发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请求出m n +的值．题型四线段乘积为定值15．（2023•南充）如图1，抛物线23(0)y ax bx a =++≠与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，以B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形为平行四边形，求点P 的坐标；（3）如图2，抛物线顶点为D ，对称轴与x 轴交于点E ，过点(1,3)K 的直线（直线KD 除外）与抛物线交于G ，H 两点，直线DG ，DH 分别交x 轴于点M ，N ．试探究EM EN ⋅是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．题型五横（纵）坐标（坐标和）定值16．（2023•湖北）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线26(0)y ax bx a =+-≠与x 轴交于点(2,0)A -，(6,0)B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ，连接BC ．（1）抛物线的解析式为；（直接写出结果）（2）在图1中，连接AC 并延长交BD 的延长线于点E ，求CEB ∠的度数；（3）如图2，若动直线l 与抛物线交于M ，N 两点（直线l 与BC 不重合），连接CN ，BM ，直线CN 与BM 交于点P ．当//MN BC 时，点P 的横坐标是否为定值，请说明理由．17．（2023•清江浦区校级三模）如图，已知抛物线2:23(0)T y ax ax a a =-->与y 轴交于点C ，交x 轴于点A ，B ，且OB OC =．（1）求抛物线T 的解析式；（2）如图1，直线1:(0)2l y x b b =+<交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，将MON ∆沿直线l 翻折，得到MPN ∆，点O 的对应点为点P 若点O 的对应点P 恰好落在抛物线上，求b 的值；（3）如图2，点D 是抛物线T 上一动点，连接AD ，并将直线AD 沿x 轴翻折交抛物线T 于点E ．设点D 的横坐标为D x ，点E 的横坐标为E x ，试问：D E x x +是否为定值？若为定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由．题型六其它定值问题18．（2023•宿豫区二模）阅读下列材料：在九年级下册“5.2二次函数的图象和性质”课时学习中，我们发现，函数：2()y a x k h =-+中a 的符号决定图象的开口方向，||a 决定图象的开口大小，为了进一步研究函数的图象和性质，我们作如下规定：如图1，抛物线上任意一点（A ）（异于顶点)O 到对称轴的垂线段的长度(AB 的长度）叫做这个点的“勾距”，记作m ；垂足（B ）到抛物线的顶点()O 的距离()BO 叫这个点的“股高”，记作h ；点（A ）到顶点()O 的距离(AO 的长度）叫这个点的“弦长”，记作l ；过这个点（A ）和顶点()O 的直线()AO 与对称轴()BO 相交所成的锐角叫做这个点的“偏角”，记作α．由图1可得，对于函数2(0)y ax a =≠．（1）当勾距m 为定值时，①2||h am =、22(1)l m a m =+；股高和弦长均随a 增大而增大；②1tan ||amα=；偏角随||a 增大而减小；（如：函数23y =中，当1m =时，2||3h am ==22(1)2l m a m =+=、13tan ||30)3am αα===︒（2）当偏角α为定值时，③1||tan m a α=、21||(tan )h a α=、2cos ||(sin )l a αα=，勾距、股高和弦长均随||a 增大而减小；（如：函数2y x =中，当45α=︒时，1||1tan m a α==、21||1(tan )h a α==、2cos ||2)(sin )l a αα==利用以上结论，完成下列任务：如图2：已知以A 为顶点的抛物线211(2)2y x =-与y 轴相交于点B ，若抛物线22()y a x b =-的顶点也是A ，并与直线AB 相交于点C ，与y 轴相交于点D ．（1）函数22y x =中，①当1m =时，h =，②当60α=︒时，l =；（2）如图2：以(2,0)A 为顶点作抛物线：211(2)2y x =-和22()y a x b =-，1y 与y 轴相交于点B ，2y 与直线AB 相交于点C ，与y 轴相交于点D ；①当12a >时，设S AC OD =⋅，随a 的取值不同，S 的值是否发生改变，如果不变，请求出S 的值，如果发生改变，请直接写出S 的取值范围；②若点M 在抛物线1y 上，直线AM 与2y 的另一个交点为N ，记BAM ∆的面积为1S ，CAN ∆的面积为2S ，若1249S S =，请求出a 的值．19．（2023•宜都市二模）抛物线234(0)y ax ax ac a =--<与x 轴交于点(1,0)A -和点B ，与y 轴交于点C ．（1）写出抛物线的对称轴，并求c 的值；（2）如图1，90ACB ∠=︒，点1(D x ，11)(0)y x <是抛物线上234y ax ax ac =--的动点，直线DO 与抛物线的另一个交点为E ；①若D ，E 关于点O 对称，求D 点坐标；②若点(0,)P m 是y 轴上一点，直线DP 的表达式为11y k x b =+，直线EP 的表达式为22y k x b =+，当12k k +的值是一个定值时，求m 的值．20．（2023•长沙）我们约定：若关于x 的二次函数21111y a x b x c =++与22222y a x b x c =++同时满足22121()||0b b c a +++-=，202312()0b b -≠，则称函数1y 与函数2y 互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题：（1）若关于x 的二次函数2123y x kx =++与22y mx x n =++互为“美美与共”函数，求k ，m ，n 的值；（2）对于任意非零实数r ，s ，点(,)P r t 与点(Q s ，)()t r s ≠始终在关于x 的函数212y x rx s =++的图象上运动，函数2y 与1y 互为“美美与共”函数．①求函数2y 的图象的对称轴；②函数2y 的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；（3）在同一平面直角坐标系中，若关于x 的二次函数21y ax bx c =++与它的“美美与共”函数2y 的图象顶点分别为点A ，点B ，函数1y 的图象与x 轴交于不同两点C ，D ，函数2y 的图象与x 轴交于不同两点E ，F ．当CD EF =时，以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由．题型七结合韦达定理求定点21．（2023•汉阳区校级模拟）抛物线2222y x mx m m =-+-+，(0)m >交x 轴于A ，B 两点(A 在B 的左边），C 是抛物线的顶点．（1）当2m =时，直接写出A ，B ，C 三点的坐标；（2）如图1，点D 是对称轴右侧抛物线上一点，COB OCD ∠=∠，求线段CD 长度；（3）如图2，将抛物线平移使其顶点为(0,1)，点P 为直线3y x =+上的一点，过点P 的直线PE ，PF 与抛物线只有一个公共点，问直线EF 是否过定点，请说明理由．题型八直线过定点22．（2023•锦江区校级模拟）已知抛物线22y ax ax c =-+与x 轴交于(1,0)A -、B 两点，顶点为P ，与y 轴交于C 点，且ABC ∆的面积为6．（1）求抛物线的对称轴和解析式；（2）平移这条抛物线，平移后的抛物线交y 轴于E ，顶点Q 在原抛物线上，当四边形APQE 是平行四边形时，求平移后抛物线的表达式；（3）若过定点(2,1)K 的直线交抛物线于M 、N 两点(N 在M 点右侧），过N 点的直线2y x b =-+与抛物线交于点G ，求证：直线MG 必过定点．2123．（2023•洪山区校级模拟）如图，已知抛物线21:3C y ax bx =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，3OB OC OA ==．（1）求抛物线1C 的解析式；（2）如图2，已知点P 为第一象限内抛物线1C 上的一点，点Q 的坐标为(1,0)，45POC OCQ ∠+∠=︒，求点P 的坐标；（3）如图3，将抛物线1C 平移到以坐标原点为顶点，记为2C ，点(1,1)T -在抛物线2C 上，过点T 作TM TN ⊥分别交抛物线2C 于M ，N 两点，求证：直线MN过定点，并求出该定点的坐标．。
14 专题十四、二次函数与定值问题
专题十四、二次函数与定值问题【专题导入】1．若线段AB=x+2，线段PQ=-x+7,则AB+PQ=_____,也即是说，AB与PQ线段和为定值。
2．求证：不论m取什么实数，二次函数y＝x2﹣2（m+1）x+m（m+2）的图象与x轴两个交点之间的距离为定值．【方法技巧】所谓定值问题，是指按照一定条件构成的几何图形，当某些几何元素按一定的规律在确定的范围内变化时，与它有关的某种几何量却始终保持不变（或几何元素间的某种几何性质或位置关系不变）。
平面几何定值一般可分为两类：一类是定量问题（如定长度、定角、定比、平方和或倒数和为定值等）；一类是定形问题（如定点、定线、定圆或弧、定方向等），它们有共同的基本特点，即给定条件中一般由固定条件和变动条件两部分组成。
一般来说，二次函数求解几何线段代数式定值问题属于定量问题，方法采用：①参数计算法。
即：在图形运动中，选取其中的变量（如线段长、点坐标）作为参数，将要求的定值用参数表出，然后消去参数即得定值。
②韦达定理法。
当涉及到直线（一次函数图像或x轴）与二次函数交点时，先联立方程消去y之后整理得到一元二次方程，借助韦达定理可得到交点横坐标与参数的关系，可以将要求的定值代数式用交点横坐标的和或积表示，往往会刚好抵消掉参数，则得到定值。
【典例剖析】3．如图，直线y=−32x+6分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=−18x2+8，与y轴交于点D，点P是抛物线在第一象限部分上的一动点，过点P作PC⊥x轴于点C．（1）点A的坐标为_______，点D的坐标为_______；（2）试判断：对于任意一点P，PB+PC的值是否为定值？并说明理由。
4．如图，已知直线y＝kx﹣9k（k＜0）与抛物线y＝x2﹣2x﹣3交于A，B两点，与x轴交于点P．过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，求证：PD•PC为定值．【举一反三】5．（2017•武汉模拟）如图，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a（a＞0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．（1）填空：A点坐标是________，B点的坐标是________；（2）当a＝1时，如图，将直线BC沿y轴向上平移交抛物线于M，N，交y轴于点P，求证：PM﹣PN是定值.【强化训练】6．已知直线y ＝kx +2与抛物线y ＝ax 2（a ＞0）交于A 、B 两点，AM ⊥y 轴于M ，BN ⊥y 轴于N ，求OM •ON 的值．7．已知关于x 的二次函数y ＝x 2﹣2mx +m 2+m 的图象与直线y ＝kx +1．（1）若k ＝1，求证：无论m 为何值，二次函数图象与直线总有两个不同交点．（2）在（1）条件下，若两图象交于两点A 、B ，试证明AB 的长为定值，并求出这个定值． 8．如图，抛物线C 1：y ＝ax 2+bx +c 经过A （﹣1，0）、C （0，54）两点，与x 轴正半轴交于点B ，对称轴为直线x ＝2．（1）求抛物线C 1的函数表达式；（2）设点D （0，2512），若F 是抛物线C 1：y ＝ax 2+bx +c 的对称轴上使得△ADF 的周长取得最小值的点，过F 任意作一条与y 轴不平行的直线交抛物线C 1于M 1（x 1，y 1）、M 2（x 2，y 2）两点，试探究1M 1F +1M 2F 是否为定值，请说明理由。
考点12 二次函数(精讲)(解析版)
考点12.二次函数（精讲）【命题趋势】二次函数作为初中三大函数考点最多，出题最多，难度最大的函数，一直都是各地中考数学中最重要的考点，年年都会考查，总分值为15-20分。
而对于二次函数图象和性质的考查，也主要集中在二次函数的图象、图象与系数的关系、与方程及不等式的关系、图象上点的坐标特征等几大方面。
题型变化较多，考生复习时需要熟练掌握相关知识，熟悉相关题型，认真对待该考点的复习。
【知识清单】1：二次函数的相关概念（☆☆）1）二次函数的概念：一般地，形如y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．2）二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）．（2）顶点式：y =a （x –h ）2+k （a ，h ，k 为常数，a ≠0），顶点坐标是（h ，k ）．（3）交点式：y =a （x –x 1）（x –x 2），其中x 1，x 2是二次函数与x 轴的交点的横坐标，a ≠0．2：二次函数的图象与性质（☆☆☆）解析式二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）对称轴x =–2b a顶点（–2b a ，244ac b a-）a 的符号a >0a <0图象开口方向开口向上开口向下最值当x =–2b a 时，y 最小值=244ac b a-。
当x =–2b a 时，y 最大值=244ac b a-。
最点抛物线有最低点抛物线有最高点增减性当x <–2ba时，y 随x 的增大而减小；当x >–2ba时，y 随x 的增大而增大当x <–2ba时，y 随x 的增大而增大；当x >–2ba时，y 随x 的增大而减小（1）二次函数图象的翻折与旋转抛物线y=a (x -h )²+k ，绕顶点旋转180°变为：y =-a (x -h )²+k ；绕原点旋转180°变为：y =-a (x+h )²-k ；沿x 轴翻折变为：y =-a (x-h )²-k ；沿y 轴翻折变为：y =a (x+h )²+k ；（2）二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．3：二次函数与各项系数之间的关系（☆☆☆）1）抛物线开口的方向可确定a 的符号：抛物线开口向上，a ＞0；抛物线开口向下，a ＜02）对称轴可确定b 的符号（需结合a 的符号）：对称轴在x 轴负半轴，则2b x a =-＜0，即ab ＞0；对称轴在x 轴正半轴，则2bx a=-＞0，即ab ＜03）与y 轴交点可确定c 的符号：与y 轴交点坐标为（0，c ），交于y 轴负半轴，则c ＜0；交于y 轴正半轴，则c ＞04）特殊函数值符号（以x =1的函数值为例）：若当x =1时，若对应的函数值y 在x 轴的上方，则a+b+c ＞0；若对应的函数值y 在x 轴上方，则a+b+c =0；若对应的函数值y 在x 轴的下方，则a+b+c ＜0；5）其他辅助判定条件：1）顶点坐标24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；2）若与x 轴交点()1,0A x ，()2,0B x ，则可确定对称轴为：x =122x x +；3）韦达定理：1212b x x a c x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩具体要考虑哪些量，需要视图形告知的条件而定。
二次函数-定值问题典型例题
二次函数-定值问题【例1】如图，直线y=kx+b（b＞0）与抛物线相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C，设△OCD的面积为S，且kS+32=0．（1）求b的值；（2）求证：点（y1，y2）在反比例函数的图象上；（3）求证：x1•OB+y2•OA=0．，再根据x=代入y=与抛物线的图象上；++，根据两角对应相等的两三角=，即可证明﹣（﹣）﹣（﹣，x=y=x y=）与抛物线）在反比例函数++y=kx+8=x+++++，++，OFB=90 =，=【例2】如图①，在平面直角坐标系中，点P（0，m2）（m＞0）在y轴正半轴上，过点P作平行于x轴的直线，分别交抛物线C1：y=x2于点A、B，交抛物线C2：y=x2于点C、D．原点O关于直线AB的对称点为点Q，分别连接OA，OB，QC和QD．【猜想与证明】填表：由上表猜想：对任意m（m＞0）均有= ．请证明你的猜想．【探究与应用】（1）利用上面的结论，可得△AOB与△CQD面积比为；（2）当△AOB和△CQD中有一个是等腰直角三角形时，求△CQD与△AOB面积之差；【联想与拓展】如图②过点A作y轴的平行线交抛物线C2于点E，过点D作y轴的平行线交抛物线C1于点F．在y轴上任取一点M，连接MA、ME、MD和MF，则△MAE与△MDF面积的比值为．出均有=x1=x4=x9==．xx，）均有==，AB==CD=，m==m==（﹣（m y=m m﹣m2=m m m =m2m==m=．故答案为：；；．【例3】已知抛物线C1的顶点为P（1，0），且过点（0，）．将抛物线C1向下平移h个单位（h＞0）得到抛物线C2．一条平行于x轴的直线与两条抛物线交于A、B、C、D四点（如图），且点A、C关于y轴对称，直线AB与x轴的距离是m2（m＞0）．[来（1）求抛物线C1的解析式的一般形式；（2）当m=2时，求h的值；（3）若抛物线C1的对称轴与直线AB交于点E，与抛物线C2交于点F．求证：tan∠EDF﹣tan∠ECP=．）代入求出），a=y=y=x+；（y=（﹣（y=（﹣ECP=﹣﹣=﹣，ECP=【例4】如图，抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N．（1）求此抛物线的解析式；（2）求证：AO=AM；（3）探究：①当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求出此时的值；②试说明无论k取何值，的值都等于同一个常数．的长，然后代入+x x，然后表示出+，，x，AO=mAM=+=+x x +==，+=取何值，++是解题的关键，也是本题的难点，计算量较大，要认真仔细．【例5】. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，△OAB 的顶点Ａ的坐标为（10，0），顶点B 在第一象限内，且ABsin ∠（1）若点C 是点B 关于x 轴的对称点，求经过O 、C 、A 三点的抛物线的函数表达式；（2）在(1)中，抛物线上是否存在一点P ，使以P 、O 、C 、A 为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若将点O 、点A 分别变换为点Q （ -2k ,0）、点R （5k ，0）（k>1的常数），设过Q 、R 两点，且以QR 的垂直平分线为对称轴的抛物线与y 轴的交点为N ，其顶点为M ，记△QNM 的面积为QMN S ∆，△QNR 的面积QNR S ∆，求QMN S ∆∶QNR S ∆的值.解：（1）如图，过点B 作BD OA ⊥于点D ． 在Rt ABD △中，AB =sin OAB ∠=sin 3BD AB OAB ∴=∠==． 又由勾股定理，得6AD ===．1064OD OA AD ∴=-=-=．点B 在第一象限内，∴点B 的坐标为(43)，．∴点B 关于x 轴对称的点C 的坐标为(43)-，． ················ 2分设经过(00)(43)(100)O C A -，，，，，三点的抛物线的函数表达式为2(0)y ax bx a =+≠．由11643810010054a ab a b b ⎧=⎪+=-⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=-⎪⎩，．∴经过O C A ，，三点的抛物线的函数表达式为21584y x x =-． ········· 2分 （2）假设在（1）中的抛物线上存在点P ，使以P O C A ，，，为顶点的四边形为梯形． ①点(43)C -，不是抛物线21584y x =-的顶点， ∴过点C 作直线OA 的平行线与抛物线交于点1P ．则直线1CP 的函数表达式为3y =-． 对于21584y x x =-，令34y x =-⇒=或6x =． 1143x y =⎧∴⎨=-⎩，；2263x y =⎧⎨=-⎩，． 而点(43)C -，，1(63)P ∴-，． 在四边形1P AOC 中，1CP OA ∥，显然1CP OA ≠．∴点1(63)P -，是符合要求的点． ······················· 1分 ②若2AP CO ∥．设直线CO 的函数表达式为1y k x =．将点(43)C -，代入，得143k =-．134k ∴=-． ∴直线CO 的函数表达式为34y x =-．于是可设直线2AP 的函数表达式为134y x b =-+． 将点(100)A ，代入，得131004b -⨯+=．1152b ∴=． ∴直线2AP 的函数表达式为31542y x =-+．由223154246001584y x x x y x x ⎧=-+⎪⎪⇒--=⎨⎪=-⎪⎩，即(10)(6)0x x -+=． 11100x y =⎧∴⎨=⎩，；22612x y =-⎧⎨=⎩，； 而点(100)A ，，2(612)P ∴-，． 过点2P 作2P E x ⊥轴于点E ，则212P E =． 在2Rt AP E △中，由勾股定理，得220AP ===．而5CO OB ==．∴在四边形2P OCA 中，2AP CO ∥，但2AP CO ≠．∴点2(612)P -，是符合要求的点．······················· 1分 ③若3OP CA ∥．设直线CA 的函数表达式为22y k x b =+．将点(100)(43)A C -，，，代入，得22222211002435k b k k b b ⎧+==⎧⎪⇒⎨⎨+=-⎩⎪=-⎩，．∴直线CA 的函数表达式为152y x =-． ∴直线3OP 的函数表达式为12y x =．由22121401584y x x x y x x ⎧=⎪⎪⇒-=⎨⎪=-⎪⎩，即(14)0x x -=． 1100x y =⎧∴⎨=⎩，；22147x y =⎧⎨=⎩，．而点(00)O ，，3(147)P ∴，． 过点3P 作3P F x ⊥轴于点F ，则37P F =． 在3Rt OP F △中，由勾股定理，得3OP ===而CA AB ==∴在四边形3P OCA 中，3OP CA ∥，但3OP CA ≠．∴点3(147)P ，是符合要求的点． ······················· 1分 综上可知，在（1）中的抛物线上存在点123(63)(612)(147)P P P --，，，，，， 使以P O C A ，，，为顶点的四边形为梯形． ·················· 1分 （3）由题知，抛物线的开口可能向上，也可能向下．①当抛物线开口向上时，则此抛物线与y 轴的负半轴交于点N ． 可设抛物线的函数表达式为(2)(5)(0)y a x k x k a =+->．即22310y ax akx ak =--2234924a x k ak ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．如图，过点M 作MG x ⊥轴于点G ．3(20)(50)02Q k R k G k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，，，，22349(010)24N ak M k ak ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，，，3||2||7||2QO k QR k OG k ∴===，，，22749||||10||24QG k ON ak MG ak ===，，．23117103522QNR S QR ON k ak ak ∴==⨯⨯=△．QNM QNO QMG ONMG S S S S =+-△△△梯形111()222QO ON ON GM OG QG GM =++- 2222114931749210102242224k ak ak ak k k ak ⎛⎫=⨯⨯+⨯+⨯-⨯⨯ ⎪⎝⎭ 3314949212015372884ak ak ⎛⎫=++⨯-⨯= ⎪⎝⎭．3321::(35)3:204QNM QNR S S ak ak ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭△△． ················ 2分②当抛物线开口向下时，则此抛物线与y 轴的正半轴交于点N ．同理，可得:3:20QNM QNR S S =△△． ····················· 1分 综上可知，:QNM QNR S S △△的值为3:20．【例6】、 如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数54y x m =+ (m 为常数)的图象与x 轴交于点A(3-，0)，与y 轴交于点C ．以直线x=1为对称轴的抛物线2y ax bx c =++ (a b c ，， 为常数，且a ≠0)经过A ，C 两点，并与x 轴的正半轴交于点B ． （1）求m 的值及抛物线的函数表达式；（2）设E 是y 轴右侧抛物线上一点，过点E 作直线AC 的平行线交x 轴于点F ．是否存在这样的点E ，使得以A ，C ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E 的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；（3）若P 是抛物线对称轴上使△ACP 的周长取得最小值的点，过点P 任意作一条与y 轴不平行的直线交抛物线于111M ()x y ， ，222M ()x y ，两点，试探究2112P PM M M M ⋅ 是否为定值，并写出探究过程．考点：二次函数综合题。
《二次函数》知识点总结(修改版)
《二次函数》主要知识点归纳（修改版）(何老师归纳)一、概念：形如2y ax bx c=++（a b c，，是常数，0a≠）的函数，叫做二次函数。
1：条件：① a不为零②最高项次数为2（整理后）③整式2：特殊：若a＝0 则y＝bx＋c 是一次函数3：若y＝0，则函数图象交于x轴，化为一元二次方程a x2＋bx + c =04：特殊解析式：形如y=kx²-2kx-3k这样各项都含参数k的二次函数，图像必过定点.（令y=0, 则kx²-2kx-3k=0，化掉参数k得：x²-2x-3=0）二、二次函数的几种基本形式1：2y ax=的性质:a越大，抛物线的开口越小，越靠近y轴2. 2y ax c=+的性质：平移规律：上加下减y。
3.()2y a x h=-的性质：平移规律：左加右减x。
y=3(x+4)2(x-2)2y=3x24.()2y a x h k=-+（顶点式）的性质：平移规律：左加右减x 。
上加下减y,5．2y ax bx c =++（一般式）的性质： 先将一般式2y ax bx c =++通过配方法化成22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再对比顶点式，()2y a x h k =-+可得2424b ac b h k a a -=-=，．故两者性质相同。
三、二次函数2y ax bx c =++（或()2y a x h k =-+）图象及性质再归纳： 1：开口方向.①：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下； ②：a 相等，几条抛物线的开口大小、形状相同. ③：a 越大，抛物线的开口越小，越靠近y 轴 2：对称轴，直线abx 2-=（或直线x ＝h ） 3：顶点坐标：），（ab ac a b 4422-- 或（h,k ）4：增减性 ①：若0>a ，当x<a b 2-时，y 减；当x>a b2-时，y 增，简记：左减右增； ②：若0<a ，当x<a b 2-时，y 增；当x>ab2-时，y 减，简记：左增右减；5:最值 ⑴：若定义域是全体实数，则在顶点处取得最大值（或最小值），即:当a b x 2-=时，ab ac y 442-=最值，（或当x ＝h 时，最值是y ＝k ）2-32⑵: 若定义域是21x x x ≤≤， 则：①：若a b 2-在21x x x ≤≤内，则当x=a b 2-时，ab ac y 442-=最值；②：若ab2-不在21x x x ≤≤内，则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性， A: 若y 为增，则当2x x =时，c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小； B: 若y 为减，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222最小。
重难点 二次函数中的线段、周长与面积的最值问题及定值问题(解析版)--2024年中考数学
重难点二次函数中的线段、周长与面积的最值问题及定值问题目录题型01利用二次函数解决单线段的最值问题题型02利用二次函数解决两条线段之和的最值问题题型03利用二次函数解决两条线段之差的最值问题题型04利用二次函数解决三条线段之和的最值问题题型05利用二次函数解决三角形周长的最值问题题型06利用二次函数解决四边形周长的最值问题题型07利用二次函数解决图形面积的最值问题类型一利用割补、拼接法解决面积最值问题类型二利用用铅垂定理巧求斜三角形面积最值问题类型三构建平行线，利用同底等高解决面积最值问题题型08利用二次函数解决定值问题题型01利用二次函数解决单线段的最值问题【解题思路】抛物线中的线段最值问题有三种形式：1．平行于坐标轴的线段的最值问题：常通过线段两端点的坐标差表示线段长的函数关系式，运用二次函数性质求解．求最值时应注意：①当线段平行于y轴时，用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标；②当线段平行于x轴时，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标．在确定最值时，函数自变量的取值范围应确定正确．1(2022·辽宁朝阳·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴分别交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，-3)，连接BC．(1)求抛物线的解析式及点B 的坐标．(2)如图，点P 为线段BC 上的一个动点(点P 不与点B ，C 重合)，过点P 作y 轴的平行线交抛物线于点Q ，求线段PQ 长度的最大值．(3)动点P 以每秒2个单位长度的速度在线段BC 上由点C 向点B 运动，同时动点M 以每秒1个单位长度的速度在线段BO 上由点B 向点O 运动，在平面内是否存在点N ，使得以点P ，M ，B ，N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =x 2+2x -3，(-3，0)(2)94(3)-3,-32或(-2，1)或0,3-32【分析】(1)将A ，C 两点坐标代入抛物线的解析式求得a ，c 的值，进而得出解析式，当y =0时，求出方程的解，进而求得B 点坐标；(2)由B ，C 两点求出BC 的解析式，进而设出点P 和点Q 坐标，表示出PQ 的长，进一步得出结果；(3)要使以点P ，M ，B ，N 为顶点的四边形是菱形，只需△PMB 是等腰三角形，所以分为PM =BM ，PM =PB 和BP =BM ，结合图象，进一步得出结果．【详解】(1)解：把点A (1，0)，C (0，-3)代入y =ax 2+2x +c 得：c =-3a +2×1+c =0 ，解得：c =-3a =1 ，∴抛物线解析式为y =x 2+2x -3；令y =0，则x 2+2x -3=0，解得：x 1=1,x 2=-3，∴点B 的坐标为(-3，0)；(2)解：设直线BC 的解析式为y =kx +b k ≠0 ，把点B (-3，0)，C (0，-3)代入得：b =-3-3k +b =0 ，解得：k =-1b =-3 ，∴直线BC 的解析式为y =-x -3，设点P m ,-m +3 ，则Q m ,m 2+2m -3 ，∴PQ =-m -3 -m 2+2m -3 =-m 2-3m =-m +322+94，∴当m =-32时，PQ 最大，最大值为94；(3)解：存在，根据题意得：PC =2t ,BM =t ，则PB =32-2t ，如图，当BM =PM 时，∵B (-3，0)，C (0，-3)，∴OB =OC =3，∴∠OCB =∠OBC =45°，延长NP 交y 轴于点D ，∵点P ，M ，B ，N 为顶点的四边形是菱形，∴PN ∥x 轴，BN ∥PM ，即DN ⊥y 轴，∴△CDP 为等腰直角三角形，∴CD =PD =PC ⋅sin ∠OCB =2t ×22=t ，∵BM =PM ，∴∠MPB =∠OBC =45°，∴∠PMO =∠PDO =∠MOD =90°，∴四边形OMPD 是矩形，∴OM =PD =t ，MP ⊥x 轴，∴BN ⊥x 轴，∵BM +OM =OB ，∴t +t =3，解得t =32，∴P -32,-32，∴N -3,-32；如图，当PM =PB 时，作PD ⊥y 轴于D ，连接PN ，∵点P ，M ，B ，N 为顶点的四边形是菱形，∴PN ⊥BM ，NE =PE ，∴BM =2BE ，∴∠OEP =∠DOE =∠ODP =90°，∴四边形PDOE 是矩形，∴OE =PD =t ，∴BE =3-t ，∴t =2(3-t )，解得：t =2，∴P (-2，-1)，∴N (-2，1)；如图，当PB =MB 时，32-2t =t ，解得：t =6-32，∴PN =BP =BM =6-32，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，∴PE ⊥PM ，∴∠EON =∠OEP =∠EPN =90°，∴四边形OEPN 为矩形，∴PN =OE ，PN ⊥y 轴，∵∠OBC =45°，∴BE =PE =PB ⋅sin ∠OBC =6-32 ×22=32-3，∴OE =OB -BE =3-32-3 =6-32，∴点N 在y 轴上，∴N 0,3-32 ，综上所述，点N 的坐标为-3,-32或(-2，1)或0,3-32 ．【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，用待定系数法求一次函数的解析式，等腰三角形的分类和等腰三角形的性质，菱形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出符合条件的图形．2(2021·西藏·统考中考真题)在平面直角坐标系中，抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点．与y 轴交于点C ．且点A 的坐标为(-1，0)，点C 的坐标为(0，5)．(1)求该抛物线的解析式；(2)如图(甲)．若点P 是第一象限内抛物线上的一动点．当点P 到直线BC 的距离最大时，求点P 的坐标；(3)图(乙)中，若点M 是抛物线上一点，点N 是抛物线对称轴上一点，是否存在点M 使得以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =-x 2+4x +5；(2)P 52，354；(3)存在，M 的坐标为：(3，8)或(-3，-16)或(7，-16)．【分析】(1)将A 的坐标(-1，0)，点C 的坐(0，5)代入y =-x 2+bx +c ，即可得抛物线的解析式为y =-x 2+4x +5；(2)过P 作PD ⊥x 轴于D ，交BC 于Q ，过P 作PH ⊥BC 于H ，由y =-x 2+4x +5可得B (5，0)，故OB =OC ，△BOC 是等腰直角三角形，可证明△PHQ 是等腰直角三角形，即知PH =PQ2，当PQ 最大时，PH 最大，设直线BC 解析式为y =kx +5，将B (5，0)代入得直线BC 解析式为y =-x +5，设P (m ，-m 2+4m +5)，(0<m <5)，则Q (m ，-m +5)，PQ =-m -52 2+254，故当m =52时，PH 最大，即点P 到直线BC的距离最大，此时P 52，354 ；(3)抛物线y =-x 2+4x +5对称轴为直线x =2，设M (s ，-s 2+4s +5)，N (2，t )，而B (5，0)，C (0，5)，①以MN 、BC 为对角线，则MN 、BC 的中点重合，可列方程组s +22=5+02-s 2+4s +5+t 2=0+52，即可解得M (3，8)，②以MB 、NC 为对角线，则MB 、NC 的中点重合，同理可得s +52=2+02-s 2+4s +4+02=t +52，解得M (-3，-16)，③以MC 、NB 为对角线，则MC 、NB 中点重合，则s +02=2+52-s 2+4s +5+52=t +02，解得M (7，-16)．【详解】解：(1)将A 的坐标(-1，0)，点C 的坐(0，5)代入y =-x 2+bx +c 得：0=-1-b +c 5=c ，解得b =4c =5 ，∴抛物线的解析式为y =-x 2+4x +5；(2)过P 作PD ⊥x 轴于D ，交BC 于Q ，过P 作PH ⊥BC 于H ，如图：在y =-x 2+4x +5中，令y =0得-x 2+4x +5=0，解得x =5或x =-1，∴B (5，0)，∴OB =OC ，△BOC 是等腰直角三角形，∴∠CBO =45°，∵PD ⊥x 轴，∴∠BQD =45°=∠PQH ，∴△PHQ 是等腰直角三角形，∴PH =PQ2，∴当PQ 最大时，PH 最大，设直线BC 解析式为y =kx +5，将B (5，0)代入得0=5k +5，∴k =-1，∴直线BC 解析式为y =-x +5，设P (m ，-m 2+4m +5)，(0<m <5)，则Q (m ，-m +5)，∴PQ =(-m 2+4m +5)-(-m +5)=-m 2+5m =-m -52 2+254，∵a =-1<0，∴当m =52时，PQ 最大为254，∴m =52时，PH 最大，即点P 到直线BC 的距离最大，此时P 52，354；(3)存在，理由如下：抛物线y =-x 2+4x +5对称轴为直线x =2，设M (s ，-s 2+4s +5)，N (2，t )，而B (5，0)，C (0，5)，①以MN 、BC 为对角线，则MN 、BC 的中点重合，如图：∴s +22=5+02-s 2+4s +5+t2=0+52，解得s =3t =-3 ，∴M (3，8)，②以MB 、NC 为对角线，则MB 、NC 的中点重合，如图：∴s +52=2+02-s 2+4s +4+02=t +52，解得s=-3t =-21 ，∴M (-3，-16)，③以MC 、NB 为对角线，则MC 、NB 中点重合，如图：s +02=2+52-s 2+4s +5+52=t +02，解得s =7t =-11 ，∴M (7，-16)；综上所述，M 的坐标为：(3，8)或(-3，-16)或(7，-16)．【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、函数图象上点坐标的特征、等腰直角三角形、平行四边形等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度．3(2021·山东泰安·统考中考真题)二次函数y =ax 2+bx +4(a ≠0)的图象经过点A (-4,0)，B (1,0)，与y 轴交于点C ，点P 为第二象限内抛物线上一点，连接BP 、AC ，交于点Q ，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ．(1)求二次函数的表达式；(2)连接BC ，当∠DPB =2∠BCO 时，求直线BP 的表达式；(3)请判断：PQQB是否有最大值，如有请求出有最大值时点P 的坐标，如没有请说明理由．【答案】(1)y =-x 2-3x +4；(2)y =-158x +158；(3)PQ QB有最大值为45，P 点坐标为(-2,6)【分析】(1)将A (-4,0)，B (1,0)代入y =ax 2+bx +4(a ≠0)中，列出关于a 、b 的二元一次方程组，求出a 、b 的值即可；(2)设BP 与y 轴交于点E ，根据PD ⎳y 轴可知，∠DPB =∠OEB ，当∠DPB =2∠BCO ，即∠OEB =2∠BCO ，由此推断△OEB 为等腰三角形，设OE =a ，则CE =4-a ，所以BE =4-a ，由勾股定理得BE 2=OE 2+OB 2，解出点E 的坐标，用待定系数法确定出BP 的函数解析式即可；(3)设PD 与AC 交于点N ，过B 作y 轴的平行线与AC 相交于点M ．由A 、C 两点坐标可得AC 所在直线表达式，求得M 点坐标，则BM =5，由BM ⎳PN ，可得△PNQ ∽△BMQ ，PQ QB=PN BM =PN5，设P (a 0,-a 20-3a 0+4)(-4<a 0<0)，则N (a 0,a 0+4)PQ QB =-a 20-3a 0+4-(a 0+4)5=-a 20-4a 05=-(a 0+2)2+45，根据二次函数性质求解即可．【详解】解：(1)由题意可得：a ⋅(-4)2+b ⋅(-4)+4=0a +b +4=0解得：a =-1b =-3 ，∴二次函数的表达式为y =-x 2-3x +4；(2)设BP 与y 轴交于点E ，∵PD ⎳y 轴，∴∠DPB =∠OEB ，∵∠DPB =2∠BCO ，∴∠OEB =2∠BCO ，∴∠ECB =∠EBC ，∴BE =CE ，设OE =a ，则CE =4-a ，∴BE =4-a ，在Rt △BOE 中，由勾股定理得BE 2=OE 2+OB 2，∴(4-a )2=a 2+12解得a =158，∴E 0,158，设BE 所在直线表达式为y =kx +e (k ≠0)∴k ⋅0+e =158,k ⋅1+e =0.解得k =-158,e =158. ∴直线BP 的表达式为y =-158x +158．(3)设PD 与AC 交于点N ．过B 作y 轴的平行线与AC 相交于点M ．由A 、C 两点坐标分别为(-4,0)，(0,4)可得AC 所在直线表达式为y =x +4∴M 点坐标为(1,5)，BM =5由BM ⎳PN ，可得△PNQ ∽△BMQ ，∴PQ QB=PN BM =PN 5设P (a 0,-a 20-3a 0+4)(-4<a 0<0)，则N (a 0,a 0+4)∴PQ QB=-a 20-3a 0+4-(a 0+4)5=-a 20-4a 05=-(a 0+2)2+45，∴当a 0=-2时，PQQB 有最大值0.8，此时P 点坐标为(-2,6)．【点睛】本题主要考查二次函数以及一次函数解析式的确定，函数图像的性质，相似三角形，勾股定理等知识点，熟练运用待定系数法求函数解析式是解题关键，本题综合性强，涉及知识面广，难度较大，属于中考压轴题．4(2020·辽宁阜新·中考真题)如图，二次函数y =x 2+bx +c 的图象交x 轴于点A -3,0 ，B 1,0 ，交y 轴于点C ．点P m ,0 是x 轴上的一动点，PM ⊥x 轴，交直线AC 于点M ，交抛物线于点N ．(1)求这个二次函数的表达式；(2)①若点P 仅在线段AO 上运动，如图1．求线段MN 的最大值；②若点P 在x 轴上运动，则在y 轴上是否存在点Q ，使以M ，N ，C ，Q 为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =x 2+2x -3；(2)①94，②存在，Q 1(0,-32-1),Q 2(0,32-1)【分析】(1)把A (-3,0),B (1,0)代入y =x 2+bx +c 中求出b ，c 的值即可；(2)①由点P m ,0 得M (m ,-m -3),N m ,m 2+2m -3 ，从而得MN =(-m -3)-m 2+2m -3 ，整理，化为顶点式即可得到结论；②分MN =MC 和MC =2MN 两种情况，根据菱形的性质得到关于m 的方程，求解即可．【详解】解：(1)把A (-3,0),B (1,0)代入y =x 2+bx +c 中，得0=9-3b +c ,0=1+x +c .解得b =2,c =-3. ∴y =x 2+2x -3．(2)设直线AC 的表达式为y =kx +b ，把A (-3,0),C (0,-3)代入y =kx +b ．得，0=-3k +b ,-3=b . 解这个方程组，得k =-1,b =-3. ∴y =-x -3．∵点P m ,0 是x 轴上的一动点，且PM ⊥x 轴．∴M (m ,-m -3),N m ,m 2+2m -3 ． ∴MN =(-m -3)-m 2+2m -3 =-m 2-3m=-m +32 2+94．∵a =-1<0，∴此函数有最大值．又∵点P 在线段OA 上运动，且-3<-32<0∴当m =-32时，MN 有最大值94． ②∵点P m ,0 是x 轴上的一动点，且PM ⊥x 轴．∴M (m ,-m -3),N m ,m 2+2m -3 ． ∴MN =(-m -3)-m 2+2m -3 =-m 2-3m(i )当以M ，N ，C ，Q 为顶点的四边形为菱形，则有MN =MC ，如图，∵C (0，-3)∴MC =(m -0)2+(-m -3+3)2=2m 2∴-m 2-3m =2m 2整理得，m 4+6m 3+7m 2=0∵m 2≠0，∴m 2+6m +7=0，解得，m 1=-3+2，m 2=-3-2∴当m =-3+2时，CQ =MN =32-2，∴OQ =-3-(32-2)=-32-1∴Q (0，-32-1)；当m =-3-2时，CQ =MN =-32-2，∴OQ =-3-(-32-2)=32-1∴Q (0，32-1)；(ii )若MC =2MN ，如图，则有-m 2-3m =22×2m 2整理得，m 2+4m =0解得，m 1=-4，m 2=0(均不符合实际，舍去)综上所述，点Q 的坐标为Q 1(0,-32-1),Q 2(0,32-1)【点睛】本题考查了二次函数综合题，解(1)的关键是待定系数法；解(2)的关键是利用线段的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解(3)的关键是利用菱形的性质得出关于m 的方程，要分类讨论，以防遗漏．5(2020·天津·中考真题)已知点A (1,0)是抛物线y =ax 2+bx +m (a ,b ,m 为常数，a ≠0,m <0)与x 轴的一个交点．(1)当a =1,m =-3时，求该抛物线的顶点坐标；(2)若抛物线与x 轴的另一个交点为M (m ,0)，与y 轴的交点为C ，过点C 作直线l 平行于x 轴，E 是直线l 上的动点，F 是y 轴上的动点，EF =22．①当点E 落在抛物线上(不与点C 重合)，且AE =EF 时，求点F 的坐标；②取EF 的中点N ，当m 为何值时，MN 的最小值是22？【答案】(1)抛物线的顶点坐标为(-1,-4)；(2)①点F 的坐标为(0,-2-7)或(0,-2+7)；②当m 的值为-32或-12时，MN 的最小值是22．【分析】(1)根据a =1,m =-3，则抛物线的解析式为y =x 2+bx -3，再将点A (1，0)代入y =x 2+bx -3，求出b 的值，从而得到抛物线的解析式，进一步可求出抛物线的顶点坐标；(2)①首先用含有m 的代数式表示出抛物线的解析式，求出C (0,m )，点E (m +1,m ).过点A 作AH ⊥l 于点H ,在Rt △EAH 中，利用勾股定理求出AE 的值，再根据AE =EF ，EF =22，可求出m 的值，进一步求出F 的坐标；②首先用含m 的代数式表示出MC 的长，然后分情况讨论MN 什么时候有最值.【详解】解：(1)当a =1，m =-3时，抛物线的解析式为y =x 2+bx -3．∵抛物线经过点A (1,0)，∴0=1+b-3．解得b=2．∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3．∵y=x2+2x-3=(x+1)2-4，∴抛物线的顶点坐标为(-1,-4)．(2)①∵抛物线y=ax2+bx+m经过点A(1,0)和M(m,0)，m<0，∴0=a+b+m，0=am2+bm+m，即am+b+1=0．∴a=1，b=-m-1．∴抛物线的解析式为y=x2-(m+1)x+m．根据题意，得点C(0,m)，点E(m+1,m)．过点A作AH⊥l于点H．由点A(1,0)，得点H(1,m)．在Rt△EAH中，EH=1-(m+1)=-m，HA=0-m=-m，∴AE=EH2+HA2=-2m．∵AE=EF=22，∴-2m=22．解得m=-2．此时，点E(-1,-2)，点C(0,-2)，有EC=1．∵点F在y轴上，∴在Rt△EFC中，CF=EF2-EC2=7．∴点F的坐标为(0,-2-7)或(0,-2+7)．②由N是EF的中点，得CN=12EF=2．根据题意，点N在以点C为圆心、2为半径的圆上．由点M(m,0)，点C(0,m)，得MO=-m，CO=-m．∴在Rt△MCO中，MC=MO2+CO2=-2m．当MC≥2，即m≤-1时，满足条件的点N落在线段MC上，MN的最小值为MC-NC=-2m-2=22，解得m=-3 2；当MC<2，-1<m<0时，满足条件的点N落在线段CM的延长线上，MN的最小值为NC-MC=2-(-2m)=22，解得m=-1 2．∴当m的值为-32或-12时，MN的最小值是22．【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线上的点的坐标满足抛物线方程等，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．．6(2023·重庆·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=14x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中B3,0，C0,-3．(1)求该抛物线的表达式；(2)点P 是直线AC 下方抛物线上一动点，过点P 作PD ⊥AC 于点D ，求PD 的最大值及此时点P 的坐标；(3)在(2)的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E 为点P 的对应点，平移后的抛物线与y 轴交于点F ，Q 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以QF 为腰的△QEF 是等腰三角形的点Q 的坐标，并把求其中一个点Q 的坐标的过程写出来．【答案】(1)y =14x 2+14x -3(2)PD 取得最大值为45，P -2,-52 (3)Q 点的坐标为92,-1 或92,5 或92,74．【分析】(1)待定系数法求二次函数解析式即可求解；(2)直线AC 的解析式为y =-34x -3，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交AC 于点Q ，设P t ,14t 2+14t -3 ，则Q t ,-34t -3 ，则PD =45PQ ，进而根据二次函数的性质即可求解；(3)根据平移的性质得出y =14x -92 2-4916，对称轴为直线x =92，点P -2,-52 向右平移5个单位得到E 3,-52 ，F 0,2 ，勾股定理分别表示出EF 2,QE 2,QF 2，进而分类讨论即可求解．【详解】(1)解：将点B 3,0 ，C 0,-3 ．代入y =14x 2+bx +c 得，14×32+3b +c =0c =-3解得：b =14c =-3 ，∴抛物线解析式为：y =14x 2+14x -3，(2)∵y =14x 2+14x -3与x 轴交于点A ，B ，当y =0时，14x 2+14x -3=0解得：x 1=-4,x 2=3，∴A -4,0 ,∵C 0,-3 ．设直线AC 的解析式为y =kx -3，∴-4k -3=0解得：k =-34∴直线AC 的解析式为y =-34x -3，如图所示，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交AC 于点Q ，设P t ,14t 2+14t -3 ，则Q t ,-34t -3 ，∴PQ =-34t -3-14t 2+14t -3 =-14t 2-t ，∵∠AQE =∠PQD ，∠AEQ =∠QDP =90°，∴∠OAC =∠QPD ，∵OA =4,OC =3，∴AC =5，∴cos ∠QPD =PD PQ =cos ∠OAC =AO AC=45，∴PD =45PQ =45-14t 2-t =-15t 2-45t =-15t +2 2+45，∴当t =-2时，PD 取得最大值为45，14t 2+14t -3=14×-2 2+14×-2 -3=-52，∴P -2,-52 ；(3)∵抛物线y =14x 2+14x -3=14x +12 2-4916将该抛物线向右平移5个单位，得到y =14x -92 2-4916，对称轴为直线x =92，点P -2,-52 向右平移5个单位得到E 3,-52 ∵平移后的抛物线与y 轴交于点F ，令x =0，则y =14×92 2-4916=2，∴F 0,2 ,∴EF 2=32+2+52 2=1174∵Q 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．则Q 点的横坐标为92，设Q 92,m ，∴QE 2=92-3 2+m +52 2，QF 2=92 2+m -2 2，当QF =EF 时，92 2+m -2 2=1174，解得：m =-1或m =5，当QE =QF 时，92-3 2+m +522=92 2+m -2 2，解得：m =74综上所述，Q 点的坐标为92,-1 或92,5 或92,74．【点睛】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，待定系数法求解析式，二次函数的平移，线段周长问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．题型02利用二次函数解决两条线段之和的最值问题【解题思路】抛物线中的线段最值问题有三种形式：2. 两条线段和的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”，解决这类问题的方法是：作其中一个定点关于已知直线的对称点，连接对称点与另一个定点，它们与已知直线的交点即为所求的点. 其变形问题有三角形周长最小或四边形周长最小等.【常见模型一】(两点在河的异侧)：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小.方法：如右图，连接AB，与直线L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。
专题3-1 二次函数中的10类定值、定点问题(原卷版)
专题3-1 二次函数中的10类定值、定点问题二次函数背景下的定值与定点问题，解析法类似于高中，但并不超纲！因为解题方法比较特殊，同学们要专门学习和练习，才能在考场上应对自如，这些方法包括联立、转化等，对同学们的代数功底与几何功底都有较高的要求.知识点梳理一、定值问题二、定点问题题型一 面积定值2022·山东淄博·中考真题2023·福建厦门三模题型二 线段长为定值2024届湖北天门市九年级月考2024届福建龙岩市统考期中2020·西藏·中考真题题型二 线段和定值2023广州市二中月考2022·四川巴中·中考真题2024届湖北黄石市·九年级统考2023·四川乐山·统考二模2023·海口华侨中学考模2023·江苏徐州·4月模拟2022·湖南张家界·中考真题题型三 加权线段和定值2023·四川广元·中考真题2020·四川德阳·中考真题题型四 线段乘积为定值2023·四川南充·中考真题2024届·武汉市东湖高新区统考2024届福建省福州屏东中学月考2024届福州市晋安区统考2023·福建福州·校考三模题型五 比值为定值2023年广西钦州市一模2023福建厦门一中模拟2023年福州市屏东中学中考模拟武汉·中考真题题型六 横（纵）坐标定值2023·湖北潜江、天门、仙桃、江汉油田·中考真题2024届湖北潜江市初12校联考题型七 角度为定值2023·成都武侯区西川中学三模四川乐山·统考中考真题题型八 其它定值问题2023·浙江湖州·统考一模2024届福建省南平市统考2023年湖北省武汉市新观察中考四调题型九 结合韦达定理求定点2023年湖北省武汉市外国语学校中考模拟2024届武汉市青山区九年级统考2024届武汉市新洲区12月统考2024届·福建厦门市第九中学期中2023·武汉光谷实验中学中考模拟2023广东省梅州市九年级下期中2024届福州市九校联盟期中2023年湖北省武汉市新观察中考四调题型十 已知定值求定点2024届武汉市洪山区九年级统考2024届湖北省武汉市新洲区九年级上期中2023年广州市天河外国语学校中考三模知识点梳理一、定值问题一般来说，二次函数求解几何线段代数式定值问题属于定量问题，方法采用:1.参数计算法：即在图形运动中，选取其中的变量(如线段长，点坐标)作为参数,将要求的定值用参数表示出，然后消去参数即得定值。
二次函数中线段周长最值及定值问题(八大题型)学生版
二次函数中线段周长最值及定值问题(八大题型)通用的解题思路：一、二次函数中的线段最值问题有三种形式:1.平行于坐标轴的线段的最值问题:常通过线段两端点的坐标差表示线段长的函数关系式,运用二次函数性质求解，求最值时应注意:①当线段平行于y轴时,用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标;②当线段平行于x轴时,用右端点的横坐标减去左端点的横坐标.在确定最值时,函数自变量的取值范围应确定正确。
2.两条线段和的最值问题:解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”,解决这类问题的方法是:作其中一个定点关于已知直线的对称点,连接对称点与另一个定点,它们与已知直线的交点即为所求的点,其变形问题有三角形周长最小或四边形周长最小等.【常见模型一】(两点在河的异侧)：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小.方法：如右图，连接AB，与直线L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。
【常见模型二】(两点在河的同侧)：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小.方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B'，连接AB',与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段AB'的长。
3. 两条线段差的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“三角形任何两边之差小于第三边”，解决这类问题的方法是：求解时,先根据原理确定线段差取最值时的图形,再根据已知条件求解。
【常见模型一】(两点在同侧)：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值方法：如右图，延长射线AB，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB【常见模型二】(两点在异侧)：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值。
方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B'，延长射线AB'，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB'二、二次函数中的定值问题一般来说，二次函数求解几何线段代数式定值问题属于定量问题，方法采用:1.参数计算法:即在图形运动中，选取其中的变量(如线段长，点坐标)作为参数,将要求的定值用参数表示出，然后消去参数即得定值。
2018二次函数压轴题题型归纳
一、二次函数常考点汇总1、两点间的距离公式：AB = y j(y A - y B )2 + (XΛ-X f) )^2、中点坐标：线段也的中点C的坐标为：空竺,2±旦纣I 2 2 )直线y = k l x + b l(k]≠θ)与y = k2x + b2 ( Ar2≠ 0 )的位置关系：(1 )两直线平行Ok\=灯且* 也 (2)两直线相交<=> ≠ Ar2(3)两直线重合U>k∖=k^且S=S(4)两直线垂直<=> k l k2 =-13、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下：①用△和参数的其他要求确定参数的取值范围；②解方程，求出方程的根；(两种形式：分式、二次根式)③分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。
例:关于X的一元二次方程X2—2(∕n + l)x + m2=0有两个整数根,m<5且加为整数，求加的值。
4、二次函数与X轴的交点为整数点问题。
(方法同上)例：若抛物线y = nix2 +(3m +1 )x + 3与尤轴交于两个不同的整数点，且〃[为正整数，试确定此抛物线的解析式。
5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。
举例如下：已知关于X的方程ιnx2 -3(/W-I)x+2m-3 = 0 ( 为实数)，求证：无论加为何值，方程总有一个固定的根。
解：当加=0时，x = l;当加Ho时，Δ = (m-3)2≥ 0 , X= —■~' ° , X l = 2- — > x2 = 1 ；2m m 综上所述：无论加为何值，方程总有一个固定的根是1。
6、函数过固定点问题，举例如下：已知抛物线y = x2-nιx + m-2 S是常数)，求证：不论加为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。
解：把原解析式变形为关于加的方程y-√+2 = ,π(l-x);：.-V--V^+2= °,解得：-v = _1；Λ抛物线总经过一个固定的点(1, I-X = O X = 1 —1)。
二次函数中的定值问题
二次函数中的定值问题二次函数定值问题是中考压轴题常考考点，解决二次函数中的定值问题，可以根据特殊位置，特殊点去探求定值是多少，做到心中有数;其次再证明在一般情况下这个结论也成立，在运动变化过程中，应注意分清哪些量是变量，哪些是常量，其中二次函数定值问题常与一次函数结合一起，利用韦达定理解决二次函数中的定值问题是常用的解题思路！例1.抛物线y＝ax2﹣6x+c与x轴的交点分别为点A、点B（点A在点B左边），顶点为点D，△ABD为等边三角形．求ac的值例2.如图，已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A、B两点（A 点在B点左），与y轴交于C点，连接BC，P为对称轴右侧抛物线上的动点，直线PA交y轴于E点，直线PB交y轴于点D，判断的值是否为定值，若是，求出定值，若不是请说明理由．例3.在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+（a+1）x﹣a（a＞1）交x轴于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C．过点B且与抛物线仅有一个交点的直线y＝kx+b交y轴于点D，求的值．例4.已知抛物线C1：y＝x2﹣1与x轴于A，B两点，与y轴交于点C，点F的坐标为（0，﹣2），直线l分别交线段AF，BF（不含端点）于G，H两点．若直线l与抛物线C1有且只有一个公共点，设点G的横坐标为b，点H的横坐标为a，则a﹣b是定值吗？若是，请求出其定值，若不是，请说明理由．例5.如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣6与x轴分别相交于A，B两点（点A在点B的左侧），C是AB的中点，平行四边形CDEF的顶点D，E均在抛物线上．点F 在抛物线上，连接DF，求证：直线DF过一定点．解：联立得：，例6.Rt△ABC的三个顶点都在抛物线y＝﹣x2+4上，且直角顶点C在该抛物线的顶点处，设直线AB的解析式为y＝kx+b，试证明该直线必过一定点．例7.抛物线y＝﹣x2+2x+3;与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧），与y 轴交于点C，D为对称轴GT右边抛物线上的任意一点，连接AD，BD分别交GT于M、N两点，试证明MT+NT为定值．例8.如图，抛物线y＝﹣x2+3x﹣3;顶点D在x轴上，抛物线与直线l交于A、B两点．∠ADB＝90°，求证：直线l经过定点，并求出定点坐标．例10.如图已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．点N为y轴上一点，AN、BN交抛物线于E、F两点，求•的值．例11.在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝x2+x+2;的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线AQ，BQ 分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，EM+EN的值是否为定值？若是，请求出该定值;若不是，请说明理由．例12.已知y＝x2﹣2x﹣3过点A（﹣1，0）和点C（0，﹣3）．直线y＝kx+k+1与此抛物线交于M、N两点，在抛物线上是否存在定点Q，使得对于任意实数k，都有∠MQN＝90°，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．例13.如图，抛物线y＝x2+x﹣2;与x轴交于A（﹣2，0），B（1，0）两点，与y轴负半轴交于点C．经过定点P作一次函数y＝kx+与抛物线交于M，N两点．试探究是否为定值？请说明理由．例14.已知抛物线C1：y＝﹣x2+2x+3经过点（2，3），与x轴交于A（﹣1，0）、B两点．平移抛物线C1，使其顶点在y轴上，得到抛物线C2，过定点H（0，2）的直线交抛物线C2于M、N两点，过M、N的直线MR、NR与抛物线C2都只有唯一公共点，求证：R点在定直线上运动．例15.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx﹣3（k≠0）与抛物线y＝﹣x2相交于A，B两点（点A在点B的左侧），点B关于y轴的对称点为B'．试探究直线AB'是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标;若不是，请说明理由．练习1.抛物线y＝x2+x﹣2与x轴交于点A、点B（1，0），与y轴交于点C，连接AC，D点为抛物线上第三象限内一动点．过点N（﹣3，0）作y轴的平行线，交AD所在直线于点E，交BD所在直线于点F，在点D的运动过程中，求4NE+NF 的值．2.抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，直线l∥BC，直线l交抛物线于点M、N，直线AM交y轴于点P，直线AN交y轴于点Q，点P、Q的纵坐标为y P，y Q，求证：y P+y Q的值为定值．3.抛物线y＝x2﹣2x+1的顶点A在x轴上，与y轴交于点B．P为抛物线对称轴上顶点下方的一点，过点P作直线交抛物线于点E，F，交x轴于点M，求的值．4.抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，过点D（0，3）的直线交y＝﹣2x于M点，交抛物线于E、F两点，求﹣的值．5.抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于A（﹣2，0），B（4，0）两点交y轴于点C．点P在第四象限的抛物线上，过A，B，P作⊙O1，作PQ⊥x轴于Q，交⊙O于点H，求HQ的值．6.已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴正半轴交于点D，M、N为y轴上的两个不同的动点，且OM＝ON，射线DM、DN分别与抛物线交于P、Q两点，求的值．7.平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+4x的顶点为A（2，4），且经过坐标原点．若直线y＝kx﹣2k+5与抛物线交于M，N两点，点N关于抛物线对称轴的对称点为P，当k＜0时，试说明直线MP过一定点Q，并求出点Q的坐标．8.如图，抛物线y＝﹣x2+1的顶点C在y轴正半轴上，与x轴交于A、B两点（A 点在B点左边）直线AQ、BP分别交y轴于E、F两点，求OE+OF的值．9.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x﹣m（其中m＞0），交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴负半轴于点C．平面上一点E（m，2），过点E作任意一条直线交抛物线于P、Q两点，连接AP、AQ，分别交y轴于M、N两点，求证：OM•ON是一个定值．10.已知抛物线y＝x2,直线y＝kx+2与抛物线交于点E，F，点P是抛物线上的动点，延长PE，PF分别交直线y＝﹣2于M，N两点，MN交y轴于Q点，求QM•QN的值．11.如图，过点F（0，2）的直线y＝kx+b与抛物线y＝x2交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点（M在N的左侧），证明：无论k取何实数，+为定值，并求出该值．12.抛物线y＝x2﹣2x﹣3，2，直线y＝kx+k+1与抛物线C2交于M、N两点，在抛物线上是否存在定点Q，使得对于任意实数k都有∠MQN＝90°？若存在，求点Q的坐标;若不存在，请说明理由．13.抛物线y＝﹣x2+2x+3，交x轴于A、B两点，交y轴于点C，F为抛物线顶点，直线EF垂直于x轴于点E，点P是线段BE上的动点（除B、E外），过点P 作x轴的垂线交抛物线于点D．直线AD，BD分别与抛物线对称轴交于M、N 两点．试问，EM+EN是否为定值？如果是，请求出这个定值;如果不是，请说明理由．14.抛物线y＝x2﹣1交x轴于A，B两点（A在B的左边）．F是原点O关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线l分别交线段AF，BF（不含端点）于G，H两点．若直线l与抛物线只有一个公共点，求证：FG+FH的值是定值．15.在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣x﹣4的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．过A，B，P三点作⊙M，过点P作PE⊥x轴，垂足为D，交⊙M于点E．点P在运动过程中线段DE的长是否变化，若有变化，求出DE的取值范围;若不变，求DE 的长．16.抛物线y＝﹣x2+x+1与x轴交于点A，B．与y轴交于点C．平行于y轴的直线交抛物线于点M，交x轴于点N（2，0）．点D是抛物线上A，M之间的一动点，且点D不与A，M重合，连接DB交MN于点E．连接AD并延长交MN于点F．在点D运动过程中，3NE+NF是否为定值？若是，求出这个定值;若不是，请说明理由．17.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+，抛物线y＝﹣x2+ x+（a、b、c为常数，且a≠0）经过A、C两点，并与x轴的正半轴交于点B,若P是抛物线对称轴上一动点，且使△ACP周长最小，过点P任意作一条与y 轴不平行的直线交抛物线于M1（x1，y1），M2（x2，y2）两点，试问是否为定值，如果是，请求出结果，如果不是请说明理由．18.已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2m（m＞2），顶点为点M，抛物线与x轴交于A、B点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．若直线CM交x轴于点N，请求的值．。
九年级数学上册第二十二章二次函数知识点梳理(带答案)
九年级数学上册第二十二章二次函数知识点梳理单选题1、已知点A（－2，y1），B（1，y2），C（3，y3）在二次函数y=−2x2图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1<y3<y2B．y1<y2<y3C．y2<y1<y3D．y3<y1<y2答案：D分析：分别计算出自变量为-2、-1和3的函数值，然后比较函数值的大小．解：∵点A（-2，y1），B（1，y2），C（3，y3）在二次函数y=-2x2图象上，∴y1=-2×4=-8；y2=-2×1=-2；y3=-2×9=-18，∴y3＜y1＜y2．故选：D．小提示：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．2、已知抛物线y=x2+kx−k2的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是（）A．−5或2B．−5C．2D．−2答案：B分析：根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．解：函数y=x2+kx−k2向右平移3个单位，得：y=(x−3)2+k(x−3)−k2；再向上平移1个单位，得：y=(x−3)2+k(x−3)−k2+1，∵得到的抛物线正好经过坐标原点∴0=(0−3)2+k(0−3)−k2+1即k2+3k−10=0解得：k=−5或k=2∵抛物线y=x2+kx−k2的对称轴在y轴右侧∴x=−k＞02∴k＜0∴k=−5故选：B．小提示：此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．3、在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y＝ax＋b的图象不可能是( )A．B．C．D．答案：D分析：根据二次函数与一次函数的图象与性质进行判断即可．解：当a>0，b>0时，y=ax2+bx的开口上，与x轴的一个交点在x轴的负半轴，y=ax+b经过第一、二、三象限，且两函数图象交于x的负半轴，无选项符合；当a>0，b<0时，y=ax2+bx的开口向上，与x轴的一个交点在x轴的正半轴，y=ax+b经过第一、三、四象限，且两函数图象交于x的正半轴，故选项A正确，不符合题意题意；当a<0，b>0时，y=ax2+bx的开口向下，与x轴的一个交点在x轴的正半轴，y=ax+b经过第一、二、四象限，且两函数图象交于x的正半轴，C选项正确，不符合题意；当a<0，b<0时，y=ax2+bx的开口向下，与x轴的一个交点在x轴的负半轴，y=ax+b经过第二、三、四象限，B选项正确，不符合题意；只有选项D的两图象的交点不经过x轴，故选D.小提示：本题考查二次函数与一次函数图象的性质，解题的关键是根据a、b与0的大小关系进行分类讨论．4、在平面直角坐标系中，若抛物线y=2(x+5)(x−3)经一次变换后得到抛物线y=2(x+3)(x−5)，则这个变换可以是（）A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位C．向上平移8个单位D．向下平移8个单位答案：B分析：先将两解析式化成顶点式，然后根据平移前后的两抛物线的顶点坐标即可解答．解：y=2（x+5）（x-3）=2x2+4x-30=2（x+1）2-32，顶点坐标是（-1，-32）．y=2（x+3）（x-5）=2x2-4x-30=2（x-1）2-32，顶点坐标是（1，-32）．所以将抛物线y=2（x+5）（x-3）向右平移2个单位长度得到抛物线y=2（x+3）（x-5）．故选：B．小提示：本题主要考查了二次函数图像与平移变换，掌握平移的规律“左加右减，上加下减”是解答本题的关键．5、如图，已知抛物线y=ax2+bx−2的对称轴是x=−1，直线l∥x轴，且交抛物线于点P(x1,y1),Q(x2,y2)，下列结论错误．．的是（）A．b2>−8a B．若实数m≠−1，则a−b<am2+bmC．3a−2>0D．当y>−2时，x1⋅x2<0答案：C分析：先根据抛物线对称轴求出b=2a，再由抛物线开口向上，得到a>0，则b2+8a=4a2+8a>0由此即可判断A；根据抛物线开口向上在对称轴处取得最小值即可判断B；根据当x=1时，y=a+b−2<0，即可判断C；根据y>−2时，直线l与抛物线的两个交点分别在y轴的两侧，即可判断D．解：∵抛物线y=ax2+bx−2的对称轴是x=−1，∴−b=−1，2a∴b=2a，∵抛物线开口向上，∴a>0，∴b2+8a=4a2+8a>0，∴b2>−8a，故A说法正确，不符合题意；∵抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线x=-1，∴当x=-1时，y=a−b−2，最小值∴当实数m≠−1，则a−b−2<am2+bm−2，∴当实数m≠−1时，a−b<am2+bm，故B说法正确，不符合题意；∵当x=1时，y=a+b−2<0，∴a+2a-2＜0，即3a-2＜0，故C说法错误，符合题意；∵y>−2，∴直线l与抛物线的两个交点分别在y轴的两侧，∴x1⋅x2<0，故D说法正确，不符合题意；故选C．小提示：本题主要考查了根据二次函数的图象去判断式子符号，二次函数的系数与图象之间的关系等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．6、二次函数y=x2+2x+2的图象的对称轴是（）A．x=−1B．x=−2C．x=1D．x=2答案：A分析：将二次函数y=x2+2x+2写成顶点式，进而可得对称轴．解：∵y=x2+2x+2=(x+1)2+1．∴二次函数y=x2+2x+2的图象的对称轴是x=−1．故选A．小提示：本题考查了二次函数的性质，将一般式转化为顶点式是解题的关键．7、某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利润y（元）与降价x（元）之间的关系是y＝－2x2＋60x＋800，则利润获得最多为（）A．15元B．400元C．800元D．1250元答案：D分析：将函数关系式转化为顶点式，然后利用开口方向和顶点坐标即可求出最多的利润．解：y＝－2x2＋60x＋800＝－2（x－15）2＋1250∵－2＜0故当x＝15时，y有最大值，最大值为1250即利润获得最多为1250元故选：D．小提示：此题考查的是利用二次函数求最值，掌握将二次函数的一般式转化为顶点式求最值是解决此题的关键．8、抛物线y=ax2+bx+c经过点(−1,0)、(3,0)，且与y轴交于点(0,−5)，则当x=2时，y的值为（）A．−5B．−3C．−1D．5答案：A分析：先利用待定系数法求出抛物线解析式，再求函数值即可．解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过点(−1,0)、(3,0)，且与y轴交于点(0,−5)，∴{c=−5a−b+c=09a+3b+c=0，解方程组得{c=−5 a=53b=−103，∴抛物线解析式为y=53x2−103x−5，当x=2时，y=53×4−103×2−5=−5．故选择A．小提示：本题考查待定系数法求抛物线解析式，和函数值，掌握系数法求抛物线解析式方法和函数值求法是解题关键．9、如图，等腰Rt△ABC与矩形DEFG在同一水平线上，AB=DE=2,DG=3，现将等腰Rt△ABC沿箭头所指方向水平平移，平移距离x是自点C到达DE之时开始计算，至AB离开GF为止．等腰Rt△ABC与矩形DEFG的重合部分面积记为y，则能大致反映y与x的函数关系的图象为（）A．B．C．D．答案：B分析：根据平移过程，可分三种情况，当0≤x<1时，当1≤x<3时，当3≤x≤4时，利用直角三角形的性质及面积公式分别写出各种情况下y与x的函数关系式，再结合函数图象即可求解．过点C作CM⊥AB于N，DG=3，在等腰Rt△ABC中，AB=2，∴CN=1，①当0≤x<1时，如图，CM=x，∴PQ=2x，∴y=12⋅PQ⋅CM=12×2x⋅x=x2，∴0≤x<1，y随x的增大而增大；②当1≤x<3时，如图，∴y=S△ABC=12×2×1=1，∴当1≤x<3时，y是一个定值为1；③当3≤x≤4时，如图，CM=x−3，∴PQ=2(x−3)，∴y=12AB⋅CN−12PQ⋅CM=12×2×1−12×2×(x−3)2=1−(x−3)2,当x=3，y=1，当3<x<4，y随x的增大而减小，当x=4，y=0，结合ABCD选项的图象，故选：B．小提示：本题考查了动点函数问题，涉及二次函数的图象及性质，能够准确理解题意并分情况讨论是解题的关键．10、如图，在正方形ABCD中，AB=4，点P从点A出发沿路径A→B→C向终点C运动，连接DP，作DP的垂直平分线MN与正方形ABCD的边交于M，N两点，设点P的运动路程为x，△PMN的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是（）A．B．C．D．答案：A分析：分点P在AB和BC上两种情况，分别求出MN和PF长，利用面积公式求解．解：（1）如图，当0≤x≤4时，点P在AB上，过点N作NE⊥AD于点E，设MN与PD交于点F，∴NE=DC=AD，则PD=√PA2+AD2=√x2+42=√x2+16，又∵MN垂直平分PD，∴PF=12PD=12√x2+16，∴∠MDF+∠FMD=∠MNE+∠FME=90°，∴∠MNE=∠PDA，在△MNE和△PDA中，{∠A=∠NEMAD=EN∠PDA=∠MNE∴△APD≌△EMN，∴PD=MN=√x2+16，∴y=12MN⋅PF=12√x2+16⋅12√x2+16=14x2+4 ,（2）如图，当4＜x≤8时，点P在BC上，过点N作NE⊥CD于点E，设MN交PD于点F，则PD=√PC2+CD2=√(8−x)2+16 ,∴PF=12√(8−x)2+16用（1）的方法得MN=√(8−x)2+16,y=12√(8−x)2+16⋅12√(8−x)2+16=14(x−8)2+4，故y={14x2+4(0≤x≤4)14(x−8)2+4(4＜x≤8)故选择A．小提示：本题考查分段函数，解决问题的关键是根据点P的位置确定自变量的取值范围得出函数解析式．填空题11、抛物线y=3−x2位于y轴左侧的部分是______的．（填“上升”或“下降”）答案：上升分析：根据二次函数图象的性质解答即可．解：∵二次项系数-1<0，∴抛物线开口向下，∵对称轴是直线y=0，∴抛物线y=3−x2位于y轴左侧的部分是上升的．所以答案是：上升．小提示：本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数y=ax2+k的性质是解答本题的关键．对于二次函数y=ax2+k (a，k为常数，a≠0)，当a>0时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当a<0时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小．12、如图，平行四边形ABCD中，AB=4，点D的坐标是(0，8)，以点C为顶点的抛物线经过x轴上的点A，B，则此抛物线的解析式为__________________．答案：y=−2x2+16x−24分析：根据平行四边形的性质得到CD=AB=4，即C点坐标为(4,8)，进而得到A点坐标为(2,0)，B点坐标为(6,0)，利用待定系数法即可求得函数解析式．∵四边形ABCD为平行四边形∴CD=AB=4∴C点坐标为(4,8)∴A点坐标为(2,0)，B点坐标为(6,0)设函数解析式为y=a(x−2)(x−6)，代入C点坐标有8=a(4−2)(4−6)解得a=−2∴函数解析式为y=−2(x−2)(x−6)，即y=−2x2+16x−24故答案为y=−2x2+16x−24．小提示：本题考查了平行四边形的性质，和待定系数法求二次函数解析式，问题的关键是求出A点或B点的坐标．13、如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与y轴的交点为（0，3），它的对称轴为直线x=1，则下列结论中：①c=3；②2a+b=0；③8a-b+c>0；④方程ax2+bx+c=0的其中一个根在2，3之间，正确的有_______（填序号）．答案：①②④分析：由二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与y轴的交点为（0，3），即可判断①；由抛物线的对称轴为直线x=1，即可判断②；抛物线与x轴的一个交点在-1到0之间，抛物线对称轴为直线x=1，即可判断④，由抛物线开口向下，得到a<0，再由当x=-1时，a−b+c<0，即可判断③．解：∵二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与y轴的交点为（0，3），∴c=3，故①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴−b=1，即2a+b=0，故②正确；2a∵抛物线与x轴的一个交点在-1到0之间，抛物线对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点在2到3之间，故④正确；∵抛物线开口向下，∴a<0，∵当x=-1时，a−b+c<0，∴a−b+c+7a<0即8a−b+c<0，故③错误，所以答案是：①②④．小提示：本题主要考查了二次函数图像的性质，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数图像的性质．14、如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y=−0.2x2+x+2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m，则他距篮筐中心的水平距离OH是_________m．答案：4分析：将y=3.05代入y=−0.2x2+x+2.25中可求出x，结合图形可知x=4，即可求出OH．解：当y=3.05时，−0.2x2+x+2.25=3.05，解得：x=1或x=4，结合图形可知：OH=4m，所以答案是：4小提示：本题考查二次函数的实际应用：投球问题，解题的关键是结合函数图形确定x的值．15、如图，一次足球训练中，一球员从球门正前方将球射向球门，球射向球门的路线呈抛物线，当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米，当足球下落到离地面53米时，足球飞行的水平距离为__________米．答案：10分析：设抛物线的解析式为y=a(x−6)2+3，代入原点，确定解析式为y=−112x2+x，当y=53米时，求得x的值即可．设抛物线的解析式为y=a(x−6)2+3，代入原点，得：0=a(0−6)2+3，解得a=−112，∴抛物线的解析式为y=−112x2+x，当y=53米时，−112x2+x=53，解得x=10，x=2（舍去），足球飞行的水平距离为10米，所以答案是：10．小提示：本题考查了抛物线的解析式，已知函数值求自变量值，熟练掌握待定系数法是解题的关键．解答题16、李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．(1)请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；(2)若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？答案：(1)y=−0.2x+8.4(1≤x≤10且x为整数)．(2)李大爷每天应购进这种水果7箱，获得的利润最大，最大利润是140元．分析：（1）根据题意列出y=8.2−0.2(x−1)，得到结果．（2）根据销售利润=销售量×（售价-进价），利用（1）结果，列出销售利润w与x的函数关系式，即可求出最大利润．（1）解：由题意得y=8.2−0.2(x−1)=−0.2x+8.4∴批发价y与购进数量x之间的函数关系式是y=−0.2x+8.4(1≤x≤10，且x为整数)．（2）解：设李大爷销售这种水果每天获得的利润为w元则w=[12−0.5(x−1)−y]⋅10x=[12−0.5(x−1)−(−0.2x+8.4)]⋅10x=−3x2+41x∵a=−3<0∴抛物线开口向下∵对称轴是直线x=416∴当1≤x≤41时，w的值随x值的增大而增大6∵x为正整数，∴此时，当x=6时，w=138最大当41≤x≤10时，w的值随x值的增大而减小6∵x为正整数，∴此时，当x=7时，w=140最大∵140>138∴李大爷每天应购进这种水果7箱，获得的利润最大，最大利润是140元．小提示：本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，最大销售利润的问题常利用二次函数的增减性来解答，解题关键是理解题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案进行解决．17、某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高x元．（1）服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？答案：（1）2元；（2）当服装店将销售单价50元时，得到最大利润是4000元分析：（1）根据题意，通过列一元二次方程并求解，即可得到答案；（2）设利润为M元，结合题意，根据二次函数的性质，计算得利润最大值对应的x的值，从而得到答案．（1）由题意列方程得：（x＋40-30）（300-10x）＝3360解得：x1＝2，x2＝18∵要尽可能减少库存，∴x2＝18不合题意，故舍去∴T恤的销售单价应提高2元；（2）设利润为M 元，由题意可得：M ＝（x ＋40-30）（300-10x ）＝-10x 2＋200x ＋3000＝−10(x −10)2+4000 ∴当x ＝10时，M 最大值＝4000元 ∴销售单价：40＋10＝50元∴当服装店将销售单价50元时，得到最大利润是4000元．小提示：本题考查了一元二次方程、二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程、二次函数的性质，从而完成求解．18、在平面直角坐标系中，设二次函数y =−12(x −2m )2+3−m （m 是实数）． (1)当m =2时，若点A (8,n )在该函数图象上，求n 的值．(2)小明说二次函数图象的顶点在直线y =−12x +3上，你认为他的说法对吗？为什么？(3)已知点P(a +1,c)，Q(4m −5+a,c)都在该二次函数图象上，求证：c ≤138．答案：(1)-7 (2)对，理由见解析 (3)见解析分析：（1）把m =2，点A （8，n ）代入解析式即可求解；（2）由抛物线解析式，得顶点是（2m ，3-m ），把x ＝2m 代入y =−12x +3，求出y 值与3-m 比较，若相等则即可判断小明说法正确，否则说法错误；（3）由点P （a +1，c ），Q （4m -5+a ，c ）的纵坐标相同，即可求得对称轴为直线x =a+1+4m−5+a2=a +2m -2，即可得出a +2m -2=2m ，求得a =2，得到P （3，c ），代入解析式即可得到 c =-12（3-2m ）2+3-m ＝-2m 2+5m -32＝-2(m -54)2+138，根据二次函数的性质即可证得结论．(1)解：当m ＝2时，y =-12（x -4）2+1 ∵A （8，n ）在函数图象上， ∴n =-12（8-4）2+1=-7(2)解：由题意得，顶点是（2m，3-m）当x＝2m时，y=-12×2m+3=-m+3∴顶点（2m，3-m）在直线y=-12x+3上(3)证明：∵P（a+1,c），Q（4m-5+a，c）都在二次函数的图象上∴对称轴是直线x=a+1+4m-5+a2=a+2m-2∴a+2m-2＝2m，∴a＝2，∴P（3，c），把P（3，c）代入抛物线解析式，得∴c=-12（3-2m）2+3-m＝-2m2+5m-32＝-2(m-54)2+138，∵-2<0，∴c有最大值为138，∴c≤138．小提示：本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．。
二次函数压轴题基本方法和结构
二次函数压轴基本结构和解题方法一、线1、线段与距离 （1）改“斜”归正已知：A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2),直线AB ：y =kx +b ，AB ⊥BC 水平线段：AC =|x 1−x 2| 铅垂线段：AC =|y 1−y 2|斜线段： AB =√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√k 2+1|x 1−x 2|（2）点到直线距离公式：d =PH =|km +b −n|√k 2+1（3）于涵定理 一般位置：条件：直线AB 交抛物线（二次项系数为a ）于AB 两点，铅垂线PQ 交抛物线于P ，交直线AB 于P ，AE ⊥PQ ，BF ⊥PQ 结论：①PQ =|a|∙AE ∙BF ；S △PAB =12PQ ∙(AE +BF )=12|a |∙AE ∙BF ∙(AE +BF )=12|a (x A −x P )(x P −x B )(x A −x B )|特殊位置① 若AB 为水平直线： PQ =|a|∙AQ ∙BQ ② 若AB 为水平直线，且AP ⊥BP ： PQ =1|a|（PQ =|a|∙AQ ∙BQ ，且PQ 2=AQ ∙BQ ）③ 若AB 为水平直线，且P 为抛物线顶点（类似于圆中的垂径结构）AB =√4PQ|a|④ 若AB 为x 轴，且P 为抛物线顶点:AB =√∆|a|（4）焦点准线焦点准线的定义：将抛物线的顶点向上/下平移14|a|个单位，就得到焦点和准线的位置。
焦点：F(−b2a ,14a)；准线：直线y=−14a条件：点P是抛物线上任意一点，过P点的直线（非铅垂线）与抛物线有位移公共点（“切线”），与对称轴交于S，与过顶点的水平线交于A，PM⊥准线于M；PQ过焦点F，过P、Q 的切线交于T结论：①PF=PM,DE=DF②PF=FS③FA⊥PS,PA=SA④当直线PQ绕焦点F转动时候，T点在准线上移动（阿基米德三角形特殊情况）⑤TP⊥TQ,TM=TN⑥以MN为直径的圆切PQ于F，以PQ为直径的圆切MN于T准线2、平行“弦”条件：AB//CD//l P结论：x A+x B=x C+x D=2x P变式一：若CE和DF为铅垂线，则AE=BF变式二：若将抛物线向下平移交直线AB于E、F，则AE=BF变式三：将抛物线沿着PQ方向平移，若AB//PQ，则AB=EF，AE=BF3、线段相等和比值（1）左右对称（纵向角平分线）特殊情况：条件：P为抛物线（顶点为M）对称轴上一点，过P点的直线PA交抛物线于C，过C作水平直线BC交抛物线于B点，连接AB交对称轴于Q，连接PB交抛物线于D；结论：①k PA+k PB=0；②PM=QM一般情况：条件：过抛物线内一点T作铅垂、水平直线，交抛物线于M、B、C，在铅垂线上取一点P，连接PC交抛物线于A，连接AB交铅垂线于Q结论：TBTC =QMPM（2）上下对称条件：水平直线与抛物线交于P、Q两点，直线PA、PB分别交抛物线于A、B，且∠APQ=∠BPQ，连接AB,过Q点的直线作抛物线的切线。
二次函数定值结论-概述说明以及解释
二次函数定值结论-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分：二次函数是高中数学中重要的一个概念，它在数学和物理等不同领域都有着广泛的应用。
在研究二次函数时，我们经常会遇到二次函数的定值问题，即给定二次函数的系数和常数项，求函数的最值或者判定函数的图像特征。
二次函数定值结论是指在已知二次函数系数和常数项的情况下，推导出函数的最值和图像特征的结论。
本文将对二次函数的基本形式、二次函数的定值以及二次函数定值结论的推导进行深入探讨，以及总结二次函数定值的重要性、应用二次函数定值结论的场景以及展望二次函数定值结论的未来研究方向。
希望通过本文的阐述，读者能够更加深入地理解二次函数定值结论，并在实际问题中灵活运用。
1.2 文章结构文章结构部分的内容：本文将分为三个主要部分：引言、正文和结论。
在引言部分中，将对二次函数定值结论进行简要的概述，介绍文章的结构和目的。
在正文部分，将详细讨论二次函数的基本形式、二次函数的定值以及推导二次函数定值结论的过程。
在结论部分，将总结二次函数定值的重要性，探讨应用二次函数定值结论的场景，并展望二次函数定值结论的未来研究方向。
1.3 目的：本文旨在深入探讨二次函数定值的重要性，并通过推导二次函数定值结论，帮助读者更好地理解二次函数的特性和变化规律。
通过分析二次函数的定值特点，我们可以更好地应用二次函数定值结论于实际问题中，并为未来相关研究提供基础和借鉴。
同时，通过本文的阐述，我们希望能够引起更多科研工作者的关注，进一步探讨二次函数定值结论在不同领域中的应用和发展潜力，为学术研究和实际应用提供更多的参考和启发。
2.正文2.1 二次函数的基本形式二次函数是一种常见的数学函数，其基本形式可以用如下的数学符号表示：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c分别为常数，x为自变量。
在这个基本形式中，二次函数的图像是一个开口朝上或者朝下的抛物线。
而a、b、c这三个常数则决定了这个抛物线的具体形状和位置。
二次函数常见压轴题目类型
二次函数常见压轴题题目类型 一：定值问题1.如图，直线1y x =+与抛物线222y x mx m m =-++交于A,B 两点（点A 在点B 的左边）。
求证：无论m 为何值，AB 的长总为定值。
2.如图，抛物线243y x x =-+与x 轴交于A,B 两点，与y 轴交于点C,将直线BC 沿y 轴向上平移交抛物线于点M,N ，交y 轴于点P ，求PM PN -的值。
3.如图，已知直线()90y kx k k =-＜与抛物线223y x x =--交于A,B 两点，与x 轴交于点P ，过点A 作AC ⊥x 轴于点C,过点B 作BD ⊥x 于点D ，求证：PD PC ⋅为定值。
4.如图，抛物线的顶点坐标为C （0,8），并且经过A （8,0），点P 是抛物线上点A,C 间的一个动点（含端点），过点P 作直线8y =的垂线，垂足为点F,点D ，E 的坐标分别为（0,6），（4,0），连接PD,PE,DE 。
（1）求抛物线的解析式（2）猜想并探究：对于任意一点P ，PD 与PF 的差是否为固定值，如果是，请求出此定值，如果不是，请说明理由。
二．二次函数与角度问题1.如图，抛物线232y x x =-+-与x 交于A,B 两点，与y 轴交于点C ，点P 在抛物线上，∠ACB=∠BCP ，求点P 的坐标物线，且DM 平分∠OME,求点E 的坐标。
3.抛物线2y ax c =+与x 轴交于A 、B 两点，顶点为C,点P 在抛物线上，且位于x 轴的下方。
（1）如图1，若点P （1,3-），B （4,0），①求该抛物线的解析式；②若D 是抛物线上的一点，满足∠DPO=∠POB ，求点D 的坐标（2）如图2，在（1）中的抛物线解析式不变的条件下，已知直线PA 、PB 与y 轴分别交于E 、F 两点，点P 运动时，OE+OF 是否为定值？若是，试求出改定值；若不是，请说明理由。
物线第四象限上一点，∠PCB=∠ACO ，求点P 的坐标5.如图，过点（1,4-）的抛物线与x 轴交于点()10,(30)A B -，，,与y 轴交于点C 。
初中二次函数知识点及经典题型
初中⼆次函数知识点及经典题型⼆次函数的解析式⼆次函数的解析式有三种形式：（1）⼀般⼀般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，（2）两根当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应⼆次好⽅程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据⼆次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，⼆次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。
如果没有交点，则不能这样表⽰。
a 的绝对值越⼤，抛物线的开⼝越⼩。
（3）顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数，知识点⼋、⼆次函数的最值如果⾃变量的取值围是全体实数，那么函数在顶点处取得最⼤值（或最⼩值），即当abx 2-=时，a b ac y 442-=最值。
如果⾃变量的取值围是21x x x ≤≤，那么，⾸先要看ab2-是否在⾃变量取值围21x x x ≤≤，若在此围，则当x=ab2-时，a b ac y 442-=最值；若不在此围，则需要考虑函数在21x x x ≤≤围的增减性，如果在此围，y 随x 的增⼤⽽增⼤，则当2x x =时，c bx ax y ++=222最⼤，当1x x =时，c bx ax y ++=121最⼩；如果在此围，y 随x 的增⼤⽽减⼩，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最⼤，当2x x =时，c bx ax y ++=222最⼩。
知识点九、⼆次函数的性质1、⼆次函数的性质2、⼆次函数)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，中，c b 、、a 的含义：a 表⽰开⼝⽅向：a >0时，抛物线开⼝向上a <0时，抛物线开⼝向下b 与对称轴有关：对称轴为x=ab 2-c 表⽰抛物线与y 轴的交点坐标：（0，c ）3、⼆次函数与⼀元⼆次⽅程的关系⼀元⼆次⽅程的解是其对应的⼆次函数的图像与x 轴的交点坐标。
2023年中考数学总复习专题14二次函数与线段数量关系最值定值问题(学生版)
（全国通用）专题14二次函数与线段数量关系最值定值问题图形运动的过程中，求两条线段之间的函数关系，是中考数学的热点问题．产生两条线段间的函数关系，常见的情况有两种，一是勾股定理，二是比例关系．还有一种不常见的，就是线段全长等于部分线段之和．由比例线段产生的函数关系问题，在两种类型的题目中比较常用．一是由平行线产生的对于线段成比例，二是相似三角形的对应边成比例．一般步骤是先说理产生比例关系，再代入数值或表示数的字母，最后整理、变形，根据要求写出定义域．关键是寻找比例关系，难点是有的整理、变形比较繁琐，容易出错．【例1】（2022•武汉模拟）抛物线y＝x2﹣2x+m的顶点A在x轴上，与y轴交于点B．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，直线CD∥AB交抛物线于C，D两点，若，求△COD的面积；（3）如图2，P为抛物线对称轴上顶点下方的一点，过点P作直线交抛物线于点E，F，交x轴于点M，求的值．【例2】（2022•黄石）如图，抛物线y＝﹣x2+x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．（1）A，B，C三点的坐标为，，．（2）连接AP，交线段BC于点D，①当CP与x轴平行时，求的值；②当CP与x轴不平行时，求的最大值；（3）连接CP，是否存在点P，使得∠BCO+2∠PCB＝90°，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．【例3】（2022•河南三模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于A，B两点，交y轴于点C，OB＝2OC＝4OA，连接AC，BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点D是抛物线y＝ax2+bx﹣4的图象上在第四象限内的一动点，DE⊥x轴于点E，交BC于点F．设点D的横坐标为m．①请用含m的代数式表示线段DF的长；②已知DG∥AC，交BC于点G，请直接写出当时点D的坐标．【例4】（2021•大庆）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于原点O和点A，且其顶点B关于x轴的对称点坐标为（2，1）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线y＝ax2+bx+c上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线y＝﹣2的距离总相等．①证明上述结论并求出点F的坐标；②过点F的直线l与抛物线y＝ax2+bx+c交于M，N两点．证明：当直线l绕点F旋转时，+是定值，并求出该定值；（3）点C（3，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQBC周长最小，直接写出P，Q的坐标．1．（2020•道里区二模）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝﹣+bx+3交x轴于A、B两点（点B在点A的右边）交y轴于点C，OB＝3OC．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，点E是第一象限抛物线上的点，连接BE，过点E作ED⊥OB于点D，tan∠EBD＝，求△BDE的面积；（3）如图3，在（2）的条件下，连接BC交DE于点Q，点K是第四象限抛物线上的点，连接EK交BC于点M，交x轴于点N，∠EMC＝45°，过点K作直线KT⊥x轴于点T，过点E作EL∥x轴，交直线KT于点L，点F是抛物线对称轴右侧第一象限抛物线上的点，连接ET、LF，LF的延长线交ET于点P，连接DP并延长交EL于点S，SE＝2SL，求点F的坐标．2．（2020•三明二模）如图，抛物线y＝x2+mx（m＜0）交x轴于O，A两点，顶点为点B．（Ⅰ）求△AOB的面积（用含m的代数式表示）；（Ⅱ）直线y＝kx+b（k＞0）过点B，且与抛物线交于另一点D（点D与点A不重合），交y轴于点C．过点C作CE∥AB交x轴于点E．（ⅰ）若∠OBA＝90°，2＜＜3，求k的取值范围；（ⅱ）求证：DE∥y轴．3．（2022•杜尔伯特县一模）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）若点E在x轴上，且∠ECB＝∠CBD，求点E的坐标．（3）若P是直线BC下方抛物线上任意一点，过点P作PH⊥x轴于点H，与BC交于点M．①求线段PM长度的最大值．②在①的条件下，若F为y轴上一动点，求PH+HF+CF的最小值．4．（2020•江岸区校级一模）已知：抛物线y＝x2+x+m交x轴于A，B两点，交y轴于点C，其中点B在点A的右侧，且AB＝7．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，点D在第一象限内抛物线上，连接CD，AD，AD交y轴于点E．设点D的横坐标为d，△CDE的面积为S，求S与d之间的函数关系式（不要求写出自变量d的取值范围）；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DH⊥CE于点H，点P在DH上，连接CP，若∠OCP＝2∠DAB，且HE：CP＝3：5，求点D的坐标及相应S的值．5．（2020•涡阳县一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝x+1相交于A（﹣1，0），B（4，m）两点，且抛物线经过点C（5，0）．（1）求抛物线的解析式．（2）点P是直线上方的抛物线上的一个动点，求△ABP的面积最大时的P点坐标．（3）若点P是抛物线上的一个动点（不与点A点B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB 于点E．当PE＝2ED时，求P点坐标；（4）设抛物线与y轴交于点F，在抛物线的第一象限内，是否存在一点M，使得AM被FC平分？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，说明理由．6．（2021•桂林）如图，已知抛物线y＝a（x﹣3）（x+6）过点A（﹣1，5）和点B（﹣5，m），与x轴的正半轴交于点C．（1）求a，m的值和点C的坐标；（2）若点P是x轴上的点，连接PB，P A，当＝时，求点P的坐标；（3）在抛物线上是否存在点M，使A，B两点到直线MC的距离相等？若存在，求出满足条件的点M的横坐标；若不存在，请说明理由．7．（2021•甘肃）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与坐标轴交于A（0，﹣2），B（4，0）两点，直线BC：y＝﹣2x+8交y轴于点C．点D为直线AB下方抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为G，DG分别交直线BC，AB于点E，F．（1）求抛物线y＝x2+bx+c的表达式；（2）当GF＝时，连接BD，求△BDF的面积；（3）①H是y轴上一点，当四边形BEHF是矩形时，求点H的坐标；②在①的条件下，第一象限有一动点P，满足PH＝PC+2，求△PHB周长的最小值．8．（2021•丽水）如图，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣5），B（5，0）．（1）求b，c的值；（2）连结AB，交抛物线L的对称轴于点M．①求点M的坐标；②将抛物线L向左平移m（m＞0）个单位得到抛物线L1．过点M作MN∥y轴，交抛物线L1于点N．P是抛物线L1上一点，横坐标为﹣1，过点P作PE∥x轴，交抛物线L于点E，点E在抛物线L对称轴的右侧．若PE+MN＝10，求m的值．9．（2020•陕西）已知抛物线L：y＝﹣x2+bx+c过点（﹣3，3）和（1，﹣5），与x轴的交点为A，B（点A 在点B的左侧）．（1）求抛物线L的表达式；（2）若点P在抛物线L上，点E、F在抛物线L的对称轴上，D是抛物线L的顶点，要使△PEF∽△DAB （P的对应点是D），且PE：DA＝1：4，求满足条件的点P的坐标．10．（2020•盘锦）如图1，直线y＝x﹣4与x轴交于点B，与y轴交于点A，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B和点C（0，4），△ABO沿射线AB方向以每秒个单位长度的速度平移，平移后的三角形记为△DEF （点A，B，O的对应点分别为点D，E，F），平移时间为t（0＜t＜4）秒，射线DF交x轴于点G，交抛物线于点M，连接ME．（1）求抛物线的解析式；（2）当tan∠EMF＝时，请直接写出t的值；（3）如图2，点N在抛物线上，点N的横坐标是点M的横坐标的，连接OM，NF，OM与NF相交于点P，当NP＝FP时，求t的值．11．（2022•深圳三模）如图1，抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣5，0），点B（﹣1，﹣2）．（1）求抛物线解析式；（2）如图2，点P为抛物线上第三象限内一动点，过点Q（﹣4，0）作y轴的平行线，交直线AP于点M，交直线OP于点N，当点P运动时，4QM+QN的值是否变化？若变化，说明变化规律，若不变，求（3）如图3，长度为的线段CD（点C在点D的左边）在射线AB上移动（点C在线段AB上），连接OD，过点C作CE∥OD交抛物线于点E，线段CD在移动的过程中，直线CE经过一定点F，直接写出定点F的坐标与的最小值．12．（2022•阿克苏地区一模）如图1．抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC，已知点B（4，0）．（1）若C（0，3），求抛物线的解析式．（2）在（1）的条件下，P（﹣2，m）为该抛物线上一点，Q是x轴上一点求的最小值，并求此时点Q的坐标．（3）如图2．过点A作BC的平行线，交y轴与点D，交抛物线于另一点E．若DE＝7AD，求c的值．13．（2022•松江区二模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝2x+8与x轴交于点A、与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B．（1）求抛物线的表达式；（2）P是抛物线上一点，且位于直线AB上方，过点P作PM∥y轴、PN∥x轴，分别交直线AB于点M、①当MN＝AB时，求点P的坐标；②联结OP交AB于点C，当点C是MN的中点时，求的值．14．（2022•游仙区模拟）如图，抛物线与坐标轴分别交于A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点P，使得∠CBP＝∠ACO，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图2，Q是△ABC内任意一点，求++的值．15．（2022•龙岩模拟）抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，4）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式（用含a的式子表示）；（2）当a＞0时，连接AB，BC，若tan∠ABC＝，求a的值；（3）直线y＝﹣x+m与线段AB交于点P，与抛物线交于M，N两点（点M在点N的左侧），若PM•PN ＝6，求m的值．16．（2022•雷州市模拟）如图（1），抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（﹣6，0）、B（2，0），与y轴交于点C，抛物线对称轴交抛物线于点M，交x轴于点N．点P是抛物线上的动点，且位于x轴上方．（1）求抛物线的解析式．（2）如图（2），点D与点C关于直线MN对称，若∠CAD＝∠CAP，求点P的坐标．（3）直线BP交y轴于点E，交直线MN于点F，猜想线段OE、FM、MN三者之间存在的数量关系，并证明．17．（2022•马鞍山二模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于C点，直线y＝kx（k＜0）交线段BC下方抛物线于D点，交BC于E点（1）分别求出a、b的值；（2）求出线段BC的函数关系式，并写出自变量取值范围；（3）探究是否有最大值，若存在，请求出此时k值，若不存在，请说明理由．18．（2022•南岗区校级二模）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣ax2+6ax+6与y 轴交于点B，交x轴的负半轴于点A，交x轴的正半轴于点C，且S△ABC＝30．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P为第一象限抛物线上一点，其横坐标为t，PD⊥x轴于点D，设tan∠P AD等于m，求m与t之间的函数关系式；（3）如图3，在（2）的条件下，当m＝时，过点B作BN⊥AB交∠P AC的平分线于点N，点K在线段AB上，点M在线段AN上，连接KM、KN，∠MKN＝2∠BNK，作MT⊥KN于点T，延长MT交BN 于点H，若NH＝4BH，求直线KN的解析式．19．（2022•江汉区校级模拟）如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．（1）若C（0，﹣3），求抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，E是线段BC上一动点，AE交抛物线于F点，求的最大值；（3）如图2，点N为y轴上一点，AN、BN交抛物线于E、F两点，求•的值．20．（2022•成都模拟）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y 轴交于点C．（1）求点A，B，C的坐标及抛物线的对称轴；（2）如图1，点P（1，m），Q（1，m﹣2）是两动点，分别连接PC，QB，请求出|PC﹣QB|的最大值，并求出m的值；（3）如图2，∠BAC的角平分线交y轴于点D，过D点的直线l与射线AB，AC分别于E，F，当直线l 绕点D旋转时，是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．21．（2022•沈阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A，B两点（点A 在点B左侧），与y轴交于点C，直线l：y＝kx+b经过点B，点C，点P是抛物线上一动点，连接OP交直线BC于点D．（1）求直线l的解析式；（2）当＝时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点N是直线BC上一动点，连接ON，过点D作DF⊥ON于点F，点F在线段ON上，当OD＝DF时，请直接写出点N的坐标．22．（2022•沈阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣过点A（3，2）和点B （，0），与x轴的另一个交点为点C．（1）求抛物线的函数表达式．（2）判断△ABC的形状，并说明理由．（3）点D在线段BC上，连接AD，作DE⊥AD，且DE＝AD，连接AE交x轴于点F．点F不与点C 重合，射线DP⊥AE，交AE于点P，交AC于点Q．①当AD＝AF时，请直接写出∠CAE的度数；②当＝时，请直接写出CQ的长．。
二次函数与定点定值问题(教师版)
二次函数与定点、定值问题【方法归纳】已知抛物线和满足一定条件的直线在平面直角坐标系中，直线上的线段满足一定几何条件，图中可能产生一些定点，定量关系．通常要运用几何量的关系转换成线段关系和坐标关系求解． 思路：结合二次函数，将几何向代数转化，构建方程或方程组，并归纳解题一致性．例1．已知抛物线：y ＝ax 2＋bx ＋c ，顶点坐标为原点，且过（4，8），如图，若A 、B 两点在抛物线上，且OA ⊥OB ，AB 交y 轴于H 点，求H 点的坐标．易求a ＝21，b ＝0，c ＝0，∴y ＝12x 2，设A (m ，21m 2)，B (n ，12n 2)，设AB 的解析式y ＝kx ＋b ，联立⎪⎩⎪⎨⎧+==b kx y xy 221得x 2－2kx －2b ＝0，m ＋n ＝2k ，mn ＝－2b ，又∵OA ⊥OB ，过A 点作AC 丄x 轴，BD ⊥y 轴，垂足分别为C 、D 两点，易证△AOC ∽△OBD ，∴OC AC ＝BD OD ，∴A A x y ＝B B y x -，∴m m221＝221n n -，41mn ＝－1，∴mn＝－4，∴b ＝2，∴H (0，2)．（2013年武汉中考压轴题的关键一步）方法总结：_________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________【练1】抛物线y ＝21(x －1)2，顶点为M ，直线AB 交抛物线于A 、B 两点，且MA ⊥MB ，求证：直线AB 过定点．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，易求M (1，0)，作AE ⊥x 轴，BF ⊥x 轴，△AEM ∽△BFM ，易得EM AE ＝FBMF，即111x y -＝221y x -，1211)1(21x x --＝222)1(211--x x ，∴－21(x 1－1)2＝)1(2112-x ，∴－41[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝1，联立⎪⎩⎪⎨⎧+=-=b kx y x y 2)1(21得，21(x －1)2＝kx ＋b ，x 2－2x ＋1＝2kx ＋2b ，x 2－(2＋2k )x ＋1－2b ＝0，x 1·x 2＝1－2b ，x 1＋x 2＝2k ＋2，∴(1－2b )－(2k ＋2)＋1＝－4，k ＋b ＝2，∴y ＝kx ＋b ＝kx ＋2－k ＝k (x －1)＋2，∴AB 过定点(1，2)．例2．已知抛物线y ＝41x 2，以M (－2，1)为直角顶点作该抛物线的内接直角三角形MAB （即M ，A ，B 均在抛物线上），求证：直线AB 过定点，并求出该定点坐标．过M 作PQ ∥x 轴，AP ⊥PQ 于P ，BQ ⊥PQ 于Q ，设AB ：y ＝kx ＋b ， 由⎪⎩⎪⎨⎧+==bkx y xy 241得41x 2－kx －b ＝0，x A ＋x B ＝4k ，x A ·x B ＝－4b ， 由△APM ∽△MQB 得AP ·BQ ＝PM ·MQ ，即(y A －1)(41x B 2－1)＝－(x A ＋2)(x B ＋2)， ∴161(x A －2)(x B －2)＝－1，x A ·x B －2(x A ＋x B )＋4＝－16， ∴－4b －8k ＋4＝－16，b ＝5－2k ，∴AB ：y ＝kx ＋5－2k ＝k (x －2)＋5，过定点(2，5)．【练2】（2014武汉中考）如图，已知直线AB ：y ＝kx ＋2k ＋4于抛物线y ＝21x 2交于A 、B 两点． （1）直线AB 总经过一个定点C ，请直接写出点C 坐标； （2）若在抛物线上存在定点D 使∠ADB ＝90°，求点D 到直线AB 的最大距离．（1）C (－2，4)（2）设A (x 1，21x 12)，B (x 2，21x 22)，D (m ，21m 2)，由⎪⎩⎪⎨⎧++==42212k kx y xy 得x 2－2kx －4k －8＝0，x 1＋x 2＝2k ，x 1·x 2＝－4k －8，过D 作EF ∥x 轴，AE ⊥EF 于E ，BF ⊥EF 于F ，由△AED ∽△DFB 得AE ·BF ＝DE ·DF ，即(21x 12－21m 2)(21x 22－21m 2)＝(m －x 1)(x 2－m )，化简x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝4，∴2k (m －2)＋m 2－4＝0，当m －2＝0，即m ＝2时，点D 的坐标与k 无关，∴D (2，2)，又∵C (－2，4)，∴CD ＝25，作DM ⊥AB 于M ，则DM ≤CD ＝25，∴当CD ⊥AB 时，点D 到直线AB 的距离最大，最大距离为25．例3．如图，抛物线y ＝x 2＋3顶点为P ，直线l 交抛物线于A 、B 两点，交y 轴于C 点，∠AOC ＝∠BOC ，求证：直线AB 过定点．设A (m ，m 2＋3)，B (n ，n 2＋3)，设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，⎩⎨⎧+=+=32x y bkx y ，∴kx ＋b ＝x 2＋3，x 2－kx ＋3－b ＝0，∴mn ＝3－b ，∵∠AOC ＝∠BOC ，∴tan ∠AOC ＝tan ∠BOC ，∴32+m m ＝32+-n n，∴mn 2＋3m ＝－m 2n －3n ，∴mn ＝－3，∴b ＝6，∴C (0，6)．【练3】抛物线y ＝x 2－4x ＋5，对称轴交x 轴于P 点，直线EF 交抛物线于E 、F ，交对称轴于H ，且∠EPH ＝∠FPH ，求证：EF 恒过定点．E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，⎩⎨⎧+-=+=542x x y bkx y ，∴x 2－(4＋k )x ＋5－b ＝0，x 1＋x 2＝4＋k ，x 1x 2＝5－b ，tan ∠EPH ＝tan ∠FPH ，∴112y x -＝222y x -，∴(kx 1＋b)(x 2－2)＝(kx 2＋b )(2－x 1)，∴b ＋2k ＝2，y ＝kx ＋b ，∴直线过(2，2)．例4．如图，抛物线y ＝x 2－1交x 轴于A 、B 两点，直线y ＝a （a ＞0）交抛物线于M 、N ，点C 在抛物线上，且∠MCN ＝90°，点C 到MN 的距离是否为定值？若是，求出这个定值．作CH ⊥MN 于H ．则∠MCH ＝∠CNH ，Rt △MCH ∽Rt △CNH ，CH 2＝MH ·HN ，令C (x C ，t )，M (m ，m 2－1)，则N (－m ，m 2－1)，CH ＝m 2－1－t ，MH ·HN ＝(x C －x M )(x N －x C )＝－x C 2＋m 2，y C ＝x C 2－1＝t ，故x C 2＝t ＋1，－x C 2＝－t －1，即MH ·HN ＝m 2－1－t ，又CH 2＝MH ·HN ，∴(m 2－1－t )2＝m 2－1－t ，∴m 2－1－t ＝0（舍去）或m 2－1－t ＝1，即CH ＝m 2－1－t ＝1，点C 到MN 的距离是定值，这个值为1．【练4】（2015永州改）如图，抛物线：y ＝41(x －1)2，R (1，1)是对称轴l 上一点，点P 为抛物线上一个动点，PM 垂直于直线y ＝－1于M ，求PRPM的值．设P (t ，41(t －1)2)，连PR ，作PM ⊥直线y ＝－1于点M ，PM ＝41(t －1)2＋1， PR ＝222]1)1(41[)1(--+-t t ＝41(t －1)2＋1，∴PM ＝PR ，∴PRPM＝1．【课后反馈】1．如图，抛物线y ＝x 2－1交x 轴正半轴于A (1，0)，M 、N 在抛物线上，且MA ⊥NA ，试说明MN 恒过一定点，求此定点的坐标．作MP ⊥x 轴于P ，NQ ⊥x 轴于Q ，设MN ：y ＝mx ＋n ，由21y mx ny x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩得x 2－mx －n －1＝0，x M ＋x N ＝m ，x M ·x N ＝－1－n ，tan ∠MAP ＝PA MP ＝211M M x x --＝－x M －1，tan ∠ANQ ＝AQ NQ ＝211N N x x --＝11Nx +．由∠MAP ＝∠ANQ 得－x M －1＝11Nx +，即－x M ·x N －(x M ＋x N )－1＝1，1＋n －m －1＝1，n ＝m ＋1，MN ：y ＝mx ＋m＋1＝m (x ＋1)＋1，故MN 过定点(－1，1)．2．如图，抛物线y ＝41(x －4)2－4的顶点为P ，M ，N 均在对称轴上，且PM ＝PN ，延长OM 交抛物线于点A ．求证：∠ANM ＝∠ONM ．易求P (4，－4)，设A (m ，41m 2－2m )，可求OA ：y ＝(41m －2)x ，点M 在OA 上，x ＝4时，y ＝m －8，∴M (4，m －8)，故N (4，－m )，tan ∠ONM ＝N N x y -＝4m ，tan ∠ANM ＝4A A N x y y --＝2412()4m m m m ----＝41(4)4m m m --＝4m ，故∠ANM ＝∠ONM ．3．（2016六初九下2月考T24）已知抛物线y ＝41x 2＋m 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且OA ＝2OC ，直线y ＝kx －2k ＋4（k ≠0）与抛物线交于D 、E 两点． （1）求m 值及A 点坐标；（2）当k 取何值时，△ADE 的面积最小，并求面积的最小值；（3）若M 、N 为抛物线上两点，其以MN 为直径的圆始终经过A 点，求直线MN 经过的定点P 的坐标．（1）令x ＝0时，y ＝m ，∴OC ＝－m ，令y ＝0时，x ＝m -±2，∴OA ＝m -2， ∵OA ＝2OC ，∴m -2＝2(－m )，m ＝－1，∴A (2，0)；（2）直线y ＝kx －2k ＋4过定点(2，4)，过点A 作AF ∥y 轴交DE 于F ，∴F (2，4)， 设D (x 1，y 1)、E (x 2，y 2)，∴S △ADE ＝21×4×(x 1－x 2)＝2(x 1－x 2)， 联立⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=141422x y k kx y ，整理得41x 2－kx ＋2k －5＝0，∴x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝8k －15 ∴S △ADE ＝2212142)(x x x x -+＝84)1(2+-k ，当k ＝1时，S △ADE 有最小值，最小值为16； （3）设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)， ∵∠MAN ＝90°，过点M 作ME ⊥x 轴于E ，过点N 作NF ⊥x 轴于F ，∴△MEA ∽△AFN ，∴212122y x x y -=-，y 1y 2＝(x 2－2)(2－x 1)， 即)141)(141(2121--x x )＝(x 2－2)(2－x 1)，x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋20＝0，设直线MN 的解析式为y ＝kx ＋b ，联立⎪⎩⎪⎨⎧-=+=1412x y bkx y ，整理得x 2－4kx －4－4b ＝0， ∴x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4－4b ，∴－4－4b ＋2×4k ＋20＝0，2k －b ＝－4， 当x ＝－2时，－2k ＋b ＝4，∴直线MN 必过顶点(－2，4)．。
二次函数与线段最值定值问题(八大类型)-2023年中考数学压轴题专项训练(教师版)
二次函数与线段最值定值问题(八大类型)考向分析题型一二次函数与单线段最值问题1.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于A (5，0)，B (-1，0)两点，与y 轴交于点C 0，52．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上是否存在点P ，使得△ACP 是以点A 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)点G 为抛物线上的一动点，过点G 作GE 垂直于y 轴于点E ，交直线AC 于点D ，过点D 作x 轴的垂线，垂足为点F ，连接EF ，当线段EF 的长度最短时，求出点G 的坐标．【分析】(1)运用待定系数法就可求出抛物线的解析式；(2)以A 为直角顶点，根据点P 的纵、横坐标之间的关系建立等量关系，就可求出点P 的坐标；(3)连接OD ，易得四边形OFDE 是矩形，则OD =EF ，根据垂线段最短可得当OD ⊥AC 时，OD (即EF )最短，然后只需求出点D 的纵坐标，就可得到点P 的纵坐标，就可求出点P 的坐标．【解答】解：(1)∵抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于A (5，0)，B (-1，0)两点，与y 轴交于点C 0，52，∴设抛物线的解析式是y =a (x -5)(x +1)1)，则52=a ×(-5)×1，解得a =-12．则抛物线的解析式是y =-12(x -5)(x +1)=-12x 2+2x +52；(2)存在．当点A 为直角顶点时，过A 作AP ⊥AC 交抛物线于点P ，交y 轴于点H ，如图．∵AC ⊥AP ，OC ⊥OA ，∴△OAC ∽△OHA ，∴OA OH =OC OA，∴OA 2=OC •OH ，∵OA =5，OC =52，∴OH =10，∴H(0，-10)，A(5，0)，∴直线AP的解析式为y=2x-10，联立y=2x-10y=-12x2+2x+52 ，∴P的坐标是(-5，-20)．(3)∵DF⊥x轴，DE⊥y轴，∴四边形OFDE为矩形，∴EF=OD，∴EF长度的最小值为OD长度的最小值，当OD⊥AC时，OD长度最小，此时S△AOC=12AC•OD=12OA•OC，∵A(5，0)，C0，52，∴AC=552，∴OD=5，∵DE⊥y轴，OD⊥AC，∴△ODE∽△OCD，∴OD OE =CO OD，∴OD2=OE•CO，∵CO=52，OD=5，∴OE=2，∴点G的纵坐标为2，∴y=-12x2+2x+52=2，解得x1=2-5，x2=2+5，∴点G的坐标为(2-5，2)或(2+5，2)．【点评】本题主要考查了用待定系数法求抛物线的解析式、抛物线上点的坐标特征、等腰三角形的性质、矩形的性质、解一元二次方程、勾股定理等知识，有一定的综合性，根据矩形的性质将EF转化为OD，然后利用垂线段最短是解决第(3)小题的关键．题型二二次函数与将军饮马型问题2.如图1，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A(-4，0)，B(1，0)两点，过点B的直线y=kx+23分别与y轴及抛物线交于点C，D．(1)求直线和抛物线的表达式；(2)动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t 秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值；(3)如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M ，在直线EF 上是否存在点N ，使DM +MN 的值最小？若存在，求出其最小值及点M ，N 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)利用待定系数法求解可得；(2)先求得点D 的坐标，过点D 分别作DE ⊥x 轴、DF ⊥y 轴，分P 1D ⊥P 1C 、P 2D ⊥DC 、P 3C ⊥DC 三种情况，利用相似三角形的性质逐一求解可得；(3)通过作对称点，将折线转化成两点间距离，应用两点之间线段最短．【解答】解：(1)把A (-4，0)，B (1，0)代入y =ax 2+2x +c ，得16a -8+c =0a +2+c =0 ，解得：a =23c =-83 ，∴抛物线解析式为：y =23x 2+2x -83，∵过点B 的直线y =kx +23，∴代入(1，0)，得：k =-23，∴BD 解析式为y =-23x +23；(2)由y =23x 2+2x -83y =-23x +23得交点坐标为D (-5，4)，如图1，过D 作DE ⊥x 轴于点E ，作DF ⊥y 轴于点F ，当P 1D ⊥P 1C 时，△P 1DC 为直角三角形，则△DEP 1∽△P 1OC ，∴DE PO =PE OC ，即4t =5-t 23，解得t =15±1296，当P 2D ⊥DC 于点D 时，△P 2DC 为直角三角形由△P 2DB ∽△DEB 得DB EB =P 2B DB，即526=t +152，解得：t =233；当P 3C ⊥DC 时，△DFC ∽△COP 3，∴DF OC =CF P 3O ，即523=103t ，解得：t =49，∴t 的值为49、15±1296、233．(3)由已知直线EF 解析式为：y =-23x -103，在抛物线上取点D 的对称点D ′，过点D ′作D ′N ⊥EF 于点N ，交抛物线对称轴于点M过点N 作NH ⊥DD ′于点H ，此时，DM +MN =D ′N 最小．则△EOF ∽△NHD ′设点N 坐标为a ，-23a -103，∴OE NH =OF HD '，即54--23a -103 =1032-a ，解得：a =-2，则N 点坐标为(-2，-2)，求得直线ND ′的解析式为y =32x +1，当x =-32时，y =-54，∴M 点坐标为-32，-54，此时，DM +MN 的值最小为D 'H 2+NH 2=42+62=213．【点评】本题是二次函数和几何问题综合题，应用了二次函数性质以及转化的数学思想、分类讨论思想．解题时注意数形结合．题型三二次函数与胡不归型线段最值问题3.已知抛物线y =-12x 2+bx +c (b ，c 为常数)的图象与x 轴交于A (1，0)，B 两点(点A 在点B 左侧)．与y 轴相交于点C ，顶点为D ．(Ⅰ)当b =2时，求抛物线的顶点坐标；(Ⅱ)若点P 是y 轴上一点，连接BP ，当PB =PC ，OP =2时，求b 的值；(Ⅲ)若抛物线与x 轴另一个交点B 的坐标为(4，0)，对称轴交x 轴于点E ，点Q 是线段DE 上一点，点N 为线段AB 上一点，且AN =2BN ，连接NQ ，求DQ +54NQ 的最小值．【分析】(Ⅰ)求出函数的解析式即可求解；(Ⅱ)由题意可求P (0，2)或(0，-2)，将A 点代入抛物线解析式可得c =12-b ，在求出B (2b -1，0)，C 0，12-b ，由PB =PC ，(2b -1)2+4=12-b -2 2或(2b -1)2+4=12-b +2 2，再由2b -1>1，求出b 即可；(Ⅲ)先求出抛物线的解析式y =-12x 2+52x -2，设Q 52，t过点N 作AD 的垂线交于点M ，交对称轴于点Q ，利用直角三角形可得MQ =45DQ ，当M 、Q 、N 三点共线时，DQ +54NQ 有最小值54MN ，在Rt △AMN 中，AN =2，求出MN =65，可求DQ +54NQ 的最小值为32．【解答】解：(Ⅰ)当b =2时，y =-12x 2+2x +c ，将点A (1，0)代入y =-12x 2+2x +c ，∴c =-32，∴y =-12x 2+2x -32=-12(x -2)2+12，∴抛物线的顶点为2，12 ；(Ⅱ)∵点P 是y 轴上一点，OP =2，∴P (0，2)或(0，-2)，将A 代入y =-12x 2+bx +c ，∴-12+b +c =0，∴c =12-b ，∵-12x 2+bx +12-b =0，∴1+x 1=2b ，∴x 1=2b -1，∴B (2b -1，0)，令x =0，则y =2b -1，∴C 0，12-b ，∵PB =PC ，∴(2b -1)2+4=12-b -2 2或(2b -1)2+4=12-b +2 2，解得b =12或b =116或b =12或b =-56，∵A 点在B 点左侧，∴2b -1>1，∴b >1，∴b =116；(Ⅲ)将点A 、B 代入y =-12x 2+bx +c ，∴-12+b +c =0-8+4b +c =0 ，b =52c =-2，∴y =-12x 2+52x -2，∴抛物线的对称轴为直线x =52，∴E 52，0，∵y =-12x 2+52x -2=-12x -52 2+98，∴顶点D 52，98，∵A (1，0)，B (4，0)，∴AB =3，∵AN =2BN ，∴AN =2，BN =1，∴N (3，0)，设Q 52，t，过点N 作AD 的垂线交于点M ，交对称轴于点Q ，∵AE =32，DE =98，∴tan ∠DAE =34，∴∠EQN =∠DAE ，∴∠DAN =∠MQD ，∴tan ∠MQD =34，∴sin ∠MQD =45，∴MQ =45DQ ，∵DQ +54NQ =5445DQ +NQ =54(MQ +NQ )，∴当M 、Q 、N 三点共线时，DQ +54NQ 有最小值54MN ，在Rt △AMN 中，AN =2，∴sin ∠MAN =35，∴MN =35×2=65，∴DQ +54NQ =54×MN =32，∴DQ +54NQ 的最小值为32．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用一元二次方程求最值是解题的关键．二次函数与三线段和最值问题4.如图1，已知一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=-x2+bx+c 过A、B两点，且与x轴交于另一点C．(1)求b、c的值；(2)如图1，点D为AC的中点，点E在线段BD上，且BE=2ED，连接CE并延长交抛物线于点M，求点M的坐标；(3)将直线AB绕点A按逆时针方向旋转15°后交y轴于点G，连接CG，如图2，P为△ACG内一点，连接PA、PC、PG，分别以AP、AG为边，在他们的左侧作等边△APR，等边△AGQ，连接QR①求证：PG=RQ；②求PA+PC+PG的最小值，并求出当PA+PC+PG取得最小值时点P的坐标．【分析】(1)把A(-3，0)，B(0，3)代入抛物线y=-x2+bx+c即可解决问题．(2)首先求出A、C、D坐标，根据BE=2ED，求出点E坐标，求出直线CE，利用方程组求交点坐标M．(3)①欲证明PG=QR，只要证明△QAR≌△GAP即可．②当Q、R、P、C共线时，PA+PG+PC最小，作QN⊥OA于N，AM⊥QC于M，PK⊥OA于K，由sin∠ACM=AMAC=NQQC求出AM，CM，利用等边三角形性质求出AP、PM、PC，由此即可解决问题．【解答】解：(1)∵一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A(-3，0)，B(0，3)，∵抛物线y=-x2+bx+c过A、B两点，∴c=3-9-3b+c=0解得b=-2c=3，∴b=-2，c=3．(2)，对于抛物线y=-x2-2x+3，令y=0，则-x2-2x+3=0，解得x=-3或1，∴点C坐标(1，0)，∵AD=DC=2，∴点D坐标(-1，0)，∵BE=2ED，∴点E坐标-23，1，设直线CE 为y =kx +b ，把E 、C 代入得到-23k +b =1k +b =0 解得k =-35b =35 ，∴直线CE 为y =-35x +35，由y =-35x +35y =-x 2-2x +3解得x =1y =0 或x =-125y =5125 ，∴点M 坐标-125，5125．(3)①∵△AGQ ，△APR 是等边三角形，∴AP =AR ，AQ =AG ，∠QAC =∠RAP =60°，∴∠QAR =∠GAP ，在△QAR 和△GAP 中，AQ =AG ∠QAR =∠GAP AR =AP，∴△QAR ≌△GAP ，∴QR =PG ．②如图3中，∵PA +PG +PC =QR +PR +PC =QC ，∴当Q 、R 、P 、C 共线时，PA +PG +PC 最小，作QN ⊥OA 于N ，AM ⊥QC 于M ，PK ⊥OA 于K ．∵∠GAO =60°，AO =3，∴AG =QG =AQ =6，∠AGO =30°，∵∠QGA =60°，∴∠QGO =90°，∴点Q 坐标(-6，33)，在RT △QCN 中，QN =33，CN =7，∠QNC =90°，∴QC =QN 2+NC 2=219，∵sin ∠ACM =AM AC=NQ QC ，∴AM =65719，∵△APR 是等边三角形，∴∠APM =60°，∵PM =PR ，cos30°=AM AP，∴AP =121919，PM =RM =61919∴MC =AC 2-AM 2=141919，∴PC =CM -PM =81919，∵PK QN =CP CQ =CK CN ，∴CK =2819，PK =12319，∴OK =CK -CO =919，∴点P 坐标-919，12319 ．∴PA +PC +PG 的最小值为219，此时点P 的坐标-919，12319．【点评】本题考查二次函数综合题、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是理解Q 、R 、P 、C 共线时，PA +PG +PC 最小，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．题型五二次函数与线段倍分关系最值问题5.抛物线y =-x 2+4ax +b (a >0)与x 轴相交于O 、A 两点(其中O 为坐标原点)，过点P (2，2a )作直线PM ⊥x 轴于点M ，交抛物线于点B ，点B 关于抛物线对称轴的对称点为C (其中B 、C 不重合)，连接AP 交y 轴于点N ，连接BC 和PC ．(1)a =32时，求抛物线的解析式和BC 的长；(2)如图a >1时，若AP ⊥PC ，求a 的值；(3)是否存在实数a ，使AP PN=12若存在，求出a 的值，如不存在，请说明理由．【分析】(1)根据抛物线经过原点b =0，把a =32、b =0代入抛物线解析式，即可求出抛物线解析式，再求出B 、C 坐标，即可求出BC 长．(2)利用△PCB ∽△APM ，得PB AM=BC PM ，列出方程即可解决问题．【解答】解：(1)∵抛物线y =-x 2+4ax +b (a >0)经过原点O ，∴b =0，∵a =32，∴抛物线解析式为y =-x 2+6x ，∵x =2时，y =8，∴点B 坐标(2，8)，∵对称轴x =3，B 、C 关于对称轴对称，∴点C 坐标(4，8)，∴BC =2．(2)∵AP ⊥PC ，∴∠APC =90°，∵∠CPB +∠APM =90°，∠APM +∠PAM =90°，∴∠CPB =∠PAM ，∵∠PBC =∠PMA =90°，∴△PCB ∽△APM ，∴PB AM =BC PM ，∴6a -44a -2=4a -42a，整理得a 2-4a +2=0，解得a =2±2，∵a >1，∴a =2+2．(3)当点P 在等A 的左侧时，∵△APM ∽△ANO ，∴AP PN =AM MO=12，∵AM =4a -2，OM =2，∴4a -22=12，∴a =34．当点P 在D 点A 的右侧时，同法可得OA =AM ，4a =2-4a ，∴a =14，综上所述，满足条件的a 的值为34或14．【点评】本题考查二次函数性质、相似三角形的判定和性质、待定系数法等知识，解题的关键是利用相似三角形性质列出方程解决问题，学会转化的思想，属于中考常考题型．题型六二次函数与线段乘积问题6.已知直线y =12x +2分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，抛物线y =12x 2+mx -2经过点A ，和x 轴的另一个交点为C ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点D 是抛物线上的动点，且在第三象限，求△ABD 面积的最大值；(3)如图2，经过点M (-4，1)的直线交抛物线于点P 、Q ，连接CP 、CQ 分别交y 轴于点E 、F ，求OE •OF 的值．备注：抛物线顶点坐标公式-b 2a ，4ac -b 24a【分析】(1)先求得点A 的坐标，然后将点A 的坐标代入抛物线的解析式求得m 的值即可；(2)过点D 作DH ∥y 轴，交AB 于点H ，设D n ，12n 2+32n -2 ，H n ，12n +2 ，然后用含n 的式子表示DH 的长，接下来，利用配方法求得DH 的最大值，从而可求得△ABD 面积最大值；(3)先求得点C 的坐标，然后设直线CQ 的解析式为y =ax -a ，CP 的解析式为y =bx -b ，接下来求得点Q 和点P 的横坐标，然后设直线PQ 的解析式为y =x +d ，把M (-4，1)代入得：y =kx +4k +1，将PQ 的解析式为与抛物线解析式联立得到关于x 的一元二次方程，然后依据一元二次方程根与系数的关系可求得ab =-12，最后，由ab 的值可得到OE •OF 的值．【解答】解：(1)把y =0代入y =12x +2得：0=12x +2，解得：x =-4，∴A (-4，0)．把点A 的坐标代入y =12x 2+mx -2得：m =32，∴抛物线的解析式为y =12x 2+32x -2．(2)过点D 作DH ∥y 轴，交AB 于点H ，设D n ，12n 2+32n -2 ，H n ，12n +2 ．∴DH =12n +2 -12n 2+32n -2 =-12(n +1)2+92．∴当n =-1时，DH 最大，最大值为92，此时△ABD 面积最大，最大值为12×92×4=9．(3)把y =0代入y =12x 2+32x -2，得：x 2+3x -4=0，解得：x =1或x =-4，∴C (1，0)．设直线CQ 的解析式为y =ax -a ，CP 的解析式为y =bx -b ．∴y =ax -a y =12x 2+32x -2，解得：x =1或x =2a -4．∴x Q =2a -4．同理：x P =2b -4．设直线PQ 的解析式为y =kx +b ，把M (-4，1)代入得：y =kx +4k +1．∴y =kx +4k +1y =12x 2+32x -2．∴x 2+(3-2k )x -8k -6=0，∴x Q +x P =2a -4+2b -4=2k -3，x Q •x P =(2a -4)(2b -4)=-8k -6，解得：ab =-12．又∵OE =-b ，OF =a ，∴OE •OF =-ab =12．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式、一元二次方程根与系数的关系，建立关于a 、b 的方程组求得ab 的值是解题的关键．题型七二次函数与线段比值问题7.抛物线y =ax 2+c 与x 轴交于A ，B 两点，顶点为C ，点P 为抛物线上一点，且位于x 轴下方．(1)如图1，若P (1，-3)，B (4，0)．①求该抛物线的解析式；②若D 是抛物线上一点，满足∠DPO =∠POB ，求点D 的坐标；(2)如图2，已知直线PA ，PB 与y 轴分别交于E 、F 两点．当点P 运动时，OE +OF OC是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．【分析】(1)①根据待定系数法求函数解析式，可得答案；②根据平行线的判定，可得PD ∥OB ，根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得D 点坐标；(2)根据待定系数法，可得E 、F 点的坐标，根据分式的性质，可得答案．【解答】解：(1)①将P (1，-3)，B (4，0)代入y =ax 2+c ，得16a +c =0a +c =-3 ，解得a =15c =-165 ，抛物线的解析式为y =15x 2-165；②如图1，当点D 在OP 左侧时，由∠DPO =∠POB ，得DP ∥OB ，D 与P 关于y 轴对称，P (1，-3)，得D (-1，-3)；当点D 在OP 右侧时，延长PD 交x 轴于点G ．作PH ⊥OB 于点H ，则OH =1，PH =3．∵∠DPO =∠POB ，∴PG =OG ．设OG =x ，则PG =x ，HG =x -1．在Rt △PGH 中，由x 2=(x -1)2+32，得x =5．∴点G (5，0)．∴直线PG 的解析式为y =34x -154解方程组y =34x -154y =15x 2-165 得x 1=1y 1=-3 ，x 2=114y 2=-2716 ．∵P (1，-3)，∴D 114，-2716．∴点D 的坐标为(-1，-3)或114，-2716．(2)点P 运动时，OE +OF OC是定值，定值为2，理由如下：作PQ ⊥AB 于Q 点，设P (m ，am 2+c )，A (-t ，0)，B (t ，0)，则at 2+c =0，c =-at 2．∵PQ ∥OF ，∴PQ OF =BQ BO，∴OF =PQ ⋅BO BQ=-(am 2+c )t t -m =(am 2-at 2)t m -t =amt +at 2．同理OE =-amt +at 2．∴OE +OF =2at 2=-2c =2OC ．∴OE +OF OC=2．【点评】本题考查了二次函数综合题，①利用待定系数法求函数解析式；②利用函数值相等的点关于对称轴对称得出D 点坐标是解题关键；(2)利用待定系数法求出E 、F 点坐标是解题关键．题型八二次函数与倒数和定值问题8.如图，已知抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴分别交于A (-1，0)、B (3，0)两点，与y 轴交于点C ，且OB =OC ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图1，点D 是抛物线顶点，点P (m ，n )是在第二象限抛物线上的一点，分别连接BD 、BC 、BP ，若∠CBD =∠ABP ，求m 的值；(3)如图1，过B 、C 、O 三点的圆上有一点Q ，并且点Q 在第四象限，连接QO 、QB 、QC ，试猜想线段QO 、QB 、QC 之间的数量关系，并证明你的猜想；(4)如图2，若∠BAC 的角平分线交y 轴于点G ，过点G 的直线分别交射线AB 、AC 于点E 、F (不与点A 重合)，则1AE +1AF的值是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出它的值．【分析】(1)利用待定系数法求解二次函数的解析式即可：(2)如图，过P作PK⊥AB于K，连接CD，先求解顶点D(1．-4)，证明∠BCD=90°，tan∠DBC=CD BC =232=13，则tan∠CBD=tan∠ABP=13，再列方程求解即可；(3)如图，作O关于BC的对称点N，证明四边形OBNC为正方形，连接QB，QC，QO，QN，再分两种情况讨论：当Q在B，N之间时，当Q在C、N之间时，从而可得答案；(4)过G作MG∥x轴交AC于M，过F作FT∥x轴交AG于T，过C作CQ∥x轴交AG于Q，如图：证明ACOA~ACGM，AACQ~AMG，可得1OA+1AC=1GM，同理可得：理可得：1AE+1AF=1GM，从而可得答案．【解答】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+c与轴分别交于A(-1，0)、B(3.0)两点，设抛物线为：y=a(x+1)(x-3)，∵OB=OC，∴C(0，-3)，∴-3a=-3．解得：a=1，所以抛物线为：y=a(x+1)(x-3)=x2-2x-3；(2)如图，过P作PK⊥AB于K，连接CD，∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4，∴顶点D(1，-4)，∴CD2=(1-0)2+(-4+3)2=2，BC2=32+32=18，∴CD2+BC2=BD2，∴∠BCD=90°，tan∠DBC=CDBC =232=13，∵∠CBD=∠ABP，∴tan∠CBD=tan∠ABP=13，∵P(m，n)，m<0，n>0，∴AB=3-m，PA-n=m2-2m-3，∴m2-2m-33-m =13，∴m=-43，经检验符合题意；(3)如图，作O关于BC的对称点N，而OB=OC-3，0B⊥OC，∴四边形OBNC为正方形，连接QB，QC，QO，ON，∴CN=BN=OC=CN=3，BC⊥ON，BC，ON为圆的直径，当Q在B，N之间时(与B不重合)，在QC上截取CK=BQ，∵∠NBQ=∠NCQ，∴ΔΝCΚ≌ΔΝBQ(SAS)，∴∠CNK=∠BNO，∴∠BNO+∠BNK=∠BNK+∠CNK=∠CNB-90°，∵BC⊥ON，∴∠KQN=12x90°=45°=∠QKN，∴QK2=2QN2，∴(QC-QB)2=2QN2，∵ON为直径，则∠OQN=90°，∴QN2=ON2-QO2=BC2-QO2=18-QO2，∴(QC-QB)2=2(18-QO2)，而同理可得：QC2+QB2=18，整理得：QO2-QC•QB=9，当Q在C，N之间时(与C不重合)，如图，同理可得：QO2-QC•QB=9；(4)过G作MG∥x轴交AC于M，过F作FT∥x轴交AG于T，过C作CQ∥x轴交AG于Q，如图：∵MG∥x轴，FT∥x轴，CQ∥x轴，∴MG∥FT∥CQ∥OA，∴△COA∽△CGM，△ACQ∽△AMG，∴GMOA =CMAC，GMCQ=AMAC，∴GMOA +GMCQ=CMAC+AMAC=1，∴1 OA +1CQ=1GM，∵AG平分∠BAC，∴∠CAG=∠BAG=∠AQC，∴AC=CQ，∴1 OA +1AC=1GM，同理可得：1AE +1AF=1GM，由(1)可知：A(-1，0)，C(0，-3)，∴AC=12+32=10，∴1 AE +1AF=1GM=1OA+1AC=1+1010=10+1010，∴1 AE +1AF的值不变，为10+1010．【点评】本题考查了利用待定系数法求解二次函数的解析式，锐角三角函数的应用，勾股定理及其逆定理的应用，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，圆周角定理的应用，正确作出辅助线是解题的关键．压轴题速练一、解答题1.如图，已知二次函数的图象与x 轴交于A 、B 两点，D 为顶点，其中点B 的坐标为(5，0)，点D 的坐标为(1，3)．(1)求该二次函数的表达式；(2)试问在该二次函数图象上是否存在点G ，使得△ADG 的面积是△BDG 的面积的35若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =-316x -1 2+3(2)存在，G 的坐标为0,4516或-15,-45 ．【分析】(1)依题意，利用二次函数的顶点式即可求．(2)先求线段AD 所在的直线解析式，求利用点到直线的公式d =Ax +By +C A 2+B 2，即可求△ADG 与△BDG 的高，利用三角形面积公式即可求．【详解】(1)依题意，设二次函数的解析式为y =a x -1 2+3将点B 代入得0=a 5-1 2+3，得a =-316∴二次函数的表达式为：y =-316x -1 2+3(2)存在点G ，当点G 在x 轴的上方时，设直线DG 交x 轴于P ，设P (t ，0)，作AE ⊥DG 于E ，BF ⊥DG 于F ．由题意：AE :BF =3:5，∵AE ∥BF ，∴AP :BP =AE :BF =3:5，∴-3-t :5-t =3:5，解得t =-15，∴直线DG 的解析式为y =316x +4516，由y =316x +4516y =316x -12+3 ，解得x =0y =4516 或x =1y =3，∴G 0,4516．当点G 在x 轴下方时，如图2所示，∵AO :OB =3:5∴当点G 在DO 的延长线上时，存在点G 使得S ADG :S BDG =3:5，此时，DG 的直线经过原点，设直线DG 的解析式为y =kx ，将点D 代入得k =3，故y =3x ，则有y =3x y =316x -1 2+3 整理得，x -1 x +15 =0，得x 1=1(舍去)，x 2=-15当x =-15时，y =-45，故点G 为-15,-45 ．综上所述，点G 的坐标为0,4516或-15,-45 ．【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，要学会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．2.在平面直角坐标系中，抛物线y =-x 2-4x +c 与x 轴交于点A ，B (点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，且点A 的坐标为(-5,0)．(1)求点C 的坐标；(2)如图1，若点P 是第二象限内抛物线上一动点，求点P 到直线AC 距离的最大值；(3)如图2，若点M 是抛物线上一点，点N 是抛物线对称轴上一点，是否存在点M 使以A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(0,5)(2)2528(3)存在，(-3,8)或(3,-16)或(-7,-16)【分析】(1)把点A的坐标代入y=-x2-4x+c，求出c的值即可；(2)过P作PE⊥AC于点E，过点P作PF⊥x轴交AC于点H，证明△PHE是等腰直角三角形，得PE=PH2，当PH最大时，PE最大，运用待定系数法求直线AC解析式为y=x+5，设P(m,-m2 -4m+5)，(-5<m<0)，则H(m,m+5)，求得PH，再根据二次函数的性质求解即可；(3)分三种情况讨论：①当AC为平行四边形的对角线时，②当AM为平行四边形的对角线时，③当AN为平行四边形的对角线时分别求解即可．【详解】(1)∵点A(-5,0)在抛物线y=-x2-4x+c的图象上，∴0=-52-4×(-5)+c∴c=5，∴点C的坐标为(0,5)；(2)过P作PE⊥AC于点E，过点P作PF⊥x轴交AC于点H，如图1:∵A(-5,0)，C(0,5)∴OA=OC，∴△AOC是等腰直角三角形，∴∠CAO=45°，∵PF⊥x轴，∴∠AHF=45°=∠PHE，∴△PHE是等腰直角三角形，∴PE=PH2，∴当PH最大时，PE最大，设直线AC解析式为y=kx+5，将A(-5,0)代入得0=-5k+5，∴k=1，∴直线AC解析式为y=x+5，设P(m,-m2-4m+5)，(-5<m<0)，则H(m,m+5)，∴PH=(-m2-4m+5)-(m+5)=-m2-5m=-m+522+254，∵a=-1<0，∴当m=-52时，PH最大为25 4，∴此时PE最大为2528，即点P到直线AC的距离值最大；(3)存在，理由如下：∵y=-x2-4x+5=-(x+2)2+9，∴抛物线的对称轴为直线x=-2，设点N的坐标为(-2,m)，点M的坐标为(x,-x2-4x+5)，分三种情况：①当AC为平行四边形对角线时，-5=x-25=m-x2-4x+5，解得x =-3m =-3，∴点M 的坐标为(-3,8)；②当AM 为平行四边形对角线时，x -5=-2-x 2-4x +5=5+m ，解得x =3m =-21，∴点M 的坐标为(3,-16)；③当AN 为平行四边形对角线时，-5-2=x m =5-x 2-4x +5 ，解得x =-7m =-11，∴点M 的坐标为(-7,-16)；综上，点M 的坐标为：(-3,8)或(3,-16)或(-7,-16)．【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质．熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键．3.如图，已知抛物线y =ax 2-32x +c 与x 轴交于点点A (-4,0)，B (1,0)，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q 使QB +QC 最小？若存在，请求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由；(3)点P 为AC 上方抛物线上的动点，过点P 作PD ⊥AC ，垂足为点D ，连接PC ，当△PCD 与△ACO 相似时，求点P 的坐标．【答案】(1)y =-12x 2-32x +2(2)存在，Q -32,54 (3)点P 的坐标为(-3,2)或-32,258【分析】(1)由待定系数法求解即可；(2)找到点B 关于对称轴对称的点A ，连接AC 交对称轴于一点即为Q ，求AC 所在直线解析式，即可求解；(3)当△PCD 与△ACO 相似时，则△PCD ∽△CAO 或△PCD ∽△ACO ，故分分类讨论即可：①若△PCD ∽△CAO ，则∠PCD =∠CAO ，可推出点P 的纵坐标与点C 的纵坐标相同，由点P 为AC 上方抛物线上的动点，得关于x 的一元二次方程，求解并作出取舍则可得答案；②若△PCD ∽△ACO ，则∠PCD =∠ACO ，PD AO=CD CO ，过点A 作AC 的垂线，交CP 的延长线于点G ，过点G 作GH ⊥x 轴于点H ，判定△GAC ∽△PDC ，△GHA ∽△AOC ，由相似三角形的性质得比例式，解得点G 的坐标，从而可得直线CG 的解析式，求得直线CG 与抛物线的交点横坐标，再代入直线CG 的解析式求得其纵坐标，即为此时点P 的坐标．【详解】(1)解：∵抛物线y =ax 2-32x +c 与x 轴交于点A (-4,0)，B (1,0)，∴16a -32×(-4)+c =0a -32+c =0，解得a =-12c =2 ，∴抛物线的解析式为y =-12x 2-32x +2；(2)存在，如图：∵A ，B 关于对称轴对称，∴QA =QB ，∴QB +QC =QA +QC ，∴QB +QC 的最小值为AC ，∴AC 与对称轴的交点即为所求：由(1)可知，对称轴为：x =-b 2a =--322×-12 =-32，C (0,2)，∵A (-4,0)，C (0,2)，∴AC 所在直线解析式为：y =12x +2，令x =-32，y =12×-32 +2=54，∴Q -32，54；(3)∵点A (-4,0)，B (1,0)，∴OA =4，OB =1，在抛物线y =-12x 2-32x +2中，当x =0时，y =2，∴C (0,2)，∴OC =2，∴AC =OA 2+OC 2=42+22=25．∵PD ⊥AC ，∴∠PDC =90°=∠AOC ，∴当ΔPCD 与ΔACO 相似时，则△PCD ∽△CAO 或△PCD ∽△ACO ，①若△PCD ∽△CAO ，则∠PCD =∠CAO ，∴CP ∥AO ，∵C (0,2)，∴点P 的纵坐标为2，∵点P 为AC 上方抛物线上的动点，∴2=-12x 2-32x +2，解得：x 1=0(不合题意，舍去)，x 2=-3，∴此时点P 的坐标为(-3,2)；②若△PCD ∽△ACO ，则∠PCD =∠ACO ，PD AO =CD CO ，∴PD CD =AO CO=42=2，过点A 作AC 的垂线，交CP 的延长线于点G ，过点G 作GH ⊥x 轴于点H ，如图：∵PD ⊥AC ，GA ⊥AC ，∴GA ∥PD ，∴△GAC ∽△PDC ，∴GA PD =AC CD ，∴GA AC=PD CD =2，∵GA ⊥AC ，GH ⊥x 轴，∴∠GAC =∠GHA =90°，∴∠AGH +∠GAH =90°，∠GAH +∠CAO =90°，∴∠AGH =∠CAO ，∵∠GHA =∠AOC =90°，∴△GHA ∽△AOC ，∴GH AO =AH CO =GA AC ，即GH 4=AH 2=2，∴GH =8，AH =4，∴HO =AH +OA =8，∴G (-8,8)，设直线CG 的解析式为y =-34x +2，令-34x +2=-12x 2-32x +2，解得：x 1=0(不合题意，舍去)，x 2=-32，把x =-32代入y =-34x +2得：y =-34x +2=-34×-32 +2=258，∴此时点P 的坐标为-32，258 ，综上所述，符合条件的点P 的坐标为(-3,2)或-32，258．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，掌握待定系数法求函数的解析式、一线三直角模型及相似三角形的判定与性质等知识点是解题的关键．4.如图，抛物线y =-12x 2+bx +c 过点A 3,2 ，且与直线y =-x +72交于B 、C 两点，点B 的坐标为4,m ．(1)求抛物线的解析式；(2)点D 为抛物线上位于直线BC 上方的一点，过点D 作DE ⊥x 轴交直线BC 于点E ，点P 为对称轴上一动点，当线段DE 的长度最大时，求PD +PA 的最小值．【答案】(1)y =-12x 2+x +72(2)325【分析】(1)将点B 的坐标为(4,m )代入y =-x +72，m =-4+72=-12，B 的坐标为4,-12 ，将A (3,2)，B 4,-12 代入y =-12x 2+bx +c ，解得b =1，c =72，因此抛物线的解析式y =-12x 2+x +72；(2)设D m ,-12m 2+m +72 ，则E m ,-m +72 ，DE =-12m 2+m +72 --m +72 =-12m 2+2m =-12(m -2)2+2，当m =2时，DE 有最大值为2，此时D 2,72，作点A 关于对称轴的对称点A ，连接A D ，与对称轴交于点P ．PD +PA =PD +PA =A D ，此时PD +PA 最小；【详解】(1)将点B 的坐标为(4,m )代入y =-x +72，m =-4+72=-12，∴B 的坐标为4,-12 ，将A (3,2)，B 4,-12 代入y =-12x 2+bx +c ，-12×32+3b +c =2-12×42+4b +c =-12 解得b =1，c =72，∴抛物线的解析式y =-12x 2+x +72；(2)设D m ,-12m 2+m +72 ，则E m ,-m +72 ，DE=-12m2+m+72--m+72=-12m2+2m=-12(m-2)2+2，∴当m=2时，DE有最大值为2，此时D2,7 2，作点A关于对称轴的对称点A ，连接A D，与对称轴交于点P．PD+PA=PD+PA =A D，此时PD+PA最小，∵A(3,2)，∴A (-1,2)，A D=(-1-2)2+2-722=325，即PD+PA的最小值为325；【点睛】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的图象的性质与一次函数的性质以及圆周角定理是解题的关键．5.抛物线y=ax2+bx-3(a，b为常数，a≠0)交x轴于A-3,0，B4,0两点．(1)求该抛物线的解析式；(2)点C0,4，D是线段AC上的动点(点D不与点A，C重合)．①点D关于x轴的对称点为D ，当点D 在该抛物线上时，求点D的坐标；②E是线段AB上的动点(点E不与点A，B重合)，且CD=AE，连接CE，BD，当CE+BD取得最小值时，求点D的坐标．【答案】(1)y=14x2-14x-3(2)①-43,20 9；②-54,73【分析】(1)用待定系数法可得抛物线的解析式为y=14x2-14x-3；(2)①由A(-3,0)，C(0,4)得直线AC解析式为y=43x+4，设D m,43m+4，可得Dm,-43m-4，代入y=14x2-14x-3解得m=-3(与A重合，舍去)或m=-43，故D-43,209；②过C在y轴左侧作CK∥x轴，且CK=AC，连接DK，证明△DCK≌△ECA(SAS)，有DK=CE，故CE+BD最小时，DK+BD最小，此时K，D，B共线，求出K(-5,4)，可得直线BK解析式为y=-4 9x+169，解y=-49x+169y=43x+4即得D的坐标为-54,73．【详解】(1)解：把A(-3,0)，B(4,0)代入y=ax2+bx-3得：9a-3b-3=016a+4b-3=0，解得a=14b=-14 ，∴抛物线的解析式为y=14x2-14x-3；(2)解：①如图：由A (-3,0)，C (0,4)得直线AC 解析式为y =43x +4，设D m ,43m +4 ，∵点D 关于x 轴的对称点为D ，∴D m ,-43m -4 ，把D m ,-43m -4 代入y =14x 2-14x -3得：-43m -4=14m 2-14m -3，解得m =-3(与A 重合，舍去)或m =-43，∴D -43,209；②过C 在y 轴左侧作CK ∥x 轴，且CK =AC ，连接DK ，如图：∴∠KCD =∠CAE ，∵CD =AE ，CK =AC ，∴△DCK ≌△ECA (SAS )，∴DK =CE ，∴CE +BD 最小时，DK +BD 最小，此时K ，D ，B 共线，∵A (-3,0)，C (0,4)，∴AC =5=CK ，∴K (-5,4)，由K (-5,4)，B (4,0)得直线BK 解析式为y =-49x +169，解y =-49x +169y =43x +4 得x =-54y =73，∴D 的坐标为-54,73．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，对称变换，三角形全等的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题是(2)的关键．6.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y =ax 2+bx +2a ≠0 与x 轴交于A -1,0 ，B 3,0 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．(1)求该抛物线的解析式；(2)点P 为直线BC 上方的抛物线上一点，过点P 作y 轴的垂线交线段BC 于M ，过点P 作x 轴的垂线交线段BC 于N ，求△PMN 的周长的最大值．(3)若点N 为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M ，使得以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =-23x 2+43x +2；(2)10+2133(3)点M 的坐标为2,2 或4,-103 或-2,-103．【分析】(1)将点A -1,0 、B 3,0 代入y =ax 2+bx +2a ≠0 即可；(2)求出BC 的解析式，设P t ,-23t 2+43t +2 ，根据题意得2≤t <3，易得PN =-23t -32 2+32，求得其最大值，易证△BOC ∽△MPN ，可得PM =32PN ，MN =132PN ，进而得△PMN 的周长为PN +PM +MN =PN +32PN +132PN =5+132PN ，则当PN 最大时，△PMN 的周长有最大值，代入PN 最大值即可求解；(3)根据平行四边形对边平行且相等的性质可以得到存在点M 使得以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，分两类考虑，以BC 为对角线，以BC 为边利用平行四边形对边平行且相等求点M 的坐标，和构造直角三角形求点M 的横坐标．【详解】(1)解：(1)∵抛物线y =ax 2+bx +2a ≠0 过A -1,0 ，B 3,0 两点，∴a -b +2=09a +3b +2=0 ，解得a =-23b =43 ，∴抛物线的解析式为y =-23x 2+43x +2；(2)当x =0时，y =2，即：C 0,2 ，则OC =2，OB =3，BC =13，设BC 的解析式为：y =kx +b 1，将B 3,0 ，C 0,2 代入可得：b 1=23k +b 1=0 ，解得：k =-23b 1=2，∴BC 的解析式为：y =-23x +2，设P t ,-23t 2+43t +2 ，∵点P 为直线BC 上方的抛物线上一点，过点P 作y 轴的垂线交线段BC 于M ，过点P 作x 轴的垂线交线段BC 于N ，∴t >0t <3-23t 2+43t +2≤2，则2≤t <3，当x =t 时，点N 的纵坐标为：y =-23t +2，则PN =-23t 2+43t +2--23t +2 =-23t 2+2t =-23t -32 2+322≤t <3 ，∴当t =2时，PN 有最大值为：-23×2-32 2+32=43，由题意可知，∠BOC =∠P =90°，PN ∥y 轴，则∠PNM =∠OCB ，∴△BOC ∽△MPN ，则OC PN =OB PM =BC MN，则PM =32PN ，MN =132PN ，△PMN 的周长为PN +PM +MN =PN +32PN +132PN =5+132PN ，则当PN 最大时，△PMN 的周长有最大值，即：△PMN 的周长的最大值为5+132×43=10+2133；(3)存在点M ，使得以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，①以BC 为对角线，过C 作CM ∥x 轴交抛物线与M ，点N 在x 轴上，NB =2=MC ，M 2,2 ；②以BC 为边，过M 作MG 垂直抛物线对称轴于G ，当MG =OB =3，且OC =GN 时，四边形CNMB为平行四边形，M 点横坐标x =3+1=4，纵坐标y =-23×42+43×4+2=-103，M 4,-103；③过N作NH∥x轴，与过M作MH∥y轴交于H，当MH=CO=2，NH=BO=3时，四边形CMNB为平行四边形，M点横坐标为x=1-3=-2，纵坐标y=-23×-22+43×-2+2=-103，M-2,-103 ；综上所述：点M的坐标为2,2或4,-10 3或-2,-103．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像及性质，相似三角形的判定及性质，平行四边形的判定与性质，及分类讨论的数学思想，熟练掌握二次函数的性质、相似三角形的判定及性质，平行四边形的性质是解题的关键．7.如图，二次函数y=-14x2+12m-1x+m(m是常数，且m>0)的图象与x轴相交于点A、B(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C，动点P在对称轴l上，连接AC、BC、PA、PC．(1)求点A、B、C的坐标(用数字或含m的式子表示)；(2)当PA +PC 的最小值等于45时，求m 的值及此时点P 的坐标；(3)当m 取(2)中的值时，若∠APC =2∠ABC ，请直接写出点P 的坐标．【答案】(1)A -2，0 ，B 2m ，0 ，C 0，m(2)m =4，P 3，52 (3)P 点坐标为3，0 或3，52 【分析】(1)将x =0，y =0，分别代入y =-14x 2+12m -1 x +m ，计算求解即可；(2)如图1，连接PB ，由题意知，PA =PB ，则PA +PC =PB +PC ，可知当C ，P ，B 三点共线时，PA +PC 值最小，在Rt △BOC 中，由勾股定理得BC =5m ，由PA +PC 的最小值等于45，可得5m =45，计算m 的值，然后得出B ，C 的点坐标，待定系数法求直线BC 的解析式，根据P 是直线BC 与直线l 的交点，计算求解即可；(3)由(2)知m =4，则B 8，0 ，C 0，4 ，抛物线的对称轴为直线x =3，勾股定理逆定理判断△ABC 是直角三角形，且∠ACB =90°，记D 为直线l 与x 轴的交点，如图2，连接CD ，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得CD =BD =AD ，由等边对等角可得∠DCB =∠ABC ，由三角形外角的性质可得∠ADC =∠DCB +∠ABC =2∠ABC ，进而可得∠ADC =∠APC ，即P 与D 重合，求此时的P 点坐标；过A ，C ，D 三点作⊙O ，如图2，由同弧所对的圆周角相等可知⊙O 与直线l =3交点即为P ，设P 3，a ，由题意知，圆心O 在直线x =12上，设圆心坐标为12，n ，则AO 2=CO 2=PO 2，根据AO 2=CO 2，可求n 值，根据AO 2=PO 2，可求a 值，进而可得此时的P 点坐标．【详解】(1)解：当x =0时，y =m ，当y =0时，-14x 2+12m -1 x +m =0，整理得x 2-2m -1 x -4m =0，即x -2m x +2 =0，解得x 1=2m ，x 2=-2，∴A -2，0 ，B 2m ，0 ，C 0，m ，(2)解：如图1，连接PB ，由题意知，PA =PB ，∴PA +PC =PB +PC ，∴当C ，P ，B 三点共线时，PA +PC 值最小，在Rt △BOC 中，由勾股定理得BC =OB 2+OC 2=4m 2+m 2=5m ，∵PA +PC 的最小值等于45，∴5m =45，解得m =4，∴B 8，0 ，C 0，4 ，∴抛物线的对称轴为直线x =3，设直线BC 的解析式为y =kx +b ，将B 8，0 ，C 0，4 代入得，0=8k +b 4=b，解得k =-12b =4 ，∴直线BC 的解析式为y =-12x +4，。
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定值与距离问题探究
主讲——周文春
【知识点拨】 1、 点与点距离 2、 点与直线距离
3、 讲线段与图形问题转化为距离问题
4、 熟记各种演化公式
【例1 二次函数与直线、距离、面积问题】 如图，已知直线与抛物线交于两点． （1）求两点的坐标；
（2）求线段的垂直平分线的解析式；
（3）如图2，取与线段等长的一根橡皮筋，端点分别固定在两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖在直线上方的抛物线上移动，动点将与构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时
12y x =-
21
64
y x =-+A B ，A B ，AB AB A B ，P AB P A B ，P 图2
图1
【变式练习.成都】
如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的A 、B 两个顶点在x 轴上，顶点C 在y 轴的负半轴上．已知|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，△ABC 的面积S △ABC =15，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）经过A 、B 、C 三点．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）设E 是y 轴右侧抛物线上异于点B 的一个动点，过点E 作x 轴的平行线交抛物线于另一点F ，过点F 作FG 垂直于x 轴于点G ，再过点E 作EH 垂直于x 轴于点H ，得到矩形EFGH ．则在点E 的运动过程中，当矩形EFGH 为正方形时，求出该正方形的边长； （3）在抛物线上是否存在异于B 、C 的点M ，使△MBC 中BC 边上的高为？若存在，
求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
【例2二次函数中的线段面积最值问题】
如图，抛物线与x 轴交与A(1,0),B(-3，0)两点，顶点为D 。
交Y 轴于C
(1)求该抛物线的解析式与△ABC 的面积。
(2)在抛物线第二象限图象上是否存在一点M ，使△MBC 是以∠BCM 为直角的直角三角形，若存在，求出点P 的坐标。
若没有，请说明理由
(3)若E 为抛物线B 、C 两点间图象上的一个动点(不与A 、B 重合)，过E 作EF 与X 轴垂
直，交BC 于F ，设E 点横坐标为x.EF 的长度为L ，求L 关于X 的函数关系式？关写
出X 的取值范围？当E 运动到什么位置时，线段EF 的值最大，并求此时E 点的坐标？ (4)在（3）的情况下直线BC 与抛物线的对称轴交于点H 。
当E 点运动到什么位置时,以点E 、F 、H 、D 为顶点的四边形为平行四边形？
(5)在（4）的情况下点E 运动到什么位置时，使三角形BCE 的面积最大？
c bx x y ++-=
2
【变式练习.雅安】
如图，已知二次函数c x ax y ++=22)0(>a 图像的顶点M 在反比例函数x
y 3
=上，且与x 轴交于AB 两点。
（1）若二次函数的对称轴为2
1
-
=x ，试求c a ,的值； （2）在（1）的条件下求AB 的长；
（3）若二次函数的对称轴与x 轴的交点为N ，当NO+MN 取最小值时，试求二次函数的解析式。
【例3 二次函数中比例的定值、最值问题】
【成都】如图，抛物线y=ax 2
+c （a ≠0）经过C （2，0），D （0，﹣1）两点，并与直线y=kx 交于A 、B 两点，直线l 过点E （0，﹣2）且平行于x 轴，过A 、B 两点分别作直线l 的垂线，垂足分别为点M 、N ．
（1）求此抛物线的解析式； （2）求证：AO=AM ； （3）探究： ①当k=0时，直线y=kx 与x 轴重合，求出此时
11
AM BN
+的值； ②试说明无论k 取何值，
11AM BN
+的值都等于同一个常数．
在平面直角坐标系中，已知抛物线2
12
y x bx c =-
++（,b c 为常数）的顶点为P ，等腰直角三角形ABC 的定点A 的坐标为(0,1)-，C 的坐标为(4,3)，直角顶点B 在第四象限. （1）如图，若该抛物线过 A ，B 两点，求该抛物线的函数表达式；
（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P 在直线AC 上滑动，且与AC 交于另一点Q . i ）若点M 在直线AC 下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M P Q 、、 三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M 的坐标； ii ）取BC 的中点N ，连接,NP BQ .试探究PQ
NP BQ
+是否存在最大值？若存在，求出该最
大值；若不存在，请说明理由.
如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数（m为常数）的图象与x轴交于点A
（﹣3，0），与y轴交于点C．以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过A，C两点，并与x轴的正半轴交于点B．
（1）求m的值及抛物线的函数表达式；
（2）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F．是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；
（3）若P是抛物线对称轴上使△ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M1（x1，y1），M2（x2，y2）两点，试探究是否为定值，并写出探究过程．。